Sei qui adesso? =) No, non ho cercato di intimidire nessuno, è solo che l'argomento degli integrali impropri è un'ottima illustrazione di quanto sia importante non eseguire matematica superiore e altre scienze esatte. Per padroneggiare la lezione sul sito, tutto è lì - in una forma dettagliata e accessibile, ci sarebbe un desiderio ....
Quindi iniziamo. In senso figurato, un integrale improprio è un integrale definito "avanzato", e infatti non ci sono così tante difficoltà con esso, inoltre, un integrale improprio ha un ottimo significato geometrico.
Cosa significa calcolare un integrale improprio?
Calcola l'integrale improprio - significa trovare un NUMERO(esattamente come nell'integrale definito), o dimostrare che diverge(cioè, finisci con l'infinito invece di un numero).
Gli integrali impropri sono di due tipi.
Integrale improprio con limite(i) infinito(i) di integrazione
A volte viene chiamato un tale integrale improprio integrale improprio di primo tipo. In generale, un integrale improprio con un limite infinito molto spesso si presenta così: . In che cosa differisce da un integrale definito? Nel limite superiore. È infinito:
Meno comuni sono gli integrali con un limite inferiore infinito o con due limiti infiniti: , e li considereremo più avanti - quando avrai un assaggio :)
Bene, ora analizziamo il caso più popolare. Nella stragrande maggioranza degli esempi, la funzione integrando continuo nel mezzo e questo fatto importante da verificare prima! Perché se ci sono delle lacune, allora ci sono ulteriori sfumature. Per certezza, assumiamo che anche allora il tipico trapezio curvilineo sarà simile a questo:
Nota che è infinito (non delimitato a destra) e integrale improprio numericamente uguale alla sua area. In questo caso sono possibili le seguenti opzioni:
1) Il primo pensiero che mi viene in mente è: “poiché la figura è infinita, allora 
”, in altre parole, anche l'area è infinita. Così può essere. In questo caso diciamo che l'integrale improprio diverge.
2) Ma. Per quanto paradossale possa sembrare, l'area di una figura infinita può essere uguale a... un numero finito! Per esempio: . Potrebbe essere? Facile. Nel secondo caso, l'integrale improprio converge.
3) Sulla terza opzione un po' più tardi.
Quando un integrale improprio diverge e quando converge? Questo dipende dall'integrando e vedremo esempi concreti molto presto.
Ma cosa succede se un trapezio curvilineo infinito si trova sotto l'asse? In questo caso, l'integrale improprio 
(diverge) o è uguale a un numero negativo finito.
In questo modo, l'integrale improprio può essere negativo.
Importante! Quando QUALSIASI integrale improprio ti viene offerto da risolvere, allora, in generale, non si parla di nessuna zona e non c'è bisogno di costruire un disegno. Ho detto il significato geometrico dell'integrale improprio solo per rendere più facile la comprensione del materiale.
Poiché l'integrale improprio è molto simile all'integrale definito, ricordiamo la formula di Newton-Leibniz: 
. Infatti la formula è applicabile anche agli integrali impropri, solo da modificare leggermente. Qual è la differenza? Nell'infinito limite superiore di integrazione: . Probabilmente, molti hanno intuito che questo sa già di applicare la teoria dei limiti, e la formula sarà scritta come segue: 
.
In che cosa differisce da un integrale definito? Sì, niente di speciale! Come in un integrale definito, devi essere in grado di trovare la funzione antiderivativa (integrale indefinito), essere in grado di applicare la formula di Newton-Leibniz. L'unica cosa che è stata aggiunta è il calcolo del limite. Chi è cattivo con loro, impara una lezione Limiti delle funzioni. Esempi di soluzioni perché meglio tardi che nell'esercito.
Considera due esempi classici:
Esempio 1
Per chiarezza costruirò un disegno, anche se, sottolineo ancora una volta, in pratica non è necessario creare disegni in questa attività.
L'integrando è continuo sul semiintervallo , il che significa che tutto va bene e l'integrale improprio può essere calcolato usando il metodo "regolare".
Applicazione della nostra formula 
e la soluzione si presenta così:
Cioè, l'integrale improprio diverge e l'area del trapezio curvilineo ombreggiato è uguale all'infinito.
Nell'esempio considerato, abbiamo l'integrale tabulare più semplice e la stessa tecnica per applicare la formula di Newton-Leibniz dell'integrale definito. Ma questa formula si applica sotto il segno del limite. Al posto della solita lettera della variabile "dinamica", appare la lettera "be". Questo non dovrebbe confondere o confondere, perché qualsiasi lettera non è peggiore della "X" standard.
