IO. Le espressioni in cui numeri, segni di operazioni aritmetiche e parentesi possono essere usati insieme alle lettere sono dette espressioni algebriche.

Esempi di espressioni algebriche:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Poiché una lettera in un'espressione algebrica può essere sostituita da alcuni numeri diversi, la lettera è chiamata variabile e l'espressione algebrica stessa è chiamata espressione con una variabile.

II. Se in un'espressione algebrica le lettere (variabili) vengono sostituite dai loro valori e vengono eseguite le azioni specificate, il numero risultante viene chiamato valore dell'espressione algebrica.

Esempi. Trova il valore di un'espressione:

1) a + 2b -c per a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| a x = -8; y=-5; z = 6.

Soluzione.

1) a + 2b -c per a = -2; b = 10; c = -3,5. Al posto delle variabili, sostituiamo i loro valori. Noi abbiamo:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| a x = -8; y=-5; z = 6. Sostituiamo i valori indicati. Ricorda che il modulo di un numero negativo è uguale al suo numero opposto e il modulo di un numero positivo è uguale a questo numero stesso. Noi abbiamo:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. I valori di una lettera (variabile) per i quali l'espressione algebrica ha senso sono detti valori validi della lettera (variabile).

Esempi. A quali valori della variabile l'espressione non ha senso?

Soluzione. Sappiamo che è impossibile dividere per zero, quindi ognuna di queste espressioni non avrà senso con il valore della lettera (variabile) che fa azzerare il denominatore della frazione!

Nell'esempio 1), questo valore è a = 0. Infatti, se al posto di a sostituiamo 0, allora il numero 6 dovrà essere diviso per 0, ma ciò non può essere fatto. Risposta: l'espressione 1) non ha senso quando a = 0.

Nell'esempio 2) il denominatore x - 4 = 0 a x = 4, quindi questo valore x = 4 e non può essere preso. Risposta: l'espressione 2) non ha senso per x = 4.

Nell'esempio 3) il denominatore è x + 2 = 0 per x = -2. Risposta: l'espressione 3) non ha senso in x = -2.

Nell'esempio 4) il denominatore è 5 -|x| = 0 per |x| = 5. E poiché |5| = 5 e |-5| \u003d 5, quindi non puoi prendere x \u003d 5 e x \u003d -5. Risposta: l'espressione 4) non ha senso per x = -5 e per x = 5.
IV. Due espressioni sono dette identicamente uguali se, per eventuali valori ammissibili delle variabili, i valori corrispondenti di queste espressioni sono uguali.

Esempio: 5 (a - b) e 5a - 5b sono identici, poiché l'uguaglianza 5 (a - b) = 5a - 5b sarà vera per qualsiasi valore di a e b. L'uguaglianza 5 (a - b) = 5a - 5b è un'identità.

Identità è un'uguaglianza valida per tutti i valori ammissibili delle variabili in essa incluse. Esempi di identità a te già note sono, ad esempio, le proprietà di addizione e moltiplicazione, la proprietà di distribuzione.

La sostituzione di un'espressione con un'altra, identica ad essa, è chiamata trasformazione identica o semplicemente trasformazione di un'espressione. Le trasformazioni di identità delle espressioni con variabili vengono eseguite in base alle proprietà delle operazioni sui numeri.

Esempi.

un) converti l'espressione in uguale uguale usando la proprietà distributiva della moltiplicazione:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Soluzione. Richiama la proprietà distributiva (legge) della moltiplicazione:

(a+b) c=a c+b c(legge distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: per moltiplicare la somma di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare ogni termine per questo numero e sommare i risultati).
(a-b) c=a c-b c(legge distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: per moltiplicare la differenza di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare per questo numero ridotto e sottratto separatamente e sottrarre il secondo dal primo risultato).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) trasformare l'espressione in identicamente uguale usando le proprietà commutative e associative (leggi) dell'addizione:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5,4 secondi -3 -2,5 -2,3 secondi.

Soluzione. Applichiamo le leggi (proprietà) di addizione:

a+b=b+a(spostamento: la somma non cambia dal riordinamento dei termini).
(a+b)+c=a+(b+c)(associativa: per sommare un terzo numero alla somma di due termini, puoi sommare al primo numero la somma del secondo e del terzo).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

v) trasformare l'espressione in identicamente uguale usando le proprietà commutative e associative (leggi) della moltiplicazione:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 anni · (-uno); 9) 3a · (-3) · 2s.

Soluzione. Applichiamo le leggi (proprietà) della moltiplicazione:

a b=b a(spostamento: la permutazione dei fattori non cambia il prodotto).
(a b) c=a (b c)(combinativo: per moltiplicare il prodotto di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare il primo numero per il prodotto del secondo e del terzo).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 anni · (-1) = 7 anni.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Se un'espressione algebrica è data come frazione riducibile, usando la regola di riduzione della frazione, può essere semplificata, cioè sostituire identico uguale ad esso con un'espressione più semplice.

