Che cos'è l'integrazione per parti? Per padroneggiare questo tipo di integrazione, ricordiamo innanzitutto la derivata del prodotto:

$((\left(f\cpunto g \destra))^(\prime ))=(f)"\cpunto g+f\cpunto (g)"$

La domanda è: beh, cosa c'entrano gli integrali con esso? Ora integriamo entrambi i lati di questa equazione. Allora scriviamo:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Ma qual è la primitiva di un ictus? È solo la funzione stessa, che è all'interno del tratto. Allora scriviamo:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

In questa equazione, propongo di esprimere il termine. Abbiamo:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Ecco cos'è formula per l'integrazione per parti. Quindi stiamo essenzialmente scambiando la derivata e la funzione. Se inizialmente avevamo l'integrale del tratto, moltiplicato per qualcosa, allora otteniamo l'integrale del nuovo qualcosa, moltiplicato per il tratto. Questa è tutta la regola. A prima vista, questa formula può sembrare complicata e priva di significato, ma in realtà può semplificare notevolmente i calcoli. Vediamo.

Esempi di calcolo degli integrali

Compito 1. Calcola:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Riscriviamo l'espressione aggiungendo 1 davanti al logaritmo:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Abbiamo il diritto di farlo perché né il numero né la funzione cambieranno. Ora confrontiamo questa espressione con quanto abbiamo scritto nella formula. Il ruolo di $(f)"$ è 1, quindi scriviamo:

$\begin(allineamento)& (f)"=1\Freccia destra f=x \\& g=\ln x\Freccia destra (g)"=\frac(1)(x) \\\end(allineamento)$

Tutte queste funzioni sono nelle tabelle. Ora che abbiamo scritto tutti gli elementi che sono inclusi nella nostra espressione, riscriveremo questo integrale secondo la formula dell'integrazione per parti:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\sinistra(\ln x-1 \destra)+C \\\ fine(allineamento)\]

Ecco fatto, si trova l'integrale.

Compito 2. Calcola:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Se prendiamo $x$ come derivata da cui ora dobbiamo trovare l'antiderivata, allora otteniamo $((x)^(2))$ e l'espressione finale conterrà $((x)^(2)) ( (\testo(e))^(-x))$.

Ovviamente, il compito non è semplificato, quindi scambieremo i fattori sotto il segno integrale:

$\int(x\cdot ((\testo(e))^(-x))\,\testo(d)x)=\int(((\testo(e))^(-x))\cdot x\,\testo(d)x)$

Ora introduciamo la notazione:

$(f)"=((\testo(e))^(-x))\Freccia destra f=\int(((\testo(e))^(-x))\,\testo(d)x) =-((\testo(e))^(-x))$

Differenzia $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ sinistra(-x \destra))^(\prime ))=-((\testo(e))^(-x))$

In altre parole, viene prima aggiunto "meno" e quindi vengono integrati entrambi i lati:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Freccia destra ((\testo(e))^(-x))=-((\left(((\testo(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e)))^(- x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Ora affrontiamo la funzione $g$:

$g=x\Freccia destra (g)"=1$

Consideriamo l'integrale:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\testo(e))^(-x))+\int(((\testo(e))^(-x))\,\testo(d)x)=-x( (\testo(e))^(-x))-((\testo(e))^(-x))+C=-((\testo(e))^(-x))\sinistra(x +1 \right)+C \\\end(align)$

Quindi, abbiamo eseguito la seconda integrazione per parti.

Compito 3. Calcola:

$\int(x\cos 3x\,\testo(d)x)$

In questo caso, cosa dovrebbe essere preso per $(f)"$ , e cosa per $g$? Se $x$ agisce come una derivata, allora $\frac(((x)^(2)))(2 ) $, e il primo fattore non scomparirà da nessuna parte: sarà $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$. Pertanto, scambieremo nuovamente i fattori:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ fine(allineamento)$

Riscriviamo la nostra espressione originale e la espandiamo secondo la formula di integrazione per parti:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Tutto, il terzo compito è risolto.

