Se stavi cercando solo il metodo Simpson in questa pagina, ti consiglio vivamente di leggere prima l'inizio della lezione e di guardare almeno il primo esempio. Per il motivo che molte idee e tecniche saranno simili al metodo del trapezio.
E ancora, cominciamo con formula generale
Consideriamo l'integrale definito, dove è una funzione continua sull'intervallo. Dividiamo il segmento in Anche quantità pari segmenti. Un numero pari di segmenti è indicato con .
In pratica i segmenti possono essere:
due:
quattro:
otto:
dieci:
venti:
Non ricordo altre opzioni.
Attenzione! Il numero è inteso come NUMERO UNICO. Questo è, È VIETATO ridurre, ad esempio, di due, ottenendo . Documentazione significa solo, ovvero il numero di segmenti Anche. E non si parla di eventuali riduzioni
Quindi la nostra partizione ha vista successiva:
I termini sono simili a quelli del metodo trapezoidale:
I punti vengono chiamati nodi.
La formula di Simpson per un calcolo approssimativo integrale definito ha la seguente forma:
Dove:
– la lunghezza di ciascuno dei piccoli segmenti o fare un passo;
– valori dell’integrando nei punti .
Dettagliando questo mucchio, analizzerò la formula in modo più dettagliato:
– la somma del primo e dell’ultimo valore dell’integrando;
– somma dei termini con Anche gli indici vengono moltiplicati per 2;
– somma dei termini con strano gli indici vengono moltiplicati per 4.
Esempio 4
Calcola l'integrale approssimativamente definito utilizzando la formula di Simpson con una precisione di 0,001. Inizia a dividere con due segmenti 
L'integrale, tra l'altro, è ancora una volta insolubile.
Soluzione: Attiro immediatamente la tua attenzione sul tipo di compito: è necessario calcolare un integrale definito con una certa precisione. Ciò che ciò significa è già stato commentato all'inizio dell'articolo, così come su esempi specifici paragrafo precedente. Come per il metodo trapezoidale, esiste una formula che determinerà immediatamente il numero di segmenti richiesto (il valore "en") per garantire il raggiungimento della precisione richiesta. È vero, dovrai trovare la derivata quarta e risolvere il problema degli estremi. Chi ha capito cosa intendevo e ha apprezzato la mole di lavoro, ha sorriso. Ma non c’è niente da ridere: trovare la derivata quarta di una tale funzione integranda non sarà più un meganerd, ma uno psicopatico clinico. Pertanto, in pratica, viene quasi sempre utilizzato un metodo di stima dell’errore semplificato.
Iniziamo a decidere. Se abbiamo due segmenti di partizione, allora ci saranno dei nodi uno in più: . E la formula di Simpson assume una forma molto compatta: 
Calcoliamo il passo di partizione: 
Compiliamo la tabella di calcolo:
Vorrei commentare ancora una volta il modo in cui viene compilata la tabella:
Nella riga superiore scriviamo il “contatore” degli indici
Nella seconda riga scriviamo prima limite inferiore integrazione, quindi aggiungere successivamente il passaggio.
Nella terza riga inseriamo i valori dell'integrando. Ad esempio, se , allora . Quante cifre decimali devo lasciare? In effetti, la condizione ancora una volta non dice nulla al riguardo. Il principio è lo stesso del metodo trapezoidale, consideriamo la precisione richiesta: 0,001. E aggiungi altre 2-3 cifre. Cioè, devi arrotondare a 5-6 cifre decimali.
Di conseguenza:
Il risultato principale è stato ricevuto. Ora Doppio numero di segmenti fino a quattro: . La formula di Simpson per questa partizione assume la forma seguente:
Calcoliamo il passo di partizione: 
Compiliamo la tabella di calcolo: 
Così:
Stimiamo l'errore:
L'errore è maggiore della precisione richiesta: 
, quindi è necessario raddoppiare nuovamente il numero di segmenti: .
La formula di Simpson sta crescendo a passi da gigante:
Calcoliamo il passo: 
E compila nuovamente la tabella di calcolo:
Così: 
Tieni presente che è consigliabile descrivere i calcoli qui in modo più dettagliato, poiché la formula di Simpson è piuttosto complicata e se sbatti immediatamente:
, allora questo alcol sembrerà un lavoro di hacking. E con una nota più dettagliata, l'insegnante avrà la buona impressione che tu abbia coscienziosamente cancellato i tasti della microcalcolatrice per una buona ora. Calcoli dettagliati per i casi “difficili” sono disponibili nella mia calcolatrice.
Stimiamo l'errore:
L'errore è inferiore alla precisione richiesta: 
. Non resta che fare l'approssimazione più precisa, arrotondarla alla terza cifra decimale e scrivere:
Risposta: 
preciso a 0,001
Esempio 5
Calcola l'integrale approssimativamente definito utilizzando la formula di Simpson con una precisione di 0,0001. Inizia a dividere con due segmenti 
Questo è un esempio per decisione indipendente. Un esempio approssimativo di una soluzione “breve” pulita e una risposta alla fine della lezione.
Nella parte finale della lezione, esamineremo un paio di esempi più comuni.
