Una delle operazioni di differenziazione è trovare la derivata (differenziale) e applicarla allo studio delle funzioni.

Il problema inverso non è meno importante. Se si conosce il comportamento di una funzione in prossimità di ciascun punto della sua definizione, come si può ricostruire la funzione nel suo insieme, cioè nell’intero ambito della sua definizione. Questo problema è oggetto di studio del cosiddetto calcolo integrale.

L’integrazione è l’azione inversa della differenziazione. Oppure ripristinando la funzione f(x) da una data derivata f`(x). La parola latina “integro” significa restaurazione.

Esempio n. 1.

Sia (f(x))’ = 3x 2. Troviamo f(x).

Soluzione:

Basandosi sulla regola della differenziazione, non è difficile indovinare che f(x) = x 3, perché

(x 3)’ = 3x 2 Tuttavia si può facilmente notare che f(x) non si trova in modo univoco. Poiché f(x), puoi prendere f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, ecc.

Perché la derivata di ciascuno di essi è 3x 2. (La derivata di una costante è 0). Tutte queste funzioni differiscono tra loro per un termine costante. Pertanto, la soluzione generale del problema può essere scritta come f(x) = x 3 + C, dove C è un numero reale costante.

Viene chiamata una qualsiasi delle funzioni trovate f(x). antiderivativo per la funzione F`(x)= 3x 2

Definizione.

Una funzione F(x) è detta antiderivativa per una funzione f(x) su un dato intervallo J se per tutti gli x da questo intervallo F`(x)= f(x). Quindi la funzione F(x)=x 3 è antiderivativa per f(x)=3x 2 su (- ∞ ; ∞). Poiché per ogni x ~R vale l'uguaglianza: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Come abbiamo già notato, questa funzione ha un numero infinito di antiderivative.

Esempio n.2.

La funzione è antiderivativa per tutti sull'intervallo (0; +∞), perché per tutti gli h di questo intervallo vale l'uguaglianza.

Il compito dell'integrazione è trovare tutte le sue antiderivative per una data funzione. Quando si risolve questo problema, la seguente dichiarazione gioca un ruolo importante:

Un segno di costanza di funzione. Se F"(x) = 0 su un intervallo I, allora la funzione F è costante su questo intervallo.

Prova.

Fissiamo qualche x 0 dall'intervallo I. Allora per qualsiasi numero x da tale intervallo, in virtù della formula di Lagrange, possiamo indicare un numero c contenuto tra x e x 0 tale che

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Per condizione, F’ (c) = 0, poiché c ∈1, quindi,

F(x) - F(x 0) = 0.

Quindi, per tutti gli x dell'intervallo I

cioè la funzione F mantiene un valore costante.

Tutte le funzioni antiderivative f possono essere scritte utilizzando una formula, chiamata forma generale degli antiderivativi per la funzione F. Vale il seguente teorema ( proprietà principale degli antiderivativi):

Teorema. Qualsiasi antiderivativa per una funzione f sull'intervallo I può essere scritta nella forma

F(x) + C, (1) dove F (x) è una delle antiderivative della funzione f (x) sull'intervallo I e C è una costante arbitraria.

Spieghiamo questa affermazione, in cui vengono brevemente formulate due proprietà dell'antiderivativo:

1. Qualunque sia il numero che mettiamo nell'espressione (1) al posto di C, otteniamo la primitiva di f sull'intervallo I;
2. qualunque sia l'antiderivativa Ф per f sull'intervallo I, è possibile selezionare un numero C tale che per tutti gli x dell'intervallo I valga l'uguaglianza

Prova.

1. Per condizione, la funzione F è antiderivativa per f sull'intervallo I. Pertanto, F"(x)= f (x) per ogni x∈1, quindi (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), cioè F(x) + C è l'antiderivativa della funzione f.
2. Sia Ф (x) una delle antiderivative della funzione f sullo stesso intervallo I, cioè Ф "(x) = f (х) per ogni x∈I.

Allora (Ô(x) - F (x))" = Ô"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Da qui segue c. la potenza del segno di costanza della funzione, che la differenza Ф(х) - F(х) è una funzione che assume un valore costante C sull'intervallo I.

Pertanto, per tutti gli x dell'intervallo I è vera l'uguaglianza Ф(x) - F(x)=С, che è ciò che doveva essere dimostrato. Alla proprietà principale dell'antiderivativo può essere attribuito un significato geometrico: i grafici di due qualsiasi antiderivative per la funzione f sono ottenuti l'uno dall'altro mediante traslazione parallela lungo l'asse Oy

Domande per gli appunti

La funzione F(x) è una antiderivativa della funzione f(x). Trova F(1) se f(x)=9x2 - 6x + 1 e F(-1) = 2.

Trova tutte le antiderivative per la funzione

Per la funzione (x) = cos2 * sin2x, trova l'antiderivativa di F(x) se F(0) = 0.

Per una funzione, trova un'antiderivativa il cui grafico passa per il punto

Consideriamo il movimento di un punto lungo una linea retta. Lascia che ci voglia tempo T dall'inizio del movimento il punto ha percorso una distanza s(t). Poi la velocità istantanea v(t) uguale alla derivata della funzione s(t), questo è v(t) = s"(t).

In pratica ci troviamo di fronte al problema inverso: data la velocità di movimento di un punto v(t) trovare la strada che ha preso s(t), cioè, trova una tale funzione s(t), la cui derivata è uguale a v(t). Funzione s(t), tale che s"(t) = v(t), è detta antiderivativa della funzione v(t).

Ad esempio, se v(t) = at, Dove UNè un dato numero, quindi la funzione
s(t) = (àt 2) / 2v(t), Perché
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Funzione F(x) chiamata antiderivativa della funzione f(x) in qualche intervallo, se non altro X da questo divario F"(x) = f(x).

Ad esempio, la funzione F(x) = peccato xè l'antiderivativa della funzione f(x) = cosx, Perché (peccato x)" = cos x; funzione F(x) = x4/4è l'antiderivativa della funzione f(x) = x3, Perché (x4/4)" = x3.