Esempi. Semplifica usando la riduzione di frazione.

Soluzione. Ridurre una frazione significa dividere il suo numeratore e denominatore per lo stesso numero (espressione) diverso da zero. La frazione 10) sarà ridotta di 3b; frazione 11) ridurre di un e frazione 12) ridurre di 7n. Noi abbiamo:

Le espressioni algebriche vengono utilizzate per formulare formule.

Una formula è un'espressione algebrica scritta come un'uguaglianza che esprime la relazione tra due o più variabili. Esempio: la formula del percorso che conosci s=v t(s è la distanza percorsa, v è la velocità, t è il tempo). Ricorda quali altre formule conosci.

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Questo articolo discute come trovare i valori delle espressioni matematiche. Iniziamo con semplici espressioni numeriche e poi considereremo i casi man mano che la loro complessità aumenta. Alla fine, diamo un'espressione contenente designazioni di lettere, parentesi, radici, segni matematici speciali, gradi, funzioni, ecc. L'intera teoria, secondo la tradizione, sarà fornita di esempi abbondanti e dettagliati.

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Come trovare il valore di un'espressione numerica?

Le espressioni numeriche, tra l'altro, aiutano a descrivere la condizione del problema in linguaggio matematico. In generale, le espressioni matematiche possono essere sia molto semplici, costituite da una coppia di numeri e segni aritmetici, sia molto complesse, contenenti funzioni, gradi, radici, parentesi, ecc. Come parte dell'attività, è spesso necessario trovare il valore di un'espressione. Come farlo sarà discusso di seguito.

I casi più semplici

Questi sono casi in cui l'espressione non contiene altro che numeri e aritmetica. Per trovare con successo i valori di tali espressioni, avrai bisogno della conoscenza dell'ordine in cui le operazioni aritmetiche vengono eseguite senza parentesi, nonché della capacità di eseguire operazioni con numeri diversi.

Se l'espressione contiene solo numeri e segni aritmetici " + " , " · " , " - " , " ÷ " , le operazioni vengono eseguite da sinistra a destra nel seguente ordine: prima moltiplicazione e divisione, quindi addizione e sottrazione. Diamo esempi.

Esempio 1. Il valore di un'espressione numerica

Sia necessario trovare i valori dell'espressione 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Facciamo prima la moltiplicazione e la divisione. Noi abbiamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Ora sottraiamo e otteniamo il risultato finale:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esempio 2. Il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Innanzitutto, eseguiamo la conversione di frazioni, divisione e moltiplicazione:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Ora facciamo addizioni e sottrazioni. Raggruppiamo le frazioni e le portiamo a un denominatore comune:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Il valore desiderato è stato trovato.

Espressioni tra parentesi

Se un'espressione contiene parentesi, determinano l'ordine delle azioni in questa espressione. Innanzitutto, vengono eseguite le azioni tra parentesi e poi tutto il resto. Mostriamolo con un esempio.

Esempio 3. Il valore di un'espressione numerica

Trova il valore dell'espressione 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

L'espressione contiene parentesi, quindi prima eseguiamo l'operazione di sottrazione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Il valore delle espressioni che contengono parentesi quadre si trova secondo lo stesso principio.

Esempio 4. Il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Eseguiamo le azioni partendo dalle parentesi più interne, passando a quelle esterne.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Nel trovare i valori delle espressioni tra parentesi, l'importante è seguire la sequenza delle azioni.

Espressioni con radici

Le espressioni matematiche i cui valori dobbiamo trovare possono contenere segni di radice. Inoltre, l'espressione stessa può essere sotto il segno della radice. Come essere in quel caso? Per prima cosa devi trovare il valore dell'espressione sotto la radice, quindi estrarre la radice dal numero risultante. Se possibile, è meglio eliminare le radici nelle espressioni numeriche, sostituendole con valori numerici.

Esempio 5. Il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore dell'espressione con radici - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Innanzitutto, calcoliamo le espressioni radicali.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Ora possiamo calcolare il valore dell'intera espressione.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Spesso, per trovare il valore di un'espressione con radici, è spesso necessario prima trasformare l'espressione originale. Spieghiamolo con un altro esempio.

Esempio 6. Il valore di un'espressione numerica

Che cos'è 3 + 1 3 - 1 - 1

Come puoi vedere, non abbiamo la possibilità di sostituire la radice con un valore esatto, il che complica il processo di conteggio. Tuttavia, in questo caso, puoi applicare la formula di moltiplicazione abbreviata.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

In questo modo:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Espressioni con poteri

Se l'espressione contiene poteri, i loro valori devono essere calcolati prima di procedere con tutte le altre azioni. Succede che l'esponente stesso o la base del grado siano espressioni. In questo caso, viene calcolato prima il valore di queste espressioni, quindi il valore del grado.