Esempio 6
Calcolare il valore approssimativo dell'integrale definito 
utilizzando la formula di Simpson, dividendo il segmento di integrazione in 10 parti. Precisione del calcolo 0,001.
Questo integrale viene preso, tuttavia, non è così facile per un principiante decifrarlo, il metodo di soluzione corrispondente è discusso nell'esempio 5 della lezione; Integrali complessi. Nei problemi che implicano calcoli approssimati, l'integrale non deve necessariamente essere insolubile! Gli studenti curiosi possono calcolarlo esattamente e stimare l'errore rispetto al valore approssimativo.
Soluzione: Presta attenzione alla formulazione dell'attività: "La precisione dei calcoli è 0,001". La sfumatura semantica di questa formulazione suggerisce che i risultati debbano essere arrotondati solo alla terza cifra decimale e non raggiungano tale precisione. Pertanto, quando ti viene chiesto di risolvere un problema utilizzando il metodo trapezoidale, sempre il metodo di Simpson prestare molta attenzione alle condizioni! La fretta, come sai, è necessaria quando si cacciano le pulci.
Usiamo la formula di Simpson:
Per dieci segmenti di partizione, il passaggio è 
Compiliamo la tabella di calcolo: 
È più razionale rendere il tavolo a due piani, in modo da non doverlo “rimpicciolire” e tutto si adatta in modo leggibile su un foglio di quaderno.
Calcoli, non essere pigro, descriviamoli più nel dettaglio: 
Risposta: 
E vorrei sottolineare ancora una volta che qui non stiamo parlando di precisione. In effetti, la risposta potrebbe non essere , ma, relativamente parlando, . A questo proposito non è necessario assegnare automaticamente alla risposta la desinenza “dovere”: “con una precisione di 0,001”
Esempio 7
Calcola il valore approssimativo di un integrale definito utilizzando la formula di Simpson, dividendo il segmento di integrazione in 10 parti. Tutti i calcoli devono essere effettuati con precisione fino alla terza cifra decimale.
Una versione approssimativa del progetto definitivo e la risposta al termine della lezione, giunta al termine.
Vengono utilizzati anche altri metodi per approssimare il calcolo di un integrale definito. In particolare, la teoria serie di potenze con compito standard Calcolo approssimato di un integrale definito espandendo l'integrando in una serie. Ma questo è già materiale del secondo anno.
E ora è il momento di rivelarlo terribile segreto calcolo integrale. Ho già creato più di una dozzina di lezioni sugli integrali, e questa è, per così dire, una teoria e un classico dell'argomento. In pratica, in particolare, nei calcoli ingegneristici: avvicinare gli oggetti mondo reale utilizzare funzioni matematiche standard è quasi impossibile. Impossibile perfettamente accurato calcolare l'area, il volume, la densità, ad esempio, della pavimentazione in asfalto. Errore, anche dal decimo, anche dal centesimo decimale - ma lei lo sarà comunque. Ecco perché centinaia di pesanti mattoni sono stati scritti utilizzando metodi di calcolo approssimativi e seri Software per calcoli approssimativi. La teoria classica del calcolo integrale è in realtà utilizzata molto meno frequentemente. Ma a proposito, non puoi andare da nessuna parte nemmeno senza di lei!
Questa lezione non è un disco in termini di lunghezza, ma mi ci è voluto un tempo insolitamente lungo per crearla. Ho corretto il materiale e rifatto più volte la struttura dell'articolo, poiché emergevano costantemente nuove sfumature e sottigliezze. Spero che il lavoro non sia stato vano e si sia rivelato abbastanza logico e accessibile.
Ti auguro il meglio!
Soluzioni e risposte:
Esempio 3:Soluzione:
Dividiamo il segmento di integrazione in 4 parti:
Quindi la formula trapezoidale assume la seguente forma:
Calcoliamo il passo: 
Compiliamo la tabella di calcolo:
Calcolo degli integrali utilizzando le formule dei rettangoli, dei trapezi e la formula di Simpson. Stima dell'errore.
Linee guida sull'argomento 4.1:
Calcolo di integrali utilizzando formule rettangolari. Stima dell'errore:
Soluzione di molti problemi tecnici si riduce al calcolo di alcuni integrali, la cui espressione esatta è difficile, richiede calcoli dispendiosi in termini di tempo e non è sempre giustificata nella pratica. Qui il loro valore approssimativo è abbastanza sufficiente. Ad esempio è necessario calcolare l'area delimitata da una linea la cui equazione è sconosciuta, l'asse X e due ordinate. In questo caso, puoi sostituire questa riga con una più semplice di cui è nota l'equazione. L'area così ottenuta trapezio curvoè preso come valore approssimativo dell'integrale cercato. Dal punto di vista geometrico, l'idea del metodo per calcolare l'integrale definito utilizzando la formula del rettangolo è che l'area di un trapezio curvo A1ABC1è sostituito dall'area di un rettangolo uguale A1A2B1B2, che per il teorema del valore medio è uguale a
Dove f(c) --- altezza rettangolo A1A2B1B2, che rappresenta il valore dell'integrando in un punto intermedio circa< c
È quasi difficile trovare un valore del genere Con, al quale (b-a) f (c) sarebbe esattamente uguale a . Per ottenere un valore più accurato, viene divisa l'area di un trapezio curvilineo N rettangoli di altezza uguale y 0 , y 1 , y 2 , ..., y n -1 e motivi.
