Teorema di addizione

Considera eventi casuali incompatibili.

È noto che gli eventi casuali incompatibili $A$ e $B$ nella stessa prova hanno probabilità rispettivamente $P\sinistra(A\destra)$ e $P\sinistra(B\destra)$. Troviamo la probabilità della somma $A+B$ di questi eventi, cioè la probabilità che si verifichi almeno uno di essi.

Supponiamo che in questo test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n$. Di questi, gli eventi $A$ e $B$ sono favoriti rispettivamente dagli eventi elementari $m_(A)$ e $m_(B)$. Poiché gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili, l'evento $A+B$ è favorito dagli eventi elementari $m_(A) +m_(B)$. Abbiamo $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\sinistra(A\destra)+P\sinistra(B\destra)$.

Teorema 1

La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

Nota 1

Conseguenza 1. La probabilità della somma di un numero qualsiasi di eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.

Conseguenza 2. La somma delle probabilità di un gruppo completo di eventi incompatibili (la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari) è uguale a uno.

Conseguenza 3. La somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a uno, poiché formano un gruppo completo di eventi incompatibili.

Esempio 1

La probabilità che in città non piova per un po' di tempo è $p=0.7$. Trova la probabilità $q$ che nello stesso periodo piova in città almeno una volta.

Gli eventi "per qualche tempo non ha mai piovuto in città" e "per qualche tempo in città ha piovuto almeno una volta" sono opposti. Pertanto $p+q=1$, da cui $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Considera eventi casuali congiunti.

È noto che gli eventi casuali congiunti $A$ e $B$ nella stessa prova hanno probabilità di occorrenza rispettivamente $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$. Troviamo la probabilità della somma $A+B$ di questi eventi, cioè la probabilità che si verifichi almeno uno di essi.

Supponiamo che in questo test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n$. Di questi, gli eventi $A$ e $B$ sono favoriti rispettivamente dagli eventi elementari $m_(A)$ e $m_(B)$. Poiché gli eventi $A$ e $B$ sono congiunti, allora sul numero totale di $m_(A) +m_(B) $ eventi elementari, un certo numero $m_(AB) $ favorisce entrambi gli eventi $A$ e l'evento $B$, cioè il loro verificarsi congiunto (il prodotto degli eventi $A\cdot B$). Questa quantità $m_(AB)$ è stata inserita sia in $m_(A)$ che in $m_(B)$, quindi l'evento $A+B$ è favorito da $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ eventi elementari. Abbiamo: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\sinistra(A\destra)+P\sinistra(B\destra)-P\sinistra(A\cpunto B\ giusto )$.

Teorema 2

La probabilità della somma di due eventi congiunti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi meno la probabilità del loro prodotto.

Commento. Se gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili, il loro prodotto $A\cdot B$ è un evento impossibile la cui probabilità è $P\left(A\cdot B\right)=0$. Pertanto, la formula per sommare le probabilità di eventi incompatibili è un caso speciale della formula per sommare le probabilità di eventi congiunti.

Esempio 2

Trova la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente, il numero 5 esca almeno una volta.

Quando si lanciano due dadi contemporaneamente, il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili è pari a $n=36$, poiché sei cifre del secondo dado possono cadere su ciascuna cifra del primo dado. Di questi, l'evento $A$ - il numero 5 lanciato sul primo dado - si verifica 6 volte, l'evento $B$ - il numero 5 lanciato sul secondo dado - si verifica anche 6 volte. Di tutte e dodici le volte, il numero 5 compare una volta su entrambi i dadi. Quindi $P\sinistra(A+B\destra)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Teorema della moltiplicazione delle probabilità

Considera eventi indipendenti.

Gli eventi $A$ e $B$ che si verificano in due prove successive sono detti indipendenti se la probabilità che si verifichi l'evento $B$ non dipende dal fatto che l'evento $A$ sia avvenuto o meno.

Ad esempio, supponiamo che in un'urna ci siano 2 palline bianche e 2 nere. Il test è estrarre la palla. L'evento $A$ è "viene estratta una pallina bianca nella prima prova". Probabilità $P\sinistra(A\destra)=\frac(1)(2) $. Dopo la prima prova, la palla è stata rimessa a posto ed è stata effettuata una seconda prova. Evento $B$ -- ``pallina bianca estratta nella seconda prova''. Probabilità $P\sinistra(B\destra)=\frac(1)(2) $. La probabilità $P\left(B\right)$ non dipende dal fatto che l'evento $A$ sia avvenuto o meno, quindi gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

È noto che gli eventi casuali indipendenti $A$ e $B$ di due prove consecutive hanno probabilità rispettivamente $P\sinistra(A\destra)$ e $P\sinistra(B\destra)$. Troviamo la probabilità del prodotto $A\cdot B$ di questi eventi, cioè la probabilità che si verifichino congiuntamente.

