Calcolo integrale, branca della matematica che studia le proprietà e i metodi di calcolo degli integrali e le loro applicazioni. Io e. strettamente correlato a Calcolo differenziale e insieme ad esso costituisce una delle parti principali analisi matematica(o analisi infinitesimale). I concetti centrali di I. e. sono i concetti di integrale definito e integrale indefinito di funzioni di una variabile reale.
Integrale definito. Supponiamo di dover calcolare l'area S « trapezio curvo» - cifre ABCD(cm. riso. ), delimitato da un arco di linea continua la cui equazione è A = F(X), segmento AB asse x e due ordinate ANNO DOMINI E AVANTI CRISTO. Per calcolare l'area S la base di questo trapezio curvo AB(segmento [ UN, B]) sono suddivisi in N sezioni (non necessariamente uguali) con punti UN = X 0 < X 1 < ... < X n-1< < X N = B, indicando le lunghezze di queste sezioni D X 1, D X 2, ..., D X N ; su ciascuno di questi siti vengono costruiti rettangoli con altezze F(x1), F(x2), ..., F(X N) dove x K- qualche punto del segmento [ xk- 1 , xk] (SU riso. un rettangolo ombreggiato costruito su k-esima sezione partizioni; f (x k) - la sua altezza). Somma S n le aree dei rettangoli costruiti sono considerate come un'approssimazione dell'area S trapezio curvo:
S» S n = F(x1)D X 1 + F(x2) D X 2 + F(X N) D x n
oppure, utilizzando il simbolo della somma S ( lettera greca"sigma"):
L'espressione indicata per l'area di un trapezio curvilineo è tanto più precisa quanto minore è la lunghezza D xk aree di partizione. Per trovare il valore esatto dell'area S bisogno di trovare limite importi S n sotto l'ipotesi che il numero dei punti di divisione aumenti indefinitamente e che la maggiore delle lunghezze D xk tende a zero.
Astraendo dal contenuto geometrico del problema considerato, arriviamo al concetto di integrale definito della funzione F(X), continuo sull'intervallo [ un, b], per quanto riguarda il limite delle somme intere S n allo stesso limite. Questo integrale è indicato
Il simbolo ò (esteso S- la prima lettera della parola Summa) è chiamato segno integrale, F(X) - funzione integranda, numeri UN E B sono chiamati limiti inferiore e superiore dell'integrale definito. Se UN = B, quindi, per definizione, assumono
Oltretutto,
Proprietà dell'integrale definito:
(K- costante). È ovvio anche questo
(il valore numerico dell'integrale definito non dipende dalla scelta della notazione variabile di integrazione).
Il calcolo degli integrali definiti si riduce a problemi di misurazione di aree delimitate da curve (problemi di “trovare quadrature”), lunghezze di archi di curve (“raddrizzamento di curve”), aree superficiali di corpi, volumi di corpi (“trovare cubature”), nonché problemi di determinazione delle coordinate dei centri di gravità, dei momenti di inerzia, del percorso di un corpo lungo una velocità di movimento nota, del lavoro prodotto da una forza e di molti altri problemi di scienze naturali e tecnologia. Ad esempio, la lunghezza dell'arco di una curva piana data dall'equazione A = F(X) sul segmento [ UN, B], espresso dall'integrale
il volume del corpo formato dalla rotazione di questo arco attorno ad un asse Bue, - integrale
la superficie di questo corpo - dall'integrale
Viene effettuato il calcolo vero e proprio degli integrali definiti diversi modi. In alcuni casi, un integrale definito può essere trovato calcolando direttamente il limite della somma integrale corrispondente. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, tale transizione al limite è difficile. Alcuni integrali definiti possono essere calcolati trovando prima gli integrali indefiniti (vedi sotto). Di norma si deve ricorrere ad un calcolo approssimativo degli integrali definiti, utilizzando vari formule di quadratura (Per esempio, formula trapezoidale , Formula Simpson ). Un calcolo così approssimativo può essere effettuato su un computer con un errore assoluto che non supera un dato piccolo numero positivo. Nei casi che non richiedono grande precisione, per il calcolo approssimato di integrali definiti, utilizzare metodi grafici(cm. Informatica grafica ).
Il concetto di integrale definito si estende al caso di un intervallo di integrazione illimitato, nonché ad alcune classi di funzioni illimitate. Tali generalizzazioni sono chiamate integrali impropri .
Espressioni come
dov'è la funzione F(X, a) è continuo in X sono detti integrali dipendenti dai parametri. Servono come mezzo principale per studiare molti funzioni speciali (vedi ad esempio Funzione gamma ).
Integrale indefinito. Trovare integrali indefiniti, o integrazione, è l'operazione inversa della differenziazione. Quando si differenzia una data funzione, si cerca la sua derivata. Quando si integra, al contrario, si cerca una funzione antiderivativa (o primitiva), una funzione la cui derivata è uguale alla funzione data. Quindi la funzione F(X) è un'antiderivativa per questa funzione F(X), Se F"(X) = F(X) o, che è lo stesso, dF(X) = F(X) dx. Questa funzione F(X) possono avere diversi antiderivativi, ma differiscono tutti l'uno dall'altro solo nei loro termini costanti. Pertanto, tutti gli antiderivativi per F(X) sono contenuti nell'espressione F(X) + CON, che è chiamato integrale indefinito della funzione F(X) e scrivere
Integrale definito in funzione del limite superiore di integrazione
(“integrale con variabile limite superiore"), è una delle antiderivative della funzione integranda. Ciò consente di stabilire la formula di base di I. e. (Formula di Newton-Leibniz):
esprimendo il valore numerico di un certo integrale sotto forma di differenza tra i valori di una funzione integranda antiderivativa con superiore e limiti inferiori integrazione.
La natura reciprocamente inversa delle operazioni di integrazione e differenziazione è espressa dalle uguaglianze
Ciò implica la possibilità di ricavare da formule e regole di differenziazione le corrispondenti formule e regole di integrazione (vedi tabella, dove C, M, UN, K- permanente e M¹ -1, UN > 0).
Tabella degli integrali fondamentali e regole di integrazione
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Difficoltà I. e. rispetto al calcolo differenziale è che gli integrali delle funzioni elementari non sono sempre espressi in termini di funzioni elementari e non possono essere espressi, come si suol dire, “nella forma finale”. Io e. ha solo in modi separati integrazione nella sua forma finale, la portata di ciascuna delle quali è limitata (i metodi di integrazione sono presentati nei libri di testo di analisi matematica: ampie tabelle di integrali sono fornite in molti libri di consultazione).
La classe di funzioni i cui integrali sono sempre espressi in funzioni elementari comprende l'insieme di tutte le funzioni razionali
Dove P(X) E Q(X) sono polinomi. Molte funzioni che non sono razionali si integrano anche nella forma finale, ad esempio funzioni che dipendono razionalmente da
o da X e potenze razionali della frazione
Nella forma finale sono integrate, ad esempio, anche molte funzioni trascendentali funzioni razionali seno e coseno. Le funzioni rappresentate da integrali indefiniti che non vengono prese nella forma finale rappresentano nuove funzioni trascendentali. Molti di essi sono ben studiati (vedi, ad esempio, Logaritmo integrale , Seno integrale e coseno integrale , Integrante funzione esponenziale ).
Il concetto di integrale si estende a funzioni di molte variabili reali (vedi Integrale multiplo , Integrale curvilineo , Integrale di superficie ), così come funzioni di una variabile complessa (vedi. Funzioni analitiche ) e funzioni vettoriali (vedi Calcolo vettoriale ).
Per l'ampliamento e la generalizzazione del concetto di integrale cfr. art. Integrante.
