Iniziamo a considerare il processo effettivo di calcolo dell'integrale doppio e a familiarizzare con il suo significato geometrico.

Il doppio integrale è numericamente uguale all'area di una figura piatta (regione di integrazione). Questa è la forma più semplice dell'integrale doppio, quando la funzione di due variabili è uguale a una: .

Consideriamo innanzitutto il problema in termini generali. Ora rimarrai sorpreso da quanto sia davvero semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per certezza, assumiamo che sull'intervallo . L'area di questa figura è numericamente uguale a:

Descriviamo l'area nel disegno:

Scegliamo il primo modo per aggirare l'area:

In questo modo:

E subito un importante accorgimento tecnico: gli integrali iterati possono essere considerati separatamente. Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Questo metodo è altamente raccomandato per i principianti nell'argomento teiere.

1) Calcolare l'integrale interno, mentre l'integrazione avviene sulla variabile "y":

L'integrale indefinito qui è il più semplice, e quindi viene utilizzata la formula banale di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni. In primo luogo, abbiamo sostituito il limite superiore nella "y" (funzione antiderivativa), quindi il limite inferiore

2) Il risultato ottenuto nel primo comma deve essere sostituito nell'integrale esterno:

Una notazione più compatta per l'intera soluzione si presenta così:

La formula risultante - questa è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta usando l'integrale definito "ordinario"! Vedi lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, eccola a ogni angolo!

Questo è, il problema del calcolo dell'area utilizzando un integrale doppio poco diverso dal problema di trovare l'area usando un integrale definito! In effetti, sono la stessa cosa!

Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Non prenderò in considerazione molti esempi, poiché tu, in effetti, hai riscontrato ripetutamente questo problema.

Esempio 9

Soluzione: Descriviamo l'area nel disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

Qui e sotto, non entrerò in come attraversare un'area perché il primo paragrafo era molto dettagliato.

In questo modo:

Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare gli integrali iterati separatamente, aderirò allo stesso metodo:

1) Innanzitutto, usando la formula di Newton-Leibniz, trattiamo l'integrale interno:

2) Il risultato ottenuto al primo passo è sostituito nell'integrale esterno:

Il punto 2 sta effettivamente trovando l'area di una figura piatta usando un integrale definito.

Risposta:

Ecco un compito così stupido e ingenuo.

Un curioso esempio di soluzione indipendente:

Esempio 10

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata dalle linee , ,

Un esempio di soluzione finale alla fine della lezione.

Negli esempi 9-10, è molto più vantaggioso utilizzare il primo modo per aggirare l'area, i lettori curiosi, tra l'altro, possono modificare l'ordine del bypass e calcolare le aree nel secondo modo. Se non si commette un errore, naturalmente si ottengono gli stessi valori dell'area.

Ma in alcuni casi, il secondo modo per aggirare l'area è più efficace e, a conclusione del corso del giovane nerd, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi su questo argomento:

Esempio 11

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee.

Soluzione: aspettiamo due parabole con una brezza che giacciono dalla loro parte. Non c'è bisogno di sorridere, spesso si incontrano cose simili in più integrali.

Qual è il modo più semplice per fare un disegno?

Rappresentiamo la parabola come due funzioni:
- ramo superiore e - ramo inferiore.

Allo stesso modo, immagina una parabola come superiore e inferiore rami.

Successivamente, il tracciamento punto per punto guida, risultando in una figura così bizzarra:

L'area della figura viene calcolata utilizzando il doppio integrale secondo la formula:

Cosa succede se scegliamo il primo modo per aggirare l'area? Innanzitutto, quest'area dovrà essere divisa in due parti. E in secondo luogo, osserveremo questa triste immagine: . Gli integrali, ovviamente, non sono di un livello supercomplesso, ma... c'è un vecchio detto matematico: chi è amico delle radici non ha bisogno di una compensazione.

Pertanto, dall'equivoco che è dato nella condizione, esprimiamo le funzioni inverse:

Le funzioni inverse in questo esempio hanno il vantaggio di impostare immediatamente l'intera parabola senza foglie, ghiande, rami e radici.

Secondo il secondo metodo, l'attraversamento dell'area sarà il seguente:

In questo modo:

Come si suol dire, senti la differenza.