Supponiamo che nella prima prova il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n_(1) $. Di questi, $A$ è favorito da $m_(1)$ eventi elementari. Assumiamo anche che nel secondo test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n_(2) $. Di questi, l'evento $B$ è favorito dagli eventi elementari $m_(2)$. Consideriamo ora un nuovo evento elementare, che consiste nel susseguirsi di eventi della prima e della seconda prova. Il numero totale di tali eventi elementari ugualmente probabili è pari a $n_(1) \cdot n_(2) $. Poiché gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti, da questo numero la ricorrenza congiunta dell'evento $A$ e dell'evento $B$ (i prodotti degli eventi $A\cdot B$) è favorita da $m_( 1) \cdot m_(2) $ eventi . Abbiamo: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\sinistra(A\destra)\cdot P\sinistra(B\destra)$.

Teorema 3

La probabilità del prodotto di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi.

Considera gli eventi dipendenti.

In due prove consecutive, si verificano gli eventi $A$ e $B$. Un evento $B$ si dice dipendente dall'evento $A$ se la probabilità che si verifichi l'evento $B$ dipende dal fatto che l'evento $A$ si sia verificato o meno. Allora la probabilità dell'evento $B$, che è stata calcolata alla condizione che l'evento $A$ abbia avuto luogo, è chiamata probabilità condizionata dell'evento $B$ alla condizione $A$ ed è indicata con $P\left (B/A\destra)$.

Ad esempio, supponiamo che in un'urna ci siano 2 palline bianche e 2 nere. La prova è l'estrazione della palla. L'evento $A$ è "viene estratta una pallina bianca nella prima prova". Probabilità $P\sinistra(A\destra)=\frac(1)(2) $. Dopo la prima prova, la palla non viene rimessa a posto e viene eseguita la seconda prova. Evento $B$ -- ``pallina bianca estratta nella seconda prova''. Se nella prima prova è stata estratta una pallina bianca, la probabilità è $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Se nella prima prova è stata estratta una pallina nera, la probabilità è $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Pertanto, la probabilità dell'evento $B$ dipende dal fatto che l'evento $A$ sia avvenuto o meno, quindi l'evento $B$ dipende dall'evento $A$.

Si supponga che gli eventi $A$ e $B$ si verifichino in due prove consecutive. È noto che l'evento $A$ ha la probabilità di occorrenza $P\left(A\right)$. È anche noto che l'evento $B$ dipende dall'evento $A$ e la sua probabilità condizionata nella condizione $A$ è uguale a $P\left(B/A\right)$.

Teorema 4

La probabilità del prodotto dell'evento $A$ e dell'evento $B$ da esso dipendente, cioè la probabilità che si verifichino congiuntamente, può essere trovata con la formula $P\left(A\cdot B\right)= P\sinistra(A\destra)\cpunto P\sinistra(B/A\destra)$.

Vale anche la formula simmetrica $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, dove si assume che l'evento $A$ dipendere dall'evento $ B$.

Per le condizioni dell'ultimo esempio, troviamo la probabilità che la pallina bianca venga estratta in entrambe le prove. Un tale evento è un prodotto degli eventi $A$ e $B$. La sua probabilità è $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Teoremi di addizione e moltiplicazione di probabilità.
Eventi dipendenti e indipendenti

Il titolo sembra spaventoso, ma in realtà è molto semplice. In questa lezione conosceremo i teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità di eventi, oltre ad analizzare compiti tipici che, insieme a compito per la definizione classica di probabilità sicuramente si incontreranno o, più probabilmente, si sono già incontrati lungo la strada. Per studiare efficacemente i materiali di questo articolo, è necessario conoscere e comprendere i termini di base teoria della probabilità ed essere in grado di eseguire semplici operazioni aritmetiche. Come puoi vedere, basta davvero poco, e quindi un grosso plus nell'attivo è quasi garantito. Ma d'altra parte, avverto ancora una volta un atteggiamento superficiale nei confronti degli esempi pratici: ci sono anche abbastanza sottigliezze. Buona fortuna:

Il teorema dell'addizione per le probabilità di eventi incompatibili: la probabilità di occorrenza di uno dei due incompatibile eventi o (non importa cosa), è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

Un fatto simile vale anche per un numero maggiore di eventi incompatibili, ad esempio per tre eventi incompatibili e :

Teorema del sogno =) Tuttavia, un tale sogno è soggetto a dimostrazione, che può essere trovata, ad esempio, nel libro di testo di V.E. Gmurman.

Facciamo conoscenza con concetti nuovi, finora invisibili:

Eventi dipendenti e indipendenti

Cominciamo con eventi indipendenti. Gli eventi sono indipendente se la probabilità di accadimento nessuno di loro non dipende dalla comparsa/non comparsa di altri eventi dell'insieme considerato (in tutte le possibili combinazioni). ... Ma cosa c'è per macinare frasi comuni:

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti: la probabilità del verificarsi congiunto di eventi indipendenti ed è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi:

Torniamo all'esempio più semplice della 1a lezione, in cui vengono lanciate due monete e i seguenti eventi:

- cadranno teste sulla prima moneta;
- Testa sulla seconda moneta.

Troviamo la probabilità dell'evento (le teste appariranno sulla prima moneta e L'aquila apparirà sulla seconda moneta - ricorda come leggere prodotto di eventi!) . La probabilità di ottenere testa su una moneta non dipende in alcun modo dal risultato del lancio di un'altra moneta, quindi gli eventi e sono indipendenti.