Consideriamo il problema.

Compito.

Dimostrare che le funzioni x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 sono antiderivative della stessa funzione f(x) = x 2.

Soluzione.

1) Indichiamo F 1 (x) = x 3 /3, quindi F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) FA 2 (x) = x 3 /3 + 1, FA" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) FA 3 (x) = x 3 /3 – 4, FA" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

In generale, qualsiasi funzione x 3 /3 + C, dove C è una costante, è una antiderivativa della funzione x 2. Ciò deriva dal fatto che la derivata della costante è zero. Questo esempio mostra che per una data funzione la sua antiderivativa è determinata in modo ambiguo.

Siano F 1 (x) e F 2 (x) due antiderivative della stessa funzione f(x).

Allora F 1 "(x) = f(x) e F" 2 (x) = f(x).

La derivata della loro differenza g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) è uguale a zero, poiché g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f(x) = 0.

Se g"(x) = 0 su un certo intervallo, allora la tangente al grafico della funzione y = g(x) in ciascun punto di questo intervallo è parallela all'asse Ox. Pertanto, il grafico della funzione y = g(x) è una retta parallela all'asse del bue, cioè g(x) = C, dove C è una costante. Dalle uguaglianze g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ne consegue che F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Quindi, se la funzione F(x) è un'antiderivativa della funzione f(x) su un certo intervallo, allora tutte le antiderivative della funzione f(x) sono scritte nella forma F(x) + C, dove C è un costante arbitraria.

Consideriamo i grafici di tutte le antiderivative di una data funzione f(x). Se F(x) è una delle antiderivative della funzione f(x), allora qualsiasi antiderivativa di questa funzione si ottiene aggiungendo a F(x) una costante: F(x) + C. Grafici di funzioni y = F( x) + C si ottengono dal grafico y = F(x) per spostamento lungo l'asse Oy. Scegliendo C, puoi assicurarti che il grafico dell'antiderivativa passi per un dato punto.

Prestiamo attenzione alle regole per trovare gli antiderivativi.

Ricordiamo che viene chiamata l'operazione di ricerca della derivata per una determinata funzione differenziazione. Si chiama l'operazione inversa per trovare l'antiderivativa per una data funzione integrazione(dalla parola latina "ristabilire").

Tabella degli antiderivativi per alcune funzioni può essere compilato utilizzando una tabella delle derivate. Ad esempio, sapendolo (cos x)" = -peccato x, noi abbiamo (-cos x)" = peccato x, da cui segue che tutte le funzioni antiderivative peccato x sono scritti nel modulo -cosx + C, Dove CON- costante.

Diamo un'occhiata ad alcuni dei significati degli antiderivativi.

1) Funzione: x p, p ≠ -1. Antiderivativo: (xp+1) / (p+1) + C.

2) Funzione: 1/x, x > 0. Antiderivativo: ln x + C.

3) Funzione: x p, p ≠ -1. Antiderivativo: (xp+1) / (p+1) + C.

4) Funzione: es. Antiderivativo: e x + C.

5) Funzione: peccato x. Antiderivativo: -cosx + C.

6) Funzione: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivativo: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funzione: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivativo: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funzione: ekx + b, k ≠ 0. Antiderivativo: (1/k) ekx + b + C.

9) Funzione: peccato (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativo: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funzione: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativo: (1/k) peccato (kx + b).

Regole di integrazione può essere ottenuto utilizzando regole di differenziazione. Diamo un'occhiata ad alcune regole.

Permettere F(x) E G(x)– rispettivamente antiderivative di funzioni f(x) E g(x) ad un certo intervallo. Poi:

1) funzione F(x) ± G(x)è l'antiderivativa della funzione f(x)±g(x);

2) funzione F(x)è l'antiderivativa della funzione af(x).

sito web, quando si copia il materiale in tutto o in parte, è richiesto un collegamento alla fonte.

Prototipo. Una bella parola.) Innanzitutto, un po' di russo. Questa parola si pronuncia esattamente così, no "prototipo" , come può sembrare. L'antiderivativa è il concetto base di tutto il calcolo integrale. Tutti gli integrali - indefiniti, definiti (acquisirai familiarità con loro questo semestre), così come doppi, tripli, curvilinei, superficiali (e questi sono già i personaggi principali del secondo anno) - sono costruiti su questo concetto chiave. Ha perfettamente senso padroneggiarlo. Andare.)

Prima di familiarizzare con il concetto di antiderivativo, ricordiamo in termini più generali quello più comune derivato. Senza addentrarci nella noiosa teoria dei limiti, degli incrementi degli argomenti e altre cose, possiamo dire che trovare la derivata (o differenziazione) è semplicemente un'operazione matematica su funzione. È tutto. Viene accettata qualsiasi funzione (ad esempio, f(x) = x2) E secondo determinate regole si trasforma in nuova caratteristica. E questo è quello giusto nuova caratteristica e viene chiamato derivato.

Nel nostro caso prima della differenziazione esisteva una funzione f(x) = x2, e dopo la differenziazione lo è già diventato altra funzione f’(x) = 2x.

Derivato– perché la nostra nuova funzione f’(x) = 2x accaduto dalla funzione f(x) = x2. Come risultato dell'operazione di differenziazione. E specificamente da esso, e non da qualche altra funzione ( x3, Per esempio).

In parole povere, f(x) = x2- questa è la mamma, e f’(x) = 2x- la sua amata figlia.) Questo è comprensibile. Andare avanti.

I matematici sono persone irrequiete. Per ogni azione cercano di trovare una reazione. :) C'è l'addizione - c'è anche la sottrazione. C'è la moltiplicazione e c'è la divisione. Elevare a una potenza significa estrarre la radice. Seno - arcoseno. Esattamente la stessa differenziazione- ciò significa che c'è... integrazione.)

Poniamo ora un problema interessante. Ad esempio, abbiamo una funzione così semplice f(x) = 1. E dobbiamo rispondere a questa domanda:

La derivata della funzione COSA ci dà la funzioneF(X) = 1?

