4.3.1 Definisi ruang linier

Membiarkan ā , , - elemen dari beberapa set ā , , Tanah λ , μ - bilangan real, λ , μ R..

Himpunan L disebutlinier atauruang vektor, jika dua operasi didefinisikan:

1 0 . Tambahan. Setiap pasangan elemen dari himpunan ini dikaitkan dengan elemen dari himpunan yang sama, yang disebut jumlah mereka

ā + =

2°.Perkalian dengan angka. Setiap bilangan asli λ dan elemen ā L elemen dari himpunan yang sama ditugaskan λ ā L dan sifat-sifat berikut terpenuhi:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. ada elemen nol
, seperti yang ā +=ā ;

4. ada elemen berlawanan -
seperti yang ā +(-ā )=.

Jika sebuah λ , μ - bilangan real, maka:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elemen ruang linier ā, , ... disebut vektor.

Sebuah latihan. Tunjukkan pada diri Anda bahwa himpunan ini membentuk ruang linier:

1) Himpunan vektor geometris pada bidang;

2) Satu set vektor geometris dalam ruang tiga dimensi;

3) Satu set polinomial derajat tertentu;

4) Himpunan matriks dengan dimensi yang sama.

4.3.2 Vektor tak bebas dan tak bebas linier. Dimensi dan dasar ruang

Kombinasi linear vektor ā 1 , ā 2 , …, ā n Ldisebut vektor dari ruang yang sama dengan bentuk:

,

di mana λ i - bilangan real.

Vektor ā 1 , .. , ā n diteleponbebas linier, jika kombinasi liniernya adalah vektor nol jika dan hanya jika semua saya sama dengan nol, itu adalah

λ saya=0

Jika kombinasi linier adalah vektor nol dan setidaknya salah satu dari λ saya berbeda dari nol, maka vektor-vektor ini disebut bergantung linier. Yang terakhir berarti bahwa setidaknya salah satu vektor dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya. Memang, biarkan dan, misalnya,
. kemudian,
, di mana

.

Sistem vektor terurut yang bebas linier maksimal disebut dasar ruang angkasa L. Banyaknya vektor basis disebut dimensi ruang angkasa.

Mari kita asumsikan bahwa ada n vektor bebas linier, maka ruang tersebut disebut n-dimensi. Vektor ruang lainnya dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier n vektor dasar. Per basis n- ruang dimensi dapat diambil setiap n vektor bebas linier dari ruang ini.

Contoh 17. Temukan basis dan dimensi ruang linier yang diberikan:

a) himpunan vektor yang terletak pada suatu garis (sejajar dengan suatu garis)

b) himpunan vektor milik pesawat

c) himpunan vektor ruang tiga dimensi

d) himpunan polinomial berderajat paling banyak dua.

Larutan.

sebuah) Setiap dua vektor yang terletak pada suatu garis akan bergantung secara linier, karena vektor-vektor tersebut kolinear
, kemudian
, λ - skalar. Oleh karena itu, basis dari ruang ini hanya satu (apa saja) vektor selain nol.

Biasanya ruang ini adalah R, dimensinya adalah 1.

b) setiap dua vektor non-kolinier
bebas linier, dan setiap tiga vektor pada bidang bergantung linier. Untuk setiap vektor , ada angka  dan  seperti yang
. Ruang disebut dua dimensi, dilambangkan R 2 .

Basis dari ruang dua dimensi dibentuk oleh dua buah vektor non-kolinier.

di) Setiap tiga vektor non-koplanar akan bebas linier, mereka membentuk dasar dari ruang tiga dimensi R 3 .

G) Sebagai dasar untuk ruang polinomial berderajat paling banyak dua, dapat dipilih tiga vektor berikut: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 adalah polinomial, identik sama dengan satu). Ruang ini akan menjadi tiga dimensi.

dari Wikipedia, ensiklopedia gratis

vektor(atau linier) ruang angkasa- struktur matematika, yang merupakan kumpulan elemen, yang disebut vektor, di mana operasi penjumlahan satu sama lain dan perkalian dengan angka - skalar didefinisikan. Operasi ini tunduk pada delapan aksioma. Skalar dapat berupa elemen dari bilangan real, kompleks, atau bidang bilangan lainnya. Kasus khusus dari ruang seperti itu adalah ruang Euclidean tiga dimensi yang biasa, vektor yang digunakan, misalnya, untuk mewakili kekuatan fisik. Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa vektor sebagai elemen ruang vektor tidak harus ditentukan dalam bentuk segmen berarah . Generalisasi konsep "vektor" ke elemen ruang vektor dengan sifat apa pun tidak hanya tidak menyebabkan kebingungan istilah, tetapi juga memungkinkan kita untuk memahami atau bahkan mengantisipasi sejumlah hasil yang valid untuk ruang yang bersifat arbitrer.

Ruang vektor adalah subjek studi dalam aljabar linier. Salah satu ciri utama ruang vektor adalah dimensinya. Dimensi adalah jumlah maksimum elemen ruang yang bebas linier, yaitu, dengan menggunakan deskripsi geometris kasar, jumlah arah yang tidak dapat diungkapkan dalam istilah satu sama lain hanya melalui operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Ruang vektor dapat diberkahi dengan struktur tambahan, seperti norma atau produk titik. Ruang seperti itu muncul secara alami dalam kalkulus, terutama sebagai ruang fungsi berdimensi tak hingga ( Bahasa inggris), di mana vektor adalah fungsi . Banyak masalah analisis memerlukan mencari tahu apakah urutan vektor konvergen ke vektor yang diberikan. Pertimbangan pertanyaan tersebut dimungkinkan dalam ruang vektor dengan struktur tambahan, dalam banyak kasus topologi yang sesuai, yang memungkinkan seseorang untuk mendefinisikan konsep kedekatan dan kontinuitas. Ruang vektor topologi seperti itu, khususnya ruang Banach dan Hilbert, memungkinkan untuk dipelajari lebih dalam.

Selain vektor, aljabar linier juga mempelajari tensor dengan peringkat lebih tinggi (skalar dianggap sebagai tensor peringkat 0, vektor adalah tensor peringkat 1).

Karya pertama yang mengantisipasi pengenalan konsep ruang vektor berasal dari abad ke-17. Saat itulah geometri analitik, doktrin matriks, sistem persamaan linier, vektor Euclidean, menerima perkembangannya.

Definisi

Linier, atau ruang vektor $V\backslash kiri(F\backslash kanan)$ di atas lapangan $F$ adalah rangkap empat terurut $(V,F,+,\backslash cdot)$, di mana

• $V$- satu set elemen yang tidak kosong yang bersifat arbitrer, yang disebut vektor;
• $F$- (aljabar) bidang yang elemennya disebut skalar;
• Operasi ditentukan tambahan vektor $V\backslash kali\; V\backslash ke\; V$, mencocokkan setiap pasangan elemen $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ set $V$ $V$ memanggil mereka jumlah dan dilambangkan $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operasi ditentukan perkalian vektor dengan skalar $F\backslash kali\; V\backslash ke\; V$, yang cocok dengan setiap elemen $\backslash lambda$ bidang $F$ dan setiap elemen $\backslash mathbf(x)$ set $V$ satu-satunya elemen himpunan $V$, dilambangkan $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ atau $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Ruang vektor didefinisikan pada himpunan elemen yang sama tetapi pada bidang yang berbeda akan menjadi ruang vektor yang berbeda (misalnya, himpunan pasangan bilangan real $\backslash mathbb(R)^2$ dapat berupa ruang vektor dua dimensi di atas bidang bilangan real atau satu dimensi - di atas bidang bilangan kompleks).

Sifat paling sederhana

1. Ruang vektor adalah grup abelian dengan penjumlahan.
2. elemen netral $\backslash mathbf(0)\; \backslash di\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ untuk siapa saja $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$.
4. Untuk siapa saja $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$ elemen berlawanan $-\backslash mathbf(x)\; \backslash di\; V$ adalah satu-satunya yang mengikuti dari properti grup.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ untuk siapa saja $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ untuk apa saja $\backslash alfa\; \backslash di\; F$ dan $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ untuk siapa saja $\backslash alfa\; \backslash di\; F$.