Allo stesso modo:
è la probabilità che la prima moneta esca testa e sulla 2a coda;
è la probabilità che compaia testa sulla prima moneta e sulla 2a coda;
è la probabilità che la prima moneta esca croce e sulla 2a aquila.

Nota che gli eventi si formano gruppo completo e la somma delle loro probabilità è uguale a uno: .

Il teorema della moltiplicazione si estende ovviamente a un numero maggiore di eventi indipendenti, quindi, ad esempio, se gli eventi sono indipendenti, allora la probabilità che si verifichino congiuntamente è: . Facciamo pratica con esempi specifici:

Compito 3

Ciascuna delle tre scatole contiene 10 parti. Nella prima scatola ci sono 8 parti standard, nella seconda - 7, nella terza - 9. Una parte viene rimossa casualmente da ciascuna scatola. Trova la probabilità che tutte le parti siano standard.

Soluzione: la probabilità di estrarre una parte standard o non standard da una qualsiasi scatola non dipende da quali parti verranno estratte dalle altre scatole, quindi il problema riguarda gli eventi indipendenti. Considera i seguenti eventi indipendenti:

– viene rimossa una parte standard dalla 1a scatola;
– viene rimossa una parte standard dalla 2a scatola;
– Una parte standard è stata rimossa dal 3° cassetto.

Secondo la definizione classica:
sono le probabilità corrispondenti.

Evento a cui siamo interessati (La parte standard sarà presa dal 1° cassetto e dal 2° standard e dalla 3a norma)è espresso dal prodotto.

Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

è la probabilità che una parte standard venga estratta da tre caselle.

Risposta: 0,504

Dopo tonificanti esercizi con le scatole, ci aspettano non meno interessanti urne:

Compito 4

Tre urne contengono 6 palline bianche e 4 nere. Da ogni urna viene estratta una pallina a caso. Trova la probabilità che: a) tutte e tre le palline siano bianche; b) tutte e tre le palline saranno dello stesso colore.

Sulla base delle informazioni ricevute, indovina come gestire l'elemento "essere" ;-) Viene progettata una soluzione campione approssimativa in stile accademico con una descrizione dettagliata di tutti gli eventi.

Eventi dipendenti. L'evento è chiamato dipendente se la sua probabilità dipende da uno o più eventi già accaduti. Non devi andare lontano per gli esempi: vai al negozio più vicino:

- Domani alle 19.00 sarà in vendita il pane fresco.

La probabilità di questo evento dipende da molti altri eventi: se il pane fresco verrà consegnato domani, se sarà esaurito prima delle 19:00 o meno, ecc. A seconda delle varie circostanze, questo evento può essere sia affidabile che impossibile. Quindi l'evento è dipendente.

Pane ... e, come chiedevano i romani, circhi:

- all'esame lo studente riceverà un semplice biglietto.

Se non vai per primo, l'evento dipenderà, poiché la sua probabilità dipenderà da quali biglietti hanno già estratto i compagni di classe.

Come determinare la dipendenza/indipendenza degli eventi?

A volte questo è indicato direttamente nelle condizioni del problema, ma molto spesso è necessario condurre un'analisi indipendente. Non ci sono linee guida univoche qui, e il fatto della dipendenza o dell'indipendenza degli eventi deriva dal ragionamento logico naturale.

Per non buttare tutto in un mucchio, compiti per eventi dipendenti Evidenzierò la prossima lezione, ma per ora considereremo in pratica il gruppo di teoremi più comuni:

Problemi sui teoremi di addizione per probabilità inconsistenti
e moltiplicando le probabilità di eventi indipendenti

Questo tandem, secondo la mia valutazione soggettiva, funziona in circa l'80% dei compiti sull'argomento in esame. Un successone e un vero classico della teoria della probabilità:

Compito 5

Due tiratori hanno sparato un colpo ciascuno al bersaglio. La probabilità di colpire per il primo tiratore è 0,8, per il secondo - 0,6. Trova la probabilità che:

a) un solo tiratore colpirà il bersaglio;
b) almeno uno dei tiratori colpirà il bersaglio.

Soluzione: La probabilità di successo/errore di un tiratore è ovviamente indipendente dalla prestazione dell'altro tiratore.

Considera gli eventi:
– Il 1° tiratore colpirà il bersaglio;
– Il 2° tiratore colpirà il bersaglio.

A condizione: .

Troviamo le probabilità di eventi opposti - che le frecce corrispondenti mancheranno:

a) Considera l'evento: - solo un tiratore colpisce il bersaglio. Questo evento è costituito da due esiti incompatibili:

Il primo tiratore colpirà e 2a mancata
o
Il 1° mancherà e Il 2° colpirà.

Sulla lingua algebre degli eventi questo fatto può essere scritto come:

In primo luogo, utilizziamo il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi incompatibili, quindi - il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

è la probabilità che ci sia un solo colpo.

b) Considera l'evento: - almeno uno dei tiratori colpirà il bersaglio.

Prima di tutto, PENSIAMO - cosa significa la condizione "ALmeno UNO"? In questo caso, questo significa che il 1° tiratore andrà a segno (il 2° mancherà) o 2° (1° errore) o entrambe le frecce contemporaneamente - un totale di 3 risultati incompatibili.