Se non capisci perché quando , allora questo è molto brutto, o non capisci i limiti più semplici (e non capisci affatto cos'è un limite), o non sai quale sia il grafico di un logaritmico la funzione sembra. Nel secondo caso, visita la lezione Grafici e proprietà delle funzioni elementari.
Quando si risolvono integrali impropri, è molto importante sapere come appaiono i grafici delle principali funzioni elementari!
Un design del lavoro pulito dovrebbe assomigliare a questo:
“
! Quando progettiamo un esempio, interrompiamo sempre la soluzione e indichiamo cosa succede all'integrando – è continua nell'intervallo di integrazione oppure no. Con ciò identifichiamo il tipo di integrale improprio e sosteniamo ulteriori azioni.
Esempio 2
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Facciamo un disegno: 
Innanzitutto, notiamo quanto segue: l'integrando è continuo nel semiintervallo. Bene. Risolvere con formula 
:
(1) Prendiamo l'integrale più semplice di una funzione di potenza (questo caso speciale si trova in molte tabelle). È meglio spostare immediatamente il meno oltre il segno limite in modo che non si metta sotto i piedi in ulteriori calcoli.
(2) Sostituiamo i limiti superiore e inferiore secondo la formula di Newton-Leibniz.
(3) Indichiamo che quando (Signori, questo è stato capito da tempo) e semplifichiamo la risposta.
Qui, l'area di un trapezio curvilineo infinito è uguale a un numero finito! Incredibile, ma è un dato di fatto.
Il design pulito dell'esempio dovrebbe assomigliare a questo:
“
L'integrando è continuo
“
Cosa fare se ti imbatti in un integrale come - con punto di rottura sull'intervallo di integrazione? Ciò significa che c'è un errore di battitura nell'esempio (Più probabilmente) o un livello avanzato di istruzione. In quest'ultimo caso, a causa di proprietà di additività, si dovrebbero considerare due integrali impropri sugli intervalli e quindi trattare la somma.
A volte, a causa di un errore di battitura o dell'intenzione di un integrale improprio, può non esiste affatto, quindi, ad esempio, se la radice quadrata di "x" è posta al denominatore dell'integrale di cui sopra, allora parte dell'intervallo di integrazione non entrerà affatto nel dominio di definizione dell'integrando.
Inoltre, un integrale improprio potrebbe non esistere anche con tutto il "benessere apparente". Esempio classico: . Nonostante la determinatezza e la continuità del coseno, un tale integrale improprio non esiste! Come mai? È molto semplice perché:
- non esiste limite corrispondente.
E tali esempi, sebbene rari, si trovano nella pratica! Quindi, oltre alla convergenza e alla divergenza, c'è anche un terzo risultato della soluzione con una risposta completa: "non esiste integrale improprio".
Va anche notato che una definizione rigorosa di integrale improprio si dà proprio attraverso il limite, e chi lo desidera può familiarizzarsi con esso nella letteratura educativa. Bene, continuiamo la lezione pratica e passiamo a compiti più significativi:
Esempio 3
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Per prima cosa, proviamo a trovare la funzione antiderivativa (integrale indefinito). Se non riusciamo a farlo, allora naturalmente non risolveremo nemmeno l'integrale improprio.
A quale degli integrali della tabella appare l'integrando? Mi ricorda l'arcotangente: 
. Da queste considerazioni nasce il pensiero che sarebbe bello ottenere un quadrato al denominatore. Questo viene fatto per sostituzione.
Sostituiamo:
L'integrale indefinito è stato trovato, non ha senso aggiungere una costante in questo caso.
Su una bozza è sempre utile effettuare un controllo, cioè differenziare il risultato:
Si è ottenuto l'integrando originale, il che significa che l'integrale indefinito è stato trovato correttamente.
Ora troviamo l'integrale improprio:
(1) Scriviamo la soluzione secondo la formula 
. È meglio spostare immediatamente la costante oltre il segno limite in modo che non interferisca in ulteriori calcoli.
(2) Sostituiamo i limiti superiore e inferiore secondo la formula di Newton-Leibniz. Perché 
a ? Vedi il grafico dell'arcotangente nell'articolo già più volte raccomandato.
(3) Otteniamo la risposta finale. Il fatto che sia utile saperlo a memoria.
Gli studenti avanzati potrebbero non trovare l'integrale indefinito separatamente e non utilizzare il metodo della sostituzione, ma utilizzare il metodo della somma della funzione sotto il segno differenziale e risolvere "immediatamente" l'integrale improprio. In questo caso, la soluzione dovrebbe assomigliare a questa:
“
L'integrando è continuo su . 
