Teorema della funzione implicita- nome generale per teoremi che garantiscono l'esistenza locale e ne descrivono le proprietà funzione implicita, cioè funzioni

$y=f(x)$, $f:X\backslash a\; Y$,

dato dall'equazione

$F(x,y)=z\_0$, $F:X\backslash volte\; Y\backslash fino\; a\; Z$

e significato $z\_0\backslash in\; Z$ fisso.

Caso unidimensionale

Il teorema della funzione implicita più semplice è il seguente.

Se la funzione $F:\backslash R\backslash volte\backslash R\backslash a\backslash R$ è continuo in qualche quartiere del punto $(x\_0,y\_0)$ $F(x\_0,y\_0)=0$ e per x fissa, la funzione F(x,y) è strettamente monotona in y nell'intorno dato, allora c'è un intervallo bidimensionale $I=I\_x\backslash volte\; I\_y$, che è un quartiere del punto $(x\_0,y\_0)$, e una tale funzione continua $f:I\_x\backslash a\; I\_y$, che per qualsiasi punto $(x,y)\; \backslash in\; I$ $$

Di solito si presume inoltre che la funzione $F$è continuamente differenziabile in un intorno del punto $(x\_0,y\_0)$. In tal caso, dalla condizione deriva una rigorosa monotonia $F\_y"(x\_0,y\_0)\backslash ne\; 0\backslash quad$, dove $F\_y"$ sta per derivata parziale $F$ in poi $y$. Inoltre, in questo caso la funzione $F$è anche continuamente differenziabile e la sua derivata può essere calcolata dalla formula

$f"(x)\; =\; -\; \backslash frac(F\_x"(x,\; f(x)))(F\_y"(x,\; f(x))).$

Caso multivariato

Permettere $\backslash R^n$ e $\backslash R^m$- spazi con coordinate $x=(x\_1,\backslash punti,x\_n)$ e $y=(y\_1,\backslash punti,y\_m)$, rispettivamente. Considera la mappatura $F=(F\_1,\backslash lpunti,F\_m),$ $F\_i\; =\; F\_i(x,y),$ che rappresenta un quartiere $w$ punti $(x\_0,y\_0)\backslash in\backslash R^n\backslash volte\backslash R^m$ nello spazio $\backslash R^m$.

Supponiamo che il display $F$ $F\; \backslash in\; C^(k)(W),$ $k\backslash geq\; 1,$ quelli. $F$è un $K$ tempi continuamente differenziabili in $W,$ $F(x\_0,y\_0)=0,$ mostra giacobino $y\backslash mapsto\; F(x\_0,y)$ non uguale a zero in un punto $si\_0,$ quelli. determinante di matrice $\backslash frac(\backslash F\; parziale)(\backslash y\; parziale)(x\_0,y\_0)$ non è uguale a zero. Poi ci sono i quartieri $u$ e $V$ punti $x\_0$ e $si\_0$ negli spazi $\backslash R^n$ e $\backslash R^m$ rispettivamente, e $U\backslash volte\; V\backslash sottoinsieme\; W$ e visualizzare $f:\; da\; U\backslash a\; V,$ $f\; \backslash in\; C^(k)(U),$ tale che $F(x,y)\; =\; 0\; \backslash Freccia\; sinistradestra\; y\; =\; f(x)$ per tutti $x\; \backslash in\; U$ e $y\; \backslash in\; V$. Schermo $F$ definito in modo inequivocabile.

Una generalizzazione naturale del teorema precedente al caso di mappature non uniformi è il seguente teoremaː

Supponiamo che il display $F$ soddisfa le seguenti condizioniː $F$è continuo $W,$ $F(x\_0,y\_0)=0,$ ci sono quartieri $u$ e $V$ punti $x\_0$ e $si\_0$ negli spazi $\backslash R^n$ e $\backslash R^m$ rispettivamente, e $U\backslash volte\; V\backslash sottoinsieme\; W$, tale che per ogni fisso $x\; \backslash in\; U$ Schermo $y\backslash mapsto\; F(x,y)$è uno a uno $V$. Poi c'è una mappatura continua $f:\; da\; U\backslash a\; V$, che cosa $F(x,y)\; =\; 0\; \backslash Freccia\; sinistradestra\; y\; =\; f(x)$ per tutti $x\; \backslash in\; U$ e $y\; \backslash in\; V$.