1) Trattiamo l'integrale interno:

Sostituiamo il risultato nell'integrale esterno:

L'integrazione sulla variabile "y" non dovrebbe essere imbarazzante, se ci fosse una lettera "zyu" - sarebbe fantastico integrarla su di essa. Anche se chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, non prova più il minimo imbarazzo con l'integrazione su "y".

Prestare attenzione anche al primo passaggio: l'integrando è pari e il segmento di integrazione è simmetrico rispetto a zero. Pertanto, il segmento può essere dimezzato e il risultato può essere raddoppiato. Questa tecnica è commentata in dettaglio nella lezione. Metodi efficienti per il calcolo dell'integrale definito.

Cosa aggiungere…. Qualunque cosa!

Risposta:

Per testare la tua tecnica di integrazione, puoi provare a calcolare . La risposta dovrebbe essere esattamente la stessa.

Esempio 12

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee

Questo è un esempio fai da te. È interessante notare che se si tenta di utilizzare il primo modo per aggirare l'area, la figura non sarà più divisa in due, ma in tre parti! E, di conseguenza, otteniamo tre coppie di integrali iterati. Qualche volta succede.

La master class è giunta al termine ed è ora di passare al livello da grande maestro - Come calcolare l'integrale doppio? Esempi di soluzioni. Cercherò di non essere così maniacale nel secondo articolo =)

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:Soluzione: Disegna un'area sul disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

In questo modo:
Passiamo alle funzioni inverse:


In questo modo:
Risposta:

Esempio 4:Soluzione: Passiamo alle funzioni dirette:


Eseguiamo il disegno:

Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:

Risposta:

Nella sezione precedente, dedicata all'analisi del significato geometrico di un integrale definito, abbiamo ottenuto alcune formule per calcolare l'area di un trapezio curvilineo:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non negativa y = f (x) sul segmento [ a ; B] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non positiva y = f (x) sul segmento [ a ; B] .

Queste formule sono applicabili per risolvere problemi relativamente semplici. Infatti, spesso dobbiamo lavorare con forme più complesse. A questo proposito, dedicheremo questa sezione all'analisi di algoritmi per il calcolo dell'area delle figure limitate da funzioni in forma esplicita, ad es. come y = f(x) o x = g(y) .

Teorema

Siano definite e continue le funzioni y = f 1 (x) e y = f 2 (x) sul segmento [ a ; b ] e f 1 (x) ≤ f 2 (x) per qualsiasi valore x da [ a ; B] . Quindi la formula per calcolare l'area di una figura Gdelimitata dalle linee x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) e y \u003d f 2 (x) sembrerà S ( G) \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx .

Una formula simile sarà applicabile per l'area della figura delimitata dalle linee y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) e x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1 (y) dy .

Prova

Analizzeremo tre casi per i quali la formula sarà valida.

Nel primo caso, tenendo conto della proprietà di additività dell'area, la somma delle aree della figura originaria G e del trapezio curvilineo G 1 è uguale all'area della figura G 2 . Significa che

Pertanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Possiamo eseguire l'ultima transizione usando la terza proprietà dell'integrale definito.

Nel secondo caso, l'uguaglianza è vera: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1(x))dx

L'illustrazione grafica sarà simile a:

Se entrambe le funzioni sono non positive, otteniamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx . L'illustrazione grafica sarà simile a:

Passiamo alla considerazione del caso generale in cui y = f 1 (x) e y = f 2 (x) intersecano l'asse O x .

Indicheremo i punti di intersezione come x i , i = 1 , 2 , . . . , n-1 . Questi punti interrompono il segmento [ a ; b ] in n parti x i - 1 ; x io , io = 1 , 2 , . . . , n , dove α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Quindi,

S (G) = ∑ io = 1 n S (G i) = ∑ io = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Possiamo fare l'ultima transizione usando la quinta proprietà dell'integrale definito.

Illustriamo il caso generale sul grafico.

La formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x può essere considerata provata.

E ora passiamo all'analisi di esempi di calcolo dell'area delle figure che sono limitate dalle linee y \u003d f (x) e x \u003d g (y) .

Considerando uno qualsiasi degli esempi, inizieremo con la costruzione di un grafico. L'immagine ci permetterà di rappresentare forme complesse come combinazioni di forme più semplici. Se hai problemi a tracciare grafici e figure su di essi, puoi studiare la sezione sulle funzioni elementari di base, sulla trasformazione geometrica dei grafici di funzioni e sulla tracciatura mentre esamini una funzione.