“
Esempio 4
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
! Questo è un esempio tipico e integrali simili sono molto comuni. Risolvilo bene! La funzione antiderivativa qui si trova tramite il metodo di selezione di un quadrato completo, maggiori dettagli sul metodo possono essere trovati nella lezione Integrazione di alcune frazioni.
Esempio 5
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Questo integrale può essere risolto in dettaglio, cioè trovare prima l'integrale indefinito cambiando la variabile. E puoi risolverlo "immediatamente" - riassumendo la funzione sotto il segno del differenziale. Chi ha un background matematico.
Soluzioni complete e risposte alla fine della lezione.
Esempi di soluzioni di integrali impropri con limite inferiore infinito di integrazione si possono trovare a pagina Metodi efficienti per la risoluzione di integrali impropri. Viene considerato anche il caso in cui entrambi i limiti di integrazione sono infiniti.
Integrali impropri di funzioni illimitate
O integrali impropri di secondo tipo. Integrali impropri del secondo tipo sono astutamente "cifrati" sotto il solito integrale definito e sembrano esattamente lo stesso: Ma, a differenza dell'integrale definito, l'integrando soffre di una discontinuità infinita (non esiste): 1) nel punto , 2) o al punto , 3) o in entrambi i punti contemporaneamente, 4) o anche sull'intervallo di integrazione. Considereremo i primi due casi, per i casi 3-4 alla fine dell'articolo c'è un collegamento a una lezione aggiuntiva.
Solo un esempio per chiarire:. Sembra essere un integrale definito. Ma in effetti, questo è un integrale improprio del secondo tipo, se sostituiamo il valore del limite inferiore nell'integrando, allora il denominatore svanisce, cioè l'integrando semplicemente non esiste a questo punto!
In generale, quando si analizza l'integrale improprio è sempre necessario sostituire entrambi i limiti di integrazione nell'integrando. A questo proposito, controlliamo anche il limite superiore: 
. Tutto bene qui.
Il trapezio curvilineo per la varietà considerata dell'integrale improprio assomiglia fondamentalmente a questo:
Qui, quasi tutto è uguale all'integrale del primo tipo.
Il nostro integrale è numericamente uguale all'area del trapezio curvilineo ombreggiato, che non è delimitata dall'alto. In questo caso si possono avere due opzioni*: l'integrale improprio diverge (l'area è infinita) oppure l'integrale improprio è uguale a un numero finito (cioè l'area di una figura infinita è finita!).
* di default, assumiamo abitualmente che esista l'integrale improprio
Resta solo da modificare la formula di Newton-Leibniz. Viene anche modificato con l'aiuto del limite, ma il limite non tende più all'infinito, ma al valore a destra.È facile seguire il disegno: lungo l'asse, dobbiamo avvicinarci al punto di rottura all'infinito sulla destra.
Vediamo come questo viene implementato nella pratica.
Esempio 6
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
L'integrando subisce una pausa infinita in un punto (non dimenticare di controllare verbalmente o su una bozza se tutto va bene con il limite superiore!)
Per prima cosa calcoliamo l'integrale indefinito: 
Sostituzione: 
Per coloro che hanno difficoltà con la sostituzione, fare riferimento alla lezione Metodo di sostituzione nell'integrale indefinito.
Calcoliamo l'integrale improprio:
(1) Cosa c'è di nuovo qui? Praticamente nulla in termini di tecnica. L'unica cosa che è cambiata è la voce sotto l'icona del limite: . L'aggiunta significa che puntiamo al valore a destra (che è logico - vedi grafico). Tale limite è chiamato nella teoria dei limiti limite unilaterale. In questo caso abbiamo limite di destra.
(2) Sostituiamo i limiti superiore e inferiore secondo la formula di Newton-Leibniz.
(3) Trattare a . Come si determina dove è diretta un'espressione? In parole povere, devi solo sostituirlo con il valore, sostituire tre quarti e indicare che . Combinando la risposta.
In questo caso, l'integrale improprio è uguale a un numero negativo. Non vi è alcun crimine in questo, solo il corrispondente trapezio curvilineo si trova sotto l'asse.
E ora due esempi per una soluzione indipendente.
Esempio 7
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Esempio 8
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Se l'integrando non esiste nel punto
Un trapezio curvilineo infinito per un integrale così improprio assomiglia fondamentalmente a questo.
