Compito numero 3. Disegna un disegno e calcola l'area della figura delimitata da linee

Applicazione dell'integrale alla risoluzione di problemi applicati

Calcolo dell'area

L'integrale definito di una funzione continua non negativa f(x) è numericamente uguale a l'area di un trapezio curvilineo delimitata dalla curva y \u003d f (x), dall'asse O x e dalle rette x \u003d a e x \u003d b. Di conseguenza, la formula dell'area è scritta come segue:

Considera alcuni esempi di calcolo delle aree di figure piane.

Compito numero 1. Calcola l'area delimitata dalle linee y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Decisione. Costruiamo una figura, l'area di cui dovremo calcolare.

y \u003d x 2 + 1 è una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto e la parabola viene spostata verso l'alto di un'unità rispetto all'asse O y (Figura 1).

Figura 1. Grafico della funzione y = x 2 + 1

Compito numero 2. Calcola l'area delimitata dalle linee y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 nell'intervallo da 0 a 1.

Decisione. Il grafico di questa funzione è la parabola del ramo, che è diretta verso l'alto, e la parabola è spostata verso il basso di un'unità rispetto all'asse O y (Figura 2).

Figura 2. Grafico della funzione y \u003d x 2 - 1

Compito numero 3. Disegna un disegno e calcola l'area della figura delimitata da linee

y = 8 + 2x - x 2 e y = 2x - 4.

Decisione. La prima di queste due linee è una parabola con rami rivolti verso il basso, poiché il coefficiente in x 2 è negativo, e la seconda linea è una retta che attraversa entrambi gli assi coordinati.

Per costruire una parabola, troviamo le coordinate del suo vertice: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertice ascissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 è la sua ordinata, N(1;9) è il suo vertice.

Troviamo ora i punti di intersezione della parabola e della retta risolvendo il sistema di equazioni:

Uguagliare i lati destri di un'equazione i cui lati sinistri sono uguali.

Otteniamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 o x 2 - 12 \u003d 0, da dove .

Quindi, i punti sono i punti di intersezione della parabola e della retta (Figura 1).

Figura 3 Grafici delle funzioni y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4

Costruiamo una retta y = 2x - 4. Passa per i punti (0;-4), (2; 0) sugli assi delle coordinate.

Per costruire una parabola, puoi anche avere i suoi punti di intersezione con l'asse 0x, cioè le radici dell'equazione 8 + 2x - x 2 = 0 o x 2 - 2x - 8 = 0. Per il teorema di Vieta, è facile trovare le sue radici: x 1 = 2, x 2 = 4.

La figura 3 mostra una figura (segmento parabolico M 1 N M 2) delimitata da queste linee.

La seconda parte del problema è trovare l'area di questa figura. La sua area può essere trovata usando un integrale definito usando la formula .

Rispetto a questa condizione, otteniamo l'integrale:

2 Calcolo del volume di un corpo di rivoluzione

Il volume del corpo ottenuto dalla rotazione della curva y \u003d f (x) attorno all'asse O x è calcolato dalla formula:

Quando si ruota attorno all'asse O y, la formula è simile a:

Compito numero 4. Determina il volume del corpo ottenuto dalla rotazione di un trapezio curvilineo delimitato da linee rette x \u003d 0 x \u003d 3 e una curva y \u003d attorno all'asse O x.

Decisione. Costruiamo un disegno (Figura 4).

Figura 4. Grafico della funzione y =

Il volume desiderato è uguale a

Compito numero 5. Calcolare il volume del corpo ottenuto dalla rotazione di un trapezio curvilineo delimitato da una curva y = x 2 e da rette y = 0 e y = 4 attorno all'asse O y .

Decisione. Abbiamo:

Domande di revisione

Compito 1(sul calcolo dell'area di un trapezio curvilineo).

Nel sistema di coordinate rettangolari cartesiane xOy, viene fornita una figura (vedi figura), delimitata dall'asse x, linee rette x \u003d a, x \u003d b (un trapezio curvilineo. È necessario calcolare l'area di \ il trapezio curvilineo.
Decisione. La geometria ci fornisce le ricette per calcolare le aree dei poligoni e alcune parti di un cerchio (settore, segmento). Utilizzando considerazioni geometriche, saremo in grado di trovare solo un valore approssimativo dell'area richiesta, argomentando come segue.

