13.3 Lacune numeriche. Quartiere di un punto

Siano aeb più reali di un numero e siano a

Lacune numeriche(intervalli) sono sottoinsiemi di tutti i numeri reali che hanno la seguente forma:

= (x: α ≤ x ≤ b) - segmento (segmento, intervallo chiuso);
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x: a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x un);
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

I numeri aeb sono chiamati rispettivamente le estremità sinistra e destra di questi intervalli. I simboli -∞ e +∞ non ​​sono numeri, questa è una designazione simbolica del processo di rimozione illimitata di punti dell'asse numerico dall'inizio di 0 a sinistra ea destra.

Sia x o un qualsiasi numero reale (un punto sulla retta dei numeri). Un intorno del punto x0 è un qualsiasi intervallo (a; b) contenente il punto x0. In particolare, l'intervallo (x o -ε, x o + ε), dove ε > 0, è detto ε-vicinanza del punto x o. Il numero x o è chiamato centro.

Se x Î (x 0 -ε; x 0 +ε), quindi la disuguaglianza x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

Storicamente, i numeri naturali $N$ sono emersi per primi, come risultato del ricalcolo delle perdmet. L'insieme di questi numeri è infinito e forma una serie naturale $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$. In questo insieme sono possibili le operazioni di addizione e moltiplicazione. Per eseguire l'operazione di sottrazione erano necessari nuovi numeri, che portavano alla comparsa di un insieme di interi: $Z$. $Z=N_+\tazza N_- \tazza \(0\)$. Quindi, nell'insieme degli interi, si eseguono sempre le operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione.

Numeri razionali

La necessità di eseguire la divisione ha portato all'insieme dei numeri razionali $Q$. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$.

Definizione. Due numeri razionali sono uguali: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - if $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Ciò significa che qualsiasi numero razionale può essere rappresentato in modo univoco come una frazione irriducibile $\frac(m)(n)$. $mcd(m, n)=1$.

Proprietà dell'insieme dei numeri razionali

1. Come risultato di operazioni aritmetiche sui numeri razionali (addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione, eccetto divisione per zero), si ottiene un numero razionale.

2. L'insieme dei numeri razionali è ordinato, cioè per ogni coppia di numeri razionali $a$ e $b$ o $a b$.

3. L'insieme dei numeri razionali è denso, cioè per ogni coppia di numeri razionali $a$ e $b$ esiste un numero razionale $c$ tale che $a

Qualsiasi numero razionale positivo può sempre essere rappresentato come una frazione decimale: periodica finita o infinita. Ad esempio: $\frac(3)(5)=0,6$, $\frac(1)(3)=0,333...=0,(3)$.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - è chiamato il periodo della frazione decimale, dove non tutti $b_i=0$.

Nota che una frazione finita può essere scritta come una frazione periodica infinita con zero nel periodo. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Tuttavia, un'altra rappresentazione dei numeri razionali come frazione decimale è più comune: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

I numeri razionali negativi $-\frac(m)(n)$ sono scritti come espansione decimale di un numero razionale della forma $\frac(m)(n)$ preso con il segno opposto.

Il numero $0$ è rappresentato come $0.000...$.

Pertanto, qualsiasi numero razionale è sempre rappresentabile come una frazione periodica decimale infinita che non contiene $ 0 $ nel periodo, ad eccezione del numero $ 0 $ stesso. Questa vista è l'unica.

Numeri irrazionali

L'insieme dei numeri razionali è chiuso in quattro operazioni aritmetiche. Tuttavia, nell'insieme dei numeri razionali, non sempre avviene la soluzione dell'equazione più semplice della forma $x^2-n=0$. Pertanto, è necessario introdurre nuovi numeri.

Mostriamo che tra i numeri razionali non esiste un numero il cui quadrato sia uguale a tre. La dimostrazione si effettua con il metodo della contraddizione.

Supponiamo che esista un numero razionale $\frac(m)(n)$ tale che il suo quadrato sia tre: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\;( 1 )$.

$\frac(m^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Il lato destro dell'uguaglianza (2) è divisibile per 3. Quindi, $m^2$ è anche divisibile per 3, quindi $m$ è divisibile per 3, il che significa che $m=3k$. Sostituendo nell'equazione (2), otteniamo:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Il lato sinistro di $(3)$ è divisibile per $3$, quindi anche il lato destro è divisibile per $3$. Quindi $n^2$ è divisibile per $3$, quindi anche $n$ è divisibile per $3$, da cui $n=3p$. Di conseguenza, otteniamo: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, ovvero la frazione $\frac(m)(n)$ si è rivelata riducibile, il che contraddice l'ipotesi . Ciò significa che tra i numeri razionali non esiste un tale numero, il cui quadrato è uguale a tre.

Ma c'è un numero il cui quadrato è tre. Può essere rappresentato come una frazione infinita non periodica. E abbiamo un nuovo tipo di numeri. Chiamiamoli irrazionali.

Definizione. Un numero irrazionale è qualsiasi frazione infinita non periodica.

L'insieme di tutte le infinite frazioni non periodiche è chiamato insieme di numeri irrazionali ed è indicato con $I$.

Numeri reali

L'unione dell'insieme dei numeri razionali $Q$ e dei numeri irrazionali $I$ dà l'insieme dei numeri reali $R$: $Q\cup I=R$.

