La teoria dei numeri algebrici e trascendentali ha permesso ai matematici di risolvere tre famosi problemi geometrici rimasti irrisolti fin dall'antichità. Intendiamo il problema del "raddoppio del cubo", il problema della "trisezione dell'angolo" e il problema della "quadratura del cerchio". Questi compiti si riferiscono a costruzioni che utilizzano un compasso e un righello e sono i seguenti:

1) "Radoppio del cubo". È necessario costruire un cubo che abbia il doppio del volume del cubo dato. Sebbene il cubo sia una figura spaziale, il problema è essenzialmente planimetrico. Infatti, se prendiamo il bordo di un dato cubo come unità di lunghezza (Fig. 16), allora il problema sarà costruire un segmento di lunghezza 1/2, poiché questa sarà la lunghezza del bordo di un cubo che ha il doppio del volume rispetto a quello dato.

2) "Trisezione angolare". Trova un modo in cui, usando solo un compasso e un righello, qualsiasi angolo possa essere diviso in tre parti uguali. Ci sono alcuni angoli, come 90° o 45°, che possono essere divisi in tre parti uguali usando un compasso e una riga, ma il cosiddetto angolo “generale” non può essere diviso in tre parti uguali usando questi strumenti.

3) "Quadrazione del cerchio". Costruisci un quadrato di area uguale a un dato cerchio, o, equivalentemente, costruisci un cerchio di area uguale a un dato quadrato.

È noto che queste tre costruzioni non sono fattibili, cioè non possono essere eseguite solo con l'aiuto di un compasso e di una riga. Molti dilettanti continuano a risolvere questi problemi senza sapere che i loro sforzi sono sprecati.

Sebbene tali dilettanti siano consapevoli che nessun matematico è stato ancora in grado di eseguire queste costruzioni, sembrano ignorare l'impossibilità rigorosamente provata di tali costruzioni. Di tanto in tanto, i matematici dilettanti trovano una soluzione approssimativa a uno di questi problemi, ma ovviamente non trovano mai le loro soluzioni esatte. È chiaro qual è la differenza qui: il problema del raddoppio di un cubo, ad esempio, consiste nel costruire, con l'ausilio di strumenti di disegno teoricamente perfetti, un segmento che abbia una lunghezza non approssimativa ma esattamente uguale a questo numero. Il problema non si risolve costruendo, ad esempio, un segmento di lunghezza, nonostante i numeri corrispondano fino a sei cifre decimali.

Nel caso del problema della trisezione angolare, c'è una fonte speciale di incomprensione.

Qualsiasi angolo può essere diviso in tre parti uguali usando un righello con divisioni, quindi l'affermazione sull'impossibilità di dividere un angolo comune in tre parti uguali può essere fatta solo quando si presume che il compasso e un righello senza divisioni siano validi strumenti di costruzione .

Poiché c'è molta confusione su questi tre problemi classici, spiegheremo ora brevemente come si può provare l'impossibilità di tutte e tre le costruzioni. Non possiamo fornire prove complete qui, poiché i dettagli sono piuttosto speciali. Se il lettore vuole conoscerli in dettaglio, può fare riferimento al libro di R. Courant e G. Robbins, in cui c'è un'analisi completa dei problemi della trisezione di un angolo e del raddoppio di un cubo (pp. 197 -205). La dimostrazione dell'impossibilità di quadrare il cerchio è molto più difficile della prova dell'impossibilità delle altre due costruzioni.

Come possiamo provare l'impossibilità delle costruzioni che ci interessano? Prima di tutto, devi capire in una certa misura quali segmenti di lunghezza possono essere costruiti usando un compasso e una riga, se viene fornito un segmento di lunghezza unitaria. Senza fornire prove, affermiamo (e tutti coloro che hanno familiarità con le costruzioni geometriche saranno d'accordo con noi) che tra le lunghezze che possono essere costruite ci sono tutte le lunghezze ottenute da estrazioni successive di radici quadrate applicate, ad esempio, ai numeri razionali.

Tutti i numeri così ottenuti sono algebrici.