Definisi dan properti terkait

subruang

Definisi aljabar: Subruang linier atau subruang vektor adalah himpunan bagian tak kosong $K$ ruang linier $V$ seperti yang $K$ itu sendiri adalah ruang linier terhadap yang didefinisikan dalam $V$ operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Himpunan semua subruang biasanya dilambangkan sebagai $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Untuk subset menjadi subruang, perlu dan cukup bahwa

1. untuk vektor apapun $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ juga milik $K$, untuk apa saja $\backslash alpha\backslash di\; F$;
2. untuk setiap vektor $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ juga milik $K$.

Dua pernyataan terakhir setara dengan yang berikut:

Untuk setiap vektor $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ juga milik $K$ untuk apa saja $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Secara khusus, ruang vektor yang hanya terdiri dari satu vektor nol adalah subruang dari ruang apa pun; setiap ruang adalah subruang dari dirinya sendiri. Subruang yang tidak berhimpitan dengan keduanya disebut memiliki atau tidak sepele.

Properti Subruang

• Perpotongan dari setiap keluarga subruang lagi-lagi merupakan subruang;
• Jumlah subruang $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash dalam\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ didefinisikan sebagai himpunan yang berisi semua kemungkinan jumlah elemen $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Jumlah dari keluarga berhingga dari subruang lagi-lagi merupakan subruang.

Kombinasi Linier

Jumlah tampilan akhir

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Kombinasi linier disebut:

Dasar. Dimensi

Vektor $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ ditelepon bergantung linier, jika ada kombinasi linier non-trivial yang sama dengan nol:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alfa\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Jika tidak, vektor-vektor ini disebut bebas linier.

Definisi ini memungkinkan generalisasi berikut: himpunan vektor tak terhingga dari $V$ ditelepon bergantung linier, jika beberapa terakhir himpunan bagiannya, dan bebas linier, jika ada terakhir himpunan bagian bebas linier.

Properti dasar:

• Setiap $n$ elemen bebas linier $n$-bentuk ruang dimensi dasar ruang ini.
• Vektor apa saja $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$ dapat direpresentasikan (unik) sebagai kombinasi linier hingga elemen dasar:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Kulit linier

Kulit linier $\backslash matematika\; V(X)$ himpunan bagian $X$ ruang linier $V$- persimpangan semua subruang $V$ mengandung $X$.

Shell linier adalah subruang $V$.

Kulit linier juga disebut subruang yang dihasilkan $X$. Juga dikatakan bahwa rentang linier $\backslash matematika\; V(X)$- ruang angkasa, terbentang banyak $X$.

Kulit linier $\backslash matematika\; V(X)$ terdiri dari semua kombinasi linier yang mungkin dari berbagai subsistem hingga elemen dari $X$. Secara khusus, jika $X$ adalah himpunan berhingga, maka $\backslash matematika\; V(X)$ terdiri dari semua kombinasi linier elemen $X$. Dengan demikian, vektor nol selalu termasuk dalam rentang linier.

Jika sebuah $X$ adalah himpunan bebas linier, maka merupakan basis $\backslash matematika\; V(X)$ dan dengan demikian menentukan dimensinya.

Contoh

• Ruang nol yang satu-satunya elemennya adalah nol.
• Ruang semua fungsi $X\backslash ke\; F$ dengan dukungan terbatas membentuk ruang vektor berdimensi sama dengan $X$.
• Bidang bilangan real dapat dipandang sebagai ruang vektor berdimensi kontinu di atas bidang bilangan rasional.
• Bidang apa pun adalah ruang satu dimensi di atasnya.

Struktur tambahan

Lihat juga

Tulis ulasan pada artikel "Ruang vektor"

Catatan

literatur

• Gelfand I.M. Kuliah tentang aljabar linier. - 5. - M.: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 hal. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Kuliah tentang aljabar linier. edisi ke-5. - M.: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 hal. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Aljabar linier dan geometri. edisi ke-2 - M.: Nauka, 1986. - 304 hal.
• Kostrikin A.I. Pengantar aljabar. Bagian 2: Aljabar Linier. - ke-3. - M.: Nauka., 2004. - 368 hal. - (Buku teks universitas).
• Maltsev A.I. Dasar-dasar aljabar linier. - ke-3. - M.: Nauka, 1970. - 400 hal.

• Postnikov M.M. Aljabar Linier (Kuliah Geometri. Semester II). - 2 - M.: Nauka, 1986. - 400 hal.
• Strang G. Aljabar Linier dan Aplikasinya = Aljabar Linier dan Aplikasinya. - M.: Mir, 1980. - 454 hal.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Aljabar linier. edisi ke-6 - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 hal. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Ruang Vektor Dimensi Hingga = Ruang Vektor Dimensi Hingga. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 hal.
• Faddeev D.K. Kuliah tentang Aljabar. - 5. - Sankt Peterburg. : Lan, 2007. - 416 hal.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O. Aljabar linier dan geometri. - 1 - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 hal.
• Schreyer O., Shperner G. Pengantar aljabar linier dalam presentasi geometri = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (diterjemahkan dari bahasa Jerman). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 hal.

Vektor dan matriks Vektor Konsep dasar Macam-macam vektor Operasi pada vektor Jenis ruang matriks Konsep dasar Lainnya

