Secondo la posizione generalmente accettata, il meridiano è preso come quello iniziale, che passa attraverso il vecchio Osservatorio di Greenwich a Greenwich. Le coordinate geografiche della località possono essere ottenute utilizzando un navigatore GPS. Questo dispositivo riceve segnali da un sistema di posizionamento satellitare nel sistema di coordinate WGS-84, lo stesso per tutto il mondo.
I modelli di navigatore differiscono per produttori, funzionalità e interfaccia. Attualmente, in alcuni modelli di telefoni cellulari sono disponibili navigatori GPS integrati. Ma qualsiasi modello può registrare e salvare coordinate di punti.
Distanza tra le coordinate GPS
Per risolvere problemi pratici e teorici in alcuni settori, è necessario essere in grado di determinare le distanze tra i punti in base alle loro coordinate. Per fare ciò, puoi utilizzare diversi metodi. Rappresentazione canonica delle coordinate geografiche: gradi, minuti, secondi.Ad esempio, è possibile determinare la distanza tra le seguenti coordinate: punto n. 1 - latitudine 55°45′07″ N, longitudine 37°36′56″ E; punto n. 2 - latitudine 58°00′02″ N, longitudine 102°39′42″ E
Il modo più semplice è utilizzare una calcolatrice per calcolare la distanza tra due punti. Nel motore di ricerca del browser è necessario impostare i seguenti parametri di ricerca: online - per calcolare la distanza tra due coordinate. Nel calcolatore online, i valori di latitudine e longitudine vengono inseriti nei campi di query per la prima e la seconda coordinata. Durante il calcolo, il calcolatore online ha fornito il risultato: 3.800.619 m.
Il metodo successivo richiede più tempo, ma anche più visivo. È necessario utilizzare qualsiasi programma di mappatura o navigazione disponibile. I programmi in cui è possibile creare punti in base alle coordinate e misurare le distanze tra di loro includono le seguenti applicazioni: BaseCamp (un moderno analogo del programma MapSource), Google Earth, SAS.Planet.
Tutti i programmi di cui sopra sono disponibili per qualsiasi utente della rete. Ad esempio, per calcolare la distanza tra due coordinate in Google Earth, devi creare due etichette che indichino le coordinate del primo punto e del secondo punto. Quindi, utilizzando lo strumento "Righello", è necessario collegare il primo e il secondo segno con una linea, il programma fornirà automaticamente il risultato della misurazione e mostrerà il percorso sull'immagine satellitare della Terra.
Nel caso dell'esempio sopra, il programma Google Earth ha restituito il risultato: la lunghezza della distanza tra il punto n. 1 e il punto n. 2 è 3.817.353 m.
Perché c'è un errore nel determinare la distanza
Tutti i calcoli della distanza tra le coordinate si basano sui calcoli della lunghezza dell'arco. Il raggio della Terra è coinvolto nel calcolo della lunghezza dell'arco. Ma poiché la forma della Terra è vicina a un ellissoide oblato, il raggio della Terra in certi punti è diverso. Per calcolare la distanza tra le coordinate, viene preso il valore medio del raggio terrestre, che dà un errore nella misurazione. Maggiore è la distanza misurata, maggiore è l'errore.La distanza tra due punti su un piano.
Sistemi di coordinate
Ogni punto A del piano è caratterizzato dalle sue coordinate (x, y). Coincidono con le coordinate del vettore 0А , che esce dal punto 0 - l'origine.
Siano A e B punti arbitrari del piano con coordinate (x 1 y 1) e (x 2, y 2), rispettivamente.
Allora il vettore AB ha ovviamente le coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). È noto che il quadrato della lunghezza di un vettore è uguale alla somma dei quadrati delle sue coordinate. Pertanto, dalla condizione si determina la distanza d tra i punti A e B, ovvero la lunghezza del vettore AB
d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
La formula risultante consente di trovare la distanza tra due punti qualsiasi del piano, se si conoscono solo le coordinate di questi punti
Ogni volta, parlando delle coordinate di uno o di un altro punto del piano, abbiamo in mente un sistema di coordinate x0y ben definito. In generale, il sistema di coordinate sul piano può essere scelto in diversi modi. Quindi, invece del sistema di coordinate x0y, possiamo considerare il sistema di coordinate x"0y", che si ottiene ruotando i vecchi assi di coordinate attorno al punto iniziale 0 Antiorario frecce sull'angolo α .
Se un punto del piano nel sistema di coordinate x0y aveva coordinate (x, y), nel nuovo sistema di coordinate x"0y" avrà altre coordinate (x", y").
Si consideri ad esempio il punto M, posto sull'asse 0x" e distanziato dal punto 0 ad una distanza pari a 1.
Ovviamente, nel sistema di coordinate x0y, questo punto ha coordinate (cos α , peccato α ), e nel sistema di coordinate x"0y" le coordinate sono (1,0).
Le coordinate di due punti qualsiasi del piano A e B dipendono da come il sistema di coordinate è impostato su questo piano. Ma la distanza tra questi punti non dipende da come viene specificato il sistema di coordinate. Faremo un uso essenziale di questa importante circostanza nella prossima sezione.
Esercizi
I. Trova le distanze tra i punti del piano con le coordinate:
1) (3.5) e (3.4); 3) (0,5) e (5, 0); 5) (-3,4) e (9, -17);
2) (2, 1) e (- 5, 1); 4) (0.7) e (3.3); 6) (8, 21) e (1, -3).
II. Trova il perimetro di un triangolo i cui lati sono dati dalle equazioni:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 e y = 1.
III. Nel sistema di coordinate x0y, i punti M e N hanno rispettivamente le coordinate (1, 0) e (0,1). Trova le coordinate di questi punti nel nuovo sistema di coordinate, che si ottiene anche ruotando i vecchi assi attorno al punto iniziale di un angolo di 30° in senso antiorario.
IV. Nel sistema di coordinate x0y, i punti M e N hanno coordinate (2, 0) e (\ / 3/2, - 1/2) rispettivamente. Trova le coordinate di questi punti nel nuovo sistema di coordinate, che si ottiene ruotando i vecchi assi attorno al punto iniziale di un angolo di 30° in senso orario.
Distanza da punto a puntoè la lunghezza del segmento che collega questi punti, su una data scala. Pertanto, quando si tratta di misurare la distanza, è necessario conoscere la scala (unità di lunghezza) in cui verranno effettuate le misurazioni. Pertanto, il problema di trovare la distanza da un punto a un punto viene solitamente considerato o su una linea di coordinate o in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano o nello spazio tridimensionale. In altre parole, molto spesso devi calcolare la distanza tra i punti in base alle loro coordinate.
In questo articolo, in primo luogo, ricordiamo come viene determinata la distanza da un punto a un punto su una linea di coordinate. Successivamente, otteniamo formule per calcolare la distanza tra due punti di un piano o spazio secondo coordinate date. In conclusione, consideriamo in dettaglio le soluzioni di esempi e problemi tipici.
Navigazione della pagina.
La distanza tra due punti su una linea di coordinate.
Definiamo prima la notazione. La distanza dal punto A al punto B sarà indicata come .
Da questo possiamo concludere che la distanza dal punto A con coordinate al punto B con coordinate è uguale al modulo della differenza di coordinate, questo è, 
per qualsiasi disposizione di punti sulla linea delle coordinate.
Distanza da un punto a un punto su un piano, formula.
Otteniamo una formula per calcolare la distanza tra punti e data in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano.
A seconda della posizione dei punti A e B, sono possibili le seguenti opzioni.
Se i punti A e B coincidono, la distanza tra loro è zero.
Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse x, allora i punti coincidono e la distanza è uguale alla distanza. Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto che la distanza tra due punti sulla linea delle coordinate è uguale al modulo della differenza tra le loro coordinate, quindi, 
. Quindi, .
Allo stesso modo, se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse y, la distanza dal punto A al punto B si trova come .
In questo caso, il triangolo ABC ha una costruzione rettangolare, e 
e . Di il teorema di Pitagora possiamo scrivere l'uguaglianza, da cui.
Riassumiamo tutti i risultati: la distanza da un punto a un punto su un piano si trova attraverso le coordinate dei punti dalla formula 
.
La formula risultante per trovare la distanza tra i punti può essere utilizzata quando i punti A e B coincidono o giacciono su una retta perpendicolare a uno degli assi delle coordinate. Infatti, se A e B sono uguali, allora . Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse Ox, allora . Se A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse Oy, allora .
Distanza tra punti nello spazio, formula.
Introduciamo un sistema di coordinate rettangolare Оxyz nello spazio. Ottieni la formula per trovare la distanza da un punto 
al punto 
.
In generale, i punti A e B non giacciono su un piano parallelo a uno dei piani delle coordinate. Tracciamo i punti A e B nel piano perpendicolare agli assi coordinati Ox, Oy e Oz. I punti di intersezione di questi piani con gli assi coordinati ci daranno le proiezioni dei punti A e B su questi assi. Indica le proiezioni 
.
La distanza desiderata tra i punti A e B è la diagonale del parallelepipedo rettangolare mostrato in figura. Per costruzione, le dimensioni di questo parallelepipedo sono 
e . Nel corso di geometria del liceo si è dimostrato che il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolare è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni, quindi. Sulla base delle informazioni della prima sezione di questo articolo, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze, quindi,
dove arriviamo formula per trovare la distanza tra punti nello spazio .
Questa formula è valida anche se i punti A e B
- abbinare;
- appartengono ad uno degli assi coordinati o ad una retta parallela ad uno degli assi coordinati;
- appartengono a uno dei piani delle coordinate o un piano parallelo a uno dei piani delle coordinate.
Trovare la distanza da punto a punto, esempi e soluzioni.
Quindi, abbiamo le formule per trovare la distanza tra due punti della linea di coordinate, piano e spazio tridimensionale. È tempo di considerare le soluzioni di esempi tipici.
Il numero di problemi in cui l'ultimo passo è trovare la distanza tra due punti secondo le loro coordinate è davvero enorme. Una revisione completa di tali esempi va oltre lo scopo di questo articolo. Qui ci limitiamo ad esempi in cui si conoscono le coordinate di due punti ed è necessario calcolare la distanza tra di loro.
In questo articolo, considereremo i modi per determinare la distanza da un punto a un punto in teoria e sull'esempio di compiti specifici. Cominciamo con alcune definizioni.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definizione 1
Distanza tra i punti- questa è la lunghezza del tratto che li collega, nella scala esistente. È necessario impostare la scala per avere un'unità di lunghezza per la misura. Pertanto, sostanzialmente il problema di trovare la distanza tra i punti viene risolto utilizzando le loro coordinate sulla linea delle coordinate, nel piano delle coordinate o nello spazio tridimensionale.
Dati iniziali: la retta di coordinate O x e un punto arbitrario su di essa giacente A. Un numero reale è inerente a qualsiasi punto della retta: sia un certo numero per il punto A xA,è la coordinata del punto A.
In generale si può dire che la stima della lunghezza di un certo segmento avviene rispetto al segmento preso come unità di lunghezza su una data scala.
Se il punto A corrisponde a un numero reale intero, dopo aver accantonato successivamente dal punto O un punto lungo una retta O A segmenti - unità di lunghezza, possiamo determinare la lunghezza del segmento O A dal numero totale di singoli segmenti pendenti.
Ad esempio, il punto A corrisponde al numero 3 - per arrivarci dal punto O, sarà necessario mettere da parte tre segmenti unitari. Se il punto A ha una coordinata di -4, i singoli segmenti vengono tracciati in modo simile, ma in una diversa direzione negativa. Quindi, nel primo caso, la distanza O A è 3; nel secondo caso, O A \u003d 4.
Se il punto A ha un numero razionale come coordinata, allora dall'origine (punto O) mettiamo da parte un numero intero di segmenti unitari e quindi la sua parte necessaria. Ma geometricamente non è sempre possibile effettuare una misura. Ad esempio, sembra difficile mettere da parte la frazione diretta coordinata 4 111 .
In questo modo, è del tutto impossibile posticipare un numero irrazionale su una linea retta. Ad esempio, quando la coordinata del punto A è 11 . In questo caso, è possibile passare all'astrazione: se la coordinata data del punto A è maggiore di zero, allora O A \u003d x A (il numero viene preso come distanza); se la coordinata è minore di zero, allora O A = - x A . In generale, queste affermazioni sono vere per qualsiasi numero reale x A .
Riassumendo: la distanza dall'origine al punto, che corrisponde ad un numero reale sulla retta delle coordinate, è uguale a:
- 0 se il punto è uguale all'origine;
- x A se x A > 0 ;
- - x A se x A< 0 .
In questo caso è ovvio che la lunghezza del segmento stesso non può essere negativa, quindi, usando il segno del modulo, scriviamo la distanza dal punto O al punto A con la coordinata x A: O A = x A
L'affermazione corretta sarebbe: la distanza da un punto all'altro sarà uguale al modulo della differenza di coordinate. Quelli. per i punti A e B che giacciono sulla stessa linea di coordinate in qualsiasi luogo e che hanno, rispettivamente, le coordinate x A e x B: UN B = x B - x UN .