In altre parole, vedere una figlia, attraverso l'analisi del DNA, capire chi è sua madre. :) Allora da quale? originale funzione (chiamiamola F(x)) our derivato funzione f(x) = 1? Oppure, in forma matematica, per cui funzione F(x) vale la seguente uguaglianza:

F’(x) = f(x) = 1?

Un esempio elementare. Ci ho provato.) Selezioniamo semplicemente la funzione F(x) in modo che l'uguaglianza funzioni. :) Beh, l'hai trovato? Si certo! F(x) = x. Perché:

F’(x) = x’ = 1 = f(x).

Certo, la mamma ritrovata F(x) = x Devo chiamarlo in qualche modo, sì.) Incontriamoci!

Antiderivativa per funzioneF(X) viene chiamata tale funzioneF(X), la cui derivata è uguale aF(X), cioè. per cui vale l'uguaglianzaF’(X) = F(X).

È tutto. Niente più trucchi scientifici. Nella definizione rigorosa viene aggiunta una frase aggiuntiva "sull'intervallo X". Ma per ora non approfondiremo queste sottigliezze, perché il nostro compito principale è imparare a trovare questi primitivi.

Nel nostro caso, risulta che la funzione F(x) = xÈ antiderivativo per funzione f(x) = 1.

Perché? Perché F’(x) = f(x) = 1. La derivata di x è uno. Nessuna obiezione.)

Il termine “prototipo” nel linguaggio comune significa “antenata”, “genitore”, “antenato”. Ricordiamo subito la persona più vicina e cara.) E la ricerca stessa dell'antiderivativo è il ripristino della funzione originaria dal suo derivato noto. In altre parole, questa azione inverso della differenziazione. È tutto! Questo affascinante processo stesso è anche chiamato in modo abbastanza scientifico: integrazione. Ma circa integrali- Dopo. Pazienza, amici!)

Ricordare:

L'integrazione è un'operazione matematica su una funzione (come la differenziazione).

L’integrazione è l’operazione inversa della differenziazione.

L'antiderivativa è il risultato dell'integrazione.

Ora complichiamo il compito. Cerchiamo ora la primitiva della funzione f(x) = x. Cioè, troveremo una tale funzione F(x) , A il suo derivato sarebbe uguale a X:

F'(x) = x

A chiunque abbia familiarità con i derivati ​​probabilmente verrà in mente qualcosa del tipo:

(x2)’ = 2x.

Ebbene rispetto e rispetto per chi ricorda la tavola dei derivati!) Esatto. Ma c'è un problema. La nostra funzione originaria f(x) = x, UN (x2)’ = 2 X. Due X. E dopo la differenziazione dovremmo ottenere solo x. Non va bene. Ma…

Tu ed io siamo un popolo colto. Abbiamo ricevuto i nostri certificati.) E dalla scuola sappiamo che entrambi i lati di qualsiasi uguaglianza possono essere moltiplicati e divisi per lo stesso numero (tranne lo zero, ovviamente)! Questo è tutto organizzato. Quindi cogliamo questa opportunità a nostro vantaggio.)

Vogliamo che una X pura rimanga a destra, giusto? Ma i due si intromettono... Quindi prendiamo il rapporto per la derivata (x 2)’ = 2x e dividiamo entrambe le sue parti proprio a questi due:

Dunque, qualcosa sta già diventando più chiaro. Andare avanti. Sappiamo che qualsiasi costante può esserlo togli la derivata dal segno. Come questo:

Tutte le formule in matematica funzionano sia da sinistra a destra che viceversa, da destra a sinistra. Ciò significa che, con lo stesso successo, qualsiasi costante può esserlo inserire sotto il segno della derivata:

Nel nostro caso, nascondiamo i due al denominatore (o, che è la stessa cosa, il coefficiente 1/2) sotto il segno della derivata:

E adesso attentamente Diamo uno sguardo più da vicino alla nostra registrazione. Cosa vediamo? Vediamo un'uguaglianza che afferma che la derivata di qualcosa(Questo qualcosa- tra parentesi) è uguale a X.

L'uguaglianza risultante significa semplicemente che l'antiderivativa desiderata per la funzione f(x) = x serve alla funzione F(x) = x2/2 . Quello tra parentesi sotto il tratto. Direttamente nel significato dell'antiderivativo.) Bene, controlliamo il risultato. Troviamo la derivata:

Grande! Si ottiene la funzione originale f(x) = x. Ciò da cui hanno ballato è ciò a cui sono tornati. Ciò significa che il nostro antiderivativo è stato trovato correttamente.)

E se f(x) = x2? A cosa equivale la sua primitiva? Nessun problema! Tu ed io sappiamo (ancora, dalle regole di differenziazione) che:

3x2 = (x3)’

E, questo è,

Fatto? Ora noi, impercettibilmente per noi stessi, abbiamo imparato a contare gli antiderivativi per qualsiasi cosa funzione potenza f(x)=x n. Nella mente.) Prendi l'indicatore iniziale N, aumentatelo di uno, e come compenso dividete l'intera struttura per n+1:

La formula risultante, tra l'altro, è corretta non solo per l'indicatore naturale gradi N, ma anche per qualsiasi altro – negativo, frazionario. Ciò rende facile trovare gli antiderivativi da quelli semplici frazioni E radici.

Per esempio:

Naturalmente, n ≠ -1 , altrimenti il ​​denominatore della formula risulta essere zero e la formula perde il suo significato.) Informazioni su questo caso speciale n = -1 Un po piu tardi.)

Cos'è un integrale indefinito? Tabella degli integrali.

Diciamo a quanto vale la derivata della funzione F(x) = x? Ebbene, uno, uno: sento risposte insoddisfatte... Esatto. Unità. Ma... Per la funzione G(x) = x+1 derivato sarà anche uguale a uno:

Inoltre, la derivata sarà uguale all'unità per la funzione x+1234 e per la funzione x-10 e per qualsiasi altra funzione del modulo x+C , Dove CON – qualsiasi costante. Perché la derivata di qualsiasi costante è uguale a zero e aggiungere/sottrarre zero non fa sentire né caldo né freddo a nessuno.)