Dividiamo il segmento [a; b] (base di un trapezio curvilineo) in n parti uguali; questa partizione è fattibile con l'aiuto dei punti x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Tracciamo linee attraverso questi punti parallele all'asse y. Quindi il dato trapezio curvilineo sarà diviso in n parti, in n colonne strette. L'area dell'intero trapezio è uguale alla somma delle aree delle colonne.

Considera separatamente la k-esima colonna, cioè trapezio curvilineo, la cui base è un segmento. Sostituiamolo con un rettangolo con la stessa base e altezza pari a f(x k) (vedi figura). L'area del rettangolo è \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dove \(\Delta x_k \) è la lunghezza del segmento; è naturale considerare il prodotto compilato come un valore approssimativo dell'area della k-esima colonna.

Se ora facciamo lo stesso con tutte le altre colonne, arriviamo al seguente risultato: l'area S di un dato trapezio curvilineo è approssimativamente uguale all'area S n di una figura a gradini composta da n rettangoli (vedi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Qui, per motivi di uniformità della notazione, consideriamo che a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - lunghezza del segmento, \(\Delta x_1 \) - lunghezza del segmento, ecc; mentre, come concordato sopra, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Quindi, \(S \approssimativamente S_n \), e questa uguaglianza approssimativa è tanto più accurata, tanto maggiore è n.
Per definizione, si presume che l'area desiderata del trapezio curvilineo sia uguale al limite della sequenza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Compito 2(sullo spostamento di un punto)
Un punto materiale si muove in linea retta. La dipendenza della velocità dal tempo è espressa dalla formula v = v(t). Trova lo spostamento di un punto nell'intervallo di tempo [a; b].
Decisione. Se il moto fosse uniforme, allora il problema sarebbe risolto molto semplicemente: s = vt, cioè s = v(b-a). Per il moto irregolare, si devono usare le stesse idee su cui si basava la soluzione del problema precedente.
1) Dividere l'intervallo di tempo [a; b] in n parti uguali.
2) Si consideri un intervallo di tempo e si assuma che durante questo intervallo di tempo la velocità fosse costante, come al tempo t k . Assumiamo quindi che v = v(t k).
3) Trova il valore approssimativo dello spostamento del punto nell'intervallo di tempo, questo valore approssimativo sarà indicato con s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trovare il valore approssimativo dello spostamento s:
\(s \approssimativamente S_n \) dove
\(S_n = s_0 + \punti + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \punti + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Lo spostamento richiesto è uguale al limite della sequenza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Riassumiamo. Le soluzioni di vari problemi sono state ridotte allo stesso modello matematico. Molti problemi provenienti da vari campi della scienza e della tecnologia portano allo stesso modello nel processo di soluzione. Quindi, questo modello matematico dovrebbe essere studiato in modo speciale.

Il concetto di integrale definito

Diamo una descrizione matematica del modello che è stato costruito nei tre problemi considerati per la funzione y = f(x), che è continua (ma non necessariamente non negativa, come ipotizzato nei problemi considerati) sul segmento [ un; b]:
1) dividere il segmento [a; b] in n parti uguali;
2) somma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \punti + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcola $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Nel corso dell'analisi matematica è stato dimostrato che questo limite esiste nel caso di una funzione continua (o continua a tratti). Viene chiamato un integrale definito della funzione y = f(x) sul segmento [a; b] e si denominano così:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
I numeri aeb sono detti limiti di integrazione (rispettivamente inferiore e superiore).

Torniamo ai compiti discussi sopra. La definizione di area data nel problema 1 può ora essere riscritta come segue:
\(S = \int\limiti_a^b f(x) dx \)
qui S è l'area del trapezio curvilineo mostrato nella figura sopra. Questo è ciò che significato geometrico dell'integrale definito.

La definizione dello spostamento s di un punto che si muove in linea retta con velocità v = v(t) nell'intervallo di tempo da t = a a t = b, data nel Problema 2, può essere riscritta come segue:

Newton - formula di Leibniz

Per cominciare, rispondiamo alla domanda: qual è la relazione tra un integrale definito e un'antiderivata?

La risposta può essere trovata nel problema 2. Da un lato, lo spostamento s di un punto che si muove lungo una retta con velocità v = v(t) in un intervallo di tempo da t = a a t = b ed è calcolato da la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'altra parte, la coordinata del punto in movimento è l'antiderivata della velocità - indichiamola s(t); quindi lo spostamento s è espresso dalla formula s = s(b) - s(a). Di conseguenza, otteniamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dove s(t) è l'antiderivata per v(t).

