Primo livello

Coordinate e vettori. Guida completa (2019)

In questo articolo, tu ed io inizieremo una discussione su una "bacchetta magica" che ti permetterà di ridurre molti problemi di geometria alla semplice aritmetica. Questa "bacchetta" può semplificarti la vita, soprattutto quando ti senti insicuro nella costruzione di figure spaziali, sezioni, ecc. Tutto ciò richiede una certa immaginazione e abilità pratiche. Il metodo, che inizieremo a considerare qui, ti consentirà di astrarre quasi completamente da tutti i tipi di costruzioni e ragionamenti geometrici. Il metodo viene chiamato "metodo delle coordinate". In questo articolo considereremo le seguenti domande:

1. Piano delle coordinate
2. Punti e vettori sul piano
3. Costruire un vettore da due punti
4. Lunghezza del vettore (distanza tra due punti)​
5. Coordinate del punto medio
6. Prodotto scalare di vettori
7. Angolo tra due vettori

Penso che tu abbia già indovinato perché il metodo delle coordinate si chiama così? È vero che ha preso tale nome, poiché non opera con oggetti geometrici, ma con le loro caratteristiche numeriche (coordinate). E la trasformazione stessa, che permette di passare dalla geometria all'algebra, consiste nell'introdurre un sistema di coordinate. Se la figura originale era piatta, le coordinate sono bidimensionali e se la figura è tridimensionale, le coordinate sono tridimensionali. In questo articolo considereremo solo il caso bidimensionale. E lo scopo principale dell'articolo è insegnarti come utilizzare alcune tecniche di base del metodo delle coordinate (a volte si rivelano utili quando si risolvono problemi di planimetria nella parte B dell'Esame di stato unificato). Le due sezioni seguenti su questo argomento sono dedicate alla discussione dei metodi per risolvere i problemi C2 (il problema della stereometria).

Dove sarebbe logico iniziare a discutere del metodo delle coordinate? Probabilmente con il concetto di un sistema di coordinate. Ricorda quando l'hai incontrata per la prima volta. Mi sembra che in 7a elementare, quando hai appreso dell'esistenza di una funzione lineare, per esempio. Lascia che ti ricordi che l'hai costruito punto per punto. Ti ricordi? Hai scelto un numero arbitrario, lo hai sostituito nella formula e calcolato in questo modo. Ad esempio, se, allora, se, allora, ecc. Cosa hai ottenuto di conseguenza? E hai ricevuto punti con coordinate: e. Quindi hai disegnato una "croce" (sistema di coordinate), hai scelto una scala su di essa (quante celle avrai come un singolo segmento) e hai segnato i punti che hai ricevuto su di essa, che hai poi collegato con una linea retta, la linea risultante è il grafico della funzione.

Ci sono alcune cose che devono essere spiegate un po' più in dettaglio:

1. Scegli un singolo segmento per motivi di praticità, in modo che tutto si adatti perfettamente e in modo compatto all'immagine

2. Si presume che l'asse vada da sinistra a destra e che l'asse vada dal basso verso l'alto

3. Si intersecano ad angolo retto e il punto della loro intersezione è chiamato origine. È contrassegnato da una lettera.

4. Nella registrazione delle coordinate di un punto, ad esempio, a sinistra tra parentesi c'è la coordinata del punto lungo l'asse ea destra lungo l'asse. In particolare, significa semplicemente che il punto

5. Per impostare qualsiasi punto sull'asse delle coordinate, è necessario specificarne le coordinate (2 numeri)

6. Per qualsiasi punto giacente sull'asse,

7. Per qualsiasi punto giacente sull'asse,

8. L'asse è chiamato asse x

9. L'asse è chiamato asse y

Ora facciamo il passo successivo con te: segna due punti. Collega questi due punti con una linea. E mettiamo la freccia come se stessimo disegnando un segmento da un punto all'altro: cioè, orienteremo il nostro segmento!

Ricordi qual è un altro nome per un segmento diretto? Esatto, si chiama vettore!

Quindi, se colleghiamo un punto a un punto, e l'inizio sarà il punto A, e la fine sarà il punto B, quindi otteniamo un vettore. Anche tu hai fatto questa costruzione in terza media, ricordi?

Si scopre che i vettori, come i punti, possono essere indicati con due numeri: questi numeri sono chiamati coordinate del vettore. Domanda: pensi che ci basti conoscere le coordinate dell'inizio e della fine del vettore per trovarne le coordinate? Si scopre che sì! Ed è molto facile da fare:

Quindi, poiché nel vettore il punto è l'inizio e la fine, il vettore ha le seguenti coordinate:

Ad esempio, se, allora le coordinate del vettore

Ora facciamo il contrario, troviamo le coordinate del vettore. Cosa dobbiamo cambiare per questo? Sì, devi scambiare l'inizio e la fine: ora l'inizio del vettore sarà in un punto e la fine in un punto. Poi:

Guarda da vicino, qual è la differenza tra vettori e? La loro unica differenza sono i segni nelle coordinate. Sono opposti. Questo fatto è scritto così:

A volte, se non viene specificato in modo specifico quale punto è l'inizio del vettore e quale è la fine, i vettori sono indicati non da due lettere maiuscole, ma da una minuscola, ad esempio:, ecc.

Ora un po' la pratica e trova le coordinate dei seguenti vettori:

Visita medica:

Ora risolvi il problema un po' più difficile:

Un toro vettoriale con on-cha-scrap in un punto ha co-or-di-on-you. Trova-di-te punti abs-cis-su.

Lo stesso è abbastanza prosaico: siano le coordinate del punto. Poi

Ho compilato il sistema determinando quali sono le coordinate di un vettore. Quindi il punto ha le coordinate. A noi interessa l'ascissa. Poi

Risposta:

Cos'altro puoi fare con i vettori? Sì, quasi tutto è uguale ai numeri ordinari (tranne che non puoi dividere, ma puoi moltiplicare in due modi, uno dei quali parleremo qui un po' più avanti)

1. I vettori possono essere impilati l'uno con l'altro
2. I vettori possono essere sottratti l'uno dall'altro
3. I vettori possono essere moltiplicati (o divisi) per un numero arbitrario diverso da zero
4. I vettori possono essere moltiplicati tra loro

Tutte queste operazioni hanno una rappresentazione geometrica abbastanza visiva. Ad esempio, la regola del triangolo (o parallelogramma) per l'addizione e la sottrazione:

Un vettore si allunga o si restringe o cambia direzione quando viene moltiplicato o diviso per un numero:

Tuttavia, qui saremo interessati alla domanda su cosa succede alle coordinate.

1. Quando aggiungiamo (sottriamo) due vettori, aggiungiamo (sottrai) le loro coordinate elemento per elemento. Questo è:

2. Quando si moltiplica (dividendo) un vettore per un numero, tutte le sue coordinate vengono moltiplicate (divise) per questo numero:

Ad esempio:

· Trova-di-la somma di ko-o-di-nat da secolo a ra.

Per prima cosa troviamo le coordinate di ciascuno dei vettori. Entrambi hanno la stessa origine: il punto di origine. I loro fini sono diversi. Poi, . Ora calcoliamo le coordinate del vettore Quindi la somma delle coordinate del vettore risultante è uguale a.

Risposta:

Ora risolvi tu stesso il seguente problema:

· Trova la somma delle coordinate del vettore

Controlliamo:

Consideriamo ora il seguente problema: abbiamo due punti sul piano delle coordinate. Come trovare la distanza tra loro? Sia il primo punto, e il secondo. Indichiamo la distanza tra loro come . Facciamo il seguente disegno per chiarezza:

Quello che ho fatto? In primo luogo, ho collegato i punti e, e ho anche disegnato una linea parallela all'asse dal punto, e ho disegnato una linea parallela all'asse dal punto. Si sono intersecati in un punto, formando una figura meravigliosa? Perché è meravigliosa? Sì, io e te sappiamo quasi tutto di un triangolo rettangolo. Bene, il teorema di Pitagora, di sicuro. Il segmento desiderato è l'ipotenusa di questo triangolo e i segmenti sono le gambe. Quali sono le coordinate del punto? Sì, sono facili da trovare dall'immagine: poiché i segmenti sono paralleli agli assi e, rispettivamente, le loro lunghezze sono facili da trovare: se indichiamo le lunghezze dei segmenti, rispettivamente, passante, allora

Usiamo ora il teorema di Pitagora. Conosciamo le lunghezze delle gambe, troveremo l'ipotenusa:

Pertanto, la distanza tra due punti è la somma radice delle differenze al quadrato dalle coordinate. Oppure - la distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li collega. È facile vedere che la distanza tra i punti non dipende dalla direzione. Poi:

Da ciò traiamo tre conclusioni:

Facciamo un po' di pratica sul calcolo della distanza tra due punti:

Ad esempio, se, allora la distanza tra e è

Oppure andiamo diversamente: trova le coordinate del vettore

E trova la lunghezza del vettore:

Come puoi vedere, è lo stesso!

Ora esercitati un po' da solo:

Compito: trova la distanza tra i punti indicati:

Controlliamo:

Ecco un altro paio di problemi per la stessa formula, anche se suonano leggermente diversi:

1. Trova-di-te il quadrato della lunghezza della palpebra-a-ra.

2. Nai-di-te quadrato di lunghezza palpebrale-a-ra

Immagino che tu possa gestirli facilmente? Controlliamo:

1. E questo è per l'attenzione) Abbiamo già trovato le coordinate dei vettori prima: . Allora il vettore ha le coordinate. Il quadrato della sua lunghezza sarà:

2. Trova le coordinate del vettore

Allora è il quadrato della sua lunghezza

Niente di complicato, vero? Semplice aritmetica, niente di più.

I seguenti enigmi non possono essere classificati in modo univoco, sono piuttosto per l'erudizione generale e la capacità di disegnare semplici immagini.

1. Trova-di-quei seno dell'angolo su-clo-on-da-taglio, collega-un-esimo-esimo punto, con l'asse delle ascisse.

e

Come lo faremo qui? Devi trovare il seno dell'angolo tra e l'asse. E dove possiamo cercare il seno? Esatto, in un triangolo rettangolo. Quindi cosa dobbiamo fare? Costruisci questo triangolo!

Poiché le coordinate del punto e, quindi il segmento è uguale e il segmento. Dobbiamo trovare il seno dell'angolo. Lascia che ti ricordi che il seno è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa, quindi

Cosa ci resta da fare? Trova l'ipotenusa. Puoi farlo in due modi: usando il teorema di Pitagora (le gambe sono note!) o usando la formula per la distanza tra due punti (in realtà la stessa del primo metodo!). andrò nella seconda via:

Risposta:

Il prossimo compito ti sembrerà ancora più facile. Lei - sulle coordinate del punto.

Compito 2. Dal punto, il per-pen-di-ku-lar viene abbassato sull'asse abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Facciamo un disegno:

La base della perpendicolare è il punto in cui interseca l'asse x (asse) per me questo è un punto. La figura mostra che ha coordinate: . Ci interessa l'ascissa, ovvero la componente "X". Lei è uguale.

Risposta: .

Compito 3. Nelle condizioni del problema precedente, trova la somma delle distanze dal punto agli assi delle coordinate.

Il compito è generalmente elementare se si conosce la distanza da un punto agli assi. Sai? Spero, ma ti ricordo ancora:

Quindi, nel mio disegno, situato un po' più in alto, ne ho già raffigurata una perpendicolare? Che asse è? all'asse. E allora qual è la sua lunghezza? Lei è uguale. Ora disegna tu stesso una perpendicolare all'asse e trova la sua lunghezza. Sarà uguale, giusto? Quindi la loro somma è uguale.

Risposta: .

Compito 4. Nelle condizioni del problema 2, trova l'ordinata del punto simmetrica al punto attorno all'asse x.

Penso che tu abbia intuitivamente capito cos'è la simmetria? Ce l'hanno moltissimi oggetti: molti edifici, tavoli, piani, molte forme geometriche: una palla, un cilindro, un quadrato, un rombo, ecc. In parole povere, la simmetria può essere intesa come segue: una figura è composta da due (o più) metà identiche. Questa simmetria è chiamata assiale. Che cos'è allora un asse? Questa è esattamente la linea lungo la quale la figura può, relativamente parlando, essere "tagliata" in metà identiche (in questa immagine, l'asse di simmetria è dritto):

Ora torniamo al nostro compito. Sappiamo che stiamo cercando un punto simmetrico rispetto all'asse. Allora questo asse è l'asse di simmetria. Quindi, dobbiamo contrassegnare un punto in modo che l'asse tagli il segmento in due parti uguali. Prova a segnare tu stesso un punto del genere. Ora confronta con la mia soluzione:

Hai fatto lo stesso? Bene! Al punto trovato, ci interessa l'ordinata. Lei è uguale

Risposta:

Ora dimmi, dopo aver riflettuto per un secondo, quale sarà l'ascissa del punto simmetrico al punto A rispetto all'asse y? Qual è la tua risposta? Risposta corretta: .

In generale, la regola può essere scritta in questo modo:

Un punto simmetrico rispetto a un punto attorno all'asse x ha le coordinate:

Un punto simmetrico rispetto a un punto attorno all'asse y ha coordinate:

Bene, ora è davvero spaventoso. compito: Trova le coordinate di un punto simmetrico rispetto a un punto, rispetto all'origine. Prima pensa da solo e poi guarda il mio disegno!

Risposta:

Ora problema del parallelogramma:

Compito 5: I punti sono ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Punti Find-dee-te o-dee-on-tu.

Puoi risolvere questo problema in due modi: la logica e il metodo delle coordinate. Prima applicherò il metodo delle coordinate e poi ti dirò come puoi decidere diversamente.