Esempio 1

È necessario determinare l'area della figura, che è limitata dalla parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 e dalle linee rette y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Soluzione

Tracciamo le linee sul grafico nel sistema di coordinate cartesiane.

Sull'intervallo [ 1 ; 4] il grafico della parabola y = - x 2 + 6 x - 5 si trova sopra la retta y = - 1 3 x - 1 2 . A questo proposito, per ottenere una risposta, utilizziamo la formula ottenuta in precedenza, nonché il metodo per calcolare un integrale definito utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Risposta: S (G) = 13

Diamo un'occhiata a un esempio più complesso.

Esempio 2

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle linee y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Soluzione

In questo caso, abbiamo solo una retta parallela all'asse x. Questo è x = 7 . Questo richiede di trovare noi stessi il secondo limite di integrazione.

Costruiamo un grafico e mettiamo su di esso le linee date nella condizione del problema.

Avendo un grafico davanti ai nostri occhi, possiamo facilmente determinare che il limite inferiore di integrazione sarà l'ascissa del punto di intersezione del grafico con una retta y \u003d x e una semiparabola y \u003d x + 2. Per trovare l'ascissa, utilizziamo le uguaglianze:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ ODG x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ ODG

Si scopre che l'ascissa del punto di intersezione è x = 2.

Attiriamo la vostra attenzione sul fatto che nell'esempio generale nel disegno, le linee y = x + 2 , y = x si intersecano nel punto (2 ; 2) , quindi calcoli così dettagliati possono sembrare ridondanti. Abbiamo fornito una soluzione così dettagliata qui solo perché in casi più complessi la soluzione potrebbe non essere così ovvia. Ciò significa che è meglio calcolare sempre analiticamente le coordinate dell'intersezione delle linee.

Sull'intervallo [ 2 ; 7 ] il grafico della funzione y = x si trova sopra il grafico della funzione y = x + 2 . Applicare la formula per calcolare l'area:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Risposta: S (G) = 59 6

Esempio 3

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dai grafici delle funzioni y \u003d 1 x e y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Soluzione

Tracciamo delle linee sul grafico.

Definiamo i limiti dell'integrazione. Per fare ciò, determiniamo le coordinate dei punti di intersezione delle rette eguagliando le espressioni 1 x e - x 2 + 4 x - 2 . A condizione che x non sia uguale a zero, l'uguaglianza 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 diventa equivalente all'equazione di terzo grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 con coefficienti interi . È possibile aggiornare la memoria dell'algoritmo per la risoluzione di tali equazioni facendo riferimento alla sezione "Soluzione di equazioni cubiche".

La radice di questa equazione è x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividendo l'espressione - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 per il binomio x - 1, otteniamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Possiamo trovare le radici rimanenti dall'equazione x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Abbiamo trovato un intervallo x ∈ 1; 3 + 13 2 , dove G è racchiuso sopra la linea blu e sotto la linea rossa. Questo ci aiuta a determinare l'area della figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Risposta: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esempio 4

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle curve y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 e l'asse x.

Soluzione

Mettiamo tutte le linee sul grafico. Possiamo ottenere il grafico della funzione y = - log 2 x + 1 dal grafico y = log 2 x se lo posizioniamo simmetricamente attorno all'asse x e lo spostiamo di un'unità verso l'alto. L'equazione dell'asse x y \u003d 0.

Indichiamo i punti di intersezione delle rette.

Come si può vedere dalla figura, i grafici delle funzioni y \u003d x 3 e y \u003d 0 si intersecano nel punto (0; 0) . Questo perché x \u003d 0 è l'unica vera radice dell'equazione x 3 \u003d 0.

x = 2 è l'unica radice dell'equazione - log 2 x + 1 = 0 , quindi i grafici delle funzioni y = - log 2 x + 1 e y = 0 si intersecano nel punto (2 ; 0) .

x = 1 è l'unica radice dell'equazione x 3 = - log 2 x + 1 . A questo proposito, i grafici delle funzioni y \u003d x 3 e y \u003d - log 2 x + 1 si intersecano nel punto (1; 1) . L'ultima affermazione potrebbe non essere ovvia, ma l'equazione x 3 \u003d - log 2 x + 1 non può avere più di una radice, poiché la funzione y \u003d x 3 è rigorosamente crescente e la funzione y \u003d - log 2 x + 1 è rigorosamente decrescente.