Dati iniziali: punti A e B giacenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolare O x y con coordinate date: A (x A , y A) e B (x B , y B) .
Disegniamo perpendicolari agli assi delle coordinate O x e O y attraverso i punti A e B e otteniamo i punti di proiezione come risultato: A x , A y , B x , B y . In base alla posizione dei punti A e B, sono inoltre possibili le seguenti opzioni:
Se i punti A e B coincidono, la distanza tra loro è zero;
Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse O x (asse delle ascisse), allora i punti e coincidono, e | AB | = | A y Per y | . Poiché la distanza tra i punti è uguale al modulo della differenza tra le loro coordinate, allora A y B y = y B - y A , e, quindi, A B = A y B y = y B - y A .
Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse O y (asse y) - per analogia con il paragrafo precedente: A B = A x B x = x B - x A
Se i punti A e B non giacciono su una retta perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, troviamo la distanza tra loro derivando la formula di calcolo:
Vediamo che il triangolo A B C è rettangolo per costruzione. In questo caso, A C = A x B x e B C = A y B y . Usando il teorema di Pitagora, componiamo l'uguaglianza: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , e poi la trasformiamo: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Formiamo una conclusione dal risultato ottenuto: la distanza dal punto A al punto B sul piano è determinata dal calcolo utilizzando la formula utilizzando le coordinate di questi punti
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
La formula risultante conferma anche le affermazioni precedentemente formulate per i casi di coincidenza di punti o situazioni in cui i punti giacciono su rette perpendicolari agli assi. Quindi, per il caso della coincidenza dei punti A e B, l'uguaglianza sarà vera: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
Per la situazione in cui i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse x:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
Nel caso in cui i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse y:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Dati iniziali: sistema di coordinate rettangolari O x y z con punti arbitrari che giacciono su di esso con coordinate date A (x A , y A , z A) e B (x B , y B , z B) . È necessario determinare la distanza tra questi punti.
Si consideri il caso generale in cui i punti A e B non giacciono su un piano parallelo a uno dei piani delle coordinate. Disegna attraverso i punti A e B piani perpendicolari agli assi delle coordinate e ottieni i punti di proiezione corrispondenti: A x , A y , A z , B x , B y , B z
La distanza tra i punti A e B è la diagonale del riquadro risultante. Secondo la costruzione della misura di questa scatola: A x B x , A y B y e A z B z
Dal corso della geometria è noto che il quadrato della diagonale di un parallelepipedo è uguale alla somma dei quadrati delle sue dimensioni. Sulla base di questa affermazione, otteniamo l'uguaglianza: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Utilizzando le conclusioni ottenute in precedenza, scriviamo quanto segue:
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
Trasformiamo l'espressione:
AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Finale formula per determinare la distanza tra punti nello spazio sarà simile a questo:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
La formula risultante vale anche per i casi in cui:
I punti corrispondono;
Si trovano sullo stesso asse delle coordinate o su una linea retta parallela a uno degli assi delle coordinate.
Esempi di risoluzione di problemi per trovare la distanza tra i punti
Esempio 1Dati iniziali: vengono fornite una linea di coordinate e punti che giacciono su di essa con coordinate A (1 - 2) e B (11 + 2). È necessario trovare la distanza dal punto di riferimento O al punto A e tra i punti A e B.
Soluzione
- La distanza dal punto di riferimento al punto è uguale al modulo della coordinata di questo punto, rispettivamente O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
- La distanza tra i punti A e B è definita come il modulo della differenza tra le coordinate di questi punti: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Risposta: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2
Esempio 2
Dati iniziali: dato un sistema di coordinate rettangolare e due punti che giacciono su di esso A (1 , - 1) e B (λ + 1 , 3) . λ è un numero reale. È necessario trovare tutti i valori di questo numero per i quali la distanza A B sarà uguale a 5.
Soluzione
Per trovare la distanza tra i punti A e B, devi usare la formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
Sostituendo i valori reali delle coordinate, otteniamo: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
E usiamo anche la condizione esistente che A B = 5 e quindi l'uguaglianza sarà vera:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Risposta: A B \u003d 5 se λ \u003d ± 3.
Esempio 3
Dati iniziali: vengono forniti uno spazio tridimensionale in un sistema di coordinate rettangolare O x y z e i punti A (1 , 2 , 3) e B - 7 , - 2 , 4 che giacciono in esso.
Soluzione
Per risolvere il problema utilizziamo la formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Sostituendo i valori reali si ottiene: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Risposta: | AB | = 9
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