Infine, torniamo a guardare formula per l'integrazione per parti. Come scegliamo quale dei fattori sarà la derivata e quale sarà la funzione reale? C'è solo un criterio qui: l'elemento che differenzieremo deve dare un'espressione "bella", che verrà poi ridotta, o scomparire del tutto durante la differenziazione. Questa lezione è finita.

Considera le funzioni $u=u(x)$ e $v=v(x)$ che hanno derivate continue . Secondo le proprietà dei differenziali vale la seguente uguaglianza:

$d(u v)=u d v+v d u$

Integrando le parti sinistra e destra dell'ultima uguaglianza, otteniamo:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Freccia destra u v=\int u d v+\int v d u$

Riscriviamo l'uguaglianza risultante nella forma:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Questa formula è chiamata formula di integrazione per parti. Con il suo aiuto, l'integrale $\int u d v$ può essere ridotto a trovare l'integrale $\int v d u$, che può essere più semplice.

Commento

In alcuni casi, la formula dell'integrazione per parti deve essere applicata ripetutamente.

Si consiglia di applicare la formula dell'integrazione per parti agli integrali della seguente forma:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \peccato (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

Qui $P_(n)(x)$ è un polinomio di grado $n$, $k$ è una costante. In questo caso, il polinomio viene preso come funzione $u$ e i restanti fattori vengono presi come $d v$. Per gli integrali di questo tipo, la formula di integrazione per parti viene applicata $n$ volte.

Esempi di risoluzione di integrali con questo metodo

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int(x+1) e^(2 x) d x$

Soluzione.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

Risposta.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int x^(2) \cos x d x$

Soluzione.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

Risposta.$\int x^(2) \cos x d x=\sinistra(x^(2)-1\destra) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$ ; $\int P_(n)(x) \ln x d x$

Qui si assume che $d v=P_(n)(x) d x$, e i restanti fattori come $u$.

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int \ln x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale, individuiamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Risposta.$\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int \arcsin x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale, individuiamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti. Per risolvere questo integrale, questa operazione deve essere ripetuta 2 volte.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

Risposta.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

In questo caso, l'esponente o la funzione trigonometrica sono presi come $u$. L'unica condizione è che nell'ulteriore applicazione della formula di integrazione per parti, la stessa funzione sia assunta come funzione $u$, cioè rispettivamente esponenziale o trigonometrica.

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int e^(2 x+1) \sin x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale, individuiamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$

Questo metodo si basa sulla seguente formula: (*)

Permettere e sono funzioni di x che hanno derivate continue e .

È risaputo che o ; o .

Integrali e , poiché per ipotesi le funzioni u e v sono differenziabili e quindi continue.

La formula (*) è chiamata formula di integrazione per parti.

Il metodo basato sulla sua applicazione è chiamato metodo di integrazione per parti.

Riduce il calcolo al calcolo di un altro integrale: .

L'applicazione del metodo di integrazione per parti consiste nel fatto che sotto l'espressione integrale di un dato integrale si cerca di rappresentare nella forma di un prodotto dove e sono alcune funzioni di x, e queste funzioni sono scelte in modo che era più facile da calcolare rispetto all'integrale originale. Quando calcolare precedentemente trovato e .

(come “v” prendiamo una delle antiderivate originali trovate da dv, quindi, in futuro, calcolando “v”, ometteremo la costante C nella notazione).

Commento. Quando si scompone sotto l'espressione integrale, si deve capire cosa e dovrebbe contenere.

Sfortunatamente, è impossibile dare regole generali per scomporre l'espressione integrale nei fattori "u" e "dv". Questo può essere insegnato con molta pratica ponderata.

Con tutto questo, va tenuto presente che era più semplice dell'integrale originale.

Esempio 6.6.22.

A volte, per ottenere il risultato finale, la regola dell'integrazione per parti viene applicata in successione più volte.