Kutipan yang mencirikan ruang Vektor

Kutuzov berjalan melewati barisan, sesekali berhenti dan mengucapkan beberapa kata baik kepada para perwira, yang dia kenal dari perang Turki, dan terkadang kepada para prajurit. Melirik sepatu itu, dia menggelengkan kepalanya dengan sedih beberapa kali dan menunjuknya ke jenderal Austria dengan ekspresi sedemikian rupa sehingga dia sepertinya tidak mencela siapa pun untuk ini, tetapi dia tidak bisa tidak melihat betapa buruknya itu. Komandan resimen setiap kali berlari ke depan, takut melewatkan kata-kata panglima tertinggi tentang resimen. Di belakang Kutuzov, pada jarak sedemikian rupa sehingga kata-kata yang diucapkan dengan lemah dapat terdengar, berjalanlah seorang pria dengan 20 pengiring. Tuan-tuan dari pengiring berbicara di antara mereka sendiri dan kadang-kadang tertawa. Yang paling dekat di belakang panglima adalah seorang ajudan yang tampan. Itu adalah Pangeran Bolkonsky. Di sampingnya berjalan rekannya Nesvitsky, seorang perwira tinggi, sangat kekar, dengan wajah tampan yang baik dan tersenyum serta mata yang basah; Nesvitsky hampir tidak bisa menahan diri untuk tidak tertawa, terangsang oleh petugas prajurit berkuda kehitaman yang berjalan di sampingnya. Perwira hussar itu, tanpa tersenyum, tanpa mengubah ekspresi matanya yang terpaku, memandang dengan wajah serius ke belakang komandan resimen dan menirukan setiap gerakannya. Setiap kali komandan resimen gemetar dan mencondongkan tubuh ke depan, dengan cara yang persis sama, persis dengan cara yang sama, perwira prajurit berkuda itu gemetar dan mencondongkan tubuh ke depan. Nesvitsky tertawa dan mendorong yang lain untuk melihat pria lucu itu.
Kutuzov berjalan perlahan dan lesu melewati seribu mata yang keluar dari rongganya, mengikuti bosnya. Setelah diratakan dengan kompi ke-3, dia tiba-tiba berhenti. Pengiringnya, tidak melihat perhentian ini, tanpa sadar maju ke arahnya.
- Ah, Timokhin! - kata panglima tertinggi, mengenali kapten dengan hidung merah, yang menderita karena mantel biru.
Tampaknya tidak mungkin untuk meregangkan lebih dari yang diregangkan Timokhin, sementara komandan resimen menegurnya. Tetapi pada saat itu panglima itu memanggilnya, kapten itu menarik diri sehingga seolah-olah jika panglima itu menatapnya lebih lama, kapten tidak akan tahan. ; dan karena itu Kutuzov, yang tampaknya memahami posisinya dan berharap, sebaliknya, semua yang terbaik untuk kapten, buru-buru berbalik. Senyum yang nyaris tak terlihat menghiasi wajah gemuk dan terluka Kutuzov.
"Kawan Izmaylovsky lainnya," katanya. "Petugas yang berani!" Apakah Anda senang dengan itu? Kutuzov bertanya kepada komandan resimen.
Dan komandan resimen, seolah-olah tercermin di cermin, tidak terlihat oleh dirinya sendiri, di prajurit prajurit berkuda, bergidik, maju dan menjawab:
“Sangat senang, Yang Mulia.
“Kita semua bukannya tanpa kelemahan,” kata Kutuzov, tersenyum dan menjauh darinya. “Dia memiliki keterikatan pada Bacchus.
Komandan resimen takut bahwa dia tidak harus disalahkan untuk ini, dan tidak menjawab. Petugas pada saat itu memperhatikan wajah kapten dengan hidung merah dan perut yang ditekuk, dan meniru wajah dan posturnya dengan sangat mirip sehingga Nesvitsky tidak bisa menahan tawa.
Kutuzov berbalik. Jelas bahwa petugas itu dapat mengendalikan wajahnya seperti yang dia inginkan: pada saat Kutuzov berbalik, petugas itu berhasil meringis, dan setelah itu menunjukkan ekspresi paling serius, hormat, dan polos.
Kompi ketiga adalah yang terakhir, dan Kutuzov berpikir, tampaknya mengingat sesuatu. Pangeran Andrei melangkah keluar dari rombongan dan dengan tenang berkata dalam bahasa Prancis:
- Anda diperintahkan untuk diingatkan tentang Dolokhov yang diturunkan pangkatnya di resimen ini.
- Di mana Dolokhov? tanya Kutuzov.
Dolokhov, yang sudah mengenakan mantel abu-abu prajurit, tidak menunggu untuk dipanggil. Sosok ramping seorang prajurit pirang dengan mata biru jernih melangkah keluar dari depan. Dia mendekati panglima tertinggi dan membuat penjaga.
- Mengeklaim? - Sedikit mengernyit, tanya Kutuzov.
"Ini Dolokhov," kata Pangeran Andrei.
- SEBUAH! kata Kutuzov. – Saya harap pelajaran ini akan mengoreksi Anda, layani dengan baik. Kaisar penuh belas kasihan. Dan aku tidak akan melupakanmu jika kamu pantas mendapatkannya.
Mata biru jernih menatap panglima dengan kurang ajar seperti yang mereka lakukan pada komandan resimen, seolah-olah dengan ekspresi mereka mereka merobek tabir konvensionalitas yang memisahkan panglima begitu jauh dari prajurit.
"Saya menanyakan satu hal kepada Anda, Yang Mulia," katanya dengan suaranya yang bergema, tegas, dan tidak tergesa-gesa. “Saya meminta Anda memberi saya kesempatan untuk menebus kesalahan saya dan membuktikan pengabdian saya kepada kaisar dan Rusia.
Kutuzov berbalik. Senyuman matanya yang sama terpancar di wajahnya seperti saat dia berpaling dari Kapten Timokhin. Dia berbalik dan meringis, seolah-olah dia ingin mengungkapkan dengan ini bahwa semua yang dikatakan Dolokhov kepadanya, dan semua yang bisa dia katakan padanya, dia sudah tahu sejak lama bahwa semua ini telah membuatnya bosan dan bahwa semua ini adalah sama sekali tidak apa yang dia butuhkan. . Dia berbalik dan berjalan menuju kereta.
Resimen disortir dalam kompi dan menuju apartemen yang ditugaskan tidak jauh dari Braunau, di mana mereka berharap untuk mengenakan sepatu, pakaian, dan istirahat setelah transisi yang sulit.
- Anda tidak berpura-pura kepada saya, Prokhor Ignatich? - kata komandan resimen, mengitari kompi ke-3 bergerak menuju tempat itu dan mengemudi ke Kapten Timokhin, yang berjalan di depannya. Wajah komandan resimen, setelah tinjauan pergi dengan gembira, mengungkapkan kegembiraan yang tak tertahankan. - Layanan kerajaan ... Anda tidak bisa ... lain kali Anda akan memotong di depan ... Saya akan menjadi orang pertama yang meminta maaf, Anda tahu saya ... Terima kasih banyak! Dan dia mengulurkan tangannya kepada komandan.
"Permisi, Jenderal, apakah saya berani!" - kapten menjawab, memerah dengan hidungnya, tersenyum dan mengungkapkan dengan senyum kurangnya dua gigi depan, dirobohkan oleh pantat di dekat Ismail.
- Ya, beri tahu Tuan Dolokhov bahwa saya tidak akan melupakannya, agar dia tenang. Ya, tolong beri tahu saya, saya terus ingin bertanya, siapa dia, bagaimana dia bersikap? Dan semuanya...
"Dia sangat berguna dalam pelayanannya, Yang Mulia ... tapi carakhter ..." kata Timokhin.
- Dan apa, apa karakternya? tanya komandan resimen.
"Dia menemukan, Yang Mulia, selama berhari-hari," kata kapten, "dia cerdas, terpelajar, dan baik hati. Dan itu adalah binatang. Di Polandia, dia membunuh seorang Yahudi, jika Anda tahu ...
- Ya, ya, ya, - kata komandan resimen, - Anda masih harus merasa kasihan pada pemuda yang malang itu. Lagi pula, koneksi yang bagus ... Jadi Anda ...
“Saya mendengarkan, Yang Mulia,” kata Timokhin sambil tersenyum seolah mengerti keinginan bos.
- Ya ya.
Komandan resimen menemukan Dolokhov di barisan dan mengekang kudanya.
"Sebelum kasus pertama, tanda pangkat," katanya.
Dolokhov melihat sekeliling, tidak mengatakan apa-apa dan tidak mengubah ekspresi mulutnya yang tersenyum mengejek.
"Yah, itu bagus," lanjut komandan resimen. “Orang-orang mendapatkan segelas vodka dari saya,” tambahnya, sehingga para tentara bisa mendengar. - Terima kasih semua! Terima kasih Tuhan! - Dan dia, setelah menyusul sebuah perusahaan, melaju ke yang lain.
“Yah, dia benar-benar pria yang baik; Anda bisa melayani bersamanya, ”kata subaltern Timokhin kepada petugas yang berjalan di sampingnya.
- Satu kata, merah! ... (komandan resimen dijuluki raja merah) - kata perwira bawahan sambil tertawa.
Suasana gembira pihak berwenang setelah peninjauan diteruskan ke tentara. Rota sedang bersenang-senang. Suara tentara berbicara dari semua sisi.
- Bagaimana mereka mengatakan, Kutuzov bengkok, tentang satu mata?
- Tapi tidak! Benar-benar bengkok.
- Tidak ... saudara, lebih bermata besar dari Anda. Sepatu bot dan kerah - melihat sekeliling semuanya ...
- Bagaimana dia, saudaraku, melihat kakiku ... yah! memikirkan…
- Dan yang lainnya adalah orang Austria, dia bersamanya, seolah-olah diolesi kapur. Seperti tepung, putih. Saya teh, bagaimana mereka membersihkan amunisi!
- Apa, Fedeshow! ... katanya, mungkin, ketika penjaga mulai, apakah Anda berdiri lebih dekat? Mereka mengatakan segalanya, Bunaparte sendiri berdiri di Brunov.
- Bunaparte berdiri! kamu bohong, bodoh! Apa yang tidak tahu! Sekarang Prusia memberontak. Oleh karena itu, orang Austria itu menenangkannya. Begitu dia berdamai, maka perang akan terbuka dengan Bounaparte. Dan kemudian, katanya, di Brunov, Bunaparte berdiri! Sudah jelas bahwa dia idiot. Anda lebih banyak mendengarkan.
“Lihat, penyewa sialan! Perusahaan kelima, lihat, sudah berubah menjadi desa, mereka akan memasak bubur, dan kami belum mencapai tempat itu.
- Beri aku biskuit, sialan.
"Apakah kamu memberi tembakau kemarin?" Itu saja, saudara. Baiklah, Tuhan bersamamu.
- Kalau saja mereka berhenti, jika tidak, Anda tidak akan makan proprem lima mil lagi.
- Sangat menyenangkan bagaimana orang Jerman memberi kami kereta bayi. Anda pergi, tahu: itu penting!
- Dan di sini, saudara, orang-orang menjadi sangat panik. Di sana semuanya tampak seperti Kutub, semuanya dari mahkota Rusia; dan sekarang, saudaraku, seorang Jerman yang solid telah pergi.
- Penulis lagu di depan! - Saya mendengar teriakan kapten.
Dan dua puluh orang berlari keluar di depan perusahaan dari peringkat yang berbeda. Drummer bernyanyi berbalik menghadap buku lagu, dan, melambaikan tangannya, menyanyikan lagu tentara yang berlarut-larut, dimulai: "Bukankah fajar, matahari telah terbit ..." di Turki dan sekarang dinyanyikan di Austria, hanya dengan perubahan yang menggantikan "ayah Kamensky" kata-kata dimasukkan: "ayah Kutuzov."
Merobek kata-kata terakhir ini seperti seorang prajurit dan melambaikan tangannya seolah-olah dia sedang melempar sesuatu ke tanah, drummer, seorang prajurit yang kering dan tampan berusia sekitar empat puluh tahun, dengan tegas melihat sekeliling ke arah tentara penulis lagu dan menutup matanya. Kemudian, memastikan bahwa semua mata tertuju padanya, dia tampaknya dengan hati-hati mengangkat sesuatu yang tak terlihat, benda berharga di atas kepalanya dengan kedua tangannya, memegangnya seperti itu selama beberapa detik, dan tiba-tiba melemparkannya dengan putus asa:
Oh, Anda, kanopi saya, kanopi saya!
“Canopy my new…”, dua puluh suara diangkat, dan si tukang sendok, terlepas dari berat amunisinya, dengan cepat melompat ke depan dan berjalan mundur di depan kompi, menggerakkan bahunya dan mengancam seseorang dengan sendok. Para prajurit, mengayunkan tangan mereka mengikuti irama lagu, berjalan dengan langkah lebar, tanpa sadar memukul kaki. Di belakang rombongan terdengar suara roda, derak pegas, dan derap kuda.
Kutuzov dengan pengiringnya kembali ke kota. Panglima memberi isyarat bahwa orang-orang harus terus berjalan dengan bebas, dan kegembiraan terpancar di wajahnya dan di semua wajah pengiringnya saat mendengar lagu itu, saat melihat prajurit yang menari dan dengan riang dan cepat. tentara berbaris perusahaan. Di baris kedua, dari sayap kanan, dari mana kereta menyusul kompi, seorang prajurit bermata biru, Dolokhov, tanpa sadar menarik perhatian, yang berjalan dengan sangat cepat dan anggun mengikuti irama lagu dan memandangi wajah-wajah orang yang lewat dengan ekspresi seolah-olah dia menyesal untuk semua orang yang tidak pergi saat ini dengan perusahaan. Sebuah cornet prajurit berkuda dari rombongan Kutuzov, meniru komandan resimen, tertinggal di belakang kereta dan melaju ke Dolokhov.
Tentara berkuda Zherkov pada suatu waktu di St. Petersburg termasuk dalam masyarakat kekerasan yang dipimpin oleh Dolokhov. Zherkov bertemu Dolokhov di luar negeri sebagai seorang prajurit, tetapi tidak menganggap perlu untuk mengenalinya. Sekarang, setelah percakapan Kutuzov dengan yang diturunkan pangkatnya, dia menoleh kepadanya dengan kegembiraan seorang teman lama:
- Teman, apa kabar? - katanya saat mendengar lagu itu, menyamakan langkah kudanya dengan langkah rombongan.
- Aku seperti? - jawab Dolokhov dengan dingin, - seperti yang Anda lihat.
Lagu yang hidup itu sangat mementingkan nada keriangan nakal yang diucapkan Zherkov, dan dinginnya jawaban Dolokhov yang disengaja.
- Jadi, bagaimana Anda bergaul dengan pihak berwenang? tanya Zherkov.
Tidak ada, orang baik. Bagaimana Anda bisa masuk ke markas?
- Diperbantukan, aku sedang bertugas.
Mereka diam.
"Aku melepaskan elang dari lengan kananku," kata lagu itu, tanpa sadar membangkitkan perasaan ceria dan ceria. Percakapan mereka mungkin akan berbeda jika mereka tidak berbicara dengan suara lagu.
- Apa yang benar, Austria dipukuli? Dolokhov bertanya.
“Iblis tahu, kata mereka.
"Saya senang," jawab Dolokhov singkat dan jelas, seperti yang diminta lagu itu.
- Nah, datanglah kepada kami ketika di malam hari, firaun akan menggadaikan, - kata Zherkov.
Atau punya banyak uang?
- Datang.
- Ini dilarang. Dia memberikan sumpah. Saya tidak minum atau bermain sampai selesai.
Nah, sebelum hal pertama ...
- Anda akan melihatnya di sana.
Lagi-lagi mereka terdiam.
"Masuklah, jika Anda butuh sesuatu, semua orang di markas akan membantu ..." kata Zherkov.
Dolokhov terkekeh.
“Sebaiknya kau tidak khawatir. Apa yang saya butuhkan, saya tidak akan meminta, saya akan mengambilnya sendiri.
"Ya, aku sangat...
- Yah, aku juga.
- Selamat tinggal.
- Sehatlah…
... dan tinggi dan jauh,
Di pihak tuan rumah...
Zherkov memacu kudanya, yang tiga kali, menjadi bersemangat, menendang, tidak tahu harus mulai dari mana, mengatasi dan berlari kencang, menyalip kompi dan mengejar kereta, juga tepat waktu dengan lagu.