Guarda anche

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Letteratura

• Zorich V.A. Analisi matematica, qualsiasi edizione
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Fondamenti di analisi matematica, 3a ed., Parte 1, M., 1971
• Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale, 5a ed., M., 1981
• Lyusternik LA, Sobolev V. I. Elementi di analisi funzionale, 2a ed., M., 1965
• Nikolsky S.M. Corso di analisi matematica, 2a ed., Vol. 1-2, M., 1975
• Pontryagin L.S. Equazioni differenziali ordinarie, 4a ed., M., 1974 - §33
• Schwartz L. Analisi, trad. dal francese, vol.1, M., 1972

Appunti

Un estratto che caratterizza il teorema della funzione implicita

Ma nonostante tutti sapessero che dovevano partire, c'era ancora la vergogna di sapere che dovevano scappare. E ci voleva una spinta esterna per superare questa vergogna. E questo impulso è arrivato al momento giusto. Era il cosiddetto francese le Hourra de l "Empereur [allegria imperiale].
Il giorno successivo al concilio, Napoleone, di buon mattino, fingendo di voler ispezionare le truppe e il campo della battaglia passata e futura, con un seguito di marescialli e una scorta, cavalcò in mezzo alla linea di truppe. I cosacchi, che stavano curiosando tra le prede, si imbatterono nell'imperatore in persona e quasi lo catturarono. Se i cosacchi questa volta non catturarono Napoleone, allora fu salvato dalla stessa cosa che rovinò i francesi: preda, sulla quale sia a Tarutino che qui, lasciando le persone, i cosacchi si precipitarono. Loro, non prestando attenzione a Napoleone, si precipitarono verso la preda e Napoleone riuscì a scappare.
Quando les enfants du Don [figli del Don] riuscirono a catturare l'imperatore stesso in mezzo al suo esercito, fu chiaro che non c'era altro da fare che correre il prima possibile lungo la strada familiare più vicina. Napoleone, con la sua pancia da quarantenne, non sentendo più in sé l'agilità e il coraggio di prima, capì questo accenno. E sotto l'influenza della paura, che ottenne dai cosacchi, accettò immediatamente con Mouton e diede, come dicono gli storici, l'ordine di ritirarsi sulla strada di Smolensk.
Il fatto che Napoleone sia d'accordo con Mouton e che le truppe siano tornate indietro non prova che lui l'avesse ordinato, ma che le forze che agivano sull'intero esercito, nel senso di dirigerlo lungo la strada di Mozhaisk, agissero contemporaneamente su Napoleone.

Quando una persona è in movimento, trova sempre lo scopo di questo movimento. Per camminare per mille miglia, una persona ha bisogno di pensare che c'è qualcosa di buono dietro queste mille miglia. Serve una visione della terra promessa per avere la forza di muoversi.
La terra promessa durante l'offensiva francese era Mosca, durante la ritirata era la patria. Ma la patria era troppo lontana, e per una persona che cammina per mille miglia, bisogna certamente dire a se stessi, dimenticando l'obiettivo finale: "Oggi arriverò a quaranta miglia in un luogo di riposo e alloggio per la notte", e al primo passaggio questo luogo di riposo oscura la meta finale e concentra tutti i desideri e le speranze. Quelle aspirazioni che si esprimono in un individuo sono sempre accresciute nella folla.
Per i francesi, che tornavano indietro lungo la vecchia strada di Smolensk, la meta ultima della patria era troppo lontana, e la meta più vicina, quella a cui, in gran parte, rafforzandosi nella folla, tutti i desideri e le speranze aspiravano, era Smolensk. Non perché la gente sapesse che c'erano molte provviste e truppe fresche a Smolensk, non perché gli fosse stato detto questo (al contrario, i ranghi più alti dell'esercito e lo stesso Napoleone sapevano che c'erano poche provviste), ma perché solo questo poteva dai loro la forza di muoversi e di sopportare le vere difficoltà. Loro, e coloro che sapevano, e coloro che non sapevano, ingannandosi ugualmente, come se si trattasse della terra promessa, si batterono per Smolensk.
Uscendo sulla strada principale, i francesi con incredibile energia, con una velocità inaudita, corsero verso il loro obiettivo fittizio. Oltre a questa ragione della comune tensione, che univa le folle dei francesi in un tutt'uno e dava loro un po' di energia, c'era un'altra ragione che le collegava. La ragione di ciò era il loro numero. La loro enorme massa, come nella legge fisica di attrazione, attirava a sé singoli atomi di persone. Si muovevano con la loro centomillesima massa in tutto lo stato.
Ognuno di loro voleva solo una cosa: arrendersi alla prigionia, sbarazzarsi di tutti gli orrori e le disgrazie. Ma, da un lato, la forza del desiderio comune per l'obiettivo di Smolensk ha portato tutti nella stessa direzione; d'altra parte era impossibile che un corpo si arrendesse a una compagnia e, nonostante i francesi usassero ogni occasione per liberarsi l'uno dell'altro e arrendersi alla prigionia al minimo pretesto decente, questi pretesti non sempre accadevano . Il loro stesso numero e il loro movimento ravvicinato e rapido li privava di questa opportunità e rendeva non solo difficile ma impossibile per i russi fermare questo movimento, a cui era diretta tutta l'energia della massa dei francesi. Lo strappo meccanico del corpo non poteva accelerare il processo di decomposizione in corso oltre un certo limite.