Il passaggio successivo prevede diverse opzioni.

Opzione numero 1

Possiamo rappresentare la figura G come somma di due trapezi curvilinei posti al di sopra dell'asse delle ascisse, il primo dei quali posto al di sotto della linea mediana sul segmento x ∈ 0; 1 , e il secondo è sotto la linea rossa sul segmento x ∈ 1 ; 2. Ciò significa che l'area sarà uguale a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opzione numero 2

La figura G può essere rappresentata come la differenza di due figure, la prima delle quali si trova sopra l'asse x e sotto la linea blu sul segmento x ∈ 0; 2 , e la seconda è compresa tra le linee rossa e blu sul segmento x ∈ 1 ; 2. Questo ci permette di trovare l'area in questo modo:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In questo caso, per trovare l'area, dovrai utilizzare una formula della forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Infatti, le linee che delimitano la forma possono essere rappresentate come funzioni dell'argomento y.

Risolviamo le equazioni y = x 3 e - log 2 x + 1 rispetto a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otteniamo l'area richiesta:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Risposta: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Esempio 5

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle linee y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Soluzione

Disegna una linea sul grafico con una linea rossa, data dalla funzione y = x . Disegna la linea y = - 1 2 x + 4 in blu e segna la linea y = 2 3 x - 3 in nero.

Nota i punti di intersezione.

Trova i punti di intersezione dei grafici delle funzioni y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i è la soluzione dell'equazione x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 è la soluzione dell'equazione ⇒ (4 ; 2) punto di intersezione i y = x e y = - 1 2 x + 4

Trova il punto di intersezione dei grafici delle funzioni y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verifica: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 è la soluzione dell'equazione ⇒ (9; 3) punto e intersezione y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 non è una soluzione dell'equazione

Trova il punto di intersezione delle rette y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punto di intersezione y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Metodo numero 1

Rappresentiamo l'area della figura desiderata come somma delle aree delle singole figure.

Quindi l'area della figura è:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metodo numero 2

L'area della figura originaria può essere rappresentata come la somma delle altre due figure.

Quindi risolviamo l'equazione della linea per x e solo dopo applichiamo la formula per calcolare l'area della figura.

y = x ⇒ x = y 2 linea rossa y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linea nera y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Quindi la zona è:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - a 2 a = = 7 4 a 2 - 7 4 a 1 2 + - a 3 3 + 3 a 2 4 + 9 2 a 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Come puoi vedere, i valori corrispondono.

Risposta: S (G) = 11 3

Risultati

Per trovare l'area di una figura che è limitata da determinate linee, dobbiamo tracciare linee su un piano, trovare i loro punti di intersezione e applicare la formula per trovare l'area. In questa sezione, abbiamo esaminato le opzioni più comuni per le attività.

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un)

Soluzione.

Il primo e più importante momento della decisione è la costruzione di un disegno.

Facciamo un disegno:

L'equazione y=0 imposta l'asse x;

- x=-2 e x=1 - rettilineo, parallelo all'asse UO;

- y \u003d x 2 +2 - una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto, con un vertice nel punto (0;2).

Commento. Per costruire una parabola basta trovare i punti della sua intersezione con gli assi coordinati, cioè mettendo x=0 trova l'intersezione con l'asse UO e risolvendo l'equazione quadratica corrispondente, trova l'intersezione con l'asse Oh .

Il vertice di una parabola può essere trovato usando le formule:

Puoi disegnare linee e punto per punto.

Sull'intervallo [-2;1] il grafico della funzione y=x 2 +2 situato oltre l'asse Bue , Ecco perché:

Risposta: S \u003d 9 unità quadrate

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle chiaramente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche il compito è stato risolto in modo errato.

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto l'asse Oh?

B) Calcola l'area di una figura delimitata da linee y=-e x , x=1 e assi coordinati.

Soluzione.

Facciamo un disegno.

Se un trapezio curvilineo completamente sotto l'asse Oh , allora la sua area può essere trovata dalla formula:

Risposta: S=(e-1) mq" 1,72 mq

Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena considerata compare il meno.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore.