Se sommiamo le aree dei rettangoli che coprono l'area di un trapezio curvilineo con uno svantaggio, la funzione non è decrescente, quindi al posto della formula usiamo la formula
Se in eccesso, allora
I valori si trovano dalle uguaglianze. Queste formule sono chiamate formule rettangolari e dare un risultato approssimativo. Con aumento N il risultato diventa più accurato.
Esempio 1 . Calcola utilizzando la formula del rettangolo
Dividiamo l'intervallo di integrazione in 5 parti. Poi . Utilizzando una calcolatrice o una tabella troveremo i valori dell'integrando (precisi fino alla 4a cifra decimale):
Secondo la formula dei rettangoli (con svantaggio)
D'altra parte, secondo la formula di Newton-Leibniz
Troviamo l'errore di calcolo relativo utilizzando la formula del rettangolo:
Calcolo di integrali mediante formule trapezoidali. Stima dell'errore:
Il significato geometrico del seguente metodo di calcolo approssimativo degli integrali è trovare l'area di un trapezio “rettilineo” di dimensioni approssimativamente uguali.
Lascia che sia necessario calcolare l'area A1AmBB1 trapezio curvilineo, espresso dalla formula.
Sostituiamo l'arco AmB accordo AB e invece dell'area di un trapezio curvilineo A1AmBB1 calcolare l'area del trapezio A1ABB1: 
, Dove AA1 E BB 1 - le basi del trapezio e A1B 1 – la sua altezza.
Denotiamo f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. altezza del trapezio A1B1 =b-a, piazza 
. Quindi, 
O
Questo è il cosiddetto formula del trapezio piccolo.
Il testo dell'opera è pubblicato senza immagini e formule.
La versione completa dell'opera è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF
introduzione
Già al decimo anno ho iniziato a pensare se avrei dovuto sostenere l'esame di stato unificato specializzato in matematica. Durante la risoluzione dei compiti USE, mi sono imbattuto in compiti sulla ricerca del volume dei poliedri e dei corpi di rivoluzione, sebbene questi fossero compiti del programma dell'11a elementare. Interessato a questo problema, ho appreso che a causa della varietà delle forme geometriche dei corpi, esiste un numero enorme di formule per trovare aree e volumi (ogni figura e ogni corpo ha la propria formula). Osservando le formule in geometria, mi sono convinto che un numero enorme di formule è correlato alle aree e ai volumi delle figure. Esistono più di dodici formule di questo tipo per le aree delle figure piatte e più di dieci per i volumi dei corpi spaziali.
E mi sono chiesto domanda: Esiste una formula così universale per trovare l'area e il volume delle forme e dei corpi geometrici?
Penso che il tema di questo progetto pertinente non solo tra gli studenti, ma anche tra gli adulti, perché Il curriculum scolastico viene dimenticato nel tempo e poche persone sanno che esiste una formula che combina tutte le altre numerose e difficili da ricordare formule per trovare volume.
Problema
È necessario introdurre nell'insegnamento della geometria una formula universale che permetta di sostituire un gran numero di formule per le aree delle figure piane e i volumi dei corpi spaziali.
Ipotesi
Nel XVIII secolo, il matematico inglese Thomas Simpson derivò una formula per trovare determinate aree di figure piane e volumi di corpi spaziali calcolando le aree delle basi inferiore, superiore e media.
Presumo che questa formula universale sostituirà tutte le formule citate e le renderà facili da ricordare.
Obiettivo del lavoro: dimostrare che la formula universale di Simpson può sostituire tutte le formule di area e volume studiate in un corso di geometria scolastica e può essere utilizzata non solo nella pratica, ma anche negli esami, compreso l'Esame di Stato Unificato.
Obiettivi lavorativi:
Studiare le principali caratteristiche dei solidi geometrici: prisma, piramide, cono, cilindro, palla;
Studia la letteratura disponibile su questo argomento.
Utilizzando una formula universale, ricava formule per aree e volumi per tutte le figure e corpi.
Confronta le formule risultanti con le formule proposte nel libro di testo.
Fai familiarizzare gli studenti delle scuole superiori con questa formula e scopri attraverso un questionario se è conveniente utilizzarla nella preparazione agli esami.
Significato pratico del mio lavoro: I risultati di questo lavoro possono essere utilizzati nella pratica scolastica, in particolare nelle lezioni di geometria e algebra , durante la preparazione e il superamento dell'Esame di Stato Unificato.
Capitolo 1 Brevi caratteristiche delle proprietà dei corpi geometrici
Il corso di geometria scolastica si divide in planimetria e stereometria. Dalle classi 7 a 9, ho studiato le proprietà delle figure su un piano, comprese le formule per trovare le loro aree (Appendice 1-2).
Nel corso di 10a elementare ho iniziato a studiare la sezione di geometria-stereometria, che studia le proprietà delle figure nello spazio. Durante la scrittura del lavoro ho considerato i corpi geometrici e le loro superfici. I corpi geometrici volumetrici si dividono in poliedri e corpi di rivoluzione.
Poliedro- una superficie composta da poligoni e che delimita un determinato corpo geometrico.