A volte vengono chiamati tali integrali impropri integrali impropri di secondo tipo. Integrali impropri del secondo tipo sono astutamente "crittografati" sotto il solito integrale definito e hanno esattamente lo stesso aspetto: .
Ma, a differenza dell'integrale definito, l'integrando soffre di una discontinuità infinita (non esiste):
1) al punto,
2) punto,
3) in entrambi i punti contemporaneamente,
4) o anche sull'intervallo di integrazione.
Considereremo i primi due casi, per i casi 3-4 alla fine dell'articolo c'è un collegamento a una lezione aggiuntiva.
Diamo un'occhiata a un esempio per chiarire:
Sembra essere un integrale definito. Ma in realtà questo è un integrale improprio del secondo tipo, poiché se sostituiamo nell'integrando, allora il valore del limite inferiore
allora il denominatore svanisce, cioè l'integrando semplicemente non esiste a questo punto!
Quando si analizza l'integrale improprio è sempre necessario sostituire entrambi i limiti di integrazione nell'integrando. A questo proposito, controlliamo anche il limite superiore:
Tutto bene qui. Il trapezio curvilineo per la varietà considerata dell'integrale improprio assomiglia fondamentalmente a questo:
Qui, quasi tutto è uguale all'integrale del primo tipo. Il nostro integrale è numericamente uguale all'area del trapezio curvilineo ombreggiato, che non è delimitata dall'alto. In questo caso, ci possono essere due opzioni: l'integrale improprio diverge (l'area è infinita), oppure l'integrale improprio è uguale a un numero finito (quando l'area di una figura infinita è finita!).
Resta solo da modificare la formula di Newton-Leibniz. Viene anche modificato con l'aiuto del limite, ma il limite non tende più all'infinito, ma dar valore sulla destra.È facile seguire il disegno, che è lungo l'asse BUE sulla destra.
Vediamo come questo viene implementato nella pratica.
Esempio 6
(non dimenticare di controllare verbalmente o su una bozza se tutto va bene con il limite superiore!). Per prima cosa calcoliamo l'integrale indefinito:
Per coloro che hanno difficoltà con la sostituzione, fare riferimento alla lezione Metodo di sostituzione nell'integrale indefinito.
Calcoliamo l'integrale improprio:
(1) Cosa c'è di nuovo qui? Praticamente nulla in termini di tecnica. L'unica cosa che è cambiata è la voce sotto l'icona del limite:
L'aggiunta di +0 significa che puntiamo al valore ¾ a destra, il che è logico (vedi grafico). Tale limite è chiamato nella teoria dei limiti limite unilaterale. In questo caso abbiamo limite di destra.
(2) Sostituiamo i limiti superiore e inferiore secondo la formula di Newton-Leibniz.
(3) Trattare a . Come si determina dove è diretta un'espressione? In parole povere, devi solo sostituirlo con il valore, sostituire tre quarti e indicare che . Combinando la risposta.
In questo caso, l'integrale improprio è uguale a un numero negativo. Non vi è alcun crimine in questo, solo il corrispondente trapezio curvilineo si trova sotto l'asse BUE. E ora esempi di decisione indipendente.
Esempio 7
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Esempio 8
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Se l'integrando non esiste nel punto
Un trapezio curvilineo infinito per un integrale così improprio assomiglia fondamentalmente a questo:
Qui facciamo assolutamente tutto lo stesso, tranne che il limite tende a farlo dar valore bsinistra. Asse BUE dobbiamo avvicinarci infinitamente al punto di rottura sinistra.
Esempio 9
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
L'integrando soffre in un punto di una discontinuità infinita b = 3 (verifichiamo verbalmente che tutto vada bene con un diverso limite di integrazione!).
Tanto per cambiare, risolveremo immediatamente questo limite, portando la funzione sotto il segno del differenziale. Coloro che lo trovano difficile possono trovare prima l'integrale indefinito secondo lo schema già considerato.
L'aggiunta (-0) significa che abbiamo un limite lato sinistro, e al punto b = 3 ci stiamo avvicinando all'asse BUE sinistra.
Capiamo perché la frazione
(è meglio farlo oralmente o in forma di bozza).
Sostituiamo il valore limite sotto la radice b = 3 - 0.
Infine:
L'integrale improprio diverge.
Il segno meno significa che il corrispondente trapezio curvilineo si trova sotto l'asse BUE. Stai molto attento con i segni.
Sì, certo, l'integrale improprio diverge, ma sono cose diverse, generi diversi, e se trascuri i segni, allora, a rigor di termini, commetti un grave errore.
E gli ultimi due esempi di autoconsiderazione:
Esempio 10
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Esempio 11
Calcolare l'integrale improprio o stabilirne la divergenza.
Un'analisi della situazione in cui entrambi i limiti di integrazione sono “cattivi”, ovvero il punto di discontinuità è contenuto direttamente sul segmento di integrazione, si trova nell'articolo Metodi efficienti per la risoluzione di integrali definiti e impropri.
Soluzioni e risposte:
Esempio 4: Soluzione:
.
Esempio 5: Soluzione:
L'integrando è continuo .
Esempio 7: Soluzione:
L'integrando soffre in un punto di una discontinuità infinita
L'integrale improprio diverge.
Nota: con limite di espressione
2Integrali impropri di primo tipo sono detti integrali della forma Si assume che l'integrando sia continuo sull'intero segmento di integrazione.
2 Se il limite esiste ed è finito, si dice che l'integrale improprio converge ed è uguale a
Integrali e sono definiti in modo simile:
(8.21)
dove unè un numero reale. Inoltre, si dice che l'ultimo integrale converge se e solo se entrambe le componenti del suo integrale convergono.
Problema 8.10.
Soluzione.
Pertanto, l'integrale diverge.
Problema 8.11. Calcola l'integrale improprio.
Soluzione.
Questo integrale converge.
2 Integrali impropri di secondo tipo gli integrali della forma sono chiamati: , dove l'integrando f(X) ha infinite discontinuità sull'intervallo finito [ un; b]. Integrali impropri del secondo tipo sono definiti in modo diverso, a seconda della posizione dei punti di discontinuità sull'intervallo [ un; b].
1) Supponiamo la funzione f(X) ha una discontinuità infinita in un punto interno del dominio di integrazione ( cÎ( un; b)) In altri punti del segmento [ un; b] si assume che la funzione sia continua.
Allora, se i limiti ed esistono e sono finiti, allora diciamo che l'integrale converge ed è uguale a
. (8.22)
2) Sia l'unico punto di discontinuità della funzione f(X) coincide con il punto un
. (8.23)
3) Sia l'unico punto di discontinuità della funzione f(X) coincide con il punto b. Allora, se il limite esiste ed è finito, allora diciamo che l'integrale converge ed è uguale a
. (8.24)
Si assume ovunque che e > 0 e d > 0.
Problema 8.12. Calcola l'integrale improprio.
Soluzione. X= 2. Pertanto,
Problema 8.13. Calcola l'integrale improprio.
Soluzione. L'integrando ha una discontinuità del secondo tipo nel punto X= 0 (all'interno della regione di integrazione). Di conseguenza,
Il primo limite esiste ed è finito, ma il secondo limite è uguale all'infinito ( at ). Pertanto, questo integrale diverge.
Capitolo 9
§9.1. Definizione n spazio euclideo -dimensionale R n .
Prima di procedere allo studio delle funzioni di più variabili, è utile introdurre il concetto n-spazio dimensionale per qualsiasi n = 1, 2, 3,… .
2 punti x n-spazio dimensionale (vettore) è una raccolta ordinata n numeri reali.
Il numero è chiamato io-esima coordinata del vettore.
2 Distanza tra due punti n-spazio dimensionale ed è determinato dalla formula:
Distanza da punto a punto Xè chiamato modulo del vettore X ed è indicato. Dalla formula (9.1) segue che .
A n-spazio dimensionale, viene naturalmente introdotta la nozione di prodotto scalare:
Angolo tra vettori X e y può essere determinato dalla formula:
Come prima, vettori X e y sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero.
2 Raccolta di tutti i punti n-spazio dimensionale in cui si definisce la distanza secondo la formula (9.1) e si chiama il prodotto scalare n-dimensionale spazio vettoriale euclideo ed è indicato con .
quando n= 1 lo spazio coincide con la linea, nel caso n= 2 - con un aereo e nel caso n= 3 - con spazio.
2 Let e . Viene chiamato l'insieme di tutti i punti tale che n sfera dimensionale centrata in un punto X o e-vicinato di un punto X nello spazio ed è indicato da .
In forma coordinata, questa definizione si presenta così:
Nel caso di una retta, ad es. a n= 1, l'intorno del punto è un intervallo centrato nel punto del raggio e. Nel caso di un aereo, ad es. a n= 2, l'intorno del punto è una circonferenza aperta centrata nel punto del raggio e. Nel caso dello spazio, cioè a n= 3 l'intorno del punto è una palla aperta centrata nel punto del raggio e.
§9.2. L'ambito di una funzione di più variabili. Continuità
2 funzione n variabili è chiamata tale regola (legge), in base alla quale ogni insieme costituito da n variabili prelevate da una certa area D n-spazio dimensionale, viene assegnato un unico numero z. Nel caso più semplice.
2 Una funzione di 2 variabili è una regola (legge) secondo la quale ogni punto M(X; y) appartenenti ad una certa area D aereo xOy, viene assegnato un unico numero z.
Un insieme di punti nello spazio con coordinate formano una certa superficie (Fig. 9.1), che si eleva al di sopra dell'area D(significato geometrico di una funzione di due variabili).
2 Regione D, per il quale è costruita la corrispondenza di cui sopra, è chiamato dominio della funzione .
Problema 9.1. Trova l'ambito di una funzione
Soluzione. Il dominio di definizione desiderato è un insieme di punti sul piano xOy, soddisfacendo il sistema delle disuguaglianze . Le disuguaglianze e cambiano il loro segno al contrario (rispettivamente) all'intersezione delle seguenti linee: X = y e X = 0, y= 0. Queste linee interrompono il piano xOy per 6 regioni. In sequenza, sostituendo punti arbitrari da ciascuna regione nel sistema, ci assicuriamo che l'unione delle regioni (1) e (3) sia il dominio di definizione della funzione originale. Inoltre, il diretto X = y, ad eccezione del punto (0; 0), è compreso nel dominio di definizione, e le linee X= 0, e y= 0 - non incluso (Fig. 9.2).
2 La chiusura di un'area è un insieme di punti nello spazio, in ogni quartiere di ciascuno dei quali vi sono punti dell'area D.
Lasciamo, per esempio, D– alcune aree aperte (il confine non è incluso) sul piano xOy. Quindi si otterrà la chiusura della regione se alla regione D allegare il suo confine G .
2 Lascia entrare in qualche area D aereo xOy data una funzione e sia un punto di chiusura della regione D(). Numero MAè chiamato il limite della funzione nel punto M 0 se per qualsiasi numero e> 0 esiste un tale numero δ > 0, che per tutti i punti diversi dal punto M 0 e remoto da esso inferiore a δ , la disuguaglianza è soddisfatta.
2 Una funzione si dice continua in un punto se è definita in questo punto () e avviene l'uguaglianza.
§9.3. Linee di livello di una funzione di due variabili
2 linee sull'aereo xOy, dato dalle equazioni , dove DAè una costante arbitraria, sono dette linee di livello della funzione .
Le linee di livello sono linee di intersezione di una superficie, una data funzione e un piano z = C, parallela al piano xOy. Con l'aiuto delle linee di livello è possibile studiare la forma della superficie data dalla funzione.
Esempio 9.2. Trova le linee di livello e determina la forma della superficie data dall'equazione.
Le equazioni delle linee di livello in questo caso hanno la forma . A C< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). In C= 0 solo un punto soddisfa l'equazione della linea di livello X = 0, y= 0 (con piano xOy la superficie si interseca solo all'origine). In C> 0 linee di livello sono ellissi con semiassi e . Linee di livello corrispondenti a valori diversi DA, mostrato in Fig. 9.3. La superficie data dall'equazione è chiamata paraboloide ellittico (Fig. 9.4).
§9.4. Derivati parziali del primo ordine
Lascia entrare in qualche zona D aereo xOy la funzione è data, ed è un punto dell'area D.
X
, (9.2)
2 Derivata parziale di una funzione in un punto rispetto a una variabile y(indicato o ) viene chiamato
, (9.3)
se il limite dato esiste ed è finito.
2 Derivata parziale di una funzione n variabili punto per variabile x io chiamato
, (9.4)
se il limite dato esiste ed è finito.
Come si può vedere dalle formule (9.2) - (9.4), le derivate parziali sono determinate nello stesso modo in cui si determinava la derivata di una funzione di una variabile. Quando si calcola il limite, solo una delle variabili viene incrementata, le altre variabili non vengono incrementate e rimangono costanti. Di conseguenza, le derivate parziali possono essere calcolate secondo le stesse regole delle derivate ordinarie, trattando tutte le variabili libere (tranne quella rispetto alla quale si effettua la differenziazione) come costanti.
Problema 9.3. Trova le derivate parziali delle funzioni
Soluzione. .
Problema 9.4. Trova le derivate parziali di una funzione.
Soluzione. Quando si differenzia questa funzione rispetto alla variabile X usiamo la regola di differenziazione di una funzione di potenza e quando troviamo una derivata parziale rispetto a una variabile y– la regola di differenziazione della funzione esponenziale:
Problema 9.5. Calcola le derivate parziali della funzione nel punto .
Soluzione. Applicando la regola di differenziazione di una funzione complessa, troviamo le derivate parziali
Sostituendo in derivate parziali le coordinate del punto M, noi abbiamo
§9.5. Funzione gradiente di più variabili.
Derivata direzionale
2 Il gradiente di una funzione in un punto è un vettore composto da derivate parziali di una data funzione calcolata in un dato punto:
2 La derivata di una funzione in un punto nella direzione del vettore è la proiezione del vettore gradiente di questa funzione, calcolata nel punto M 0 , in questa direzione
Calcolando la proiezione di un vettore su un vettore secondo la formula (2.6), otteniamo
. (9.7)
Notando che dove unè l'angolo che il vettore forma con l'asse BUE, otteniamo un'altra formula per calcolare la derivata rispetto alla direzione del vettore
Problema 9.6. Trova il gradiente di una funzione in un punto M 0 (4; 2) e la derivata nella direzione del vettore
Soluzione. Troviamo le derivate parziali
Calcola i valori delle derivate parziali nel punto M 0:
Gradiente di funzione in un punto M 0 troviamo dalla formula (9.5):
Problema 9.7. Al punto M 0 (0; 1) calcola la derivata della funzione nella direzione della bisettrice del secondo angolo di coordinate.
Soluzione. Troviamo le derivate parziali della funzione:
Calcola i valori delle derivate parziali e il gradiente della funzione in un punto M 0:
Derivata di una funzione in un punto M 0 nella direzione della bisettrice del secondo angolo di coordinate (questa direzione è con l'asse BUE angolo un= 135°) troviamo dalla formula (9.8):
§9.6. Differenziale di una funzione di più variabili
e la sua applicazione ai calcoli approssimativi
1 Se nel punto la funzione ha derivate parziali continue e , allora il suo incremento totale passando dal punto M 0 a un punto può essere rappresentato come:
, (9.9)
dove a , .
2 L'espressione è chiamata differenziale totale della funzione nel punto.
Dalla formula (9.9) segue che il differenziale della funzione è la parte lineare principale dell'incremento totale della funzione. Per D sufficientemente piccolo X e d y l'espressione è molto più piccola del differenziale e può essere trascurata. Quindi, arriviamo alla seguente formula approssimativa:
. (9.10)
Commento. La formula (9.10) può essere utilizzata per il calcolo approssimativo dei valori delle funzioni solo in punti sufficientemente vicini al punto. Più piccolo è il valore, più accurato è il valore trovato dalla formula (9.9).
Esempio 9.8. Calcola approssimativamente usando il differenziale.
Consideriamo una funzione. È necessario calcolare il valore z 1 di questa funzione al punto ( X 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). Usiamo la formula approssimativa (9.9), scegliendo come punto il punto (0; 7). Poi d X = X 1 – X 0 = 0,09 - 0 = 0,09, D y =y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.
Di conseguenza,
§9.7. Derivati parziali di ordini superiori
Lascia in zona Dè data una funzione che ha derivate parziali continue e in questa regione. Così, nella zona D abbiamo ottenuto due nuove funzioni continue di due variabili e . Se a un certo punto della regione D funzioni e hanno derivate parziali sia rispetto alla variabile X, e dal cambiamento y, allora queste derivate sono dette derivate del secondo ordine della funzione . Sono designati come segue:
1 Se a un certo punto della regione D la funzione ha derivate miste continue e , quindi al punto queste derivate sono uguali: . D , devono essere soddisfatte le seguenti condizioni: D = 32 – 9 = 23.
Poiché il discriminante è maggiore di zero, allora al punto M la funzione ha un estremo. Vale a dire, un minimo locale, dal momento che MA e DA Sopra lo zero. in cui
Integrali impropri di primo tipo. In effetti, questo è lo stesso integrale definito, ma nei casi in cui gli integrali hanno un limite di integrazione superiore o inferiore infinito, o entrambi i limiti di integrazione sono infiniti.
Integrali impropri di secondo tipo. In effetti, questo è lo stesso integrale definito, ma nei casi in cui l'integrale è preso da funzioni illimitate, l'integrando non ha integrazione in un numero finito di punti del segmento finito, volgendo all'infinito.
Per confronto. Nell'introdurre il concetto di integrale definito, si presumeva che la funzione f(X) è continua sul segmento [ un, b], e il segmento di integrazione è finito, cioè è limitato dai numeri e non dall'infinito. Alcuni compiti portano alla necessità di abbandonare queste restrizioni. Ecco come appaiono gli integrali impropri.