Il metodo di integrazione per parti è comodo da usare, ovviamente, non sempre, e la capacità di usarlo dipende dall'esperienza.

Quando si calcolano gli integrali, è importante stabilire correttamente quale metodo di integrazione dovrebbe essere utilizzato (come nell'esempio precedente, la sostituzione trigonometrica porta all'obiettivo più velocemente).

Considera gli integrali più comuni calcolati dall'integrazione per parti.

1.Integrali della forma :

dove è un polinomio intero (rispetto a x); a è un numero costante.

Se il prodotto di una funzione trigonometrica o esponenziale è algebrica sotto il segno di integrale, allora la funzione algebrica viene generalmente presa per "u".

Esempio 6.6.23.

Si noti che un'altra suddivisione in fattori: non porta all'obiettivo.

Dimostrato
.

Otteniamo un integrale più complesso.

2.Integrali della forma :

dove è un polinomio.

Se il segno integrale è il prodotto del logaritmo di una funzione o di una funzione trigonometrica inversa per una funzione algebrica, allora le funzioni dovrebbero essere assunte come "u".

Esempio 6.6.23.

3.Integrali della forma:

Qui puoi usare una qualsiasi delle 2 possibili scomposizioni dell'espressione integrale in fattori: per "u" puoi prendere sia e .

Inoltre, il calcolo di tali integrali utilizzando il metodo dell'integrazione per parti porta all'integrale originale, ovvero si ottiene un'equazione rispetto all'integrale desiderato.

Esempio 6.6.24 Calcola .

.

Quando si integra, è spesso necessario applicare successivamente il metodo di sostituzione e il metodo di integrazione per parti.

Esempio 6.6.25.

Integrazione di alcune funzioni contenenti un trinomio quadrato

1)

.

e questi sono integrali tabulari.

2) coefficienti numerici reali

al numeratore selezioniamo la derivata del denominatore.

a,b,c sono numeri reali

un) ; Poi abbiamo:

b) . In questo caso, ha senso considerare solo quando il discriminante trinomio positivo:

Ora abbiamo:

Commento. In pratica, di solito non utilizzano risultati già pronti, ma preferiscono ripetere ogni volta calcoli simili.

Esempio.

4)

Trasformiamo il numeratore in modo da poterne estrarre la derivata del trinomio quadrato:

A causa del fatto che in pratica non esiste un metodo generale conveniente per calcolare gli integrali indefiniti, insieme a metodi particolari di integrazione (vedi lezione precedente), dobbiamo anche considerare metodi per integrare alcune classi particolari di funzioni, i cui integrali sono spesso incontrati nella pratica.

La classe più importante tra loro è la classe delle funzioni razionali.

"Integrazione di funzioni frazionarie-razionali"

L'integrazione di una frazione razionale propria si basa sull'espansione di una frazione razionale in una somma di frazioni elementari.

Frazioni elementari (semplici) e loro integrazione.

Definizione. Frazioni della forma: ; (1)

(2), dove

(cioè le radici del trinomio sono complesse), sono detti elementari.

Consideriamo l'integrazione delle frazioni elementari

2)

(dove lasciamo).

Calcoliamo l'integrale

(*)

L'ultimo integrale viene calcolato utilizzando una formula ricorsiva.

A volte l'integrazione per parti consente di ottenere la relazione tra un integrale indefinito contenente il grado di qualche funzione e un integrale simile, ma con un esponente minore della stessa funzione. Tali relazioni sono dette formule ricorsive.

Indica con .

Abbiamo:

Nell'ultimo integrale mettiamo:

Ecco perchè

dove

Quindi, siamo giunti a una formula ricorsiva: la cui applicazione ripetuta alla fine porta all'integrale "tabella":

Quindi al posto di "t" e "k" sostituiamo i loro valori.

Esempio 6.6.26.

(secondo la formula della ricorrenza).=

.