È abbastanza chiaro che l'ascissa del punto è uguale. (si trova sulla perpendicolare tracciata dal punto all'asse x). Dobbiamo trovare l'ordinata. Approfittiamo del fatto che la nostra figura è un parallelogramma, il che significa questo. Trova la lunghezza del segmento usando la formula per la distanza tra due punti:

Abbassiamo la perpendicolare che collega il punto con l'asse. Il punto di intersezione è indicato da una lettera.

La lunghezza del segmento è uguale. (trova tu stesso il problema, dove abbiamo discusso questo momento), quindi troveremo la lunghezza del segmento usando il teorema di Pitagora:

La lunghezza del segmento è esattamente la stessa della sua ordinata.

Risposta: .

Un'altra soluzione (fornirò solo una foto che lo illustri)

Avanzamento della soluzione:

1. Spendere

2. Trova le coordinate del punto e la lunghezza

3. Dimostralo.

Un altro problema della lunghezza del taglio:

I punti sono-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Trova la lunghezza della sua linea mediana, par-ral-lel-noy.

Ti ricordi qual è la linea mediana di un triangolo? Allora per te questo compito è elementare. Se non ricordi, te lo ricorderò: la linea mediana di un triangolo è una linea che collega i punti medi dei lati opposti. È parallelo alla base e uguale alla metà di essa.

La base è un segmento. Abbiamo dovuto cercare la sua lunghezza prima, è uguale. Quindi la lunghezza della linea mediana è lunga la metà e uguale.

Risposta: .

Commento: questo problema può essere risolto in un altro modo, di cui parleremo un po' più avanti.

Nel frattempo, ecco alcuni compiti per te, esercitati su di essi, sono abbastanza semplici, ma aiutano a "mettere mano" usando il metodo delle coordinate!

1. I punti appaiono-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Trova la lunghezza della sua linea mediana.

2. Punti e yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Punti Find-dee-te o-dee-on-tu.

3. Trova la lunghezza dal taglio, collega il secondo punto e

4. Trova-di-te l'area per-the-red-shen-noy fi-gu-ry sull'aereo ko-or-di-nat-noy.

5. Un cerchio centrato su na-cha-le ko-or-di-nat passa per un punto. Trova i suoi ra-di-baffi.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, descrivere-san-noy vicino all'angolo retto-no-ka, le cime-shi-ny di qualcosa-ro-go hanno co-o - di-na-tu co-da-rispondi-ma

Soluzioni:

1. È noto che la linea mediana di un trapezio è uguale alla metà della somma delle sue basi. La base è uguale, ma la base. Poi

Risposta:

2. Il modo più semplice per risolvere questo problema è notarlo (regola del parallelogramma). Calcola le coordinate dei vettori e non è difficile: . Quando si aggiungono vettori, vengono aggiunte le coordinate. Quindi ha le coordinate. Il punto ha le stesse coordinate, poiché l'inizio del vettore è un punto con coordinate. Ci interessa l'ordinata. Lei è uguale.

Risposta:

3. Agiamo immediatamente secondo la formula per la distanza tra due punti:

Risposta:

4. Guarda l'immagine e dì, tra quali due figure l'area ombreggiata è "schiacciata"? È racchiuso tra due quadrati. Quindi l'area della figura desiderata è uguale all'area del quadrato grande meno l'area di quello piccolo. Il lato del quadratino è un segmento che collega i punti e la sua lunghezza è

Quindi l'area della piazzetta è

Facciamo lo stesso con un grande quadrato: il suo lato è un segmento che collega i punti e la sua lunghezza è uguale a

Quindi l'area della piazza grande è

L'area della figura desiderata è trovata dalla formula:

Risposta:

5. Se il cerchio ha l'origine come centro e passa per un punto, il suo raggio sarà esattamente uguale alla lunghezza del segmento (fai un disegno e capirai perché è ovvio). Trova la lunghezza di questo segmento:

Risposta:

6. È noto che il raggio di una circonferenza circoscritta ad un rettangolo è uguale alla metà della sua diagonale. Troviamo la lunghezza di una qualsiasi delle due diagonali (in fondo in un rettangolo sono uguali!)

Risposta:

Bene, hai gestito tutto? Non è stato così difficile capirlo, vero? C'è solo una regola qui: essere in grado di creare un'immagine visiva e semplicemente "leggere" tutti i dati da essa.

Ci è rimasto molto poco. Ci sono letteralmente altri due punti che vorrei discutere.

Proviamo a risolvere questo semplice problema. Siano due punti e si dia. Trova le coordinate del centro del segmento. La soluzione a questo problema è la seguente: lascia che il punto sia il centro desiderato, quindi ha le coordinate:

Questo è: coordinate del centro del segmento = media aritmetica delle corrispondenti coordinate degli estremi del segmento.

Questa regola è molto semplice e di solito non crea difficoltà agli studenti. Vediamo in quali problemi e come viene utilizzato:

1. Trova-di-te o-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point e

2. I punti sono yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Trova-di-te o-di-na-tu punti di re-re-se-che-niya del suo dia-go-on-lei.

3. Trova-di-te abs-cis-su del centro del cerchio, descrivi-san-noy vicino al rettangolo-no-ka, le cime-shi-abbiamo qualcosa-ro-go co-o-di- na-tu co-da-vet-stvenno-ma.

Soluzioni:

1. Il primo compito è solo un classico. Agiamo immediatamente determinando il punto medio del segmento. Lei ha le coordinate. L'ordinata è uguale.

Risposta:

2. È facile vedere che il quadrilatero dato è un parallelogramma (anche un rombo!). Puoi dimostrarlo tu stesso calcolando le lunghezze dei lati e confrontandole tra loro. Che ne so di un parallelogramma? Le sue diagonali sono tagliate in due dal punto di intersezione! Ah! Quindi il punto di intersezione delle diagonali qual è? Questo è il centro di qualsiasi diagonale! Sceglierò, in particolare, la diagonale. Allora il punto ha coordinate L'ordinata del punto è uguale a.

Risposta:

3. Qual è il centro del cerchio circoscritto al rettangolo? Coincide con il punto di intersezione delle sue diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo? Sono uguali e il punto di intersezione è diviso a metà. Il compito è stato ridotto a quello precedente. Prendi, ad esempio, la diagonale. Allora se è il centro del cerchio circoscritto, allora è il centro. Cerco coordinate: L'ascissa è uguale.

Risposta:

Ora esercitati un po' da solo, ti darò solo le risposte ad ogni problema in modo che tu possa controllarti.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, descrivere-san-noy vicino al triangolo-no-ka, le cime di qualcuno-ro-go hanno ko-or-di-no mister

2. Trova-di-te o-di-na-tu il centro del cerchio, descrivi il san-noy vicino al triangolo-no-ka, le cime-shi-abbiamo le coordinate di qualcosa-ro-go

3. Che tipo di ra-di-y-sa dovrebbe esserci un cerchio con un centro in un punto tale da toccare l'asse abs-ciss?

4. Trova-di-te o-di-su-quel punto di ri-ri-se-che-ing dell'asse e dal-taglio, collega-nya-yu-esimo-esimo punto e

Risposte:

Tutto ha funzionato? Ci spero davvero! Ora - l'ultima spinta. Ora stai particolarmente attento. Il materiale che spiegherò ora non è rilevante solo per i semplici problemi del metodo delle coordinate nella Parte B, ma si trova anche in tutto il problema C2.

Quale delle mie promesse non ho ancora mantenuto? Ricordi quali operazioni sui vettori ho promesso di introdurre e quali alla fine ho introdotto? Sono sicuro di non aver dimenticato nulla? Dimenticato! Ho dimenticato di spiegare cosa significa moltiplicazione dei vettori.

Esistono due modi per moltiplicare un vettore per un vettore. A seconda del metodo scelto, otterremo oggetti di natura diversa:

Il prodotto vettoriale è piuttosto complicato. Come farlo e perché è necessario, ne discuteremo con te nel prossimo articolo. E in questo ci concentreremo sul prodotto scalare.

Ci sono già due modi che ci permettono di calcolarlo:

Come hai intuito, il risultato dovrebbe essere lo stesso! Quindi diamo un'occhiata prima al primo modo:

Dot prodotto tramite coordinate

Trova: - notazione comune per il prodotto dot

La formula per il calcolo è la seguente:

Cioè, il prodotto scalare = la somma dei prodotti delle coordinate dei vettori!

Esempio:

Trova-dee-te

Soluzione:

Trova le coordinate di ciascuno dei vettori:

Calcoliamo il prodotto scalare con la formula:

Risposta:

Vedi, assolutamente niente di complicato!

Bene, ora prova tu stesso:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch e

Sei riuscito? Forse ha notato un piccolo trucco? Controlliamo:

Coordinate vettoriali, come nell'attività precedente! Risposta: .

Oltre alla coordinata, esiste un altro modo per calcolare il prodotto scalare, ovvero attraverso le lunghezze dei vettori e il coseno dell'angolo tra di loro:

Denota l'angolo tra i vettori e.

Cioè, il prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori e del coseno dell'angolo tra di loro.

Perché abbiamo bisogno di questa seconda formula, se abbiamo la prima, che è molto più semplice, almeno non ci sono coseni. Ed è necessario affinché dalla prima e dalla seconda formula possiamo dedurre come trovare l'angolo tra i vettori!

Ricordiamo allora la formula per la lunghezza di un vettore!

Quindi, se inserisco questi dati nella formula del prodotto a punti, ottengo:

Ma in altro modo:

Allora cosa abbiamo? Ora abbiamo una formula per calcolare l'angolo tra due vettori! A volte, per brevità, si scrive anche così:

Cioè, l'algoritmo per calcolare l'angolo tra i vettori è il seguente:

1. Calcoliamo il prodotto scalare attraverso le coordinate
2. Trova le lunghezze dei vettori e moltiplicale
3. Dividi il risultato del punto 1 per il risultato del punto 2

Facciamo pratica con esempi:

1. Trova l'angolo tra le palpebre-a-ra-mi e. Dai la tua risposta in gradi.

2. Nelle condizioni del problema precedente, trova il coseno tra i vettori

Facciamo così: ti aiuterò a risolvere il primo problema e proverò a fare il secondo da solo! Concordo? Allora iniziamo!

1. Questi vettori sono i nostri vecchi amici. Abbiamo già considerato il loro prodotto scalare ed era uguale. Le loro coordinate sono: , . Quindi troviamo le loro lunghezze:

Quindi cerchiamo il coseno tra i vettori:

Qual è il coseno dell'angolo? Questo è l'angolo.

Risposta:

Bene, ora risolvi tu stesso il secondo problema e poi confronta! Darò solo una soluzione molto breve:

2. ha coordinate, ha coordinate.

Sia l'angolo tra i vettori e, quindi

Risposta:

Va notato che i compiti direttamente sui vettori e il metodo delle coordinate nella parte B della prova d'esame sono piuttosto rari. Tuttavia, la stragrande maggioranza dei problemi C2 può essere facilmente risolta ricorrendo all'introduzione di un sistema di coordinate. Quindi puoi considerare questo articolo come una base, sulla base del quale realizzeremo costruzioni piuttosto complicate di cui avremo bisogno per risolvere problemi complessi.

COORDINATE E VETTORI. LIVELLO INTERMEDIO

Tu ed io continuiamo a studiare il metodo delle coordinate. Nell'ultima parte, abbiamo derivato una serie di formule importanti che consentono:

1. Trova le coordinate vettoriali
2. Trova la lunghezza di un vettore (in alternativa: la distanza tra due punti)
3. Somma, sottrai vettori. Moltiplicali per un numero reale
4. Trova il punto medio di un segmento
5. Calcola il prodotto scalare dei vettori
6. Trova l'angolo tra i vettori

Naturalmente, l'intero metodo delle coordinate non rientra in questi 6 punti. È alla base di una scienza come la geometria analitica, che conoscerai all'università. Voglio solo costruire una base che ti permetta di risolvere i problemi in un unico stato. esame. Abbiamo capito i compiti della parte B in Ora è il momento di passare a un livello qualitativamente nuovo! Questo articolo sarà dedicato a un metodo per risolvere quei problemi C2 in cui sarebbe ragionevole passare al metodo delle coordinate. Questa ragionevolezza è determinata da ciò che deve essere trovato nel problema e da quale cifra è data. Quindi, userei il metodo delle coordinate se le domande sono:

1. Trova l'angolo tra due piani
2. Trova l'angolo tra una linea e un piano
3. Trova l'angolo tra due rette
4. Trova la distanza da un punto a un piano
5. Trova la distanza da un punto a una linea
6. Trova la distanza tra una retta e un aereo
7. Trova la distanza tra due linee

Se la cifra data nella condizione del problema è un corpo di rivoluzione (sfera, cilindro, cono...)

Le figure adatte per il metodo delle coordinate sono:

1. cuboide
2. Piramide (triangolare, quadrangolare, esagonale)

Anche nella mia esperienza non è appropriato utilizzare il metodo delle coordinate per:

1. Trovare le aree delle sezioni
2. Calcoli di volumi di corpi

Tuttavia, va immediatamente notato che tre situazioni "sfavorevoli" per il metodo delle coordinate sono piuttosto rare nella pratica. Nella maggior parte dei compiti, può diventare il tuo salvatore, soprattutto se non sei molto forte nelle costruzioni tridimensionali (che a volte sono piuttosto intricate).