LA TEORIA DELLE FUNZIONI IMPLICITE E LE SUE APPLICAZIONI

§ 1. Il concetto di funzione implicita

In matematica e nelle sue applicazioni si ha a che fare con tali problemi quando la variabile tu, che, secondo il senso del problema, è funzione degli argomenti X, in, ... , è dato dall'equazione funzionale

F(tu, x, y, ...) = 0. (1)

In questo caso lo dicono tu in funzione degli argomenti x, y, ... impostato implicitamente . Quindi, ad esempio, la funzione tu = - , considerato in un cerchio X 2 + y 2 ≤ 1 , può essere data implicitamente dall'equazione funzionale

F(tu, x, y) = tu 2 + x 2 + y 2 – 1 = 0. (2)

Naturalmente, sorge la domanda in quali condizioni l'equazione funzionale (1) decisamente risolvibile rispetto a tu, cioè. decisamente definisce una funzione esplicita tu= φ(x, y, ...) e la domanda più sottile in quali condizioni sia questa funzione esplicita continua e differenziabile . Queste domande non sono semplici. Quindi l'equazione funzionale (2), in generale, determina nel cerchio X 2 + y 2 ≤ 1 , fatta eccezione per la funzione esplicita di cui sopra tu = - , infinite altre funzioni. Queste sono la funzione tu = + , così come qualsiasi funzione tu uguale a + per alcuni punti (x, y) dal cerchio X 2 + y 2 ≤ 1 e uguale - per altri punti di questo cerchio. Per chiarire la questione delle condizioni che assicurano la solvibilità unica dell'equazione (2) rispetto a tu, passiamo all'illustrazione geometrica. L'equazione (2) definisce nello spazio (tu, x, y) sfera S raggio 1 centrato all'origine (Fig. 1). Prendiamo la sfera S punto m 0 (tu 0 , x 0 , y 0), non sdraiato sull'aereo Oh, cioè. uno per cui tu 0 ≠ 0. Ovviamente parte di una sfera S, giacente in un quartiere sufficientemente piccolo del punto m 0 , proiettato in modo univoco sul piano Oxy . Analiticamente, questo significa che se consideriamo la funzione F(tu, x, y) =tu 2 + X 2 + y 2 – 1 solo nell'intorno specificato del punto m 0 , allora l'equazione (2) è risolvibile in modo univoco rispetto a tu e definisce una singola funzione esplicita tu = + in tu 0 > 0 e tu = - in tu 0 < 0

Se sulla sfera S prendi un punto m 1 (0, x 1, y 1) sdraiato sull'aereo Oh(vedi Fig. 1), è evidente quella parte della sfera S che giace in qualunque quartiere m 1 proietta in modo ambiguo sul piano Oxy. Analiticamente, questo significa che se consideriamo la funzione F(tu, x, y) =tu 2 + X 2 + y 2 – 1 in qualsiasi prossimità di un punto m 1 , quindi l'equazione (2) non è risolvibile in modo univoco rispetto a tu.

Si noti che la derivata frequente della funzione F(tu, x, y) =tu 2 + X 2 + y 2 – 1 non svanisce nel punto M 0 e svanisce nel punto M1. Di seguito lo stabiliamo per risolvibilità unica in un intorno di un punto M0 equazione funzionale generale (1) rispetto a tu gioca un ruolo fondamentale non nullo nel punto M 0 della derivata parziale . Lungo la strada, stabiliremo le condizioni in cui si trova una funzione esplicita, che è l'unica soluzione all'equazione (1). continua e differenziabile .

Di seguito indicheremo lo spazio delle variabili (tu, x, y, ...) simbolo R e lo spazio delle variabili (x, y, ...) simbolo R". Per brevità e per comodità di illustrazione geometrica, considereremo due variabili x, y.