Corpi di rotazione- corpi geometrici ottenuti mediante rotazione attorno al proprio asse. Corpi di rotazione: cilindro, cono, sfera.
I poliedri possono essere convessi o non convessi. Poliedri convessi - situati su un lato del piano di ciascuna faccia. Poliedri non convessi - situati su entrambi i lati del piano di almeno una faccia.
Piramide
Parallelepipedo
Capitolo 2. Formula di Simpson
Tommaso Simpson(20 agosto 1710-14 maggio 1761) - Matematico inglese. Nel 1746, Simpson fu eletto membro della Royal Society di Londra e, prima, membro della Mathematical Society, fondata nel 1717 a Londra. Nel 1758 fu eletto membro straniero dell'Accademia reale svedese delle scienze. Nominato professore presso la Royal Military Academy di Woolwich, Simpson compilò libri di testo sulla matematica elementare. In dipartimenti speciali di geometria vengono considerati problemi sulle quantità più grandi e più piccole, risolti utilizzando la geometria elementare, i poliedri regolari, la misurazione delle superfici, i volumi dei corpi e, infine, i problemi misti.
Esiste una formula meravigliosa; Inoltre, è adatto non solo per calcolare il volume di un cilindro, di un cono pieno e di un tronco di cono, ma anche di tutti i tipi di prismi, di piramidi piene e troncate, e persino di una sfera, nonché per calcolare le aree di figure piane. Ecco questa formula, conosciuta in matematica come formula di Simpson:
dove b 1 è l'area (lunghezza) della base inferiore
b 2 - area (lunghezza) della base centrale
b 3 - area (lunghezza) della base superiore
2.1 Applicazione della formula di Simpson per derivare formule per le aree delle figure piane.
La nostra formula universale è b 1 = b 2 = b 3, quindi otteniamo:
Risposta: S= hb 1
Conclusione. Infatti l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base per l'altezza.
Formula universale.
Poiché ABCD è un trapezio, allora b 2 è la sua linea mediana, il che significa
Quindi otteniamo:
Conclusione. Infatti l'area di un trapezio è pari alla metà del prodotto delle due basi per l'altezza.
Avendo effettuato dimostrazioni simili (Appendice 3-4) per le formule per le aree di un triangolo, rettangolo, quadrato e rombo, sono giunto alla conclusione che la formula universale di Simpson era adatta per calcolare le aree di figure piatte come: parallelogramma, trapezio, triangolo, quadrato, rombo, rettangolo.
2.2. Applicazione della formula di Simpson per ricavare formule per i volumi dei corpi spaziali.
Poichéb 1 =b 2 =b 3, allora otteniamo:
Risposta: V=b 1 h
Dimostrazione proposta nel libro di geometria dall'autore. L.S. Atanasyan nell'Appendice 6.
Conclusione. Infatti, il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza. La dimostrazione della derivazione della formula per il volume di un cilindro viene eseguita in modo simile (Appendice 5)
Soluzione: Poiché b 1 =0, a, allora otteniamo:
Dimostrazione proposta nel libro di geometria dall'autore. L.S. Atanasyan nell'Appendice 9.
Conclusione. In effetti, il volume di un cono è pari a un terzo del prodotto dell'area della base e dell'altezza. La dimostrazione della derivazione della formula per il volume di una piramide viene eseguita in modo simile (Appendice 5 )
Quindi otteniamo:
Conclusione. La formula derivata coincide completamente con la formula proposta nel libro di testo
Problema 6. Volume della palla.
Dato: palla
b 3 - area della base superiore
Trova: Vball.
(Fig. 11. Palla)
Poichéb 1 =b 3 =0, h=2R
Quindi otteniamo:
Dimostrazione proposta nel libro di geometria dall'autore. L.S.Atanasyan nell'Appendice 10
Conclusione: anche le formule per i volumi di tutti i corpi spaziali studiati nell'undicesimo grado possono essere facilmente derivate utilizzando la formula universale di Simpson.
2.3 Applicazione pratica della formula
La fase successiva della mia ricerca è l'applicazione pratica (vedi Appendice 11-12)
Conclusione. I volumi per ciascun modello di corpi geometrici, trovati in due modi, si sono rivelati uguali. La formula di Simpson è universale per corpi come piramide, cilindro, sfera, cubo e cono.
Ho una formula con la quale puoi calcolare approssimativamente il volume di un tronco d'albero senza chiederti che tipo di corpo geometrico assomiglia: un cilindro, un cono pieno o un tronco di cono. Conoscendo la densità dei diversi tipi di legno, puoi calcolare il peso in piedi dell'albero. Ho risolto questo problema calcolando il volume del tronco come il volume di un cilindro, il cui diametro di base è uguale al diametro del tronco a metà della sua lunghezza: in questo caso il risultato è però: sottostimato, talvolta del 12%. Senza grandi errori, puoi considerare il volume di un albero in piedi pari alla metà del volume di un cilindro della stessa altezza con un diametro pari al diametro dell'albero all'altezza del petto.
Dopo aver effettuato i calcoli utilizzando formule precedentemente note, ho calcolato il volume del tronco dell'albero in piedi (vedi Appendice 13)
Conclusione. Dall'intero studio possiamo concludere che ho una formula con la quale puoi calcolare approssimativamente il volume di un tronco d'albero e, conoscendo la densità di vari tipi di legno, puoi determinare il peso in piedi dell'albero.
Capitolo 3. Interrogazioni sugli studenti
3.1 Ricerca e sondaggio
Ho condotto uno studio tra gli studenti dell'11° anno (vedi Appendice 13).
Scopo dello studio: determinare il numero di formule che gli studenti possono riprodurre senza ripetizione in 10 minuti, ad es. volume delle formule “residue”.
I risultati sono stati i seguenti (vedi Appendice 14):
Il maggior numero di formule riprodotte è 41, il più piccolo è 5. Considerando che il numero di formule potrebbe arrivare a 500 in un tempo illimitato, sono giunto alla conclusione che gli studenti non ricordano un numero enorme di formule studiate a scuola. Le formule riprodotte rappresentano solo l'8,2% del numero totale di formule studiate. Molto spesso, gli studenti riproducevano formule in algebra (formule trigonometriche, formule logaritmiche, formule di moltiplicazione abbreviate, formule per le radici di un'equazione quadratica, derivate); in geometria (formule per le aree delle figure piane, alcuni volumi dei corpi spaziali); diverse formule di fisica (formula dell'energia cinetica, gravità, forza di attrito e MKT); in informatica () Era naturale, perché Ci sono più formule in matematica che in qualsiasi altra scienza.
Visti i risultati ottenuti, ho deciso di determinare le ragioni di un risultato così basso. Ho condotto un sondaggio (vedi Appendice 14-15) tra gli studenti dell'11° anno, chiedendo loro di rispondere alle seguenti domande:
Domande del questionario.
Quante formule pensi che un diplomato dovrebbe conoscere?
A) memorizzazione
B) comprensione
B) metodo associativo
D) altro
I risultati sono stati i seguenti (vedere Appendice 15).
Domanda 1. Da 60 a 250 formule
Domanda 2. Dalle risposte ricevute, possiamo concludere che gli studenti dell'11 ° grado, quando memorizzano le formule, cercano di capirle o usano l'apprendimento meccanico.
Domanda 3. Le opinioni degli studenti su questo tema sono divergenti, anche se il diagramma mostra che la maggior parte di loro ha risposto "sì", cioè gli studenti credono che il numero di formule da memorizzare corrisponda al livello di memoria dello studente medio.
Domanda 4.Quasi tutti gli studenti dell'undicesimo anno vorrebbero usarne solo una, universale, invece di molte formule.
3.2 Test
Ora so che la formula di Simpson è veramente universale e può essere applicata nella vita. Ma è davvero necessario? Per rispondere a questa domanda, ho presentato la formula in classe all'undicesimo grado, dopo di che ho condotto i test (vedi Appendice 16-17) e ho ricevuto i seguenti risultati:
Prova n. 1
Il 23% ha ammesso di avere difficoltà a ricordare tutte le formule.
Il 17% ha affermato che non è stato difficile per loro imparare tutte le formule, compresa la formula di Simpson.
Il 60% degli studenti ha applicato la formula di Simpson ad alcuni corpi geometrici e ciò li ha aiutati a risolvere i problemi.
Prova n.2
Il 100% afferma che la formula Simpson è facile da ricordare.
Lo 0% ha ammesso di avere qualche difficoltà a ricordarlo.
Prova n.3
Il 76% utilizzerà questa formula in futuro.
Il 24% ha ammesso che difficilmente ne avranno bisogno.
Prova n.4
L'82% ritiene che la formula di Simpson dovrebbe essere inclusa nel curriculum scolastico.
Lo 0% ritiene che la formula non dovrebbe essere inclusa nel curriculum scolastico.
Il 18% sostiene che la formula dovrebbe essere inserita nel curriculum scolastico, ma solo nelle classi specializzate.
Prova n.5
Il 35% ritiene che ricordare una formula per determinare il volume di più corpi geometrici contemporaneamente sia molto più semplice.
Il 59% crede che dovresti ricordare tutte le formule, inclusa la formula di Simpson, perché non sai mai quali condizioni verranno date.
Il 6% ritiene che basti ricordare solo le formule previste dal curriculum scolastico.
Questa formula può essere utilizzata anche per risolvere problemi, anche durante l'Esame di Stato Unificato. . Fornirò esempi di problemi che sono stati dati in 11a elementare e che sono stati risolti dagli studenti senza difficoltà:
Problema 1 Un prisma esagonale regolare di altezza 18 cm è inscritto in un cilindro con raggio di base di 4 cm. Trova il volume del prisma.
Problema 2 Una piramide regolare quadrangolare, avente altezza di 24 cm e lato di base di 5 cm, è inscritta in un cilindro. Trova il volume del cilindro.
Conclusione:
Conclusione
Durante il periodo scolastico, gli studenti devono conoscere un gran numero di formule in diverse materie. L'indagine che ho condotto ha dimostrato che non tutti gli studenti riescono a ricordare tutte queste formule. Mi sono trovato di fronte a un problema: è necessario introdurre nell'insegnamento della geometria una formula universale che permetta di sostituire un gran numero di formule per le aree delle figure piane e i volumi dei corpi spaziali, cioè una formula adatta a molti scopi e svolgere varie funzioni.
Ho suggerito la formula del matematico inglese Thomas Simpson
ti consentirà di sostituire le formule per le aree delle figure e i volumi dei corpi con una formula.
Mi sono posto un obiettivo: dimostrare che la formula universale di Simpson può sostituire tutte le formule per aree e volumi studiate in un corso di geometria scolastica. Ho rivelato questo obiettivo in diversi compiti.
Come risultato del mio lavoro, mi sono convinto che la formula di Simpson mi permette di dimostrare facilmente e rapidamente teoremi sui volumi dei corpi senza utilizzare un integrale definito.
Per facilitare il lavoro di memorizzazione e derivazione delle formule, suggerisco che prima di studiare l'argomento "Area delle figure", l'insegnante introduca gli studenti alla formula di Simpson e li offra a derivare autonomamente le formule studiate. La dimostrazione proposta nel libro di testo può essere utilizzata dall'insegnante come materiale aggiuntivo per la lezione o come compito a casa.
Ora, camminando per la foresta, probabilmente sarai interessato a determinare il volume di qualsiasi albero. Calcola quanti metri cubi di legno contiene e allo stesso tempo pesalo: scopri se sarebbe possibile, ad esempio, trasportare un tronco del genere su un carro.
Ho una formula con la quale puoi calcolare approssimativamente il volume di un tronco d'albero senza chiederti che tipo di corpo geometrico assomiglia: un cilindro, un cono pieno o un tronco di cono.
Considero il mio lavoro utile perché... Ho ricavato tutte le formule per aree e volumi studiate a scuola.
Dai risultati del sondaggio, ero convinto che la formula Simpson fosse abbastanza semplice da ricordare e dovesse essere inclusa nel curriculum scolastico.
Questa formula può essere utilizzata anche negli esami, compreso l'Esame di Stato Unificato.
Elenco della letteratura utilizzata:
Ya.I.Perelman. Algebra divertente. Geometria interessante. - M., “AST”, 1999.
CD ROM. Grande Enciclopedia di Cirillo e Metodio, 2002.
L.S. Atanasyan et al. Geometria 10-11. Libro di testo per istituti di istruzione generale, - M., "Illuminismo", 2002.
https://ru.wikipedia.org/wiki
https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/
https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html
https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona
Allegato 1
Brevi caratteristiche delle proprietà dei corpi geometrici
Triangolo
Appendice 2
Rettangolo
Appendice 3
b 3 =0, poiché la base superiore è un punto.
Poiché b 2 è la linea mediana del triangolo, otteniamo:
Conclusione. Infatti l'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza.
Soluzione: - formula universale.
Dato che ABCD è un quadrato, allora b 1 =b 2 =b 3 =h, otteniamo
Appendice 4
Conclusione. Infatti, l'area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato.
Soluzione: - formula universale.
Poiché ABCD è un rettangolo, allora b 1 = b 2 = b 3, otteniamo:
Risposta: S=hb 1.
Conclusione. Infatti, l'area di un rettangolo è uguale a due lati adiacenti.
Soluzione: - formula universale.
b 1 =b 2 =b 3, quindi otteniamo:
Appendice 5
Problema 2. Volume del cilindro.
Dato: Cilindro
b 1 - zona della base inferiore:
b 2 - area della sezione centrale:
b 3 - area della base superiore.
Trova: Vcilindro
(Fig. 22. Cilindro)
Perché b 1 =b 2 =b 3, quindi otteniamo:
Risposta: V=b 1 h
Dimostrazione proposta nel libro di geometria dall'autore. L.S. Atanasyan nell'Appendice 7.
Conclusione. Infatti il volume di un cilindro è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza.
Soluzione: Poiché b 3 =0, a, allora otteniamo:
Risposta: Dimostrazione proposta nel libro di geometria dall'autore. L.S. Atanasyan nell'Appendice 8.
Appendice 6
Appendice 7.
Appendice 8
Appendice 9.
Appendice 10
Appendice 11
Compito n. 1. Calcoliamo il volume del modello cubico utilizzando la solita formula. Per fare ciò, misuriamo lo spigolo del modello del cubo: a = 10,5 cm V = a 3 = 1157,625 cm 3
Compito n. 2. Calcoliamo il volume del modello di una piramide esagonale regolare utilizzando la solita formula. Per fare questo misuriamo l'altezza del modello h = 17,2 cm e il lato della base a = 6,5 cm.
Compito n. 3. Calcoliamo il volume del modello del cilindro usando la solita formula. Per fare ciò misuriamo l'altezza del modello h = 20,4 cm e il raggio della base R = 14 cm.
Appendice 12
|
Calcoliamo S = π *R 2 = 3,14* 14 2 cm 2, V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cm3 Calcoliamo il volume del modello utilizzando la formula di Simpson V = h/6(S base inferiore + S base superiore + 4S sezione centrale): |
||
|
Le aree della sezione superiore, inferiore e centrale sono uguali tra loro S = π *R 2 = 3,14 * 14 2 = 615,44 cm 2, h = 20,4 cm. V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 cm3 |
||
|
Compito n. 4. Calcoliamo il volume del modello a cono utilizzando la solita formula. Per fare ciò misuriamo l'altezza del modello h = 21 cm e il raggio della base R = 6 cm. |
||
|
Compito n.5. Calcoliamo il volume del modello della palla usando la solita formula. Per fare ciò, misuriamo il raggio della palla R = 7 cm. |
||
Appendice 13
Calcolo per betulla:
Calcolo per pioppo tremulo.
Calcolo per il pino.
Appendice 14
Risultati dello studio “Determinazione del volume delle formule “residue””
Diagramma 1. Determinazione del numero di formule “residue”.
Grafico 2. Materie per le quali sono indicate le formule.
Appendice 15
Che metodo usi per memorizzare le formule?
A) memorizzazione
B) comprensione
B) metodo associativo
D) altro
Diagramma 3. Metodi per memorizzare le formule
Pensi che il numero di formule da memorizzare corrisponda al livello di memoria dello studente medio?
Diagramma 4. Corrispondenza del numero di formule al livello di memoria dello studente medio
Pensi che per memorizzare meglio molte formule sia necessario utilizzare una formula universale?
Diagramma 5. La necessità di utilizzare una formula universale
Appendice 16
Appendice 17
Sorge un problema relativo al calcolo numerico di un integrale definito, che può essere risolto utilizzando formule dette formule di quadratura.
Ricordiamo le formule più semplici per l'integrazione numerica.
Calcoliamo il valore numerico approssimativo. Dividiamo l'intervallo di integrazione [a, b] in n parti uguali dividendo i punti 
, chiamati nodi della formula di quadratura. Lascia che siano noti i valori ai nodi 
:
Grandezza 
chiamato intervallo o passo di integrazione. Si noti che in pratica nei calcoli il numero i viene scelto piccolo; di solito non è superiore a 10-20 su un intervallo parziale 
l'integrando è sostituito da un polinomio di interpolazione
che rappresenta approssimativamente la funzione f(x) sull'intervallo in esame.
a) Manteniamo allora un solo primo termine nel polinomio di interpolazione
La formula quadratica risultante
chiamata formula del rettangolo.
b) Manteniamo allora i primi due termini del polinomio di interpolazione
(2)
La formula (2) è detta formula trapezoidale.
c) Intervallo di integrazione 
lo divideremo in un numero pari di 2n parti uguali, e il passo di integrazione h sarà uguale a 
. All'intervallo 
di lunghezza 2h, sostituiamo l'integrando con un polinomio di interpolazione di secondo grado, cioè manteniamo i primi tre termini del polinomio:
La formula di quadratura risultante è chiamata formula di Simpson
(3)
Le formule (1), (2) e (3) hanno un significato geometrico semplice. Nella formula dei rettangoli, la funzione integranda f(x) sull'intervallo 
è sostituito da un segmento di retta y = yk, parallelo all'asse delle ascisse, e nella formula trapezoidale - da un segmento di retta 
e si calcolano rispettivamente l'area del rettangolo e del trapezio rettilineo, che poi vengono sommate. Nella formula di Simpson, la funzione f(x) sull'intervallo 
la lunghezza 2h è sostituita da un trinomio quadrato - una parabola 
Si calcola l'area di un trapezio parabolico curvilineo, quindi si sommano le aree.
CONCLUSIONE
Alla fine del lavoro, vorrei sottolineare una serie di caratteristiche dell'applicazione dei metodi sopra discussi. Ciascun metodo di soluzione approssimata di un integrale definito presenta i propri vantaggi e svantaggi, a seconda del compito da svolgere, dovrebbero essere utilizzati metodi specifici.
Metodo di sostituzione variabileè uno dei metodi principali per il calcolo degli integrali indefiniti. Anche nei casi in cui integriamo con qualche altro metodo, spesso dobbiamo ricorrere a variabili variabili nei calcoli intermedi. Il successo dell'integrazione dipende in larga misura dalla capacità di selezionare un cambiamento di variabili così efficace da semplificare l'integrale dato.
In sostanza, lo studio dei metodi di integrazione si riduce a scoprire che tipo di sostituzione delle variabili è necessario effettuare per questo o quel tipo di integrando.
Così, integrazione di qualsiasi frazione razionale si riduce all'integrazione di un polinomio e di diverse frazioni semplici.
L'integrale di qualsiasi funzione razionale può essere espresso mediante funzioni elementari in forma finale, vale a dire:
attraverso i logaritmi - nei casi di frazioni semplici di tipo 1;
attraverso funzioni razionali - nel caso di frazioni semplici di tipo 2
attraverso logaritmi e arcotangenti - nel caso di frazioni semplici di tipo 3
attraverso funzioni razionali e arcotangenti - nel caso di frazioni semplici di tipo 4. La sostituzione trigonometrica universale razionalizza sempre l'integrando, ma spesso porta a frazioni razionali molto scomode, per le quali, in particolare, è quasi impossibile trovare le radici del denominatore. Pertanto, quando possibile, si utilizzano sostituzioni parziali, che razionalizzano anche l'integrando e portano a frazioni meno complesse.
Formula di Newton-Leibnizè un approccio generale per trovare integrali definiti.
Per quanto riguarda le tecniche per il calcolo degli integrali definiti, non sono praticamente diverse da tutte quelle tecniche e metodi.