Metodo uno: data la probabilità preparata dell'item precedente, conviene rappresentare l'evento come somma dei seguenti eventi disgiunti:

uno otterrà (un evento costituito a sua volta da 2 esiti incompatibili) o
Se entrambe le frecce colpiscono, indichiamo questo evento con la lettera .

In questo modo:

Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che il primo tiratore colpisca e Il 2° tiratore colpirà.

Secondo il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi incompatibili:
è la probabilità di almeno un colpo sul bersaglio.

Metodo due: considera l'evento opposto: – mancheranno entrambi i tiratori.

Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

Di conseguenza:

Presta particolare attenzione al secondo metodo: in generale è più razionale.

Inoltre, c'è un terzo modo alternativo di risolvere, basato sul teorema della somma di eventi congiunti, che era stato muto sopra.

! Se stai leggendo il materiale per la prima volta, per evitare confusione, è meglio saltare il paragrafo successivo.

Metodo tre : gli eventi sono congiunti, il che significa che la loro somma esprime l'evento “almeno un tiratore colpisce il bersaglio” (vedi Fig. algebra degli eventi). Di teorema di addizione delle probabilità di eventi congiunti e il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

Controlliamo: eventi e (rispettivamente 0, 1 e 2 risultati) formano un gruppo completo, quindi la somma delle loro probabilità deve essere uguale a uno:
, che doveva essere verificato.

Risposta:

Con uno studio approfondito della teoria della probabilità, ti imbatterai in dozzine di compiti di contenuto militaristico e, il che è tipico, dopodiché non vorrai sparare a nessuno: i compiti sono quasi un regalo. Perché non rendere il modello ancora più semplice? Accorciamo la voce:

Soluzione: in base alla condizione: , è la probabilità di colpire i corrispondenti tiratori. Quindi le loro probabilità di mancato raggiungimento sono:

a) Secondo i teoremi di addizione di probabilità di incompatibilità e moltiplicazione di probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che un solo tiratore colpisca il bersaglio.

b) Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che entrambi i tiratori manchino.

Allora: è la probabilità che almeno uno dei tiratori colpisca il bersaglio.

Risposta:

In pratica, puoi utilizzare qualsiasi opzione di progettazione. Certo, molto più spesso vanno per la strada breve, ma non bisogna dimenticare il 1° metodo - anche se è più lungo, è più significativo - è più chiaro in esso, cosa, perché e perché somma e moltiplica. In alcuni casi è opportuno uno stile ibrido, quando conviene indicare solo alcuni eventi in maiuscolo.

Attività simili per una soluzione indipendente:

Compito 6

Per l'allarme antincendio sono installati due sensori a funzionamento indipendente. Le probabilità che il sensore funzioni durante un incendio sono 0,5 e 0,7 rispettivamente per il primo e il secondo sensore. Trova la probabilità che in un incendio:

a) entrambi i sensori si guastano;
b) entrambi i sensori funzioneranno.
c) Usare teorema di addizione per le probabilità di eventi che formano un gruppo completo, trovare la probabilità che un solo sensore funzioni durante un incendio. Verificare il risultato mediante il calcolo diretto di questa probabilità (usando teoremi di addizione e moltiplicazione).

Qui, l'indipendenza del funzionamento dei dispositivi è esplicitata direttamente nella condizione, che, tra l'altro, è un importante chiarimento. La soluzione di esempio è progettata in uno stile accademico.

Cosa succede se, in un problema simile, vengono fornite le stesse probabilità, ad esempio 0,9 e 0,9? Devi decidere esattamente lo stesso! (che, infatti, è già stata dimostrata nell'esempio con due monete)

Compito 7

La probabilità di colpire il bersaglio del primo tiratore con un colpo è 0,8. La probabilità che il bersaglio non venga colpito dopo che il primo e il secondo tiratore hanno sparato un colpo è 0,08. Qual è la probabilità di colpire il bersaglio del secondo tiratore con un colpo?

E questo è un piccolo puzzle, che è inquadrato in modo breve. La condizione può essere riformulata in modo più conciso, ma non rifarò l'originale - in pratica, devo approfondire invenzioni più elaborate.

Incontralo - è lui che ha tagliato una quantità smisurata di dettagli per te =):

Compito 8

Un lavoratore aziona tre macchine. La probabilità che durante il turno la prima macchina richieda una regolazione è 0,3, la seconda - 0,75, la terza - 0,4. Trova la probabilità che durante il turno:

a) tutte le macchine dovranno essere regolate;
b) una sola macchina dovrà essere regolata;
c) almeno una macchina dovrà essere regolata.

Soluzione: poiché la condizione non dice nulla su un singolo processo tecnologico, il funzionamento di ciascuna macchina è da considerarsi indipendente dal funzionamento di altre macchine.