Riferimento storico. L'emergere di problemi di I. e. associati alla ricerca di aree e volumi. Molti problemi di questo tipo sono stati risolti dai matematici Grecia antica. La matematica antica anticipò le idee di I. e. in modo significativo In misura maggiore rispetto al calcolo differenziale. Grande ruolo quando si risolvono tali problemi si gioca metodo di esaurimento , creato Eudosso di Cnido e ampiamente utilizzato Archimede. Tuttavia, Archimede non ha identificato il contenuto generale delle tecniche di integrazione e del concetto di integrale, e ancor di più non ha creato un algoritmo per l'intelligenza artificiale. Scienziati del Medio e Vicino Oriente nei secoli IX-XV. studiò e tradusse le opere di Archimede nella lingua araba, che era generalmente disponibile nel loro ambiente, ma risultati significativamente nuovi in I. e. non l'hanno ricevuto. Le attività degli scienziati europei in questo momento erano ancora più modeste. Solo nel XVI e XVII secolo. Lo sviluppo delle scienze naturali ha posto una serie di nuovi compiti per la matematica europea, in particolare il compito di trovare quadrature, cubature e determinare i centri di gravità. Le opere di Archimede, pubblicate per la prima volta nel 1544 (in latino e Lingue greche), iniziarono ad attirare un'attenzione diffusa e il loro studio fu uno dei punti di partenza più importanti per l'ulteriore sviluppo della tecnologia dell'informazione. Antico metodo "indivisibile". è stato rianimato I. Keplero. In una forma più generale, le idee di questo metodo furono sviluppate da B. Cavalieri , E. Torricelli , J. Wallis , B. Pascal. Numerosi problemi geometrici e meccanici sono stati risolti utilizzando il metodo “indivisibile”. Allo stesso periodo risalgono le opere successive pubblicate di P.. Azienda agricola quadrando le parabole N quinto grado, e poi - il lavoro di X. Huygens raddrizzando le curve.
Come risultato di questi studi, è stata rivelata una comunanza di tecniche di integrazione nella risoluzione di problemi apparentemente dissimili di geometria e meccanica, che sono stati ridotti alle quadrature come equivalente geometrico di un integrale definito. L'ultimo anello della catena delle scoperte di questo periodo fu la creazione di mutui feedback tra problemi di disegno di tangenti e quadrature, cioè tra differenziazione e integrazione. Concetti di base e algoritmo di I. e. sono stati creati indipendentemente l'uno dall'altro. Newton e G. Leibniz. A quest'ultimo appartiene il termine “calcolo integrale” e la notazione dell'integrale ò ydx.
Inoltre, nelle opere di Newton il ruolo principale era svolto dal concetto di integrale indefinito (fluenti, cfr Calcolo delle flussioni ), mentre Leibniz procedeva dal concetto di integrale definito. Ulteriore sviluppo di I. e. nel XVIII secolo associato ai nomi I. Bernoulli e soprattutto L. Eulero. All'inizio del XIX secolo. Io e. O. è stato ricostruito insieme al calcolo differenziale. Cauchy basato sulla teoria dei limiti. Nello sviluppo di I. e. nel 19 ° secolo Hanno preso parte i matematici russi M.V. Ostrogradskij , V.Ya. Bunjakovskij , P.L. Chebyshev . Tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo. Lo sviluppo della teoria degli insiemi e della teoria delle funzioni di una variabile reale ha portato ad un approfondimento e alla generalizzazione dei concetti di base dell'informazione e della teoria. (B. Riemann , UN. Lebesgue e così via.).
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A cura dell'accademico A. N. Kolmogorov.
Grande Enciclopedia Sovietica M.: "Enciclopedia Sovietica", 1969-1978
introduzione
Il simbolo integrale fu introdotto nel 1675 e le questioni del calcolo integrale furono studiate fin dal 1696. Sebbene l'integrale sia studiato principalmente dai matematici, anche i fisici hanno dato il loro contributo a questa scienza. Quasi nessuna formula fisica può fare a meno del calcolo differenziale e integrale. Pertanto, ho deciso di esplorare l'integrale e la sua applicazione.
Storia del calcolo integrale
La storia del concetto di integrale è strettamente connessa ai problemi di ricerca delle quadrature. I matematici dell'antica Grecia e di Roma chiamavano problemi sulla quadratura dell'una o dell'altra figura piatta per calcolare le aree. La parola latina quadratura si traduce come “dare forma quadrata" La necessità di un termine speciale è spiegata dal fatto che nei tempi antichi (e successivamente, fino al XVIII secolo) idee su numeri reali. I matematici operavano con i loro analoghi geometrici, o quantità scalari, che non possono essere moltiplicate. Pertanto, i problemi per trovare le aree dovevano essere formulati, ad esempio, in questo modo: "Costruisci un quadrato di dimensioni uguali al cerchio dato". (Questo classico problema “sulla quadratura del cerchio” non può, come sappiamo, essere risolto con l’aiuto di compasso e riga.)
Il simbolo ò fu introdotto da Leibniz (1675). Questo segno è un cambiamento Lettera latina S (la prima lettera della parola summa). La parola integrale stessa fu coniata da J. Bernulli (1690). Probabilmente deriva dal latino integro, che significa riportare ad uno stato precedente, restaurare. (In effetti, l'operazione di integrazione “ripristina” la funzione differenziando quale integrando è stato ottenuto.) Forse l'origine del termine integrale è diversa: la parola intero significa intero.
Durante la corrispondenza, I. Bernoulli e G. Leibniz concordarono con la proposta di J. Bernoulli. Allo stesso tempo, nel 1696, apparve il nome di una nuova branca della matematica: calcolo integrale (calculus integralis), introdotto da I. Bernoulli.
Altri termini noti relativi a calcolo integrale, è apparso molto più tardi. Il nome ora in uso, funzione primitiva, sostituì il precedente “funzione primitiva”, introdotto da Lagrange (1797). La parola latina primitivus si traduce con “iniziale”: F(x) = ò f(x)dx - iniziale (o originale, o antiderivativo) per f(x), che si ottiene da F(x) per differenziazione.
IN letteratura moderna viene chiamato anche l'insieme di tutte le antiderivative della funzione f(x). Non integrale definito. Questo concetto è stato evidenziato da Leibniz, il quale ha notato che tutto funzioni antiderivative differiscono per una costante arbitraria. B
è detto integrale definito (la designazione fu introdotta da C. Fourier (1768-1830), ma i limiti dell'integrazione erano già indicati da Eulero).
Molti risultati significativi dei matematici dell'antica Grecia nella risoluzione dei problemi relativi alla ricerca delle quadrature (cioè al calcolo delle aree) figure piatte, così come la cubatura (calcolo dei volumi) dei corpi sono associati all'uso del metodo di esaurimento proposto da Eudosso di Cnido (c. 408 - c. 355 a.C.). Usando questo metodo, Eudosso dimostrò, ad esempio, che le aree di due cerchi sono correlate come i quadrati dei loro diametri, e che il volume di un cono è uguale a 1/3 del volume di un cilindro avente la stessa base e altezza.
Il metodo di Eudosso fu migliorato da Archimede. Le fasi principali che caratterizzano il metodo di Archimede: 1) si dimostra che l'area di un cerchio meno area qualsiasi descritto su di lui poligono regolare, Ma più area qualsiasi iscritto; 2) è dimostrato che con un raddoppio illimitato del numero dei lati la differenza delle aree di questi poligoni tende a zero; 3) per calcolare l'area di un cerchio, resta da trovare il valore a cui tende il rapporto dell'area di un poligono regolare quando il numero dei suoi lati è raddoppiato all'infinito.
