In questo articolo, mostreremo come definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di angolo e numero in trigonometria. Qui parleremo di notazione, forniremo esempi di record, forniremo illustrazioni grafiche. In conclusione, tracciamo un parallelo tra le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente in trigonometria e geometria.

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Definizione di seno, coseno, tangente e cotangente

Seguiamo come si forma il concetto di seno, coseno, tangente e cotangente nel corso di matematica della scuola. Nelle lezioni di geometria viene data la definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. E successivamente si studia la trigonometria, che si riferisce al seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione e del numero. Diamo tutte queste definizioni, diamo esempi e diamo i commenti necessari.

Angolo acuto in un triangolo rettangolo

Dal corso della geometria sono note le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. Sono dati come rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo. Vi presentiamo le loro formulazioni.

Definizione.

Seno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa.

Definizione.

Coseno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

Definizione.

Tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

Definizione.

Cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

Lì viene introdotta anche la notazione di seno, coseno, tangente e cotangente, rispettivamente sin, cos, tg e ctg.

Ad esempio, se ABC è un triangolo rettangolo con angolo retto C, allora il seno dell'angolo acuto A è uguale al rapporto tra la gamba opposta BC e l'ipotenusa AB, cioè sin∠A=BC/AB.

Queste definizioni consentono di calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto dalle lunghezze note dei lati di un triangolo rettangolo, nonché dai valori noti di seno, coseno, tangente, cotangente e la lunghezza di uno dei lati, trova le lunghezze degli altri lati. Ad esempio, se sapessimo che in un triangolo rettangolo la gamba AC è 3 e l'ipotenusa AB è 7 , allora potremmo calcolare il coseno dell'angolo acuto A per definizione: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Angolo di rotazione

Nella trigonometria, iniziano a guardare l'angolo in modo più ampio: introducono il concetto di angolo di rotazione. L'angolo di rotazione, a differenza di un angolo acuto, non è limitato a fotogrammi da 0 a 90 gradi, l'angolo di rotazione in gradi (e in radianti) può essere espresso da qualsiasi numero reale da −∞ a +∞.

In questa luce, le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente non sono più un angolo acuto, ma un angolo di grandezza arbitraria: l'angolo di rotazione. Sono dati attraverso le coordinate xey del punto A 1 , in cui passa il cosiddetto punto iniziale A(1, 0) dopo aver ruotato di un angolo α attorno al punto O - l'inizio di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari e il centro della circonferenza unitaria.

Definizione.

Seno di angolo di rotazioneα è l'ordinata del punto A 1 , cioè sinα=y .

Definizione.

coseno dell'angolo di rotazioneα è detta ascissa del punto A 1 , cioè cosα=x .

Definizione.

Tangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 e la sua ascissa, cioè tgα=y/x .

Definizione.

La cotangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 e la sua ordinata, cioè ctgα=x/y .

Il seno e il coseno sono definiti per qualsiasi angolo α, poiché possiamo sempre determinare l'ascissa e l'ordinata del punto, che si ottiene ruotando il punto iniziale dell'angolo α. E tangente e cotangente non sono definiti per nessun angolo. La tangente non è definita per tali angoli α in cui il punto iniziale va ad un punto con ascisse zero (0, 1) o (0, −1) , e questo avviene ad angoli 90°+180° k , k∈Z (π /2+π krad). Infatti, a tali angoli di rotazione, l'espressione tgα=y/x non ha senso, poiché contiene una divisione per zero. Per quanto riguarda la cotangente, non è definita per tali angoli α in cui il punto di partenza va in un punto con ordinata zero (1, 0) o (−1, 0) , e questo è il caso per angoli 180° k , k ∈Z (π krad).

Quindi, il seno e il coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione, la tangente è definita per tutti gli angoli tranne 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) e la cotangente è per tutti gli angoli tranne 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Le notazioni a noi già note compaiono nelle definizioni sin, cos, tg e ctg, sono usate anche per denotare seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione (a volte si può trovare la notazione tan e cot corrispondente a tangente e cotangente). Quindi il seno dell'angolo di rotazione di 30 gradi può essere scritto come sin30°, i record tg(−24°17′) e ctgα corrispondono alla tangente dell'angolo di rotazione −24 gradi 17 minuti e alla cotangente dell'angolo di rotazione α . Ricordiamo che quando si scrive la misura in radianti di un angolo, la notazione "rad" viene spesso omessa. Ad esempio, il coseno di un angolo di rotazione di tre pi rad è solitamente indicato con cos3 π .

In conclusione di questo paragrafo, vale la pena notare che quando si parla di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione, si omette spesso la frase “angolo di rotazione” o la parola “rotazione”. Cioè, invece della frase "seno dell'angolo di rotazione alfa", viene solitamente utilizzata la frase "seno dell'angolo di alfa", o anche più breve - "seno di alfa". Lo stesso vale per coseno, tangente e cotangente.

Diciamo anche che le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo sono coerenti con le definizioni appena date per seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di rotazione compreso tra 0 e 90 gradi. Lo sosterremo.

Numeri

Definizione.

Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero t è un numero uguale rispettivamente a seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione in t radianti.

Ad esempio, il coseno di 8 π è, per definizione, un numero uguale al coseno di un angolo di 8 π rad. E il coseno dell'angolo in 8 π rad è uguale a uno, quindi il coseno del numero 8 π è uguale a 1.

C'è un altro approccio alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero. Consiste nel fatto che a ciascun numero reale t viene assegnato un punto della circonferenza unitaria centrato all'origine del sistema di coordinate rettangolari, e attraverso le coordinate di questo punto si determinano seno, coseno, tangente e cotangente. Soffermiamoci su questo in modo più dettagliato.

Mostriamo come si stabilisce la corrispondenza tra numeri reali e punti della circonferenza:

• al numero 0 viene assegnato il punto di partenza A(1, 0) ;
• un numero positivo t è associato ad un punto della circonferenza unitaria, a cui si arriva se ci muoviamo dal punto di partenza in senso antiorario lungo la circonferenza e percorriamo un percorso di lunghezza t;
• un numero negativo t è associato ad un punto della circonferenza unitaria, a cui si arriva se ci muoviamo dal punto di partenza in senso orario lungo la circonferenza e percorriamo un percorso di lunghezza |t| .