Per analogia con l'attività n. 5, qui puoi prendere in considerazione eventi consistenti nel fatto che le macchine corrispondenti richiederanno aggiustamenti durante il turno, annotare le probabilità, trovare le probabilità di eventi opposti, ecc. Ma con tre oggetti, non voglio davvero elaborare il compito in questo modo: risulterà lungo e noioso. Pertanto, è notevolmente più redditizio utilizzare lo stile "veloce" qui:

A condizione: - la probabilità che durante il turno le macchine corrispondenti necessitino di messa a punto. Quindi le probabilità che non richiedano attenzione sono:

Uno dei lettori ha trovato un bel refuso qui, non lo correggerò nemmeno =)

a) Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che durante il turno tutte e tre le macchine necessitino di un aggiustamento.

b) L'evento "Durante il turno una sola macchina dovrà essere regolata" si compone di tre esiti incompatibili:

1) 1a macchina richiederà Attenzione e 2a macchina non richiederà e 3a macchina non richiederà
o:
2) 1a macchina non richiederà Attenzione e 2a macchina richiederà e 3a macchina non richiederà
o:
3) 1a macchina non richiederà Attenzione e 2a macchina non richiederà e 3a macchina richiederà.

Secondo i teoremi di addizione di probabilità di incompatibilità e moltiplicazione di probabilità di eventi indipendenti:

- la probabilità che durante il turno una sola macchina necessiti di regolazione.

Penso che ormai dovrebbe esserti chiaro da dove viene l'espressione

c) Calcolare la probabilità che le macchine non necessitino di aggiustamenti, quindi la probabilità dell'evento opposto:
– il fatto che almeno una macchina dovrà essere regolata.

Risposta:

L'elemento "ve" può essere risolto anche tramite la somma, dove è la probabilità che durante il turno solo due macchine necessitino di un aggiustamento. Questo evento, a sua volta, include 3 esiti incompatibili, che sono firmati per analogia con la voce "essere". Prova a trovare tu stesso la probabilità di controllare l'intero problema con l'aiuto dell'uguaglianza.

Compito 9

Tre cannoni hanno sparato una raffica sul bersaglio. La probabilità di colpire con un solo colpo dalla prima pistola è 0,7, dalla seconda - 0,6, dalla terza - 0,8. Trova la probabilità che: 1) almeno un proiettile colpisca il bersaglio; 2) solo due proiettili colpiranno il bersaglio; 3) il bersaglio verrà colpito almeno due volte.

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

E ancora sulle coincidenze: nel caso in cui, per condizione, due o anche tutti i valori delle probabilità iniziali coincidano (ad esempio 0,7; 0,7 e 0,7), allora si dovrebbe seguire esattamente lo stesso algoritmo di soluzione.

In conclusione dell'articolo, analizzeremo un altro enigma comune:

Compito 10

Il tiratore colpisce il bersaglio con la stessa probabilità ad ogni colpo. Qual è questa probabilità se la probabilità di almeno un colpo in tre colpi è 0,973.

Soluzione: denota con - la probabilità di colpire il bersaglio ad ogni colpo.
e attraverso - la probabilità di un errore con ogni tiro.

Scriviamo gli eventi:
- con 3 colpi, il tiratore colpirà il bersaglio almeno una volta;
- il tiratore mancherà 3 volte.

Secondo la condizione, allora la probabilità dell'evento opposto:

D'altra parte, secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

In questo modo:

- la probabilità di un errore ad ogni tiro.

Di conseguenza:
è la probabilità di colpire ogni colpo.

Risposta: 0,7

Semplice ed elegante.

Nel problema considerato, possono essere sollevate ulteriori domande sulla probabilità di un solo colpo, solo di due colpi e sulla probabilità di tre colpi sul bersaglio. Lo schema della soluzione sarà esattamente lo stesso dei due esempi precedenti:

Tuttavia, la differenza sostanziale fondamentale è che ci sono ripetuti test indipendenti, che vengono eseguiti in sequenza, indipendentemente l'uno dall'altro e con la stessa probabilità di esito.

Argomento: 15. PRINCIPALI TEOREMI DELLA TEORIA

PROBABILITÀ E LORO CONSEGUENZE

1. Il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi congiunti.

2. Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti.

3. Probabilità condizionata di un evento. Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi dipendenti.

4. Il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi congiunti.

5. Formula della probabilità totale, formula di Bayes.

6. Ripetizione delle prove.

1. Il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi congiunti.

somma di più eventi è detto evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi.

Se gli eventi A e B sono congiunti, la loro somma A + B indica il verificarsi dell'evento A, o dell'evento B, o di entrambi gli eventi insieme. Se A e B sono eventi incompatibili, la loro somma A + B significa il verificarsi dell'evento A o dell'evento B.

opera due eventi A e B sono chiamati l'evento AB, che consiste nel verificarsi congiunto di questi eventi.

Teorema: La probabilità di accadimento di uno dei due eventi incompatibili, indipendentemente da quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi

P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Conseguenza: La somma delle probabilità di eventi incompatibili А 1 ,...,А n , che formano un gruppo completo, è uguale a uno:

P (LA 1) + P (LA 2) + ... + P (LA n) \u003d 1

2. Il teorema della moltiplicazione delle probabilità per indipendenti

eventi .

I due eventi sono chiamati indipendente se la probabilità di accadimento di uno di essi non dipende dal fatto che l'altro evento si sia verificato o meno.

Diversi eventi sono detti mutuamente indipendenti (o mutuamente indipendenti) se ciascuno di essi e qualsiasi combinazione costituita dal resto (parte o tutto) degli eventi sono eventi indipendenti.

Se gli eventi А 1 ,А 2 ,...,А n sono mutuamente indipendenti, allora anche i loro eventi opposti sono mutuamente indipendenti.

Teorema: La probabilità di produrre più eventi reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi .

PAPÀ 1 UN 2 ,...UN n ) = P(A 1 )  PAPÀ 2 )  ...  PAPÀ n )

Per due eventi P(AB) = P(A)  P(B)

Compito. Due merchandiser lavorano indipendentemente l'uno dall'altro. La probabilità di saltare un prodotto difettoso da parte del primo merchandiser è 0,1; il secondo 0,2. Qual è la probabilità che durante la visualizzazione del prodotto, entrambi i merchandiser non mancheranno il matrimonio.

Soluzione: evento A - il merchandiser mi è mancato il matrimonio, evento B - il merchandiser mi è mancato il matrimonio.

Dove l'evento A - il matrimonio non mancherà io merchandiser,

evento B - il matrimonio non mancherà II merchandiser.

Poiché entrambi funzionano indipendentemente l'uno dall'altro, allora A e B sono eventi indipendenti.

3. Probabilità condizionata di un evento. Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi dipendenti.

Viene chiamato l'evento B dipendente dall'evento A, se il verificarsi dell'evento A modifica la probabilità di accadimento dell'evento B.

Viene chiamata la probabilità dell'evento B, trovata a condizione che si sia verificato l'evento A probabilità condizionale evento B ed è indicato con PA (B).

Teorema : La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi dipendenti A e B è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità condizionata dell'altro, trovata nell'ipotesi che il primo evento si sia già verificato, cioè

P(AB) = P(A) R UN (B) o P (AB) \u003d P (B) P V (UN)

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità può essere esteso a qualsiasi numero m di eventi dipendenti À 1 À 2 ... À m .

PAPÀ 1 UN 2 ..UN m )=P(A 1 ) 

e la probabilità del prossimo evento è calcolata assumendo che tutti i precedenti si siano verificati.

Compito. La confezione contiene 2 penne bianche e 3 blu. Vengono estratte dalla scatola due penne di seguito. Trova la probabilità che entrambe le penne siano bianche.

Soluzione: evento A - entrambe le penne sono bianche, evento B - la comparsa della prima penna bianca, evento C - la comparsa della seconda penna bianca.

Poi A=B CON.

Poiché la prima penna non viene riposta nella scatola, ad es. la composizione della scatola è cambiata, quindi gli eventi B e C sono dipendenti.

P (B) \u003d 2/5; Troviamo la probabilità dell'evento C assumendo che B sia già accaduto, cioè PB (C) \u003d ¼.

Probabilità desiderata

Tipo di lavoro: 4

Condizione

La probabilità che la batteria non sia carica è 0,15. Il cliente nel negozio acquista un pacco casuale che contiene due di queste batterie. Trova la probabilità che entrambe le batterie in questo pacchetto siano cariche.

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Soluzione

La probabilità che la batteria sia carica è 1-0,15 = 0,85. Troviamo la probabilità dell'evento "entrambe le batterie sono cariche". Indichiamo con A e B gli eventi "il primo accumulatore viene addebitato" e "il secondo accumulatore viene addebitato". Abbiamo P(A) = P(B) = 0,85. L'evento "entrambe le batterie sono cariche" è l'intersezione degli eventi A \ cap B, la sua probabilità è uguale a P(A\capB) = P(A)\cpunto P(B) = 0,85\cpunto 0,85 = 0,7225.

Risposta

Tipo di lavoro: 4
Argomento: addizione e moltiplicazione delle probabilità di eventi

Condizione

La probabilità che la penna sia difettosa è 0,05. Il cliente nel negozio acquista un pacco casuale che contiene due penne. Trova la probabilità che entrambe le penne in questo pacchetto siano buone.

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Soluzione

La probabilità che la penna sia in buone condizioni è 1-0,05 = 0,95. Troviamo la probabilità dell'evento "entrambe le maniglie funzionano". Indica con A e B gli eventi "il primo handle funziona" e "il secondo handle funziona". Abbiamo P(A) = P(B) = 0,95. L'evento "entrambe le maniglie sono buone" è l'intersezione di eventi A \ cap B, la sua probabilità è uguale a P(A\cap B) = P(A)\cpunto P(B) = 0,95\cpunto 0,95 = 0,9025.

Risposta

Fonte: "Matematica. Preparazione all'esame-2017. livello di profilo. ed. FF Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo di lavoro: 4
Argomento: addizione e moltiplicazione delle probabilità di eventi

Condizione

L'immagine mostra un labirinto. Lo scarabeo si insinua nel labirinto nel punto "Ingresso". Lo scarabeo non può girarsi e gattonare nella direzione opposta, quindi ad ogni bivio sceglie uno dei percorsi in cui non è ancora stato. Qual è la probabilità che lo scarabeo esca da D se la scelta del percorso successivo è casuale.

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Soluzione

Mettiamo le frecce all'incrocio nelle direzioni in cui lo scarabeo può muoversi (vedi Fig.).

Scegliamo in ciascuna delle intersezioni una direzione tra le due possibili e assumeremo che quando raggiunge l'intersezione, lo scarabeo si sposterà nella direzione che abbiamo scelto.

Affinché lo scarabeo raggiunga l'uscita D, ad ogni incrocio deve essere scelta la direzione indicata dalla linea rossa continua. In totale, la scelta della direzione viene effettuata 4 volte, ogni volta indipendentemente dalla scelta precedente. La probabilità che ogni volta venga selezionata una freccia rossa piena \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Risposta

Fonte: "Matematica. Preparazione all'esame-2017. livello di profilo. ed. FF Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo di lavoro: 4
Argomento: addizione e moltiplicazione delle probabilità di eventi

Condizione

Il parcheggio è illuminato da una lanterna con due lampade. La probabilità che una lampada si spenga in un anno è 0,4. Trova la probabilità che almeno una lampada non si esaurisca in un anno.

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Soluzione

Innanzitutto, troviamo la probabilità dell'evento "entrambe le lampade si sono bruciate durante l'anno", che è opposta all'evento della dichiarazione del problema. Siano A e B gli eventi "la prima lampada si è estinta entro un anno" e "la seconda lampada si è estinta entro un anno". Per condizione P(A) = P(B) = 0,4. L'evento "entrambe le lampade si sono bruciate entro un anno" è A\cap B, la sua probabilità è P(A\capB) = P(A) \cpunto P(B) = 0,4 \cpunto 0,4 = 0,16 (poiché gli eventi A e B sono indipendenti).

La probabilità desiderata è uguale a 1 - P(A\cap B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Risposta

Fonte: "Matematica. Preparazione all'esame-2017. livello di profilo. ed. FF Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo di lavoro: 4
Argomento: addizione e moltiplicazione delle probabilità di eventi

Condizione

Ci sono due refrigeratori nell'hotel. Ciascuno di essi può essere difettoso con una probabilità di 0,2, indipendentemente dall'altro dispositivo di raffreddamento. Determinare la probabilità che almeno uno di questi dispositivi di raffreddamento sia funzionante.

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Soluzione

Per prima cosa, troviamo la probabilità dell'evento "entrambi i dispositivi di raffreddamento sono difettosi", che è opposta all'evento della dichiarazione del problema. Indicano con A e B gli eventi "il primo dispositivo di raffreddamento è difettoso" e "il secondo dispositivo di raffreddamento è difettoso". Per condizione P(A) = P(B) = 0,2. L'evento "entrambi i refrigeratori sono difettosi" è A \cap B , l'intersezione degli eventi A e B , la sua probabilità è P(A \cap B) = P(A)\cpunto P(B) = 0,2\cpunto 0,2 = 0,04(poiché gli eventi A e B sono indipendenti). La probabilità desiderata è 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.

Risposta

Fonte: "Matematica. Preparazione all'esame-2017. livello di profilo. ed. FF Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo di lavoro: 4
Argomento: addizione e moltiplicazione delle probabilità di eventi

Condizione

Nell'esame di fisica, lo studente risponde a una domanda dall'elenco delle domande d'esame. La probabilità che questa domanda riguardi "Meccanica" è 0,25. La probabilità che questa domanda riguardi "Elettricità" è 0,3. Non ci sono domande che riguarderebbero due argomenti contemporaneamente. Trova la probabilità che lo studente riceva una domanda su uno di questi due argomenti.

Il concetto di evento e la probabilità di un evento. Eventi certi e impossibili. La definizione classica di probabilità. Il teorema dell'addizione delle probabilità. Teorema della moltiplicazione delle probabilità. Risolvere i problemi più semplici per determinare la probabilità usando l'addizione delle probabilità.

Linee guida sul tema 3.1:

Il concetto di evento e la probabilità di un evento. Eventi certi e impossibili. Definizione classica di probabilità:

Lo studio di ciascun fenomeno nell'ordine di osservazione o produzione di esperienza è associato all'attuazione di un determinato insieme di condizioni (test). Viene chiamato ogni risultato o esito di una prova evento.

Se un evento in determinate condizioni può verificarsi o meno, viene chiamato a caso. Nel caso in cui un evento debba certamente verificarsi, viene chiamato autentico, e nel caso in cui non possa certamente accadere, - impossibile.

Gli eventi sono chiamati incompatibile se solo uno di loro può apparire ogni volta. Gli eventi sono chiamati giunto, se, alle condizioni date, il verificarsi di uno di questi eventi non preclude il verificarsi dell'altro nello stesso test.

Gli eventi sono chiamati di fronte, se, alle condizioni della prova, esse, essendone gli unici esiti, sono incompatibili.

La probabilità di un evento è considerata come una misura della possibilità oggettiva del verificarsi di un evento casuale.

Probabilità eventi è chiamato il rapporto tra il numero di risultati m, favorendo il verificarsi di tale evento, al numero n di tutti gli esiti (incompatibili, unici ed ugualmente possibili), ovvero

La probabilità di qualsiasi evento non può essere minore di zero e maggiore di uno, cioè . Un evento impossibile corrisponde a una probabilità e un evento affidabile corrisponde a una probabilità

Esempio 1. In una lotteria di 1000 biglietti, ci sono 200 vincitori. Un biglietto viene estratto a caso. Qual è la probabilità che questo biglietto vinca?