Utilizzando il metodo dell'esaurimento e una serie di altre considerazioni ingegnose (incluso l'uso di modelli meccanici), Archimede risolse molti problemi. Ha dato una stima del numero p (3.10/71 Archimede anticipò molte delle idee del calcolo integrale. (Aggiungiamo che in pratica i primi teoremi sui limiti furono da lui dimostrati.) Ma ci vollero più di mille e mezzo anni prima che queste idee trovassero una chiara espressione e fossero portate al livello del calcolo. I matematici del XVII secolo, che ottennero molti nuovi risultati, impararono dalle opere di Archimede. È stato utilizzato attivamente anche un altro metodo: il metodo degli indivisibili, anch'esso originario dell'antica Grecia (è associato principalmente alle visioni atomistiche di Democrito). Ad esempio, immaginarono un trapezio curvo (Fig. 1, a) composto da segmenti verticali di lunghezza f(x), ai quali assegnarono tuttavia un'area pari al valore infinitesimo f(x)dx. Secondo questa interpretazione, l'area richiesta è stata considerata uguale alla somma un numero infinitamente grande di aree infinitamente piccole. A volte è stato addirittura sottolineato che i singoli termini di questa somma sono zeri, ma zeri di un tipo speciale, che sommati a un numero infinito danno una somma positiva ben definita. Su una base così apparentemente dubbia, J. Kepler (1571-1630) nei suoi scritti “Nuova Astronomia”. (1609) e “Stereometria delle botti di vino” (1615) calcolarono correttamente un numero di aree (ad esempio, l'area di una figura delimitata da un'ellisse) e volumi (il corpo fu tagliato in 6 piastre finitamente sottili). Questi studi furono continuati dai matematici italiani B. Cavalieri (1598-1647) ed E. Torricelli (1608-1647). Il principio formulato da B. Cavalieri, da lui introdotto sotto alcuni presupposti aggiuntivi, conserva il suo significato anche ai nostri tempi. Sia necessario trovare l'area della figura mostrata nella Figura 1,b, dove le curve che delimitano la figura sopra e sotto hanno le equazioni y = f(x) e y=f(x)+c. Immaginando una figura composta da colonne “indivisibili”, nella terminologia di Cavalieri, infinitamente sottili, notiamo che hanno tutte una lunghezza totale c. Spostandoli in direzione verticale possiamo formare un rettangolo con base b-a e altezza c. Pertanto, l'area richiesta è uguale all'area del rettangolo risultante, ad es. S = S1 = c (b – a). Il principio generale di Cavalieri per le aree delle figure piane è formulato come segue: lasciamo che le linee di un certo tratto di parallele intersechino le figure Ф1 e Ф2 lungo segmenti di uguale lunghezza (Fig. 1c). Allora le aree delle figure F1 e F2 sono uguali. Un principio simile opera nella stereometria ed è utile per trovare i volumi. Nel XVII secolo Sono state fatte molte scoperte relative al calcolo integrale. Così P. Fermat già nel 1629 risolse il problema della quadratura di una qualunque curva y = xn, dove n è un intero (cioè derivò essenzialmente la formula ò xndx = (1/n+1)xn+1), e su questa base risolse una serie di problemi per trovare i centri di gravità. I. Keplero, nel dedurre le sue famose leggi sul moto planetario, in realtà si basava sull'idea di integrazione approssimativa. I. Barrow (1630-1677), insegnante di Newton, arrivò vicino a comprendere la connessione tra integrazione e differenziazione. Di grande importanza è stato il lavoro sulla rappresentazione delle funzioni sotto forma di serie di potenze. Tuttavia, nonostante l’importanza dei risultati ottenuti da molti matematici estremamente inventivi del XVII secolo, il calcolo infinitesimale non esisteva ancora. Era necessario evidenziare le idee generali alla base della soluzione di molti problemi particolari, nonché stabilire una connessione tra le operazioni di differenziazione e integrazione, che fornisce un algoritmo abbastanza generale. Ciò fu fatto da Newton e Leibniz, che scoprirono indipendentemente un fatto noto come formula di Newton-Leibniz. Pertanto, è stato finalmente formato il metodo generale. Doveva ancora imparare a trovare le antiderivative di molte funzioni, a dare nuovi calcoli logici, ecc. Ma la cosa principale era già stata fatta: erano stati creati il calcolo differenziale e quello integrale. I metodi di analisi matematica si svilupparono attivamente nel secolo successivo (prima di tutto, vanno menzionati i nomi di L. Euler, che completò uno studio sistematico sull'integrazione delle funzioni elementari, e I. Bernoulli). I matematici russi M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894) hanno preso parte allo sviluppo del calcolo integrale. Di fondamentale importanza, in particolare, furono i risultati di Chebyshev, il quale dimostrò che esistono integrali che non possono essere espressi tramite funzioni elementari. Una presentazione rigorosa della teoria integrale è apparsa solo nel secolo scorso. La soluzione a questo problema è associata ai nomi di O. Cauchy, uno dei più grandi matematici, lo scienziato tedesco B. Riemann (1826-1866), il matematico francese G. Darboux (1842-1917). Le risposte a molte domande relative all'esistenza di aree e volumi di figure furono ottenute con la creazione della teoria della misura da parte di C. Jordan (1838-1922). Varie generalizzazioni del concetto di integrale furono proposte già all'inizio di questo secolo dai matematici francesi A. Lebesgue (1875-1941) e A. Denjoy (1884-1974), e dal matematico sovietico A. Ya Khinchinchin (1894-). 1959). Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa Istituzione educativa statale di istruzione professionale superiore "Università tecnica statale di Omsk" N. I. Nikolaeva CALCOLO INTEGRALE Note di lettura Casa editrice di Omsk Università tecnica statale di Omsk Revisori: Yu. F. Strugov, dottore in fisica e matematica. Scienze;S. E. Makarov, Ph.D. fisica e matematica Scienze, professore associato Nikolaeva, N. I. H63 Calcolo integrale: appunti delle lezioni / N. I. Nikolaeva. – Omsk: Casa editrice Omsk State Technical University, 2010. – Parte 4. – 120 p. ISBN 978-5-8149-0934-3 Gli appunti delle lezioni presentano in modo dettagliato, coerente e con evidenza la parte teorica del corso di matematica tenuto dall'autore nel primo e nel secondo anno di un istituto tecnico. La Parte 4 comprende tre capitoli: “Integrale indefinito”, “Integrale definito” e “Integrali curvilinei e di superficie del secondo tipo”. La presentazione è accompagnata da un numero sufficiente di esempi che spiegano i principi teorici più importanti, illustrano il materiale teorico e forniscono esempi di risoluzione dei problemi. Gli appunti delle lezioni sono destinati agli studenti di tutte le forme di studio presso l'Università tecnica statale di Omsk. Pubblicato per decisione del consiglio editoriale ed editoriale dell'Università tecnica statale di Omsk UDC 517.3(075) BBK 22.161.1я73 Capitolo 7. INTEGRALE INDETERMINATO............................................ ....... ................ 7.1. Definizione e proprietà dell’integrale indefinito............................................ ...... 7.2. Formule fondamentali e metodi di integrazione. Tavolo integrali fondamentali.................................... ........ ...................................... 7.3. Sostituzione con una variabile nell’integrale indefinito.............................................. ........ 7.4. Integrazione per parti.................................... ............................................ 7.5. Integrazione di frazioni razionali............................................ ........................ 7.6. Integrazione di alcune funzioni trigonometriche................................. 7.7. Integrazione di alcune espressioni irrazionali................................ Capitolo 8. INTEGRALE DETERMINATO............................................ ....... ................... 8.1. Integrale definito su una figura............................................ ...................................... 8.2. Integrale definito su un intervallo............................................ ...................................... 8.3. Connessione dell'integrale indefinito con il definito. Formula di Newton-Leibniz............................................ ...................................... 8.4. Integrazione per parti in un integrale definito................................ 8.5. Sostituzione di una variabile in un integrale definito................................................ ....... 8.6. Applicazioni geometriche di un integrale definito su un intervallo....... 8.7. Integrali impropri. Integrali con limiti infiniti integrazione................................................. ...................................................... . 8.8. Studiare la convergenza degli integrali impropri utilizzando segni di confronto.................................... ... .................................... 8.9. Integrali di funzioni illimitate............................................ ...... ..... 8.10. Calcolo dell'integrale doppio in coordinate cartesiane...... 8.11. Calcolo dell’integrale doppio in coordinate polari................................. 8.12. Integrale di Poisson.................................... ... .................................... 8.13. Calcolo dell'integrale di superficie di prima specie (per superficie) ............................................ ...................................... 8.14. Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cartesiane...... 8.15. Cambiare le variabili in un integrale triplo................................................ ............................ ... 8.16. Calcolo di un integrale curvilineo della prima specie (lungo la lunghezza dell'arco) .................................... ...................................................... ....... Capitolo 9. INTEGRALI CURVILINEI E SUPERFICIALI SECONDA TIPOLOGIA.................................... .................................................... ........ ..... 9.1. Integrale curvilineo di seconda specie (della funzione vettoriale) .............. 9.2. Calcolo di un integrale curvilineo di seconda specie................................. 9.3. Formula Ostrogradskij-Verde............................................ ...... ................... 9.4. Condizioni per l'indipendenza di un integrale curvilineo di seconda specie dal percorso di integrazione............................................ ........................................... 9.5. Integrale di superficie del secondo tipo (della funzione vettoriale)................ 9.6. Formula di Gauss-Ostrogradskij............................................ ...................... ELENCO BIBLIOGRAFICO............................................ ................... .................... Capitolo 7. INTEGRALE INDENNIZZO 7.1. Definizione e proprietà dell'integrale indefinito DEFINIZIONE. Funzione F(x) chiamato antiderivativo f (x) specificato nell'intervallo (a,b), se è differenziabile x (a ,b ) e per ogni x di questo intervallo F ′(x) =f (x). ESEMPIO. Per la funzione f(x) = 3x 2 ovviamente F(x) =x 3 – antiderivativo xR F1 ¢ (x) = (x3 ) ¢ = 3 x2 . (x 3 +2) ¢ =(x 3 -7) ¢ =3 x 2, F 2 (x) =x 3 + 2,F 3 (x) =x 3 − 7 F (x) = x3 + C, dove C= cost– anche antiderivative di questa funzione. ESEMPIO. COSÌ " x > 0(lnx ) ¢ = allora F(x) = lnx – antiderivativo f(x)= (0, + ∞)
.