Ciò si traduce in ambiguità. Si scopre che per la funzione f(x) = 1 funge da prototipo non solo una funzione F(x) = x , ma anche una funzione F1(x) = x+1234 e funzione F2(x) = x-10 e così via!

SÌ. Esattamente così.) Per ogni ( continuo nell'intervallo) di una funzione non esiste un solo antiderivativo, ma infinitamente molti - l'intera famiglia! Non solo una mamma o un papà, ma un intero albero genealogico, sì.)

Ma! Tutti i nostri parenti primitivi hanno un'importante proprietà in comune. Ecco perché sono parenti.) La proprietà è così importante che nel processo di analisi delle tecniche di integrazione la ricorderemo più di una volta. E lo ricorderemo per molto tempo.)

Eccolo, questo immobile:

Due antiderivativi qualsiasi F 1 (X) EF 2 (X) dalla stessa funzioneF(X) differiscono per una costante:

F 1 (X) - F 2 (X) = S.

Se qualcuno è interessato a una prova, studi la letteratura o gli appunti delle lezioni.) Ok, così sia, lo dimostrerò. Fortunatamente, la dimostrazione qui è elementare, in un solo passaggio. Prendiamo l'uguaglianza

F 1 (X) - F 2 (X) =C

E Differenziamo entrambe le sue parti. Cioè, aggiungiamo semplicemente stupidamente tratti:

È tutto. Come si suol dire, CHT. :)

Cosa significa questa proprietà? E sul fatto che due diversi antiderivativi dalla stessa funzione f(x) non può differire da una specie di espressione con una X . Solo rigorosamente in costante! In altre parole, se abbiamo una sorta di programma uno degli originali(sia F(x)), quindi i grafici tutti gli altri Le nostre antiderivative sono costruite mediante trasferimento parallelo del grafico F(x) lungo l'asse y.

Vediamo come appare utilizzando la funzione di esempio f(x) = x. Tutti i suoi primitivi, come già sappiamo, hanno la forma generale F(x) = x2/2+C . Nella foto sembra numero infinito di parabole, ottenuto dalla parabola “principale” y = x 2 /2 spostandosi verso l'alto o verso il basso lungo l'asse OY a seconda del valore della costante CON.

Ricorda il grafico scolastico di una funzione y=f(x)+a spostamento di programma y=f(x) da unità “a” lungo l’asse Y?) Stessa cosa qui.)

Inoltre, attenzione: le nostre parabole non si intersecano da nessuna parte!È naturale. Dopotutto, due diverse funzioni y 1 (x) e y 2 (x) corrisponderanno inevitabilmente due diversi valori della costante – C1 E C2.

Pertanto l’equazione y 1 (x) = y 2 (x) non ha mai soluzioni:

C1 = C2

x∊∅ , Perché C1 ≠ C2

E ora ci stiamo gradualmente avvicinando al secondo concetto fondamentale del calcolo integrale. Come abbiamo appena stabilito, per ogni funzione f(x) esiste un insieme infinito di antiderivative F(x) + C, diverse tra loro per una costante. Questo set infinito ha anche il suo nome speciale.) Bene, per favore ama e favorisci!

Cos'è un integrale indefinito?

L'insieme di tutte le antiderivative di una funzione F(X) è chiamato integrale indefinito dalla funzioneF(X).

Questa è l'intera definizione.)

"Incerto" - perché l'insieme di tutte le antiderivative per la stessa funzione infinitamente. Troppe opzioni diverse.)

"Integrante" – conosceremo una decodificazione dettagliata di questa parola brutale nella prossima ampia sezione dedicata a integrali definiti. Per ora, in forma approssimativa, considereremo qualcosa come un integrale generale, unito, intero. E per integrazione - Unione, generalizzazione, in questo caso, il passaggio dal particolare (derivativo) al generale (antiderivativo). Qualcosa del genere.

L'integrale indefinito si denota così:

Si legge nello stesso modo in cui è scritto: ef integrale da x de x. O integrante da ef da x de x. Beh, hai capito.)

Ora diamo un'occhiata alla notazione.

∫ - icona integrale. Il significato è lo stesso del primo per una derivata.)

D - iconadifferenziale. Non abbiamo paura! Perché è necessario c'è un po 'più in basso.

f(x) - integrando(tramite "s").

f(x)dx - espressione dell'integrando. O, grosso modo, il “riempimento” dell'integrale.

Secondo il significato dell’integrale indefinito,

Qui F(x)- lo stesso antiderivativo per funzione f(x) che in qualche modo noi l'abbiamo trovato noi stessi. Come l'abbiano trovato esattamente non è il punto. Ad esempio, abbiamo scoperto questo F(x) = x2/2 Per f(x)=x.

"CON" - costante arbitraria. Oppure, più scientificamente, costante integrale. O costante di integrazione. Tutto è uno.)

Ora torniamo ai nostri primissimi esempi di ricerca di un’antiderivativa. In termini di integrale indefinito, ora possiamo tranquillamente scrivere:

Cos'è una costante integrale e perché è necessaria?

La domanda è molto interessante. E molto (MOLTO!) importante. Dall'intero insieme infinito delle antiderivative, la costante integrale individua la linea che passa per un dato punto.

Qual e il punto? Dall'insieme infinito iniziale di antiderivative (cioè integrale indefinito) è necessario selezionare la curva che passerà per il punto indicato. Con qualche coordinate specifiche. Tale compito si verifica sempre e ovunque durante la conoscenza iniziale degli integrali. Sia a scuola che all'università.

Problema tipico:

Tra l'insieme di tutte le primitive della funzione f=x, seleziona quella che passa per il punto (2;2).

Cominciamo a pensare con la nostra testa... L'insieme di tutti i primitivi significa che prima dobbiamo integrare la nostra funzione originale. Cioè, x(x). Lo abbiamo fatto un po' più in alto e abbiamo ottenuto la seguente risposta:

Ora scopriamo cosa abbiamo ottenuto esattamente. Non abbiamo solo una funzione, ma un'intera famiglia di funzioni. Quale? Vita y=x2/2+C . Dipende dal valore della costante C. Ed è proprio questo valore della costante che ora dobbiamo “catturare”.) Bene, cominciamo a prenderlo?)

La nostra canna da pesca - famiglia di curve (parabole) y=x2/2+C.

Costanti - questi sono pesci. Molti, moltissimi. Ma ognuno ha il suo amo e la sua esca.)

Qual è l'esca? Giusto! Il nostro punto è (-2;2).

Quindi sostituiamo le coordinate del nostro punto nella forma generale delle antiderivative! Noi abbiamo:

y(2) = 2

È facile da trovare da qui C=0.

Cosa significa questo? Ciò significa che dall'intero insieme infinito di parabole della formay=x2/2+Csoltanto parabola con costante C=0 ci si addice! Vale a dire:y=x2/2. E solo lei. Solo questa parabola passerà per il punto di cui abbiamo bisogno (-2; 2). E dentropassano tutte le altre parabole della nostra famiglia questo punto non lo saranno più. Attraverso altri punti del piano - sì, ma attraverso il punto (2; 2) - non più. Fatto?

Per chiarezza, ecco due immagini: l'intera famiglia delle parabole (cioè un integrale indefinito) e alcune parabola specifica, corrispondente valore specifico della costante e di passaggio punto specifico:

Vedi quanto è importante tenere conto della costante CON previa integrazione! Quindi non trascurare questa lettera “C” e non dimenticare di aggiungerla alla risposta finale.

Ora cerchiamo di capire perché il simbolo è presente ovunque all'interno degli integrali dx . Gli studenti spesso se ne dimenticano... E anche questo, tra l'altro, è un errore! E piuttosto scortese. Il punto è che l’integrazione è l’operazione inversa della differenziazione. E cosa è esattamente risultato della differenziazione? Derivato? Vero, ma non del tutto. Differenziale!

Nel nostro caso, per la funzione f(x) il differenziale della sua antiderivativa F(x), Volere:

Per coloro che non capiscono questa catena, ripetere urgentemente la definizione e il significato del differenziale e come viene rivelato esattamente! Altrimenti rallenterete senza pietà negli integrali...

Permettetemi di ricordarvi, nella forma più rozza e filistea, che il differenziale di qualsiasi funzione f(x) è semplicemente il prodotto f'(x)dx. È tutto! Prendi la derivata e moltiplicala al ragionamento differenziale(cioè dx). Cioè, qualsiasi differenziale, in sostanza, si riduce al calcolo del solito derivato.

Pertanto, in senso stretto, l’integrale non viene “preso” da funzioni f(x), come comunemente si crede, e da differenziale f(x)dx! Ma, in una versione semplificata, è consuetudine dirlo "l'integrale è preso dalla funzione". O: "La funzione f è integrata(X)". È lo stesso. E parleremo esattamente allo stesso modo. Ma riguardo al distintivo dx Non dimentichiamolo! :)

E ora ti dirò come non dimenticarlo durante la registrazione. Per prima cosa immagina di calcolare la derivata ordinaria rispetto alla variabile x. Come lo scrivi di solito?

In questo modo: f’(x), y’(x), y’ x. O più solidamente, attraverso il rapporto differenziale: dy/dx. Tutte queste registrazioni ci mostrano che la derivata è presa proprio rispetto a X. E non da “igrek”, “te” o qualche altra variabile.)

Lo stesso vale per gli integrali. Documentazione ∫ f(x)dx anche noi come se dimostra che l'integrazione è effettuata in modo preciso dalla variabile x. Naturalmente tutto questo è molto semplificato e rozzo, ma spero sia comprensibile. E le possibilità dimenticare attribuire l'onnipresenza dx diminuire drasticamente.)

Quindi, abbiamo capito cos'è un integrale indefinito. Ottimo.) Ora sarebbe bello imparare questi stessi integrali indefiniti calcolare. O, in poche parole, “prendere”. :) E qui due notizie attendono gli studenti: buone e non così buone. Per ora, iniziamo con quello buono.)

La notizia è buona Per gli integrali, così come per le derivate, esiste una tabella a parte. E tutti gli integrali che incontreremo lungo il cammino, anche quelli più terribili e sofisticati, noi secondo determinate regole In un modo o nell'altro lo ridurremo a questi molto tabulari.)

Quindi eccola qui tabella degli integrali!

Ecco una bellissima tabella di integrali delle funzioni più popolari. Consiglio di prestare particolare attenzione al gruppo di formule 1-2 (funzione costante e potenza). Queste sono le formule più comunemente usate negli integrali!

Il terzo gruppo di formule (trigonometria), come puoi immaginare, si ottiene semplicemente invertendo le formule corrispondenti per le derivate.

Per esempio:

Con il quarto gruppo di formule (funzione esponenziale) tutto è simile.

Ed ecco per noi gli ultimi quattro gruppi di formule (5-8). nuovo. Da dove vengono e per quale merito queste funzioni esotiche sono entrate improvvisamente nella tabella degli integrali di base? Perché questi gruppi di funzioni si distinguono così tanto dalle altre funzioni?

Questo è ciò che è accaduto storicamente nel processo di sviluppo metodi di integrazione . Quando ci eserciteremo a prendere la più ampia varietà di integrali, capirai che gli integrali delle funzioni elencate nella tabella si verificano molto, molto spesso. Così spesso che i matematici li hanno classificati come tabulari.) Molti altri integrali, dalle costruzioni più complesse, si esprimono attraverso di essi.

Solo per divertimento, puoi prendere una di queste terribili formule e differenziarla. :) Ad esempio, la settima formula più brutale.

Va tutto bene. I matematici non si sono lasciati ingannare. :)

È consigliabile conoscere a memoria la tavola degli integrali, così come la tavola delle derivate. In ogni caso, i primi quattro gruppi di formule. Non è così difficile come sembra a prima vista. Memorizza gli ultimi quattro gruppi (con frazioni e radici) Ciao non ne vale la pena. Ad ogni modo, all'inizio sarai confuso su dove scrivere il logaritmo, dove l'arcotangente, dove l'arcoseno, dove 1/a, dove 1/2a... C'è solo una via d'uscita: risolvere più esempi. Allora la tabella verrà gradualmente ricordata da sola e i dubbi smetteranno di roderla.)

Le persone particolarmente curiose, guardando la tabella più da vicino, potrebbero chiedersi: dove sono nella tabella gli integrali delle altre funzioni elementari della “scuola” – tangente, logaritmo, “archi”? Diciamo perché nella tabella c'è un integrale del seno, ma NON c'è, ad esempio, un integrale della tangente tg x? Oppure non esiste alcun integrale del logaritmo lnx? Dall'arcoseno arcoseno x? Perché sono peggiori? Ma è pieno di alcune funzioni "per mancini" - con radici, frazioni, quadrati...

Risposta. Non peggio.) Solo gli integrali di cui sopra (da tangente, logaritmo, arcoseno, ecc.) non sono tabellari . E in pratica si verificano molto meno spesso di quelli presentati nella tabella. Pertanto, sappi a memoria, a cosa sono uguali non è affatto necessario. Basta solo sapere come stanno vengono calcolati.)

Cosa, qualcuno ancora non lo sopporta? Così sia, soprattutto per te!

Bene, lo memorizzerai? :) Non è vero? E non farlo.) Ma non preoccuparti, troveremo sicuramente tutti questi integrali. Nelle lezioni corrispondenti. :)

Bene, passiamo ora alle proprietà dell'integrale indefinito. Sì, sì, non si può fare nulla! Viene introdotto un nuovo concetto e alcune delle sue proprietà vengono immediatamente prese in considerazione.

Proprietà dell'integrale indefinito.

Ora la notizia non è così buona.

A differenza della differenziazione, norme generali standard di integrazione, Giusto per tutte le occasioni, non in matematica. È fantastico!

Ad esempio, questo lo sapete tutti molto bene (spero!). Qualunque lavoro Qualunque due funzioni f(x) g(x) si differenziano in questo modo:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

Qualunque il quoziente si differenzia così:

E qualsiasi funzione complessa, non importa quanto complicata possa essere, è differenziata in questo modo:

E non importa quali funzioni siano nascoste sotto le lettere f e g, le regole generali funzioneranno comunque e la derivata, in un modo o nell'altro, verrà trovata.

Ma con gli integrali, un tale numero non funzionerà più: per un prodotto, un quoziente (frazione), nonché una funzione complessa di formule di integrazione generali non esiste! Non esistono regole standard! O meglio, esistono. Sono stato io a offendere invano la matematica.) Ma, in primo luogo, ce ne sono molte meno delle regole generali per la differenziazione. In secondo luogo, la maggior parte dei metodi di integrazione di cui parleremo nelle lezioni seguenti sono molto, molto specifici. E valgono solo per una certa classe di funzioni, molto limitata. Diciamo solo per funzioni razionali frazionarie. O alcuni altri.

E alcuni integrali, pur esistendo in natura, non si esprimono affatto attraverso le funzioni “scolastiche” elementari! Sì, sì, e di questi integrali ce ne sono molti! :)

Ecco perché l’integrazione è un compito molto più lungo e scrupoloso della differenziazione. Ma anche questo ha la sua svolta. Questa attività è creativa e molto eccitante.) E, se padroneggi bene la tabella degli integrali e padroneggi almeno due tecniche di base, di cui parleremo più avanti ( e ), allora ti piacerà molto l'integrazione. :)

Adesso conosciamo le proprietà dell’integrale indefinito. Non ce ne sono affatto. Eccoli.

Le prime due proprietà sono del tutto analoghe alle stesse proprietà dei derivati ​​e si chiamano Proprietà di linearità dell'integrale indefinito . Qui tutto è semplice e logico: l'integrale della somma/differenza è uguale alla somma/differenza degli integrali e il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale.

Ma le tre proprietà successive sono fondamentalmente nuove per noi. Diamo un'occhiata a loro in modo più dettagliato. Suonano in russo come segue.

Terza proprietà

La derivata dell'integrale è uguale all'integrando

Tutto è semplice, come in una fiaba. Se integri una funzione e poi trovi la derivata del risultato, allora... ottieni la funzione integranda originale. :) Questa proprietà può sempre (e dovrebbe) essere utilizzata per verificare il risultato finale dell'integrazione. Hai calcolato l'integrale: differenzia la risposta! Abbiamo la funzione integranda - OK. Se non l’abbiamo ricevuto, significa che abbiamo sbagliato da qualche parte. Cerca l'errore.)

Naturalmente, la risposta potrebbe portare a funzioni così brutali e ingombranti che non vi è alcun desiderio di differenziarle, sì. Ma è meglio, se possibile, provare a controllarsi. Almeno in quegli esempi in cui è facile.)

Quarta proprietà

Il differenziale dell'integrale è uguale all'integrando .

Niente di speciale qui. L'essenza è la stessa, alla fine appare solo dx. Secondo le proprietà precedenti e le regole di apertura differenziale.

Quinta proprietà

L'integrale del differenziale di qualche funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria .

Anche questa è una proprietà molto semplice. Lo useremo regolarmente anche nel processo di risoluzione degli integrali. Particolarmente - in e.

Queste sono le proprietà utili. Non ti annoierò con le loro prove rigorose qui. Suggerisco a chi lo desidera di farlo da solo. Direttamente nel senso di derivata e differenziale. Dimostrerò solo l’ultima, la quinta proprietà, perché è meno ovvia.

Quindi abbiamo una dichiarazione:

Togliamo il “ripieno” del nostro integrale e lo apriamo, secondo la definizione del differenziale:

Per ogni evenienza, ti ricordo che, secondo la nostra notazione per derivata e antiderivativa, F’(X) = F(X) .

Ora inseriamo nuovamente il nostro risultato all'interno dell'integrale:

Ricevuto esattamente definizione di integrale indefinito (che la lingua russa mi perdoni)! :)

È tutto.)

BENE. Con questo considero completa la nostra prima conoscenza con il misterioso mondo degli integrali. Per oggi propongo di concludere. Siamo già abbastanza armati per andare in ricognizione. Se non una mitragliatrice, almeno una pistola ad acqua con proprietà di base e un tavolo. :) Nella prossima lezione ci aspettano gli esempi più semplici e innocui di integrali per l'applicazione diretta della tabella e delle proprietà scritte.

Ci vediamo!

Antiderivativo

Definizione di funzione antiderivativa

• Funzione y=F(x)è detta antiderivativa della funzione y=f(x) ad un dato intervallo X, se per tutti X ∈X vale l'uguaglianza: F′(x) = f(x)

Può essere letto in due modi:

1. F derivata di una funzione F
2. F Antiderivativa di una funzione F

Proprietà degli antiderivativi

• Se F(x)- antiderivativa di una funzione f(x) su un dato intervallo, allora la funzione f(x) ha infinite antiderivative, e tutte queste antiderivative possono essere scritte nella forma F(x) + C, dove C è una costante arbitraria.

Interpretazione geometrica

• Grafici di tutte le primitive di una data funzione f(x) si ottengono dal grafico di una qualsiasi antiderivativa mediante traslazioni parallele lungo l'asse O A.

Regole per il calcolo degli antiderivativi

1. L'antiderivativa della somma è uguale alla somma delle antiderivative. Se F(x)- antiderivativo per f(x), e G(x) è un'antiderivativa per g(x), Quello F(x) + G(x)- antiderivativo per f(x) + g(x).
2. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata. Se F(x)- antiderivativo per f(x), E K- costante, quindi k·F(x)- antiderivativo per kf(x).
3. Se F(x)- antiderivativo per f(x), E k, b- costante e k ≠ 0, Quello 1/k F(kx + b)- antiderivativo per f(kx + b).

Ricordare!

Qualsiasi funzione F(x) = x2 + C , dove C è una costante arbitraria e solo tale funzione è un'antiderivativa per la funzione f(x) = 2x.

• Per esempio:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, Perché F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, Perché F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Relazione tra i grafici di una funzione e la sua primitiva:

1. Se il grafico di una funzione f(x)>0 F(x) aumenta in questo intervallo.
2. Se il grafico di una funzione f(x)<0 sull'intervallo, poi il grafico della sua antiderivativa F(x) diminuisce in questo intervallo.
3. Se f(x)=0, quindi il grafico della sua antiderivativa F(x) a questo punto passa da crescente a decrescente (o viceversa).

Per denotare l'antiderivativa si usa il segno dell'integrale indefinito, cioè dell'integrale senza indicare i limiti di integrazione.

Integrale indefinito

Definizione:

• L'integrale indefinito della funzione f(x) è l'espressione F(x) + C, cioè l'insieme di tutte le antiderivative di una data funzione f(x). L'integrale indefinito si denota come segue: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- chiamata funzione integranda;
• f(x)dx- chiamato integrando;
• X- chiamata variabile di integrazione;
• F(x)- una delle primitive della funzione f(x);
• CON- costante arbitraria.

Proprietà dell'integrale indefinito

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Il fattore costante dell'integrando può essere eliminato dal segno integrale: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. L'integrale della somma (differenza) delle funzioni è uguale alla somma (differenza) degli integrali di queste funzioni: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Se k, b sono costanti e k ≠ 0, quindi \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tavola delle primitive e degli integrali indefiniti

Funzione f(x)	Antiderivativo F(x) + C	Integrali indefiniti \int f(x)dx = F(x) + C
0	C	\int0dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\non =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \peccato x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cosx	F(x) =\senx + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tgx + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\quadrato(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcoseno x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctgx + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac(x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac(x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tgx	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctgx	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sen x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Formula di Newton-Leibniz

Permettere f(x) questa funzione F la sua antiderivativa arbitraria.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Dove F(x)- antiderivativo per f(x)

Cioè l'integrale della funzione f(x) su un intervallo è uguale alla differenza delle antiderivative nei punti B E UN.

Area di un trapezio curvo

Trapezio curvilineo è una figura delimitata dal grafico di una funzione non negativa e continua su un intervallo F, Asse del bue e linee rette x = a E x = b.

L'area di un trapezio curvo si trova utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Funzione antiderivativa e integrale indefinito

Fatto 1. L'integrazione è l'azione inversa della differenziazione, vale a dire ripristinare una funzione dalla derivata nota di questa funzione. La funzione così ripristinata F(X) è chiamato antiderivativo per funzione F(X).

Definizione 1. Funzione F(X F(X) in un certo intervallo X, se per tutti i valori X da questo intervallo vale l'uguaglianza F "(X)=F(X), cioè questa funzione F(X) è la derivata della funzione antiderivativa F(X). .

Ad esempio, la funzione F(X) = peccato X è una primitiva della funzione F(X) = cos X sull'intera linea numerica, poiché per qualsiasi valore di x (peccato X)" = (cos X) .

Definizione 2. Integrale indefinito di una funzione F(X) è l'insieme di tutte le sue antiderivative. In questo caso viene utilizzata la notazione

∫

F(X)dx

,

dov'è il cartello? ∫ chiamato segno integrale, la funzione F(X) – funzione integranda, e F(X)dx – espressione dell'integrando.

Quindi, se F(X) – qualche antiderivativo per F(X) , Quello

∫

F(X)dx = F(X) +C

Dove C - costante arbitraria (costante).

Per comprendere il significato dell'insieme delle antiderivative di una funzione come integrale indefinito, è appropriata la seguente analogia. Lascia che ci sia una porta (tradizionale porta di legno). La sua funzione è quella di “essere una porta”. Di cosa è fatta la porta? Fatto di legno. Ciò significa che l’insieme delle antiderivative dell’integrando della funzione “essere una porta”, cioè il suo integrale indefinito, è la funzione “essere un albero + C”, dove C è una costante, che in questo contesto può denotano, ad esempio, il tipo di albero. Proprio come una porta è realizzata in legno utilizzando alcuni strumenti, una derivata di una funzione è “creata” da una funzione antiderivativa utilizzando formule che abbiamo imparato studiando la derivata .

Quindi la tabella delle funzioni degli oggetti comuni e dei loro corrispondenti antiderivativi ("essere una porta" - "essere un albero", "essere un cucchiaio" - "essere metallo", ecc.) è simile alla tabella delle funzioni di base integrali indefiniti, che verranno riportati di seguito. La tabella degli integrali indefiniti elenca le funzioni comuni con l'indicazione delle antiderivative da cui tali funzioni sono “fatte”. In una parte dei problemi sulla ricerca dell'integrale indefinito, vengono forniti integrandi che possono essere integrati direttamente senza troppi sforzi, cioè utilizzando la tabella degli integrali indefiniti. Nei problemi più complessi, l'integrando deve prima essere trasformato in modo da poter utilizzare gli integrali di tabella.

Fatto 2. Quando si ripristina una funzione come antiderivativa, dobbiamo tenere conto di una costante arbitraria (costante) C, e per non scrivere un elenco di antiderivative con varie costanti da 1 a infinito, è necessario scrivere un insieme di antiderivative con una costante arbitraria C, ad esempio, in questo modo: 5 X³+C. Quindi, una costante arbitraria (costante) è inclusa nell'espressione dell'antiderivativo, poiché l'antiderivativo può essere una funzione, ad esempio, 5 X³+4 o 5 X³+3 e quando differenziato, 4 o 3, o qualsiasi altra costante va a zero.

Poniamo il problema dell'integrazione: per questa funzione F(X) trovare una funzione del genere F(X), la cui derivata uguale a F(X).

Esempio 1. Trova l'insieme delle antiderivative di una funzione

Soluzione. Per questa funzione, l'antiderivativa è la funzione

Funzione F(X) è detto antiderivativo della funzione F(X), se il derivato F(X) è uguale a F(X), o, che è la stessa cosa, differenziale F(X) è uguale F(X) dx, cioè.

(2)

Pertanto, la funzione è un'antiderivativa della funzione. Tuttavia, non è l'unico antiderivativo per . Servono anche come funzioni

Dove CON– costante arbitraria. Ciò può essere verificato mediante differenziazione.

Pertanto, se esiste una primitiva per una funzione, allora per essa esiste un numero infinito di antiderivative che differiscono per un termine costante. Tutte le antiderivative di una funzione sono scritte nella forma sopra. Ciò segue dal seguente teorema.

Teorema (enunciazione formale del fatto 2). Se F(X) – antiderivativa per la funzione F(X) in un certo intervallo X, quindi qualsiasi altro antiderivativo per F(X) sullo stesso intervallo può essere rappresentato nella forma F(X) + C, Dove CON– costante arbitraria.

Nel prossimo esempio, passiamo alla tabella degli integrali, che verrà fornita nel paragrafo 3, dopo le proprietà dell'integrale indefinito. Lo facciamo prima di leggere l'intera tabella in modo che l'essenza di quanto sopra sia chiara. E dopo la tabella e le proprietà, le utilizzeremo nella loro interezza durante l'integrazione.

Esempio 2. Trova insiemi di funzioni antiderivative:

Soluzione. Troviamo insiemi di funzioni antiderivative da cui queste funzioni sono “fatte”. Quando menzioniamo le formule dalla tabella degli integrali, per ora accettiamo semplicemente che ci siano tali formule lì, e studieremo un po' più a fondo la tabella degli integrali indefiniti stessa.

1) Applicare la formula (7) dalla tabella degli integrali per N= 3, otteniamo

2) Utilizzando la formula (10) dalla tabella degli integrali per N= 1/3, abbiamo

3) Da allora

quindi secondo la formula (7) con N= -1/4 troviamo

Non è la funzione stessa ad essere scritta sotto il segno di integrale. F e il suo prodotto per il differenziale dx. Ciò viene fatto principalmente per indicare con quale variabile si cerca l'antiderivativo. Per esempio,

, ;

qui in entrambi i casi l'integrando è uguale a , ma i suoi integrali indefiniti nei casi considerati risultano diversi. Nel primo caso, questa funzione è considerata come una funzione della variabile X, e nel secondo - in funzione di z .

Il processo per trovare l'integrale indefinito di una funzione è chiamato integrazione di quella funzione.

Significato geometrico dell'integrale indefinito

Supponiamo di dover trovare una curva y=F(x) e sappiamo già che la tangente dell'angolo tangente in ciascuno dei suoi punti è una funzione data f(x) ascissa di questo punto.

Secondo il significato geometrico della derivata, la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente in un dato punto della curva y=F(x) pari al valore del derivato F"(x). Quindi dobbiamo trovare una tale funzione F(x), per cui F"(x)=f(x). Funzione richiesta nell'attività F(x)è un'antiderivativa di f(x). Le condizioni del problema sono soddisfatte non da una curva, ma da una famiglia di curve. y=F(x)- da essa si può ottenere una di queste curve e qualsiasi altra curva mediante traslazione parallela lungo l'asse Ehi.

Chiamiamo il grafico della funzione antiderivativa di f(x) curva integrale. Se F"(x)=f(x), quindi il grafico della funzione y=F(x) esiste una curva integrale.

Fatto 3. L'integrale indefinito è geometricamente rappresentato dalla famiglia di tutte le curve integrali , come nella foto qui sotto. La distanza di ciascuna curva dall'origine delle coordinate è determinata da una costante di integrazione arbitraria C.

Proprietà dell'integrale indefinito

Fatto 4. Teorema 1. La derivata di un integrale indefinito è uguale all'integrando e il suo differenziale è uguale all'integrando.

Fatto 5. Teorema 2. Integrale indefinito del differenziale di una funzione F(X) è uguale alla funzione F(X) fino a un termine costante , cioè.

(3)

I teoremi 1 e 2 mostrano che differenziazione e integrazione sono operazioni reciprocamente inverse.

Fatto 6. Teorema 3. Il fattore costante nell'integrando può essere tolto dal segno dell'integrale indefinito , cioè.