Sekembalinya dari peninjauan, Kutuzov, ditemani oleh seorang jenderal Austria, pergi ke kantornya dan, memanggil ajudan, memerintahkan untuk memberikan dirinya sendiri beberapa surat yang berkaitan dengan keadaan pasukan yang masuk, dan surat yang diterima dari Archduke Ferdinand, yang memimpin pasukan depan. . Pangeran Andrei Bolkonsky dengan surat-surat yang diperlukan memasuki kantor panglima tertinggi. Di depan denah yang diletakkan di atas meja, duduk Kutuzov dan seorang anggota Hofkriegsrat dari Austria.
"Ah ..." kata Kutuzov, melihat kembali ke Bolkonsky, seolah-olah dengan kata ini mengundang ajudan untuk menunggu, dan melanjutkan percakapan yang dimulai dalam bahasa Prancis.
"Saya hanya mengatakan satu hal, Jenderal," kata Kutuzov dengan ekspresi dan intonasi yang menyenangkan, memaksa seseorang untuk mendengarkan setiap kata yang diucapkan dengan santai. Jelaslah bahwa Kutuzov mendengarkan dirinya sendiri dengan senang hati. - Saya hanya mengatakan satu hal, Jenderal, bahwa jika masalah ini tergantung pada keinginan pribadi saya, maka kehendak Yang Mulia Kaisar Franz akan terpenuhi sejak lama. Saya akan bergabung dengan Archduke sejak lama. Dan percayalah kehormatan saya, bahwa bagi saya secara pribadi untuk mentransfer komando tentara yang lebih tinggi daripada saya kepada seorang jenderal yang berpengetahuan dan terampil, seperti Austria begitu banyak, dan untuk menyerahkan semua tanggung jawab berat ini bagi saya secara pribadi akan menjadi sukacita . Tapi keadaan lebih kuat dari kita, Jenderal.
Dan Kutuzov tersenyum dengan ekspresi seolah-olah dia berkata: "Kamu berhak untuk tidak mempercayaiku, dan bahkan aku tidak peduli apakah kamu percaya padaku atau tidak, tetapi kamu tidak punya alasan untuk mengatakan ini padaku. Dan itulah intinya."
Jenderal Austria itu tampak tidak puas, tetapi tidak bisa menjawab Kutuzov dengan nada yang sama.
"Sebaliknya," katanya dengan nada kesal dan marah, sangat bertentangan dengan makna menyanjung dari kata-kata yang diucapkan, "sebaliknya, partisipasi Yang Mulia dalam tujuan bersama sangat dihargai oleh Yang Mulia; tetapi kami percaya bahwa perlambatan nyata membuat pasukan Rusia yang agung dan komandan mereka kehilangan kemenangan yang biasa mereka tuai dalam pertempuran, ”dia menyelesaikan frasa yang tampaknya sudah disiapkan.
Kutuzov membungkuk tanpa mengubah senyumnya.
- Dan saya sangat yakin dan, berdasarkan surat terakhir bahwa Yang Mulia Archduke Ferdinand menghormati saya, saya berasumsi bahwa pasukan Austria, di bawah komando asisten terampil seperti Jenderal Mack, sekarang telah memenangkan kemenangan yang menentukan dan tidak lagi butuh bantuan kami, - kata Kutuzov.
Jenderal itu mengerutkan kening. Meskipun tidak ada berita positif tentang kekalahan Austria, ada terlalu banyak keadaan yang mengkonfirmasi rumor umum yang tidak menguntungkan; dan karena itu asumsi Kutuzov tentang kemenangan Austria sangat mirip dengan ejekan. Tetapi Kutuzov tersenyum lemah, semuanya dengan ekspresi yang sama yang mengatakan bahwa dia berhak untuk mengasumsikan ini. Memang, surat terakhir yang dia terima dari tentara Mack memberitahunya tentang kemenangan dan posisi strategis tentara yang paling menguntungkan.
"Beri aku surat ini di sini," kata Kutuzov, menoleh ke Pangeran Andrei. - Ini dia, jika Anda ingin melihatnya. - Dan Kutuzov, dengan senyum mengejek di ujung bibirnya, membaca bagian berikut dari surat Archduke Ferdinand dari jenderal Jerman-Austria: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Komunikasi Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit mit ganzer. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten, so er.” [Kami memiliki kekuatan yang terkonsentrasi penuh, sekitar 70.000 orang, sehingga kami dapat menyerang dan mengalahkan musuh jika dia melintasi Lech. Karena kita sudah memiliki Ulm, kita dapat mempertahankan keuntungan dari memimpin kedua tepi Danube, oleh karena itu, setiap menit, jika musuh tidak melewati Lech, seberangi Danube, bergegas ke jalur komunikasinya, seberangi Danube lebih rendah dan musuh , jika dia memutuskan untuk mengerahkan seluruh kekuatannya pada sekutu setia kita, untuk mencegah niatnya terpenuhi. Dengan demikian, kita akan dengan senang hati menunggu waktu ketika tentara kekaisaran Rusia benar-benar siap, dan kemudian bersama-sama kita akan dengan mudah menemukan kesempatan untuk mempersiapkan musuh untuk nasib yang layak diterimanya.