(ln (- x ) ) ¢ = "x О(-¥,0 ) , F (x) = ln (- x) – antiderivativa f (x) = per (-¥,0), o, si potrebbe concludere, F(x)=ln è l'antiderivativa della funzione f (x) = "xÎR, x¹0 "CÎR. nonché funzioni della forma ln Così, se funzione f(x) ha un antiderivativo F(x), Anche F (x) + C, dove C è una costante arbitraria, è un'antiderivativa di questa funzione. TEOREMA (sulla connessione tra due antiderivative della stessa funzione). Permettere (x) ,F 2 (x) – due funzioni antiderivative f (x) sull'intervallo (a,b). Poi (x) = F2 (x) + C, C= cost. PROVA. Per definizione di antiderivativa, F ¢ (x) = F ¢ (x) = f (x) " x О (a,b). Indichiamo F (x) - F (x)= F (x). Allora F¢ (x)= F¢ (x)- F¢ (x)= 0 " x О (a, b). Mostriamo che F (x) = cost. Scegliamo x 1 ,x 2 О (a ,b ) arbitrari. Per teorema Lagrange (vedi Capitolo 5) F (x ) - F (x )= F′ (c )(x X ), dove valori = c trova- tra x e x, quindi F′(c) = 0. Ne consegue che F(x) = F(x ) , Quello è F (x) = cost a causa dell'arbitrarietà della scelta x 1 , x 2 . Pertanto, F 1 (x) −F 2 (x) =C,C =cost, che è ciò che doveva essere dimostrato. Dal teorema segue che l'insieme di tutte le antiderivative della funzione f (x) è costituito da funzioni della forma F (x) +C, C = cost, dove F(x) – uno (qualsiasi) di esso primitivi. DEFINIZIONE. L'insieme di tutte le funzioni antiderivative f(x)su viene chiamato l'intervallo (a,b). integrale indefinito dalla funzione f(x) e indicato ∫ f (x) dx. f(x) chiamata funzione integrando, f (x) dx – integrando in un'espressione speciale, X - variabile di integrazione. F(x) uno degli originali, quindi provato ∫ f(x) dx= F(x) + C, C = cost. ESEMPIO. È facile verificare che ∫ 3x 2 dx =x 3 +C ,∫ sinx dx = − cosx +C , = − lettino x+ C. ∫ peccato2 PROPRIETÀ DI UN INTEGRALE INDENNITO Sia ∫ f (x) dx =F (x) +C,F (x) – una delle funzioni antiderivative f(x). 1. d(∫ f(x) dx) = f(x) dx. Infatti, d (∫ f (x ) dx ) =d (F (x ) +C ) =F ′(x ) dx =f (x ) dx . 2. ∫ dF(x) = F(x) + C. A-prior differenziale antiderivativo ∫ dF(x) = ∫ F′ (x) dx= = ∫ f(x)dx. 3. ∫ (a f(x) + b g(x) ) dx= a∫ f(x) dx+ b∫ g(x) dx a, b R. La proprietà 3 è chiamata proprietà di linearità dell'integrale indefinito. ESEMPIO. Per proprietà 2 ∫ dx =x +C ,∫ d cosx = cosx +C ,∫ d tan 2x = tan 2x +C ,C =cost . ESEMPIO. Per proprietà 3∫ 2cosx dx = 2∫ cosx dx = 2∫ d sinx = 2sinx +C , ∫ (3 x2 + 1 ) dx= 3 ∫ x2 dx+ ∫ dx= x3 + x+ C, C= cost. Trovare l'antiderivativa di una data funzione è un compito molto più difficile che trovare la derivata. Le regole per differenziare una funzione complessa, così come la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente, ci hanno permesso di trovare la derivata di qualsiasi funzione elementare. Non esistono regole così semplici e universali per trovare gli integrali. Ad esempio, non esistono regole specifiche per trovare l'antiderivativa del prodotto o del quoziente di due funzioni, anche se è nota l'antiderivativa di ciascuna. Inoltre, se anche la derivata di una funzione elementare è una funzione elementare, allora la situazione con l'operazione di integrazione è diversa: ci sono funzioni elementari i cui integrali non sono elementari. 7.2. Formule fondamentali e metodi di integrazione. Tabella degli integrali di base I metodi di integrazione si riducono alla specificazione di una serie di tecniche, la cui implementazione in molti casi porta alla ricerca di un antiderivativo. Dalle formule per il calcolo dei derivati, puoi creare tabella degli integrali di base. ∫ 0 ×du =C , C = cost 2. ∫ du= u+ C 3. ∫ uα du= uα+1 C, α¹-1 4. ∫
α+1 6. ∫ eu du= eu + C ∫a du = l'un ∫ sin u du= - cos u + C 8. ∫ cosu du = sinu + C Tg u +C CTG u+C cos2 u peccato2 u 11. ∫ tgu du = - ln perché tu ∫ ctgu du = ln peccato tu 13. ∫
∫cosu peccato tu 15. ∫
16. ∫
a+u a2+u2 un 2- u 2 a-u 17. ∫
18. ∫
Arcsin u+u2±a2 un 2- u 2 2 ± un 2 19. ∫ shu du = chu +C 20. ∫ chu du = shu +C 21. ∫
Gio +C 22. ∫
= −cth u +C cap2 u sh2u In tutte le formule tabulari, u può apparire come indipendente variabile dipendente qualche funzione Per esempio, formula 6 ∫ ex dx= ex + C e ∫ e sin x d sinx =e sin x +C . Nel primo caso u =x, e nel secondo – u = sinx. Formule 19 – 22 funzioni: funzione e x − e − x Sh x per definizione è detta iperbolica e x+ e − x seno del cielo, Cap x– coseno iperbolico, Grazie- tangente iperbolica, Cth x– cotangente iperbolica. Per funzioni iperboliche molte formule simili a tre- gonometrico, Per esempio: cat2 x - sh2 x = 1, CAT2 x + SH2X = CAT2x, 2ch x × shx = sh 2x, sh x × chy - timido × chx = sh(x - y), ecc. Le formule 11–14, 16, 18 riportate nella tabella non hanno analoghi tra le formule dei derivati tabulari. Tuttavia, per verificarli ciascuno, è sufficiente assicurarsi che le derivate delle espressioni a destra di queste formule coincidano con gli integrandi. Verifichiamo, ad esempio, la validità della formula 18: )′
(u+u2±a2 ± un 2 ±a u2±a2 u+u2 ± un 2 u+u2±a2 (u+u2±a2) u2±a2 ± un 2 Conoscendo la tabella degli integrali di base e applicando le proprietà dell'integrale indefinito, puoi trovare le antiderivative per funzioni più complesse. ESEMPIO. Trova∫ tgx dx. cos2x notare che x , quindi ∫ tgx = ∫ tgx d tgx = tg 2x cos 2x cos2x secondo la formula 3: qui u = tgx, α = 1. Si sarebbe potuto fare diversamente: poiché tgx = peccato x e sin x dx = −d cosx , cos x tgx dx= peccato x dx = − dcosx cos−2x C per formula ∫ cos2x ∫ cos3x ∫ cos3x 2cos2x ∫ u−3 du= − u−2 C, in cui u = cosx, α = −3. A prima vista, i risultati ottenuti non sono affatto simili tra loro, sebbene siano integrali indefiniti di una funzione. Ma veramente caso con C = C+ tg2x tg2x C, cioè trovato 2cos2 le antiderivative differiscono di un termine costante, come affermato nel teorema sulla connessione tra due antiderivative. ESEMPIO. Trova ∫ x e − x 2 dx. d (−x 2 ) , quindi, secondo la formula 6, in Nota che x dx = d d(−x2) = − da cui u = −x 2 , otteniamo ∫ x e − x dx = − ∫ e−x e−x Questo integrale è simile all'integrale di Poisson che, come osservato in precedenza, non può essere espresso in termini di funzioni elementari. Ma la comparsa del fattore x nell'integrando ha permesso di ridurlo a quello tabulare. 7.3. Modifica di una variabile in un integrale indefinito Sia necessario trovare l'integrale indefinito ∫ f (x) dx, ma non è possibile selezionare direttamente la primitiva per f (x), anche se è noto che essa esiste. In molti casi, introducendo una nuova variabile al posto della variabile di integrazione x, questo integrale può essere ridotto ad un altro, che è contenuto nella tabella degli integrali di base o può essere facilmente calcolato in altro modo. Questo metodo si chiama metodo di sostituzione delle variabili o con il metodo di sostituzione. Quindi, introduciamo una nuova variabile t usando la formulax = x (t). Assumiamo che la funzione x (t) sia differenziabile su un certo intervallo, mentre la funzione f (x) sia continua sul corrispondente intervallo di variazione x. Poi ∫ f(x) dx= ∫ f(x(t) ) d x(t) = ∫ f(x(t) ) x′ (t) dt, (7.1) – formula di sostituzione variabile nell'integrale indefinito. ESEMPIO. Trovare x2+1 Cambiamo la variabile utilizzando la formula: x =tg t x2+1 2 t + 13 = cos3 t cos2 t = ∫ costo dt =sint +C = sin arctgx +C = x2+1 X 2
+ 1 1+X2
funzioni metriche in un triangolo rettangolo: tg T- atteggiamento gamba opposta X all'adiacente 1, sin T– rapporto del lato opposto X all'ipotenusa X2
+1 (figura 1). ESEMPIO.