Passiamo ora alle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente del numero t. Assumiamo che il numero t corrisponda ad un punto del cerchio A 1 (x, y) (ad esempio, il numero &pi/2; corrisponde al punto A 1 (0, 1) ).

Definizione.

Il seno di un numero t è l'ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t , cioè sint=y .

Definizione.

Il coseno di un numero t è detta ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t , cioè cost=x .

Definizione.

Tangente di un numero t è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè tgt=y/x. In un'altra formulazione equivalente, la tangente del numero t è il rapporto tra il seno di questo numero e il coseno, cioè tgt=sint/costo .

Definizione.

Cotangente di un numero t è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè ctgt=x/y. Un'altra formulazione è la seguente: la tangente del numero t è il rapporto tra il coseno del numero t e il seno del numero t : ctgt=costo/sint .

Qui notiamo che le definizioni appena fornite concordano con la definizione data all'inizio di questa sottosezione. Infatti, il punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t coincide con il punto ottenuto ruotando il punto iniziale di un angolo di t radianti.

Vale anche la pena chiarire questo punto. Diciamo che abbiamo una voce sin3. Come capire se è in questione il seno del numero 3 o il seno dell'angolo di rotazione di 3 radianti? Questo di solito è chiaro dal contesto, altrimenti probabilmente non ha importanza.

Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico

Secondo le definizioni date nel paragrafo precedente, ad ogni angolo di rotazione α corrisponde un valore ben definito di sinα, nonché il valore di cosα. Inoltre, tutti gli angoli di rotazione diversi da 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) corrispondono ai valori tgα , e diversi da 180° k , k∈Z (π k rad ) sono i valori di ctga. Quindi sinα, cosα, tga e ctga sono funzioni dell'angolo α. In altre parole, queste sono funzioni dell'argomento angolare.

Allo stesso modo, possiamo parlare delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente di un argomento numerico. Ad ogni numero reale t corrisponde infatti un valore ben definito di sint , oltre che di costo . Inoltre, tutti i numeri diversi da π/2+π·k , k∈Z corrispondono ai valori tgt e i numeri π·k , k∈Z corrispondono ai valori ctgt .

Vengono chiamate le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente funzioni trigonometriche di base.

Di solito è chiaro dal contesto che si tratta di funzioni trigonometriche di un argomento angolare o di un argomento numerico. Altrimenti, possiamo considerare la variabile indipendente sia come una misura dell'angolo (l'argomento dell'angolo) che come un argomento numerico.

Tuttavia, la scuola studia principalmente le funzioni numeriche, cioè le funzioni i cui argomenti, così come i corrispondenti valori delle funzioni, sono numeri. Pertanto, se noi stiamo parlando nello specifico delle funzioni, è opportuno considerare le funzioni trigonometriche come funzioni di argomenti numerici.

Collegamento di definizioni da geometria e trigonometria

Se consideriamo l'angolo di rotazione α da 0 a 90 gradi, i dati nel contesto della trigonometria della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione sono pienamente coerenti con le definizioni di seno, coseno , tangenti e cotangenti di un angolo acuto in un triangolo rettangolo, che sono date nel corso di geometria. Confermiamo questo.

Disegna un cerchio unitario nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxy. Notare il punto di partenza A(1, 0) . Ruotiamolo di un angolo α compreso tra 0 e 90 gradi, otteniamo il punto A 1 (x, y) . Lasciamo cadere la perpendicolare A 1 H dal punto A 1 all'asse Ox.

È facile vedere che in un triangolo rettangolo l'angolo A 1 OH è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba OH adiacente a tale angolo è uguale all'ascissa del punto A 1, cioè |OH |=x, la lunghezza della gamba A 1 H opposta all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1 , cioè |A 1 H|=y , e la lunghezza dell'ipotenusa OA 1 è uguale a uno , poiché è il raggio della circonferenza unitaria. Quindi, per definizione dalla geometria, il seno di un angolo acuto α in un triangolo rettangolo A 1 OH è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa, cioè sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . E per definizione dalla trigonometria, il seno dell'angolo di rotazione α è uguale all'ordinata del punto A 1, cioè sinα=y. Ciò dimostra che la definizione del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è equivalente alla definizione del seno dell'angolo di rotazione α per α da 0 a 90 gradi.

Allo stesso modo, si può dimostrare che le definizioni di coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto α sono coerenti con le definizioni di coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione α.

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USARE per 4? Non stai scoppiando di felicità?

La domanda, come si suol dire, è interessante... Puoi, puoi passarne 4! E allo stesso tempo, non scoppiare ... La condizione principale è esercitarsi regolarmente. Ecco la preparazione di base per l'esame di matematica. Con tutti i segreti e i misteri dell'Esame di stato unificato, di cui non leggerai sui libri di testo... Studia questa sezione, risolvi più compiti da varie fonti e tutto funzionerà! Si presume che la sezione di base "Basta per te e tre!" non ti crea alcun problema. Ma se all'improvviso... Segui i link, non essere pigro!

E inizieremo con un argomento grande e terribile.

Trigonometria

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Questo argomento crea molti problemi agli studenti. È considerato uno dei più gravi. Cosa sono seno e coseno? Cos'è tangente e cotangente? Cos'è un cerchio di numeri? Vale la pena porre queste domande innocue, poiché una persona impallidisce e cerca di deviare la conversazione di lato ... Ma invano. Questi sono concetti semplici. E questo argomento non è più difficile di altri. Devi solo capire chiaramente le risposte a queste stesse domande fin dall'inizio. È molto importante. Se l'hai capito, ti piacerà la trigonometria. Così,

Cosa sono seno e coseno? Cos'è tangente e cotangente?

Partiamo dai tempi antichi. Non preoccuparti, passeremo attraverso tutti i 20 secoli di trigonometria in 15 minuti e, impercettibilmente per noi stessi, ripeteremo un pezzo di geometria dal grado 8.