Una frazione razionale è una funzione rappresentabile nella forma ; dove e sono polinomi con coefficienti reali.

Una frazione razionale si dice propria se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.

Qualsiasi frazione razionale propria può essere rappresentata come la somma di un numero finito di frazioni elementari.

La scomposizione di una frazione propria in elementari è determinata dal seguente teorema, che consideriamo senza dimostrazione.

Teorema . Se una frazione - corretto e, (dove il trinomio non ha vere radici), allora l'identità è vera:

(IO)

Si noti che ogni radice reale, ad esempio a, della molteplicità " " del polinomio in questa espansione corrisponde alla somma delle frazioni elementari della forma (1), e ad ogni coppia di radici complesse coniugate e (tale quella) della molteplicità " " - la somma delle frazioni elementari della forma (2).

Per eseguire l'espansione (I), è necessario imparare a determinare i coefficienti .

Ci sono vari modi per trovarli. Considereremo il metodo dei coefficienti indeterminati e il metodo dei valori parziali.

Integrale indefinito

1 Integrale antiderivato e indefinito 1

2Le proprietà più semplici dell'integrale indefinito. 3

Tabella degli integrali di base 3

2.1 Tabella aggiuntiva degli integrali 4

3Cambio di variabile in integrale indefinito 5

3.1 Metodo di integrazione delle funzioni della forma e (a≠ 0). 6

4Integrazione per parti nell'integrale indefinito 7

4.1 Modalità di integrazione delle funzioni del form. 7

4.2 Modalità di integrazione delle funzioni del modulo: 8

5Integrare frazioni razionali 8

5.1 Metodo di integrazione delle frazioni più semplici di 4° tipo. undici

6Integrare espressioni irrazionali 12

6.1Integrazione di espressioni trigonometriche 14

1. Integrale antiderivativo e indefinito

Risolvi l'equazione differenziale

sull'intervallo, cioè trovare una funzione tale che . Poiché , l'equazione (1) può essere riscritta in differenziali:

Qualsiasi soluzione di tale equazione è chiamata funzione antiderivativa. Quindi la funzione viene chiamata funzione antiderivativa sull'intervallo se per tutti . Casi e/o non sono esclusi. È chiaro che se antiderivata, allora anche antiderivata. Il nostro compito è trovare tutte le soluzioni dell'equazione (1). La funzione di due variabili è chiamata soluzione generale dell'equazione (1) o, in altre parole, integrale indefinito funzioni se, sostituendo un numero qualsiasi, otteniamo una soluzione particolare dell'equazione (1) e una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione (1) si ottiene in questo modo.

L'integrale indefinito è indicato con . La funzione si chiama integrando, il differenziale si chiama integrando, ed è il segno dell'integrale (lettera latina allungata S, la prima lettera della parola Sum è la somma). Sorge la domanda sull'esistenza di un'antiderivata e di un integrale indefinito. Nella sezione "Integrale definito", § formula di Newton-Leibniz, si dimostrerà che l'antiderivata di una funzione continua esiste sempre.

Lemma.Che sia identico per tutti. Allora è una costante su questo intervallo.

Prova. Indichiamo per qualsiasi punto. Prendiamo un punto arbitrario e applichiamo il teorema di Lagrange alla differenza: per qualche punto . Quindi il lemma è dimostrato.□

Il teorema delle antiderivate. Due antiderivate della stessa funzione definita su un intervallo differiscono di una costante.

Prova. Siano e siano funzioni antiderivate. Poi da dove, per il lemma -- costante. Di conseguenza, . □

Conseguenza. Se è l'antiderivata della funzione, allora .

Si noti che se non prendiamo un intervallo come funzione ODZ, ma, ad esempio, un insieme disconnesso come l'unione di due intervalli , poi qualsiasi funzione del modulo

ha una derivata zero, e quindi il lemma e il teorema antiderivativa cessano di essere veri in questo caso.