Pertanto, qualsiasi numero reale può essere rappresentato come una frazione decimale infinita: periodica nel caso di un numero razionale e non periodica nel caso di un numero irrazionale.

Confronto di numeri reali

Per i numeri reali $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ il confronto è il seguente:

1) Siano $a$ e $b$ entrambi positivi: $a>0$, $b>0$, quindi:

$a=b$ se per qualsiasi $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$ se $\esiste s$ $\pertutto k b_s$.

2) Sia $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0

3) Siano $a$ e $b$ entrambi negativi: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$ se per $-a=-b$;

L'insieme dei numeri reali è l'insieme dei numeri razionali che integrano quelli irrazionali. Questo insieme è indicato dalla lettera R, ed è consuetudine utilizzare la notazione (-∞, +∞) o (-∞, ∞) come simbolo.

L'insieme dei numeri reali può essere descritto come segue: questo è un insieme di frazioni decimali finite e infinite, le frazioni decimali finite e le frazioni periodiche decimali infinite sono numeri razionali e le frazioni decimali infinite e non periodiche sono numeri irrazionali.
Qualsiasi numero reale può essere indicato sulla linea delle coordinate. Anche l'affermazione inversa è appropriata: qualsiasi punto sulla linea delle coordinate ha una coordinata reale. In linguaggio matematico suona così: tra l'insieme dei punti della linea delle coordinate e l'insieme R dei numeri reali, si può stabilire una relazione uno a uno. Per la linea delle coordinate stessa, viene spesso utilizzato il termine "linea dei numeri", poiché la linea delle coordinate è un modello geometrico dell'insieme dei numeri reali.
Si scopre che la tua conoscenza della linea delle coordinate risale a molto tempo fa, ma inizierai a usarla solo ora. Come mai? Puoi trovare la risposta nell'esempio del video tutorial.

È noto che per i numeri reali aeb sono soddisfatte le ben note leggi dell'addizione e della moltiplicazione: la legge comunicativa dell'addizione, la legge commutativa della moltiplicazione, la legge associativa dell'addizione, la legge distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione , e altri. Illustriamone alcuni:
a + b = b + a;
ab=ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Vengono inoltre seguite le seguenti regole:
1. Come risultato del prodotto del (quoziente) di due numeri negativi, si ottiene un numero positivo.
2. Come risultato del prodotto di un numero (quoziente) negativo e positivo, si ottiene un numero negativo.
Puoi confrontare i numeri reali tra loro in base alla definizione:
Il numero reale a è maggiore o minore del numero reale b, nel caso in cui la differenza a - b sia un numero positivo o negativo.
Si scrive così: a > b, a< b.
Ciò significa che a è positivo e b è negativo.
Cioè, nel caso in cui a > 0 => a sia positivo;
un< 0 =>a è negativo;
a > b, allora a - b è positivo => a - b > 0;
un< b, то a - b отрицательное =>a-b< 0.
Oltre ai segni (<; >) disuguaglianze rigorose, vengono utilizzati anche i segni di disuguaglianze non rigorose - (≤;≥).
Ad esempio, per qualsiasi numero b, vale la disuguaglianza b2 ≥ 0.
Puoi vedere esempi di confronto dei numeri e di disposizione in ordine crescente nel video tutorial.
Grazie al modello geometrico dell'insieme dei numeri reali - la linea dei numeri, l'operazione di confronto sembra particolarmente chiara.

La proprietà principale di una frazione algebrica

Continuiamo la nostra conoscenza delle frazioni algebriche. Se nella lezione precedente abbiamo parlato di concetti di base, in questa lezione imparerai la proprietà principale di una frazione algebrica. La definizione della proprietà di base di una frazione è nota dal corso di matematica di 6° grado (riduzione delle frazioni). In cosa consiste? Spesso quando si risolvono problemi, equazioni, diventa necessario convertire una frazione "scomoda" per i calcoli in un'altra "conveniente". È per eseguire tali trasformazioni che devi conoscere la sua proprietà principale e le regole per cambiare i segni, che imparerai guardando il video tutorial.

Il valore di una frazione comune rimarrà invariato quando il numeratore e il denominatore vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero (tranne zero). Questa è la proprietà principale di una frazione.
Considera un esempio:
7/9 = 14/18
Abbiamo due frazioni che sono identicamente uguali tra loro. Il numeratore e denominatore in questo caso sono stati moltiplicati per 2, mentre il valore della frazione non è cambiato.
Cosa succede a una frazione quando dividi numeratore e denominatore per lo stesso numero, imparerai dal video tutorial.
Una frazione algebrica è, in linea di principio, la stessa frazione ordinaria, su di essa puoi eseguire le stesse operazioni che su una ordinaria.
L'espressione al numeratore e l'espressione al denominatore di una frazione possono essere moltiplicate o divise per la stessa espressione alfanumerica (polinomiale o monomio), lo stesso numero (tranne zero: se l'espressione o il numero nelle frazioni al denominatore, moltiplicare per zero , assumerà un valore zero e, come sai, non puoi dividere per zero). Tale trasformazione di una frazione algebrica è chiamata sua riduzione. Questa è la proprietà principale di una frazione algebrica. Come viene implementato nella pratica: puoi imparare dal video tutorial.
La conversione di frazioni in frazioni con gli stessi denominatori è chiamata riduzione delle frazioni a un denominatore comune. Per eseguire questa azione, è necessario eseguire una determinata sequenza di azioni, composta da quanto segue:

Dopo aver scomposto tutti i denominatori in fattori, determiniamo l'LCM per i coefficienti numerici.
. Annotiamo il prodotto, tenendo conto dei coefficienti LCM e di tutti i fattori letterali. Se i moltiplicatori sono gli stessi, prendi il moltiplicatore una volta. Di tutte le potenze che hanno la stessa base prendiamo il fattore con l'esponente massimo.
. Troviamo i valori che sono fattori aggiuntivi per il numeratore di ciascuna delle frazioni.
. Per ogni frazione, definiamo un nuovo numeratore, come il prodotto del vecchio numeratore per un fattore aggiuntivo.
. Scriviamo le frazioni con un nuovo numeratore, che abbiamo determinato, e un denominatore comune.

Esempio 1: Riduci le seguenti frazioni a/4b2 b a2/6b3 a un denominatore comune.
Soluzione:
Innanzitutto, definiamo un denominatore comune. (E' uguale a 12b2).
Quindi, seguendo l'algoritmo, determiniamo un fattore aggiuntivo per ciascuna delle frazioni. (Per il primo - 3b, per il secondo - 2).
Dopo aver fatto la moltiplicazione, otteniamo il risultato.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 e (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2 .
Esempio 2: Riduci le frazioni c/(c - d) e c/(c + d) a un denominatore comune.
Soluzione:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)

Troverai una soluzione più dettagliata di esempi simili nel video tutorial.
La proprietà principale di una frazione algebrica ha una conseguenza sotto forma di regola per cambiare i segni:
a - b/c - d = b - a/d - c
In questo caso, il numeratore e il denominatore della frazione sono stati moltiplicati per -1. Azioni simili possono essere eseguite non con l'intera frazione, ma solo con il numeratore o solo con il denominatore. Come cambierà il risultato se, ad esempio, si moltiplica per -1 solo il numeratore o solo il denominatore, lo scoprirai guardando il video tutorial.
Ora, dopo aver studiato la proprietà principale di una frazione algebrica e la regola che ne consegue, siamo in grado di risolvere problemi più complessi, ovvero: sottrazione e addizione di frazioni. Ma questo è l'argomento della prossima lezione.

Sulla terza riga - tre numeri per ogni equazione cubica risp. quadruple ordinate, ecc.

Quella. otteniamo una matrice che può essere aggirata usando il processo diagonale di Cantor. Se una parte delle radici di un'equazione algebrica è complessa, le saltiamo semplicemente durante la numerazione. Quella. ogni numero algebrico riceverà un numero corrispondente, e questo conferma il fatto che l'insieme dei numeri reali algebrici numerabile .

Fatto enumerabilità effettiva L'insieme A segue direttamente dal suddetto metodo di enumerazione degli elementi mediante numeri naturali, poiché lungo il percorso viene indicata una procedura efficace per l'enumerazione di insiemi di numeri razionali che definiscono in modo univoco equazioni algebriche del grado corrispondente. In questo caso, è importante che l'equazione algebrica dell'ennesimo grado abbia un algoritmo risolutivo efficiente, ad es. la procedura è del tutto efficace. Pertanto, l'insieme dei numeri reali algebrici è numerabile ed effettivamente enumerabile, QED

Saranno conteggiabili anche insiemi composti da tutte le coppie, terzine, ecc. di numeri algebrici.

2.3.7. Insiemi numerici numerabili: generalizzazione

T.2 Teorema (senza dimostrazione)

L'insieme di elementi che possono essere rappresentati utilizzando un numero finito di un sistema di segni numerabili è numerabile.

Nella vita reale, utilizziamo vari sistemi di segni finiti, come numeri, lettere, note.

Considera un sistema di segni, ad esempio, i numeri in qualsiasi sistema di numeri finiti, diciamo decimali. Con 10 caratteri a nostra disposizione: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 possiamo comporre due tipi di insiemi: lunghezza fissa e lunghezza arbitraria.

Nel primo caso si tratta di un problema puramente combinatorio, ad esempio si possono comporre 105 diverse sequenze di cinque caratteri. Questo non è un numero piccolo, ma è un numero naturale e la cardinalità dell'insieme considerato di tutte le possibili successioni di questo tipo è espressa da un numero naturale. Nel secondo caso, l'insieme di tali successioni sarà numerabilmente infinito, per analogia con gli insiemi di complessi di numeri naturali, e la sua cardinalità è il numero aleph-zero.

Si può generalizzare che l'insieme ottenuto applicando il Teorema 2.3.(7) sarà numerabilmente infinito se, nel caso di un sistema di segni finito, sono ammessi complessi di segni arbitrariamente lunghi (arbitrariamente lunghi, ma sempre finiti! ).

numerabilmente infiniti sono, ad esempio:

un insieme di "parole" che possono essere composte usando il finito alfabeto("parola" qui è un complesso di lettere, non importa se hanno senso o meno),

l'insieme di tutti i libri scritti in una o anche in tutte le lingue,

l'insieme di tutte le sinfonie, ecc.

2.4.1. Non numerabilità dell'insieme dei numeri reali (continuum)

L'insieme dei numeri reali sarà indicato dalla lettera latina R.

T.2 Teorema

L'insieme dei numeri reali non è numerabile.