Disegna un triangolo rettangolo con i lati a, b, c e angolo X. Eccone uno.

Lascia che ti ricordi che i lati che formano un angolo retto sono chiamati gambe. a e c- pattini. Ce ne sono due. L'altro lato è chiamato ipotenusa. Con- ipotenusa.

Triangolo e triangolo, pensaci! Cosa fare con lui? Ma gli antichi sapevano cosa fare! Ripetiamo le loro azioni. Misuriamo il lato v. Nella figura, le celle sono appositamente disegnate, come accade nei compiti dell'esame. Lato vè uguale a quattro celle. OK. Misuriamo il lato un. Tre cellule.

Ora dividiamo la lunghezza del lato un per lunghezza lato v. Oppure, come si suol dire, prendiamo l'atteggiamento un a v. AC= 3/4.

In alternativa, puoi condividere v sul un. Otteniamo 4/3. Può v dividi per Con. ipotenusa Con non contiamo per celle, ma è uguale a 5. Otteniamo AC= 4/5. In breve, puoi dividere le lunghezze dei lati l'una dall'altra e ottenere dei numeri.

E allora? Qual è il significato di questa interessante attività? Finora nessuno. Un lavoro stupido, a dire il vero.)

E ora facciamolo. Allarghiamo il triangolo. Allarghiamo i lati verso e da, ma in modo che il triangolo rimanga rettangolo. Iniezione X, ovviamente, non cambia. Per vederlo, passa il mouse sopra l'immagine o toccala (se hai un tablet). Feste a, b e c trasformarsi in m, n, k e, naturalmente, le lunghezze dei lati cambieranno.

Ma la loro relazione non lo è!

Atteggiamento AC Era: AC= 3/4, è diventato m/n= 6/8 = 3/4. Rapporti anche con altri soggetti rilevanti non cambierà . Puoi modificare arbitrariamente le lunghezze dei lati in un triangolo rettangolo, aumentare, diminuire, senza modificare l'angolo x – il rapporto delle rispettive parti non cambierà . Puoi controllare, o puoi prendere la parola degli antichi.

Ora questo è molto importante! I rapporti dei lati di un triangolo rettangolo non dipendono in alcun modo dalle lunghezze dei lati (a parità di angolo). Questo è così importante che i rapporti delle parti si sono guadagnati nomi speciali. I loro nomi, per così dire.) Fate conoscenza.

Qual è il seno dell'angolo x ? Questo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:

sinx = a/c

Qual è il coseno dell'angolo x ? Questo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:

Conosx= AC

Qual è la tangente dell'angolo x ? Questo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:

tgx=AC

Qual è la cotangente dell'angolo x ? Questo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:

ctgx = in/a

Tutto è molto semplice. Seno, coseno, tangente e cotangente sono alcuni numeri. Senza dimensione. Solo numeri. Per ogni angolo: il proprio.

Perché mi ripeto così noiosamente? Allora cos'è bisogno di ricordare. Ricorda ironicamente. La memorizzazione può essere facilitata. La frase "Ripartiamo da lontano..." vi è familiare? Quindi parti da lontano.

Seno l'angolo è il rapporto distante dall'angolo della gamba all'ipotenusa. Cosenoè il rapporto tra il più vicino all'ipotenusa.

Tangente l'angolo è il rapporto distante dall'angolo del catetere al più vicino. Cotangente- viceversa.

Già più facile, giusto?

Bene, se ricordi che solo le gambe si trovano nella tangente e nella cotangente e l'ipotenusa appare nel seno e nel coseno, tutto diventerà abbastanza semplice.

Viene anche chiamata tutta questa gloriosa famiglia: seno, coseno, tangente e cotangente funzioni trigonometriche.

E ora una domanda da considerare.

Perché diciamo seno, coseno, tangente e cotangente angolo? Stiamo parlando del rapporto tra le parti, come... Con cosa c'entra iniezione?

Diamo un'occhiata alla seconda immagine. Esattamente uguale al primo.

Passa il mouse sopra l'immagine. Ho cambiato l'angolo X. ingrandito da da x a x. Tutti i rapporti sono cambiati! Atteggiamento AC era 3/4 e il rapporto corrispondente lattinaè diventato 6/4.

E tutte le altre relazioni sono diventate diverse!

Pertanto, i rapporti dei lati non dipendono in alcun modo dalle loro lunghezze (ad un angolo x), ma dipendono nettamente proprio da questo angolo! E solo da lui. Pertanto, i termini seno, coseno, tangente e cotangente si riferiscono angolo. L'angolo qui è quello principale.

Bisogna ironicamente capire che l'angolo è indissolubilmente legato alle sue funzioni trigonometriche. Ogni angolo ha il suo seno e coseno. E quasi tutti hanno la propria tangente e cotangente.È importante. Si ritiene che se ci viene dato un angolo, allora il suo seno, coseno, tangente e cotangente sappiamo ! E viceversa. Dato un seno, o qualsiasi altra funzione trigonometrica, conosciamo l'angolo.

Esistono tabelle speciali dove per ogni angolo vengono scritte le sue funzioni trigonometriche. Vengono chiamati i tavoli Bradys. Sono stati realizzati per molto tempo. Quando non c'erano calcolatrici o computer...

Naturalmente non è possibile memorizzare le funzioni trigonometriche di tutti gli angoli. Hai solo bisogno di conoscerli per alcune angolazioni, ne parleremo più avanti. Ma l'incantesimo Conosco un angolo, quindi conosco le sue funzioni trigonometriche" - funziona sempre!

Quindi abbiamo ripetuto un pezzo di geometria della terza media. Ci serve per l'esame? Necessario. Ecco un tipico problema dell'esame. Per la soluzione di cui è sufficiente l'ottavo grado. Immagine data:

Qualunque cosa. Non ci sono più dati. Dobbiamo trovare la lunghezza della gamba BC.

Le celle aiutano poco, il triangolo è in qualche modo posizionato in modo errato .... Apposta, immagino ... Dalle informazioni c'è la lunghezza dell'ipotenusa. 8 celle. Per qualche ragione, viene fornito un angolo.