Applicare esattamente allo stesso modo metodi di sostituzione(cambio di variabile), metodo di integrazione per parti, le stesse tecniche per trovare le antiderivative per funzioni trigonometriche, irrazionali e trascendentali. L'unica particolarità è che quando si utilizzano queste tecniche è necessario estendere la trasformazione non solo alla funzione integranda, ma anche ai limiti di integrazione. Quando si sostituisce la variabile di integrazione, non dimenticare di modificare di conseguenza i limiti di integrazione.
Correttamente dal teorema la condizione per la continuità della funzioneè una condizione sufficiente per l’integrabilità di una funzione. Ma questo non significa che l’integrale definito esista solo per funzioni continue. La classe delle funzioni integrabili è molto più ampia. Ad esempio, esiste un integrale definito di funzioni che hanno un numero finito di punti di discontinuità.
Calcolare un integrale definito di una funzione continua utilizzando la formula di Newton-Leibniz si riduce a trovare l'antiderivativa, che esiste sempre, ma non sempre è una funzione elementare o una funzione per la quale sono state compilate tabelle che consentono di ottenere il valore di l'integrale. In numerose applicazioni la funzione integrabile è specificata in una tabella e la formula di Newton-Leibniz non è direttamente applicabile.
Se hai bisogno di ottenere il risultato più accurato, è l'ideale Metodo Simpson.
Da quanto studiato sopra, possiamo trarre la seguente conclusione che l'integrale è utilizzato in scienze come la fisica, la geometria, la matematica e altre scienze. Utilizzando l'integrale si calcola il lavoro della forza, si trovano le coordinate del centro di massa e il percorso percorso dal punto materiale. In geometria viene utilizzato per calcolare il volume di un corpo, trovare la lunghezza dell'arco di una curva, ecc.
Per costruire la formula di Simpson consideriamo innanzitutto il seguente problema: calcoliamo l'area S di un trapezio curvilineo delimitato in alto dal grafico della parabola y = Ax 2 + Bx + C, a sinistra dalla retta x = - h, in alto a destra dalla retta x = h e in basso dal segmento [-h; H]. Lascia che la parabola passi per tre punti (Fig. 8): D(-h; y 0) E(0; y 1) e F(h; y 2), e x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = H . Quindi,
x1 = x0 + h = 0; x2 = x0 + 2h.
Allora l'area S è uguale all'integrale:
Esprimiamo quest'area tramite h, y 0, y 1 e y 2. Per fare ciò calcoliamo i coefficienti della parabola A, B, C. Dalla condizione che la parabola passi per i punti D, E ed F, abbiamo:
Risolvendo questo sistema, otteniamo: C = y 1 ; A= 
Sostituendo questi valori di A e C nella (3), otteniamo l'area richiesta
Passiamo ora alla derivazione della formula di Simpson per il calcolo dell'integrale 
Per fare ciò, dividiamo il segmento di integrazione in 2n parti uguali di lunghezza
Nei punti di divisione (Fig. 4) a = x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n = b,
Sommiamo i valori della funzione integranda f: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, dove y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).
Sul segmento sostituiamo l'integrando con una parabola passante per i punti (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) e (x 2 ; y 2), e calcoliamo il valore approssimativo dell'integrale da x Da 0 a x 2 usiamo la formula (4 ). Quindi (area ombreggiata in Fig. 4):
Allo stesso modo troviamo:
................................................
Sommando le uguaglianze risultanti, abbiamo:
Viene chiamata la formula (5). formula di Simpson generalizzata O formula della parabola, poiché quando si deriva, il grafico dell'integrando su un segmento parziale di lunghezza 2h viene sostituito dall'arco di parabola.
Assegnazione del lavoro:
1. Come indicato dall'insegnante o in conformità con un'opzione da Tabelle 4 compiti (vedi Appendice) accettano condizioni: funzione integranda, limiti di integrazione.
2. Creare uno schema a blocchi del programma e un programma che dovrebbe:
Richiedere l'accuratezza del calcolo di un certo integrale, i limiti inferiore e superiore di integrazione;
Calcola l'integrale dato utilizzando i seguenti metodi: per le opzioni 1,4,7, 10... - destra, per le opzioni 2,5,8,... - centrale; per le opzioni 2,5,8,... - rettangoli a sinistra. Stampa il numero di partizioni dell'intervallo di integrazione in cui viene raggiunta la precisione di calcolo specificata;
Calcola l'integrale dato con il metodo trapezoidale (per le opzioni pari) e con il metodo Simpson (per le opzioni dispari).
Stampa il numero di partizioni dell'intervallo di integrazione in cui viene raggiunta la precisione di calcolo specificata;
Emetti i valori della funzione di controllo per il valore dato dell'argomento e confrontali con i valori calcolati dell'integrale. Trarre conclusioni.
Domande di controllo
1. Cos'è un integrale definito?
2. Perché, insieme ai metodi analitici, vengono utilizzati metodi numerici per il calcolo degli integrali definiti.
3. Qual è l'essenza dei metodi numerici di base per il calcolo degli integrali definiti.
4. L'influenza del numero di partizioni sull'accuratezza del calcolo di un determinato integrale utilizzando metodi numerici.
5. Come calcolare l'integrale con qualsiasi metodo con una determinata precisione?