I quattro numeri (10) scritti a titolo di esempio sono rispettivamente le radici delle seguenti equazioni:

(11)

Prendi una delle equazioni, diciamo (13), e controlla che il numero

è davvero la sua radice. Al quadrato di entrambi i lati dell'ultima uguaglianza, otteniamo

Spostando il termine 5 a sinistra e di nuovo al quadrato, troviamo

Ora un'altra quadratura di entrambi i lati porta all'equazione (13).

Inoltre, oltre al fatto che i numeri (10) sono, rispettivamente, le radici delle equazioni (11) - (14), nessuno di questi numeri è la radice di un'equazione con coefficienti interi di grado minore. Prendi, ad esempio, un numero. Soddisfa l'equazione (12) di grado 4, ma non soddisfa alcuna equazione di grado 3, 2 o 1 a coefficienti interi. (Non dimostriamo questa affermazione.) Se un numero algebrico è una radice di un'equazione di grado con coefficienti interi, ma non è una radice di alcuna equazione di grado minore con coefficienti interi, allora è chiamato numero algebrico di grado . Pertanto, i numeri (10) sono numeri algebrici delle potenze 2, 4, 8 e 16, rispettivamente.

Quanto sopra suggerisce il seguente risultato principale sulle lunghezze dei segmenti, che possono essere costruiti usando un compasso e una riga:

Teorema sulle costruzioni geometriche. La lunghezza di ogni segmento che può essere costruito, partendo da un dato segmento di lunghezza unitaria, utilizzando un compasso e un righello, è un numero algebrico di grado 1, o 2, o 4, o 8,..., cioè generalmente parlando, degree , dove è un numero intero non negativo.

Invitiamo il lettore a prendere per fede questo risultato e, sulla base di esso, mostreremo che tutte e tre le famose costruzioni sono impossibili.

Iniziamo con il problema del raddoppio del cubo. Come abbiamo visto sopra formulandolo, equivale a quanto segue: partendo da un segmento di lunghezza unitaria, costruisci un segmento di lunghezza . Ma il numero soddisfa le condizioni necessarie per questo? Soddisfa l'equazione

e questo suggerisce che n è un numero algebrico di grado 3. Infatti è proprio così, e per verificarlo basta mostrare che il numero non soddisfa alcuna equazione con coefficienti interi di grado 1 o 2. Dimostrazione di questo sebbene non difficile, richiede qualche inganno, e lo rimanderemo al prossimo paragrafo.

Poiché esiste un numero algebrico di grado 3, quindi, in virtù del teorema sulle costruzioni geometriche sopra formulato, è impossibile costruire un segmento di lunghezza partendo da un segmento di lunghezza unitaria. Pertanto, raddoppiare il cubo è impossibile.

Consideriamo ora il problema della trisezione di un angolo. Per stabilire l'impossibilità della trisezione nel caso generale, basta mostrare che un angolo fisso non può essere diviso in tre parti identiche da un compasso e da un righello. Prendiamo un angolo pari a 60°. Trisecare un angolo di 60° significa costruire un angolo di 20°. Ciò si riduce a costruire, partendo da un dato segmento di lunghezza unitaria, un segmento di lunghezza . Per verificarlo si consideri un triangolo con base di lunghezza 1 e con angoli alla base di 60° e 90°, cioè un triangolo ABC con base e angoli BAC - 60° e (Fig. 17). Prendi il punto D sul lato BC in modo che l'angolo BAD sia 20°. Dalla trigonometria elementare lo sappiamo

Pertanto, la trisezione dell'angolo di 60° si riduce a costruire un segmento di lunghezza . Ma questo, a sua volta, si riduce a costruire un segmento di lunghezza, poiché sono numeri reciproci, ed è noto che se puoi costruire un segmento di una certa lunghezza, allora puoi costruire un segmento di lunghezza reciproca.

Le lunghezze dei segmenti sono misurate con un righello. Il righello (Fig. 12) ha dei tratti. Rompono la linea in parti uguali. Queste parti sono chiamate divisioni. Sulla fig. 12 la lunghezza di ogni divisione è di 1 cm Tutte le divisioni della forma del righello scala. La lunghezza del segmento AB nella figura è di 6 cm.

Riso. 12. Sovrano

Le scale non sono solo sui righelli. Sulla fig. 13 mostra un termometro ambiente. La sua scala è composta da 55 divisioni. Ogni divisione corrisponde a un grado Celsius (scrivi 1°C). Il termometro in Figura 20 mostra una temperatura di 21°C.

Riso. 13. Termometro ambiente

Le scale hanno anche scale. La figura 14 mostra che la massa dell'ananas è di 3 kg 600 g.

Quando si pesano oggetti di grandi dimensioni, vengono utilizzate le unità di massa: una tonnellata (t) e un centesimo (c).

Riso. 14. Bilancia

1 tonnellata equivale a 1000 kg e 1 centesimo equivale a 100 kg.

1 t = 1000 kg, 1 q = 100 kg.

Disegniamo il raggio OX in modo che vada da sinistra a destra (Fig. 15).

Riso. 15. Fascio OH

Segniamo su questo raggio un punto E. Scriviamo il numero 0 sopra l'inizio del raggio O e il numero 1 sopra il punto E. Un segmento di lunghezza 1 è chiamato singolo segmento. OE è un singolo segmento.

Quindi, sullo stesso raggio, tracciamo il segmento EA, uguale al segmento unitario, e scriviamo il numero 2 sul punto A. Quindi, sullo stesso raggio, tracciamo il segmento AB, uguale al segmento unitario, e scriviamo il numero 3 sopra il punto B. Così, passo dopo passo, otteniamo una scala infinita. Si chiama la scala infinita raggio di coordinate.

I numeri 0, 1, 2, 3... corrispondenti ai punti O, E, A, B... sono detti coordinate di questi punti.

Scrivono: O(0), E(1), A(2), B(3), ecc.

Un cerchio è una linea curva chiusa, ogni cui punto si trova alla stessa distanza da un punto O, chiamato centro.

Si chiamano rette che collegano qualsiasi punto della circonferenza con il suo centro raggi R.

Si dice una retta AB che collega due punti di una circonferenza e passa per il suo centro O diametro D.

Le parti dei cerchi sono chiamate archi.

Si chiama una linea CD che unisce due punti di una circonferenza accordo.

Si chiama una retta MN che ha un solo punto in comune con una circonferenza tangente.

Si chiama la parte di cerchio delimitata da una corda CD e da un arco segmento.

Si chiama la parte di cerchio delimitata da due raggi e da un arco settore.

Si chiamano due linee orizzontali e verticali tra loro perpendicolari che si intersecano al centro di una circonferenza assi circolari.

Si chiama l'angolo formato da due raggi di KOA angolo centrale.

Due raggio reciprocamente perpendicolare fare un angolo di 90 0 e limitare 1/4 del cerchio.

Disegniamo un cerchio con assi orizzontale e verticale che lo dividono in 4 parti uguali. Tracciate con un compasso o un quadrato a 45 0, due linee tra loro perpendicolari dividono il cerchio in 8 parti uguali.

Divisione di un cerchio in 3 e 6 parti uguali (multipli di 3 per tre)

Per dividere il cerchio in 3, 6 e un multiplo di essi, disegniamo un cerchio di un dato raggio e gli assi corrispondenti. La divisione può essere iniziata dal punto di intersezione dell'asse orizzontale o verticale con il cerchio. Il raggio specificato del cerchio viene successivamente posticipato 6 volte. Quindi i punti ottenuti sul cerchio sono successivamente collegati da linee rette e formano un esagono regolare inscritto. Connettere i punti attraverso uno dà un triangolo equilatero e dividere il cerchio in tre parti uguali.

La costruzione di un pentagono regolare viene eseguita come segue. Disegniamo due assi del cerchio reciprocamente perpendicolari uguali al diametro del cerchio. Dividi a metà la metà destra del diametro orizzontale usando l'arco R1. Dal punto "a" ottenuto al centro di questo segmento di raggio R2, tracciamo un arco di cerchio fino all'intersezione con il diametro orizzontale nel punto "b". Raggio R3 dal punto "1" traccia un arco di cerchio fino all'intersezione con un determinato cerchio (punto 5) e ottieni il lato di un pentagono regolare. La distanza "b-O" dà il lato di un decagono regolare.

Dividere un cerchio nell'N-esimo numero di parti identiche (costruendo un poligono regolare con N lati)

Viene eseguito come segue. Disegniamo assi orizzontali e verticali reciprocamente perpendicolari del cerchio. Dal punto in alto "1" del cerchio tracciamo una linea retta con un angolo arbitrario rispetto all'asse verticale. Su di esso mettiamo da parte segmenti uguali di lunghezza arbitraria, il cui numero è uguale al numero di parti in cui dividiamo il cerchio dato, ad esempio 9. Colleghiamo l'estremità dell'ultimo segmento con il punto inferiore del diametro verticale . Tracciamo rette parallele a quella ottenuta dalle estremità dei segmenti posti da parte all'intersezione con il diametro verticale, dividendo così il diametro verticale del cerchio dato in un dato numero di parti. Con raggio uguale al diametro del cerchio, dal punto inferiore dell'asse verticale tracciamo un arco MN fino a quando non si interseca con la continuazione dell'asse orizzontale del cerchio. Dai punti M e N disegniamo raggi attraverso punti di divisione pari (o dispari) del diametro verticale fino a quando non si intersecano con il cerchio. I segmenti risultanti del cerchio saranno quelli desiderati, perché punti 1, 2, …. 9 dividere il cerchio in 9 (N) parti uguali.

Quando si disegnano dettagli, si costruiscono le spazzate della superficie, è necessario eseguire varie costruzioni geometriche, ad esempio dividere segmenti e cerchi in parti uguali, costruire angoli, eseguire coniugazioni, ecc.

Molte di queste costruzioni ti sono già note dalle lezioni di geometria e altre materie, quindi non sono considerate qui. Le tecniche razionali per la costruzione degli angoli utilizzando gli strumenti di disegno sono riportate sul risguardo alla fine del libro.

15.1. Analisi della composizione grafica delle immagini. Prima di procedere con l'esecuzione del disegno, è necessario determinare quali costruzioni geometriche dovranno essere applicate in questo caso. Considera un esempio.

La figura 123, a mostra tre sporgenze del supporto, una rappresentazione visiva delle quali è data in figura 74, a. Per disegnare questo oggetto è necessario eseguire una serie di costruzioni grafiche:

1. disegnare linee parallele;
2. costruire una coniugazione (arrotondamento) di due rette parallele con un arco di un dato raggio (Fig. 123, b);
3. disegna tre cerchi concentrici (Fig. 123, c);
4. disegna un trapezio (Fig. 123, d).

Riso. 123. Analisi della composizione grafica delle immagini

La divisione del processo di esecuzione del disegno in operazioni grafiche separate è chiamata analisi della composizione grafica delle immagini.

La definizione delle operazioni grafiche che compongono la costruzione di un disegno ne facilita la realizzazione.

1. Quali costruzioni geometriche conosci?
2. Come si chiama la divisione del processo di esecuzione del disegno in operazioni grafiche separate?
3. Perché è necessario analizzare la composizione grafica delle immagini?

15.2. Dividere un cerchio in parti uguali. Molte parti hanno elementi uniformemente distanziati attorno alla circonferenza, come fori, ferri da maglia, ecc. Pertanto, diventa necessario dividere i cerchi in parti uguali.

Divisione di un cerchio in quattro parti uguali. Per dividere il cerchio in quattro parti uguali, devi disegnare due diametri tra loro perpendicolari (vedi sul risguardo).

Due casi di tali costruzioni sono mostrati nella Figura 124. Nella Figura 124. e i diametri sono disegnati lungo il righello e la gamba del quadrato isoscele, e i lati del quadrato inscritto sono disegnati lungo la sua ipotenusa. Nella figura 124, b, invece, i diametri sono tracciati lungo l'ipotenusa del quadrato, ei lati del quadrato sono tracciati lungo il righello e il gambo del quadrato.

Riso. 124. Divisione di un cerchio in quattro parti uguali

Divisione di un cerchio in otto parti uguali. Per dividere il cerchio in otto parti uguali, è sufficiente disegnare due coppie di diametri, cioè combinare entrambi i casi di costruzione di un quadrato (vedi Fig. 124). Un paio di diametri reciprocamente perpendicolari verranno aperti lungo il righello e la gamba. l'altro - ma l'ipotenusa del quadrato (Fig. 125).

Riso. 125. Divisione di un cerchio in otto parti uguali

Divisione di un cerchio in tre parti uguali. Dopo aver posto la gamba portante del compasso all'estremità del diametro (Fig. 126, a), descrivono un arco di raggio uguale al raggio R del cerchio. Ottieni la prima e la seconda divisione. La terza divisione è all'estremità opposta del diametro.

Lo stesso problema può essere risolto con un righello e un quadrato con angoli di 30, 60 e 90°. Per fare ciò, installa il quadrato con una gamba grande parallela al diametro verticale. Si traccia una corda lungo l'ipotenusa dal punto 1 (l'estremità del diametro), si ottiene una seconda divisione (Fig. 126, b). Ruotando il quadrato e disegnando la seconda corda, si ottiene la terza divisione (Fig. 126, c).

Riso. 126. Divisione di un cerchio in tre parti uguali: a - con l'aiuto di un compasso; b, c - usando un quadrato e un righello

Collegando i punti 2 e 3 con un segmento di retta si ottiene un triangolo equilatero.

Divisione di un cerchio in sei parti uguali. L'apertura del compasso è posta uguale al raggio R del cerchio, poiché il lato dell'esagono è uguale al raggio del cerchio circoscritto. Dalle estremità opposte di uno dei diametri del cerchio (ad esempio, punti 1 e 4, Fig. 127, a) vengono descritti archi. I punti 1, 2, 3. 4, 5, 6 dividono il cerchio in parti uguali. Collegandoli con segmenti di linea, si ottiene un esagono regolare (Fig. 127, b).

Riso. 127. Dividere un cerchio in sei parti uguali con un compasso

Lo stesso compito può essere eseguito utilizzando un righello e un quadrato con angoli di 30 e 60 ° (Fig. 128).

Riso. 128. Dividere un cerchio in sei parti uguali usando un quadrato e un righello

Divisione di un cerchio in cinque parti uguali. La quinta parte del cerchio corrisponde ad un angolo centrale di 72° (360°:5 = 72°). Questo angolo può essere costruito usando un goniometro (Fig. 129, a).

Riso. 129. Divisione di un cerchio in cinque parti uguali

La Figura 129, 6 mostra il disegno di una stella a cinque punte.

Usa una riga e un quadrato per costruire un esagono regolare i cui due vertici giacciono sulla linea centrale orizzontale. Esegui la stessa costruzione usando una bussola.

15.3. Abbinamenti. Il modello in Figura 130 ha angoli arrotondati. Le linee rette si trasformano dolcemente in curve. La stessa transizione graduale può essere tra linee rette o tra due cerchi.

Riso. 130. Modello

Viene chiamata una transizione graduale da una riga all'altra coniugazione.

Per costruire coniugazioni, è necessario trovare i centri da cui sono tratti gli archi, cioè i centri di coniugazione. È anche necessario trovare i punti in cui una linea passa nell'altra, cioè i punti di coniugazione.

Pertanto, per costruire qualsiasi accoppiamento, è necessario trovare il centro dell'accoppiamento, i punti degli accoppiamenti e conoscere il raggio dell'accoppiamento.

Quando si costruiscono coniugazioni, va tenuto presente che il passaggio da una retta a un cerchio sarà regolare se la retta tocca il cerchio (Fig. 131, a). Il punto di coniugazione giace su un raggio perpendicolare alla retta data.

Riso. 131. Costruire coniugazioni

Il passaggio da un cerchio all'altro sarà fluido se i cerchi si toccano. Il punto di giunzione è su una linea retta che collega i loro centri (Fig. 131. b).

Coniugazione di due rette per un arco di raggio dato. Date le rette che compongono gli angoli retto, acuti e ottusi (Fig. 132, a) e il valore R del raggio dell'arco di coniugazione. È necessario costruire una coniugazione di queste linee di un arco di un dato raggio.

Riso. 132. Metodo generale per costruire coniugazioni di due rette intersecanti

Per tutti e tre i casi viene utilizzato il metodo di costruzione generale.

1. Trova il punto O - il centro di coniugazione (Fig. 132, b). Deve trovarsi a una distanza R dalle linee date. Ovviamente. tale condizione è soddisfatta dal punto di intersezione di due rette poste parallele a quelle date ad una distanza R da esse.

   Per costruire queste linee, le perpendicolari vengono tracciate da punti scelti arbitrariamente di ciascuna linea data. Su di essi viene tracciata la lunghezza del raggio R. Per i punti ottenuti vengono tracciate linee rette, parallele a quelli dati.

   Nel punto di intersezione di queste linee c'è il centro O di coniugazione.

2. Trova i punti di giunzione (Fig. 132, o). Per fare ciò, traccia le perpendicolari dal centro di coniugazione alle rette date. I punti risultanti sono punti di coniugazione.
3. Dopo aver posizionato la gamba portante della bussola nel punto O, traccia un arco di un dato raggio R tra i punti di giunzione (Fig. 132, c).

Coniugazione di una circonferenza e di un arco retto di un dato raggio. Data una circonferenza di raggio R, segmento AB e raggio dell'arco di coniugazione R 1 (Fig. 133).

La costruzione avviene in questo modo:

15.4. Applicazione pratica delle costruzioni geometriche. Per realizzare una parte da una lamiera, ad esempio il modello mostrato nella Figura 130, è necessario prima delinearne il contorno sul metallo, ovvero eseguire una marcatura. Ci sono molte somiglianze tra il disegno e il markup.

Quando si esegue un disegno o una marcatura, è necessario determinare quali costruzioni geometriche dovrebbero essere applicate in questo caso, ovvero analizzare la composizione grafica delle immagini (vedi 15.1). A sinistra nella Figura 134 sono mostrate queste costruzioni.

Riso. 134. Analisi del contorno dell'immagine del pezzo

Come risultato dell'analisi, stabiliamo che tracciare il profilo della sagoma consiste principalmente nel costruire un angolo di 60° e coniugare angoli acuti e ottusi con archi di raggi dati.

Qual è la sequenza di markup del pattern? È possibile iniziare con la costruzione delle coniugazioni? Ovviamente no.

La sequenza corretta per la costruzione di un disegno è mostrata nella Figura 135. Innanzitutto, vengono tracciate quelle linee di disegno, la cui posizione è determinata dalle dimensioni date e non richiedono costruzioni aggiuntive, quindi vengono costruiti gli accoppiamenti.

Riso. 135. La sequenza di costruzione di un disegno modello

Pertanto, la costruzione viene eseguita in questa sequenza. Innanzitutto, vengono tracciate una linea assiale e una linea retta, su cui giace la base della sagoma (Fig. 135, a). Su questa linea retta, metà della lunghezza della base è posta a destra ea sinistra della linea centrale, cioè 50 mm ciascuna. Quindi vengono costruiti angoli di 60 ° e viene tracciata una linea retta parallela alla base a una distanza di 50 mm da essa (Fig. 135, b). Successivamente, si trovano i centri e i punti di giunzione (Fig. 135, c e d). Infine, vengono disegnati gli archi di coniugazione. Delinea il contorno visibile e applica le dimensioni (Fig. 135, e).

1. Quali angoli si possono costruire usando i quadrati?
2. Qual è l'apertura della bussola quando si divide il cerchio in sei parti uguali, in tre parti uguali?
3. Cosa si chiama coniugazione?
4. Assegna un nome agli elementi richiesti in qualsiasi abbinamento.
5. Quali costruzioni incontrerai quando disegnerai la parte mostrata nella Figura 136?

Riso. 136. Compito per esercizi

Secondo la proiezione assonometrica (Fig. 137), completare il disegno del pezzo.

Riso. 137. Compito per esercizi

Opera grafica n. 6. Disegno di dettaglio(usando costruzioni geometriche, compresi gli accoppiamenti)

Esegui dalla natura o da un'immagine visiva (Fig. 138) nel numero richiesto di viste un disegno di una delle parti, i cui contorni contengono compagni.

Riso. 138. Compiti per il lavoro grafico n. 6

Iniziamo con la riga di tipo inglese. Ha 12 divisioni (segni grandi) che indicano i pollici. 12 pollici equivalgono a 1 piede (30,5 cm). Ogni pollice è diviso in 15 divisioni (piccoli segni), ovvero ogni pollice sul righello è indicato da 16 segni.

• Più alto è il voto, più alto sarà il punteggio. A partire dal segno "1" e terminando al segno "1/16", le dimensioni dei segni diminuiscono man mano che le letture diminuiscono.
• Le letture del righello vengono lette da sinistra a destra. Se stai misurando un oggetto, allineane l'inizio (o la fine) con l'estremità sinistra del righello. Il numero che hai trovato sul righello a destra determina la lunghezza dell'oggetto.