Con) Trova l'area di una figura piana delimitata da linee y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Soluzione.

Per prima cosa devi fare un disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola e diretto Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico.

Risolviamo l'equazione:

Quindi il limite inferiore di integrazione a=0 , il limite superiore di integrazione b=3 .

Costruiamo le rette date: 1. Parabola - vertice nel punto (1;1); intersezione degli assi Oh - punti(0;0) e (0;2). 2. Retta - la bisettrice del 2° e 4° angolo di coordinate. E ora Attenzione! Se nell'intervallo [ a;b] qualche funzione continua f(x) maggiore o uguale a qualche funzione continua g(x), quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata dalla formula: . E non importa dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse, ma è importante quale grafico è PIÙ ALTO (rispetto a un altro grafico) e quale è SOTTO. Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi è necessario sottrarre da

È possibile costruire linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come "da soli". Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve essere utilizzato se, ad esempio, il grafo è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali).

La figura desiderata è delimitata da una parabola dall'alto e da una retta dal basso.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta: S \u003d Unità di 4,5 mq

Compito 1(sul calcolo dell'area di un trapezio curvilineo).

Nel sistema di coordinate rettangolari cartesiane xOy, viene fornita una figura (vedi figura), delimitata dall'asse x, linee rette x \u003d a, x \u003d b (un trapezio curvilineo. È necessario calcolare l'area di \ il trapezio curvilineo.
Soluzione. La geometria ci fornisce le ricette per calcolare le aree dei poligoni e alcune parti di un cerchio (settore, segmento). Utilizzando considerazioni geometriche, saremo in grado di trovare solo un valore approssimativo dell'area richiesta, argomentando come segue.

Dividiamo il segmento [a; b] (base di un trapezio curvilineo) in n parti uguali; questa partizione è fattibile con l'aiuto dei punti x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Tracciamo linee attraverso questi punti parallele all'asse y. Quindi il dato trapezio curvilineo sarà diviso in n parti, in n colonne strette. L'area dell'intero trapezio è uguale alla somma delle aree delle colonne.

Considera separatamente la k-esima colonna, cioè trapezio curvilineo, la cui base è un segmento. Sostituiamolo con un rettangolo con la stessa base e altezza pari a f(x k) (vedi figura). L'area del rettangolo è \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dove \(\Delta x_k \) è la lunghezza del segmento; è naturale considerare il prodotto compilato come un valore approssimativo dell'area della k-esima colonna.

Se ora facciamo lo stesso con tutte le altre colonne, allora arriviamo al seguente risultato: l'area S di un dato trapezio curvilineo è approssimativamente uguale all'area S n di una figura a gradini composta da n rettangoli (vedi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Qui, per motivi di uniformità della notazione, consideriamo che a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - lunghezza del segmento, \(\Delta x_1 \) - lunghezza del segmento, ecc; mentre, come concordato sopra, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Quindi, \(S \approssimativamente S_n \), e questa uguaglianza approssimativa è tanto più accurata, tanto maggiore è n.
Per definizione, si presume che l'area desiderata del trapezio curvilineo sia uguale al limite della sequenza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Compito 2(sullo spostamento di un punto)
Un punto materiale si muove in linea retta. La dipendenza della velocità dal tempo è espressa dalla formula v = v(t). Trova lo spostamento di un punto nell'intervallo di tempo [a; B].
Soluzione. Se il moto fosse uniforme, allora il problema sarebbe risolto molto semplicemente: s = vt, cioè s = v(b-a). Per il moto irregolare, si devono usare le stesse idee su cui si basava la soluzione del problema precedente.
1) Dividere l'intervallo di tempo [a; b] in n parti uguali.
2) Si consideri un intervallo di tempo e si assuma che durante questo intervallo di tempo la velocità fosse costante, come al tempo t k . Assumiamo quindi che v = v(t k).
3) Trova il valore approssimativo dello spostamento del punto nell'intervallo di tempo, questo valore approssimativo sarà indicato con s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trovare il valore approssimativo dello spostamento s:
\(s \approssimativamente S_n \) dove
\(S_n = s_0 + \punti + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \punti + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Lo spostamento richiesto è uguale al limite della sequenza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Riassumiamo. Le soluzioni di vari problemi sono state ridotte allo stesso modello matematico. Molti problemi provenienti da vari campi della scienza e della tecnologia portano allo stesso modello nel processo di soluzione. Quindi, questo modello matematico dovrebbe essere studiato in modo speciale.