Linier (vektor) ruang adalah himpunan V dari elemen arbitrer, yang disebut vektor, di mana operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan bilangan didefinisikan, mis. dua vektor \mathbf(u) dan (\mathbf(v)) diberi vektor \mathbf(u)+\mathbf(v), disebut jumlah vektor \mathbf(u) dan (\mathbf(v)) , vektor apa pun (\mathbf(v)) dan sembarang bilangan \lambda dari bidang bilangan real \mathbb(R) ditetapkan sebagai vektor \lambda \mathbf(v), disebut hasil kali vektor \mathbf(v) dan bilangan \lambda ; sehingga kondisi berikut terpenuhi:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(komutatifitas penjumlahan);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(asosiasi penambahan);
3. ada elemen \mathbf(o)\dalam V , yang disebut vektor nol, sehingga \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. untuk setiap vektor (\mathbf(v)) ada sebuah vektor , yang disebut lawan dari vektor \mathbf(v) , sehingga \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ di \mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Kondisi 1-8 disebut aksioma ruang linier. Tanda sama dengan di antara vektor berarti bahwa elemen yang sama dari himpunan V disajikan di bagian kiri dan kanan persamaan, vektor tersebut disebut sama.

Dalam definisi ruang linier, operasi perkalian vektor dengan bilangan diperkenalkan untuk bilangan real. Ruang seperti itu disebut ruang linier di atas bidang bilangan real (nyata), atau, singkatnya, ruang linier nyata. Jika dalam definisi, alih-alih bidang \mathbb(R) bilangan real, kami mengambil bidang bilangan kompleks \mathbb(C) , maka kami memperoleh ruang linier di atas bidang bilangan kompleks, atau, singkatnya, ruang linier kompleks. Bidang \mathbb(Q) bilangan rasional juga dapat dipilih sebagai bidang bilangan, dan dalam hal ini kita memperoleh ruang linier di atas bidang bilangan rasional. Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang linier nyata akan dipertimbangkan. Dalam beberapa kasus, untuk singkatnya, kita akan berbicara tentang ruang, menghilangkan kata linier, karena semua ruang yang dipertimbangkan di bawah ini linier.

Keterangan 8.1

1. Aksioma 1-4 menunjukkan bahwa ruang linier merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

2. Aksioma 5 dan 6 menentukan distributivitas operasi perkalian vektor dengan bilangan terhadap operasi penjumlahan vektor (aksioma 5) atau operasi penjumlahan bilangan (aksioma 6). Aksioma 7, kadang-kadang disebut hukum asosiatif perkalian dengan bilangan, menyatakan hubungan antara dua operasi yang berbeda: perkalian vektor dengan bilangan dan perkalian bilangan. Properti yang didefinisikan oleh Aksioma 8 disebut kesatuan operasi perkalian vektor dengan angka.

3. Ruang linier adalah himpunan tak kosong, karena ruang tersebut harus mengandung vektor nol.

4. Operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan suatu bilangan disebut operasi linier pada vektor.

5. Selisih vektor \mathbf(u) dan \mathbf(v) adalah jumlah dari vektor \mathbf(u) dengan vektor lawan (-\mathbf(v)) dan dinotasikan dengan: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Dua buah vektor bukan nol \mathbf(u) dan \mathbf(v) disebut collinear (proporsional) jika terdapat bilangan \lambda sedemikian sehingga \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Konsep kolinearitas meluas ke sejumlah vektor yang terbatas. Vektor nol \mathbf(o) dianggap kolinear dengan sembarang vektor.

Konsekuensi dari aksioma ruang linier

1. Ada vektor nol unik dalam ruang linier.

2. Dalam ruang linier, untuk sembarang vektor \mathbf(v)\di V, ada vektor berlawanan yang unik (-\mathbf(v))\in V.

3. Produk dari vektor ruang arbitrer dan angka nol sama dengan vektor nol, yaitu. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\di V.

4. Hasil kali vektor nol dengan bilangan apa pun sama dengan vektor nol, yaitu untuk bilangan apa pun \lambda .

5. Vektor yang berlawanan dengan vektor ini sama dengan hasil kali vektor ini dengan bilangan (-1), yaitu. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Dalam ekspresi seperti \mathbf(a+b+\ldots+z)(jumlah dari sejumlah vektor yang terbatas) atau \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(produk dari vektor dengan sejumlah faktor yang terbatas) Anda dapat menempatkan tanda kurung dalam urutan apa pun, atau tidak sama sekali.