Qui dobbiamo subito ricordare la trigonometria. C'è un angolo, quindi conosciamo tutte le sue funzioni trigonometriche. Quale funzione delle quattro dovrebbe essere messa in atto? Vediamo cosa sappiamo, vero? Conosciamo l'ipotenusa, l'angolo, ma dobbiamo trovarlo adiacente a questo angolo catet! Chiaramente, il coseno deve essere messo in atto! Qui stiamo lanciando. Scriviamo semplicemente, per definizione di coseno (rapporto adiacente gamba all'ipotenusa):

cosC = BC/8

L'angolo C è 60 gradi e il suo coseno è 1/2. Devi sapere questo, senza tavoli! Questo è:

1/2 = sole/8

Equazione lineare elementare. Sconosciuto - sole. Chi ha dimenticato come risolvere le equazioni, fai una passeggiata sul link, il resto risolvi:

sole = 4

Quando gli antichi si resero conto che ogni angolo ha il proprio insieme di funzioni trigonometriche, si ponevano una domanda ragionevole. Seno, coseno, tangente e cotangente non sono in qualche modo correlati tra loro? In modo che conoscendo una funzione dell'angolo, puoi trovare il resto? Senza calcolare l'angolo stesso?

Ecco come erano irrequieti ...)

Collegamento tra funzioni trigonometriche di un angolo.

Naturalmente, seno, coseno, tangente e cotangente dello stesso angolo sono correlati. Qualsiasi connessione tra le espressioni è data in matematica da formule. Nella trigonometria, ci sono un numero enorme di formule. Ma qui vedremo quelli più basilari. Queste formule sono chiamate: identità trigonometriche di base. Eccoli:

Queste formule devono conoscere il ferro. Senza di loro, non c'è niente da fare in trigonometria. Altre tre identità ausiliarie derivano da queste identità di base:

Ti avverto immediatamente che le ultime tre formule cadono rapidamente dalla memoria. Per qualche ragione.) Ovviamente puoi derivare queste formule dalle prime tre. Ma, in un momento difficile... Capisci.)

In attività standard come quelle seguenti, c'è un modo per aggirare queste formule dimenticabili. E ridurre drasticamente gli errori per dimenticanza, e anche nei calcoli. Questa pratica si trova nella sezione 555, lezione "Relazione tra funzioni trigonometriche di un angolo".

In quali compiti e come vengono utilizzate le identità trigonometriche di base? Il compito più popolare è trovare una qualche funzione dell'angolo, se ne viene data un'altra. Nell'esame, tale compito è presente di anno in anno.) Ad esempio:

Trova il valore di sinx se x è un angolo acuto e cosx=0,8.

Il compito è quasi elementare. Stiamo cercando una formula in cui ci sono seno e coseno. Ecco quella formula:

peccato 2 x + cos 2 x = 1

Sostituiamo qui un valore noto, ovvero 0,8 al posto del coseno:

peccato 2 x + 0,8 2 = 1

Bene, consideriamo, come al solito:

peccato 2 x + 0,64 = 1

peccato 2 x \u003d 1 - 0,64

Qui, quasi tutto. Abbiamo calcolato il quadrato del seno, resta da estrarre la radice quadrata e la risposta è pronta! La radice di 0,36 è 0,6.

Il compito è quasi elementare. Ma qui la parola "quasi" non è vana... Sta di fatto che anche la risposta sinx = - 0.6 è adatta... (-0.6) 2 sarà anche 0.36.

Si ottengono due risposte differenti. E ne hai bisogno. Il secondo è sbagliato. Come essere!? Sì, come al solito.) Leggi attentamente il compito. Per qualche motivo si dice... se x è un angolo acuto... E nelle attività, ogni parola ha un significato, sì ... Questa frase è un'informazione aggiuntiva per la soluzione.

Un angolo acuto è un angolo inferiore a 90°. E a tali angoli tutto funzioni trigonometriche - sia seno che coseno e tangenti con cotangente - positivo. Quelli. scartiamo semplicemente la risposta negativa qui. Abbiamo il diritto.

In realtà, gli studenti di terza media non hanno bisogno di tali sottigliezze. Funzionano solo con triangoli rettangoli, dove gli angoli possono essere solo acuti. E non sanno, felici, che ci sono angoli negativi e angoli di 1000 ° ... E tutti questi angoli da incubo hanno le loro funzioni trigonometriche sia con più che con meno ...

Ma per gli studenti delle scuole superiori senza tener conto del segno, non c'è modo. Molte conoscenze moltiplicano i dolori, sì...) E per la soluzione corretta, il compito deve contenere informazioni aggiuntive (se necessario). Ad esempio, potrebbe essere dato come:

O in qualche altro modo. Vedrai negli esempi seguenti.) Per risolvere tali esempi, devi sapere in quale quarto cade l'angolo dato x e quale segno ha la funzione trigonometrica desiderata in questo quarto.

Queste basi della trigonometria sono discusse nelle lezioni cos'è un cerchio trigonometrico, il conteggio degli angoli su questo cerchio, la misura in radianti di un angolo. A volte devi anche conoscere la tabella dei seni dei coseni delle tangenti e delle cotangenti.

Quindi, notiamo il più importante:

Consigli pratici:

1. Ricorda le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Molto utile.

2. Assimiliamo chiaramente: seno, coseno, tangente e cotangente sono saldamente collegati con gli angoli. Sappiamo una cosa, quindi sappiamo qualcos'altro.

3. Assimiliamo chiaramente: seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo sono interconnessi da identità trigonometriche di base. Conosciamo una funzione, il che significa che possiamo (se abbiamo le informazioni aggiuntive necessarie) calcolare tutte le altre.

E ora decidiamo, come al solito. Innanzitutto, compiti nel volume dell'ottavo anno. Ma gli studenti delle scuole superiori possono anche...)

1. Calcolare il valore di tgA se ctgA = 0,4.

2. β - angolo in un triangolo rettangolo. Trova il valore di tgβ se sinβ = 12/13.

3. Determina il seno di un angolo acuto x se tgx \u003d 4/3.

4. Trova il valore di un'espressione:

6peccato 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Trova il valore di un'espressione:

(1-cosx)(1+cosx), se sinx = 0,3

Risposte (separate da punto e virgola, in disordine):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Accaduto? Bene! Gli studenti di terza media possono già seguire le loro A.)