Il seguente teorema è stato dimostrato nel corso dell'analisi matematica.
Teorema. Se la funzione y = f(x) è continua sul segmento [a; b], quindi la formula
\(S = \int\limiti_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dove F(x) è l'antiderivata per f(x).

Questa formula è solitamente chiamata Formula di Newton-Leibniz in onore del fisico inglese Isaac Newton (1643-1727) e del filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716), che lo ricevettero indipendentemente l'uno dall'altro e quasi contemporaneamente.

In pratica, invece di scrivere F(b) - F(a), usano la notazione \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a volte viene chiamata doppia sostituzione) e, di conseguenza, riscrivere la formula di Newton-Leibniz in questa forma:
\(S = \int\limiti_a^b f(x) dx = \sinistra. F(x)\destra|_a^b \)

Calcolando un integrale definito, trovare prima l'antiderivativa, quindi eseguire una doppia sostituzione.

Sulla base della formula di Newton-Leibniz, si possono ottenere due proprietà di un integrale definito.

Proprietà 1. L'integrale della somma delle funzioni è uguale alla somma degli integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietà 2. Il fattore costante può essere estratto dal segno di integrale:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcolo delle aree di figure piane utilizzando un integrale definito

Utilizzando l'integrale è possibile calcolare l'area non solo di trapezi curvilinei, ma anche di figure piane di tipo più complesso, come quella mostrata in figura. La figura P è delimitata da rette x = a, x = b e da grafici di funzioni continue y = f(x), y = g(x), e sul segmento [a; b] vale la disuguaglianza \(g(x) \leq f(x) \). Per calcolare l'area S di tale figura, procederemo come segue:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limiti_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Quindi, l'area S della figura delimitata dalle rette x = a, x = b e dai grafici delle funzioni y = f(x), y = g(x), continua sul segmento e tale che per ogni x da il segmento [a; b] la disuguaglianza \(g(x) \leq f(x) \) è soddisfatta, è calcolata dalla formula
\(S = \int\limiti_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabella degli integrali indefiniti (antiderivate) di alcune funzioni

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Come inserire formule matematiche nel sito?

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Qualsiasi frattale è costruito secondo una certa regola, che viene applicata costantemente un numero illimitato di volte. Ciascuno di questi tempi è chiamato iterazione.

L'algoritmo iterativo per costruire una spugna di Menger è abbastanza semplice: il cubo originale di lato 1 è diviso da piani paralleli alle sue facce in 27 cubi uguali. Da esso vengono rimossi un cubo centrale e 6 cubi adiacenti ad esso lungo le facce. Si scopre un set composto da 20 cubi più piccoli rimanenti. Facendo lo stesso con ciascuno di questi cubi, otteniamo un set composto da 400 cubi più piccoli. Continuando questo processo all'infinito, otteniamo la spugna Menger.

Iniziamo a considerare il processo effettivo di calcolo dell'integrale doppio e a familiarizzare con il suo significato geometrico.

Il doppio integrale è numericamente uguale all'area di una figura piatta (regione di integrazione). Questa è la forma più semplice dell'integrale doppio, quando la funzione di due variabili è uguale a una: .

Consideriamo innanzitutto il problema in termini generali. Ora rimarrai sorpreso da quanto sia davvero semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per certezza, assumiamo che sull'intervallo . L'area di questa figura è numericamente uguale a:

Descriviamo l'area nel disegno:

Scegliamo il primo modo per aggirare l'area:

Così:

E subito un importante accorgimento tecnico: gli integrali iterati possono essere considerati separatamente. Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Questo metodo è altamente raccomandato per i principianti nell'argomento teiere.

1) Calcolare l'integrale interno, mentre l'integrazione avviene sulla variabile "y":

L'integrale indefinito qui è il più semplice, e quindi viene utilizzata la formula banale di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni. In primo luogo, abbiamo sostituito il limite superiore nella "y" (funzione antiderivativa), quindi il limite inferiore

2) Il risultato ottenuto nel primo comma deve essere sostituito nell'integrale esterno:

Una notazione più compatta per l'intera soluzione si presenta così:

La formula risultante - questa è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta usando l'integrale definito "ordinario"! Vedi lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, eccola a ogni angolo!

Cioè, il problema del calcolo dell'area utilizzando un integrale doppio poco diverso dal problema di trovare l'area usando un integrale definito! In effetti, sono la stessa cosa!

Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Non prenderò in considerazione molti esempi, poiché tu, in effetti, hai riscontrato ripetutamente questo problema.