Mari kita buktikan, misalnya, dua sifat pertama. Keunikan vektor nol. Jika \mathbf(o) dan \mathbf(o)" adalah dua vektor nol, maka dengan aksioma 3 kita memperoleh dua persamaan: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" atau \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), yang bagian kirinya sama dengan aksioma 1. Oleh karena itu, bagian kanannya juga sama, mis. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Keunikan dari vektor yang berlawanan. Jika vektor \mathbf(v)\in V memiliki dua vektor yang berlawanan (-\mathbf(v)) dan (-\mathbf(v))" , maka dengan aksioma 2, 3,4 kita memperoleh persamaannya:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Sifat-sifat lainnya dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh Ruang Linier

1. Tunjukkan \(\mathbf(o)\) - himpunan yang berisi satu vektor nol, dengan operasi \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) dan \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Untuk operasi ini, aksioma 1-8 terpenuhi. Oleh karena itu, himpunan \(\mathbf(o)\) adalah ruang linier pada sembarang bidang bilangan. Ruang linier ini disebut null.

2. Tunjukkan V_1,\,V_2,\,V_3 - himpunan vektor (segmen berarah) pada garis lurus, pada bidang, dalam ruang, masing-masing, dengan operasi biasa untuk menambahkan vektor dan mengalikan vektor dengan angka. Pemenuhan aksioma 1-8 ruang linier mengikuti dari kursus geometri dasar. Oleh karena itu, himpunan V_1,\,V_2,\,V_3 adalah ruang linier nyata. Alih-alih vektor bebas, kita dapat mempertimbangkan himpunan vektor radius yang sesuai. Misalnya, sekumpulan vektor pada bidang yang memiliki asal yang sama, mis. diberhentikan dari satu titik tetap pesawat, adalah ruang linier nyata. Himpunan vektor jari-jari dari satuan panjang tidak membentuk ruang linier, karena untuk vektor-vektor ini jumlah \mathbf(v)+\mathbf(v) tidak termasuk dalam himpunan yang dipertimbangkan.

3. Dilambangkan \mathbb(R)^n - himpunan matriks-kolom berukuran n\kali1 dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan bilangan. Aksioma 1-8 dari ruang linier dipenuhi untuk himpunan ini. Vektor nol dalam himpunan ini adalah kolom nol o=\mulai(pmatriks)0&\cdots&0\akhir(pmatriks)^T. Oleh karena itu, himpunan \mathbb(R)^n adalah ruang linier nyata. Demikian pula, himpunan \mathbb(C)^n kolom berukuran n\times1 dengan entri kompleks adalah ruang linier kompleks. Himpunan matriks kolom dengan elemen real non-negatif, sebaliknya, bukan ruang linier, karena tidak mengandung vektor yang berlawanan.

4. Dilambangkan \(Ax=o\) - himpunan solusi dari sistem homogen Ax=o persamaan aljabar linier dengan dan tidak diketahui (di mana A adalah matriks nyata dari sistem), dianggap sebagai himpunan kolom ukuran n \times1 dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan bilangan . Perhatikan bahwa operasi ini memang didefinisikan pada set \(Ax=o\) . Sifat 1 dari solusi sistem homogen (lihat Bagian 5.5) menyiratkan bahwa jumlah dua solusi dari sistem homogen dan produk dari solusi dengan nomor juga solusi dari sistem homogen, yaitu, milik set \(Ax=o\) . Aksioma ruang linier untuk kolom terpenuhi (lihat poin 3 dalam contoh ruang linier). Oleh karena itu, himpunan solusi dari sistem homogen adalah ruang linier nyata.

Himpunan \(Ax=b\) solusi sistem tak homogen Ax=b,~b\ne o , sebaliknya, bukan ruang linier, jika hanya karena tidak mengandung elemen nol (x=o adalah bukan solusi untuk sistem tidak homogen).

5. Dilambangkan M_(m\kali n) - himpunan matriks berukuran m\kali n dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan bilangan. Aksioma 1-8 dari ruang linier dipenuhi untuk himpunan ini. Vektor nol adalah matriks nol O dari dimensi yang sesuai. Oleh karena itu, himpunan M_(m\kali n) adalah ruang linier.

6. Dinotasikan P(\mathbb(C)) - himpunan polinomial dalam satu variabel dengan koefisien kompleks. Operasi penjumlahan banyak suku dan perkalian polinomial dengan bilangan yang dianggap sebagai polinomial derajat nol didefinisikan dan memenuhi aksioma 1-8 (khususnya, vektor nol adalah polinomial yang identik sama dengan nol). Oleh karena itu, himpunan P(\mathbb(C)) adalah ruang linier di atas bidang bilangan kompleks. Himpunan P(\mathbb(R)) dari polinomial dengan koefisien real juga merupakan ruang linier (tetapi, tentu saja, di atas bidang bilangan real). Himpunan P_n(\mathbb(R)) dari polinomial berderajat paling banyak n dengan koefisien real juga merupakan ruang linier nyata. Perhatikan bahwa operasi penjumlahan banyak suku didefinisikan pada himpunan ini, karena derajat jumlah polinomial tidak melebihi pangkat penjumlahan.

Himpunan polinomial derajat n bukanlah ruang linier, karena jumlah polinomial tersebut dapat berubah menjadi polinomial dari derajat yang lebih rendah yang bukan milik himpunan yang sedang dipertimbangkan. Himpunan semua polinomial derajat paling banyak n dengan koefisien positif juga bukan ruang linier, karena ketika mengalikan polinomial tersebut dengan angka negatif, kita mendapatkan polinomial yang bukan milik himpunan ini.

7. Tunjukkan C(\mathbb(R)) - himpunan fungsi nyata yang didefinisikan dan kontinu pada \mathbb(R) . Jumlah (f+g) fungsi f,g dan hasil kali \lambda f dari fungsi f dan bilangan real \lambda ditentukan oleh persamaan:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) untuk semua x\in \mathbb(R)

Operasi-operasi ini memang didefinisikan pada C(\mathbb(R)) , karena jumlah fungsi kontinu dan produk dari fungsi kontinu dengan bilangan keduanya adalah fungsi kontinu, mis. elemen C(\mathbb(R)) . Mari kita periksa pemenuhan aksioma ruang linier. Komutatifitas penjumlahan bilangan real menyiratkan validitas persamaan f(x)+g(x)=g(x)+f(x) untuk setiap x\in \mathbb(R) . Oleh karena itu, f+g=g+f , yaitu. aksioma 1 terpenuhi. Aksioma 2 mengikuti sama dari asosiatif penambahan. Vektor nol adalah fungsi o(x) , identik sama dengan nol, yang tentu saja kontinu. Untuk sembarang fungsi f, persamaan f(x)+o(x)=f(x) benar, mis. aksioma 3 benar.Vektor lawan dari vektor f adalah fungsi (-f)(x)=-f(x) . Kemudian f+(-f)=o (aksioma 4 berlaku). Aksioma 5, 6 mengikuti dari distributifitas operasi penjumlahan dan perkalian bilangan real, dan aksioma 7 dari asosiasi perkalian bilangan. Aksioma terakhir berlaku, karena perkalian dengan satu tidak mengubah fungsi: 1\cdot f(x)=f(x) untuk x\in \mathbb(R) , mis. 1\cdot f=f . Jadi, himpunan C(\mathbb(R)) yang dipertimbangkan dengan operasi yang diperkenalkan adalah ruang linier nyata. Demikian pula, terbukti bahwa C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- set fungsi yang memiliki turunan kontinu dari yang pertama, kedua, dll. orde, masing-masing, juga merupakan ruang linier.

Dilambangkan dengan - himpunan binomial trigonometri (sering \omega\ne0 ) dengan koefisien nyata, yaitu, himpunan fungsi dari bentuk f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, di mana a\di \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Jumlah binomial tersebut dan produk binomial dengan bilangan real adalah binomial trigonometri. Aksioma ruang linier berlaku untuk himpunan yang ditinjau (karena T_(\omega)(\mathbb(R))\subset C(\mathbb(R))). Oleh karena itu, himpunan T_(\omega)(\mathbb(R)) dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa untuk fungsi, adalah ruang linier nyata. Elemen nol adalah binomial o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, identik sama dengan nol.