Non è andato tutto bene? Le attività 2 e 3 non sono in qualche modo molto ...? Nessun problema! C'è una bella tecnica per tali compiti. Tutto è deciso, praticamente, senza formule! E, quindi, senza errori. Questa tecnica è descritta nella lezione: "Relazione tra funzioni trigonometriche di un angolo" nella Sezione 555. Anche tutte le altre attività vengono smontate lì.

Questi erano problemi come l'esame di stato unificato, ma in una versione ridotta. UTILIZZO - luce). E ora quasi gli stessi compiti, ma in una forma a tutti gli effetti. Per gli studenti delle scuole superiori oberati di conoscenza.)

6. Trova il valore di tgβ se sinβ = 12/13 e

7. Determina sinx se tgx = 4/3, e x appartiene all'intervallo (- 540°; - 450°).

8. Trova il valore dell'espressione sinβ cosβ se ctgβ = 1.

Risposte (in disordine):

0,8; 0,5; -2,4.

Qui, nel problema 6, l'angolo è dato in qualche modo in modo non molto inequivocabile... Ma nel problema 8, non è impostato affatto! È apposta). Ulteriori informazioni vengono prese non solo dall'attività, ma anche dalla testa.) Ma se decidi, è garantito un compito corretto!

E se non avessi deciso? Um... Bene, la Sezione 555 aiuterà qui. Lì, le soluzioni a tutti questi compiti sono descritte in dettaglio, è difficile da non capire.

In questa lezione viene fornito un concetto molto limitato di funzioni trigonometriche. Entro l'ottavo anno. Gli anziani hanno domande...

Ad esempio, se l'angolo X(vedi la seconda foto in questa pagina) - fallo stupido!? Il triangolo cadrà a pezzi! E come essere? Non ci sarà né gamba, né ipotenusa... Il seno è sparito...

Se gli antichi non avessero trovato una via d'uscita da questa situazione, ora non avremmo telefoni cellulari, TV o elettricità. Si si! La base teorica di tutte queste cose senza funzioni trigonometriche è zero senza bacchetta. Ma il popolo antico non ha deluso. Come sono usciti - nella prossima lezione.

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Penso che meriti di più. Ecco la mia chiave di trigonometria:

• Disegna la cupola, la parete e il soffitto
• Le funzioni trigonometriche non sono altro che percentuali di queste tre forme.

Metafora per seno e coseno: cupola

Invece di guardare solo i triangoli stessi, immaginali in azione trovando qualche particolare esempio di vita reale.

Immagina di essere nel mezzo di una cupola e di voler appendere lo schermo di un proiettore cinematografico. Punti il ​​dito verso la cupola con un angolo "x" e uno schermo dovrebbe essere appeso da quel punto.

L'angolo a cui punti determina:

• sine(x) = sin(x) = altezza dello schermo (punto di montaggio dal pavimento alla cupola)
• coseno(x) = cos(x) = distanza da te allo schermo (per piano)
• ipotenusa, la distanza da te alla parte superiore dello schermo, sempre la stessa, uguale al raggio della cupola

Vuoi che lo schermo sia il più grande possibile? Appendilo proprio sopra di te.

Vuoi che lo schermo penda il più lontano possibile da te? Appenderlo dritto perpendicolarmente. Lo schermo avrà un'altezza zero in questa posizione e si bloccherà fino a quando hai richiesto.

L'altezza e la distanza dallo schermo sono inversamente proporzionali: più lo schermo è vicino, maggiore sarà la sua altezza.

Seno e coseno sono percentuali

Nessuno nei miei anni di studio, ahimè, mi ha spiegato che le funzioni trigonometriche seno e coseno non sono altro che percentuali. I loro valori vanno da +100% a 0 a -100%, o da un massimo positivo a zero a un massimo negativo.

Diciamo che ho pagato una tassa di 14 rubli. Non sai quanto è. Ma se dici che ho pagato il 95% di tasse, capirai che ero semplicemente scuoiato come un appiccicoso.

L'altezza assoluta non significa nulla. Ma se il valore del seno è 0,95, allora capisco che la TV è appesa quasi sopra la tua cupola. Molto presto raggiungerà la sua altezza massima al centro della cupola, per poi ricominciare a declinare.

Come possiamo calcolare questa percentuale? Molto semplice: dividere l'altezza attuale dello schermo per il massimo possibile (il raggio della cupola, detto anche ipotenusa).

Ecco perché ci viene detto che “coseno = gamba opposta / ipotenusa”. Questo è tutto per ottenere una percentuale! Il modo migliore per definire il seno è "la percentuale dell'altezza attuale dal massimo possibile". (Il seno diventa negativo se il tuo angolo punta "sottoterra". Il coseno diventa negativo se l'angolo punta a un punto a cupola dietro di te.)

Semplifichiamo i calcoli assumendo di essere al centro della circonferenza unitaria (raggio = 1). Possiamo saltare la divisione e prendere il seno uguale all'altezza.

Ogni cerchio, infatti, è un singolo, ingrandito o ridotto in scala alla dimensione desiderata. Quindi determina le relazioni sul cerchio unitario e applica i risultati alla dimensione del tuo cerchio particolare.

Esperimento: prendi qualsiasi angolo e guarda quale percentuale di altezza rispetto alla larghezza mostra:

Il grafico della crescita del valore del seno non è solo una linea retta. I primi 45 gradi coprono il 70% dell'altezza e gli ultimi 10 gradi (da 80° a 90°) coprono solo il 2%.

Questo ti sarà chiaro: se vai in cerchio, a 0° sali quasi in verticale, ma man mano che ti avvicini alla sommità della cupola, l'altezza cambia sempre meno.

Tangente e secante. parete

Un giorno un vicino costruì un muro schiena contro schiena alla tua cupola. Ha pianto la vista della tua finestra e un buon prezzo di rivendita!

Ma è possibile in qualche modo vincere in questa situazione?

Certo che si. E se appendessimo uno schermo cinematografico direttamente al muro del vicino? Miri all'angolo (x) e ottieni:

• tan(x) = tan(x) = altezza dello schermo sulla parete
• distanza da te al muro: 1 (questo è il raggio della tua cupola, il muro non si sposta da nessuna parte da te, giusto?)
• secant(x) = sec(x) = "lunghezza della scala" da te in piedi al centro della cupola alla parte superiore dello schermo sospeso

Chiariamo un paio di cose sulla tangente o l'altezza dello schermo.

• inizia da 0 e può andare infinitamente alto. Puoi allungare lo schermo sempre più in alto sul muro per ottenere solo una tela infinita per guardare il tuo film preferito! (Per uno così grande, ovviamente, dovrai spendere un sacco di soldi).
• tangente è solo una versione ingrandita di seno! E mentre la crescita del seno rallenta mentre ti muovi verso la sommità della cupola, la tangente continua a crescere!

Sekansu ha anche qualcosa di cui vantarsi:

• la secante parte da 1 (la scala è a terra, lontana da te verso il muro) e da lì inizia a salire
• La secante è sempre più lunga della tangente. La scala inclinata con cui appendi lo schermo deve essere più lunga dello schermo stesso, giusto? (Per dimensioni non realistiche, quando lo schermo è lunghissimo e la scala deve essere posizionata quasi verticalmente, le loro dimensioni sono quasi le stesse. Ma anche in questo caso la secante sarà un po' più lunga).

Ricorda che i valori sono per cento. Se decidi di appendere lo schermo a un angolo di 50 gradi, tan(50)=1,19. Lo schermo è più grande del 19% rispetto alla distanza dal muro (raggio della cupola).

(Inserisci x=0 e verifica il tuo intuito - tan(0) = 0 e sec(0) = 1.)

Cotangente e cosecante. Soffitto

Incredibilmente, il tuo vicino ha deciso di costruire un soffitto sopra la tua cupola. (Che succede con lui? A quanto pare non vuole che tu lo guardi mentre cammina nudo per il cortile...)

Bene, è ora di costruire un'uscita sul tetto e parlare con il vicino. Scegli l'angolo di inclinazione e inizia a costruire:

• la distanza verticale tra bocchetta a tetto e pavimento è sempre 1 (raggio della cupola)
• cotangente(x) = lettino(x) = distanza tra la sommità della cupola e il punto di uscita
• cosecante(x) = csc(x) = lunghezza del percorso verso il tetto

La tangente e la secante descrivono il muro, mentre la cotangente e la cosecante descrivono il pavimento.

Le nostre conclusioni intuitive questa volta sono simili alle precedenti:

• Se prendi un angolo di 0°, la tua uscita sul tetto impiegherà un'eternità poiché non raggiungerà mai il soffitto. Problema.
• La "scala" più corta per il tetto si otterrà se la costruisci con un angolo di 90 gradi rispetto al pavimento. La cotangente sarà uguale a 0 (non ci muoviamo affatto lungo il tetto, usciamo rigorosamente perpendicolarmente) e la cosecante sarà uguale a 1 ("la lunghezza della scala" sarà minima).

Visualizza connessioni

Se tutti e tre i casi sono disegnati in una combinazione cupola-parete-pavimento, si otterrà quanto segue:

Beh, wow, è tutto lo stesso triangolo, ingrandito per raggiungere il muro e il soffitto. Abbiamo lati verticali (seno, tangente), lati orizzontali (coseno, cotangente) e "ipotenuse" (secante, cosecante). (Puoi vedere dalle frecce fino a che punto arriva ogni elemento. La cosecante è la distanza totale da te al tetto).

Un po' di magia. Tutti i triangoli condividono le stesse uguaglianze:

Dal teorema di Pitagora (a 2 + b 2 = c 2) vediamo come sono collegati i lati di ciascun triangolo. Inoltre, anche i rapporti altezza-larghezza devono essere gli stessi per tutti i triangoli. (Basta fare un passo indietro dal triangolo più grande a quello più piccolo. Sì, le dimensioni sono cambiate, ma le proporzioni dei lati rimarranno le stesse).

Sapendo quale lato di ogni triangolo è 1 (il raggio della cupola), possiamo facilmente calcolare che "sin/cos = tan/1".

Ho sempre cercato di ricordare questi fatti attraverso una semplice visualizzazione. Nell'immagine puoi vedere chiaramente queste dipendenze e capire da dove provengono. Questa tecnica è molto meglio della memorizzazione di formule asciutte.

Non dimenticare altri angoli

Shh… Non c'è bisogno di rimanere sospesi su un grafico, pensando che la tangente sia sempre inferiore a 1. Se aumenti l'angolo, puoi raggiungere il soffitto senza raggiungere il muro:

Le connessioni pitagoriche funzionano sempre, ma le dimensioni relative possono essere diverse.

(Probabilmente avrai notato che il rapporto seno/coseno è sempre il più piccolo perché sono racchiusi all'interno di una cupola.)

Riassumendo: cosa dobbiamo ricordare?

Per la maggior parte di noi, direi che questo sarà sufficiente:

• la trigonometria spiega l'anatomia di oggetti matematici come cerchi e intervalli ripetuti
• l'analogia cupola/parete/tetto mostra la relazione tra le diverse funzioni trigonometriche
• il risultato delle funzioni trigonometriche sono le percentuali che applichiamo al nostro scenario.

Non è necessario memorizzare formule come 1 2 + cot 2 = csc 2 . Sono adatti solo per test stupidi in cui la conoscenza di un fatto è presentata come comprensione di esso. Dedica un minuto a disegnare un semicerchio a forma di cupola, un muro e un tetto, firma gli elementi e tutte le formule ti verranno chieste su carta.

Applicazione: funzioni inverse

Qualsiasi funzione trigonometrica prende un angolo come input e restituisce il risultato in percentuale. sin(30) = 0,5. Ciò significa che un angolo di 30 gradi occupa il 50% dell'altezza massima.

La funzione trigonometrica inversa è scritta come sin -1 o arcsin ("arxine"). È anche spesso scritto come in vari linguaggi di programmazione.

Se la nostra altezza è il 25% dell'altezza della cupola, qual è il nostro angolo?

Nella nostra tabella delle proporzioni, puoi trovare il rapporto in cui la secante è divisa per 1. Ad esempio, la secante per 1 (l'ipotenusa all'orizzontale) sarà uguale a 1 diviso per il coseno:

Diciamo che la nostra secante è 3,5, cioè 350% del raggio del cerchio unitario. A quale angolo di inclinazione rispetto al muro corrisponde questo valore?

Appendice: Alcuni esempi

Esempio: trova il seno dell'angolo x.

Compito noioso. Complichiamo il banale “trova il seno” con “Qual è l'altezza in percentuale del massimo (ipotenusa)?”.

Innanzitutto, nota che il triangolo è ruotato. Non c'è niente di sbagliato in questo. Il triangolo ha anche un'altezza, è mostrato in verde nella figura.

A cosa corrisponde l'ipotenusa? Per il teorema di Pitagora sappiamo che:

3 2 + 4 2 = ipotenusa 2 25 = ipotenusa 2 5 = ipotenusa

Bene! Il seno è la percentuale dell'altezza dal lato più lungo del triangolo, o ipotenusa. Nel nostro esempio, il seno è 3/5 o 0,60.

Certo, possiamo andare in diversi modi. Ora sappiamo che il seno è 0,60 e possiamo semplicemente trovare l'arcoseno:

Asin(0,6)=36,9

Ed ecco un altro approccio. Nota che il triangolo è "faccia a faccia con il muro", quindi possiamo usare tangente invece di seno. L'altezza è 3, la distanza dal muro è 4, quindi la tangente è ¾ o 75%. Possiamo usare l'arcotangente per tornare dalla percentuale all'angolo:

Abbronzatura = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Esempio: nuoterai fino a riva?

Sei su una barca e hai abbastanza carburante per percorrere 2 km. Ora sei a 0,25 km dalla costa. A quale angolo massimo rispetto alla riva puoi nuotare fino ad essa in modo da avere abbastanza carburante? Aggiunta alla condizione del problema: abbiamo solo una tabella di valori dell'arcocoseno.

Cosa abbiamo? La costa può essere rappresentata come un "muro" nel nostro famoso triangolo, e la "lunghezza delle scale" attaccata al muro può essere rappresentata come la distanza massima possibile in barca dalla riva (2 km). Emerge una secante.

Innanzitutto, devi passare alle percentuali. Abbiamo 2 / 0,25 = 8, il che significa che possiamo nuotare 8 volte la distanza diritta dalla riva (o dal muro).

Sorge la domanda "Qual è la secante 8?". Ma non possiamo dare una risposta, poiché abbiamo solo arcocoseni.

Usiamo le nostre dipendenze derivate in precedenza per mappare la secante al coseno: "sec/1 = 1/cos"

La secante di 8 è uguale al coseno di ⅛. Un angolo il cui coseno è ⅛ è acos(1/8) = 82,8. E questo è l'angolo più ampio che possiamo permetterci su una barca con la quantità di carburante specificata.

Non male, vero? Senza l'analogia cupola-parete-soffitto, sarei confuso in un mucchio di formule e calcoli. Visualizzare il problema semplifica enormemente la ricerca di una soluzione, inoltre, è interessante vedere quale funzione trigonometrica potrà eventualmente aiutare.

Per ogni compito, pensa in questo modo: mi interessa una cupola (sin/cos), un muro (tan/sec) o un soffitto (cot/csc)?

E la trigonometria diventerà molto più piacevole. Calcoli facili per te!

Livello medio

Triangolo rettangolo. Guida illustrata completa (2019)

TRIANGOLO RETTANGOLO. PRIMO LIVELLO.

Nei problemi, un angolo retto non è affatto necessario: quello in basso a sinistra, quindi devi imparare a riconoscere un triangolo rettangolo in questa forma,

e in tale

e in tale

Cosa c'è di buono in un triangolo rettangolo? Beh... prima di tutto ci sono dei bei nomi speciali per le sue feste.

Attenzione al disegno!

Ricorda e non confondere: gambe - due e l'ipotenusa - solo una(l'unico, unico e più lungo)!

Bene, abbiamo discusso dei nomi, ora la cosa più importante: il teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora.

Questo teorema è la chiave per risolvere molti problemi che coinvolgono un triangolo rettangolo. Fu provato da Pitagora in tempi del tutto immemorabili, e da allora ha portato molti benefici a chi lo conosce. E la cosa migliore di lei è che è semplice.

Così, Teorema di Pitagora:

Ricordi la battuta: "I pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati!"?

Disegniamo questi pantaloni molto pitagorici e guardiamoli.

Sembrano davvero dei pantaloncini? Ebbene, da che parte e dove sono uguali? Perché e da dove viene lo scherzo? E questo scherzo è connesso proprio con il teorema di Pitagora, più precisamente con il modo in cui lo stesso Pitagora formulò il suo teorema. E lo ha formulato così:

"Somma area dei quadrati, costruito sulle gambe, è uguale a area quadrata costruito sull'ipotenusa.

Non suona un po' diverso, vero? E così, quando Pitagora tracciò l'affermazione del suo teorema, si rivelò proprio un'immagine del genere.

In questa immagine, la somma delle aree dei quadratini è uguale all'area del quadrato grande. E affinché i bambini ricordino meglio che la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa, qualcuno spiritoso ha inventato questa battuta sui pantaloni pitagorici.

Perché ora stiamo formulando il teorema di Pitagora

Pitagora soffriva e parlava di quadrati?

Vedete, nell'antichità non esisteva... l'algebra! Non c'erano segni e così via. Non c'erano iscrizioni. Riuscite a immaginare quanto fosse terribile per i poveri studenti antichi memorizzare tutto con le parole??! E possiamo essere contenti di avere una semplice formulazione del teorema di Pitagora. Ripetiamolo ancora per ricordare meglio:

Ora dovrebbe essere facile:

Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

Bene, è stato discusso il teorema più importante su un triangolo rettangolo. Se sei interessato a come viene dimostrato, leggi i prossimi livelli di teoria, e ora andiamo avanti... nella foresta oscura... della trigonometria! Alle terribili parole seno, coseno, tangente e cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo.

In realtà, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma proprio non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

Perché è tutto dietro l'angolo? Dov'è l'angolo? Per capirlo, devi sapere come si scrivono le affermazioni 1 - 4 a parole. Guarda, capisci e ricorda!

1.
In realtà suona così:

E l'angolo? C'è una gamba che è opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!

Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Ovviamente il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente e

E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è fantastico:

Passiamo ora a tangente e cotangente.

Come metterlo in parole ora? Qual è la gamba rispetto all'angolo? Di fronte, ovviamente - "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Allora cosa abbiamo ottenuto?

Vedi come si invertono numeratore e denominatore?

E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:

Riepilogo

Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ti ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema sia vero. Come lo proveresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Vedi come abbiamo abilmente diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.

Qual è l'area del quadrato più grande? Destra, . E l'area più piccola? Certamente, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno all'altro con le ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Trasformiamo:

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due gambe

II. Per gamba e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e angolo acuto

un)

B)

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscano dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Guarda l'argomento "e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari" è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro, o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza di triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

I. Angolo acuto

II. Su due gambe

III. Per gamba e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Considera un intero rettangolo invece di un triangolo rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Così è successo

1. - mediana:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che bene si può ricavare dal fatto che la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma in un triangolo c'è un solo punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO DEscritto. Allora, cos'è successo?

Allora cominciamo con questo "inoltre...".

Diamo un'occhiata a i.

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Che utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo i rapporti delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa accadrà ora?

Di nuovo risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

Entrambe queste formule vanno ricordate molto bene e quella più comoda da applicare. Scriviamoli di nuovo.

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

• su due gambe:
• lungo la gamba e l'ipotenusa: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
• per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

• uno spigolo acuto: o
• dalla proporzionalità delle due gambe:
• dalla proporzionalità della gamba e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

• Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:
• Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:
• La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:
• La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:.

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale a metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

• attraverso i cateteri:

Iniziamo il nostro studio della trigonometria con un triangolo rettangolo. Definiamo cosa sono il seno e il coseno, nonché la tangente e la cotangente di un angolo acuto. Queste sono le basi della trigonometria.

Richiama questo angolo rettoè un angolo pari a 90 gradi. In altre parole, metà dell'angolo aperto.

Angolo acuto- meno di 90 gradi.

Angolo ottuso- maggiore di 90 gradi. In relazione a un tale angolo, "smussato" non è un insulto, ma un termine matematico :-)

Disegniamo un triangolo rettangolo. Di solito si indica un angolo retto. Nota che il lato opposto all'angolo è indicato dalla stessa lettera, solo piccola. Quindi, il lato che giace opposto all'angolo A è indicato.

Un angolo è indicato dalla corrispondente lettera greca.

Ipotenusa Un triangolo rettangolo è il lato opposto all'angolo retto.

Gambe- lati opposti a spigoli vivi.

Viene chiamata la gamba opposta all'angolo di fronte(rispetto all'angolo). Viene chiamata l'altra gamba, che giace su un lato dell'angolo adiacente.

Seno angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:

Coseno angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:

Tangente angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba opposta e l'adiacente:

Un'altra definizione (equivalente): la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno di un angolo e il suo coseno:

Cotangente angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto (o, equivalentemente, il rapporto tra coseno e seno):

Prestare attenzione ai rapporti di base per seno, coseno, tangente e cotangente, che sono riportati di seguito. Ci saranno utili per risolvere i problemi.

Proviamo alcuni di loro.

Ok, abbiamo fornito definizioni e formule scritte. Ma perché abbiamo bisogno di seno, coseno, tangente e cotangente?

Lo sappiamo la somma degli angoli di ogni triangolo è.

Conosciamo la relazione tra partiti triangolo rettangolo. Questo è il teorema di Pitagora: .

Si scopre che conoscendo due angoli in un triangolo, puoi trovare il terzo. Conoscendo due lati di un triangolo rettangolo, puoi trovare il terzo. Quindi, per gli angoli - il loro rapporto, per i lati - il loro. Ma cosa fare se in un triangolo rettangolo si conoscono un angolo (tranne un retto) e un lato, ma è necessario trovare altri lati?

Questo è ciò che le persone hanno dovuto affrontare in passato, realizzando mappe della zona e del cielo stellato. Dopotutto, non è sempre possibile misurare direttamente tutti i lati di un triangolo.

Seno, coseno e tangente: sono anche chiamati funzioni trigonometriche dell'angolo- dare il rapporto tra partiti e angoli triangolo. Conoscendo l'angolo, puoi trovare tutte le sue funzioni trigonometriche utilizzando apposite tabelle. E conoscendo seni, coseni e tangenti degli angoli di un triangolo e di uno dei suoi lati, puoi trovare il resto.

Disegneremo anche una tabella di valori seno, coseno, tangente e cotangente per angoli "buoni" da a.

Nota i due trattini rossi nella tabella. Per i valori corrispondenti degli angoli, la tangente e la cotangente non esistono.

Analizziamo diversi problemi di trigonometria dai compiti della Banca della FIPI.

1. In un triangolo, l'angolo è , . Trovare .

Il problema si risolve in quattro secondi.

Nella misura in cui, .

2. In un triangolo, l'angolo è , , . Trovare .

Troviamo il teorema di Pitagora.

Problema risolto.

Spesso nei problemi ci sono triangoli con angoli eo con angoli e . Memorizza i rapporti di base per loro a memoria!

Per un triangolo con angoli e la gamba opposta l'angolo a è uguale a metà dell'ipotenusa.

Un triangolo con angoli ed è isoscele. In esso, l'ipotenusa è volte più grande della gamba.

Abbiamo considerato i problemi per risolvere i triangoli rettangoli, cioè per trovare lati o angoli sconosciuti. Ma non è tutto! Nelle varianti dell'esame di matematica, ci sono molti compiti in cui appare il seno, coseno, tangente o cotangente dell'angolo esterno del triangolo. Maggiori informazioni su questo nel prossimo articolo.