Esempio 7. Il valore di un'espressione numerica

Trova il valore dell'espressione 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Iniziamo a calcolare in ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Resta solo da eseguire l'operazione di addizione e scoprire il valore dell'espressione:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Spesso è anche consigliabile semplificare l'espressione utilizzando le proprietà del grado.

Esempio 8. Il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore della seguente espressione: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Gli esponenti sono ancora tali che i loro valori numerici esatti non possono essere ottenuti. Semplifica l'espressione originale per trovarne il valore.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Espressioni con frazioni

Se un'espressione contiene frazioni, quando si calcola tale espressione, tutte le frazioni in essa contenute devono essere rappresentate come frazioni ordinarie e i loro valori calcolati.

Se sono presenti espressioni nel numeratore e nel denominatore della frazione, vengono prima calcolati i valori di queste espressioni e viene registrato il valore finale della frazione stessa. Le operazioni aritmetiche vengono eseguite nell'ordine standard. Consideriamo una soluzione di esempio.

Esempio 9. Il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione contenente le frazioni: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Come puoi vedere, ci sono tre frazioni nell'espressione originale. Calcoliamo prima i loro valori.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Riscriviamo la nostra espressione e calcoliamo il suo valore:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Spesso, quando si trovano i valori delle espressioni, è conveniente ridurre le frazioni. C'è una regola non detta: prima di trovarne il valore, è meglio semplificare al massimo qualsiasi espressione, riducendo tutti i calcoli ai casi più semplici.

Esempio 10. Il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo l'espressione 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Non possiamo estrarre completamente la radice di cinque, ma possiamo semplificare l'espressione originale attraverso trasformazioni.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

L'espressione originaria assume la forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calcoliamo il valore di questa espressione:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Espressioni con logaritmi

Quando i logaritmi sono presenti in un'espressione, il loro valore, se possibile, viene calcolato dall'inizio. Ad esempio, nell'espressione log 2 4 + 2 4, puoi scrivere immediatamente il valore di questo logaritmo invece di log 2 4, quindi eseguire tutte le azioni. Otteniamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Le espressioni numeriche si trovano anche sotto il segno del logaritmo e alla sua base. In questo caso, il primo passo è trovare i loro valori. Prendiamo l'espressione log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Abbiamo:

ceppo 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = ceppo 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Se è impossibile calcolare il valore esatto del logaritmo, semplificare l'espressione aiuta a trovarne il valore.

Esempio 11. Il valore di un'espressione numerica

Trova il valore dell'espressione log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

registro 2 registro 2 256 = registro 2 8 = 3 .

Secondo la proprietà dei logaritmi:

ceppo 6 2 + ceppo 6 3 = ceppo 6 (2 3) = ceppo 6 6 = 1 .

Applicando sempre le proprietà dei logaritmi, per l'ultima frazione dell'espressione otteniamo:

ceppo 5 729 ceppo 0 , 2 27 = ceppo 5 729 ceppo 1 5 27 = ceppo 5 729 - ceppo 5 27 = - ceppo 27 729 = - ceppo 27 27 2 = - 2 .

Ora puoi procedere al calcolo del valore dell'espressione originale.

ceppo 2 ceppo 2 256 + ceppo 6 2 + ceppo 6 3 + ceppo 5 729 ceppo 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Espressioni con funzioni trigonometriche

Succede che nell'espressione ci siano funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché funzioni ad esse inverse. Dal valore vengono calcolati prima di eseguire tutte le altre operazioni aritmetiche. In caso contrario, l'espressione è semplificata.

Esempio 12. Il valore di un'espressione numerica

Trova il valore dell'espressione: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Innanzitutto, calcoliamo i valori delle funzioni trigonometriche incluse nell'espressione.

peccato - 5 π 2 \u003d - 1

Sostituisci i valori nell'espressione e calcola il suo valore:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Il valore dell'espressione è stato trovato.

Spesso, per trovare il valore di un'espressione con funzioni trigonometriche, è necessario prima convertirla. Spieghiamo con un esempio.

Esempio 13. Il valore di un'espressione numerica

È necessario trovare il valore dell'espressione cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Per la trasformazione utilizzeremo le formule trigonometriche per il coseno del doppio angolo e il coseno della somma.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Caso generale di espressione numerica

Nel caso generale, un'espressione trigonometrica può contenere tutti gli elementi sopra descritti: parentesi, gradi, radici, logaritmi, funzioni. Formuliamo una regola generale per trovare i valori di tali espressioni.