Himpunan fungsi real terdefinisi dan monoton pada \mathbb(R) bukanlah ruang linier, karena selisih dua fungsi monoton dapat berubah menjadi fungsi nonmonoton.

8. Tunjukkan \mathbb(R)^X - himpunan fungsi nyata yang didefinisikan pada himpunan X , dengan operasi:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Ini adalah ruang linier nyata (buktinya sama seperti pada contoh sebelumnya). Dalam hal ini, himpunan X dapat dipilih secara arbitrer. Secara khusus, jika X=\(1,2,\ltitik,n\), maka f(X) adalah himpunan bilangan terurut f_1,f_2,\ldots,f_n, di mana f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Himpunan seperti itu dapat dianggap sebagai matriks kolom dengan dimensi n\times1 , yaitu. banyak \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) bertepatan dengan himpunan \mathbb(R)^n (lihat item 3 untuk contoh ruang linier). Jika X=\mathbb(N) (ingat bahwa \mathbb(N) adalah himpunan bilangan asli), maka kita memperoleh ruang linier \mathbb(R)^(\mathbb(N))- set urutan numerik \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Secara khusus, himpunan barisan bilangan konvergen juga membentuk ruang linier, karena jumlah dari dua barisan konvergen konvergen, dan ketika kita mengalikan semua suku barisan konvergen dengan suatu bilangan, kita mendapatkan barisan konvergen. Sebaliknya, himpunan barisan divergen bukanlah ruang linier, karena, misalnya, jumlah barisan divergen dapat memiliki limit.

9. Tunjukkan \mathbb(R)^(+) - himpunan bilangan real positif di mana jumlah a\oplus b dan produk \lambda\ast a (notasi dalam contoh ini berbeda dari yang biasa) didefinisikan oleh persamaan: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), dengan kata lain, jumlah elemen dipahami sebagai produk angka, dan perkalian elemen dengan angka dipahami sebagai eksponensial. Kedua operasi tersebut memang didefinisikan pada himpunan \mathbb(R)^(+) , karena produk dari bilangan positif adalah bilangan positif dan pangkat nyata dari bilangan positif adalah bilangan positif. Mari kita periksa validitas aksioma. Persamaan

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

menunjukkan bahwa aksioma 1 dan 2 terpenuhi. Vektor nol dari himpunan ini adalah satu, karena a\oplus1=a\cdot1=a, yaitu o=1 . Lawan dari a adalah \frac(1)(a) , yang didefinisikan sebagai a\ne o . Memang, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Mari kita periksa pemenuhan aksioma 5, 6,7,8:

\begin(berkumpul) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(berkumpul)

Semua aksioma terpenuhi. Oleh karena itu, himpunan yang ditinjau adalah ruang linier nyata.

10. Biarkan V menjadi ruang linier nyata. Pertimbangkan himpunan fungsi skalar linier yang didefinisikan pada V, yaitu, fungsi f\colon V\ke \mathbb(R), mengambil nilai riil dan memenuhi kondisi:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \untuk semua u,v\in V(aditivitas);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(Homogenitas).

Operasi linier pada fungsi linier didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada paragraf 8 contoh ruang linier. Jumlah f+g dan hasil kali \lambda\cdot f didefinisikan oleh persamaan:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ di V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Pemenuhan aksioma ruang linier dikonfirmasi dengan cara yang sama seperti pada paragraf 8. Oleh karena itu, himpunan fungsi linier yang didefinisikan pada ruang linier V adalah ruang linier. Ruang ini disebut ganda dengan ruang V dan dilambangkan dengan V^(\ast) . Unsur-unsurnya disebut kovektor.

Misalnya, himpunan bentuk linier dari n variabel, yang dianggap sebagai himpunan fungsi skalar dari argumen vektor, adalah ruang linier ganda dengan ruang \mathbb(R)^n .

Jika Anda melihat kesalahan, salah ketik atau memiliki saran, tulis di komentar.

Sesuai dengan ruang vektor seperti itu. Beberapa penulis menyamakan ruang Euclidean dan pra-Hilbert. Dalam artikel ini, definisi pertama akan diambil sebagai definisi awal.

N (\gaya tampilan n)-dimensi ruang Euclidean biasanya dilambangkan E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); notasi juga sering digunakan ketika jelas dari konteks bahwa ruang disediakan dengan struktur Euclidean alami.

Definisi formal

Untuk mendefinisikan ruang Euclidean, paling mudah untuk mengambil sebagai konsep dasar dari produk titik. Ruang vektor Euclidean didefinisikan sebagai ruang vektor berdimensi hingga di atas bidang bilangan real, pada pasangan vektor yang fungsi bernilai realnya diberikan. (⋅ , ) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) dengan tiga sifat berikut:

Contoh ruang Euclidean - ruang koordinat R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) terdiri dari semua kemungkinan himpunan bilangan real (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) produk skalar yang ditentukan oleh rumus (x , y) = i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Panjang dan sudut

Produk skalar yang diberikan pada ruang Euclidean cukup untuk memperkenalkan konsep geometris panjang dan sudut. Panjang vektor u (\gaya tampilan u) didefinisikan sebagai (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))) dan dilambangkan | kamu | . (\gaya tampilan |u|.) Kepastian positif dari produk dalam menjamin bahwa panjang vektor bukan-nol adalah bukan-nol, dan mengikuti bilinearitas | kamu | = | sebuah | | kamu | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) yaitu, panjang vektor proporsional adalah proporsional.

Sudut antar vektor u (\gaya tampilan u) dan v (\gaya tampilan v) ditentukan oleh rumus = arccos ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\kanan).) Ini mengikuti dari teorema kosinus bahwa untuk ruang Euclidean dua dimensi ( pesawat euclidean) definisi sudut ini bertepatan dengan yang biasa. Vektor ortogonal, seperti dalam ruang tiga dimensi, dapat didefinisikan sebagai vektor, sudut di antaranya sama dengan 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz dan pertidaksamaan segitiga

Ada satu celah tersisa dalam definisi sudut yang diberikan di atas: untuk arccos ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) didefinisikan, perlu bahwa ketidaksetaraan | (x, y) | x | | y | | 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Ketimpangan ini memang berlaku dalam ruang Euclidean yang arbitrer, disebut pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz. Pertidaksamaan ini, pada gilirannya, menyiratkan ketidaksetaraan segitiga: | u+v | | kamu | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Pertidaksamaan segitiga, bersama dengan properti panjang yang tercantum di atas, berarti bahwa panjang vektor adalah norma pada ruang vektor Euclidean, dan fungsi d(x,y) = | x y | (\gaya tampilan d(x,y)=|x-y|) mendefinisikan struktur ruang metrik pada ruang Euclidean (fungsi ini disebut metrik Euclidean). Secara khusus, jarak antar elemen (titik) x (\gaya tampilan x) dan y (\gaya tampilan y) koordinat ruang R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) diberikan oleh rumus d (x , y) = x y = i = 1 n (x i y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Sifat aljabar

Basa ortonormal

Ruang ganda dan operator

Vektor apa saja x (\gaya tampilan x) Ruang Euclidean mendefinisikan fungsi linier x (\gaya tampilan x^(*)) pada ruang ini, didefinisikan sebagai x (y) = (x , y) . (\gaya tampilan x^(*)(y)=(x,y).) Perbandingan ini merupakan isomorfisme antara ruang Euclidean dan ruang gandanya dan memungkinkan mereka untuk diidentifikasi tanpa mengorbankan perhitungan. Secara khusus, operator adjoint dapat dianggap bertindak pada ruang asli, dan bukan pada dualnya, dan operator self-adjoint dapat didefinisikan sebagai operator yang bertepatan dengan operator adjointnya. Dalam basis ortonormal, matriks operator adjoint ditransposisikan ke matriks operator asal, dan matriks operator self-adjoint simetris.