§ 2. Teorema di esistenza e derivabilità

funzione implicita e alcune sue applicazioni

1. Il teorema sull'esistenza e differenziabilità di una funzione implicita.

Teorema 1. Sia la funzione F(tu, x, y) è differenziabile in qualche intorno del puntom 0 (tu 0 , x 0 , y 0) dello spazio R, e la derivata parziale è continua nel puntom 0 . Poi, se al puntom 0 la funzione F svanisce e la derivata parziale non svanisce, quindi per qualsiasi numero positivo ε sufficientemente piccolo, esiste un tale intorno del puntom 0 '(x 0 , y 0) dello spazio R" che all'interno di questo intorno esiste una funzione unicatu= φ(x, y), che soddisfa la condizione |tu - tu 0 | < ε ed è una soluzione dell'equazione

F(tu, x, y) = 0 (3)

Osservazione 1. Nelle condizioni del Teorema 1, si può omettere il requisito della continuità della derivata parziale al punto m 0 , ma poi dovremo inoltre richiedere che questa derivata non svanisca, non solo nel punto stesso m 0 , ma anche in qualche quartiere di questo punto e conservava un certo segno in questo quartiere.

Dimostrazione del teorema 1.

1. Prima di tutto, lo dimostriamo per sufficientemente piccolo ε>0 in un intorno di un puntom 0 '(x 0, y 0) esiste una singola funzionetu= φ(x, y), che soddisfa la condizione |tu - tu 0 | < ε ed è una soluzione dell'equazione (3). Per rendere la dimostrazione più visiva, la accompagneremo con un'illustrazione geometrica. È noto dalla geometria analitica che l'equazione (3) determina nello spazio R qualche superficie S(Fig. 2) e, a causa della condizione F(m 0 ) = 0 , punto m 0 giace su questa superficie. Da un punto di vista geometrico, l'unica solubilità dell'equazione (3) rispetto a tu significa quella parte della superficie S, che giace in prossimità del punto m 0 , può essere proiettato in modo univoco sul piano delle coordinate Oh.

Per ragioni di determinatezza, assumiamo che la derivata parziale positivo al punto m 0 . Quindi dalla continuità della derivata indicata in m 0 e segue dal teorema di stabilità per il segno di una funzione continua che c'è un tale vicinato del punto m 0 , ovunque all'interno del quale positivo . Possiamo prendere questo vicinato come una palla Ω di raggio sufficientemente piccolo centrata nel punto m 0 . Fissiamo un numero positivo ε così piccolo che ogni punto m 1 (tu 0 - ε, x 0, y 0) e m 2 (tu 0 + ε, x 0, y 0) si trova all'interno della palla Ω (per questo è sufficiente prendere ε minore del raggio della sfera Ω). Sottolineiamo che in questo caso dal basso ε è limitato solo da zero e possiamo prenderlo piccolo quanto vogliamo - questo verrà utilizzato da noi di seguito.

Considera la funzione F(tu, x 0 , y 0) una variabile per segmento tu 0 – ε ≤ tu ≤ tu 0 + ε . Da un punto di vista geometrico, questo significa che stiamo considerando una funzione di tre variabili F(tu, x, y) lungo il segmento M 1 M 2(Fig. 2). Dal momento che la derivata (tu, x 0 , y 0) positivo sul segmento tu 0 – ε ≤ tu ≤ tu 0 + ε poi la funzione F(tu, x 0 , y 0) aumenta su questo segmento. Ma poi, poiché questa funzione è uguale a zero nel mezzo del segmento indicato (cioè, a tu = tu 0 ), poi F(tu, x 0 , y 0) ha un valore negativo all'estremità sinistra e un valore positivo all'estremità destra del segmento specificato, ad es.

F(m 1 ) < 0, F(M2) > 0

Quindi, considera le funzioni F(tu - ε, x, y) e F(tu + ε, x, y) due variabili X e in, cioè, parlando geometricamente, considera la funzione F(tu, x, y) su due piani paralleli al piano delle coordinate Oh, il primo dei quali passa per il punto m 1 e il secondo - attraverso il punto m 2 . Nella misura in cui F(m 1 ) < 0, F(m 2 ) > 0 e funzione F(tu, x, y)è continua ovunque nella palla Ω, quindi, per il teorema sulla stabilità del segno di una funzione continua, su questi piani ci sono tali quartieri punti m 1 e m 2 , all'interno del quale la funzione F conserva gli stessi segni dei punti m 1 e m 2 . Possiamo prendere questi quartieri sotto forma di quadrati aperti con centri nei punti m 1 e m 2 e con lato 2δ sufficientemente piccolo (i quadrati indicati sono ombreggiati in Fig. 2). Analiticamente, il fatto che la funzione F(tu, x, y) mantiene un segno costante sui quadrati indicati, è espresso dalle disuguaglianze