Prova

Supponiamo il contrario, sia numerabile l'insieme dei numeri reali. Quindi anche qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è numerabile. Prendiamo sull'insieme dei numeri reali un sottoinsieme di R1 - l'intervallo (0,1) e scartiamo da questo segmento i numeri contenenti zeri o nove in almeno una delle loro cifre (esempi di tali numeri: 0,9, 0,0001, ecc. ). L'insieme R2, composto dai numeri rimanenti, è un sottoinsieme dell'insieme R1 . Ciò significa che R2 è numerabile.

Dal fatto che R2 è numerabile, segue direttamente che in qualche modo di enumerare i suoi elementi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di R2 e gli elementi dell'insieme dei numeri naturali. Ciò deriva dalla definizione stessa della potenza di un insieme, secondo la quale si assume che negli insiemi di uguale potenza ogni elemento di un insieme abbia un elemento accoppiato di un altro insieme e viceversa. Si noti che la differenza fondamentale tra questa definizione e la definizione di enumerabilità effettiva è che in questo caso non stiamo nemmeno parlando della presenza di alcun algoritmo di enumerazione, affermiamo semplicemente che è possibile fornire una lista di numeri reali dall'insieme R2 e un elenco dei loro corrispondenti numeri naturali dall'insieme N. L'algoritmo per costruire la connessione N ↔ R2 non ci interessa in questo caso, è sufficiente che tale corrispondenza sia possibile.

Costruiamo un tale elenco di numeri dall'insieme R2 e numeriamo i numeri in cifre:

Ora costruiamo il numero b=0.b1b2…, e

bi=aii+1, dove + indica l'operazione di addizione, il cui risultato non può essere i numeri 0 e 9, cioè se aii=1, allora bi=2; se aii=2, allora bi=3, …., se aii=8, allora bi=1).

Pertanto, il numero costruito b differirà da ciascuno dei numeri nell'insieme R2 almeno in una cifra e, pertanto, non rientrerà nell'elenco compilato. Tuttavia, per sua struttura, il numero b deve essere contenuto nell'insieme R2. Abbiamo ottenuto una contraddizione, il che significa che l'ipotesi iniziale è falsa e l'insieme R2 non è numerabile.

Poiché l'insieme R2 è per condizione un sottoinsieme dell'insieme R1, allora R1 non è numerabile e poiché R1 non è numerabile, anche l'insieme R è non numerabile, QED

Nota: è possibile non eliminare i numeri contenenti 0 e 9. Pertanto, alcuni numeri appariranno due volte nella nostra serie. Questo perché le frazioni finite possono essere trasformate in frazioni infinite. Ad esempio ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

Nel caso generale, questo potrebbe essere il motivo per cui non è stato possibile contare l'insieme dei numeri reali. Ma l'insieme dei numeri che può essere rappresentato in due modi (frazioni finite) è l'insieme dei numeri razionali. Come è stato dimostrato in precedenza, il loro numero è numerabile. Si può anche dimostrare che questo insieme è effettivamente enumerabile. Quella. anche la doppia rappresentazione dell'insieme di tali numeri forma un insieme numerabile, quindi la dimostrazione è valida anche senza tale semplificazione.

È stato ottenuto un risultato fondamentalmente nuovo: è stato trovato un insieme non numerabile di numeri. La sua cardinalità, secondo il teorema dimostrato, non è uguale a aleph-zero (À0) , il che significa che è necessario un nuovo numero nella scala transfinita.

Alef ( À) è il secondo numero transfinito. Per definizione, questa è la potenza del continuum (di tutti i numeri reali). Questo è il secondo potere infinito più alto. Il Teorema 2.4.(1) appena dimostrato sulla non numerabilità dell'insieme dei numeri reali è una prova convincente che la cardinalità di questo insieme è maggiore di aleph-zero (maggiore dell'insieme dei numeri naturali). E questo è un risultato molto importante dopo una serie di prove della numerabilità di vari insiemi di numeri.

Se operiamo con il concetto di numero cardinale (potenza), allora lo otteniamo, poiché ogni numero del segmento (0,1) può essere rappresentato da una frazione decimale della forma 0.a1a2a3 ... almeno una volta e non più di due, quindi:

└≤10 └0≤ 2└ ,

e poiché 2└=└, allora otteniamo che 10 └0= └. Lo stesso ragionamento vale se scomponiamo i numeri non in decimali, ma, ad esempio, in frazioni binarie, frazioni con base 3, 15, 10005, o anche À0 (se puoi immaginare una cosa del genere).

Quella. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Se ci pensi, puoi trovare un altro fatto non del tutto ovvio dalla teoria degli insiemi. À2=À À è la cardinalità dell'insieme delle coppie di numeri reali. Una coppia di numeri reali, in generale, corrisponde a un punto sul piano. A sua volta, └3=└ └ └ è la cardinalità dell'insieme delle triple di numeri reali, e questi sono punti nello spazio. Il ragionamento può essere continuato ulteriormente fino a └0 - spazio dimensionale o l'insieme di tutte le sequenze di numeri reali di lunghezza numerabile. Quella. tutti gli spazi a dimensione finita o numerabile hanno la stessa cardinalità H (qui H è il numero di punti nello spazio).

Per uno spazio reale └0-dimensionale o l'insieme di tutte le successioni di numeri reali di lunghezza numerabile, dal punto di vista delle operazioni sui numeri cardinali, otteniamo └└0=(2└0)└0=2└0∙ └0=2└0=└.