Gerakan ruang Euclidean

Gerakan ruang Euclidean adalah transformasi metrik-melestarikan (juga disebut isometri). Contoh Gerak - Terjemahan Paralel ke Vektor v (\gaya tampilan v), yang menerjemahkan intinya p (\gaya tampilan p) tepat p+v (\gaya tampilan p+v). Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap gerakan adalah komposisi terjemahan paralel dan transformasi yang menjaga satu titik tetap. Dengan memilih titik tetap sebagai asal, setiap gerakan seperti itu dapat dianggap sebagai

Kuliah 6. Ruang vektor.

pertanyaan utama.

1. Ruang linier vektor.

2. Dasar dan dimensi ruang.

3. Orientasi ruang.

4. Penguraian vektor dalam bentuk basis.

5. Koordinat vektor.

1. Ruang linier vektor.

Himpunan yang terdiri dari elemen apa pun, di mana operasi linier didefinisikan: penambahan dua elemen dan perkalian elemen dengan angka disebut spasi, dan elemennya adalah vektor ruang ini dan dilambangkan dengan cara yang sama seperti besaran vektor dalam geometri: . Vektor ruang abstrak seperti itu, sebagai suatu peraturan, tidak memiliki kesamaan dengan vektor geometris biasa. Elemen-elemen ruang abstrak dapat berupa fungsi, sistem bilangan, matriks, dll., dan dalam kasus tertentu, vektor biasa. Oleh karena itu, ruang seperti itu disebut ruang vektor .

Ruang vektor adalah, Misalnya, himpunan vektor collinear, dilambangkan dengan V1 , himpunan vektor-vektor koplanar V2 , himpunan vektor biasa (ruang nyata) V3 .

Untuk kasus khusus ini, kita dapat memberikan definisi ruang vektor berikut.

Definisi 1. Himpunan vektor disebut ruang vektor, jika kombinasi linier dari sembarang vektor himpunan juga merupakan vektor dari himpunan ini. Vektor itu sendiri disebut elemen ruang vektor.

Yang lebih penting baik secara teori maupun aplikasi adalah konsep umum (abstrak) dari ruang vektor.

Definisi 2. Banyak R elemen , di mana untuk dua elemen dan jumlahnya ditentukan dan untuk elemen apa pun https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> disebut vektor(atau linier) ruang angkasa, dan elemen-elemennya adalah vektor, jika operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan suatu bilangan memenuhi kondisi berikut ( aksioma) :

1) penambahan bersifat komutatif, mis..gif" width="184" height="25">;

3) ada elemen seperti itu (vektor nol) sehingga untuk setiap https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"tinggi="27">;

5) untuk setiap vektor dan dan setiap nomor , persamaan berlaku;

6) untuk vektor dan angka apa pun λ dan µ kesetaraan valid https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dan angka apa pun λ dan µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Dari aksioma yang mendefinisikan ruang vektor, ikuti yang paling sederhana konsekuensi :

1. Dalam ruang vektor, hanya ada satu nol - elemen - vektor nol.

2. Dalam ruang vektor, setiap vektor memiliki satu vektor berlawanan yang unik.

3. Untuk setiap elemen, persamaan terpenuhi.

4. Untuk sembarang bilangan real λ dan vektor nol https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> adalah vektor yang memenuhi persamaan https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Jadi, memang, himpunan semua vektor geometris juga merupakan ruang (vektor) linier, karena untuk elemen-elemen himpunan ini, tindakan penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan didefinisikan yang memenuhi aksioma yang dirumuskan.

2. Dasar dan dimensi ruang.

Konsep penting dari ruang vektor adalah konsep dasar dan dimensi.

Definisi. Himpunan vektor bebas linier, yang diambil dalam urutan tertentu, di mana setiap vektor ruang dinyatakan secara linier, disebut dasar ruang ini. Vektor. Ruang-ruang yang membentuk basis disebut dasar .

Basis dari himpunan vektor yang terletak pada garis sembarang dapat dianggap satu kolinear terhadap vektor garis ini .

Dasar di pesawat sebut saja dua vektor non-kolinier pada bidang ini, diambil dalam urutan tertentu https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Jika vektor-vektor basisnya tegak lurus berpasangan (ortogonal), maka basisnya disebut ortogonal, dan jika vektor-vektor ini memiliki panjang sama dengan satu, maka basisnya disebut ortonormal .

Banyaknya vektor bebas linier terbesar dalam ruang disebut dimensi ruang ini, yaitu, dimensi ruang bertepatan dengan jumlah vektor basis ruang ini.

Jadi, menurut definisi ini:

1. Ruang satu dimensi V1 adalah garis lurus, dan basisnya terdiri dari satu collinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ruang biasa adalah ruang tiga dimensi V3 , yang dasarnya terdiri dari tiga non-coplanar vektor.

Dari sini kita melihat bahwa jumlah vektor basis pada garis lurus, pada bidang, dalam ruang nyata bertepatan dengan apa yang biasa disebut dalam geometri jumlah dimensi (dimensi) dari garis lurus, bidang, ruang. Oleh karena itu, wajar untuk memperkenalkan definisi yang lebih umum.

Definisi. ruang vektor R ditelepon n- dimensi jika mengandung paling banyak n vektor bebas linier dan dilambangkan R n. Nomor n ditelepon dimensi ruang angkasa.

Sesuai dengan dimensi ruang dibagi menjadi: berdimensi terbatas dan dimensi tak terbatas. Dimensi ruang nol, menurut definisi, diasumsikan nol.

Catatan 1. Di setiap ruang, Anda dapat menentukan basis sebanyak yang Anda suka, tetapi semua basis ruang ini terdiri dari jumlah vektor yang sama.

Catatan 2. PADA n- dalam ruang vektor dimensional, basis adalah kumpulan terurut apa pun n vektor bebas linier.

3. Orientasi ruang.

Biarkan vektor dasar dalam ruang V3 memiliki awal yang sama dan dipesan, yaitu ditunjukkan vektor mana yang dianggap sebagai yang pertama, yang mana - yang kedua dan yang mana - yang ketiga. Misalnya, dalam basis, vektor diurutkan menurut indeksasi.

Untuk untuk mengorientasikan ruang, perlu untuk menetapkan beberapa dasar dan menyatakannya positif .

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua basis suatu ruang terbagi dalam dua kelas, yaitu menjadi dua himpunan bagian yang tidak berpotongan.

a) semua basis milik satu subset (kelas) memiliki sama orientasi (dasar dengan nama yang sama);

b) setiap dua basis milik berbagai himpunan bagian (kelas), memiliki di depan orientasi, ( nama yang berbeda pangkalan).

Jika salah satu dari dua kelas basis suatu ruang dinyatakan positif dan yang lainnya negatif, maka kita katakan bahwa ruang ini berorientasi .

Seringkali, ketika mengorientasikan ruang, beberapa pangkalan disebut Baik, sementara yang lain adalah kiri .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> disebut Baik, jika saat mengamati dari akhir vektor ketiga, rotasi terpendek dari vektor pertama https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> dilakukan berlawanan arah jarum jam(Gbr. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Beras. 1.8. Basis kanan (a) dan basis kiri (b)

Biasanya dasar kanan ruang dinyatakan sebagai basis positif

Basis ruang kanan (kiri) juga dapat ditentukan menggunakan aturan sekrup atau gimlet "kanan" ("kiri").

Dengan analogi dengan ini, konsep kanan dan kiri kembar tiga vektor non-komplementer yang harus dipesan (Gbr. 1.8).

Jadi, dalam kasus umum, dua rangkap tiga vektor non-coplanar memiliki orientasi yang sama (mereka memiliki nama yang sama) dalam ruang V3 jika keduanya kanan atau keduanya kiri, dan - orientasi berlawanan (berlawanan), jika salah satunya benar dan yang lain kiri.

Hal yang sama dilakukan dalam kasus ruang V2 (pesawat).

4. Penguraian vektor dalam bentuk basis.

Untuk mempermudah penalaran, kami akan mempertimbangkan pertanyaan ini menggunakan contoh ruang vektor tiga dimensi R3 .

Biarkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> menjadi vektor arbitrer dari ruang ini.