F(tu 0 – ε, x, y)< 0

A | X – X 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (4)

F(tu 0 + ε, x, y) > 0

La scelta del lato dei quadrati indicati sarà subordinata ad un'ulteriore condizione: prendi δ così piccolo che entrambi i quadrati indicati si trovano all'interno della palla Ω (questo si può certamente fare, perché i centri delle piazze m 1 e m 2 sono punti interni della palla Ω). Con questa scelta di δ, qualsiasi punto nello spazio (tu, x, y), le cui coordinate soddisfano le disuguaglianze

| x – x0 |< δ , | y – y 0 |< δ , | u – u 0 |< ε (5)

giace all'interno della palla Ω. Da un punto di vista geometrico, le disuguaglianze (5) definiscono un parallelepipedo rettangolare aperto centrato nel punto m 0 e con lati paralleli agli assi delle coordinate tu, x, y e pari rispettivamente a 2ε, 2δ e 2δ. Indicheremo questo parallelepipedo con il simbolo П. Poiché il parallelepipedo П giace all'interno della sfera Ω, poi dappertutto nel parallelepipedo П (compresi i quadrati aperti giacenti alle sue basi) il derivato positivo . Inoltre, a causa delle disuguaglianze (4), la funzione F( tu , x, y) è negativo sulla base inferiore e positivo sulla base superiore P .

Dimostriamo ora che l'Eq. (3) è risolvibile in modo univoco rispetto a tu se la funzione F(tu, x, y) considerare solo per i valori tu, x, y giacente all'interno del parallelepipedo P. Chiariamo cosa deve essere dimostrato. Permettere m'(x, y) - qualsiasi punto nello spazio R", le cui coordinate soddisfano le disuguaglianze

| X – X 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (6)

In altre parole, lasciate m'(x, y)- qualsiasi punto del piano Oh, giacente all'interno di un quadrato centrato in un punto m 0 '(x 0, y 0) e con lati uguali a 2δ. È necessario dimostrarlo per le coordinate x, y punti M" sarà trovato, e l'unica cosa , numero tu dall'intervallo tu 0 – ε < tu < tu 0 + ε tale che F(tu, x, y) = 0. (Da un punto di vista geometrico, ciò significa che qualsiasi linea parallela all'asse tu e intersecando il parallelepipedo P, interseca la superficie S all'interno del parallelepipedo П solo in un punto.)

Correggere i valori X e in soddisfacendo le disuguaglianze (6), si consideri la funzione F(u, x, y) discussione tu sul segmento tu 0 – ε ≤ tu ≤ tu 0 + ε , vale a dire, considera la funzione F(u, x, y) sul segmento m 1 ’ m 2 ’ dove m 1 ’ e m 2 ’ - il punto di intersezione della retta passante per il punto m'(x, y) e asse parallelo Oh, con le basi del parallelepipedo P (vedi Fig. 2). Dal momento che la derivata (tu, x, y) positivo sul segmento tu 0 – ε ≤ tu ≤ tu 0 + ε , quindi la funzione F(u, x, y) aumenta su questo segmento (o, che è lo stesso, aumenta sull'intervallo m 1 ’ m 2 ’ ). Ma poi dalle condizioni F(m 1 ’) < 0, F(m 2 ’) > 0 ne consegue che all'interno del segmento tu 0 – ε ≤ tu ≤ tu 0 + ε c'è un solo valore tu tale che F(u, x, y) = 0(o, geometricamente parlando, all'interno del segmento m 1 ’ m 2 ’ c'è solo un punto m sdraiato in superficie S).

Ora lascia la funzione tu= φ(x, y) simboleggia la regola con cui ogni punto m'(x, y) da quartiere (6) è associato a un unico numero tu dall'intervallo tu 0 – ε < tu < tu 0 + ε, per cui F(u, x, y) = 0. Abbiamo dimostrato che nell'intorno (6) esiste una funzione unica tu= φ(x, y), soddisfacendo la condizione | tu – tu 0 | < ε ed essendo una soluzione dell'equazione (3).