Il concetto di integrale definito

Diamo una descrizione matematica del modello che è stato costruito nei tre problemi considerati per la funzione y = f(x), che è continua (ma non necessariamente non negativa, come ipotizzato nei problemi considerati) sul segmento [ un; B]:
1) dividere il segmento [a; b] in n parti uguali;
2) somma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \punti + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcola $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Nel corso dell'analisi matematica è stato dimostrato che questo limite esiste nel caso di una funzione continua (o continua a tratti). Egli è chiamato un integrale definito della funzione y = f(x) sul segmento [a; B] e si denominano così:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
I numeri aeb sono detti limiti di integrazione (rispettivamente inferiore e superiore).

Torniamo ai compiti discussi sopra. La definizione di area data nel problema 1 può ora essere riscritta come segue:
\(S = \int\limiti_a^b f(x) dx \)
qui S è l'area del trapezio curvilineo mostrato nella figura sopra. Questo è ciò che significato geometrico dell'integrale definito.

La definizione dello spostamento s di un punto che si muove in linea retta con velocità v = v(t) nell'intervallo di tempo da t = a a t = b, data nel Problema 2, può essere riscritta come segue:

Newton - formula di Leibniz

Per cominciare, rispondiamo alla domanda: qual è la relazione tra un integrale definito e un'antiderivata?

La risposta si trova nel problema 2. Da un lato, lo spostamento s di un punto che si muove lungo una retta con velocità v = v(t) in un intervallo di tempo da t = a a t = b ed è calcolato da la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'altra parte, la coordinata del punto in movimento è l'antiderivata della velocità - indichiamola s(t); quindi lo spostamento s è espresso dalla formula s = s(b) - s(a). Di conseguenza, otteniamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dove s(t) è l'antiderivata per v(t).

Il seguente teorema è stato dimostrato nel corso dell'analisi matematica.
Teorema. Se la funzione y = f(x) è continua sul segmento [a; b], quindi la formula
\(S = \int\limiti_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dove F(x) è l'antiderivata per f(x).

Questa formula è solitamente chiamata Formula di Newton-Leibniz in onore del fisico inglese Isaac Newton (1643-1727) e del filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716), che lo ricevettero indipendentemente l'uno dall'altro e quasi contemporaneamente.

In pratica, invece di scrivere F(b) - F(a), usano la notazione \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a volte viene chiamata doppia sostituzione) e, di conseguenza, riscrivere la formula di Newton-Leibniz in questa forma:
\(S = \int\limiti_a^b f(x) dx = \sinistra. F(x)\destra|_a^b \)

Calcolando un integrale definito, trovare prima l'antiderivativa, quindi eseguire una doppia sostituzione.

Sulla base della formula di Newton-Leibniz, si possono ottenere due proprietà di un integrale definito.

Proprietà 1. L'integrale della somma delle funzioni è uguale alla somma degli integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietà 2. Il fattore costante può essere estratto dal segno di integrale:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcolo delle aree di figure piane utilizzando un integrale definito

Utilizzando l'integrale è possibile calcolare l'area non solo di trapezi curvilinei, ma anche di figure piane di tipo più complesso, come quella mostrata in figura. La figura P è delimitata da rette x = a, x = b e da grafici di funzioni continue y = f(x), y = g(x), e sul segmento [a; b] vale la disuguaglianza \(g(x) \leq f(x) \). Per calcolare l'area S di tale figura, procederemo come segue:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limiti_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Quindi, l'area S della figura delimitata dalle rette x = a, x = b e dai grafici delle funzioni y = f(x), y = g(x), continua sul segmento e tale che per ogni x da il segmento [a; b] la disuguaglianza \(g(x) \leq f(x) \) è soddisfatta, è calcolata dalla formula
\(S = \int\limiti_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabella degli integrali indefiniti (antiderivate) di alcune funzioni

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

In questo articolo imparerai come trovare l'area di una figura delimitata da linee usando calcoli integrali. Per la prima volta incontriamo la formulazione di un problema del genere al liceo, quando lo studio di alcuni integrali è appena terminato ed è tempo di iniziare l'interpretazione geometrica delle conoscenze acquisite nella pratica.