A questo punto sarà interessante passare alle vicende storiche legate a una serie di testimonianze in questo ambito. Con il fatto che ci sono tanti punti su una retta infinita quanti su un segmento, i matematici, anche se non immediatamente, ma alla fine si sono riconciliati. Ma il risultato successivo di Kantor si è rivelato ancora più inaspettato. Alla ricerca di un insieme che abbia più elementi di un segmento sull'asse reale, ha rivolto la sua attenzione all'insieme dei punti di un quadrato. Inizialmente, non c'erano dubbi sul risultato: dopotutto, l'intero segmento si trova su un lato del quadrato e l'insieme di tutti i segmenti in cui il quadrato può essere scomposto ha la stessa cardinalità dell'insieme dei punti del segmento . Per quasi tre anni (dal 1871 al 1874) Kantor ha cercato la prova dell'impossibilità di una corrispondenza biunivoca tra i punti di un segmento ei punti di un quadrato. E ad un certo punto, del tutto inaspettatamente, si è rivelato il risultato opposto: è riuscito a costruire una corrispondenza che considerava sinceramente impossibile. Cantor non credette a se stesso e scrisse persino al matematico tedesco Richard Dedekind: "Lo vedo, ma non ci credo". Quando lo shock di questo fatto passò, divenne intuitivamente chiaro e presto dimostrò che il cubo ha tanti punti quanti sono i segmenti. In generale, qualsiasi figura geometrica nel piano (un corpo geometrico nello spazio) contenente almeno una linea ha tanti punti quanto un segmento. Tali insiemi sono detti insiemi di cardinalità del continuum (dal latino continuum - continuo). Il passo successivo è quasi ovvio: la dimensione dello spazio entro certi limiti è irrilevante. Ad esempio, un piano bidimensionale, uno spazio abituale tridimensionale, 4, 5 e ulteriori spazi n-dimensionali sono equivalenti in termini di numero di punti contenuti nel corrispondente corpo n-dimensionale. Questa situazione si osserverà anche nel caso di uno spazio con un numero infinito di dimensioni, è solo importante che questo numero sia numerabile.

In questa fase sono stati scoperti due tipi di infiniti e, di conseguenza, due numeri transfiniti che denotano le loro cardinalità. Gli insiemi del primo tipo hanno cardinalità equivalente alla cardinalità dei numeri naturali (aleph-zero). Gli insiemi del secondo tipo hanno cardinalità equivalente al numero di punti sull'asse reale (cardinalità del continuo, aleph). Si mostra che ci sono più elementi negli insiemi del secondo tipo che negli insiemi del primo tipo. Naturalmente sorge la domanda: esiste in natura un insieme “intermedio” che avrebbe una cardinalità maggiore del numero dei numeri naturali, ma allo stesso tempo minore dell'insieme dei punti della retta? Questa difficile domanda è chiamata "problema di continuità" . È anche conosciuta come "ipotesi del continuo" o " Il primo problema di Hilbert. La dicitura esatta è la seguente:

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Di conseguenza, dopo molte ricerche sull'ipotesi del continuo, nel 1938 il matematico tedesco Kurt Gödel dimostrò che l'esistenza di un potere intermedio non contraddice il resto assiomi insiemistica. E più tardi, dentro quasi simultaneamente, ma indipendentemente l'uno dall'altro, il matematico americano Cohen e il matematico ceco Vopenka hanno mostrato che la presenza di tale cardinalità intermedia non è deducibile dai restanti assiomi della teoria degli insiemi. A proposito, è interessante notare che questo risultato è molto simile alla storia con il postulato delle rette parallele. Come sapete, per duemila anni hanno cercato di derivarlo dal resto degli assiomi della geometria, ma solo dopo il lavoro di Lobachevsky, Hilbert e altri sono riusciti ad ottenere lo stesso risultato: questo postulato non contraddice il resto della gli assiomi, ma non può nemmeno essere derivato da essi.

2.4.2. Insiemi di numeri complessi, trascendentali e irrazionali

Presentiamo, oltre all'insieme dei numeri reali, molti altri insiemi non numerabili.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) Teorema

L'insieme dei numeri complessi non è numerabile.

Prova

Poiché l'insieme dei numeri reali R, che è non numerabile dal Teorema 2.4.(1), dimostrato in precedenza, è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi C, anche l'insieme dei numeri complessi è non numerabile, QED

numero trascendente - un numero reale non algebrico.

L'insieme dei numeri trascendentali sarà indicato dalla lettera latina T. Ogni numero reale trascendentale è irrazionale, ma non è vero il contrario. Ad esempio, il numero è irrazionale, ma non trascendente: è la radice dell'equazione X 2 − 2=0.

T.2 Teorema

L'insieme dei numeri trascendentali non è numerabile.

Prova

Poiché i numeri reali sono un insieme non numerabile e i numeri algebrici sono numerabili e l'insieme A è un sottoinsieme di R, allora R \ A (l'insieme dei numeri trascendentali) è un insieme non numerabile, QED

Questa semplice prova dell'esistenza dei numeri trascendentali fu pubblicata da Kantor nel 1873 e fece una grande impressione nella comunità scientifica, poiché dimostrò l'esistenza di un insieme di numeri senza costruire un solo esempio specifico, ma solo sulla base di considerazioni generali . Da questa dimostrazione non si può estrarre alcun esempio concreto di numero trascendentale; si dice che sia una prova di questo tipo non costruttivo .

È importante notare che per molto tempo i matematici si sono occupati solo di numeri algebrici. Ci sono voluti notevoli sforzi per trovare almeno alcuni numeri trascendentali. Ciò fu ottenuto per la prima volta dal matematico francese Liouville nel 1844, che dimostrò un insieme di teoremi che consente di costruire esempi concreti di tali numeri. Ad esempio, il numero trascendentale è il numero 0,..., in cui dopo la prima unità c'è uno zero, dopo il secondo - due, dopo il terzo - 6, dopo l'n-esimo, rispettivamente, n! zeri.

È stato dimostrato che il logaritmo decimale di qualsiasi numero intero, ad eccezione dei numeri 10, è trascendentale. n. L'insieme dei numeri trascendentali include anche il peccato α, cos α e tg α per qualsiasi numero algebrico diverso da zero α . I rappresentanti più importanti dei numeri trascendentali sono generalmente considerati numeri π e e. A proposito, la prova della trascendenza del numero π , realizzato dal matematico tedesco Karl Lindermann nel 1882, fu un grande evento scientifico, perché implicava l'impossibilità di quadrare il cerchio. La storia della ricerca della quadratura di un cerchio è durata quattro millenni e il termine stesso è diventato sinonimo di problemi irrisolvibili.

Unità di misura" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">unità di misura del raggio del cerchio e designare X la lunghezza del lato del quadrato desiderato, quindi il problema si riduce a risolvere l'equazione: X 2 = π, da cui: . Come sai, con l'aiuto di un compasso e un righello, puoi eseguire tutte e 4 le operazioni aritmetiche ed estrarre la radice quadrata. Ciò significa che la quadratura di una circonferenza è possibile se e solo se, utilizzando un numero finito di tali operazioni, è possibile costruire un segmento di lunghezza π. Pertanto, l'irrisolvibilità di questo problema deriva dalla natura non algebrica (trascendenza) del numero π. Il problema vero e proprio della quadratura di una circonferenza si riduce al problema della costruzione di un triangolo di base πr e altezza r. Per lui, quindi, senza difficoltà si può costruire un quadrato uguale.

Nell'elenco dei 23 problemi cardinali della matematica menzionati in precedenza, il numero 7 era il problema relativo alla trascendenza dei numeri formati in un certo modo.

Il settimo problema di Hilbert. Sia a un numero algebrico positivo diverso da 1, b un numero algebrico irrazionale. Dimostra che ab è un numero trascendentale.

Nel 1934 il matematico sovietico Gelfond e poco dopo il matematico tedesco Schneider dimostrarono la validità di questa affermazione, e così il problema fu risolto.

Altri due fatti interessanti sono collegati al principio di dividere i numeri in razionali e irrazionali, che non sono immediatamente percepiti come veri.

T.2.4.(5) Teorema

Tra due numeri razionali diversi c'è sempre un insieme di numeri irrazionali di cardinalità del continuum.

Prova

Siano due numeri razionali un e b. Costruiamo una funzione lineare, e quindi biunivoca f(X) = (X - un) / (b - un). Perché f(un) = 0 e f(b) = 1, quindi f(X) mappa uno a uno il segmento [ un; b] nel segmento , mentre viene preservata la razionalità dei numeri. Pertanto, le cardinalità degli insiemi [ un; b] e i numeri reali sono uguali e, come dimostrato, la cardinalità del segmento è uguale alla cardinalità del continuo. Scegliendo solo numeri irrazionali dall'insieme risultante, otteniamo che tra due numeri razionali qualsiasi c'è sempre un continuum di numeri irrazionali, QED

In generale, questo teorema sembra intuitivamente abbastanza logico. Il successivo, a prima vista, è percepito con scetticismo.

T. 2.4.(6) Teorema

Tra due numeri irrazionali diversi c'è sempre un insieme numerabile di numeri razionali.

Prova

Siano due numeri irrazionali un e b, scriviamo le cifre corrispondenti come un 1un 2un 3... e b 1b 2b 2..., dove ai, bi- cifre decimali. Permettere un < b, allora c'è N tale che un N< b N. Costruisci un nuovo numero c, per cui mettiamo ci = ai = bi per io= 1, …, N-1. Permettere cN = bN-uno. È ovvio che c < b. Poiché tutte le cifre del numero un dopo che l'N-esimo non può essere nove (quindi sarà una frazione periodica, cioè un numero razionale), allora indichiamo con M >= N una tale cifra del numero un, che cosa un M< 9. Положим cj = aj, per n< j < M, и c M = 9. In questo caso c > un. Quindi abbiamo un numero razionale c, tale che un < c < b. Somma alla notazione decimale di un numero c qualsiasi numero finito di cifre dietro possiamo ottenere arbitrariamente molti numeri razionali tra un e b. Assegnando a ciascuno di questi numeri il suo numero ordinale, otteniamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di questi numeri e l'insieme dei numeri naturali, quindi l'insieme risultante sarà numerabile, QED

A questo punto, diventa interessante e importante dimostrare il seguente teorema, il cui significato prima dell'introduzione della scala dei numeri transfiniti era generalmente ovvio, ma quando appare tale aritmetica specifica, richiede una dimostrazione rigorosa.

T.2 Teorema di Cantor

Per ogni numero cardinale α abbiamo α<2α.

Prova

1. Dimostriamolo almeno α≤2α

Come è noto, la cardinalità del Booleano dell'insieme M è pari a 2|M|. Sia l'insieme М = (m1, m2, m3, …). Il booleano dell'insieme M (l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi) comprende anche gli insiemi costituiti ciascuno da un singolo elemento, ad esempio (m1), (m2), (m3), .... Solo questo tipo di sottoinsiemi sarà |M| e, oltre a questi, il booleano include anche altri sottoinsiemi, il che significa che in ogni caso |M| ≤ 2|M|

2. Dimostriamo il rigore della disuguaglianza α<2α

Tenuto conto di quanto dimostrato al paragrafo 1. basta dimostrare che la situazione in cui non è ammissibile α=2α. Supponiamo il contrario, sia α=2α, cioè |M| = 2|M|. Ciò significa che M è equivalente a P(M), il che significa che esiste una mappatura dell'insieme M sul suo P(M booleano). Quella. ogni elemento m dell'insieme M corrisponde biunivoco con qualche sottoinsieme Mm appartenente a P(M). Ciò significa che qualsiasi elemento m appartiene o meno al corrispondente sottoinsieme Mm. Costruiamo un insieme M* formato da tutti gli elementi del secondo tipo (cioè quelli m che non appartengono ai loro corrispondenti sottoinsiemi Mm)

Per costruzione, è chiaro che se un qualsiasi elemento m appartiene a M*, allora non appartiene automaticamente a Mm. Questo, a sua volta, significa che la situazione M*=Mm è impossibile per qualsiasi m. Quindi, l'insieme M* è diverso da tutti gli insiemi Mm e per esso non esiste un elemento uno a uno m dall'insieme M. Ciò, a sua volta, significa che l'uguaglianza |M|= 2|M| sbagliato. Quella. è dimostrato che |M| < 2|M| o α<2α , QED

Quando applicato alla considerazione di insiemi infiniti, ciò dimostra in modo convincente che l'insieme di tutti i sottoinsiemi di numeri naturali (e questo, infatti, è l'insieme dei complessi di lunghezza infinita) NON è equivalente all'insieme dei numeri naturali stessi. Cioè, └0 ≠ 2└0. E questo significa, per analogia, puoi costruire un insieme ancora più ampio, ad esempio, basato su numeri reali. In altre parole, la domanda riguardante altri tipi di insiemi infiniti è: esiste un insieme di cardinalità maggiore della cardinalità dell'insieme dei numeri reali? Se si risponde affermativamente a tale domanda, sorge immediatamente la seguente domanda: esiste un insieme di cardinalità ancora maggiore? Poi ancora di più. E, infine, una logica domanda globale: esiste un insieme di capacità maggiore?

T.2 Teorema

Per ogni insieme A esiste un insieme B la cui cardinalità è maggiore di A.

Prova

Considera l'insieme A di tutte le funzioni definite sul set MA e prendendo i valori 0 e 1. Ogni punto un imposta MA mettiamo in corrispondenza la funzione fa(x), che in questo punto assume il valore 1, e negli altri punti il ​​valore 0. È chiaro che funzioni diverse corrispondono a punti diversi. Ne consegue che la cardinalità dell'insieme A non inferiore alla cardinalità dell'insieme MA (|B|≥|UN|).

Assumiamo che la potenza sia impostata MA e A sono uguali tra loro. In questo caso, c'è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi degli insiemi MA e A. Denota la funzione corrispondente all'elemento un da molti MA, tramite fa(x). Tutte le funzioni della famiglia fa(x) assumono il valore 0 o 1. Costruiamo una nuova funzione φ(x)=1- fх(x). Quindi, per trovare il valore della funzione φ(x) ad un certo punto un, appartenente all'insieme MA, dobbiamo prima trovare la funzione corrispondente fa( un) e quindi sottrai dall'unità il valore di questa funzione nel punto un. Si può vedere dalla costruzione che anche la funzione φ(x) è definita sull'insieme MA e assume i valori 0 e 1. Pertanto, φ(x) è un elemento dell'insieme A. Allora c'è un numero b nell'insieme A tale che φ(x) = fb(x). Tenendo conto della definizione precedentemente introdotta della funzione φ(x)=1- fx(x), otteniamo che per ogni x appartenente all'insieme MA, vero 1 - fх(x)= fb(x). Sia x = b. Allora 1 - fb(b) = fb(b) e quindi fb(b)=1/2. Questo risultato contraddice esplicitamente il fatto che i valori della funzione fb(x) sono zero o uno. Pertanto, l'ipotesi accettata è errata, il che significa che non c'è corrispondenza uno a uno tra gli elementi degli insiemi MA e A (| UN| ≠| B| ). Perché il | UN| ≠|B| e allo stesso tempo | B| ≥| UN| , significa | B| >|UN| . Ciò significa che per qualsiasi set MA puoi costruirne più A più potenza. Da ciò possiamo concludere che non esiste un insieme della cardinalità più grande, QED

C'è una connessione piuttosto stretta tra l'insieme costruito di funzioni e il booleano dell'insieme MA(l'insieme di tutti i sottoinsiemi MA). Considera l'insieme A tutti i sottoinsiemi dell'insieme MA. Permettere DAè un sottoinsieme di MA. Prendiamo una funzione f(X) , che assume il valore 1, se X appartiene DA, e 0 altrimenti. Quindi, diversi sottoinsiemi DA corrispondono a diverse funzioni. Al contrario, ogni funzione f(X) , che assume due valori 0 e 1, corrisponde a un sottoinsieme in MA, costituito da tali elementi X, in cui la funzione assume il valore 1. Si è quindi stabilita una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di funzioni definito sull'insieme MA e prendendo i valori 0 e 1 e l'insieme di tutti i sottoinsiemi MA.

§ 2.5. Imposta con cardinalità maggiore della cardinalità del continuum

Quindi, non esiste un insieme della cardinalità più grande. I primi due numeri transfiniti avevano in natura gli insiemi che li formavano (l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri reali). Se partiamo dall'insieme del continuum, allora possiamo costruire l'insieme di tutti i sottoinsiemi del continuum, otteniamo il suo booleano, chiamiamo questo insieme BR. Per definizione, la cardinalità dell'insieme BR è 2└. Secondo il teorema di Cantor 2À≠À. È ovvio che l'insieme BR è infinito, quindi il suo numero cardinale è un numero transfinito e non può coincidere con nessuno dei due numeri transfiniti considerati in precedenza. Ciò significa che è ora di introdurre il terzo numero transfinito nella nostra scala.

Aleph-one ( À 1 ) è il terzo numero transfinito. Per definizione, questa è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi del continuum. Lo stesso numero corrisponde alla potenza di molti altri set, ad esempio:

· Insiemi di tutte le funzioni lineari che assumono valori reali (una funzione lineare è una funzione reale di una o più variabili). Essenzialmente, questi sono gli insiemi di tutte le curve possibili in uno spazio numerabile dimensionale, dove il numero di dimensioni n è qualsiasi numero finito o anche └0.

· Insiemi di figure sul piano, cioè insiemi di tutti i sottoinsiemi di punti sul piano o insiemi di tutti i sottoinsiemi di coppie di numeri reali.

· Insiemi di corpi nello spazio tridimensionale ordinario, e anche, in generale, in qualsiasi spazio a dimensione numerabile, dove il numero di dimensioni n è qualsiasi numero finito o anche À0.

Poiché il numero └1 viene introdotto come potenza dell'insieme booleano con la potenza └, otteniamo l'affermazione che └1 = 2└.

§ 2.6. Paradossi della teoria degli insiemi

Sorge una domanda ragionevole: e dopo? Cosa accadrà se costruiamo l'insieme di tutti i sottoinsiemi dell'insieme BR. Quale sarà il suo numero cardinale (ovviamente, per analogia, possiamo supporre che sia 2└1) e, soprattutto, a quale insieme realmente esistente corrisponderà? Ci sono insiemi infiniti più grandi di BR e quanti ce ne sono?

Sebbene abbiamo dimostrato che il numero transfinito più grande non esiste, gli studi dimostrano che non è sicuro ascendere sempre più a nuovi grandi numeri cardinali - questo porta all'antinomia (paradossi). Infatti, qualunque sia l'insieme dei numeri cardinali, si può sempre trovare un numero cardinale maggiore di tutti i numeri dell'insieme dato e, quindi, non compreso in esso. Quella. nessun insieme del genere contiene tutti i numeri cardinali e l'insieme di tutti i numeri cardinali è impensabile.

È del tutto naturale che ogni matematico voglia confrontarsi con una teoria non contraddittoria, cioè tale che sia impossibile dimostrare contemporaneamente due teoremi che si negano esplicitamente l'un l'altro. La teoria di Cantor è coerente? In che misura può essere estesa la gamma degli insiemi considerati? Sfortunatamente, non tutto è così roseo. Se introduciamo un concetto apparentemente innocuo come "l'insieme di tutti gli insiemi U", sorgono una serie di punti interessanti.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) Il paradosso di Russell

Sia B l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi propri. Allora si possono dimostrare due teoremi.

Teorema 2.6.(2).1.

V appartiene a V.

Prova

Supponiamo il contrario, cioè A non appartenere A. Per definizione, questo significa questo A appartiene A. Abbiamo una contraddizione, quindi l'ipotesi iniziale è sbagliata e A appartiene A, QED

Teorema 2.6.(2).2.

B non appartiene a B.

Prova

Supponiamo il contrario, cioè A appartiene A. Per definizione di insieme A ogni suo elemento non può avere se stesso come proprio elemento, quindi A non appartenere A. Una contraddizione - quindi, l'assunto originale è sbagliato e A non appartenere A, QED

È facile vedere che i Teoremi 2.6.(2).1. e 2.6.(2).2. escludersi a vicenda.

Sfortunatamente, anche escludere dalla considerazione tutti gli insiemi super estesi non salva la teoria di Cantor. In sostanza, il paradosso di Russell colpisce la logica, cioè i modi di ragionare, con l'aiuto della quale, quando si passa da un'affermazione vera all'altra, si formano nuovi concetti.

Già nella derivazione del paradosso si usa la legge logica del mezzo escluso, che è uno dei metodi integrali di ragionamento nella matematica classica (cioè, se l'affermazione non-A è vera, allora A è falsa). Se pensi all'essenza delle cose, puoi generalmente allontanarti sia dalla teoria degli insiemi che dalla matematica in generale.

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