Trovare ∫
dx.
1 +X Permettere X=T2
=
T ,
dx = 2
t dt = ∫
2T dt = 2
∫
(T+ 1)
−1 dt =
T+ 1 1 + T 2 ∫
dt−∫
Tdt+ 1
= 2(T− ln T+ 1)
+C= 2(X− ln (X+ 1)
)
+C. (287 a.C. - 212 a.C.): il saggio “Sulla misura della circonferenza” affronta il problema della determinazione dell'area e della circonferenza di un cerchio, e il trattato “Sulla sfera e il cilindro” discute le superfici e i volumi di alcuni corpi. Per risolvere questi problemi Archimede utilizzò il metodo dell'esaurimento di Eudosso di Cnido (408 a.C. circa - 355 a.C. circa). Il calcolo integrale nasce quindi dall'esigenza di creare un metodo generale per trovare aree, volumi e baricentri. Questi metodi furono sviluppati sistematicamente nel XVII secolo nelle opere di Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1608-1647), P. Fermat (1601-1665), B. Pascal (1623-1662) e altri scienziati. Ma la loro ricerca era principalmente di natura frammentaria e utilitaristica: venivano risolti problemi specifici e indipendenti. Nel 1659 I. Barrow (1630-1677) stabilì una relazione tra il problema della ricerca dell'area e il problema della ricerca della tangente. Le basi del calcolo integrale classico furono gettate nelle opere di I. Newton (1643-1727) e G. Leibniz (1646-1716), che negli anni '70 del XVII secolo astrassero dai menzionati problemi applicativi particolari e stabilirono una connessione tra calcolo integrale e differenziale. Ciò ha permesso a Newton, Leibniz e ai loro studenti di sviluppare la tecnica dell'integrazione. I metodi di integrazione raggiunsero il loro stato attuale soprattutto nelle opere di L. Euler (1707-1783). Lo sviluppo dei metodi fu completato dai lavori di M. V. Ostrogradsky (1801-1861) e P. L. Chebyshev (1821-1894). Figura 1.1. Interpretazione geometrica dell'integrale di Riemann. Storicamente, l'integrale era inteso come l'area di un trapezio curvilineo formato da una data curva e da un asse di coordinate. Per trovare quest'area, utilizzare un segmento a b (\displaystyle ab) diviso in n (\displaystyle n) parti non necessariamente uguali e ha costruito una figura a gradini (è ombreggiata). La sua area è uguale Dove y io (\displaystyle y_(i))- valore della funzione f(x) (\displaystyle f(x)) V io (\displaystyle io)-quel punto ( io = 0 , 1 , ... , n - 1 (\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots,\;n-1)), UN d x io = x io + 1 − x io (\displaystyle dx_(i)=x_(i+1)-x_(i)). G. Leibniz alla fine del XVII secolo designò il limite di questo importo come A quel tempo il concetto di limite non era ancora stato formato, quindi Leibniz introdusse un nuovo simbolo per la somma di un numero infinito di termini ∫ (\displaystyle \int )- latino corsivo modificato “ ” - la prima lettera del lat. summa(somma). La parola "integrale" deriva dal latino. integrale- olistico. Questo nome fu proposto da Johann Bernoulli (1667-1748), allievo di Leibniz, per distinguere la "somma di un numero infinito di termini" dalla somma ordinaria. La notazione di Leibniz fu successivamente migliorata da J. Fourier (1768-1830). Cominciò chiaramente a indicare i valori iniziali e finali x (\displaystyle x): introducendo così la designazione moderna integrale definito. Nella teoria degli integrali definiti, l'integrazione è considerata come un processo di generalizzazione della sommatoria al caso di un numero infinitamente grande di espressioni infinitesimali. Pertanto, il risultato di una certa integrazione (se possibile) è un certo numero (in generalizzazioni, infinito). Integrale indefinitoè una funzione (più precisamente, una famiglia di funzioni). L'integrazione, al contrario della differenziazione, è considerata un'arte, principalmente a causa del piccolo numero di leggi che tutti gli integrali soddisferebbero. Inoltre, per l'esistenza di un integrale, secondo il teorema principale del calcolo integrale, è necessaria solo la continuità della funzione integrabile. Il fatto dell'esistenza dell'integrale non fornisce almeno un modo per trovarlo in forma chiusa, cioè sotto forma di un numero finito di operazioni su funzioni elementari. Gran parte del problema relativo alla ricerca degli integrali in forma chiusa fu risolto nei lavori di J. Liouville (1809-1882). Questo argomento è stato ulteriormente sviluppato nei lavori dedicati allo sviluppo di algoritmi di integrazione simbolica utilizzando un computer. Un esempio è l'algoritmo di Risch. Volendo sottolineare la natura inversa dell’integrazione rispetto alla differenziazione, alcuni autori utilizzano il termine “antidifferenziale” e denotano l’integrale indefinito con il simbolo D - 1 (\displaystyle D^(-1)). Il concetto di integrale è direttamente correlato al calcolo integrale, branca della matematica che si occupa dello studio degli integrali, delle loro proprietà e dei metodi di calcolo. Insieme al calcolo differenziale, il calcolo integrale costituisce la base dell'analisi matematica. Le origini del calcolo integrale risalgono all'antico periodo di sviluppo della matematica e traggono origine dal metodo di esaustione sviluppato dai matematici dell'antica Grecia. Il metodo di esaurimento è un insieme di regole per il calcolo di aree e volumi, il cui sviluppo è attribuito a Eudosso di Cnido. Il metodo fu ulteriormente sviluppato nelle opere di Euclide e Archimede era famoso per l'arte speciale e la varietà di applicazioni del metodo di esaustione. Un tipico schema di prova esaustiva assomigliava a questo. Per determinare il valore di A, è stata costruita una certa sequenza di valori C1, C2, ..., Cn, ... in modo tale che Si presumeva anche che B fosse conosciuto in questo modo e che per ogni intero K si può trovare un n sufficientemente grande che soddisfa la condizione: Dove D è costante. Dopo macchinosi ragionamenti, dall'ultima espressione è stato possibile ricavare: Come si vede dallo schema sopra riportato, il metodo si basava sull'approssimazione degli oggetti in esame mediante figure a gradini o corpi composti da figure semplici o corpi spaziali (rettangoli, parallelepipedi, cilindri, ecc., indicati con la sequenza C1, C2 , ..., Cn, ...). In questo senso il metodo esaustivo può essere considerato un antico metodo integrale. La crisi e il declino del mondo antico portarono all'oblio di molte conquiste scientifiche. Il metodo di esaurimento fu ricordato solo nel XVII secolo. Questo è stato associato ai nomi di Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonard Euler e una serie di altri eccezionali scienziati che hanno gettato le basi per la moderna analisi matematica. Alla fine del XVII e XVIII secolo, le richieste sempre crescenti della pratica e di altre scienze incoraggiarono gli scienziati ad espandere il più possibile il campo e i metodi di ricerca in matematica. I concetti di infinito, movimento e dipendenza funzionale emergono e diventano la base di nuovi metodi matematici. Alla fine del XVII e XVIII secolo si ottennero risultati classici di fondamentale importanza in matematica e meccanica. La cosa principale qui era lo sviluppo del calcolo differenziale e integrale, la teoria delle equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni e la meccanica analitica. I concetti di base e la teoria del calcolo integrale e differenziale, in primo luogo la connessione tra le operazioni di differenziazione e integrazione, nonché la loro applicazione alla risoluzione di problemi pratici, furono sviluppati alla fine del XVII secolo, ma erano basati su idee formulate in epoca all'inizio del XVII secolo dal grande matematico e astronomo Giovanni Keplero. Nel novembre 1613, il matematico reale e astrologo della corte austriaca I. Keplero celebrò il suo matrimonio. Per prepararsi acquistò diverse botti di vino d'uva. Al momento dell'acquisto, Keplero è rimasto stupito dal fatto che il venditore abbia determinato la capacità della canna eseguendo un'unica azione: misurare la distanza dal foro di riempimento al punto del fondo più lontano da esso. Dopotutto, tale misurazione non teneva affatto conto della forma della canna! Keplero si accorse immediatamente di trovarsi di fronte a un interessante problema matematico: calcolare la capacità di un barile utilizzando diverse dimensioni. Riflettendo su questo problema, trovò formule non solo per il volume delle botti, ma anche per il volume di un'ampia varietà di corpi: limone, mela, mela cotogna e persino un turbante turco. Per ciascuno dei corpi, Keplero dovette creare metodi nuovi, spesso molto ingegnosi, il che era estremamente scomodo. Un tentativo di trovare metodi abbastanza generali e, soprattutto, semplici per risolvere tali problemi ha portato all'emergere del moderno calcolo integrale. Ma questo è stato merito di un matematico completamente diverso. È difficile trovare un altro nome che abbia avuto un'influenza così forte sulla storia della scienza e della cultura mondiale come Isaac Newton. Il famoso matematico e storico della scienza B. L. Van der Waerden scrive nel suo libro “Awakening Science”: “Ogni scienziato naturale sarà certamente d’accordo sul fatto che la meccanica newtoniana è la base della fisica moderna. Ogni astronomo sa che l'astronomia moderna inizia con Keplero e Newton. E ogni matematico sa che il dipartimento più significativo e più importante della matematica moderna per la fisica è l’analisi, che si basa sul calcolo differenziale e integrale di Newton. Di conseguenza, le opere di Newton costituiscono la base di gran parte delle scienze esatte del nostro tempo”. E non solo le scienze: «La matematica e la tecnologia influenzano anche la nostra vita spirituale, e tantissimo. che raramente possiamo immaginarlo completamente. Alla straordinaria ascesa che le scienze naturali conobbero nel XVII secolo seguirono inevitabilmente il razionalismo del XVIII secolo, la divinizzazione della ragione, il declino della religione... Chi è a conoscenza del fatto, si chiede l'autore, che da un punto di vista storico dal punto di vista Newton è la figura più significativa del XVII secolo? Isaac Newton nacque nel 1643. Il ragazzo frequentò prima una scuola rurale e all'età di dodici anni fu mandato a studiare nella città più vicina. Il preside della scuola notò il ragazzo di talento e convinse la madre di Newton a mandare suo figlio a studiare all'Università di Cambridge. Newton fu accettato lì come uno studente povero, obbligato a servire scapoli, maestri e studenti senior. La cattedra di matematica a Cambridge fu allora occupata dal giovane e brillante scienziato Isaac Barrow. Ben presto divenne non solo insegnante, ma anche amico di Newton, e pochi anni dopo cedette la cattedra di matematica al suo grande allievo. A questo punto, Newton aveva già conseguito la laurea e il master. Nel 1665-1667 Newton iniziò a lavorare alla creazione di un apparato matematico con il quale le leggi della fisica potessero essere esplorate ed espresse. Newton fu il primo a costruire il calcolo differenziale e integrale (lo chiamò metodo delle flussioni). Ciò ha immediatamente permesso di risolvere un'ampia varietà di problemi matematici e fisici. Prima di Newton, molte funzioni erano definite solo geometricamente, quindi era impossibile applicare ad esse l’algebra e il nuovo calcolo delle flussioni. Newton trovò un nuovo metodo generale per la rappresentazione analitica di una funzione: lo introdusse nella matematica e iniziò ad applicare sistematicamente le serie infinite. Spieghiamo questa idea di Newton. È noto che qualsiasi numero reale può essere rappresentato come una frazione decimale: finita o infinita. COSÌ. Per esempio: Ciò significa che qualsiasi numero a può essere rappresentato come: dove N è la parte intera, e a1, a2, ... an, ... può assumere uno dei valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Per analogia con questa rappresentazione dei numeri Newton suggerì che qualsiasi funzione di x, ad esempio, può essere rappresentata come un polinomio o una serie infinita, disposta non in potenze di , ma in potenze di x: dove a1, a2, ... an, ... sono coefficienti che devono essere determinati di volta in volta. Un esempio di tale serie è la progressione geometrica che conosciamo: Rappresentare una funzione utilizzando una serie è molto conveniente. Con l’aiuto delle serie, come scrisse Newton, “è possibile superare difficoltà che altrimenti sembrerebbero quasi insormontabili”. Nello stesso periodo di Newton, un altro eccezionale scienziato, Gottfried Wilhelm Leibniz, arrivò ad idee simili. Gottfried Wilhelm Leibniz nacque in Germania a Lipsia nel 1646. Il ragazzo curioso intratteneva già da 6 anni interessanti conversazioni sulla storia con suo padre, professore all'Università di Lipsia. All'età di 12 anni aveva studiato bene il latino e si interessò al greco antico. Era particolarmente interessato ai filosofi antichi e poteva pensare a lungo alle teorie filosofiche di Aristotele o Democrito. All'età di 15 anni, Leibniz entrò all'Università di Lipsia, dove studiò diligentemente legge e filosofia. Legge molto, tra i suoi libri preferiti ci sono i libri di R. Cartesio, G. Galileo, II. Keplero e D. Campanella. Leibniz ha acquisito la sua colossale conoscenza della matematica da autodidatta. Tre anni dopo, dopo essersi laureato all'università, Leibniz lasciò Lipsia. Si è offeso per il rifiuto del consiglio accademico universitario di conferirgli il titolo di dottore in giurisprudenza. Il rifiuto è stato spiegato come segue. che Leibniz era... troppo giovane! Iniziò una vita piena di duro lavoro e numerosi viaggi. È facile immaginare quanto fosse scomodo a quel tempo viaggiare in carrozze goffe sulle strade sconnesse dell'Europa. Leibniz sapeva come non perdere tempo: durante questi lunghi viaggi gli vennero in mente molti pensieri di successo. Leibniz si distingueva per la sua eccezionale capacità di “entrare” rapidamente in un problema e risolverlo nel modo più generale. Riflettendo su questioni filosofiche e matematiche, Leibniz si convinse che la matematica poteva essere il mezzo più affidabile per cercare e trovare la verità nella scienza. Durante tutta la sua vita adulta, cercò di esprimere le leggi del pensiero, la capacità umana di pensare e la forma del calcolo matematico. Per questo è necessario, insegnava Leibniz, essere in grado di designare qualsiasi concetto o idea con determinati simboli, combinandoli in formule speciali, e ridurre le regole del pensiero alle regole dei calcoli ma a queste formule simboliche. Sostituendo le parole comuni con simboli chiaramente definiti, Leibniz ha cercato di liberare il nostro ragionamento da ogni incertezza e dalla possibilità di commettere errori o di fuorviare gli altri. Se, Leibniz sognava. Se sorgono disaccordi tra le persone, non verranno risolti in controversie lunghe e noiose. e il modo in cui vengono risolti i problemi o dimostrati i teoremi. I contendenti prenderanno le penne e, dicendo: “Cominciamo a calcolare”, cominceranno a calcolare. Come già notato, Leibniz, contemporaneamente a Newton e indipendentemente da lui, scoprì i principi fondamentali del calcolo differenziale e integrale. La teoria si rafforzò dopo che Leibniz e Newton dimostrarono che differenziazione e integrazione sono operazioni reciprocamente inverse. Anche Newton conosceva questa proprietà. Ma solo Leibniz ha visto qui la meravigliosa opportunità offerta dall'uso del metodo simbolico. Qualsiasi persona, dopo aver studiato un piccolo numero di regole per operare con simboli che denotano operazioni di differenziazione e integrazione, diventa proprietaria di un potente metodo matematico. Al giorno d'oggi, tali simboli di operazione sono chiamati operatori. Gli operatori di differenziazione d() e di integrazione agiscono sulle funzioni, “trasformandole” in altre funzioni computabili con precisione. Leibniz sviluppa una speciale algebra delle azioni con questi operatori. Dimostra che il numero ordinario a può essere tolto dal segno dell'operatore: Gli operatori identici possono essere tolti dalle parentesi: Tutte le proprietà elencate