Quindi, cosa è necessario per risolvere con successo il problema di trovare l'area di una figura usando gli integrali:

• Capacità di disegnare correttamente i disegni;
• Capacità di risolvere un integrale definito utilizzando la nota formula di Newton-Leibniz;
• La capacità di "vedere" una soluzione più redditizia, ad es. per capire come in questo o quel caso sarà più conveniente effettuare l'integrazione? Lungo l'asse x (OX) o l'asse y (OY)?
• Ebbene, dove senza calcoli corretti?) Ciò include la comprensione di come risolvere quell'altro tipo di integrali e calcoli numerici corretti.

Algoritmo per risolvere il problema del calcolo dell'area di una figura delimitata da linee:

1. Costruiamo un disegno. Si consiglia di farlo su un pezzo di carta in una gabbia, su larga scala. Firmiamo con una matita sopra ogni grafico il nome di questa funzione. La firma dei grafici viene eseguita esclusivamente per comodità di ulteriori calcoli. Ricevuto il grafico della cifra desiderata, nella maggior parte dei casi sarà subito chiaro quali limiti di integrazione verranno utilizzati. Quindi, risolviamo il problema graficamente. Succede però che i valori dei limiti siano frazionari o irrazionali. Pertanto, puoi eseguire calcoli aggiuntivi, vai al passaggio due.

2. Se i limiti di integrazione non sono fissati in modo esplicito, troviamo i punti di intersezione dei grafici tra loro e vediamo se la nostra soluzione grafica coincide con quella analitica.

3. Successivamente, è necessario analizzare il disegno. A seconda di come si trovano i grafici delle funzioni, esistono diversi approcci per trovare l'area della figura. Considera vari esempi per trovare l'area di una figura usando gli integrali.

3.1. La versione più classica e semplice del problema è quando è necessario trovare l'area di un trapezio curvilineo. Cos'è un trapezio curvilineo? Questa è una figura piatta delimitata dall'asse x (y=0), dritto x = a, x = b e qualsiasi curva continua sull'intervallo da un prima di B. Allo stesso tempo, questa cifra non è negativa e si trova non inferiore all'asse x. In questo caso, l'area del trapezio curvilineo è numericamente uguale all'integrale definito calcolato utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

Esempio 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quali linee definiscono la figura? Abbiamo una parabola y = x2 - 3x + 3, che si trova sopra l'asse OH, non è negativo, perché tutti i punti di questa parabola sono positivi. Successivamente, date le linee rette x = 1 e x = 3 che corrono paralleli all'asse UO, sono le linee di delimitazione della figura a sinistra e a destra. Bene y = 0, è l'asse x, che limita la figura dal basso. La figura risultante è ombreggiata, come si vede nella figura a sinistra. In questo caso, puoi iniziare immediatamente a risolvere il problema. Davanti a noi c'è un semplice esempio di trapezio curvilineo, che poi risolviamo usando la formula di Newton-Leibniz.

3.2. Nel precedente paragrafo 3.1, il caso è stato analizzato quando il trapezio curvilineo si trova al di sopra dell'asse x. Consideriamo ora il caso in cui le condizioni del problema sono le stesse, tranne per il fatto che la funzione si trova sotto l'asse x. Un meno viene aggiunto alla formula standard di Newton-Leibniz. Come risolvere un problema del genere, considereremo ulteriormente.

Esempio 2 . Calcola l'area di una figura delimitata da linee y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

In questo esempio abbiamo una parabola y=x2+6x+2, che ha origine da sotto l'asse OH, dritto x=-4, x=-1, y=0. Qui y = 0 limita la figura desiderata dall'alto. Diretto x = -4 e x = -1 questi sono i limiti entro i quali verrà calcolato l'integrale definito. Il principio per risolvere il problema di trovare l'area di una figura coincide quasi completamente con l'esempio numero 1. L'unica differenza è che la funzione data non è positiva ed è anche continua sull'intervallo [-4; -1] . Cosa significa non positivo? Come si può vedere dalla figura, la figura che si trova all'interno della x data ha coordinate esclusivamente "negative", che è ciò che dobbiamo vedere e ricordare quando risolviamo il problema. Stiamo cercando l'area della figura usando la formula di Newton-Leibniz, solo con un segno meno all'inizio.

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