Come trovare il valore di un'espressione

1. Radici, potenze, logaritmi, ecc. sono sostituiti dai loro valori.
2. Le azioni tra parentesi vengono eseguite.
3. I passaggi rimanenti vengono eseguiti in ordine da sinistra a destra. Prima - moltiplicazione e divisione, poi - addizione e sottrazione.

Facciamo un esempio.

Esempio 14. Il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo qual è il valore dell'espressione - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

L'espressione è piuttosto complessa e ingombrante. Non a caso abbiamo scelto proprio un esempio del genere, cercando di inserirvi tutti i casi sopra descritti. Come trovare il valore di una tale espressione?

È noto che quando si calcola il valore di una forma frazionaria complessa, prima si trovano rispettivamente i valori del numeratore e del denominatore della frazione. Successivamente trasformeremo e semplificheremo questa espressione.

Innanzitutto calcoliamo il valore dell'espressione radicale 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Per fare ciò, è necessario trovare il valore del seno e l'espressione che è l'argomento della funzione trigonometrica.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Ora puoi scoprire il valore del seno:

peccato π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = peccato π 6 + 2 π = peccato π 6 = 1 2 .

Calcoliamo il valore dell'espressione radicale:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 peccato π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Con il denominatore di una frazione tutto è più semplice:

Ora possiamo scrivere il valore dell'intera frazione:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Con questo in mente, scriviamo l'intera espressione:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Risultato finale:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In questo caso, siamo stati in grado di calcolare valori esatti per radici, logaritmi, seni e così via. Se ciò non è possibile, puoi provare a sbarazzartene con trasformazioni matematiche.

Espressioni di calcolo in modi razionali

I valori numerici devono essere calcolati in modo coerente e accurato. Questo processo può essere razionalizzato e accelerato utilizzando varie proprietà delle operazioni con i numeri. Ad esempio, è noto che il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Data questa proprietà, possiamo immediatamente dire che l'espressione 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 è uguale a zero. In questo caso, non è affatto necessario eseguire i passaggi nell'ordine descritto nell'articolo precedente.

È anche conveniente utilizzare la proprietà di sottrarre numeri uguali. Senza eseguire alcuna azione, è possibile ordinare che anche il valore dell'espressione 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 sia uguale a zero.

Un'altra tecnica che consente di accelerare il processo è l'uso di trasformazioni identiche come raggruppare termini e fattori e togliere il fattore comune tra parentesi. Un approccio razionale al calcolo delle espressioni con le frazioni consiste nel ridurre le stesse espressioni nel numeratore e nel denominatore.

Ad esempio, prendiamo l'espressione 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Senza eseguire le azioni tra parentesi, ma riducendo la frazione, possiamo dire che il valore dell'espressione è 1 3 .

Trovare i valori delle espressioni con variabili

Il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili si trova per determinati valori di lettere e variabili.

Trovare i valori delle espressioni con variabili

Per trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili, è necessario sostituire i valori indicati di lettere e variabili nell'espressione originale, quindi calcolare il valore dell'espressione numerica risultante.

Esempio 15. Il valore di un'espressione con variabili

Calcola il valore dell'espressione 0, 5 x - y dato x = 2, 4 e y = 5.

Sostituiamo i valori delle variabili nell'espressione e calcoliamo:

0.5 x-y = 0.5 2.4-5 = 1.2-5 =-3.8.

A volte è possibile trasformare un'espressione in modo tale da ottenerne il valore indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili in essa contenute. Per fare ciò, è necessario eliminare lettere e variabili nell'espressione, se possibile, utilizzando trasformazioni identiche, proprietà delle operazioni aritmetiche e tutti gli altri metodi possibili.

Ad esempio, l'espressione x + 3 - x ha ovviamente il valore 3 e non è necessario conoscere il valore di x per calcolare questo valore. Il valore di questa espressione è uguale a tre per tutti i valori della variabile x dal suo intervallo di valori validi.

Un altro esempio. Il valore dell'espressione x x è uguale a uno per tutte le x positive.

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Primo livello

Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2019)

Conversione di espressioni

Spesso sentiamo questa frase spiacevole: "semplificare l'espressione". Di solito, in questo caso, abbiamo una specie di mostro come questo:

"Sì, molto più facile", diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.

Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti. Inoltre, alla fine della lezione, tu stesso semplificherai questo esempio in (solo!) un numero ordinario (sì, al diavolo quelle lettere).

Ma prima di iniziare questa lezione, devi essere in grado di gestire le frazioni e i polinomi fattoriali. Pertanto, in primo luogo, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti "" e "".

Leggi? Se sì, allora sei pronto.

Operazioni di semplificazione di base

Ora analizzeremo le principali tecniche utilizzate per semplificare le espressioni.

Il più semplice di loro è

1. Portare simili

Cosa sono simili? Hai affrontato questo in 7a elementare, quando le lettere sono apparse per la prima volta in matematica invece dei numeri. Simili sono termini (monomi) con la stessa parte letterale. Ad esempio, nella somma, come i termini sono e.

Ricordato?

Portare termini simili significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.

Ma come possiamo mettere insieme le lettere? - tu chiedi.

Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una specie di oggetto. Ad esempio, la lettera è una sedia. Allora qual è l'espressione? Due sedie più tre sedie, quanto costerà? Esatto, sedie: .

Ora prova questa espressione:

Per non confonderti, lascia che lettere diverse denotino oggetti diversi. Ad esempio, - questa è (come al solito) una sedia e - questo è un tavolo. Poi:

Sedie Tavoli Sedie Tavoli Sedie Sedie Tavoli

Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti. Ad esempio, nel monomio il coefficiente è uguale. Ed è uguale.

Quindi, la regola per portare simili:

Esempi:

Porta simili:

Risposte:

2. (e sono simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte letterale).

2. Fattorizzazione

Questa è solitamente la parte più importante nella semplificazione delle espressioni. Dopo aver fornito quelli simili, molto spesso l'espressione risultante deve essere scomposta, ovvero presentata come un prodotto. Ciò è particolarmente importante nelle frazioni: dopotutto, per ridurre una frazione, il numeratore e il denominatore devono essere rappresentati come un prodotto.

Hai esaminato i metodi dettagliati per fattorizzare le espressioni nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare ciò che hai imparato. Per fare ciò, risolvi alcuni esempi(da escludere):

Soluzioni:

3. Riduzione della frazione.

Ebbene, cosa potrebbe esserci di più bello che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?

Questo è il bello dell'abbreviazione.

È semplice:

Se numeratore e denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.

Questa regola deriva dalla proprietà di base di una frazione:

Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è quella Dividiamo numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).

Per ridurre una frazione, hai bisogno di:

1) numeratore e denominatore fattorizzare

2) se numeratore e denominatore contengono fattori comuni, possono essere cancellati.

Il principio, credo, è chiaro?

Vorrei attirare la vostra attenzione su un tipico errore di abbreviazione. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone fanno tutto male, senza rendersene conto taglio- questo significa dividere numeratore e denominatore con lo stesso numero.

Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è la somma.

Ad esempio: devi semplificare.

Alcuni fanno questo: il che è assolutamente sbagliato.

Altro esempio: ridurre.

"Il più intelligente" farà questo:.

Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, quindi puoi ridurre.

E invece no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è scomposto in fattori.

Ecco un altro esempio: .

Questa espressione è scomposta in fattori, il che significa che puoi ridurre, cioè dividere il numeratore e il denominatore per e quindi per:

Puoi immediatamente dividere per:

Per evitare tali errori, ricorda un modo semplice per determinare se un'espressione viene scomposta:

L'ultima operazione aritmetica che viene eseguita quando si calcola il valore dell'espressione è la "principale". Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numeri invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione è scomposta in fattori). Se l'ultima azione è l'addizione o la sottrazione, significa che l'espressione non viene scomposta (e quindi non può essere ridotta).

Per risolverlo, risolvilo tu stesso alcuni esempi:

Risposte:

1. Spero che tu non abbia subito fretta di tagliare e? Non bastava ancora “ridurre” unità così:

Il primo passo dovrebbe essere quello di fattorizzare:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Portare le frazioni a un denominatore comune.

L'addizione e la sottrazione di frazioni ordinarie è un'operazione ben nota: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottriamo i numeratori. Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono coprimi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, l'LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:

2. Qui il denominatore comune è:

3. Qui, prima di tutto, trasformiamo le frazioni miste in improprie, quindi - secondo il solito schema:

È tutta un'altra questione se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Iniziamo in modo semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è come con le frazioni numeriche ordinarie: troviamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottriamo i numeratori:

ora nel numeratore puoi portare quelli simili, se ce ne sono, e calcolarli:

Provate voi stessi:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:

Prima di tutto determiniamo i fattori comuni;

Quindi scriviamo tutti i fattori comuni una volta;

e moltiplicarli per tutti gli altri fattori, non quelli comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori semplici:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo i fattori comuni una volta e aggiungiamo tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il denominatore comune.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente allo stesso modo:

Scomponiamo i denominatori in fattori;

determinare moltiplicatori comuni (identici);

scrivi tutti i fattori comuni una volta;

Li moltiplichiamo per tutti gli altri fattori, non quelli comuni.

Quindi, nell'ordine:

1) scomponi i denominatori in fattori:

2) determinare i fattori comuni (identici):

3) scrivi tutti i fattori comuni una volta e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi il denominatore comune è qui. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda - per:

A proposito, c'è un trucco:

Ad esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:

nella misura

nella misura

nella misura

in grado.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà di base di una frazione:

Da nessuna parte si dice che lo stesso numero possa essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cosa è stato appreso?

Quindi, un'altra regola incrollabile:

Quando porti le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma cosa devi moltiplicare per ottenere?

Ecco e moltiplicati. E moltiplica per:

Le espressioni che non possono essere fattorizzate saranno chiamate "fattori elementari". Ad esempio, è un fattore elementare. - pure. Ma - no: è scomposto in fattori.

E l'espressione? è elementare?

No, perché si può fattorizzare:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono un analogo dei semplici fattori in cui scomponi i numeri. E noi faremo lo stesso con loro.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un fattore. Andrà al denominatore comune nel potere (ricordate perché?).

Il moltiplicatore è elementare e non lo hanno in comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Soluzione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come calcolarli? Entrambi rappresentano:

Bene! Poi:

Un altro esempio:

Soluzione:

Come al solito, fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore, lo mettiamo semplicemente fuori parentesi; nel secondo - la differenza di quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono già così simili ... E la verità è:

Allora scriviamo:

Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi, abbiamo scambiato i termini e, allo stesso tempo, il segno davanti alla frazione è cambiato nell'opposto. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamo a un denominatore comune:

Fatto? Ora controlliamo.

Compiti per una soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Si noti che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula "quadrato della somma"! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo:

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso contenuto è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non del loro prodotto raddoppiato. Il quadrato incompleto della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza di cubi:

E se ci sono già tre frazioni?

Sì, lo stesso! Prima di tutto, ci assicureremo che il numero massimo di fattori nei denominatori sia lo stesso:

Attenzione: se cambiate i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia in quello opposto. Quando cambiamo i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione viene nuovamente invertito. Di conseguenza, lui (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo il primo denominatore per intero nel denominatore comune, quindi aggiungiamo tutti i fattori che non sono stati ancora scritti, dal secondo, e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, va così:

Hmm ... Con le frazioni, è chiaro cosa fare. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come aggiungere le frazioni, giusto? Quindi, devi assicurarti che il due diventi una frazione! Ricorda: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te ne fossi improvvisamente dimenticato). E non c'è niente di più facile che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Esattamente quello che serve!

5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.

Bene, la parte più difficile è finita. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda, considerando il valore di tale espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, te lo ricordo.

Il primo passo è calcolare il grado.

La seconda è la moltiplicazione e la divisione. Se ci sono più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, puoi eseguirle in qualsiasi ordine.

Infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata fuori ordine!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima valutiamo l'espressione in ciascuna delle parentesi, quindi le moltiplichiamo o le dividiamo.

E se ci sono altre parentesi tra parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Qual è la prima cosa da fare quando si valuta un'espressione? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, l'ordine delle azioni per l'espressione sopra è il seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, ovvero l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Va bene, è tutto semplice.

Ma non è la stessa cosa di un'espressione con le lettere, vero?

No, è lo stesso! Solo al posto delle operazioni aritmetiche è necessario eseguire operazioni algebriche, ovvero le operazioni descritte nella sezione precedente: portando simili, addizione di frazioni, riduzione di frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione della fattorizzazione dei polinomi (la usiamo spesso quando si lavora con le frazioni). Molto spesso, per la fattorizzazione, è necessario utilizzare i o semplicemente togliere il fattore comune tra parentesi.

Solitamente il nostro obiettivo è rappresentare un'espressione come prodotto o quoziente.

Ad esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. Lì abbiamo la differenza delle frazioni e il nostro obiettivo è rappresentarla come un prodotto o un quoziente. Quindi, portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione, tutti i fattori qui sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicazione delle frazioni: cosa potrebbe essere più facile.

3) Ora puoi abbreviare:

OK è tutto finito adesso. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo allora guarda la soluzione.

Prima di tutto, definiamo la procedura. Innanzitutto, aggiungiamo le frazioni tra parentesi, invece di due frazioni, ne risulterà una. Quindi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione. Elencherò schematicamente i passaggi:

Ora mostrerò l'intero processo, colorando di rosso l'azione corrente:

Infine, ti darò due consigli utili:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. In qualsiasi momento ne abbiamo di simili, è consigliabile portarli subito.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, deve essere sfruttata. L'eccezione sono le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.

Ecco alcuni compiti da risolvere da soli:

E ha promesso all'inizio:

Soluzioni (breve):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, allora consideri che hai imparato l'argomento.

Ora via all'apprendimento!