Esempio 9

Decisione: Descriviamo l'area nel disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

Qui e sotto, non entrerò in come attraversare un'area perché il primo paragrafo era molto dettagliato.

Così:

Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare gli integrali iterati separatamente, aderirò allo stesso metodo:

1) Innanzitutto, usando la formula di Newton-Leibniz, trattiamo l'integrale interno:

2) Il risultato ottenuto al primo passo è sostituito nell'integrale esterno:

Il punto 2 sta effettivamente trovando l'area di una figura piatta usando un integrale definito.

Risposta:

Ecco un compito così stupido e ingenuo.

Un curioso esempio di soluzione indipendente:

Esempio 10

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata dalle linee , ,

Un esempio di soluzione finale alla fine della lezione.

Negli Esempi 9-10, è molto più vantaggioso utilizzare il primo metodo per aggirare l'area; lettori curiosi, tra l'altro, possono modificare l'ordine del bypass e calcolare le aree nel secondo modo. Se non si commette un errore, naturalmente si ottengono gli stessi valori dell'area.

Ma in alcuni casi, il secondo modo per aggirare l'area è più efficace e, a conclusione del corso del giovane nerd, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi su questo argomento:

Esempio 11

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee.

Decisione: aspettiamo due parabole con una brezza che giacciono dalla loro parte. Non c'è bisogno di sorridere, spesso si incontrano cose simili in più integrali.

Qual è il modo più semplice per fare un disegno?

Rappresentiamo la parabola come due funzioni:
- ramo superiore e - ramo inferiore.

Allo stesso modo, immagina una parabola come superiore e inferiore rami.

Successivamente, il tracciamento punto per punto guida, risultando in una figura così bizzarra:

L'area della figura viene calcolata utilizzando il doppio integrale secondo la formula:

Cosa succede se scegliamo il primo modo per aggirare l'area? Innanzitutto, quest'area dovrà essere divisa in due parti. E in secondo luogo, osserveremo questa triste immagine: . Gli integrali, ovviamente, non sono di un livello supercomplesso, ma... c'è un vecchio detto matematico: chi è amico delle radici non ha bisogno di una compensazione.

Pertanto, dall'equivoco che è dato nella condizione, esprimiamo le funzioni inverse:

Le funzioni inverse in questo esempio hanno il vantaggio di impostare immediatamente l'intera parabola senza foglie, ghiande, rami e radici.

Secondo il secondo metodo, l'attraversamento dell'area sarà il seguente:

Così:

Come si suol dire, senti la differenza.

1) Trattiamo l'integrale interno:

Sostituiamo il risultato nell'integrale esterno:

L'integrazione sulla variabile "y" non dovrebbe essere imbarazzante, se ci fosse una lettera "zyu" - sarebbe fantastico integrarla su di essa. Anche se chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, non prova più il minimo imbarazzo con l'integrazione su "y".

Prestare attenzione anche al primo passaggio: l'integrando è pari e il segmento di integrazione è simmetrico rispetto a zero. Pertanto, il segmento può essere dimezzato e il risultato può essere raddoppiato. Questa tecnica è commentata in dettaglio nella lezione. Metodi efficienti per il calcolo dell'integrale definito.

Cosa aggiungere…. Qualunque cosa!

Risposta:

Per testare la tua tecnica di integrazione, puoi provare a calcolare . La risposta dovrebbe essere esattamente la stessa.

Esempio 12

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee

Questo è un esempio fai da te. È interessante notare che se si tenta di utilizzare il primo modo per aggirare l'area, la figura non sarà più divisa in due, ma in tre parti! E, di conseguenza, otteniamo tre coppie di integrali iterati. Qualche volta succede.

La master class è giunta al termine ed è ora di passare al livello da grande maestro - Come calcolare l'integrale doppio? Esempi di soluzioni. Cercherò di non essere così maniacale nel secondo articolo =)

Ti auguro buona fortuna!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:Decisione: Disegna un'area sul disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

Così:
Passiamo alle funzioni inverse:


Così:
Risposta:

Esempio 4:Decisione: Passiamo alle funzioni dirette:


Eseguiamo il disegno:

Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:

Risposta:

Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura

Passiamo ora alla considerazione delle applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. Come utilizzare un integrale definito per calcolare l'area di una figura piana. Infine, coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Nella vita reale, dovrai approssimare un cottage estivo con funzioni elementari e trovare la sua area usando un certo integrale.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) Comprendere l'integrale indefinito almeno a un livello intermedio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.