Quali sono tutte le cifre che ho elencato sopra? Non sono più piatti, come un quadrato, un triangolo, un cerchio, ma voluminosi! Di conseguenza, dobbiamo considerare non un sistema di coordinate bidimensionale, ma tridimensionale. Si costruisce abbastanza facilmente: solo in aggiunta alle ascisse e alle ordinate, introdurremo un altro asse, l'asse applicato. La figura mostra schematicamente la loro posizione relativa:

Tutti sono reciprocamente perpendicolari, si intersecano in un punto, che chiameremo origine. L'asse delle ascisse, come prima, sarà indicato, l'asse delle ordinate - , e l'asse applicato introdotto - .

Se prima ogni punto sul piano era caratterizzato da due numeri - l'ascissa e l'ordinata, allora ogni punto nello spazio è già descritto da tre numeri - l'ascissa, l'ordinata, l'applicata. Ad esempio:

Di conseguenza, l'ascissa del punto è uguale, l'ordinata è , e l'applicata è .

A volte l'ascissa di un punto è anche chiamata proiezione del punto sull'asse delle ascisse, l'ordinata è la proiezione del punto sull'asse y e l'applicata è la proiezione del punto sull'asse dell'applicata. Di conseguenza, se viene dato un punto, allora un punto con coordinate:

detta proiezione di un punto su un piano

detta proiezione di un punto su un piano

Sorge spontanea una domanda: tutte le formule derivate per il caso bidimensionale sono valide nello spazio? La risposta è sì, sono giusti e hanno lo stesso aspetto. Per un piccolo dettaglio. Penso che tu abbia già indovinato quale. In tutte le formule, dovremo aggiungere un altro termine responsabile dell'asse dell'applicata. Vale a dire.

1. Se vengono assegnati due punti: , allora:

• Coordinate vettoriali:
• Distanza tra due punti (o lunghezza del vettore)
• Il centro del segmento ha le coordinate

2. Se sono dati due vettori: e, allora:

• Il loro prodotto di punta è:
• Il coseno dell'angolo tra i vettori è:

Tuttavia, lo spazio non è così semplice. Come capisci, l'aggiunta di un'altra coordinata introduce una varietà significativa nello spettro delle figure che "vivono" in questo spazio. E per ulteriore narrazione, ho bisogno di introdurre alcune, grosso modo, "generalizzazioni" della linea retta. Questa "generalizzazione" sarà un aereo. Cosa sai dell'aereo? Prova a rispondere alla domanda, cos'è un aereo? È molto difficile da dire. Tuttavia, tutti noi immaginiamo intuitivamente come appare:

In parole povere, questa è una specie di "foglia" senza fine spinta nello spazio. "Infinito" dovrebbe essere inteso che il piano si estende in tutte le direzioni, cioè la sua area è uguale all'infinito. Tuttavia, questa spiegazione "sulle dita" non dà la minima idea della struttura dell'aereo. E ci interesserà.

Ricordiamo uno degli assiomi di base della geometria:

• Una retta passa per due punti diversi su un piano, inoltre uno solo:

O il suo analogo nello spazio:

Certo, ti ricordi come ricavare l'equazione di una retta da due punti dati, questo non è affatto difficile: se il primo punto ha coordinate: e il secondo, allora l'equazione della retta sarà la seguente:

Ci sei passato in prima media. Nello spazio, l'equazione di una retta si presenta così: poniamo due punti con coordinate: , quindi l'equazione di una retta passante per essi ha la forma:

Ad esempio, una linea passa per punti:

Come dovrebbe essere inteso? Questo dovrebbe essere inteso come segue: un punto giace su una retta se le sue coordinate soddisfano il seguente sistema:

Non saremo molto interessati all'equazione di una retta, ma dobbiamo prestare attenzione al concetto molto importante del vettore diretto di una retta. - qualsiasi vettore diverso da zero giacente su una data retta o parallelo ad essa.

Ad esempio, entrambi i vettori sono vettori di direzione di una retta. Sia un punto che giace su una retta e sia il suo vettore diretto. Quindi l'equazione di una retta può essere scritta nella forma seguente:

Ancora una volta, non sarò molto interessato all'equazione di una retta, ma ho davvero bisogno che tu ricordi cos'è un vettore di direzione! Ancora: è QUALSIASI vettore diverso da zero che giace su una linea o parallelo ad essa.

Ritirare equazione a tre punti di un piano non è più così banale e di solito non è coperto in un corso di scuola superiore. Ma invano! Questa tecnica è fondamentale quando si ricorre al metodo delle coordinate per risolvere problemi complessi. Tuttavia, presumo che tu sia pieno di voglia di imparare qualcosa di nuovo? Inoltre, sarai in grado di stupire il tuo insegnante all'università quando scoprirà che sai già usare la tecnica che di solito viene studiata nel corso di geometria analitica. Quindi iniziamo.

L'equazione di un piano non è troppo diversa dall'equazione di una retta su un piano, ovvero ha la forma:

alcuni numeri (non tutti uguali a zero), ma variabili, ad esempio: ecc. Come puoi vedere, l'equazione di un piano non è molto diversa dall'equazione di una retta (funzione lineare). Tuttavia, ricordi cosa abbiamo discusso con te? Abbiamo detto che se abbiamo tre punti che non giacciono su una retta, l'equazione del piano viene ripristinata in modo univoco da loro. Ma come? Provo a spiegarti.

Poiché l'equazione del piano è:

E i punti appartengono a questo piano, quindi sostituendo le coordinate di ciascun punto nell'equazione del piano, dovremmo ottenere l'identità corretta:

Quindi, è necessario risolvere tre equazioni già con incognite! Dilemma! Tuttavia, possiamo sempre presumere che (per questo dobbiamo dividere per). Quindi, otteniamo tre equazioni con tre incognite:

Tuttavia, non risolveremo un tale sistema, ma scriveremo l'espressione criptica che ne consegue:

Equazione di un piano passante per tre punti dati

\[\sinistra| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Fermare! Cos'altro è questo? Qualche modulo molto insolito! Tuttavia, l'oggetto che vedi di fronte a te non ha nulla a che fare con il modulo. Questo oggetto è chiamato determinante del terzo ordine. D'ora in poi, quando ti occuperai del metodo delle coordinate su un piano, ti imbatterai spesso in questi fattori determinanti. Che cos'è un determinante di terzo ordine? Stranamente, è solo un numero. Resta da capire quale numero specifico confronteremo con il determinante.

Scriviamo prima il determinante del terzo ordine in una forma più generale:

Dove sono alcuni numeri. Inoltre, per primo indice intendiamo il numero di riga e per indice il numero di colonna. Ad esempio, significa che il numero indicato si trova all'intersezione della seconda riga e della terza colonna. Poniamoci la seguente domanda: come calcoleremo esattamente un tale determinante? Cioè, con quale numero specifico lo confronteremo? Per il determinante proprio del terzo ordine, esiste una regola del triangolo euristica (visiva), simile a questa:

1. Il prodotto degli elementi della diagonale principale (da sinistra in alto a destra in basso) il prodotto degli elementi che formano il primo triangolo "perpendicolare" alla diagonale principale il prodotto degli elementi che formano il secondo triangolo "perpendicolare" alla diagonale principale diagonale
2. Il prodotto degli elementi della diagonale secondaria (da in alto a destra in basso a sinistra) il prodotto degli elementi che formano il primo triangolo "perpendicolare" alla diagonale secondaria il prodotto degli elementi che formano il secondo triangolo "perpendicolare" a la diagonale secondaria
3. Quindi il determinante è uguale alla differenza tra i valori ottenuti al passaggio e

Se scriviamo tutto questo in numeri, otteniamo la seguente espressione:

Tuttavia, non è necessario memorizzare il metodo di calcolo in questo modulo, è sufficiente tenere i triangoli nella testa e l'idea stessa di cosa viene aggiunto a cosa e cosa viene poi sottratto da cosa).

Illustriamo il metodo del triangolo con un esempio:

1. Calcola il determinante:

Scopriamo cosa aggiungiamo e cosa sottrarre:

Termini che hanno un "più":

Questa è la diagonale principale: il prodotto degli elementi è

Il primo triangolo, "perpendicolare alla diagonale principale: il prodotto degli elementi è

Il secondo triangolo, "perpendicolare alla diagonale principale: il prodotto degli elementi è

Aggiungiamo tre numeri:

Termini che vengono con un "meno"

Questa è una diagonale laterale: il prodotto degli elementi è

Il primo triangolo, "perpendicolare alla diagonale secondaria: il prodotto degli elementi è

Il secondo triangolo, "perpendicolare alla diagonale secondaria: il prodotto degli elementi è

Aggiungiamo tre numeri:

Non resta che sottrarre dalla somma dei termini più la somma dei termini meno:

In questo modo,

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato e di soprannaturale nel calcolo delle determinanti del terzo ordine. È semplicemente importante ricordare i triangoli e non fare errori aritmetici. Ora prova a calcolare te stesso:

Controlliamo:

1. Il primo triangolo perpendicolare alla diagonale principale:
2. Il secondo triangolo perpendicolare alla diagonale principale:
3. La somma dei termini più:
4. Primo triangolo perpendicolare alla diagonale laterale:
5. Il secondo triangolo, perpendicolare alla diagonale laterale:
6. La somma dei termini con un meno:
7. Somma dei termini più meno somma dei termini meno:

Ecco un altro paio di determinanti per te, calcola tu stesso i loro valori e confrontali con le risposte:

Risposte:

Bene, tutto corrispondeva? Ottimo, allora puoi andare avanti! Se ci sono difficoltà, allora il mio consiglio è questo: su Internet ci sono un sacco di programmi per calcolare il determinante online. Tutto ciò di cui hai bisogno è trovare il tuo determinante, calcolarlo da solo e quindi confrontarlo con ciò che calcola il programma. E così via finché i risultati non iniziano a coincidere. Sono sicuro che questo momento non tarderà ad arrivare!

Ora torniamo al determinante che ho scritto quando ho parlato dell'equazione di un piano passante per tre punti dati:

Tutto quello che devi fare è calcolarne direttamente il valore (usando il metodo del triangolo) e impostare il risultato uguale a zero. Naturalmente, poiché sono variabili, otterrai un'espressione che dipende da esse. È questa espressione che sarà l'equazione di un piano passante per tre punti dati che non giacciono su una retta!

Illustriamolo con un semplice esempio:

1. Costruisci l'equazione del piano passante per i punti

Componiamo un determinante per questi tre punti:

Semplificando:

Ora lo calcoliamo direttamente secondo la regola dei triangoli:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ destra| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cpunto 5 \cpunto 6 - )\]

Pertanto, l'equazione del piano passante per i punti è:

Ora prova a risolvere tu stesso un problema e poi ne discuteremo:

2. Trova l'equazione del piano passante per i punti

Bene, discutiamo ora la soluzione:

Facciamo un determinante:

E calcola il suo valore:

Allora l'equazione del piano ha la forma:

Oppure, riducendo di, otteniamo:

Ora due compiti per l'autocontrollo:

1. Costruisci l'equazione di un piano passante per tre punti:

Risposte:

Tutto corrispondeva? Ancora una volta, se ci sono alcune difficoltà, allora il mio consiglio è questo: prendi tre punti dalla tua testa (con un alto grado di probabilità non giacciono su una linea retta), costruisci un piano su di essi. E poi controlla te stesso online. Ad esempio, sul sito:

Tuttavia, con l'aiuto di determinanti, costruiremo non solo l'equazione del piano. Ricorda, ti ho detto che per i vettori non è definito solo il prodotto scalare. C'è anche un vettore, così come un prodotto misto. E se il prodotto scalare di due vettori sarà un numero, allora il prodotto vettoriale di due vettori sarà un vettore, e questo vettore sarà perpendicolare a quelli dati:

Inoltre, il suo modulo sarà uguale all'area del parallelogramma costruita sui vettori e. Avremo bisogno di questo vettore per calcolare la distanza da un punto a una linea. Come possiamo calcolare il prodotto incrociato dei vettori e se vengono fornite le loro coordinate? Il determinante del terzo ordine torna in nostro aiuto. Tuttavia, prima di passare all'algoritmo per il calcolo del prodotto incrociato, devo fare una piccola digressione lirica.

Questa digressione riguarda i vettori di base.

Schematicamente sono mostrati in figura:

Perché pensi che si chiamino basic? Il fatto è che :

Oppure nella foto:

La validità di questa formula è ovvia, perché:

prodotto vettoriale

Ora posso iniziare a introdurre il prodotto incrociato:

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore che viene calcolato secondo la seguente regola:

Ora diamo alcuni esempi di calcolo del prodotto incrociato:

Esempio 1: Trova il prodotto incrociato dei vettori:

Soluzione: faccio un determinante:

E lo calcolo:

Ora, dalla scrittura attraverso i vettori di base, tornerò alla solita notazione vettoriale:

In questo modo:

Ora prova.

Pronto? Controlliamo:

E tradizionalmente due compiti da controllare:

1. Trova il prodotto incrociato dei seguenti vettori:
2. Trova il prodotto incrociato dei seguenti vettori:

Risposte:

Prodotto misto di tre vettori

L'ultima costruzione di cui ho bisogno è il prodotto misto di tre vettori. Come uno scalare, è un numero. Ci sono due modi per calcolarlo. - attraverso il determinante, - attraverso il prodotto misto.

Vale a dire, diciamo di avere tre vettori:

Quindi il prodotto misto di tre vettori, indicato con può essere calcolato come:

1. - ovvero il prodotto misto è il prodotto scalare di un vettore e il prodotto vettoriale di altri due vettori

Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori è:

Prova a calcolarlo tu stesso usando il prodotto vettoriale e assicurati che i risultati corrispondano!

E ancora: due esempi per una soluzione indipendente:

Risposte:

Scelta del sistema di coordinate

Bene, ora abbiamo tutte le basi di conoscenza necessarie per risolvere complessi problemi stereometrici in geometria. Tuttavia, prima di procedere direttamente agli esempi e agli algoritmi per risolverli, credo che sarà utile soffermarsi sulla seguente domanda: come esattamente scegli un sistema di coordinate per una figura particolare. Dopotutto, è la scelta della posizione relativa del sistema di coordinate e della figura nello spazio che determinerà in definitiva quanto ingombranti saranno i calcoli.

Vi ricordo che in questa sezione stiamo considerando le seguenti figure:

1. cuboide
2. Prisma diritto (triangolare, esagonale...)
3. Piramide (triangolare, quadrangolare)
4. Tetraedro (lo stesso della piramide triangolare)

Per un cuboide o un cubo, consiglio la seguente costruzione:

Cioè, metterò la figura "nell'angolo". Il cubo e la scatola sono figure molto buone. Per loro, puoi sempre trovare facilmente le coordinate dei suoi vertici. Ad esempio, se (come mostrato nell'immagine)

allora le coordinate del vertice sono:

Naturalmente, non è necessario ricordarlo, ma è opportuno ricordare come posizionare al meglio un cubo o una scatola rettangolare.

prisma dritto

Il prisma è una figura più dannosa. Puoi sistemarlo nello spazio in diversi modi. Tuttavia, penso che la seguente sia l'opzione migliore:

Prisma triangolare:

Cioè, mettiamo uno dei lati del triangolo interamente sull'asse e uno dei vertici coincide con l'origine.

Prisma esagonale:

Cioè, uno dei vertici coincide con l'origine e uno dei lati giace sull'asse.

Piramide quadrangolare ed esagonale:

Una situazione simile a un cubo: combiniamo due lati della base con gli assi coordinati, combiniamo uno dei vertici con l'origine. L'unica piccola difficoltà sarà calcolare le coordinate del punto.

Per una piramide esagonale - lo stesso di un prisma esagonale. Il compito principale sarà di nuovo trovare le coordinate del vertice.

Tetraedro (piramide triangolare)

La situazione è molto simile a quella che ho indicato per il prisma triangolare: un vertice coincide con l'origine, un lato giace sull'asse delle coordinate.

Bene, ora tu ed io siamo finalmente vicini a iniziare a risolvere i problemi. Da quanto ho detto all'inizio dell'articolo, potresti trarre la seguente conclusione: la maggior parte dei problemi C2 rientrano in 2 categorie: problemi per l'angolo e problemi per la distanza. In primo luogo, considereremo i problemi per trovare un angolo. Essi, a loro volta, sono suddivisi nelle seguenti categorie (con l'aumentare della complessità):

Problemi per trovare angoli

1. Trovare l'angolo tra due rette
2. Trovare l'angolo tra due piani

Consideriamo questi problemi in sequenza: iniziamo trovando l'angolo tra due rette. Dai, ricorda, tu ed io abbiamo risolto esempi simili prima? Ricordi, perché avevamo già qualcosa di simile ... Stavamo cercando un angolo tra due vettori. Ti ricordo, se sono dati due vettori: e, allora l'angolo tra loro si trova dalla relazione:

Ora abbiamo un obiettivo: trovare l'angolo tra due rette. Passiamo al "quadro piatto":

Quanti angoli otteniamo quando due rette si intersecano? Già cose. È vero, solo due di loro non sono uguali, mentre altri sono verticali rispetto a loro (e quindi coincidono con loro). Quindi quale angolo dovremmo considerare l'angolo tra due rette: o? Ecco la regola: l'angolo tra due rette non è sempre maggiore di gradi. Cioè, da due angoli, sceglieremo sempre l'angolo con la misura del grado più piccolo. Cioè, in questa immagine, l'angolo tra le due linee è uguale. Per non preoccuparsi di trovare ogni volta il più piccolo dei due angoli, astuti matematici hanno suggerito di utilizzare il modulo. Pertanto, l'angolo tra due rette è determinato dalla formula:

Tu, da lettore attento, avresti dovuto fare una domanda: dove, infatti, prendiamo proprio questi numeri che ci servono per calcolare il coseno di un angolo? Risposta: li prenderemo dai vettori di direzione delle linee! Pertanto, l'algoritmo per trovare l'angolo tra due rette è il seguente:

1. Applichiamo la formula 1.

O più in dettaglio:

1. Cerchiamo le coordinate del vettore di direzione della prima retta
2. Cerchiamo le coordinate del vettore di direzione della seconda linea
3. Calcola il modulo del loro prodotto scalare
4. Cerchiamo la lunghezza del primo vettore
5. Cerchiamo la lunghezza del secondo vettore
6. Moltiplicare i risultati del punto 4 per i risultati del punto 5
7. Dividiamo il risultato del punto 3 per il risultato del punto 6. Otteniamo il coseno dell'angolo tra le rette
8. Se questo risultato ci permette di calcolare esattamente l'angolo, lo cerchiamo
9. Altrimenti, scriviamo attraverso l'arcoseno

Bene, ora è il momento di passare ai compiti: dimostrerò in dettaglio la soluzione dei primi due, presenterò brevemente la soluzione di un altro e darò solo risposte agli ultimi due compiti, devi fai tutti i calcoli per loro da solo.

Compiti:

1. Nel tet-ra-ed-re destro, trova-di-te l'angolo tra te-so-that tet-ra-ed-ra e il lato me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Nel sei-coal-pi-ra-mi-de destro in avanti, i cento-ro-na-os-no-va-niya sono in qualche modo uguali e le nervature laterali sono uguali, trova l'angolo tra il rettilineo linee e.

3. Le lunghezze di tutti i bordi del pi-ra-mi-dy destrorso four-you-rech-coal-noy sono uguali tra loro. Trova l'angolo tra le rette e se from-re-zok - you-so-that dato pi-ra-mi-dy, il punto è se-re-di-on her bo-ko-th rib

4. Sul bordo del cubo da-me-che-a un punto in modo che Trova-di-te l'angolo tra le rette e

5. Punto - se-re-di-on i bordi del cubo Nai-di-te l'angolo tra le rette e.

Non è un caso che io abbia messo i compiti in questo ordine. Anche se non hai ancora avuto il tempo di iniziare a navigare nel metodo delle coordinate, analizzerò io stesso le figure più "problematiche" e ti lascerò ad occuparti del cubo più semplice! A poco a poco devi imparare a lavorare con tutte le figure, aumenterò la complessità dei compiti da un argomento all'altro.

Iniziamo a risolvere i problemi:

1. Disegna un tetraedro, posizionalo nel sistema di coordinate come ho suggerito in precedenza. Poiché il tetraedro è regolare, tutte le sue facce (compresa la base) sono triangoli regolari. Dal momento che non ci viene data la lunghezza del lato, posso considerarla uguale. Penso che tu capisca che l'angolo non dipenderà proprio da quanto sarà "allungato" il nostro tetraedro ?. Disegnerò anche l'altezza e la mediana nel tetraedro. Lungo la strada disegnerò la sua base (ci tornerà utile anche).

Devo trovare l'angolo tra e. Cosa sappiamo? Conosciamo solo le coordinate del punto. Quindi, dobbiamo trovare più coordinate dei punti. Ora pensiamo: un punto è un punto di intersezione di altezze (o bisettrici o mediane) di un triangolo. Un punto è un punto elevato. Il punto è il punto medio del segmento. Poi finalmente dobbiamo trovare: le coordinate dei punti: .

Cominciamo con il più semplice: le coordinate del punto. Guarda la figura: È chiaro che l'applicata di un punto è uguale a zero (il punto giace su un piano). La sua ordinata è uguale (perché è la mediana). È più difficile trovare la sua ascissa. Tuttavia, questo è facilmente realizzabile sulla base del teorema di Pitagora: si consideri un triangolo. La sua ipotenusa è uguale e una delle gambe è uguale Quindi:

Infine abbiamo:

Ora troviamo le coordinate del punto. È chiaro che la sua applicata è di nuovo uguale a zero, e la sua ordinata è la stessa di un punto, cioè. Troviamo la sua ascissa. Questo è fatto in modo piuttosto banale se lo si ricorda le altezze di un triangolo equilatero sono divise per il punto di intersezione nella proporzione contando dall'alto. Poiché:, allora l'ascissa desiderata del punto, uguale alla lunghezza del segmento, è uguale a:. Pertanto, le coordinate del punto sono:

Troviamo le coordinate del punto. È chiaro che la sua ascissa e l'ordinata coincidono con l'ascissa e l'ordinata del punto. E l'applique è uguale alla lunghezza del segmento. - questa è una delle gambe del triangolo. L'ipotenusa di un triangolo è un segmento: una gamba. Si ricerca per i motivi che ho evidenziato in grassetto:

Il punto è il punto medio del segmento. Quindi dobbiamo ricordare la formula per le coordinate del centro del segmento:

Ecco fatto, ora possiamo cercare le coordinate dei vettori di direzione:

Bene, tutto è pronto: sostituiamo tutti i dati nella formula:

In questo modo,

Risposta:

Non dovresti aver paura di risposte così "terribili": per i problemi C2 questa è una pratica comune. Preferirei essere sorpreso dalla risposta "bella" in questa parte. Inoltre, come hai notato, praticamente non ho fatto ricorso a nient'altro che al teorema di Pitagora e alla proprietà delle altezze di un triangolo equilatero. Cioè, per risolvere il problema della stereometria, ho usato il minimo della stereometria. Il guadagno in questo è parzialmente "estinto" da calcoli piuttosto ingombranti. Ma sono abbastanza algoritmici!

2. Disegna una piramide esagonale regolare insieme al sistema di coordinate e alla sua base:

Dobbiamo trovare l'angolo tra le linee e. Così, il nostro compito si riduce a trovare le coordinate dei punti: . Troveremo le coordinate degli ultimi tre dal piccolo disegno e troveremo la coordinata del vertice attraverso la coordinata del punto. Tanto lavoro, ma devo iniziare!

a) Coordinata: è chiaro che la sua applicata e ordinata sono zero. Troviamo l'ascissa. Per fare ciò, considera un triangolo rettangolo. Purtroppo, in esso conosciamo solo l'ipotenusa, che è uguale a. Cercheremo di trovare la gamba (perché è chiaro che il doppio della lunghezza della gamba ci darà l'ascissa del punto). Come possiamo cercarla? Ricordiamo che tipo di figura abbiamo alla base della piramide? Questo è un esagono regolare. Cosa significa? Ciò significa che tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. Dobbiamo trovare uno di questi angoli. Qualche idea? Ci sono molte idee, ma c'è una formula:

La somma degli angoli di un n-gon regolare è .

Pertanto, la somma degli angoli di un esagono regolare è gradi. Quindi ciascuno degli angoli è uguale a:

Guardiamo di nuovo l'immagine. È chiaro che il segmento è la bisettrice dell'angolo. Quindi l'angolo è gradi. Poi:

Poi dove.

Quindi ha le coordinate

b) Ora possiamo trovare facilmente la coordinata del punto: .

c) Trova le coordinate del punto. Poiché la sua ascissa coincide con la lunghezza del segmento, è uguale. Anche trovare l'ordinata non è molto difficile: se colleghiamo i punti e indichiamo il punto di intersezione della retta, diciamo per. (fai da te costruzione semplice). Allora quindi l'ordinata del punto B è uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti. Esaminiamo di nuovo il triangolo. Poi

Allora da allora il punto ha coordinate

d) Ora trova le coordinate del punto. Si consideri un rettangolo e si dimostri che quindi le coordinate del punto sono:

e) Resta da trovare le coordinate del vertice. È chiaro che la sua ascissa e l'ordinata coincidono con l'ascissa e l'ordinata del punto. Troviamo un'app. Da allora. Considera un triangolo rettangolo. Dalla condizione del problema, il bordo laterale. Questa è l'ipotenusa del mio triangolo. Quindi l'altezza della piramide è la gamba.

Allora il punto ha le coordinate:

Ecco fatto, ho le coordinate di tutti i punti di interesse per me. Sto cercando le coordinate dei vettori direttivi delle rette:

Cerchiamo l'angolo tra questi vettori:

Risposta:

Anche in questo caso, per risolvere questo problema, non ho utilizzato trucchi sofisticati, ad eccezione della formula per la somma degli angoli di un n-gon regolare, nonché della definizione del coseno e del seno di un triangolo rettangolo.

3. Poiché di nuovo non ci viene data la lunghezza degli spigoli nella piramide, le considererò uguali a uno. Quindi, poiché TUTTI gli spigoli, e non solo quelli laterali, sono uguali tra loro, allora alla base della piramide e me si trova un quadrato e le facce laterali sono triangoli regolari. Descriviamo una tale piramide, così come la sua base su un piano, contrassegnando tutti i dati forniti nel testo del problema:

Stiamo cercando l'angolo tra e. Farò calcoli molto brevi quando cercherò le coordinate dei punti. Dovrai "decrittografarli":

b) - la metà del segmento. Le sue coordinate:

c) Troverò la lunghezza del segmento usando il teorema di Pitagora in un triangolo. Troverò per il teorema di Pitagora in un triangolo.

Coordinate:

d) - la metà del segmento. Le sue coordinate sono

e) Coordinate vettoriali

f) Coordinate vettoriali

g) Alla ricerca di un angolo:

Il cubo è la figura più semplice. Sono sicuro che puoi capirlo da solo. Le risposte ai problemi 4 e 5 sono le seguenti:

Trovare l'angolo tra una retta e un piano

Bene, il tempo dei semplici puzzle è finito! Ora gli esempi saranno ancora più difficili. Per trovare l'angolo tra una retta e un piano, procederemo come segue:

1. Usando tre punti, costruiamo l'equazione del piano
   ,
   utilizzando un determinante di terzo ordine.
2. Per due punti cerchiamo le coordinate del vettore direzionale della retta:
3. Applichiamo la formula per calcolare l'angolo tra una retta e un piano:

Come puoi vedere, questa formula è molto simile a quella che abbiamo usato per trovare gli angoli tra due linee. La struttura del lato destro è proprio la stessa, e a sinistra ora stiamo cercando un seno e non un coseno, come prima. Bene, è stata aggiunta una brutta azione: la ricerca dell'equazione dell'aereo.

Non accantoniamo esempi risolutivi:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with-that-price-siamo uguali. Trova l'angolo tra la retta e il piano

2. In un rettangolo pa-ral-le-le-pi-pe-de da West Nai-di-te l'angolo tra la retta e il piano

3. Nel prisma a sei carboni destrorso, tutti i bordi sono uguali. Trova l'angolo tra la retta e il piano.

4. Nel triangolare destro pi-ra-mi-de con l'os-but-va-ni-em da ovest della nervatura Nai-di-te angolo, ob-ra-zo-van -ny piano dell'os -no-va-niya e straight-my, passando per il se-re-di-na delle costole e

5. Le lunghezze di tutti i bordi del pi-ra-mi-dy quadrangolare destro con la parte superiore sono uguali tra loro. Trova l'angolo tra la retta e il piano, se il punto è se-re-di-sul bo-ko-in-esimo bordo del pi-ra-mi-dy.

Ancora una volta, risolverò i primi due problemi in dettaglio, il terzo brevemente, e lascerò che gli ultimi due li risolvano da soli. Inoltre, hai già avuto a che fare con piramidi triangolari e quadrangolari, ma non ancora con prismi.

Soluzioni:

1. Disegna un prisma, così come la sua base. Combiniamolo con il sistema di coordinate e contrassegniamo tutti i dati forniti nella dichiarazione del problema:

Mi scuso per qualche non osservanza delle proporzioni, ma per risolvere il problema questo, in effetti, non è così importante. L'aereo è solo il "muro di fondo" del mio prisma. Basta semplicemente indovinare che l'equazione di un tale piano ha la forma:

Tuttavia, questo può anche essere mostrato direttamente:

Scegliamo arbitrariamente tre punti su questo piano: per esempio, .

Facciamo l'equazione del piano:

Esercizio per te: calcola tu stesso questo determinante. Ci sei riuscito? Allora l'equazione del piano ha la forma:

O semplicemente

In questo modo,

Per risolvere l'esempio, devo trovare le coordinate del vettore diretto della retta. Poiché il punto ha coinciso con l'origine, le coordinate del vettore coincideranno semplicemente con le coordinate del punto Per fare ciò, troviamo prima le coordinate del punto.

Per fare ciò, considera un triangolo. Disegniamo un'altezza (è anche una mediana e una bisettrice) dall'alto. Poiché, allora l'ordinata del punto è uguale. Per trovare l'ascissa di questo punto, dobbiamo calcolare la lunghezza del segmento. Per il teorema di Pitagora si ha:

Allora il punto ha le coordinate:

Un punto è un "sollevato" su un punto:

Quindi le coordinate del vettore:

Risposta:

Come puoi vedere, non c'è nulla di fondamentalmente difficile nel risolvere tali problemi. In effetti, la "drittezza" di una figura come un prisma semplifica un po' di più il processo. Passiamo ora al prossimo esempio:

2. Disegniamo un parallelepipedo, disegniamo un piano e una linea retta e disegniamo anche separatamente la sua base inferiore:

Innanzitutto, troviamo l'equazione del piano: Le coordinate dei tre punti che giacciono in esso:

(le prime due coordinate sono ottenute in modo ovvio e puoi facilmente trovare l'ultima coordinata dall'immagine dal punto). Quindi componiamo l'equazione del piano:

Calcoliamo:

Cerchiamo le coordinate del vettore di direzione: è chiaro che le sue coordinate coincidono con le coordinate del punto, vero? Come trovare le coordinate? Queste sono le coordinate del punto, sollevate di uno lungo l'asse dell'applicata! . Quindi cerchiamo l'angolo desiderato:

Risposta:

3. Disegna una piramide esagonale regolare, quindi disegna un piano e una linea retta al suo interno.

Qui è persino problematico disegnare un piano, per non parlare della soluzione di questo problema, ma al metodo delle coordinate non interessa! È nella sua versatilità che sta il suo principale vantaggio!

L'aereo passa per tre punti: . Cerchiamo le loro coordinate:

uno) . Visualizza tu stesso le coordinate degli ultimi due punti. Dovrai risolvere il problema con una piramide esagonale per questo!

2) Costruiamo l'equazione del piano:

Cerchiamo le coordinate del vettore: . (Vedi di nuovo il problema della piramide triangolare!)

3) Cerchiamo un angolo:

Risposta:

Come puoi vedere, non c'è nulla di soprannaturalmente difficile in questi compiti. Devi solo stare molto attento con le radici. Agli ultimi due problemi darò solo risposte:

Come puoi vedere, la tecnica per risolvere i problemi è la stessa ovunque: il compito principale è trovare le coordinate dei vertici e sostituirle in alcune formule. Resta da considerare un'altra classe di problemi per il calcolo degli angoli, vale a dire:

Calcolo degli angoli tra due piani

L'algoritmo risolutivo sarà il seguente:

1. Per tre punti cerchiamo l'equazione del primo piano:
2. Per gli altri tre punti, cerchiamo l'equazione del secondo piano:
3. Applichiamo la formula:

Come puoi vedere, la formula è molto simile alle due precedenti, con l'aiuto delle quali cercavamo gli angoli tra le rette e tra una retta e un piano. Quindi ricordare questo non sarà difficile per te. Entriamo subito nel problema:

1. Centoro sulla base del prisma triangolare retto è uguale, e il dia-go-nal della faccia laterale è uguale. Trova l'angolo tra il piano e il piano della base del premio.

2. Nell'attaccante destro four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, tutti i bordi di qualcuno sono uguali, trova il seno dell'angolo tra il piano e il piano Ko-Stu, passando per il punto di per-pen-di-ku-lyar-ma straight-my.

3. In un prisma regolare a quattro carboni, i lati dell'os-no-va-nia sono uguali e i bordi laterali sono uguali. Al limite da-me-che-al punto in modo che. Trova l'angolo tra i piani e

4. Nel prisma quadrangolare destro, i lati delle basi sono uguali e gli spigoli laterali sono uguali. Sul bordo da-me-che-a un punto in modo che Trova l'angolo tra i piani e.

5. Nel cubo, trova il co-seno dell'angolo tra i piani e

Soluzioni ai problemi:

1. Disegno un prisma triangolare regolare (alla base - un triangolo equilatero) e vi segno i piani che appaiono nella condizione del problema:

Dobbiamo trovare le equazioni di due piani: L'equazione di base si ottiene banalmente: puoi fare il determinante corrispondente per tre punti, ma farò subito l'equazione:

Ora troviamo l'equazione Punto ha coordinate Punto - Poiché - la mediana e l'altezza del triangolo, è facile da trovare con il teorema di Pitagora in un triangolo. Quindi il punto ha le coordinate: Trova l'applicata del punto Per fare ciò, considera un triangolo rettangolo

Quindi otteniamo le seguenti coordinate: Componiamo l'equazione del piano.

Calcoliamo l'angolo tra i piani:

Risposta:

2. Fare un disegno:

La cosa più difficile è capire che tipo di piano misterioso sia, passando per un punto perpendicolarmente. Bene, la cosa principale è che cos'è? La cosa principale è l'attenzione! La retta è infatti perpendicolare. La linea è anche perpendicolare. Quindi il piano che passa per queste due linee sarà perpendicolare alla linea e, a proposito, passerà per il punto. Questo piano passa anche attraverso la sommità della piramide. Quindi l'aereo desiderato - E l'aereo ci è già stato dato. Cerchiamo le coordinate dei punti.

Troviamo la coordinata del punto attraverso il punto. Da un piccolo disegno è facile dedurre che le coordinate del punto saranno le seguenti: Cosa resta ora da trovare per trovare le coordinate della sommità della piramide? Devo ancora calcolarne l'altezza. Questo viene fatto usando lo stesso teorema di Pitagora: prima, dimostralo (banalmente da piccoli triangoli che formano un quadrato alla base). Poiché per condizione abbiamo:

Ora è tutto pronto: coordinate del vertice:

Componiamo l'equazione del piano:

Sei già un esperto nel calcolo dei determinanti. Riceverai facilmente:

O altrimenti (se moltiplichiamo entrambe le parti per la radice di due)

Ora troviamo l'equazione del piano:

(Non hai dimenticato come otteniamo l'equazione dell'aereo, vero? Se non capisci da dove viene questo meno uno, torna alla definizione dell'equazione dell'aereo! Si è sempre scoperto prima di quello che il mio aereo apparteneva all'origine!)

Calcoliamo il determinante:

(Potresti notare che l'equazione del piano coincideva con l'equazione della retta passante per i punti e! Pensa perché!)

Ora calcoliamo l'angolo:

Dobbiamo trovare il seno:

Risposta:

3. Una domanda difficile: cos'è un prisma rettangolare, cosa ne pensi? È solo un noto parallelepipedo per te! Disegna subito! Puoi anche non rappresentare separatamente la base, qui serve a poco:

Il piano, come abbiamo notato in precedenza, è scritto come un'equazione:

Ora facciamo un aereo

Componiamo subito l'equazione del piano:

Alla ricerca di un angolo

Ora le risposte agli ultimi due problemi:

Bene, ora è il momento di prenderci una pausa, perché io e te siamo fantastici e abbiamo fatto un ottimo lavoro!

Coordinate e vettori. Livello avanzato

In questo articolo, discuteremo con te un'altra classe di problemi che possono essere risolti usando il metodo delle coordinate: i problemi di distanza. Vale a dire, considereremo i seguenti casi:

1. Calcolo della distanza tra le linee di skew.

Ho ordinato i compiti assegnati man mano che la loro complessità aumenta. Il più facile è trovarlo distanza da punto a piano e la parte più difficile è trovare distanza tra linee che si intersecano. Anche se, ovviamente, nulla è impossibile! Non procrastiniamo e procediamo immediatamente alla considerazione della prima classe di problemi:

Calcolo della distanza da un punto ad un piano

Di cosa abbiamo bisogno per risolvere questo problema?

1. Coordinate del punto

Quindi, non appena otteniamo tutti i dati necessari, applichiamo la formula:

Dovresti già sapere come costruiamo l'equazione del piano dai problemi precedenti che ho analizzato nell'ultima parte. Mettiamoci subito al lavoro. Lo schema è il seguente: 1, 2 - ti aiuto a decidere e, in alcuni dettagli, 3, 4 - solo la risposta, prendi tu stesso la decisione e confronta. Cominciato!

Compiti:

1. Dato un cubo. La lunghezza del bordo del cubo è Trova-di-te distanza da se-re-di-ny da tagliato a piatto

2. Dato il diritto-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge centinaio-ro-on, l'os-no-va-nia è uguale. Trova-di-quelle distanze da un punto a un piano dove - se-ri-di-sui bordi.

3. Nel triangolare destro pi-ra-mi-de con os-but-va-ni-em, l'altro bordo è uguale, e cento-ro-on os-no-vaniya è uguale. Trova-di-quelle distanze dalla cima all'aereo.

4. Nel prisma a sei carboni destrorso, tutti i bordi sono uguali. Trova-di-quelle distanze da un punto a un piano.

Soluzioni:

1. Disegna un cubo con bordi singoli, costruisci un segmento e un piano, indica il centro del segmento con la lettera

.

Innanzitutto, iniziamo con uno facile: trova le coordinate di un punto. Da allora (ricorda le coordinate del centro del segmento!)

Ora componiamo l'equazione del piano su tre punti

\[\sinistra| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Ora posso iniziare a trovare la distanza:

2. Ripartiamo con un disegno, su cui segniamo tutti i dati!

Per una piramide, sarebbe utile disegnare la sua base separatamente.

Anche il fatto di disegnare come una zampa di gallina non ci impedirà di risolvere facilmente questo problema!

Ora è facile trovare le coordinate di un punto

Poiché le coordinate del punto

2. Poiché le coordinate del punto a sono la metà del segmento, allora

Possiamo facilmente trovare le coordinate di altri due punti sul piano, componiamo l'equazione del piano e la semplifichiamo:

\[\sinistra| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Poiché il punto ha coordinate: , calcoliamo la distanza:

Risposta (molto rara!):

Bene, hai capito? Mi sembra che tutto qui sia altrettanto tecnico come negli esempi che abbiamo considerato con te nella parte precedente. Quindi sono sicuro che se hai imparato quel materiale, non sarà difficile per te risolvere i restanti due problemi. Ti do solo le risposte:

Calcolo della distanza da una linea a un piano

In realtà, non c'è niente di nuovo qui. Come possono una linea e un piano essere posizionati l'uno rispetto all'altro? Hanno tutte le possibilità: per intersecare, oppure una retta è parallela al piano. Quale pensi sia la distanza dalla retta al piano con cui si interseca la retta data? Mi sembra chiaro che tale distanza sia uguale a zero. Caso poco interessante.

Il secondo caso è più complicato: qui la distanza è già diversa da zero. Tuttavia, poiché la retta è parallela al piano, ogni punto della retta è equidistante da questo piano:

In questo modo:

E questo significa che il mio compito è stato ridotto al precedente: cerchiamo le coordinate di un punto qualsiasi della retta, cerchiamo l'equazione del piano, calcoliamo la distanza dal punto al piano. In effetti, tali compiti nell'esame sono estremamente rari. Sono riuscito a trovare un solo problema e i dati in esso contenuti erano tali che il metodo delle coordinate non era molto applicabile ad esso!

Passiamo ora a un'altra classe di problemi molto più importante:

Calcolo della distanza di un punto da una linea

Di cosa avremo bisogno?

1. Le coordinate del punto da cui cerchiamo la distanza:

2. Coordinate di qualsiasi punto giacente su una retta

3. Coordinate vettoriali di direzione della retta

Quale formula utilizziamo?

Cosa significa per te il denominatore di questa frazione e quindi dovrebbe essere chiaro: questa è la lunghezza del vettore diretto della retta. Ecco un numeratore molto complicato! L'espressione indica il modulo (lunghezza) del prodotto vettoriale dei vettori e Come calcolare il prodotto vettoriale, che abbiamo studiato nella parte precedente del lavoro. Aggiorna le tue conoscenze, ci sarà molto utile ora!

Pertanto, l'algoritmo per la risoluzione dei problemi sarà il seguente:

1. Cerchiamo le coordinate del punto da cui cerchiamo la distanza:

2. Cerchiamo le coordinate di qualsiasi punto della retta a cui stiamo cercando la distanza:

3. Costruire un vettore

4. Costruiamo il vettore di direzione della retta

5. Calcola il prodotto incrociato

6. Cerchiamo la lunghezza del vettore risultante:

7. Calcola la distanza:

Abbiamo molto lavoro e gli esempi saranno piuttosto complessi! Quindi ora concentra tutta la tua attenzione!

1. Dana è un pi-ra-mi-da triangolare destrorso con un vertice. Cento-ro-sul os-no-va-niya pi-ra-mi-dy è uguale, tu-so-ta è uguale. Trova-di-quelle distanze dal se-re-di-ny del bo-ko-esimo bordo alla retta, dove i punti e sono il se-re-di-ny delle nervature e co-from-vet -stven-ma.

2. Le lunghezze delle nervature e dell'angolo retto-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sono rispettivamente uguali e la distanza Find-di-te da top-shi-ny a straight-my

3. Nel prisma a sei carboni di destra, tutti i bordi di uno sciame sono uguali trova-di-quella distanza da un punto a una linea retta

Soluzioni:

1. Facciamo un disegno pulito, sul quale contrassegniamo tutti i dati:

Abbiamo tanto lavoro per te! Vorrei prima descrivere a parole cosa cercheremo e in quale ordine:

1. Coordinate dei punti e

2. Coordinate del punto

3. Coordinate dei punti e

4. Coordinate dei vettori e

5. Il loro prodotto incrociato

6. Lunghezza del vettore

7. La lunghezza del prodotto vettoriale

8. Distanza da a

Bene, abbiamo molto lavoro da fare! Rimbocchiamoci le maniche!

1. Per trovare le coordinate dell'altezza della piramide, dobbiamo conoscere le coordinate del punto, la sua applicata è zero e l'ordinata è uguale alla sua ascissa. Finalmente abbiamo le coordinate:

Coordinate del punto

2. - metà del segmento

3. - la metà del segmento

punto medio

4. Coordinate

Coordinate vettoriali

5. Calcola il prodotto vettoriale:

6. La lunghezza del vettore: il modo più semplice è sostituire che il segmento sia la linea mediana del triangolo, il che significa che è uguale a metà della base. Così che.

7. Consideriamo la lunghezza del prodotto vettoriale:

8. Infine, trova la distanza:

Uff, tutto qui! Sinceramente, ti dirò: risolvere questo problema con i metodi tradizionali (attraverso le costruzioni) sarebbe molto più veloce. Ma qui ho ridotto tutto ad un algoritmo già pronto! Penso che l'algoritmo della soluzione ti sia chiaro? Pertanto, ti chiederò di risolvere da solo i restanti due problemi. Confronta le risposte?

Ancora, lo ripeto: è più facile (più veloce) risolvere questi problemi attraverso le costruzioni, piuttosto che ricorrere al metodo delle coordinate. Ho dimostrato questo modo di risolvere solo per mostrarti un metodo universale che ti permette di "non completare nulla".

Infine, considera l'ultima classe di problemi:

Calcolo della distanza tra le linee di skew

Qui l'algoritmo per la risoluzione dei problemi sarà simile al precedente. Cosa abbiamo:

3. Qualsiasi vettore che collega i punti della prima e della seconda linea:

Come troviamo la distanza tra le linee?

La formula è:

Il numeratore è il modulo del prodotto misto (lo abbiamo introdotto nella parte precedente), e il denominatore - come nella formula precedente (il modulo del prodotto vettoriale dei vettori direttivi delle linee, la distanza tra cui stiamo cercando per).

Te lo ricorderò

poi la formula della distanza può essere riscritta come:

Dividi questo determinante per il determinante! Anche se, ad essere onesto, non sono dell'umore giusto per le battute qui! Questa formula, infatti, è molto macchinosa e porta a calcoli piuttosto complicati. Fossi in te, lo userei solo come ultima risorsa!

Proviamo a risolvere alcuni problemi usando il metodo sopra:

1. Nel prisma triangolare destro, tutti i bordi sono in qualche modo uguali, trova la distanza tra le linee rette e.

2. Dato un prisma triangolare a forma di prua destra, tutti i bordi dell'os-no-va-niya di qualcuno sono uguali a Se-che-tion, passante per l'altra costola e le costole se-re-di-nu sono yav-la-et-sya piazza-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie tra straight-we-mi e

Io decido il primo e, in base ad esso, decidi tu il secondo!

1. Disegno un prisma e segno le linee e

Coordinate del punto C: allora

Coordinate del punto

Coordinate vettoriali

Coordinate del punto

Coordinate vettoriali

Coordinate vettoriali

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Consideriamo il prodotto incrociato tra i vettori e

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Consideriamo ora la sua lunghezza:

Risposta:

Ora prova a completare con attenzione il secondo compito. La risposta sarà:.

Coordinate e vettori. Breve descrizione e formule di base

Un vettore è un segmento diretto. - l'inizio del vettore, - la fine del vettore.
Il vettore è indicato da o.

Valore assoluto vettore - la lunghezza del segmento che rappresenta il vettore. Designato come.

Coordinate vettoriali:

,
dove sono le estremità del vettore \displaystyle a .

Somma dei vettori: .

Il prodotto dei vettori:

Prodotto scalare dei vettori:

Affinché un unico piano possa essere disegnato attraverso tre punti qualsiasi nello spazio, è necessario che questi punti non giacciono su una linea retta.

Considera i punti M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) in un comune sistema di coordinate cartesiane.

Affinché un punto arbitrario M(x, y, z) si trovi sullo stesso piano dei punti M 1 , M 2 , M 3 , i vettori devono essere complanari.

(
) = 0

In questo modo,

Equazione di un piano passante per tre punti:

Equazione di un piano rispetto a due punti e vettore collineare al piano.

Siano i punti M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) e il vettore
.

Componiamo l'equazione del piano passante per i punti dati M 1 e M 2 e un punto arbitrario M (x, y, z) parallelo al vettore .

vettori
e vettore
deve essere complanare, cioè

(
) = 0

Equazione piana:

Equazione di un piano rispetto a un punto e due vettori,

piano collineare.

Siano dati due vettori
e
, piani collineari. Quindi per un punto arbitrario M(x, y, z) appartenente al piano, i vettori
deve essere complanare.

Equazione piana:

Equazione piana per punto e vettore normale .

Teorema. Se nello spazio è dato un punto M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), quindi l'equazione del piano passante per il punto M 0 perpendicolare al vettore normale (UN, B, C) sembra:

UN(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prova. Per un punto arbitrario M(x, y, z) appartenente al piano, componiamo un vettore . Perché vettore - il vettore normale, quindi perpendicolare al piano e, quindi, perpendicolare al vettore
. Poi il prodotto scalare

= 0

Quindi, otteniamo l'equazione del piano

Il teorema è stato dimostrato.

Equazione di un piano in segmenti.

Se nell'equazione generale Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, dividi entrambe le parti per (-D)

,

sostituzione
, otteniamo l'equazione del piano in segmenti:

I numeri a, b, c sono i punti di intersezione del piano, rispettivamente, con gli assi x, y, z.

Equazione piana in forma vettoriale.

dove

- vettore raggio del punto corrente M(x, y, z),

Un vettore unitario che ha la direzione della perpendicolare caduta al piano dall'origine.

,  e  sono gli angoli formati da questo vettore con gli assi x, y, z.

p è la lunghezza di questa perpendicolare.

In coordinate, questa equazione ha la forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

La distanza da un punto a un piano.

La distanza da un punto arbitrario M 0 (x 0, y 0, z 0) al piano Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 è:

Esempio. Trova l'equazione del piano, sapendo che il punto P (4; -3; 12) è la base della perpendicolare caduta dall'origine a questo piano.

Quindi A = 4/13; B = -3/13; C = 13/12, usa la formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Esempio. Trova l'equazione di un piano passante per due punti P(2; 0; -1) e

Q(1; -1; 3) è perpendicolare al piano 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vettore normale al piano 3x + 2y - z + 5 = 0
parallela al piano desiderato.

Noi abbiamo:

Esempio. Trova l'equazione del piano passante per i punti A(2, -1, 4) e

Â(3, 2, -1) perpendicolare al piano X + in + 2z – 3 = 0.

L'equazione piana desiderata ha la forma: A X+B y+ C z+ D = 0, il vettore normale a questo piano (A, B, C). Vettore
(1, 3, -5) appartiene al piano. Il piano che ci viene dato, perpendicolare a quello desiderato, ha un vettore normale (1, 1, 2). Perché i punti A e B appartengono a entrambi i piani e quindi i piani sono tra loro perpendicolari

Quindi il vettore normale (11, -7, -2). Perché il punto A appartiene al piano desiderato, quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione di questo piano, cioè 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

In totale, otteniamo l'equazione del piano: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Esempio. Trova l'equazione del piano sapendo che il punto P(4, -3, 12) è la base della perpendicolare caduta dall'origine a questo piano.

Trovare le coordinate del vettore normale
= (4, -3, 12). L'equazione desiderata del piano ha la forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Per trovare il coefficiente D, sostituiamo le coordinate del punto Р nell'equazione:

16 + 9 + 144 + D = 0

In totale, otteniamo l'equazione desiderata: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Esempio. Date le coordinate dei vertici della piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Trova la lunghezza del bordo A 1 A 2 .

Trova l'angolo tra i bordi A 1 A 2 e A 1 A 4.

Trova l'angolo tra il bordo A 1 A 4 e la faccia A 1 A 2 A 3 .

Per prima cosa, trova il vettore normale alla faccia A 1 A 2 A 3 come prodotto incrociato di vettori
e
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Trova l'angolo tra il vettore normale e il vettore
.

-4 – 4 = -8.

L'angolo desiderato  tra il vettore e il piano sarà uguale a  = 90 0 - .

Trova l'area della faccia A 1 A 2 A 3 .

Trova il volume della piramide.

Trova l'equazione del piano А 1 А 2 А 3 .

Usiamo la formula per l'equazione di un piano passante per tre punti.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Quando si utilizza la versione PC di “ Corso di matematica superiore” puoi eseguire un programma che risolverà l'esempio sopra per qualsiasi coordinata dei vertici della piramide.

Fare doppio clic sull'icona per avviare il programma:

Nella finestra del programma che si apre, inserisci le coordinate dei vertici della piramide e premi Invio. Pertanto, tutti i punti decisionali possono essere ottenuti uno per uno.

Nota: per eseguire il programma, devi avere Maple ( Waterloo Maple Inc.) installato sul tuo computer, qualsiasi versione che inizia con MapleV Release 4.

Nell'ambito di questo materiale, analizzeremo come trovare l'equazione di un piano se conosciamo le coordinate di tre punti diversi su di esso che non giacciono su una retta. Per fare ciò, dobbiamo ricordare cos'è un sistema di coordinate rettangolare nello spazio tridimensionale. Innanzitutto, introduciamo il principio di base di questa equazione e mostriamo come usarlo per risolvere problemi specifici.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Per cominciare, dobbiamo ricordare un assioma, che suona così:

Definizione 1

Se tre punti non coincidono tra loro e non giacciono su una linea retta, nello spazio tridimensionale passa solo un piano attraverso di essi.

In altre parole, se abbiamo tre punti diversi le cui coordinate non coincidono e che non possono essere collegati da una retta, allora possiamo determinare il piano che lo attraversa.

Diciamo di avere un sistema di coordinate rettangolare. Indichiamolo O x y z . Contiene tre punti M con coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) che non possono essere collegati rettilinei linea. Sulla base di queste condizioni, possiamo scrivere l'equazione dell'aereo di cui abbiamo bisogno. Ci sono due approcci per risolvere questo problema.

1. Il primo approccio utilizza l'equazione generale del piano. In forma letterale, è scritto come A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Con esso, puoi impostare un certo piano alfa in un sistema di coordinate rettangolare, che passa per il primo punto dato M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Si scopre che il vettore piano normale α avrà le coordinate A, B, C.

Definizione di n

Conoscendo le coordinate del vettore normale e le coordinate del punto attraverso il quale passa il piano, possiamo scrivere l'equazione generale di questo piano.

Da questo procederemo ulteriormente.

Quindi, a seconda delle condizioni del problema, abbiamo le coordinate del punto desiderato (anche tre), attraverso il quale passa l'aereo. Per trovare l'equazione, devi calcolare le coordinate del suo vettore normale. Indichiamolo n → .

Ricorda la regola: qualsiasi vettore diverso da zero di un dato piano è perpendicolare al vettore normale dello stesso piano. Allora abbiamo che n → sarà perpendicolare ai vettori composti dai punti iniziali M 1 M 2 → e M 1 M 3 → . Allora possiamo denotare n → come prodotto vettoriale della forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Poiché M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) e M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (le prove di queste uguaglianze sono fornite nell'articolo dedicato al calcolo delle coordinate di un vettore dalle coordinate dei punti), quindi risulta che:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = io → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z uno

Se calcoliamo il determinante, otterremo le coordinate del vettore normale n → di cui abbiamo bisogno. Ora possiamo scrivere l'equazione di cui abbiamo bisogno per un piano passante per tre punti dati.

2. Il secondo approccio per trovare un'equazione passante per M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) è basato su un concetto come la complanarità dei vettori.

Se abbiamo un insieme di punti M (x, y, z) , allora in un sistema di coordinate rettangolare essi definiscono un piano per i punti dati M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) solo se i vettori M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) e M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) saranno complanari.

Sul diagramma apparirà così:

Ciò significa che il prodotto misto dei vettori M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sarà uguale a zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , poiché questa è la condizione principale di complanarità: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) e M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Scriviamo l'equazione risultante in forma di coordinate:

Dopo aver calcolato il determinante, possiamo ottenere l'equazione del piano di cui abbiamo bisogno per tre punti che non giacciono su una retta M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Dall'equazione risultante, puoi passare all'equazione del piano in segmenti o all'equazione normale del piano, se richiesto dalle condizioni del problema.

Nel prossimo paragrafo daremo esempi di come gli approcci che abbiamo indicato sono implementati nella pratica.

Esempi di attività per compilare un'equazione di un piano passante per 3 punti

In precedenza, abbiamo identificato due approcci che possono essere utilizzati per trovare l'equazione desiderata. Vediamo come vengono utilizzati nel problem solving e quando sceglierli.

Esempio 1

Ci sono tre punti che non giacciono su una retta, con coordinate M 1 (-3, 2, - 1), M 2 (-1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Scrivi un'equazione per un piano che li attraversa.

Soluzione

Usiamo entrambi i metodi a turno.

1. Trova le coordinate dei due vettori di cui abbiamo bisogno M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Ora calcoliamo il loro prodotto vettoriale. In questo caso, non descriveremo i calcoli del determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = io → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 io → + 30 j → + 2 k →

Abbiamo un vettore normale del piano che passa per i tre punti richiesti: n → = (- 5 , 30 , 2) . Successivamente, dobbiamo prendere uno dei punti, ad esempio M 1 (- 3 , 2 , - 1) e scrivere l'equazione per il piano con il vettore n → = (- 5 , 30, 2) . Otteniamo che: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Questa è l'equazione del piano di cui abbiamo bisogno, che passa per tre punti.

2. Usiamo un approccio diverso. Scriviamo l'equazione per un piano con tre punti M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) nel seguente modulo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Qui puoi sostituire i dati dalla condizione del problema. Poiché x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, di conseguenza otterremo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Abbiamo l'equazione di cui abbiamo bisogno.

Risposta:- 5x + 30 anni + 2z - 73 .

Ma cosa succede se i punti dati si trovano ancora sulla stessa retta e abbiamo bisogno di comporre un'equazione piana per loro? Qui va detto subito che questa condizione non sarà del tutto corretta. Infinitamente molti piani possono passare attraverso tali punti, quindi è impossibile calcolare una singola risposta. Consideriamo un tale problema per provare l'inesattezza di una tale formulazione della domanda.

Esempio 2

Abbiamo un sistema di coordinate rettangolare nello spazio 3D contenente tre punti con coordinate M 1 (5 , - 8 , - 2), M 2 (1 , - 2 , 0), M 3 (- 1 , 1 , 1) . È necessario scrivere un'equazione per un piano che lo attraversa.

Soluzione

Usiamo il primo metodo e iniziamo calcolando le coordinate di due vettori M 1 M 2 → e M 1 M 3 → . Calcoliamo le loro coordinate: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Il prodotto vettoriale sarà uguale a:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = io → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 io ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Poiché M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , i nostri vettori saranno collineari (rileggi l'articolo su di essi se hai dimenticato la definizione di questo concetto). Quindi, i punti iniziali M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sono sulla stessa retta e il nostro problema è infinitamente molte opzioni di risposta.

Se utilizziamo il secondo metodo, otteniamo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Dall'uguaglianza risultante segue anche che i punti dati M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sono sulla stessa retta.

Se vuoi trovare almeno una risposta a questo problema tra un numero infinito di opzioni, devi seguire questi passaggi:

1. Scrivi l'equazione della retta M 1 M 2, M 1 M 3 o M 2 M 3 (se necessario, vedere il materiale su questa azione).

2. Prendi un punto M 4 (x 4 , y 4 , z 4) che non giace sulla linea M 1 M 2 .

3. Annotare l'equazione di un piano che passa per tre punti diversi M 1 , M 2 e M 4 che non giacciono su una retta.

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Può essere specificato in diversi modi (un punto e un vettore, due punti e un vettore, tre punti, ecc.). È con questo in mente che l'equazione del piano può avere forme diverse. Inoltre, a determinate condizioni, i piani possono essere paralleli, perpendicolari, intersecanti, ecc. Ne parleremo in questo articolo. Impareremo a scrivere l'equazione generale del piano e non solo.

Forma normale dell'equazione

Diciamo che c'è uno spazio R 3 che ha un sistema di coordinate rettangolare XYZ. Impostiamo il vettore α, che si svincolerà dal punto iniziale O. Per la fine del vettore α tracciamo il piano P, che sarà ad esso perpendicolare.

Indichiamo con P un punto arbitrario Q=(x, y, z). Segneremo il vettore raggio del punto Q con la lettera p. La lunghezza del vettore α è p=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Questo è un vettore unitario che punta lateralmente, proprio come il vettore α. α, β e γ sono gli angoli che si formano tra il vettore Ʋ e le direzioni positive degli assi spaziali x, y, z, rispettivamente. La proiezione di un punto QϵП sul vettore Ʋ è un valore costante uguale a р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Questa equazione ha senso quando p=0. L'unica cosa è che il piano P in questo caso intersecherà il punto O (α=0), che è l'origine, e il vettore unitario Ʋ rilasciato dal punto O sarà perpendicolare a P, indipendentemente dalla sua direzione, il che significa che il vettore Ʋ è determinato da un segno accurato. L'equazione precedente è l'equazione del nostro piano P, espressa in forma vettoriale. Ma in coordinate sarà simile a questo:

P qui è maggiore o uguale a 0. Abbiamo trovato l'equazione di un piano nello spazio nella sua forma normale.

Equazione generale

Se moltiplichiamo l'equazione in coordinate per qualsiasi numero diverso da zero, otteniamo un'equazione equivalente a quella data, che determina quello stesso piano. Sembrerà così:

Qui A, B, C sono numeri simultaneamente diversi da zero. Questa equazione è denominata equazione piana generale.

Equazioni piane. Casi speciali

L'equazione in forma generale può essere modificata in presenza di condizioni aggiuntive. Consideriamone alcuni.

Supponiamo che il coefficiente A sia 0. Ciò significa che il piano dato è parallelo all'asse dato Ox. In questo caso, la forma dell'equazione cambierà: Ву+Cz+D=0.

Allo stesso modo, la forma dell'equazione cambierà nelle seguenti condizioni:

• Innanzitutto, se B = 0, l'equazione cambierà in Ax + Cz + D = 0, che indicherà il parallelismo con l'asse Oy.
• In secondo luogo, se С=0, l'equazione viene trasformata in Ах+Ву+D=0, che indicherà il parallelismo all'asse dato Oz.
• In terzo luogo, se D=0, l'equazione apparirà come Ax+By+Cz=0, il che significherebbe che il piano interseca O (l'origine).
• In quarto luogo, se A=B=0, l'equazione cambierà in Cz+D=0, che risulterà parallela a Oxy.
• Quinto, se B=C=0, l'equazione diventa Ax+D=0, il che significa che il piano di Oyz è parallelo.
• Sesto, se A=C=0, l'equazione assumerà la forma Ву+D=0, ovvero riporterà il parallelismo a Oxz.

Tipo di equazione in segmenti

Nel caso in cui i numeri A, B, C, D siano diversi da zero, la forma dell'equazione (0) può essere la seguente:

x/a + y/b + z/c = 1,

in cui a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Otteniamo come risultato Vale la pena notare che questo piano intersecherà l'asse Ox in un punto con coordinate (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c) .

Tenendo conto dell'equazione x/a + y/b + z/c = 1, è facile rappresentare visivamente la posizione del piano rispetto al dato sistema di coordinate.

Coordinate vettoriali normali

Il vettore normale n al piano P ha coordinate che sono i coefficienti dell'equazione generale del piano dato, cioè n (A, B, C).

Per determinare le coordinate della normale n è sufficiente conoscere l'equazione generale di un dato piano.

Quando si usa l'equazione in segmenti, che ha la forma x/a + y/b + z/c = 1, così come quando si usa l'equazione generale, si possono scrivere le coordinate di qualsiasi vettore normale di un dato piano: (1 /a + 1/b + 1/ Con).

Va notato che il vettore normale aiuta a risolvere vari problemi. I più comuni sono compiti che consistono nel provare la perpendicolarità o il parallelismo dei piani, problemi nel trovare angoli tra piani o angoli tra piani e rette.

Visualizzazione dell'equazione del piano secondo le coordinate del punto e del vettore normale

Un vettore n diverso da zero perpendicolare a un dato piano è chiamato normale (normale) per un dato piano.

Supponiamo che nello spazio delle coordinate (sistema di coordinate rettangolari) Oxyz siano dati:

• punto Mₒ con coordinate (xₒ,yₒ,zₒ);
• vettore zero n=A*i+B*j+C*k.

È necessario comporre un'equazione per un piano che passerà per il punto Mₒ perpendicolare alla normale n.

Nello spazio, scegliamo qualsiasi punto arbitrario e lo indichiamo con M (x y, z). Sia il vettore del raggio di qualsiasi punto M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, e il vettore del raggio del punto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Il punto M apparterrà al piano dato se il vettore MₒM è perpendicolare al vettore n. Scriviamo la condizione di ortogonalità usando il prodotto scalare:

[MₒM, n] = 0.

Poiché MₒM \u003d r-rₒ, l'equazione vettoriale del piano sarà simile a questa:

Questa equazione può assumere un'altra forma. Per fare ciò, vengono utilizzate le proprietà del prodotto scalare e il lato sinistro dell'equazione viene trasformato. = - . Se indicata come c, si otterrà la seguente equazione: - c \u003d 0 o \u003d c, che esprime la costanza delle proiezioni sul vettore normale dei vettori del raggio dei punti dati che appartengono al piano.

Ora puoi ottenere la forma delle coordinate per scrivere l'equazione vettoriale del nostro piano = 0. Poiché r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+C*k, abbiamo:

Si scopre che abbiamo un'equazione per un piano passante per un punto perpendicolare alla normale n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vista dell'equazione del piano secondo le coordinate di due punti e un vettore collineare al piano

Definiamo due punti arbitrari M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), nonché il vettore a (a′,a″,a‴).

Ora possiamo comporre un'equazione per un dato piano, che passerà per i punti disponibili M′ e M″, nonché per qualsiasi punto M con coordinate (x, y, z) parallele al dato vettore a.

In questo caso i vettori M′M=(x-x′;y-y′;zz′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devono essere complanari al vettore a=(a′,a″,a‴), il che significa che (M′M, M″M, a)=0.

Quindi, la nostra equazione di un piano nello spazio sarà simile a questa:

Tipo dell'equazione di un piano che interseca tre punti

Supponiamo di avere tre punti: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), che non appartengono alla stessa retta. È necessario scrivere l'equazione del piano passante per i tre punti dati. La teoria della geometria afferma che questo tipo di piano esiste davvero, solo che è l'unico e inimitabile. Poiché questo piano interseca il punto (x′, y′, z′), la forma della sua equazione sarà la seguente:

Qui A, B, C sono diversi da zero allo stesso tempo. Inoltre, il piano dato interseca altri due punti: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). Al riguardo devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

Ora possiamo comporre un sistema omogeneo con incognite u, v, w:

Nel nostro caso, x, y o z è un punto arbitrario che soddisfa l'equazione (1). Tenendo conto dell'equazione (1) e del sistema di equazioni (2) e (3), il sistema di equazioni indicato nella figura sopra soddisfa il vettore N (A, B, C), che non è banale. Ecco perché il determinante di questo sistema è uguale a zero.

L'equazione (1), che abbiamo ottenuto, è l'equazione del piano. Passa esattamente per 3 punti e questo è facile da controllare. Per fare ciò, dobbiamo espandere il nostro determinante sugli elementi nella prima riga. Dalle proprietà esistenti del determinante deriva che il nostro piano interseca simultaneamente tre punti inizialmente dati (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Cioè, abbiamo risolto il compito che ci era prefissato.

Angolo diedro tra i piani

Un angolo diedro è una figura geometrica spaziale formata da due semipiani che emanano da una linea retta. In altre parole, questa è la parte di spazio che è limitata da questi semipiani.

Supponiamo di avere due piani con le seguenti equazioni:

Sappiamo che i vettori N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) sono perpendicolari secondo i piani dati. A questo proposito, l'angolo φ tra i vettori N e N¹ è uguale all'angolo (diedro) che si trova tra questi piani. Il prodotto scalare ha la forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

proprio perché

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(((√(A²+B²+C²)))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta tenere conto che 0≤φ≤π.

Infatti, due piani che si intersecano formano due angoli (diedri): φ 1 e φ 2 . La loro somma è uguale a π (φ 1 + φ 2 = π). Per quanto riguarda i loro coseni, i loro valori assoluti sono uguali, ma differiscono nei segni, cioè cos φ 1 =-cos φ 2. Se nell'equazione (0) sostituiamo A, B e C con i numeri -A, -B e -C, rispettivamente, l'equazione che otteniamo determinerà lo stesso piano, l'unico angolo φ nell'equazione cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sarà sostituito da π-φ.

Equazione del piano perpendicolare

I piani si dicono perpendicolari se l'angolo tra loro è di 90 gradi. Utilizzando il materiale descritto sopra, possiamo trovare l'equazione di un piano perpendicolare a un altro. Supponiamo di avere due piani: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Possiamo affermare che saranno perpendicolari se cosφ=0. Ciò significa che NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equazione del piano parallelo

Paralleli sono due piani che non contengono punti comuni.

La condizione (le loro equazioni sono le stesse del paragrafo precedente) è che i vettori N e N¹, ad essi perpendicolari, siano collineari. Ciò significa che sono soddisfatte le seguenti condizioni di proporzionalità:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se le condizioni di proporzionalità sono estese - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

questo indica che questi piani coincidono. Ciò significa che le equazioni Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrivono un piano.

Distanza dal piano dal punto

Diciamo di avere un piano P, dato dall'equazione (0). È necessario trovare la distanza ad esso dal punto con coordinate (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Per fare ciò, devi portare l'equazione del piano P in forma normale:

(ρ,v)=p (p≥0).

In questo caso, ρ(x,y,z) è il vettore raggio del nostro punto Q, posto su P, p è la lunghezza della perpendicolare P, che è stata rilasciata dal punto zero, v è il vettore unitario, che è situato nella direzione a.

La differenza ρ-ρº del vettore del raggio di un punto Q \u003d (x, y, z) appartenente a P, così come il vettore del raggio di un dato punto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) è tale vettore, il cui valore assoluto della proiezione su v è uguale alla distanza d, che deve essere trovata da Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ma

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Quindi si scopre

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Troveremo quindi il valore assoluto dell'espressione risultante, cioè il d desiderato.

Usando il linguaggio dei parametri, otteniamo l'ovvio:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Se il punto dato Q 0 è dall'altra parte del piano P, così come l'origine, allora tra il vettore ρ-ρ 0 e v è quindi:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Nel caso in cui il punto Q 0, insieme all'origine, si trovi dalla stessa parte di P, allora l'angolo creato è acuto, cioè:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Di conseguenza, risulta che nel primo caso (ρ 0 ,v)> р, nel secondo (ρ 0 ,v)<р.

Piano tangente e sua equazione

Il piano tangente alla superficie nel punto di contatto Mº è il piano contenente tutte le possibili tangenti alle curve tracciate attraverso questo punto sulla superficie.

Con questa forma dell'equazione di superficie F (x, y, z) \u003d 0, l'equazione del piano tangente nel punto tangente Mº (xº, yº, zº) sarà simile a questa:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Se si specifica la superficie in forma esplicita z=f (x, y), il piano tangente sarà descritto dall'equazione:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersezione di due piani

Nel sistema di coordinate (rettangolare) si trova Oxyz, sono dati due piani П′ e П″, che si intersecano e non coincidono. Poiché qualsiasi piano situato in un sistema di coordinate rettangolare è determinato da un'equazione generale, assumeremo che P′ e P″ siano dati dalle equazioni A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. In questo caso, abbiamo la normale n′ (A′, B′, C′) del piano P′ e la normale n″ (A″, B″, C″) del piano P″. Poiché i nostri piani non sono paralleli e non coincidono, questi vettori non sono collineari. Usando il linguaggio della matematica, possiamo scrivere questa condizione come segue: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Sia la retta che si trova all'intersezione di P′ e P″ con la lettera a, in questo caso a = P′ ∩ P″.

a è una retta costituita dall'insieme di tutti i punti dei piani (comuni) П′ e П″. Ciò significa che le coordinate di qualsiasi punto appartenente alla retta a devono soddisfare contemporaneamente le equazioni A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″= 0. Ciò significa che le coordinate del punto saranno una soluzione particolare del seguente sistema di equazioni:

Di conseguenza, risulta che la soluzione (generale) di questo sistema di equazioni determinerà le coordinate di ciascuno dei punti della retta, che fungerà da punto di intersezione di П′ e П″, e determinerà la retta linea a nel sistema di coordinate Oxyz (rettangolare) nello spazio.

Affinché un unico piano possa essere disegnato attraverso tre punti qualsiasi nello spazio, è necessario che questi punti non giacciono su una linea retta.

Considera i punti M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) in un comune sistema di coordinate cartesiane.

Affinché un punto arbitrario M(x, y, z) si trovi sullo stesso piano dei punti M 1 , M 2 , M 3 , i vettori devono essere complanari.

Definizione 2.1.

Due rette nello spazio si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

Se due rette aeb sono parallele, allora, come in planimetria, scrivi a || B. Nello spazio, le linee possono essere posizionate in modo che non si intersechino e non siano parallele. Questo caso è speciale per la stereometria.

Definizione 2.2.

Le rette che non hanno punti in comune e non sono parallele sono dette oblique.

Teorema 2.1.

Per un punto al di fuori di una retta data, si può tracciare una retta parallela alla retta data, e inoltre solo una.

Segno di rette parallele

Due rette nello spazio si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non si intersecano. Per un punto al di fuori di una retta data, si può tracciare una retta parallela a questa retta, e per di più solo una. Questa affermazione si riduce all'assioma delle parallele nel piano. Teorema. Due rette parallele ad una terza retta sono parallele. Siano le rette b e c parallele alla retta a. Pado dimostra che b || Con. Il caso in cui le linee a, b e giacciono sullo stesso piano è considerato in planimetria, lo omettiamo. Supponiamo che a, b e c non giacciono sullo stesso piano. Ma poiché due rette parallele si trovano sullo stesso piano, possiamo supporre che aeb si trovino e i piani, a b e c - nel piano (Fig. 61). Sulla linea c, segniamo un punto (qualsiasi) M e tracciamo un piano attraverso la linea b e il punto M. Esso, , si interseca lungo la retta l. La retta l non interseca il piano , poiché se l interseca , il punto della loro intersezione deve giacere su a (a e l - sullo stesso piano) e su b (b e l - sullo stesso piano). Quindi, un punto di intersezione l e deve giacere sia sulla retta a che sulla retta b, cosa impossibile: a || B. Pertanto, e || , l || a, l || B. Poiché a e l giacciono sullo stesso piano, l coincide con la retta c (per l'assioma del parallelismo), e quindi con || B. Il teorema è stato dimostrato.

25.Segno di parallelismo di una retta e di un piano

Teorema

Se una retta non appartenente a un piano è parallela a una retta di quel piano, allora è anche parallela al piano stesso.

Prova

Sia α un piano, a una retta non giacente in esso, e a1 una retta nel piano α parallela alla retta a. Tracciamo il piano α1 attraverso le linee a e a1. I piani α e α1 si intersecano lungo la retta a1. Se la retta a intersecasse il piano α, il punto di intersezione apparterrebbe alla retta a1. Ma questo è impossibile, poiché le rette a e a1 sono parallele. Pertanto, la retta a non interseca il piano α, e quindi è parallela al piano α. Il teorema è stato dimostrato.

27.Esistenza di un piano parallelo a un dato piano

Teorema

Per un punto esterno a un dato piano si può tracciare un piano parallelo a quello dato, e per di più solo uno.

Prova

Tracciamo due rette intersecanti aeb nel piano α dato. Per il punto A dato tracciamo le linee a1 e b1 parallele ad esse. Il piano β passante per le rette a1 e b1 è parallelo al piano α per il teorema del parallelismo.

Si supponga che per il punto A passi un altro piano β1, anch'esso parallelo al piano α. Segniamo un punto C sul piano β1 che non giace nel piano β. Tracciamo il piano γ attraverso i punti A, C e un punto B del piano α. Questo piano intersecherà i piani α, β e β1 lungo le linee b, a e c. Le rette a e c non intersecano la retta b, poiché non intersecano il piano α. Pertanto, sono paralleli alla retta b. Ma nel piano γ passante per il punto A può esserci solo una retta parallela alla retta b. che contraddice l'ipotesi. Il teorema è stato dimostrato.

28.Proprietà del piano parallelo th

29.

Linee perpendicolari nello spazio. Due rette nello spazio si dicono perpendicolari se l'angolo tra loro è di 90 gradi. C. m. K. K. m. C. K. Intersecante. Incrociato.

Teorema 1. SEGNO DI PERPENDICOLARITA' DI UNA LINEA E DI UN PIANO. Se una retta che interseca un piano è perpendicolare a due rette in quel piano passanti per il punto di intersezione della retta data e del piano, allora è perpendicolare al piano.

Dimostrazione: Sia a una retta perpendicolare alle rette b e c nel piano . Quindi la retta a passa per il punto A dell'intersezione delle rette b e c. Dimostriamo che la retta a è perpendicolare al piano. Disegna una retta arbitraria x passante per un punto A nel piano e mostra che è perpendicolare alla retta a. Tracciamo una retta arbitraria nel piano che non passi per il punto A e intersechi le rette b, c e x. Siano i punti di intersezione B, C e X. Mettiamo su una retta a dal punto A in direzioni diverse segmenti uguali AA 1 e AA 2. Il triangolo A 1 CA 2 è isoscele, poiché il segmento AC è l'altezza secondo il teorema e la mediana per costruzione (AA 1 \u003d AA 2).Per lo stesso motivo, anche il triangolo A 1 BA 2 è isoscele. Pertanto, i triangoli A 1 BC e A 2 BC sono uguali su tre lati. Dall'uguaglianza dei triangoli A 1 BC e A 2 BC segue l'uguaglianza degli angoli A 1 BX e A 2 BX e, quindi, l'uguaglianza dei triangoli A 1 BX e A 2 BX su due lati e l'angolo tra loro. Dall'uguaglianza dei lati A 1 X e A 2 X di questi triangoli, concludiamo che il triangolo A 1 XA 2 è isoscele. Pertanto, la sua XA mediana è anche l'altezza. Ciò significa che la retta x è perpendicolare ad a. Per definizione, la retta a è perpendicolare al piano. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2 1° PROPRIETA' DELLE LINEE PERPENDICOLARI E DEI PIANI. Se un piano è perpendicolare a una delle due rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra.
Dimostrazione: Siano a 1 e a 2 2 rette parallele e un piano perpendicolare alla retta a 1 . Dimostriamo che questo piano è anche perpendicolare alla retta a 2 . Tracciamo per il punto A 2 l'intersezione della retta a 2 con il piano una retta arbitraria x 2 nel piano. Tracciamo nel piano passante per il punto A 1 l'intersezione della retta a 1 con la retta x 1 parallela alla retta x 2. Poiché la retta a 1 è perpendicolare al piano, le rette a 1 e x 1 sono perpendicolari. E per il Teorema 1, anche le rette intersecanti a2 e x2 ad esse parallele sono perpendicolari. Pertanto, la retta a 2 è perpendicolare a qualsiasi retta x 2 nel piano. E questo (per definizione) significa che la retta a 2 è perpendicolare al piano. Il teorema è stato dimostrato. Vedere anche il problema di supporto n. 2.
Teorema 3 2° PROPRIETA' DELLE LINEE PERPENDICOLARI E DEI PIANI. Due rette perpendicolari allo stesso piano sono parallele.
Dim.: Siano aeb 2 rette perpendicolari al piano. Supponiamo che le rette aeb non siano parallele. Scegliamo un punto C della retta b che non giace nel piano. Tracciamo una retta b 1 passante per il punto C, parallela alla retta a. La retta b 1 è perpendicolare al piano per il Teorema 2. Siano B e B 1 i punti di intersezione delle rette b e b 1 con il piano. Allora la retta BB 1 è perpendicolare alle rette intersecanti b e b 1 . E questo è impossibile. Siamo giunti a una contraddizione. Il teorema è stato dimostrato.

33.Perpendicolare, abbassato da un dato punto a un dato piano, è detto segmento che collega un dato punto con un punto del piano e giace su una retta perpendicolare al piano. Viene chiamata la fine di questo segmento, che giace su un piano la base della perpendicolare.
obliquo, disegnato da un dato punto a un dato piano, è qualsiasi segmento che collega il dato punto a un punto del piano che non è perpendicolare al piano. Viene chiamata l'estremità di un segmento che giace su un piano la base dell'inclinazione. Si chiama il segmento che collega le basi della perpendicolare della linea inclinata, tracciata dallo stesso punto proiezione obliqua.

AB è la perpendicolare al piano α.
AC - obliquo, CB - proiezione.

Enunciato del teorema

Se una retta tracciata su un piano passante per la base di una linea obliqua è perpendicolare alla sua proiezione, allora è perpendicolare alla linea obliqua.

Prova

Permettere AB- perpendicolare al piano α, AC- obliquo e C- una retta nel piano α passante per il punto C e proiezione perpendicolare AVANTI CRISTO. Tracciamo una linea retta CK parallela ad una retta AB. Dritto CK perpendicolare al piano α (perché è parallelo a AB), e quindi qualsiasi linea di questo piano, quindi, CK perpendicolare alla linea C. Disegna attraverso linee parallele AB e CK piano β (linee parallele definiscono un piano, e solo uno). Dritto Cè perpendicolare a due rette intersecanti che giacciono nel piano β, questo AVANTI CRISTO per condizione e CK per costruzione, significa che è perpendicolare a qualsiasi linea appartenente a questo piano, il che significa che è anche perpendicolare a una linea AC.