Il numero totale di risultati diversi è n= 1000. Il numero di risultati che favoriscono la vincita è m= 200. Secondo la formula, otteniamo .

Esempio 2. Da un'urna contenente 5 palline bianche e 3 nere, viene estratta una pallina. Trova la probabilità che la pallina sia nera.

Indichiamo l'evento consistente nell'apparizione di una pallina nera di . Il numero totale di casi. Numero di casi m, favorevole al verificarsi dell'evento , è pari a 3. Secondo la formula si ottiene .

Esempio 3. Da un'urna contenente 12 palline bianche e 8 nere, vengono estratte due palline a caso. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano nere?

Indichiamo l'evento consistente nella comparsa di due palline nere come . Numero totale di casi possibili nè uguale al numero di combinazioni di 20 elementi (12 + 8) due a due:

Numero di casi m favorevole all'evento è

Usando la formula, troviamo la probabilità della comparsa di due palline nere:

Il teorema dell'addizione delle probabilità. La soluzione dei problemi più semplici per determinare la probabilità utilizzando il teorema dell'addizione di probabilità:

Il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi incompatibili. La probabilità di accadimento di uno dei numerosi eventi incompatibili a coppie, indipendentemente da quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

Il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi congiunti. La probabilità del verificarsi di almeno uno dei due eventi congiunti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto:

Esempio 4. 20 parti sono disposte casualmente in una scatola, cinque delle quali sono standard. Il lavoratore prende tre parti a caso. Trova la probabilità che almeno una delle parti prese sia standard.

Ovviamente, almeno una delle parti prese sarà standard se si verifica uno qualsiasi dei tre eventi incompatibili: B- una parte è standard, due non standard; C- due parti sono standard, una non standard e D- tre parti sono standard.

Così l'evento UN può essere rappresentato come la somma di questi tre eventi: A=B+C+D. Per il teorema dell'addizione, abbiamo P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Trova la probabilità di ciascuno di questi eventi:

Sommando i valori trovati, otteniamo

Esempio 5. Trova la probabilità che un numero a due cifre scelto casualmente sia un multiplo di 3 o 5, o entrambi contemporaneamente.

Permettere UN- un evento consistente nel fatto che un numero preso a caso è multiplo di 3, e B- in quanto multiplo di 5. Troviamo Since UN e B eventi congiunti, quindi usiamo la formula:

Ci sono 90 numeri a due cifre in totale: 10, 11, 98, 99. Di questi, 30 sono multipli di 3 (favorire l'inizio dell'evento UN); 18 - multipli di 5 (favorire l'inizio dell'evento B) e 6 - multipli di 3 e 5 contemporaneamente (favorire l'inizio dell'evento AB). Così, cioè

Teorema della moltiplicazione delle probabilità:

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi:

La probabilità del verificarsi di più eventi complessivamente indipendenti è calcolata dalla formula:

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi dipendenti. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi dipendenti è uguale al prodotto di uno di essi per la probabilità condizionata del secondo:

Esempio 6. Ci sono 4 palline bianche e 8 nere in un'urna, 3 palline bianche e 9 nere in un'altra. Da ogni urna è stata prelevata una pallina. Trova la probabilità che entrambe le palline siano bianche.

Sia l'aspetto di una palla bianca della prima urna, e sia l'aspetto di una palla bianca della seconda urna. Ovviamente, gli eventi e sono indipendenti. Cerchiamo

Secondo la formula otteniamo:

Domande per l'autoesame sul tema 3.1:

1. Che cos'è un evento?

2. Quali eventi sono definiti affidabili?

3. Quali eventi sono chiamati impossibili?

4. Definisci la probabilità.

5. Formulare il teorema dell'addizione di probabilità.

6. Formulare il teorema della moltiplicazione delle probabilità.

Compiti per una soluzione indipendente sull'argomento 3.1:

1. Ci sono 10 parti posizionate casualmente in una scatola, 4 delle quali sono standard. Il controller ha preso 3 parti a caso. Trova la probabilità che almeno una delle parti prese sia standard.

2. Un'urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 20 blu e 25 rosse. Trova la probabilità che la pallina estratta sia: 1) bianca; 2) nero o rosso.

3. Trova la probabilità che un numero a due cifre scelto casualmente sia un multiplo di 4 o 5, o entrambi contemporaneamente.

4. Il lavoratore serve due macchine che lavorano indipendentemente l'una dall'altra. La probabilità che entro un'ora il primo automa non richieda l'attenzione di un lavoratore è 0,8 e per il secondo automa questa probabilità è 0,7. Trova la probabilità che nessuno degli automi richieda l'attenzione del lavoratore per un'ora.

5. Ci sono 6 palline nell'urna, di cui 3 bianche. Vengono estratte a caso due palline una dopo l'altra. Calcola la probabilità che entrambe le palline siano bianche.

6. Ci sono 10 palline bianche e 6 nere in un'urna. Trova la probabilità che tre palline estratte a caso una dopo l'altra siano nere.