2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare l'integrale definito. Puoi stabilire relazioni amichevoli amichevoli con determinati integrali sulla pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area utilizzando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più rilevante. A questo proposito è utile aggiornare i grafici delle principali funzioni elementari in memoria e, come minimo, poter costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (molti ne hanno bisogno) con l'aiuto di materiale metodologico e un articolo sulle trasformazioni geometriche dei grafici.

In realtà, tutti hanno familiarità con il problema di trovare l'area utilizzando un integrale definito fin dalla scuola, e andremo un po' più avanti rispetto al curriculum scolastico. Questo articolo potrebbe non esistere affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente è tormentato con entusiasmo da una torre odiata mentre padroneggia un corso di matematica superiore.

I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.

Iniziamo con un trapezio curvilineo.

Trapezio curvilineoè chiamata figura piatta delimitata dall'asse , dalle rette e dal grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno in questo intervallo. Lascia che questa figura sia localizzata non meno ascissa:

Quindi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un significato geometrico molto buono. Sulla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di affermare un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Cioè, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Si consideri ad esempio l'integrale definito. L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può completare il disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Il primo e più importante momento della decisione è la costruzione di un disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando si costruisce un progetto, consiglio il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le linee (se presenti) e solo dopo- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. I grafici delle funzioni sono più redditizi da costruire punto per punto, con la tecnica della costruzione puntuale si trovano nel materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (notare che l'equazione definisce l'asse):

Non tratterò un trapezio curvilineo, è ovvio di quale area stiamo parlando qui. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione oltre l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche il compito è stato risolto in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , e l'asse

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto l'asse?

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Decisione: Facciamo un disegno:

Se si trova il trapezio curvilineo sotto l'asse(o quantomeno non superiore asse dato), allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso:

Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena considerata compare il meno.

In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee , .

Decisione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore di integrazione, il limite superiore di integrazione.
È meglio non utilizzare questo metodo, se possibile..

È molto più proficuo e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto per vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve essere utilizzato se, ad esempio, il grafo è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un tale esempio.

Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno:

Ripeto che con la costruzione puntuale i limiti dell'integrazione si scoprono il più delle volte “automaticamente”.

Ed ora la formula di lavoro: Se è presente una funzione continua sull'intervallo Maggiore o uguale qualche funzione continua, quindi l'area della figura delimitata dai grafici di queste funzioni e dalle rette, può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse e, grosso modo, importa quale grafico è SOPRA(relativo a un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi è necessario sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura desiderata è delimitata da una parabola dall'alto e da una retta dal basso.
Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In effetti, la formula della scuola per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula . Poiché l'asse è dato dall'equazione e si trova il grafico della funzione non superiore assi, quindi

E ora un paio di esempi per una soluzione indipendente

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura racchiusa dalle linee , .

Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un determinato integrale, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato eseguito correttamente, i calcoli erano corretti, ma a causa della disattenzione ... trovato l'area della figura sbagliata, è così che il tuo obbediente servitore ha sbagliato diverse volte. Ecco un caso reale:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Decisione: Facciamo prima un disegno:

…Eh, il disegno è uscito di merda, ma tutto sembra essere leggibile.

La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, si verifica spesso un "glitch", che è necessario trovare l'area della figura che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linea retta;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico dell'iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e dovrebbero) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Passiamo a un altro compito significativo.

Esempio 8

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in una forma "scuola" ed eseguiamo un disegno punto per punto:

Si può vedere dal disegno che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore? È chiaro che questo non è un numero intero, ma cosa? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta accuratezza, potrebbe benissimo scoprirlo. O radice. E se non avessimo ottenuto il grafico giusto?

In questi casi, è necessario dedicare ulteriore tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Troviamo i punti di intersezione della retta e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:


,

Veramente, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più facili.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Bene, a conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area della figura delimitata da linee , ,

Decisione: Disegna questa figura nel disegno.

Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma e di rifare la foto, scusa, non hotz. Non un disegno, insomma oggi è un giorno =)

Per la costruzione punto per punto è necessario conoscere l'aspetto della sinusoide (e in generale è utile conoscere grafici di tutte le funzioni elementari), oltre ad alcuni valori sinusoidali, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso) è consentito costruire un disegno schematico, sul quale devono essere visualizzati in linea di principio correttamente grafici e limiti di integrazione.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, seguono direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi: