§1. Integrale indefinito, sue proprietà. Regole e formule di differenziazione. Differenziazione diretta.

Il problema principale del calcolo integrale è l'inverso del problema principale del calcolo differenziale.

Sia data la funzione F (X). Dobbiamo trovare una tale funzione F ( X) quel dF( X)=f " (X)dx, quelli. F" ( X)= F(X).

Funzione F( X) è chiamato antiderivativo per funzione F(X). Espressione

F( X) +C, dove CON– una costante arbitraria, rappresenta l'insieme di tutte le antiderivative per la funzione F(X) e viene chiamato integrale indefinito. Si chiama l'azione di trovare una funzione dal suo differenziale integrazione.

È necessario apprendere le proprietà fondamentali dell'integrale indefinito e le formule fondamentali di integrazione (integrali tabulari).

Diamo proprietà di base integrale indefinito:

, Dove Con=cost

1. L'integrale della somma algebrica di una funzione è uguale alla somma algebrica degli integrali di ciascuna funzione separatamente (e viceversa).

Formule di integrazione di base:

(1) (2) , dove n

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

Esempio 1. Trovare

Soluzione Usiamo la definizione di grado c indicatore frazionario e trova l'integrale

Esempio 2. Trova un) ; B)

Soluzione a) Usiamo la definizione di potenza con esponenti negativi e troviamo l'integrale

b) Usando la formula (2) troviamo l'integrale

Esempio 3. Trovare:

a) Nell'integrando, dividere il numeratore per

denominatore e utilizzare la proprietà dell'integrale indefinito. .

Gli integrali indefiniti vengono calcolati utilizzando le formule (2) e (3) della tabella degli integrali.

Esempio 4. Calcola I =

Soluzione. Eseguiamo trasformazioni elementari sull'integrando:

Usando la proprietà 3 dell'integrale indefinito, otteniamo

Integrazione per sostituzione. Il metodo di integrazione di una funzione, in cui sostituendo l'intero integrando o parte di esso con nuove variabili, questo integrale viene ridotto a un integrale tabulare, è chiamato integrazione per sostituzione.

Esempio 5. Calcolare

Soluzione. Eseguiamo la sostituzione 2 X=T; quindi, differenziando i lati sinistro e destro dell'uguaglianza, otteniamo 2 dx=dt E dx=

Quindi,

Durante la risoluzione, abbiamo tolto il fattore 1/2 dal segno integrale, abbiamo applicato la formula (7) e siamo tornati alla variabile precedente X.

Esempio 6. Calcolare.

Soluzione. Usiamo la sostituzione X 2 + 3 = T, Dove T– nuova variabile. Differenziamo entrambi i lati dell'uguaglianza:

2xdx = dt, cioè. xdx=. Allora l'integrale ha la forma:

.

Dopo aver effettuato una sostituzione T = X 2 + 3 , noi abbiamo

Esempio 7. Trovare

Soluzione. Notiamo quel peccato xdx c'è una funzione differenziale - cos X. Supponendo cos X=z, trova - peccato xbх=per esempio, cioè. peccato xbх=per esempio. Allora l'integrale ha la forma

Esempio 8. Calcolare

Soluzione kh=T, Poi K· dx=dt, Significa, dx=

I seguenti integrali della tabella sono stati ottenuti con il metodo di sostituzione o con il metodo delle trasformazioni elementari:

(10) (11)

(12) (13)

(14) (15)

§2. Integrale definito, sue proprietà. Formula di Newton-Leibniz.

Lasciamo la funzione A= F(X) è diviso sul segmento da UN Prima B SU N elementare parti uguali punti UN= x0< x 1 < x 2 < …< x n = b; выберем на каждом отрезке от X-1 in un punto arbitrario e denotare la lunghezza di ciascuno di questi segmenti.

La somma integrale di una funzione su un intervallo da UN Prima Bè chiamata somma della forma:

Integrale definito dalla funzione F(X) sul segmento da UN Prima Bè detto limite della somma integrale purché la lunghezza del segmento elementare tenda a zero; in questo caso viene utilizzata la notazione.

Numeri UN E B sono chiamati inferiore E limiti superiori di integrazione.

Così,

.

Per qualsiasi funzione F(X), continuo sul segmento da UN Prima B, esiste sempre un integrale definito.

Le principali proprietà dell’integrale definito sono:

1. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale definito:

1. L'integrale definito di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali di ciascun termine separatamente:

1. Quando i limiti superiore e inferiore dell'integrazione vengono invertiti, il segno dell'integrale definito cambia al contrario:

1. L'integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero:

Calcolare l'integrale definito di una funzione F(X) nel caso in cui sia possibile trovare il corrispondente integrale definito, si utilizza la formula di Newton-Leibniz:

quelli. l'integrale definito è uguale alla differenza tra i valori dell'antiderivativa superiore e limiti inferiori integrazione.

Tutti i metodi di integrazione considerati nello studio dell'integrale indefinito vengono utilizzati nel calcolo dell'integrale definito. Si noti che se un integrale definito viene calcolato con il metodo di sostituzione, quando si passa a una nuova variabile è necessario modificare i limiti di integrazione.

Esempio 9. Calcolare

Piano

Antiderivativa di una funzione e integrale indefinito. Proprietà fondamentali dell'integrale indefinito. Tabella degli integrali indefiniti di base. Metodi di integrazione di base: integrazione diretta, metodo di sostituzione, integrazione per parti.

Frazioni razionali. Integrare il più semplice frazioni razionali. Integrazione di frazioni razionali.

Integrazione funzioni trigonometriche. Integrazione di alcune funzioni irrazionali. Integrali non esprimibili mediante funzioni elementari.

Integrale definito. Proprietà fondamentali di un integrale definito. Integrale con variabile limite superiore. Formula di Newton-Leibniz. Metodi di base per il calcolo di un integrale definito (cambio di variabile, integrazione per parti).

Applicazioni geometriche dell'integrale definito. Alcune applicazioni dell'integrale definito in economia.

Integrali impropri (integrali con limiti infiniti integrazioni, integrali di funzioni illimitate).

Antiderivativa di una funzione e integrale indefinito

IN calcolo integrale il compito principale è trovare la funzione sì=F(X) dal suo derivato noto.

Definizione 1. Funzione F(X) è chiamato antiderivativo funzioni F(X) sull'intervallo ( un, b), se del caso vale l'uguaglianza: O .

Teorema 1. Qualsiasi linea continua sull'intervallo [ UN, B] funzione F(X) ha un antiderivativo su questo segmento F(X).

Nel seguito considereremo funzioni continue su un intervallo.

Teorema 2. Se la funzione F(X) È funzione antiderivativa F(X) sull'intervallo ( un, b), allora l'insieme di tutti gli antiderivativi è dato dalla formula F(X)+CON, Dove CON - numero costante.

Prova.

Funzione F(X)+CONè l'antiderivativa della funzione F(X), Perché .

Permettere F(X) – un altro, diverso da F(X) funzione antiderivativa F(X), cioè. . Poi abbiamo

che significa che

,

Dove CON– numero costante. Quindi,

Definizione 2. L'insieme di tutte le funzioni antiderivative F(X)+CON per funzione F(X) è chiamato integrale indefinito dalla funzione F(X) ed è indicato dal simbolo .

Quindi, per definizione

(1)

Nella formula (1) F(X) è chiamato funzione integranda, F(X)dx – integrando, X– variabile di integrazione, segno dell'integrale indefinito.

L'operazione per trovare l'integrale indefinito di una funzione si chiama integrazione questa funzione.

Un integrale geometricamente indefinito è una famiglia di curve (a ogni valore numerico CON corrisponde ad una certa curva della famiglia). Viene chiamato il grafico di ciascuna antiderivativa (curva). curva integrale. Non si intersecano né si toccano. Per ogni punto del piano passa una sola curva integrale. Tutte le curve integrali sono ottenute l'una dall'altra mediante traslazione parallela lungo l'asse OH.

Proprietà fondamentali dell'integrale indefinito

Consideriamo le proprietà dell'integrale indefinito che seguono dalla sua definizione.

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando, il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

Prova.

Permettere Poi

2. L'integrale indefinito del differenziale di una certa funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria:

Prova.

Veramente, .

3. Fattore costante a() può essere preso come segno dell'integrale indefinito:

4. L'integrale indefinito della somma algebrica di un numero finito di funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali di tali funzioni:

5. Se F(X) – funzione antiderivativa f(X), Quello

Prova.

Veramente,

6 (invarianza delle formule di integrazione). Qualsiasi formula di integrazione mantiene la sua forma se variabile di integrazione sostituire con qualsiasi funzione differenziabile con questa variabile:

dove sei– funzione differenziabile.

Tabella degli integrali indefiniti di base

Poiché l'integrazione è l'azione inversa della differenziazione, la maggior parte delle formule fornite può essere ottenuta invertendo le corrispondenti formule di differenziazione. In altre parole, la tabella delle formule di integrazione base si ottiene dalla tabella delle derivate delle funzioni elementari letta al contrario (da destra a sinistra).

Ecco una tabella dei principali integrali indefiniti. (Nota che qui, come in Calcolo differenziale, lettera tu può significare sia la variabile indipendente ( tu=X) e una funzione della variabile indipendente ( tu=tu(X)).)

Vengono chiamati gli integrali 1–12 tabellare.

Alcune delle formule sopra riportate nella tabella degli integrali, che non hanno un analogo nella tabella delle derivate, vengono verificate differenziando i loro membri di destra.

(287 a.C. - 212 a.C.): il saggio “Sulla misura della circonferenza” affronta il problema della determinazione dell'area e della circonferenza di un cerchio, e il trattato “Sulla sfera e il cilindro” discute le superfici e i volumi di alcuni corpi. Per risolvere questi problemi Archimede utilizzò il metodo dell'esaurimento di Eudosso di Cnido (408 a.C. circa - 355 a.C. circa).

Pertanto, il calcolo integrale è nato dalla necessità di creare metodo generale trovare aree, volumi e baricentri.

Questi metodi furono sviluppati sistematicamente nel XVII secolo nelle opere di Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1608-1647), P. Fermat (1601-1665), B. Pascal (1623-1662) e altri scienziati. Ma la loro ricerca era principalmente di natura frammentaria e utilitaristica, specifica compiti indipendenti. Nel 1659 I. Barrow (1630-1677) stabilì una relazione tra il problema della ricerca dell'area e il problema della ricerca della tangente.

Le basi del calcolo integrale classico furono gettate nelle opere di I. Newton (1643-1727) e G. Leibniz (1646-1716), che negli anni '70 del XVII secolo astrassero dai menzionati particolari problemi applicativi e stabilirono una connessione tra calcolo integrale e differenziale. Ciò ha permesso a Newton, Leibniz e ai loro studenti di sviluppare la tecnica dell'integrazione. I metodi di integrazione raggiunsero il loro stato attuale principalmente nelle opere di L. Euler (1707-1783). Lo sviluppo dei metodi fu completato dai lavori di M. V. Ostrogradsky (1801-1861) e P. L. Chebyshev (1821-1894).

Figura 1.1. Interpretazione geometrica dell'integrale di Riemann.

Storicamente l'integrale era inteso come l'area trapezio curvo formato da una data curva e da un asse coordinato. Per trovare quest'area, utilizzare un segmento a b (\displaystyle ab) diviso in n (\displaystyle n) non necessariamente parti uguali e ha costruito una figura a gradini (è ombreggiata). La sua area è uguale

F n = y 0 d x 0 + y 1 d x 1 + … + y n − 1 d x n − 1 , (\displaystyle F_(n)=y_(0)\,dx_(0)+y_(1)\,dx_(1 )+\ldots +y_(n-1)\,dx_(n-1),)(1.1)

Dove y io (\displaystyle y_(i))- valore della funzione f(x) (\displaystyle f(x)) V io (\displaystyle io)-quel punto ( io = 0 , 1 , … , n − 1 (\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots,\;n-1)), UN d x io = x io + 1 − x io (\displaystyle dx_(i)=x_(i+1)-x_(i)).

G. Leibniz alla fine del XVII secolo designò il limite di questo importo come

∫ y d x . (\displaystyle \int y\,dx.)(1.2)

A quel tempo il concetto di limite non era ancora stato formato, quindi Leibniz introdusse un nuovo simbolo per la somma numero infinito termini ∫ (\displaystyle \int )- latino corsivo modificato “ ” - la prima lettera del lat. summa(somma).

La parola "integrale" deriva dal latino. integrale- olistico. Questo nome fu proposto da Johann Bernoulli (1667-1748), allievo di Leibniz, per distinguere la "somma di un numero infinito di termini" dalla somma ordinaria.

La notazione di Leibniz fu successivamente migliorata da J. Fourier (1768-1830). Cominciò chiaramente a indicare i valori iniziali e finali x (\displaystyle x):

∫ a b y d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)y\,dx)(1.3)

introducendo così la designazione moderna integrale definito.

In teoria integrali definiti l'integrazione è considerata come un processo di generalizzazione della somma al caso dell'infinito Di più espressioni infinitesimali. Pertanto, il risultato di una certa integrazione (se possibile) è un certo numero (in generalizzazioni, infinito).

Integrale indefinitoè una funzione (più precisamente, una famiglia di funzioni).

L'integrazione, al contrario della differenziazione, è considerata un'arte, principalmente a causa del piccolo numero di leggi che tutti gli integrali soddisferebbero. Inoltre, per l'esistenza di un integrale, secondo il teorema principale del calcolo integrale, è necessaria solo la continuità della funzione integrabile. Il fatto dell'esistenza dell'integrale non fornisce almeno un modo per trovarlo in forma chiusa, cioè sotto forma di un numero finito di operazioni su funzioni elementari. Gran parte del problema relativo alla ricerca degli integrali in forma chiusa fu risolto nei lavori di J. Liouville (1809-1882). Questo argomento è stato ulteriormente sviluppato nei lavori dedicati allo sviluppo di algoritmi di integrazione simbolica utilizzando un computer. Un esempio è l'algoritmo di Risch.

Volendo sottolineare la natura inversa dell’integrazione rispetto alla differenziazione, alcuni autori utilizzano il termine “antidifferenziale” e designano integrale indefinito simbolo D - 1 (\displaystyle D^(-1)).

Materiale dall'Unciclopedia

Il calcolo integrale è una sezione analisi matematica, in cui si studiano gli integrali, le loro proprietà, i metodi di calcolo e le applicazioni. Insieme al calcolo differenziale costituisce la base dell'apparato di analisi matematica.

Il calcolo integrale è nato dalla considerazione elevato numero problemi di scienze naturali e matematica. Il più importante di questi è il compito fisico di determinare cosa è stato coperto tempo a disposizione percorsi lungo una velocità di movimento nota, ma forse variabile e il ben più antico problema del calcolo delle aree e dei volumi delle figure geometriche (cfr. Problemi geometrici all'estremo).

Centrale nel calcolo integrale è il concetto di integrale, che però ne ha due varie interpretazioni, che portano rispettivamente ai concetti di integrale indefinito e definito.

Nel calcolo differenziale fu introdotta l'operazione di differenziazione delle funzioni. L'operazione matematica considerata nel calcolo integrale, inversa alla differenziazione, si chiama integrazione o, più precisamente, integrazione indefinita.

In cosa consiste questa operazione inversa e qual è la sua incertezza?

L'operazione di differenziazione confronta data funzione F(x) la sua derivata F"(x)=f(x). Supponiamo che, partendo da una data funzione f(x), vogliamo trovare una funzione F(x), la cui derivata è la funzione f(x), t.e. f(x) = F"(x). Tale funzione è detta antiderivativa della funzione f(x).

Ciò significa che l'operazione inversa della differenziazione - integrazione indefinita - consiste nel trovare l'antiderivativa di una data funzione.

Si noti che, oltre alla funzione F(x), antiderivativa della funzione f(x), esisterà ovviamente anche una qualsiasi funzione ℱ(x) = F(x) + C, diversa da F(x) per a termine costante C; perché ℱ"(x) = F(x) = f(x).

Pertanto, a differenza della differenziazione, che confronta una funzione con un'altra funzione, la derivata della prima, l'integrazione indefinita non porta a una funzione specifica, ma a un intero insieme di funzioni, e questa è la sua incertezza.

Tuttavia, il grado di questa incertezza non è così elevato. Ricordiamo che se la derivata di una certa funzione è uguale a zero in tutti i punti di un certo intervallo, allora questa è una funzione costante sull'intervallo in esame (su intervalli in cui il tasso di variazione dimensione variabileè uguale a zero ovunque, non cambia). Ciò significa che se ℱ"(x) = F(x) su un certo intervallo a<х

Quindi due antiderivative della stessa funzione possono differire su un intervallo solo per un termine costante.

Le funzioni antiderivative f(x) sono indicate dal simbolo

dove il segno ∫ recita: integrale. Questo è il cosiddetto integrale indefinito. Secondo quanto dimostrato, l'integrale indefinito rappresenta sull'intervallo considerato non una funzione specifica, ma una qualsiasi funzione della forma

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

dove F(x) è una sorta di primitiva della funzione f(x) su un dato intervallo e C è una costante arbitraria.

Ad esempio, sull'intera linea numerica

∫ 2x dx = x 2 + C; ∫ cos dy = sin y + C; ∫ sin z dz = -cos z + C.

Qui abbiamo specificatamente designato gli argomenti degli integrandi con diversi simboli: x, y, z, per attirare l'attenzione sull'indipendenza dell'antiderivativa in funzione dalla scelta della lettera usata per denotare il suo argomento.

La verifica delle uguaglianze scritte avviene mediante semplice differenziazione dei loro lati destri, per cui le funzioni 2x, cos y, sin z compaiono rispettivamente sui lati sinistri sotto il segno di integrale.

È inoltre utile tenere presente le seguenti ovvie relazioni, che seguono direttamente dalle definizioni di antiderivativo, derivato, differenziale e dalla relazione (1) per l'integrale indefinito:

(∫f(x)dx)" = f(x),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Trovare l'antiderivativa è spesso facilitato da alcune proprietà generali dell'integrale indefinito:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (sostituendo un fattore costante);

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx (integrazione della somma);

∫f(x)dx = F (x) + C, allora

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (cambio di variabile).

Tali relazioni vengono verificate anche direttamente utilizzando le opportune regole di differenziazione.

Troviamo la legge del moto di un corpo che cade liberamente nel vuoto, basata sul solo fatto che in assenza di aria, l'accelerazione g di caduta libera in prossimità della superficie terrestre è costante e non dipende dalle caratteristiche del corpo che cade . Fissare l'asse delle coordinate verticali; Scegliamo la direzione sull'asse verso la Terra. Sia s(t)~ la coordinata del nostro corpo al momento t. Sappiamo quindi che s"(t)=g e g è una costante. Dobbiamo trovare la funzione s(t) - la legge del movimento.

Poiché g = v"(t), dove v(t) = s"(t), allora, integrando successivamente, troviamo

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1)dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2.

Quindi l'abbiamo trovato

s(t) = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 , (3)

dove C 1 e C 2 sono alcune costanti. Ma un corpo che cade obbedisce ancora a una specifica legge del movimento, in cui non esiste più alcuna arbitrarietà. Ciò significa che ci sono altre condizioni che non abbiamo ancora utilizzato; consentono, tra tutte le leggi “concorrenti” (3), di scegliere quella che corrisponde ad un particolare movimento. Queste condizioni sono facili da indicare se si comprende il significato fisico delle costanti C 1 e C 2. Se confrontiamo i termini estremi della relazione (2) a t = 0, risulta che C 1 = v(0), e da (3) a t = 0 risulta che C 2 = s(0). Pertanto, la matematica stessa ci ha ricordato la legge del movimento desiderata

s(t) = gt2/2 + v0t + s0

sarà completamente determinato se indichiamo la posizione iniziale s 0 = s(0) e la velocità iniziale v 0 = v(0) del corpo. In particolare, se d 0 = 0 e s 0 = 0, otteniamo s(t) = gt 2 /2.

Notiamo ora che tra l'operazione di ricerca di una derivata (differenziazione) e l'operazione di ricerca di un'antiderivativa (integrazione indefinita), ci sono, oltre a quanto sopra, una serie di differenze fondamentali. In particolare si tenga presente che se la derivata di una qualsiasi combinazione di funzioni elementari è essa stessa espressa tramite funzioni elementari, cioè è una funzione elementare, allora l'antiderivativa di una funzione elementare non è più sempre una funzione elementare. Ad esempio, l'antiderivativo

∫((peccato x)/x)dx

la funzione elementare (sin x)/x (detta seno integrale e indicata con il simbolo speciale si(x)), come si può dimostrare, non è espressa in funzioni elementari. Pertanto, la questione matematica fondamentale dell'esistenza di un'antiderivativa di una data funzione non deve essere confusa con il problema, non sempre risolvibile, di trovare questa antiderivativa tra le funzioni elementari. L'integrazione è spesso la fonte dell'introduzione di funzioni speciali importanti e ampiamente utilizzate, che vengono studiate non peggio di funzioni “scolastiche” come x 2 o sin x, sebbene non siano incluse nell'elenco delle funzioni elementari.

Infine, notiamo che trovare un'antiderivativa, anche quando espressa in funzioni elementari, è più un'arte che un algoritmo computazionale canonico come l'algoritmo di differenziazione. Per questo motivo, le antiderivative trovate delle funzioni che ricorrono più frequentemente vengono raccolte sotto forma di tabelle di ricerca di integrali indefiniti. La seguente microtabella di questo tipo equivale ovviamente ad una microtabella delle derivate delle corrispondenti funzioni elementari di base:

∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + C per n ≠ -1;

∫cos x dx = -sen x + C;

∫sen x dx = -cos x + C;

∫ dx/cos 2 x = tan x + C;

∫dx/sen 2 x = -ctg x + C.

Mentre parlavamo dell'inversione dell'operazione di differenziazione, siamo arrivati ​​a questo proposito ai concetti di antiderivativa e integrale indefinito e abbiamo dato la definizione iniziale di questi concetti.

Ora indicheremo un approccio diverso, molto più antico all'integrale, che servì come principale fonte iniziale del calcolo integrale e portò al concetto di integrale definito o integrale nel senso proprio del termine. Questo approccio è chiaramente visibile già nel matematico e astronomo greco antico Eudosso di Cnido (circa 408-355 a.C.) e Archimede, cioè è sorto molto prima dell'avvento del calcolo differenziale e dell'operazione di differenziazione.

La questione che Eudosso e Archimede si sono posti, creando un “metodo di esaustione” per risolverlo, che anticipava il concetto di integrale, è la questione del calcolo dell'area di una figura curvilinea. Di seguito considereremo questo problema, ma per ora porremo, seguendo I. Newton, il seguente problema: utilizzando la velocità v(t) del corpo nota in ogni istante t dall'intervallo di tempo a≤t≤b, trovare il quantità di movimento del corpo durante questo periodo di tempo.

Se si conoscesse la legge del moto, cioè dipendenza delle coordinate del corpo dal tempo, allora la risposta sarebbe ovviamente espressa dalla differenza s(b) - s(a). Inoltre, se conoscessimo una qualsiasi primitiva s̃(0) della funzione v(t) sull'intervallo [a;b], allora, poiché s̃(t) = s(t) + C, dove C è una costante, potremmo trovare il valore di spostamento richiesto sotto forma di differenza s̃(b) - s(a), che coincide con la differenza s(b) - s(i). Questa è un'osservazione molto utile, ma se non è possibile determinare la primitiva di una data funzione v(t), allora dobbiamo agire in modo completamente diverso.

Ragioneremo come segue.

Se l'intervallo [a;b] è costituito da momenti separati t 0, t 1, ..., t n, tali che a = t 0< t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

per tutti i movimenti nell'intervallo.

Il valore approssimativo trovato è tanto più accurato quanto più fine è la divisione dell'intervallo che facciamo, ad es. minore è il valore ∆ del più grande degli intervalli in cui è suddiviso l'intervallo.

Ciò significa che la quantità di spostamento che stiamo cercando è il limite

lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i (5)

somme della forma (4), quando il valore ∆ tende a zero.

Le somme di una forma speciale (4) sono chiamate somme integrali per la funzione v(t) sull'intervallo , e il loro limite (5), ottenuto mediante una regolazione fine illimitata delle partizioni, è chiamato integrale (o integrale definito) di la funzione v(t) sull'intervallo . L'integrale è indicato dal simbolo

in cui i numeri a, b sono chiamati limiti di integrazione, dove a è il limite inferiore e b è il limite superiore di integrazione; la funzione v(t) sotto il segno di integrale ∫ è detta integrando; v(t)dt - integrando; variabile t di integrazione.

Quindi, per definizione,

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i . (6)

Ciò significa che la quantità desiderata di movimento del corpo in un intervallo di tempo ad una velocità nota v(t) di movimento è espressa dall'integrale (6) della funzione v(t) nell'intervallo.

Confrontando questo risultato con quello indicato in linguaggio antiderivativo all'inizio della considerazione di questo esempio, si arriva alla famosa relazione:

∫ a b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

se v(t) = s"(t). L'uguaglianza (7) è chiamata formula di Newton-Leibniz. A sinistra c'è un integrale inteso come limite (6), e a destra c'è la differenza di valori (alle estremità b e a dell'intervallo di integrazione) funzione s(t), l'antiderivativa della funzione integranda v(t). Pertanto, la formula di Newton-Leibniz collega l'integrale (6) e l'antiderivativa Questo La formula può quindi essere utilizzata in due direzioni opposte: per calcolare l'integrale trovando la primitiva, oppure per ottenere un incremento trovando l'integrale dalla relazione (6) Vedremo più avanti che entrambe queste direzioni per l'utilizzo della Le formule di Newton-Leibniz sono molto importanti.

L'integrale (6) e la formula (7) risolvono in linea di principio il problema posto nel nostro esempio. Quindi, se v(t) = gt (come avviene nel caso di caduta libera partendo da uno stato di quiete, cioè con v(0) = 0), allora, trovata la primitiva s(t) = gt 2 /2 + Dalla funzione v(t) = g t secondo la formula (7), si ottiene il valore

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

movimento durante il tempo trascorso dal momento a al momento b.

Sulla base del problema fisico appena analizzato, che ci ha portato all'integrale e alla formula di Newton-Leibniz, generalizzando le osservazioni fatte, possiamo ora dire che se su un certo intervallo a ≤ x ≤ b è data la funzione f(x), quindi, dividendo l'intervallo [a; b] punti a = x 0< x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

dove ξ i ∈, ∆x i = x i - x i-1, e passando al limite a ∆→0, dove ∆ = max (∆x 1, ∆x 2, ..., ∆x n), si ottiene per definizione l'integrale

∫ a b f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

dalla funzione f(x) nell'intervallo. Se in questo caso F"(x)=f(x) su , cioè F(x) è la primitiva della funzione f(x) sull'intervallo , allora vale la formula di Newton-Leibniz:

∫ a b F(x) dx = F(b) - F(a). (7")

Sono stati così definiti i concetti più importanti del calcolo integrale ed è stata ottenuta la formula di Newton-Leibniz che collega integrazione e differenziazione.

Come nel calcolo differenziale il concetto di derivata è stato portato non solo dal problema di determinare la velocità istantanea del movimento, ma anche dal problema di tracciare una tangente, così nel calcolo integrale il concetto di integrale è portato non solo da il problema fisico di determinare la distanza percorsa ad una data velocità di movimento, ma anche da molti altri problemi, tra cui antichi problemi geometrici relativi al calcolo di aree e volumi.

Sia necessario trovare l'area S mostrata in Fig. 1 della figura aABb (chiamato trapezio curvilineo), il cui “lato” superiore AB è il grafico della funzione y = f (x) specificata sul segmento. Punti a = x 0< х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i соответствующего прямоугольника с основанием и высотой f(ξ i). В таком случае приближенное значение площади S всей фигуры aABb даст знакомая нам интегральная сумма ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i , а точное значение искомой площади S получится как предел таких сумм, когда длина ∆ наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

∫ a b f(x) dx. (8)

Proviamo ora, seguendo Archimede, a scoprire in quale rapporto la parabola y = x 2 divide l'area mostrata in Fig. 2 unità quadrate. Per fare ciò calcoliamo semplicemente, in base alla formula (8), l'area S del triangolo parabolico inferiore. Nel nostro caso = e f(x) = x 2. Conosciamo la primitiva F(x) = x 3 /3 della funzione f(x) = x 2, ciò significa che possiamo usare la formula di Newton-Leibniz (7") e ottenere facilmente

S = ∫ 0 1 x 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

Pertanto la parabola divide l'area del quadrato in un rapporto di 2:1.

Quando si tratta di integrali, in particolare utilizzando la formula di Newton-Leibniz, è possibile utilizzare le proprietà generali dell'integrale indefinito, menzionate all'inizio dell'articolo. In particolare, la regola per trasformare una variabile nell’integrale indefinito, a condizione che a = φ(α), b = φ(β), tenendo conto della formula di Newton-Leibniz, permette di concludere che

∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

e si ottiene così una formula molto utile per trasformare una variabile in un integrale definito:

∫ a b f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

Anche i volumi dei corpi vengono calcolati utilizzando gli integrali. Se mostrato in Fig. 1 ruotare il trapezio curvilineo aABb attorno all'asse del Bue, si ottiene un corpo di rivoluzione, che può essere approssimativamente considerato composto da stretti cilindri (Fig. 3), ottenuto ruotando i corrispondenti rettangoli. Mantenendo la stessa notazione, scriviamo il volume di ciascuno di questi cilindri nella forma πf 2 ξ i ∆x i, (il prodotto dell'area πf 2 ξ i della base e dell'altezza ∆x i). La somma πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n dà un valore approssimativo del volume V del corpo di rivoluzione considerato. Si otterrà il valore esatto di V come limite di tali somme a ∆→0. Significa,

V = π∫ a b f 2 (x) dx. (10)

In particolare, per calcolare il volume mostrato in Fig. 4 coni, basta porre nella formula (10) a = 0, b = h e f(x) = kx, dove k è il coefficiente angolare della retta ruotata. Trovata la primitiva k 2 x 3 /3 della funzione f 2 (x) = k 2 x 2 e utilizzando la formula di Newton-Leibniz, otteniamo

V = π∫ 0 h k 2 x 2 dx = π(k 2 h 3 /3 - k 2 0 3 /3)

= π(kh) 2 h/3 = Sh/3,

dove S = π(kh) 2 è l'area del cerchio giacente alla base del cono.

Negli esempi analizzati, abbiamo esaurito la figura geometrica con tali figure, di cui potevamo calcolare le aree o i volumi, e poi abbiamo effettuato il passaggio al limite. Questa tecnica, proveniente da Eudosso e sviluppata da Archimede, è chiamata metodo dell'esaurimento. Questo è il metodo di ragionamento più comune nella maggior parte delle applicazioni dell'integrale.

Come altro esempio, consideriamo un problema di “spazio” molto specifico.

Vogliamo calcolare la velocità V alla quale il corpo (razzo) deve essere accelerato affinché poi, allontanandosi per inerzia dal pianeta lungo il raggio, non venga mai riportato indietro dalla gravità del pianeta. Questa velocità è chiamata la seconda velocità cosmica, in contrasto con la prima velocità cosmica, che deve avere un satellite che entra in orbita vicino alla superficie del pianeta.

Sia m la massa del corpo, M la massa del pianeta. L'energia cinetica mv 2/2, di cui dovrebbe essere dotato il corpo per sfuggire al campo gravitazionale del pianeta, dovrebbe essere sufficiente per compiere lavoro contro la forza di gravità. L'entità di questa forza ad una distanza r dal centro del pianeta, secondo la legge di gravitazione universale scoperta da Newton, è pari a

dove G è la costante gravitazionale. Pertanto, questa forza cambia e si indebolisce man mano che si allontana dal pianeta.

Calcoliamo il lavoro A R R 0 che occorre compiere affinché un corpo situato ad un'altezza R 0 (contando dal centro del pianeta) possa essere elevato ad un'altezza R.

Se la forza fosse costante, moltiplicheremmo semplicemente la sua grandezza per la lunghezza R - R 0 del percorso percorso lungo la direzione della sua azione e troveremmo il lavoro perfetto. Ma la forza cambia, quindi divideremo l'intero intervallo con i punti R 0 = r 0< 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

SOL mM/r i 2 (r i - r i-1) = SOL mM/r i 2 ∆r i

su ciascuno degli intervalli; mettere insieme il lavoro di base

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

otteniamo un valore approssimativo del lavoro desiderato A R R 0 sull'intervallo, ovvero il valore di A R R 0 è così espresso dal seguente integrale:

A R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 dr

in cui il ruolo della variabile di integrazione è giocato da r. Le quantità G, m, M sono costanti e la funzione r -2 ha una primitiva -r -1, sapendola che troviamo utilizzando la formula di Newton-Leibniz

A R R 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

Se R si aumenta indefinitamente, cioè, come si suol dire, si allontana il corpo all'infinito, allora, passando al limite per R → ∞, si ottiene

A ∞ R 0 = GmM/R 0 ,

dove ∞ è il simbolo letto "infinito". Se nell'ultima formula assumiamo che R 0 sia il raggio del pianeta, allora A ∞ R 0 sarà il lavoro che dovrà essere compiuto contro le forze di gravità affinché il corpo dalla superficie del pianeta vada all'infinito.

L’espressione ottenuta per A ∞ R 0 può essere semplificata se ricordiamo un’altra legge di Newton F = ma, che mette in relazione la forza F e l’accelerazione a di un corpo di massa m da essa provocata. Un corpo che cade liberamente su un pianeta vicino alla sua superficie ha un'accelerazione a = g causata dalla forza di gravità

dove R 0 è il raggio del pianeta. Significa,

GmM/R 0 2 = mg, il che significa che

GmM/R 0 2 = g e, quindi, A ∞ R 0 = mGR 0 .

Questa è la formula per calcolare il lavoro necessario per sfuggire al campo gravitazionale del pianeta. Per “uscire” dal pianeta per inerzia, è necessaria una velocità verticale v, alla quale l'energia cinetica mv 2 /2 del corpo non è inferiore o almeno uguale al lavoro impiegato per superare la gravità del pianeta.

Pertanto, la seconda velocità di fuga, ottenuta dall'uguaglianza mv 2 /2 = mgR 0, è espressa come

In particolare, per la Terra g ≈ 10 m/s 2 , R 0 ≈ 6.400.000 m, quindi v ≈ 8000 √2 m/s, oppure v ≈ 11,2 km/s.

In tutti gli esempi fin qui esaminati abbiamo utilizzato l'antiderivativa per utilizzare la formula di Newton Leibniz (7”) per calcolare l'integrale che ci interessava. Ma la stessa formula di Newton-Leibniz suggerisce di utilizzare l'integrale stesso per trovare l'antiderivativa, o almeno per trovarla chiarire la questione fondamentale della sua esistenza Abbiamo già toccato questo argomento nella sezione dedicata all'antiderivativa e all'integrale indefinito. Ora lo esamineremo un po' più attentamente.

Sia data una funzione f sul segmento, il cui grafico è mostrato dalla linea AB in Fig. 5. Sappiamo che l'area dell'intero trapezio curvilineo aABb è espressa dall'integrale (8). Indichiamo con ℱ(x) l'area di quella parte di esso che si trova sopra il segmento [a;x].

ℱ(x)=∫ a x f(x)dt. (undici)

Qui abbiamo indicato la variabile di integrazione con t per non confonderla con x, che nel nostro caso è il limite superiore dell'integrazione.

Il valore ℱ(x) dipende ovviamente dal punto x∈.

Mostriamo che ℱ(x) è l'antiderivativa della funzione f(x) sul segmento , cioè ℱ"(x)=f(x) per x∈. Infatti, come si vede dalla Fig. 5,

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x) h,

che equivale all’uguaglianza approssimativa

(ℱ(x+h) - ℱ(x))/h ≈ f(x)

Pertanto, al diminuire del valore di h, l'accuratezza di questa relazione non fa altro che migliorare

lim h→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

e quindi,

Pertanto, l'integrale (11) con limite superiore variabile x ci dà l'antiderivativa della funzione f(x). Tra tutte le altre antiderivative della funzione f(x) sul segmento, questa antiderivativa si distingue per l'ovvia condizione ℱ(a) = 0. Poiché l'integrale, secondo la sua definizione (6"), può essere calcolato con qualsiasi precisione predeterminata , allora il valore di ℱ(x) delle funzioni antiderivative (11) f(x) in ogni punto x∈ può essere trovato con la precisione desiderata, senza nemmeno interessarsi alla notazione analitica di ℱ(x) o alla questione di se ℱ(x) è una funzione elementare.

Esistono metodi numerici di integrazione semplici e molto efficaci: queste sono le cosiddette formule di quadratura. Permettono ai computer elettronici di ottenere i valori di determinati integrali in una frazione di secondo. Questa circostanza rende la formula (11) un mezzo per trovare un antiderivativo. Ad esempio, i moderni sottomarini a volte trascorrono mesi a grandi profondità e percorrono grandi distanze; Non avendo alcun legame con il mondo esterno, entrano tuttavia in una piazza ben definita. L'attrezzatura di navigazione, che consente di determinare in qualsiasi momento le coordinate di una barca, è un'implementazione tecnica della formula (11) e si basa su questo principio fisico. Trovandoci in una sala mobile chiusa (una carrozza morbida ben insonorizzata, un aereo, ecc.), non sentiamo la velocità del movimento, ma sentiamo sicuramente un cambiamento nella velocità-accelerazione. È positivo quando la velocità aumenta, quando la massa ti schiaccia sul sedile dell'aereo, e negativo quando si frena, quando anche le cinture di sicurezza possono tornare utili. Poiché esiste un rapporto direttamente proporzionale tra l'accelerazione a della massa m e la forza F che la provoca F = ma, il valore dell'radicamento a può essere oggettivamente misurato assicurando la massa m all'estremità libera di una molla posta lungo la direzione del movimento e collegando rigidamente la sua seconda estremità, ad esempio, alla parete posteriore di una stanza in movimento. Se l'allungamento e la compressione di una molla sono proporzionali alla forza che agisce su di essa, allora dall'entità della deviazione della massa m dalla posizione di equilibrio si può determinare l'entità a(t) dell'accelerazione che avviene in una data direzione a qualsiasi momento t.

Se il movimento è iniziato con velocità iniziale pari a zero, allora, conoscendo a(t), possiamo prima trovare la velocità v(t) del movimento utilizzando la formula (11) e conoscendo v(t), trovare lo spostamento s(t) in questa direzione in questo momento e perché

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

L'elaborazione delle letture dello strumento e il calcolo di questi integrali vengono eseguiti da un computer elettronico. Se ci sono tre sensori di accelerazione tenuti (ad esempio da giroscopi) in tre direzioni reciprocamente perpendicolari, allora puoi in qualsiasi momento conoscere il tuo movimento in ciascuna di queste direzioni e quindi determinare tutte e tre le tue coordinate in qualche sistema di coordinate, l'origine di che è il punto di partenza: base, aeroporto, cosmodromo.

Il concetto di integrale è direttamente correlato al calcolo integrale, branca della matematica che si occupa dello studio degli integrali, delle loro proprietà e dei metodi di calcolo. Insieme al calcolo differenziale, il calcolo integrale costituisce la base dell'analisi matematica.

Le origini del calcolo integrale risalgono all'antico periodo di sviluppo della matematica e traggono origine dal metodo di esaustione sviluppato dai matematici dell'antica Grecia.

Il metodo di esaurimento è un insieme di regole per il calcolo di aree e volumi, il cui sviluppo è attribuito a Eudosso di Cnido. Il metodo fu ulteriormente sviluppato nelle opere di Euclide e Archimede era famoso per l'arte speciale e la varietà di applicazioni del metodo di esaustione.

Un tipico schema di prova esaustiva assomigliava a questo. Per determinare il valore di A, è stata costruita una certa sequenza di valori C1, C2, ..., Cn, ... in modo tale che

Si presumeva anche che B fosse conosciuto in questo modo

e che per ogni intero K si può trovare un n sufficientemente grande che soddisfi la condizione:

Dove D è costante. Dopo macchinosi ragionamenti, dall'ultima espressione è stato possibile ricavare:

Come si vede dallo schema sopra riportato, il metodo si basava sull'approssimazione degli oggetti in esame mediante figure a gradini o corpi composti da figure semplici o corpi spaziali (rettangoli, parallelepipedi, cilindri, ecc., indicati con la sequenza C1, C2 , ..., Cn, ...). In questo senso il metodo esaustivo può essere considerato un antico metodo integrale.

La crisi e il declino del mondo antico portarono all'oblio di molte conquiste scientifiche. Il metodo di esaurimento fu ricordato solo nel XVII secolo. Questo è stato associato ai nomi di Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonard Euler e una serie di altri eccezionali scienziati che hanno gettato le basi per la moderna analisi matematica.

Alla fine del XVII e XVIII secolo, le richieste sempre crescenti della pratica e di altre scienze incoraggiarono gli scienziati ad espandere il più possibile il campo e i metodi di ricerca in matematica. I concetti di infinito, movimento e dipendenza funzionale emergono e diventano la base di nuovi metodi matematici.

Alla fine del XVII e XVIII secolo si ottennero risultati classici di fondamentale importanza in matematica e meccanica. La cosa principale qui era lo sviluppo del calcolo differenziale e integrale, la teoria delle equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni e la meccanica analitica.

I concetti di base e la teoria del calcolo integrale e differenziale, in primo luogo la connessione tra le operazioni di differenziazione e integrazione, nonché la loro applicazione alla risoluzione di problemi pratici, furono sviluppati alla fine del XVII secolo, ma erano basati su idee formulate in epoca all'inizio del XVII secolo dal grande matematico e astronomo Giovanni Keplero.

Nel novembre 1613, il matematico reale e astrologo della corte austriaca I. Keplero celebrò il suo matrimonio. Per prepararsi acquistò diverse botti di vino d'uva. Al momento dell'acquisto, Keplero è rimasto stupito dal fatto che il venditore abbia determinato la capacità della canna eseguendo un'unica azione: misurare la distanza dal foro di riempimento al punto del fondo più lontano da esso. Dopotutto, tale misurazione non teneva affatto conto della forma della canna! Keplero capì immediatamente che si trovava di fronte a un problema matematico molto interessante: calcolare la capacità di un barile utilizzando diverse dimensioni. Riflettendo su questo problema, trovò formule non solo per il volume delle botti, ma anche per il volume di un'ampia varietà di corpi: limone, mela, mela cotogna e persino un turbante turco. Per ciascuno dei corpi, Keplero dovette creare metodi nuovi, spesso molto ingegnosi, il che era estremamente scomodo. Un tentativo di trovare metodi abbastanza generali e, soprattutto, semplici per risolvere tali problemi ha portato all'emergere del moderno calcolo integrale. Ma questo è stato merito di un matematico completamente diverso.

È difficile trovare un altro nome che abbia avuto un'influenza così forte sulla storia della scienza e della cultura mondiale come Isaac Newton. Il famoso matematico e storico della scienza B. L. Van der Waerden scrive nel suo libro “Awakening Science”: “Ogni scienziato naturale sarà certamente d’accordo sul fatto che la meccanica newtoniana è la base della fisica moderna. Ogni astronomo sa che l'astronomia moderna inizia con Keplero e Newton. E ogni matematico sa che il dipartimento più significativo e più importante della matematica moderna per la fisica è l’analisi, che si basa sul calcolo differenziale e integrale di Newton. Di conseguenza, le opere di Newton costituiscono la base di gran parte delle scienze esatte del nostro tempo”. E non solo le scienze: «La matematica e la tecnologia influenzano anche la nostra vita spirituale, e tantissimo. che raramente possiamo immaginarlo completamente. Alla straordinaria ascesa che le scienze naturali conobbero nel XVII secolo seguirono inevitabilmente il razionalismo del XVIII secolo, la divinizzazione della ragione, il declino della religione... Chi è a conoscenza del fatto, si chiede l'autore, che da un punto di vista storico dal punto di vista Newton è la figura più significativa del XVII secolo?

Isaac Newton nacque nel 1643. Il ragazzo frequentò prima una scuola rurale e all'età di dodici anni fu mandato a studiare nella città più vicina. Il preside della scuola notò il ragazzo di talento e convinse la madre di Newton a mandare suo figlio a studiare all'Università di Cambridge. Newton fu accettato lì come uno studente povero, obbligato a servire scapoli, maestri e studenti senior.

La cattedra di matematica a Cambridge fu allora occupata dal giovane e brillante scienziato Isaac Barrow. Ben presto divenne non solo insegnante, ma anche amico di Newton, e pochi anni dopo cedette la cattedra di matematica al suo grande allievo. A questo punto, Newton aveva già conseguito la laurea e il master. Nel 1665-1667 Newton iniziò a lavorare alla creazione di un apparato matematico con il quale le leggi della fisica potessero essere esplorate ed espresse. Newton fu il primo a costruire il calcolo differenziale e integrale (lo chiamò metodo delle flussioni). Ciò ha immediatamente permesso di risolvere un'ampia varietà di problemi matematici e fisici. Prima di Newton, molte funzioni erano definite solo geometricamente, quindi era impossibile applicare ad esse l’algebra e il nuovo calcolo delle flussioni. Newton trovò un nuovo metodo generale per la rappresentazione analitica di una funzione: lo introdusse nella matematica e iniziò ad applicare sistematicamente le serie infinite.

Spieghiamo questa idea di Newton. È noto che qualsiasi numero reale può essere rappresentato come una frazione decimale: finita o infinita. COSÌ. Per esempio:

Ciò significa che qualsiasi numero a può essere rappresentato come:

dove N è la parte intera, e a1, a2, ... an, ... può assumere uno dei valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Per analogia con questa rappresentazione dei numeri Newton suggerì che qualsiasi funzione di x, ad esempio, può essere rappresentata come un polinomio o una serie infinita, disposta non in potenze di , ma in potenze di x:

dove a1, a2, ... an, ... sono coefficienti che devono essere determinati di volta in volta. Un esempio di tale serie è la progressione geometrica che conosciamo:

Rappresentare una funzione utilizzando una serie è molto conveniente. Con l’aiuto delle serie, come scrisse Newton, “è possibile superare difficoltà che altrimenti sembrerebbero quasi insormontabili”.

Nello stesso periodo di Newton, un altro eccezionale scienziato, Gottfried Wilhelm Leibniz, arrivò ad idee simili.

Gottfried Wilhelm Leibniz nacque in Germania a Lipsia nel 1646. Il ragazzo curioso intratteneva già da 6 anni interessanti conversazioni sulla storia con suo padre, professore all'Università di Lipsia. All'età di 12 anni aveva studiato bene il latino e si interessò al greco antico. Era particolarmente interessato ai filosofi antichi e poteva pensare a lungo alle teorie filosofiche di Aristotele o Democrito. All'età di 15 anni, Leibniz entrò all'Università di Lipsia, dove studiò diligentemente legge e filosofia. Legge molto, tra i suoi libri preferiti ci sono i libri di R. Cartesio, G. Galileo, II. Keplero e D. Campanella.

Leibniz ha acquisito la sua colossale conoscenza della matematica da autodidatta. Tre anni dopo, dopo essersi laureato all'università, Leibniz lasciò Lipsia. Si è offeso per il rifiuto del consiglio accademico universitario di conferirgli il titolo di dottore in giurisprudenza. Il rifiuto è stato spiegato come segue. che Leibniz era... troppo giovane!

Iniziò una vita piena di duro lavoro e numerosi viaggi. È facile immaginare quanto fosse scomodo a quel tempo viaggiare in carrozze goffe sulle strade sconnesse dell'Europa. Leibniz sapeva come non perdere tempo: durante questi lunghi viaggi gli vennero in mente molti pensieri di successo. Leibniz si distingueva per la sua eccezionale capacità di “entrare” rapidamente in un problema e risolverlo nel modo più generale. Riflettendo su questioni filosofiche e matematiche, Leibniz si convinse che la matematica poteva essere il mezzo più affidabile per cercare e trovare la verità nella scienza. Durante tutta la sua vita adulta, ha cercato di esprimere le leggi del pensiero, la capacità umana di pensare e la forma del calcolo matematico. Per questo è necessario, insegnava Leibniz, essere in grado di designare qualsiasi concetto o idea con determinati simboli, combinandoli in formule speciali, e ridurre le regole del pensiero alle regole dei calcoli ma a queste formule simboliche. Sostituendo le parole comuni con simboli chiaramente definiti, Leibniz ha cercato di liberare il nostro ragionamento da ogni incertezza e dalla possibilità di commettere errori o di fuorviare gli altri. Se, Leibniz sognava. Se sorgono disaccordi tra le persone, non verranno risolti in controversie lunghe e noiose. e il modo in cui vengono risolti i problemi o dimostrati i teoremi. I contendenti prenderanno le penne e, dicendo: “Cominciamo a calcolare”, cominceranno a calcolare.

Come già notato, Leibniz, contemporaneamente a Newton e indipendentemente da lui, scoprì i principi fondamentali del calcolo differenziale e integrale. La teoria si rafforzò dopo che Leibniz e Newton dimostrarono che differenziazione e integrazione sono operazioni reciprocamente inverse. Anche Newton conosceva questa proprietà. Ma solo Leibniz ha visto qui la meravigliosa opportunità offerta dall'uso del metodo simbolico.

Qualsiasi persona, dopo aver studiato un piccolo numero di regole per operare con simboli che denotano operazioni di differenziazione e integrazione, diventa proprietaria di un potente metodo matematico. Al giorno d'oggi, tali simboli di operazione sono chiamati operatori. Gli operatori di differenziazione d() e di integrazione agiscono sulle funzioni, “trasformandole” in altre funzioni computabili con precisione. Leibniz sviluppa una speciale algebra delle azioni con questi operatori. Dimostra che il numero ordinario a può essere tolto dal segno dell'operatore:

Gli operatori identici possono essere tolti dalle parentesi:

Tutte le proprietà elencate possono essere brevemente espresse dalla relazione:

dove: a e b sono numeri.

Operatori. che hanno questa proprietà. sono detti lineari. La teoria degli operatori lineari, che Leibniz iniziò a sviluppare con tanto successo. nella matematica moderna è una teoria ben sviluppata che è utile nelle applicazioni.

L'uso ripetuto di operatori può essere considerato come il grado dell'operatore, ad esempio per d():

Leibniz ha sottolineato il fatto che gli operatori fondamentali dell'analisi matematica sono reciprocamente inversi con il suo simbolismo, sostenendo che in d(x) e sono anche reciprocamente inversi, come le potenze e le radici nel calcolo ordinario. Utilizzando la stessa notazione simile alla notazione a-1 dell'inverso di a, e il prodotto a×a-1=1. Indicando operatori o viceversa:

e intendendo per prodotto la loro applicazione sequenziale, abbiamo:

cioè il prodotto è una “unità” che non cambia la funzione.

Tuttavia c’era una grave contraddizione nell’approccio Newton-Leibniz.

Leibniz e i suoi seguaci - i fratelli Bernoulli, L'Hopital e altri - interpretavano i differenziali come differenze infinitesimali di quantità finite ordinarie, come dicevano allora - quantità “reali” della matematica “inferiore”. Pertanto trattarono entrambi allo stesso modo e applicarono nel calcolo ai primi gli stessi metodi che erano validi quando si trattava dei secondi. Allo stesso tempo, si è scoperto che gli infinitesimi trattati in questo modo hanno una proprietà che contraddice una proprietà fondamentale delle quantità finite di base: se A è una quantità finita e a è un infinitesimo, allora affinché il risultato del calcolo per essere del tutto accurato, si è rivelato necessario effettuare calcoli partendo dal presupposto che A+a=A.

Il calcolo differenziale, la cui importanza per lo sviluppo della scienza e della tecnologia era fuori dubbio, si trovò in una posizione paradossale: per ottenere un risultato accurato utilizzando i suoi metodi, era necessario partire da un'affermazione errata.

Newton cercò di basare il calcolo differenziale sulle leggi della meccanica e sul concetto di limite. Ma non riuscì a liberare il suo calcolo delle flussioni dai limiti inerenti al calcolo differenziale di Leibniz. Nella pratica del calcolo, Newton, come Leibniz, applicò il principio di scartare gli infinitesimi.

Questa incoerenza ha reso possibile chiamare mistico il calcolo differenziale Leibniz-Newton. Ciò sottolineava innanzitutto che Leibniz e Newton introdussero metafisicamente le quantità infinitesime nel calcolo differenziale, assumendone immediatamente l'esistenza, senza chiarirne l'origine e lo sviluppo e senza analizzare la natura delle loro proprietà specifiche.

I tentativi di costruire l’analisi degli infinitesimi e la teoria delle serie in pieno accordo con i concetti fondamentali e le verità della matematica “inferiore” non hanno portato fin dall’inizio a risultati positivi. Pertanto, Leibniz e i suoi seguaci cercarono di giustificare i principi dell'analisi infinitesimale paragonando l'infinitesimale a un granello di sabbia, che può essere trascurato quando si calcola l'altezza di una montagna, facendo riferimento alla probabilità, ecc.

Un altro tentativo fu fatto alla fine del XVIII secolo. Il famoso matematico tedesco Wessel propose di lasciare l’analisi degli infinitesimi nell’analisi come “utili funzioni ausiliarie”. Tuttavia, questa interpretazione non era ampiamente utilizzata: i matematici conoscevano l'interpretazione meccanica e geometrica di dx e dy.

A partire dall'ultimo quarto del XVIII secolo, la portata delle applicazioni dell'analisi matematica cominciò a superare significativamente i confini della sua consueta applicazione in meccanica e geometria. Questo processo si sviluppò ancora più rapidamente nel primo quarto del XIX secolo.

I matematici tentarono innanzitutto di risolvere nuovi problemi utilizzando metodi sviluppati dai classici del XVIII secolo: Eulero, d'Alembert, Lagrange e altri. Tuttavia, divenne presto chiaro che i metodi classici erano insufficienti e che era necessario svilupparne di nuovi, più generali e potenti. Si è scoperto anche che l'insufficienza dei metodi classici è spesso associata all'interpretazione ristretta dei concetti di base, al concetto “bandito” dell'infinitesimale, alle “eccezioni” che prima rimanevano nell'ombra.

Spieghiamolo con un esempio.

Newton e Leibniz svilupparono due interpretazioni del concetto di integrale definito ordinario.

Newton interpretò l'integrale definito come la differenza tra i valori corrispondenti della funzione antiderivativa:

,

dove F`(x)=f(x).

Per Leibniz l’integrale definito è la somma di tutti i differenziali infinitesimi.

.

La prima interpretazione corrispondeva alla tecnica di calcolo degli integrali definiti utilizzando la funzione integranda antiderivativa, la seconda perché nelle applicazioni l'integrale definito appariva come il limite di un certo tipo di somma (somma integrale).

Fino all’incirca all’ultimo quarto del XVIII secolo, la prima interpretazione del concetto di integrale definito occupò una posizione dominante. Ciò è stato facilitato da due circostanze.

All'inizio del XVIII secolo furono stabilite regole per la differenziazione di tutte le funzioni elementari e iniziò lo sviluppo con successo di metodi per trovare i loro primitivi (classi razionali e separate di funzioni irrazionali e trascendentali). Grazie a ciò, il punto di vista di Newton era pienamente coerente con lo sviluppo di algoritmi efficaci per il calcolo integrale.

Il calcolo diretto del limite della somma integrale ha incontrato molte difficoltà. Naturalmente questa circostanza non contribuì a rafforzare il punto di vista di Leibniz.

L'interpretazione dell'integrale definito ordinario secondo Leibniz si basava sul concetto di infinitesimi, dal quale i matematici del XVIII secolo vollero liberare l'analisi matematica. Ciò servì anche a rafforzare il punto di vista di Newton. Questo fatto è stato ben confermato dal modo in cui Leonard Eulero ha utilizzato il concetto di somma integrale. Eulero non si oppose al calcolo approssimativo degli integrali definiti utilizzando le corrispondenti somme integrali. Ma non poteva considerare l'integrale definito come limite della somma integrale. In questo caso tutti i termini della somma integrale diventavano infinitesimi, cioè dal punto di vista di Eulero erano zeri.

Riferimento storico. Nel 1963 Paul Euler, 23 anni, completò gli studi di teologia all'Università di Basilea. Ma in quegli anni i teologi dotti erano più del necessario, e solo nel 1701 ricevette l'incarico ufficiale di sacerdote di un orfanotrofio a Basilea. Il 19 aprile 1706 il pastore Paul Euler sposò la figlia del prete. E il 15 aprile 1707 nacque il loro figlio, di nome Leonard.

Il futuro scienziato seguì la sua formazione iniziale a casa sotto la guida di suo padre, che un tempo aveva studiato matematica con Jacob Bernoulli. Il buon pastore preparò il figlio maggiore alla carriera spirituale, ma gli insegnò anche la matematica, sia come divertimento che per sviluppare il pensiero logico. Il ragazzo si interessò alla matematica e cominciò a fare domande a suo padre, una più difficile dell'altra.

Quando Leonardo mostrò interesse per lo studio, fu mandato al Ginnasio latino di Basilea, sotto la supervisione di sua nonna.

Il 20 ottobre 1720 Leonhard Euler, 13 anni, divenne studente presso la Facoltà di Lettere dell'Università di Basilea: suo padre voleva che diventasse prete. Ma il suo amore per la matematica, la memoria brillante e le eccellenti prestazioni di suo figlio cambiarono queste intenzioni e mandarono Leonard lungo una strada diversa.

Essendo diventato uno studente, ha imparato facilmente le materie accademiche, preferendo la matematica. E non c'è da meravigliarsi che il bravo ragazzo abbia presto attirato l'attenzione di Bernoulli. Invitò il giovane a leggere memorie matematiche e a venire a casa sua il sabato per risolvere insieme l'incomprensibile. A casa del suo insegnante, Eulero incontrò e divenne amico dei figli di Bernoulli, Nikolai e Daniel, anch'essi entusiasti della matematica. E l'8 giugno 1724 Il diciassettenne Leonhard Euler ha tenuto un eccellente discorso in latino su un confronto tra le visioni filosofiche di Cartesio e Newton - e ha conseguito un master (nel 19 ° secolo, nella maggior parte delle università dell'Europa occidentale, il master è stato sostituito da il titolo di Dottore in Filosofia).

Eulero si distingueva per la sua fenomenale efficienza. Semplicemente non poteva fare a meno di studiare la matematica e le sue applicazioni. Nel 1735 l'Accademia ricevette l'incarico di eseguire un calcolo astronomico urgente e molto macchinoso. Un gruppo di accademici ha chiesto tre mesi per completare questo lavoro, ma Eulero si è impegnato a completare il lavoro in 3 giorni e lo ha fatto da solo. Tuttavia, lo sforzo eccessivo non è passato senza lasciare traccia: si è ammalato e ha perso la vista dall'occhio destro. Tuttavia, lo scienziato ha reagito alla disgrazia con la massima calma: "Ora sarò meno distratto dalla matematica", ha osservato filosoficamente.

Fino a quel momento Eulero era conosciuto solo da una ristretta cerchia di scienziati. Ma l'opera in due volumi "La meccanica, o la scienza del movimento, in una presentazione analitica", pubblicata nel 1736, gli portò fama mondiale. Eulero applicò brillantemente i metodi dell'analisi matematica alla soluzione dei problemi del movimento nel vuoto e in un mezzo resistente. "Chi ha sufficienti capacità di analisi potrà vedere tutto con straordinaria facilità e leggere l'intera opera senza alcun aiuto", conclude Eulero nella prefazione al libro.

Lo spirito dei tempi richiedeva un percorso analitico per lo sviluppo delle scienze esatte, l'uso del calcolo differenziale e integrale per descrivere i fenomeni fisici. Leonhard Euler iniziò ad aprire questa strada.

Naturalmente, anche fino all'ultimo quarto del XVIII secolo, il concetto di Newton incontrò difficoltà. Durante questo periodo si sono incontrate funzioni elementari, i cui prototipi non possono essere espressi attraverso funzioni elementari. I matematici conoscevano anche alcuni integrali impropri, compresi quelli divergenti. Ma tali fatti erano isolati e non potevano violare il concetto effettivo stabilito di integrale. Diversa la situazione si rivelò nell'ultimo quarto del XVIII secolo e soprattutto all'inizio del XIX secolo.

Dagli anni '70 del XVIII secolo, la risoluzione di problemi di meccanica analitica, fisica e altre discipline richiedeva uno sviluppo significativo del concetto di integrale definito. Di particolare importanza sono gli integrali doppi e tripli (Eulero, Lagrange, Laplace, ecc.).

Era un periodo in cui le grandi idee di Newton e Leibniz erano state pubblicate relativamente di recente e la moderna analisi matematica era appena stata creata. I potenti metodi che queste idee portarono con sé trovarono applicazione in tutti i rami della conoscenza esatta. Questa applicazione andò di pari passo con lo sviluppo dell'analisi stessa, spesso indicando i percorsi e le direzioni lungo le quali avrebbe dovuto svilupparsi il nuovo calcolo. Quella fu, forse, l'unica epoca di creatività matematica nella sua intensità, ed Eulero fu uno dei pochi creatori nella sua produttività. La sua "Introduzione all'analisi degli infinitesimi", "Fondamenti del calcolo differenziale" e "Fondamenti del calcolo integrale" furono i primi trattati in cui il materiale già ampio ma disperso della nuova analisi fu combinato in una scienza coerente. Hanno sviluppato lo scheletro dell'analisi moderna, che è sopravvissuto fino ai giorni nostri.

Lo sviluppo di metodi per il calcolo degli integrali doppi e tripli ha dimostrato che è molto difficile o addirittura impossibile calcolare questi integrali nello stesso modo in cui veniva calcolato un integrale definito ordinario, utilizzando un integrale indefinito. Pertanto, i matematici furono costretti a preservare il concetto di Newton solo a parole, ma in realtà, quando risolsero i problemi delle scienze esatte, seguirono la strada di Leibniz. Hanno calcolato le somme integrali corrispondenti (in coordinate rettangolari, cilindriche e sferiche) e ne hanno trovato i limiti.

In breve, lo sviluppo di metodi per il calcolo di nuovi tipi di integrali definiti ha mostrato che gli integrali definiti ordinari, doppi, ecc. devono essere giustificati in se stessi, indipendentemente dal concetto di integrale indefinito. Ma ogni termine di qualsiasi somma integrale è una quantità infinitesima. Si poneva quindi non solo la questione della legalizzazione del concetto precedentemente “bandito” di infinitesimo, ma anche della divulgazione del suo reale contenuto e del suo uso appropriato. Come già accennato, per fare tutto ciò è stato necessario superare – generalizzare, sviluppare l'interpretazione tradizionale (euleriana) della funzione e del concetto di limite.

A questo proposito si poneva la questione dell'esistenza di limiti alle somme intere i cui termini sarebbero infinitesimi. Nel primo quarto dell'Ottocento il concetto di infinitesimo si rivelò necessario anche per lo studio e il confronto delle proprietà delle funzioni continue e discontinue. L'ottenimento di risultati fondamentali è qui associato al nome di Cauchy. “Tra molti concetti”, ha sottolineato Cauchy, “strettamente legati alle proprietà degli infinitesimi, si dovrebbe collocare il concetto di continuità e discontinuità delle funzioni”. Cauchy dà subito un'interpretazione della continuità della funzione, che conferma più che chiaramente la chiarezza di questa sua affermazione.

La nuova formulazione dei problemi di convalida dell'analisi matematica ha mostrato chiaramente che la questione non è solo nel riconoscimento e nell'applicazione degli infinitesimi: questo è già stato fatto prima! - ma soprattutto nell'interpretazione scientifica del loro contenuto e nel loro utilizzo negli algoritmi di analisi matematica basati su questo. Per fare ciò, però, è stato necessario superare l’interpretazione restrittiva del concetto di limite prevalente nel XVIII secolo, ed elaborare una teoria generale dei limiti.

Lo studio delle funzioni discontinue e il loro confronto con le funzioni continue ci ha costretto ad ammettere ciò che prima si riteneva impossibile: che il limite a cui tende la successione dei valori della funzione, quando l'argomento tende in un certo punto, può rivelarsi diverso da il valore della funzione a questo punto. Ciò significa che il limite non è sempre l'“ultimo” valore della variabile, ma in tutti i casi il limite è il numero al quale la variabile si avvicina senza limite. Di conseguenza, dx e dy non sono necessariamente zeri o “misticamente” effettivamente infinitesimi; infinitesimale è una variabile il cui limite è zero, e questo fatto non è associato a contraddizioni e paradossi.

Cauchy ha superato anche la seconda tendenza restrittiva nell'interpretazione del concetto di limite accettata prima di lui. Riconobbe che una variabile può avvicinarsi al suo limite non solo in modo monotono, ma anche oscillare, assumendo talvolta valori pari al suo limite. Questa circostanza diede alla teoria di Cauchy la necessaria generalità e un'eccezionale flessibilità. Stiamo ancora seguendo la strada tracciata da Augustin Louis Cauchy, con i miglioramenti apportati nella seconda metà del XIX secolo da C. Weierstrass.

I lavori di Cauchy e Weierstrass completarono la creazione dell'analisi matematica classica, riassumendo così lo sviluppo secolare del calcolo integrale.

Bibliografia

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