CONVERSIONE DELL'ESPRESSIONE. RIASSUNTO E FORMULA BASE

Operazioni di semplificazione di base:

• Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili, devi sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
• Fattorizzazione: togliendo il fattore comune da parentesi, applicando, ecc.
• Riduzione della frazione: numeratore e denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, dal quale il valore della frazione non cambia.
  1) numeratore e denominatore fattorizzare
  2) se ci sono fattori comuni al numeratore e al denominatore, possono essere cancellati.

  IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!

• Addizione e sottrazione di frazioni:
  ;
• Moltiplicazione e divisione delle frazioni:
  ;

Quando si studia l'argomento delle espressioni numeriche, letterali ed espressioni con variabili, è necessario prestare attenzione al concetto valore di espressione. In questo articolo, risponderemo alla domanda, qual è il valore di un'espressione numerica e quello che viene chiamato il valore di un'espressione letterale e un'espressione con variabili con i valori selezionati delle variabili. Per chiarire queste definizioni, diamo esempi.

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Qual è il valore di un'espressione numerica?

La conoscenza delle espressioni numeriche inizia quasi dalle prime lezioni di matematica a scuola. Quasi subito viene introdotto il concetto di “valore di un'espressione numerica”. Si riferisce a espressioni composte da numeri collegati da segni aritmetici (+, −, ·, :). Diamo una definizione appropriata.

Definizione.

Il valore di un'espressione numerica- questo è il numero che si ottiene dopo aver eseguito tutte le azioni nell'espressione numerica originale.

Si consideri, ad esempio, l'espressione numerica 1+2 . Dopo aver eseguito , otteniamo il numero 3 , è il valore dell'espressione numerica 1+2 .

Spesso nella frase “valore di un'espressione numerica” la parola “numerica” viene omessa, e si dice semplicemente “valore dell'espressione”, poiché è ancora chiaro quale espressione si intende.

La definizione di cui sopra del significato di un'espressione si applica anche alle espressioni numeriche di forma più complessa, che vengono studiate al liceo. Qui va notato che si possono incontrare espressioni numeriche, i cui valori non possono essere specificati. Ciò è dovuto al fatto che in alcune espressioni è impossibile eseguire le azioni registrate. Ad esempio, quindi non possiamo specificare il valore dell'espressione 3:(2−2) . Tali espressioni numeriche sono chiamate espressioni che non hanno senso.

Spesso in pratica non interessa tanto l'espressione numerica quanto il suo valore. Cioè, sorge il compito, che consiste nel determinare il valore di questa espressione. In questo caso, di solito dicono che devi trovare il valore dell'espressione. In questo articolo, viene analizzato in dettaglio il processo per trovare il valore di espressioni numeriche di vario tipo e vengono presi in considerazione molti esempi con descrizioni dettagliate delle soluzioni.

Significato delle espressioni letterali e variabili

Oltre alle espressioni numeriche, studiano le espressioni letterali, cioè le espressioni in cui, insieme ai numeri, sono presenti una o più lettere. Le lettere in un'espressione letterale possono rappresentare numeri diversi e, se le lettere vengono sostituite da questi numeri, l'espressione letterale diventa numerica.

Definizione.

Vengono chiamati i numeri che sostituiscono le lettere in un'espressione letterale il significato di queste lettere e viene chiamato il valore dell'espressione numerica risultante il valore dell'espressione letterale dati i valori delle lettere.

Quindi, per le espressioni letterali, non si parla solo del significato dell'espressione letterale, ma del significato dell'espressione letterale per i valori dati (dati, indicati, ecc.) Delle lettere.

Facciamo un esempio. Prendiamo l'espressione letterale 2·a+b . Si forniscano i valori delle lettere aeb, ad esempio a=1 e b=6 . Sostituendo le lettere nell'espressione originale con i loro valori, otteniamo un'espressione numerica della forma 2 1+6 , il suo valore è 8 . Pertanto, il numero 8 è il valore dell'espressione letterale 2·a+b dati i valori delle lettere a=1 e b=6 . Se venissero forniti altri valori di lettera, otterremmo il valore dell'espressione letterale per quei valori di lettera. Ad esempio, con a=5 e b=1 abbiamo il valore 2 5+1=11 .

Al liceo, quando si studia l'algebra, le lettere nelle espressioni letterali possono assumere significati diversi, tali lettere sono chiamate variabili e le espressioni letterali sono chiamate espressioni con variabili. Per queste espressioni viene introdotto il concetto di valore di un'espressione con variabili per i valori scelti delle variabili. Scopriamo di cosa si tratta.

Definizione.

Il valore di un'espressione con variabili per i valori selezionati delle variabili viene chiamato il valore di un'espressione numerica, che si ottiene dopo aver sostituito i valori selezionati delle variabili nell'espressione originale.