Il significato geometrico dell'integrale improprio risulta essere abbastanza semplice. Quando il grafico della funzione y = f(X) è al di sopra dell'asse Bue, l'integrale definito esprime l'area di un trapezio curvilineo delimitato da una curva y = f(X) , ascisse e ordinate X = un , X = b. A sua volta, l'integrale improprio esprime l'area di un trapezio curvilineo illimitato (infinito) racchiuso tra le linee y = f(X) (nella foto sotto in rosso) X = un e l'asse delle ascisse.
Gli integrali impropri sono definiti in modo simile per altri intervalli infiniti:
L'area di un trapezio curvilineo infinito può essere un numero finito, e in questo caso l'integrale improprio è detto convergente. L'area può anche essere infinita, nel qual caso l'integrale improprio è detto divergente.
Usando il limite di un integrale invece dell'integrale improprio stesso. Per calcolare l'integrale improprio, è necessario utilizzare il limite dell'integrale definito. Se questo limite esiste ed è finito (non uguale all'infinito), allora l'integrale improprio si dice convergente, altrimenti è divergente. A cosa tende la variabile sotto il segno limite dipende se si tratta di un integrale improprio del primo o del secondo tipo. Scopriamolo ora.
Integrali impropri del primo tipo - con limiti infiniti e loro convergenza
Integrali impropri con limite superiore infinito
Quindi, la registrazione dell'integrale improprio differisce dall'usuale integrale definito in quanto il limite superiore di integrazione è infinito.
Definizione. Un integrale improprio con un limite superiore infinito di integrazione da una funzione continua f(X) fra un prima ∞ è chiamato il limite dell'integrale di questa funzione con il limite superiore di integrazione b e il limite inferiore di integrazione un a condizione che il limite massimo di integrazione cresca indefinitamente, cioè.
.
Se questo limite esiste ed è uguale a un numero e non all'infinito, allora l'integrale improprio si dice convergente, e come valore viene preso il numero uguale al limite. Altrimenti l'integrale improprio si dice divergente e non gli viene attribuito alcun valore.
Esempio 1. Calcolare l'integrale improprio(se converge).
Soluzione. Sulla base della definizione dell'integrale improprio, troviamo
Poiché il limite esiste ed è uguale a 1, allora il dato l'integrale improprio converge ed è uguale a 1.
Nell'esempio seguente, l'integrando è quasi lo stesso dell'esempio 1, solo il grado di x non è due, ma la lettera alfa, e il compito è studiare l'integrale improprio per la convergenza. Cioè, la domanda resta da rispondere: a quali valori di alfa converge questo integrale improprio e a quali valori diverge?
Esempio 2. Indagare la convergenza di un integrale improprio(il limite di integrazione inferiore è maggiore di zero).
Soluzione. Supponiamo prima quello, poi
Nell'espressione risultante, si passa al limite in:
È facile vedere che il limite a destra esiste ed è uguale a zero quando , cioè , e non esiste quando , cioè .
Nel primo caso, cioè quando . Se poi 
e non esiste.
La conclusione del nostro studio è la seguente: l'integrale improprio converge a e diverge a .
Applicare al tipo studiato di integrale improprio la formula di Newton-Leibniz 
, possiamo ricavare la seguente formula molto simile:
.
Questa è la formula generalizzata di Newton-Leibniz.
Esempio 3. Calcolare l'integrale improprio(se converge).
Il limite di questo integrale esiste:
Il secondo integrale, che è la somma che esprime l'integrale originale:
Il limite di questo integrale esiste anche:
.
Troviamo la somma di due integrali, che è anche il valore dell'integrale improprio originale con due limiti infiniti:
Integrali impropri del secondo tipo - da funzioni illimitate e loro convergenza
Lascia che la funzione f(X) impostato sul segmento da un prima b e illimitato su di esso. Supponiamo che la funzione vada all'infinito nel punto b , mentre in tutti gli altri punti del segmento è continua.
Definizione. Integrale improprio della funzione f(X) sul segmento da un prima b è chiamato il limite dell'integrale di questa funzione con il limite superiore di integrazione c , se durante lo sforzo c a b la funzione aumenta indefinitamente e al punto X = b funzione non definita, cioè.
.
Se questo limite esiste, allora l'integrale improprio del secondo tipo si dice convergente, altrimenti divergente.
Usando la formula di Newton-Leibniz, deriviamo.