2. Dimostriamolo ora funzione tu = φ(x, y) è continuo in ogni punto m '(x, y) quartiere (6) . Dal momento che per qualsiasi punto m'(x, y) dall'intorno (6) sono soddisfatte le stesse condizioni (vale a dire, qualsiasi punto m '(x, y) dall'intorno (6) corrisponde al punto m(u, x, y) spazio R tale che la funzione F(u, x, y) svanisce a un certo punto m, è differenziabile in alcune vicinanze del punto m e ha una derivata parziale diversa da zero in questo intorno ) quanto al punto m 0 '(x 0, y 0), allora basta provare la continuità della funzione tu= φ(x, y) solo al punto m 0 '(x 0, y 0). È necessario dimostrarlo per ogni positivo sufficientemente piccolo ε c'è un numero positivo δ tale che per qualsiasi X e in soddisfare le disuguaglianze | X – X 0 | < δ , | y – y 0 | < δ , la disuguaglianza | tu – tu 0 | < ε dove tu= φ(x, y), tu 0 \u003d φ (x 0, y 0). Se prendiamo come ε il numero che è stato scelto sopra considerando il paragrafo 1, allora l'esistenza δ è data dalle disuguaglianze (5). Resta da notare che nel ragionamento del punto 1 si può assumere il numero positivo ε piccolo quanto vuoi (questo è stato osservato al paragrafo 1).

3. Resta da dimostrare differenziabilità funzioni tu= φ(x, y) in qualsiasi punto m'(x, y) quartiere (6). In virtù dell'osservazione fatta al § 2, basta provare la differenziabilità della funzione tu= φ(x, y) proprio al punto m 0 '(x 0, y 0). Per fare ciò, calcoliamo l'incremento totale Δ tu funzioni tu= φ(x, y) al punto m 0 '(x 0, y 0) Δ X e Δ y. Nella misura in cui F(tu 0 , x 0 , y 0) = 0 e F(tu 0 + Δ tu, x 0 + ΔX, y 0 + Δy) = 0 , poi incremento completo Δ F funzioni F(u, x, y) al punto m 0 '(x 0, y 0), corrispondente agli incrementi degli argomenti Δ tu, Δ X e Δ y, zero . Ma per la condizione di differenziabilità della funzione F(u, x, y) al punto m 0 (tu 0 , x 0 , y 0) questo incremento totale ha la forma

Qui tutte derivate parziali , e vengono presi al punto m 0 (tu 0 , x 0 , y 0); α, β e γ→0 in

Quindi otteniamo

Secondo la forma differenza, le condizioni di continuità per la funzione tu= φ(x, y) al punto m 0 '(x 0, y 0) Δ tu→ 0 a. Pertanto, si può sostenere che α, β e γ→0 solo a condizione .

Per la condizione del teorema, la derivata parziale è diversa da zero nel punto m 0 . Nella misura in cui γ→0 a, allora per Δ sufficientemente piccolo X e Δ y espressione non svanisce . In questo caso, la formula (7) può essere divisa per il risultato che otteniamo

Per il teorema sul valore limite del quoziente di due funzioni possiamo affermarlo

dove μ e υ→0 a.

Confrontando le formule (8) e (9), otteniamo infine

La formula (10) dimostra la differenziabilità della funzione tu= φ(x, y) al punto m 0 '(x 0, y 0). Pertanto, il Teorema 1 è completamente dimostrato.

Osservazione 2. La dimostrazione di cui sopra può essere riportata senza alcuna difficoltà al caso di una funzione implicita dipendente non da due, ma da un numero finito di argomenti X 1 , x 2 , …,x m(e, in particolare, da un argomento). Caso di due argomenti X e in ha solo il vantaggio di consentire un'illustrazione geometrica visiva nello spazio (u, x, y) .

2. Calcolo delle derivate parziali di una funzione data implicitamente. Soffermiamoci sul calcolo delle derivate parziali di una funzione data implicitamente dall'equazione (3). Siano soddisfatte le condizioni del Teorema 1. Quindi per un completo incremento della funzione tu= φ(x, y) vale la rappresentazione (10). Questa rappresentazione ci permette di asserire che le derivate parziali delle funzioni tu= φ(x, y) sono definiti da formule

Formule simili sono valide anche nel caso in cui la funzione definita implicitamente non dipenda da due, ma da un numero finito di argomenti X 1 , x 2 , …,x m. In questo caso (K = 1, 2, …, m)

Se vogliamo garantire l'esistenza di una funzione definita implicitamente tu= φ(x, y) derivate parziali secondo ordine, quindi, ovviamente, dobbiamo rafforzare i requisiti imposti alla funzione F(u, x, y) nel Teorema 1, è necessario richiedere inoltre che la funzione F(u, x, y)è due volte differenziabile nel punto in esame. Sotto queste ipotesi, ci fermiamo al calcolo derivate parziali del secondo ordine .

Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa, otteniamo le seguenti formule per le derivate parziali totali indicate:

Passiamo al calcolo delle derivate parziali del secondo ordine di una funzione data implicitamente. Per ragioni di certezza, calcoliamo la derivata. Differenziando la prima delle formule (11) rispetto a in e tenendo conto che ciascuna delle derivate parziali e dipende da tre argomenti tu, x, y, la prima delle quali è essa stessa una funzione X e in, avrà

Inserendo nella formula risultante l'espressione determinata dalla seconda delle formule (11), abbiamo finalmente

Le derivate parziali e sono calcolate esattamente allo stesso modo. Un metodo simile può essere utilizzato per calcolare le derivate parziali del terzo e dei successivi ordini (a condizione che la funzione F(u, x, y)è differenziabile in un dato punto un numero appropriato di volte).

ESEMPI. 1) Calcola la derivata parziale della funzione tu= φ(x, y) dato dall'equazione X + y + tu – e - (X + y + tu) = 0 .

Innanzitutto, utilizzando le formule (11), calcoliamo le derivate parziali del primo ordine. Inoltre, è ovvio che = 0 .

2) Stessa domanda per la funzione data dall'equazione tu 2 + X 2 + y 2 - un 2 = 0 . Utilizzando le formule (11), otteniamo, . Successivamente, avremo

3. Punti singolari di una superficie e una curva piana. Considera una superficie S(curva piatta l) definito in un dato sistema di coordinate rettangolari cartesiane dall'equazione F(x, y,z)=0 (F(x, y,)=0). Sulla funzione F(x, y,z) (F(x, y,)) supponiamo che abbia derivate parziali continue del primo ordine rispetto a tutti gli argomenti ovunque in qualche intorno di qualsiasi punto della superficie S(storto l). Chiameremo questo punto in superficie S(storto l) singolare se a questo punto tutte le derivate parziali del primo ordine della funzione F(x, y,z) (F(x, y,)). In prossimità di un punto singolare, non può essere applicato all'equazione F(x, y,z)=0 (F(x, y,)=0) Teorema 1, cioè non si può affermare che questa equazione sia risolvibile rispetto ad almeno una delle variabili x, y, z (x, y). Quindi la superficie S(storto l) adiacente a un punto singolare potrebbe non consentire una proiezione univoca su nessuno dei piani delle coordinate (su nessuno degli assi delle coordinate). Struttura superficiale S(storto l) nelle vicinanze di un punto singolare può essere molto complicato e richiedere ulteriori studi.

Punti di superficie S(storto l), che non sono speciali, sono solitamente chiamati ordinario . Il teorema 1 vale in un intorno di un punto ordinario, in modo che l'area della superficie adiacente al punto ordinario S(storto l) consente una proiezione univoca su almeno uno dei piani delle coordinate (almeno su uno degli assi delle coordinate), il che facilita notevolmente lo studio di quest'area.

ESEMPI. 1) Trova i punti singolari di un cono circolare X 2 + y 2 – z 2 = 0.

Nella misura in cui F(x, y,z) = X 2 + y 2 – z 2 , poi, . L'unico punto singolare è l'origine. È noto che in prossimità di questo punto la superficie del cono non può essere proiettata in modo univoco su nessuno dei piani delle coordinate (Fig. 15.3).

2) Stessa domanda per quanto riguarda una curva piatta X 2 - y 2 + X 3 = 0 .

Le derivate parziali hanno la forma . Entrambe le derivate parziali svaniscono in due punti del piano (0, 0) e (- , 0) . Di questi due punti, solo il primo appartiene alla curva in esame, cioè è singolare. Aver costruito una curva X 2 - y 2 + X 3 = 0 in prossimità del punto (0, 0) , faremo in modo che questo punto sia il punto di autointersezione del grafico (Fig. 15.4). È chiaro che in prossimità di questo punto la curva non può essere proiettata univocamente sull'asse Oh, non sull'asse UO.

4. Condizioni che assicurano l'esistenza di una funzione y=f(x) funzione inversa. Applichiamo il Teorema 1 per scoprire le condizioni in cui la funzione y=f(x) ha punti in qualche quartiere X 0 funzione inversa x=f -1 (y), definito in un quartiere del punto y 0 , dove y 0 = f(x0). Considereremo la funzione y=f(x) come una funzione definita da un'equazione funzionale della forma F(x, y) = f(x) – y = 0.

Allora la questione dell'esistenza di una funzione inversa coincide con la questione della risolvibilità rispetto a X l'equazione funzionale specificata. Come conseguenza del Teorema 1 e della Osservazione 1 prima di dimostrare questo teorema, otteniamo la seguente asserzione: se la funzione y=f(x) ha una derivata diversa da zero in qualche intorno del punto x 0, allora per questa funzione nell'intorno di x 0 esiste una funzione inversa x=f -1 (y), definita e differenziabile in qualche intorno del punto y 0 , dove y 0 = f(x0). Derivata della funzione inversa specificata in un punto y 0 per la seconda delle formule (11) è uguale a .

Se la funzione è data dall'equazione y=ƒ(x) risolta rispetto a y, allora la funzione è data esplicitamente (funzione esplicita).

Sotto assegnazione implicita le funzioni comprendono l'assegnazione di una funzione sotto forma di un'equazione F(x;y)=0, non consentita rispetto a y.

Qualsiasi funzione data esplicitamente y=ƒ(x) può essere scritta come implicitamente data dall'equazione ƒ(x)-y=0, ma non viceversa.

Non è sempre facile, e talvolta impossibile, risolvere un'equazione per y (ad esempio, y+2x+cozy-1=0 o 2y-x+y=0).

Se la funzione implicita è data dall'equazione F(x; y)=0, allora per trovare la derivata di y rispetto a x non è necessario risolvere l'equazione rispetto a y: basta differenziare questa equazione rispetto a x, considerando y in funzione di x, e quindi risolvere l'equazione risultante rispetto a y".

La derivata di una funzione implicita è espressa nei termini dell'argomento x e della funzione y.

Teorema di esistenza e derivabilità per una funzione definita implicitamente

Lascia che la funzione F(X,y) soddisfa le condizioni

F(X 0,y 0) = 0 ;

derivate parziali F"X e F"y sono continui in qualche intorno del punto ( X 0,y 0) ;

F"y(X 0,y 0) ≠ 0 .

l'equazione F(X,y) = 0 definisce implicitamente in un intorno del punto X 0 l'unica funzione continua y(X) soddisfacendo la condizione y(X 0) =y 0 .

funzione y(X) ha una derivata continua in un intorno del punto X 0 .

Chiariamo il significato delle condizioni del teorema.

Esistenza di una funzione implicita continua y=F(X) in prossimità del punto ( X 0,y 0) segue dal teorema di esistenza, poiché:

la condizione 1 garantisce l'esistenza di un punto le cui coordinate soddisfano l'equazione F(X,y) = 0 ;

la condizione 2 implica la continuità della funzione F(X,y) in prossimità del punto ( X 0,y 0) e dalla condizione 3 - la sua monotonia in y per ogni fisso X da questo quartiere.

Pertanto, le condizioni 1–3 assicurano il soddisfacimento delle condizioni per l'esistenza di una funzione implicita y(X) soddisfacendo la condizione y(X 0) =y 0 e continuo in un intorno del punto X 0.

1. Calcolo delle derivate parziali di una funzione data implicitamente.

Quando le condizioni appropriate sono soddisfatte, l'equazione definisce implicitamente una funzione. La stessa equazione può definire implicitamente la funzione o.

Derivata di una funzione implicita. Quando calcoliamo la derivata di una funzione implicita, utilizziamo la regola di differenziazione di una funzione complessa. Differenziamo l'equazione: . Da qui otteniamo una formula per la derivata di una funzione data implicitamente:. Allo stesso modo è facile ottenere formule per derivate parziali di una funzione di più variabili, date implicitamente, ad esempio, dall'equazione :,.

1. Condizioni necessarie per un estremo locale di una funzione a più variabili. Estremità locale di funzioni di più variabili. Condizioni necessarie per un estremo locale incondizionato.

Definizione : Sia data una funzione n-variabili

Sia dato un punto M 0 con coordinate , il punto M 0 è detto locale max(min) se   env del punto M 0: x  env è vero

(x   env ), env è chiamato insieme (in n spazio dimensionale).

Punto di localemaxominchiamato punto estremo.

Condizioni necessarie per un estremo di una funzione di più variabili.

Definizione: punto stazionario. Se una funzione è differenziabile in un punto M 0, allora una condizione necessaria per l'esistenza di un estremo a questo punto è il requisito della sua stazionarietà:

(, Se)

Punto stazionario è il punto in cui tutte le derivate parziali rispetto a tutti gli argomenti sono uguali a 0.

Prova: Correggi tutte le variabili lasciando solo x 1 ,

correggendo qualsiasi altra variabile, otteniamo la stessa cosa.

Definizione: una condizione necessaria per un estremo.

Al punto estremo della funzione n-il differenziale variabile scompare.

Se local extremum , se - sono indipendenti

Commento: se la condizione estrema necessaria è soddisfatta, allora non è necessariamente un extremum.

Verità: se un punto è fermo, non è necessariamente un extremum, IN GENERALE! L'estremo è sempre un punto fermo!

Esempio: (0,0),x>0, y>0  z>0, x<0, y<0 z<0, но dz =0.