Spieghiamo la definizione suonata con un esempio. Si consideri un'espressione con variabili xey della forma 3·x·y+y . Prendiamo x=2 e y=4 , sostituiamo questi valori variabili nell'espressione originale, otteniamo l'espressione numerica 3 2 4+4 . Calcoliamo il valore di questa espressione: 3 2 4+4=24+4=28 . Il valore trovato 28 è il valore dell'espressione originale con le variabili 3·x·y+y con i valori selezionati delle variabili x=2 e y=4 .

Se scegli altri valori di variabili, ad esempio x=5 e y=0 , questi valori di variabili selezionati corrisponderanno al valore dell'espressione con variabili pari a 3 5 0+0=0 .

Si può notare che a volte è possibile ottenere valori uguali dell'espressione per diversi valori scelti di variabili. Ad esempio, per x=9 e y=1, il valore dell'espressione 3 x y+y è 28 (perché 3 9 1+1=27+1=28 ), e sopra abbiamo mostrato che lo stesso valore è espressione con variabili ha a x=2 e y=4 .

I valori delle variabili possono essere selezionati dai rispettivi intervalli di valori accettabili. In caso contrario, la sostituzione dei valori di queste variabili nell'espressione originale risulterà in un'espressione numerica priva di senso. Ad esempio, se scegli x=0 e sostituisci quel valore nell'espressione 1/x , ottieni l'espressione numerica 1/0 , che non ha senso perché la divisione per zero non è definita.

Resta solo da aggiungere che esistono espressioni con variabili i cui valori non dipendono dai valori delle variabili in esse contenute. Ad esempio, il valore di un'espressione con una variabile x della forma 2+x−x non dipende dal valore di questa variabile, è uguale a 2 per qualsiasi valore scelto della variabile x dal suo intervallo di valori validi, che in questo caso è l'insieme di tutti i numeri reali.

Bibliografia.

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Un'espressione numerica è un record di numeri in combinazione con operazioni aritmetiche e parentesi. Quando le variabili vengono utilizzate in un'espressione insieme ai numeri e l'intera espressione è composta da un significato, viene chiamata espressione algebrica (letterale). Se l'espressione contiene funzioni trigonometriche dirette, derivate, inverse e di altro tipo, l'espressione è chiamata trigonometrica. Un gran numero di esempi e compiti che utilizzano varie espressioni sono dettagliati nel corso di matematica della scuola.

Le cose principali da ricordare:

1. Il valore di un'espressione numerica sarà il numero ottenuto eseguendo operazioni aritmetiche in questa espressione. La cosa principale è eseguire costantemente operazioni aritmetiche. Per semplicità dell'intera operazione, i passaggi possono essere numerati. Se l'espressione contiene parentesi, prima di tutto eseguiamo l'azione corrispondente al carattere tra parentesi. L'esponenziazione sarà il passo successivo. Successivamente, in via prioritaria, eseguiamo la moltiplicazione o la divisione e, solo alla fine, l'addizione e la sottrazione.

Ora troviamo il valore dell'espressione numerica 5+20*(60-45). Eliminiamo prima le parentesi. Eseguendo l'azione, otteniamo 60-45=15. Ora abbiamo 5+20*15. L'azione successiva è la moltiplicazione 20*15=300. E l'ultima azione sarà l'addizione, la eseguiamo e otteniamo il risultato finale 5 + 300 = 305.

2. Ad un angolo noto? Quando si lavora con le espressioni trigonometriche, è necessaria la conoscenza delle formule trigonometriche di base che aiuteranno a semplificare l'espressione. Troviamo il valore dell'espressione cos 12? cos 18? - peccato 12? peccato 18?. Per semplificare questa espressione, utilizziamo la formula cos (? +?) = cos? cos? - peccato? sin?, allora otteniamo cos 12? cos 18? - peccato 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Espressioni con variabili. Va ricordato che il valore di un'espressione algebrica dipende direttamente dalla variabile. Le variabili possono essere indicate con lettere dell'alfabeto greco o latino. Quando abbiamo i parametri dati di un'espressione algebrica, dobbiamo prima semplificarla. Successivamente, è necessario sostituire le variabili date ed eseguire operazioni aritmetiche. Di conseguenza, con le variabili date, otterremo un numero, che sarà il valore dell'espressione algebrica. Considera un esempio in cui devi trovare il valore dell'espressione 3(a+y)+2(3a+2y) con a=4 e y=5. Semplifica questa espressione e ottieni 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Ora devi sostituire il valore delle variabili e calcolare, il risultato ottenuto sarà il valore dell'espressione. Quindi abbiamo 9a+7y con a=4 e y=5 otteniamo 36+35=71. Si noti che le espressioni algebriche non hanno sempre senso. Ad esempio, l'espressione 15:(b-4) ha senso per qualsiasi b diverso da b =4.