possono essere brevemente espresse dalla relazione: dove: a e b sono numeri. Operatori. che hanno questa proprietà. sono detti lineari. La teoria degli operatori lineari, che Leibniz iniziò a sviluppare con tanto successo. nella matematica moderna è una teoria ben sviluppata che è utile nelle applicazioni. L'uso ripetuto di operatori può essere considerato come il grado dell'operatore, ad esempio per d(): Leibniz ha sottolineato il fatto che gli operatori fondamentali dell'analisi matematica sono reciprocamente inversi con il suo simbolismo, sostenendo che in d(x) e sono anche reciprocamente inversi, come le potenze e le radici nel calcolo ordinario. Utilizzando la stessa notazione simile alla notazione a-1 dell'inverso di a, e il prodotto a×a-1=1. Indicando operatori o viceversa: e intendendo per prodotto la loro applicazione sequenziale, abbiamo: cioè il prodotto è una “unità” che non cambia la funzione. Tuttavia c’era una grave contraddizione nell’approccio Newton-Leibniz. Leibniz e i suoi seguaci - i fratelli Bernoulli, L'Hopital e altri - interpretavano i differenziali come differenze infinitesimali di quantità finite ordinarie, come dicevano allora - quantità “reali” della matematica “inferiore”. Pertanto trattarono entrambi allo stesso modo e applicarono nel calcolo ai primi gli stessi metodi che erano validi quando si trattava dei secondi. Allo stesso tempo, si è scoperto che gli infinitesimi trattati in questo modo hanno una proprietà che contraddice una proprietà fondamentale delle quantità finite di base: se A è una quantità finita e a è un infinitesimo, allora affinché il risultato del calcolo per essere del tutto accurato, si è rivelato necessario effettuare calcoli partendo dal presupposto che A+a=A. Il calcolo differenziale, la cui importanza per lo sviluppo della scienza e della tecnologia era fuori dubbio, si trovò in una posizione paradossale: per ottenere un risultato accurato utilizzando i suoi metodi, era necessario partire da un'affermazione errata. Newton cercò di basare il calcolo differenziale sulle leggi della meccanica e sul concetto di limite. Ma non riuscì a liberare il suo calcolo delle flussioni dai limiti inerenti al calcolo differenziale di Leibniz. Nella pratica del calcolo, Newton, come Leibniz, applicò il principio di scartare gli infinitesimi. Questa incoerenza ha reso possibile chiamare mistico il calcolo differenziale Leibniz-Newton. Ciò sottolineava innanzitutto che Leibniz e Newton introdussero metafisicamente le quantità infinitesime nel calcolo differenziale, assumendone immediatamente l'esistenza, senza chiarirne l'origine e lo sviluppo e senza analizzare la natura delle loro proprietà specifiche. I tentativi di costruire l’analisi degli infinitesimi e la teoria delle serie in pieno accordo con i concetti fondamentali e le verità della matematica “inferiore” non hanno portato fin dall’inizio a risultati positivi. Pertanto, Leibniz e i suoi seguaci cercarono di giustificare i principi dell'analisi infinitesimale paragonando l'infinitesimale a un granello di sabbia, che può essere trascurato quando si calcola l'altezza di una montagna, facendo riferimento alla probabilità, ecc. Un altro tentativo fu fatto alla fine del XVIII secolo. Il famoso matematico tedesco Wessel propose di lasciare l’analisi degli infinitesimi nell’analisi come “utili funzioni ausiliarie”. Tuttavia, questa interpretazione non era ampiamente utilizzata: i matematici conoscevano l'interpretazione meccanica e geometrica di dx e dy. A partire dall'ultimo quarto del XVIII secolo, la portata delle applicazioni dell'analisi matematica cominciò a superare significativamente i confini della sua consueta applicazione in meccanica e geometria. Questo processo si sviluppò ancora più rapidamente nel primo quarto del XIX secolo. I matematici tentarono innanzitutto di risolvere nuovi problemi utilizzando metodi sviluppati dai classici del XVIII secolo: Eulero, d'Alembert, Lagrange e altri. Tuttavia, divenne presto chiaro che i metodi classici erano insufficienti e che era necessario svilupparne di nuovi, più generali e potenti. Si è scoperto anche che l'insufficienza dei metodi classici è spesso associata all'interpretazione ristretta dei concetti di base, al concetto “bandito” dell'infinitesimale, alle “eccezioni” che prima rimanevano nell'ombra. Spieghiamolo con un esempio. Newton e Leibniz svilupparono due interpretazioni del concetto di integrale definito ordinario. Newton interpretò l'integrale definito come la differenza tra i valori corrispondenti della funzione antiderivativa: dove F`(x)=f(x). Per Leibniz l’integrale definito è la somma di tutti i differenziali infinitesimi. La prima interpretazione corrispondeva alla tecnica di calcolo degli integrali definiti utilizzando la funzione integranda antiderivativa, la seconda perché nelle applicazioni l'integrale definito appariva come il limite di un certo tipo di somma (somma integrale). Fino all’incirca all’ultimo quarto del XVIII secolo, la prima interpretazione del concetto di integrale definito occupò una posizione dominante. Ciò è stato facilitato da due circostanze. All'inizio del XVIII secolo furono stabilite regole per la differenziazione di tutte le funzioni elementari e iniziò lo sviluppo con successo di metodi per trovare i loro primitivi (classi razionali e separate di funzioni irrazionali e trascendentali). Grazie a ciò, il punto di vista di Newton era pienamente coerente con lo sviluppo di algoritmi efficaci per il calcolo integrale. Il calcolo diretto del limite della somma integrale ha incontrato molte difficoltà. Naturalmente questa circostanza non contribuì a rafforzare il punto di vista di Leibniz. L'interpretazione dell'integrale definito ordinario secondo Leibniz si basava sul concetto di infinitesimi, dal quale i matematici del XVIII secolo vollero liberare l'analisi matematica. Ciò servì anche a rafforzare il punto di vista di Newton. Questo fatto è stato ben confermato dal modo in cui Leonard Eulero ha utilizzato il concetto di somma integrale. Eulero non si oppose al calcolo approssimativo degli integrali definiti utilizzando le corrispondenti somme integrali. Ma non poteva considerare l'integrale definito come limite della somma integrale. In questo caso tutti i termini della somma integrale diventavano infinitesimi, cioè dal punto di vista di Eulero erano zeri. Riferimento storico. Nel 1963 Paul Euler, 23 anni, completò gli studi di teologia all'Università di Basilea. Ma in quegli anni i teologi dotti erano più di quelli richiesti, e solo nel 1701 ricevette l'incarico ufficiale di sacerdote di un orfanotrofio a Basilea. Il 19 aprile 1706 il pastore Paul Euler sposò la figlia del prete. E il 15 aprile 1707 nacque il loro figlio, di nome Leonard. Il futuro scienziato seguì la sua formazione iniziale a casa sotto la guida di suo padre, che un tempo aveva studiato matematica con Jacob Bernoulli. Il buon pastore preparò il figlio maggiore alla carriera spirituale, ma gli insegnò anche la matematica, sia come divertimento che per sviluppare il pensiero logico. Il ragazzo si interessò alla matematica e cominciò a fare domande a suo padre, una più difficile dell'altra. Quando Leonardo mostrò interesse per lo studio, fu mandato al Ginnasio latino di Basilea, sotto la supervisione di sua nonna. Il 20 ottobre 1720 Leonhard Euler, 13 anni, divenne studente presso la Facoltà di Lettere dell'Università di Basilea: suo padre voleva che diventasse prete. Ma il suo amore per la matematica, la memoria brillante e le eccellenti prestazioni di suo figlio cambiarono queste intenzioni e mandarono Leonard lungo una strada diversa. Essendo diventato uno studente, ha imparato facilmente le materie accademiche, preferendo la matematica. E non c'è da meravigliarsi che il bravo ragazzo abbia presto attirato l'attenzione di Bernoulli. Invitò il giovane a leggere memorie matematiche e a venire a casa sua il sabato per risolvere insieme l'incomprensibile. A casa del suo insegnante, Eulero incontrò e divenne amico dei figli di Bernoulli, Nikolai e Daniel, anch'essi entusiasti della matematica. E l'8 giugno 1724 Il diciassettenne Leonhard Euler ha tenuto un eccellente discorso in latino su un confronto tra le visioni filosofiche di Cartesio e Newton - e ha conseguito un master (nel 19 ° secolo, nella maggior parte delle università dell'Europa occidentale, il master è stato sostituito da il titolo di Dottore in Filosofia). Eulero si distingueva per la sua fenomenale efficienza. Semplicemente non poteva fare a meno di studiare la matematica e le sue applicazioni. Nel 1735 l'Accademia ricevette l'incarico di eseguire un calcolo astronomico urgente e molto macchinoso. Un gruppo di accademici ha chiesto tre mesi per completare questo lavoro, ma Eulero si è impegnato a completare il lavoro in 3 giorni e lo ha fatto da solo. Tuttavia, lo sforzo eccessivo non è passato senza lasciare traccia: si è ammalato e ha perso la vista dall'occhio destro. Tuttavia, lo scienziato ha reagito alla disgrazia con la massima calma: "Ora sarò meno distratto dalla matematica", ha osservato filosoficamente. Fino a quel momento Eulero era conosciuto solo da una ristretta cerchia di scienziati. Ma l'opera in due volumi "La meccanica, o la scienza del movimento, in una presentazione analitica", pubblicata nel 1736, gli portò fama mondiale. Eulero applicò brillantemente i metodi dell'analisi matematica alla soluzione dei problemi del movimento nel vuoto e in un mezzo resistente. "Chi ha sufficienti capacità di analisi potrà vedere tutto con straordinaria facilità e leggere l'intera opera senza alcun aiuto", conclude Eulero nella prefazione al libro. Lo spirito del tempo richiedeva un percorso analitico per lo sviluppo delle scienze esatte, l'uso del calcolo differenziale e integrale per descrivere i fenomeni fisici. Leonhard Euler iniziò ad aprire questa strada. Naturalmente, anche fino all'ultimo quarto del XVIII secolo, il concetto di Newton incontrò difficoltà. Durante questo periodo si sono incontrate funzioni elementari, i cui prototipi non possono essere espressi attraverso funzioni elementari. I matematici conoscevano anche alcuni integrali impropri, compresi quelli divergenti. Ma tali fatti erano isolati e non potevano violare il concetto effettivo stabilito di integrale. Diversa la situazione si rivelò nell'ultimo quarto del XVIII secolo e soprattutto all'inizio del XIX secolo. Dagli anni '70 del XVIII secolo, la risoluzione di problemi di meccanica analitica, fisica e altre discipline richiedeva uno sviluppo significativo del concetto di integrale definito. Di particolare importanza sono gli integrali doppi e tripli (Eulero, Lagrange, Laplace, ecc.). Era un periodo in cui le grandi idee di Newton e Leibniz erano state pubblicate relativamente di recente e la moderna analisi matematica era appena stata creata. I potenti metodi che queste idee portarono con sé trovarono applicazione in tutti i rami della conoscenza esatta. Questa applicazione andò di pari passo con lo sviluppo dell'analisi stessa, spesso indicando i percorsi e le direzioni lungo le quali avrebbe dovuto svilupparsi il nuovo calcolo. Quella fu, forse, l'unica epoca di creatività matematica nella sua intensità, ed Eulero fu uno dei pochi creatori nella sua produttività. La sua "Introduzione all'analisi degli infinitesimi", "Fondamenti del calcolo differenziale" e "Fondamenti del calcolo integrale" furono i primi trattati in cui il materiale già ampio ma disperso della nuova analisi fu combinato in una scienza coerente. Hanno sviluppato lo scheletro dell'analisi moderna, che è sopravvissuto fino ai giorni nostri. Lo sviluppo di metodi per il calcolo degli integrali doppi e tripli ha dimostrato che è molto difficile o addirittura impossibile calcolare questi integrali nello stesso modo in cui veniva calcolato un integrale definito ordinario, utilizzando un integrale indefinito. Pertanto, i matematici furono costretti a preservare il concetto di Newton solo a parole, ma in realtà, quando risolsero i problemi delle scienze esatte, seguirono la strada di Leibniz. Hanno calcolato le somme integrali corrispondenti (in coordinate rettangolari, cilindriche e sferiche) e ne hanno trovato i limiti. In breve, lo sviluppo di metodi per il calcolo di nuovi tipi di integrali definiti ha mostrato che gli integrali definiti ordinari, doppi, ecc. devono essere giustificati in se stessi, indipendentemente dal concetto di integrale indefinito. Ma ogni termine di qualsiasi somma integrale è una quantità infinitesima. Si poneva quindi non solo la questione della legalizzazione del concetto precedentemente “bandito” di infinitesimo, ma anche della divulgazione del suo reale contenuto e del suo uso appropriato. Come già accennato, per fare tutto ciò è stato necessario superare – generalizzare, sviluppare l'interpretazione tradizionale (euleriana) della funzione e del concetto di limite. A questo proposito si poneva la questione dell'esistenza di limiti alle somme intere i cui termini sarebbero infinitesimi. Nel primo quarto dell'Ottocento il concetto di infinitesimo si rivelò necessario anche per lo studio e il confronto delle proprietà delle funzioni continue e discontinue. L'ottenimento di risultati fondamentali è qui associato al nome di Cauchy. “Tra molti concetti”, ha sottolineato Cauchy, “strettamente legati alle proprietà degli infinitesimi, si dovrebbe collocare il concetto di continuità e discontinuità delle funzioni”. Cauchy dà subito un'interpretazione della continuità della funzione, che conferma più che chiaramente la chiarezza di questa sua affermazione. La nuova formulazione dei problemi di convalida dell'analisi matematica ha mostrato chiaramente che la questione non è solo nel riconoscimento e nell'applicazione degli infinitesimi: questo è già stato fatto prima! - ma soprattutto nell'interpretazione scientifica del loro contenuto e nel loro utilizzo negli algoritmi di analisi matematica basati su questo. Per fare ciò, però, è stato necessario superare l’interpretazione restrittiva del concetto di limite prevalente nel XVIII secolo, ed elaborare una teoria generale dei limiti. Lo studio delle funzioni discontinue e il loro confronto con le funzioni continue ci ha costretto ad ammettere ciò che prima si riteneva impossibile: che il limite a cui tende la successione dei valori della funzione, quando l'argomento tende in un certo punto, può rivelarsi diverso da il valore della funzione a questo punto. Ciò significa che il limite non è sempre l'“ultimo” valore della variabile, ma in tutti i casi il limite è il numero al quale la variabile si avvicina senza limite. Di conseguenza, dx e dy non sono necessariamente zeri o “misticamente” effettivamente infinitesimi; infinitesimale è una variabile il cui limite è zero, e questo fatto non è associato a contraddizioni e paradossi. Cauchy ha superato anche la seconda tendenza restrittiva nell'interpretazione del concetto di limite accettata prima di lui. Riconobbe che una variabile può avvicinarsi al suo limite non solo in modo monotono, ma anche oscillare, assumendo talvolta valori pari al suo limite. Questa circostanza diede alla teoria di Cauchy la necessaria generalità e un'eccezionale flessibilità. Stiamo ancora seguendo la strada tracciata da Augustin Louis Cauchy, con i miglioramenti apportati nella seconda metà del XIX secolo da C. Weierstrass. I lavori di Cauchy e Weierstrass completarono la creazione dell'analisi matematica classica, riassumendo così lo sviluppo secolare del calcolo integrale. Bibliografia Bolshakova A. A. Tre crisi nello sviluppo della matematica. Lavoro di laurea; Astrachan': AGPI, 1996. Enciclopedia per bambini per la mezza età e gli anziani. T.2; M.: Educazione, 1965. Enciclopedia matematica. Ed. Vinogradova. T.2; M.: Sov. Enciclopedia, 1979. Fikhtengolts G.M. Fondamenti di analisi matematica. T.1; M.: Nauka, 1968.
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