1. Le proprietà più semplici dell'integrale indefinito.

1. L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali:

2. La costante può essere estratta dal segno di integrale:

3. La derivata dell'integrale è uguale all'integrando.

4. Il differenziale dall'integrale è uguale all'integrando.

5. (Cambio lineare delle variabili) Se , poi (qui ).

Tabella degli integrali di base

In particolare,

Per il caso eccezionale abbiamo:

1. Tabella aggiuntiva degli integrali

1. Cambio di variabile nell'integrale indefinito

Estendiamo la definizione di integrale indefinito ad un caso più generale: assumiamo per definizione . Così, per esempio

Teorema. Sia una funzione derivabile. Quindi

Prova. Permettere . Quindi

che doveva essere dimostrato.□

Nel caso particolare in cui otteniamo una variazione lineare di variabili (vedi proprietà 5, §1). L'applicazione della formula (1) "da sinistra a destra" comporterà un cambio di variabile. L'applicazione della formula (1) nella direzione opposta, "da destra verso sinistra" si chiama entrando sotto il segno differenziale.

Esempi. MA.

1. Selezioniamo la derivata del trinomio quadrato al numeratore:

3. Per calcolare il primo integrale in (2), utilizziamo la voce sotto il segno del differenziale:

Per calcolare il secondo integrale, selezioniamo un quadrato intero in un trinomio quadrato e lo riduciamo a tabulare mediante un cambio lineare di variabili.

Integrali della forma

Esempi

1. Integrazione per parti nell'integrale indefinito

Teorema. Per funzioni differenziabili e abbiamo la relazione

Prova. Integrazione dei lati sinistro e destro della formula , noi abbiamo:

Poiché per definizione e , segue la formula (1).□

Esempio.

Per integrare tali funzioni, mettiamo il polinomio sotto il segno differenziale e applichiamo la formula di integrazione per parti. La procedura viene ripetuta k volte.

Esempio.

1. Integrazione di frazioni razionali

Frazione razionaleè chiamata funzione della forma , dove sono i polinomi. Se , allora viene chiamata una frazione razionale corretta. Altrimenti si chiama sbagliato.

Le seguenti frazioni razionali sono dette le più semplici

(tipo 2)

(tipo 3)

(tipo 4) ,

Teorema 1. Qualsiasi frazione può essere scomposta nella somma di un polinomio e di una frazione razionale propria.

Prova. Sia una frazione razionale impropria. Dividi il numeratore per il denominatore con un resto: qui ci sono i polinomi, e poi

La frazione è corretta a causa della disuguaglianza. □

Teorema 2. Qualsiasi frazione razionale propria può essere scomposta in una somma di quelle più semplici.

Algoritmo di decomposizione.

a) Espandiamo il denominatore di una frazione propria in un prodotto di polinomi irriducibili (lineari e quadratici con discriminante negativo):

Qui e -- molteplicità delle radici corrispondenti.

b) Decomponiamo la frazione nella somma delle più semplici a coefficienti indefiniti secondo i seguenti principi:

Lo facciamo per ogni fattore lineare e per ogni fattore quadratico.

c) L'espansione risultante viene moltiplicata per un denominatore comune e i coefficienti indefiniti si trovano a condizione che le parti sinistra e destra siano identiche. Lavorare con una combinazione di due metodi

??? – convalida dell'algoritmo

Esempi. A. Decomponi nella somma dei più semplici

Da ciò ne consegue che . Sostituendo in questo rapporto, troviamo immediatamente . Così

B. Espandere la frazione razionale nella somma dei più semplici. L'espansione di questa frazione a coefficienti indefiniti ha la forma

Moltiplicando per un denominatore comune, otteniamo il rapporto

Sostituendo qui, troviamo dove. Sostituendo troviamo . Uguagliando i coefficienti a , otteniamo il sistema

Da qui e . Sommando le uguaglianze dell'ultimo sistema si ottiene e . Quindi e

Di conseguenza,

/**/ Un compito. Generalizza il risultato dell'esempio A e dimostra l'uguaglianza

1. Metodo di integrazione delle frazioni più semplici del 4° tipo.

a) Separando la derivata del denominatore al numeratore, espandiamo l'integrale alla somma di due integrali.

b) Il primo degli integrali risultanti, dopo essere stato inserito sotto il segno del differenziale, diventerà tabulare.

c) Nel secondo denominatore, selezionare il quadrato pieno e ridurre il calcolo a un integrale della forma . Applichiamo la seguente procedura ricorsiva a questo integrale

Applichiamo la formula dell'integrazione per parti all'ultimo integrale:

Quindi, se designiamo , poi

Questa è una formula ricorsiva per il calcolo degli integrali dato il valore iniziale .

Esempio

1. Integrazione di espressioni irrazionali

Integrali della forma , dove m/n,...,r/s sono numeri razionali con denominatore comune k, sono ridotti all'integrale di una funzione razionale dal cambiamento

Quindi l'essenza delle espressioni razionali, quindi, dopo la sostituzione, otteniamo l'integrale della frazione razionale:

Calcolando questo integrale (vedi par. 4) e facendo la sostituzione inversa otteniamo la risposta.

Allo stesso modo, integrali della forma

dove ad-bc≠ 0, e k ha lo stesso significato di cui sopra, sono ridotti a integrali di una frazione razionale sostituendo

Esempi. A. Calcola l'integrale

B. Calcolare l'integrale

Un metodo di integrazione più semplice (ma che richiede un'ipotesi) per la stessa funzione è questo:

1. Integrazione di espressioni trigonometriche

Integrali della forma sono ridotti a integrali di una funzione razionale dal cambiamento universale

quindi otteniamo l'integrale dell'espressione razionale

In casi speciali  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx e R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, è meglio usare sostituzioni, rispettivamente .

>> Metodi di integrazione

Metodi di base di integrazione

Definizione di integrale, integrale definito e indefinito, tabella degli integrali, formula di Newton-Leibniz, integrazione per parti, esempi di calcolo degli integrali.

Integrale indefinito

Viene chiamata una funzione F(x) derivabile in un dato intervallo X antiderivata per la funzione f(x), o un integrale di f(x) se per ogni x ∈X vale l'uguaglianza:

F "(x) = f(x). (8.1)

Trovare tutte le antiderivate per una data funzione è detto suo integrazione. L'integrale indefinito della funzione f(x) su un dato intervallo X è l'insieme di tutte le antiderivate per la funzione f(x); designazione -

Se F(x) è una qualche antiderivata per la funzione f(x), allora ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

dove C è una costante arbitraria.

Tabella degli integrali

Direttamente dalla definizione otteniamo le principali proprietà dell'integrale indefinito e l'elenco degli integrali di tabella:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Elenco degli integrali di tabella

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arco x + C

8.=arcoseno x + C

10.=-ctg x + C

Sostituzione di variabili

Per integrare molte funzioni, viene utilizzato il metodo di modifica di una variabile o sostituzioni, permettendo di portare gli integrali in una forma tabulare.

Se la funzione f(z) è continua su [α,β], la funzione z =g(x) ha una derivata continua e α ≤ g(x) ≤ β, allora

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

inoltre, dopo l'integrazione a destra, si dovrebbe effettuare una sostituzione z=g(x).

Per dimostrarlo basta scrivere l'integrale originale nella forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Per esempio:

1)

2) .

Metodo di integrazione per parti

Siano u = f(x) e v = g(x) funzioni aventi continua . Poi, secondo i lavori,

d(uv))= udv + vdu o udv = d(uv) - vdu.

Per l'espressione d(uv), l'antiderivata sarà ovviamente uv, quindi si ha la formula:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Questa formula esprime la regola integrazione per parti. Porta l'integrazione dell'espressione udv=uv"dx all'integrazione dell'espressione vdu=vu"dx.

Sia, ad esempio, necessario trovare ∫xcosx dx. Sia u = x, dv = cosxdx, quindi du=dx, v=sinx. Quindi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

La regola dell'integrazione per parti ha una portata più limitata rispetto al cambio di variabile. Ma ci sono intere classi di integrali, per esempio,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax e altri, che sono calcolati esattamente utilizzando l'integrazione per parti.

Integrale definito

Il concetto di integrale definito è introdotto come segue. Sia definita una funzione f(x) su un intervallo. Dividiamo il segmento [a,b] in n parti per punti a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x io \u003d x io - x io-1. Viene chiamata la somma della forma f(ξ i)Δ x i somma integrale, e il suo limite a λ = maxΔx i → 0, se esiste ed è finito, viene chiamato integrale definito funzioni f(x) di un prima b ed è indicato:

F(ξ i)Δx i (8.5).

In questo caso viene chiamata la funzione f(x). integrabile su un segmento, vengono chiamati i numeri aeb limite inferiore e superiore dell'integrale.

Le seguenti proprietà valgono per un integrale definito:

4), (k = cost, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Viene chiamata l'ultima proprietà teorema del valore medio.

Sia f(x) continua su . Allora su questo segmento esiste un integrale indefinito

∫f(x)dx = F(x) + C

e ha luogo Formula di Newton-Leibniz, che connette l'integrale definito con quello indefinito:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretazione geometrica: l'integrale definito è l'area di un trapezio curvilineo delimitata dall'alto dalla curva y=f(x), le rette x = a e x = b e il segmento dell'asse Bue.

Integrali impropri

Si chiamano integrali con limiti infiniti e integrali di funzioni discontinue (illimitate). improprio. Integrali impropri di primo tipo - questi sono integrali su un intervallo infinito, definito come segue:

(8.7)

Se questo limite esiste ed è finito, allora viene chiamato integrale improprio convergente di f(x) sull'intervallo [а,+ ∞), e viene chiamata la funzione f(x). integrabile su un intervallo infinito[a,+ ∞). Altrimenti si dice integrale non esiste o diverge.

Gli integrali impropri sugli intervalli (-∞,b] e (-∞, + ∞) sono definiti in modo simile:

Definiamo il concetto di integrale di una funzione illimitata. Se f(x) è continuo per tutti i valori X segmento , ad eccezione del punto c, in cui f(x) ha una discontinuità infinita, allora integrale improprio del secondo tipo di f(x) che vanno da a a b chiamato la somma:

se questi limiti esistono e sono finiti. Designazione:

Esempi di calcolo degli integrali

Esempio 3.30. Calcola ∫dx/(x+2).

Soluzione. Indichiamo t = x+2, quindi dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Esempio 3.31. Trova ∫ tgxdx.

Soluzione.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Sia t=cosx, allora ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Esempio3.32 . Trova ∫dx/sinx

Soluzione.

Esempio3.33. Trova .

Soluzione. =

.

Esempio3.34 . Trova ∫arctgxdx.

Soluzione. Integriamo per parti. Denota u=arctgx, dv=dx. Allora du = dx/(x 2 +1), v=x, donde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; perché
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Esempio3.35 . Calcola ∫lnxdx.

Soluzione. Applicando la formula di integrazione per parti, otteniamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Allora ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Esempio3.36 . Calcola ∫e x sinxdx.

Soluzione. Denota u = e x , dv = sinxdx, quindi du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. L'integrale ∫e x cosxdx è anche integrabile per parti: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Abbiamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Abbiamo la relazione ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, da cui 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Esempio 3.37. Calcola J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluzione. Poiché dx/x = dlnx, allora J= ∫cos(lnx)d(lnx). Sostituendo lnx per t, si arriva all'integrale di tabella J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Esempio 3.38 . Calcola J = .

Soluzione. Tenendo conto che = d(lnx), facciamo la sostituzione lnx = t. Allora J = .