ANALISI MATEMATICA

Parte I

TEORIA DEL LIMITE. Limite di sequenza e limite di funzione. Teorema di esistenza per il minimo limite superiore.

Sia la variabile X n assume una sequenza infinita di valori

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

ed è nota la legge di variazione della variabile X n, cioè. per ogni numero naturale nè possibile specificare il valore corrispondente X n. Si assume quindi che la variabile X nè una funzione di n:

X n = f(n)

Definiamo uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica: il limite di una sequenza, o, che è lo stesso, il limite di una variabile X n sequenza di esecuzione X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Definizione. numero costante un chiamato limite di sequenza X 1 , X 2 , ..., X n , ... . o il limite di una variabile X n, se per un numero positivo arbitrariamente piccolo e esiste un tale numero naturale n(cioè il numero n) che tutti i valori della variabile X n, iniziando con X n, differire da un minore in valore assoluto di e. Questa definizione è brevemente scritta come segue:

| X n -un |< (2)

per tutti n  n, oppure, che è lo stesso,

Definizione del limite di Cauchy. Un numero A si dice limite di una funzione f (x) in un punto a se tale funzione è definita in qualche intorno del punto a, eccetto forse per il punto a stesso, e per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x condizione soddisfacente |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definizione del limite di Heine. Un numero A si dice limite di una funzione f (x) in un punto a se questa funzione è definita in qualche intorno del punto a, eccetto forse per il punto a stesso, e per ogni successione tale che convergendo al numero a, la corrispondente sequenza di valori della funzione converge al numero A.

Se la funzione f(x) ha un limite nel punto a, allora questo limite è unico.

Il numero A 1 è detto limite sinistro della funzione f (x) nel punto a se per ogni ε > 0 esiste δ >

Il numero A 2 è detto limite destro della funzione f (x) nel punto a se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che la disuguaglianza

Il limite a sinistra è indicato come il limite a destra – Questi limiti caratterizzano il comportamento della funzione a sinistra ea destra del punto a. Sono spesso indicati come limiti unidirezionali. Nella notazione per limiti unilaterali come x → 0, il primo zero:u viene solitamente omesso. Quindi, per la funzione

Se per ogni ε > 0 esiste un δ-intorno di un punto a tale che per ogni x che soddisfi la condizione |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, allora diciamo che la funzione f (x) ha un limite infinito nel punto a:

Quindi, la funzione ha un limite infinito nel punto x = 0. Spesso si distinguono limiti uguali a +∞ e –∞. Così,

Se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x > δ la disuguaglianza |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema di esistenza per il minimo limite superiore

Definizione: AR mR, m - faccia superiore (inferiore) di A, se аА аm (аm).

Definizione: L'insieme A è delimitato dall'alto (dal basso), se esiste m tale che аА, allora аm (аm) è soddisfatto.

Definizione: SupA=m, se 1) m - limite superiore di A

2) m': m' m' non è una faccia superiore di A

InfA = n se 1) n è il minimo di A

2) n': n'>n => n' non è un minimo di A

Definizione: SupA=m è un numero tale che: 1)  aA am

2) >0 a  A, tale che a  a-

InfA = n è chiamato un numero tale che:

2) >0 a  A, tale che a E a+

Teorema: Qualsiasi insieme non vuoto АR delimitato dall'alto ha un miglior limite superiore, e per giunta unico.

Prova:

Costruiamo un numero m sulla retta reale e dimostriamo che questo è il minimo limite superiore di A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - faccia superiore di A

Segmento [[m],[m]+1] - diviso in 10 parti

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m a =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - faccia superiore A

Dimostriamo che m=[m],m 1 ...m K è il minimo limite superiore e che è unico:

a: , c'è un punto in cui la funzione raggiunge il suo massimo, c'è un punto in cui la funzione raggiunge il suo minimo.

Prova:

Sia la funzione f(x) continua su , quindi, in virtù del Teorema 1, è limitata su questo intervallo. Pertanto, l'insieme dei valori delle funzioni è limitato. Quindi, in virtù del principio del limite superiore, questo insieme ha un miglior limite superiore e un miglior limite inferiore.

Denota: e mostra che e sarà il valore massimo della funzione f(x) sul segmento : .

Supponiamo il contrario, cioè .

Poiché , allora f(x)< .

introduciamo la funzione . La funzione è continua su , poiché -f(x) 0. Quindi, in virtù del primo teorema di Weierstrass, la funzione è limitata su .

, dove >0

Poiché questa disuguaglianza è vera, il numero non è l'esatto limite superiore dell'insieme dei valori della funzione. Arriviamo a una contraddizione, il che significa che la nostra ipotesi è sbagliata. Allo stesso modo, si può dimostrare che una funzione continua raggiunge il suo valore minimo su un segmento. Il teorema è stato dimostrato.

FUNZIONI DIFFERENZIALI Teoremi di Rolle e Lagrange. Formula TEulor con un termine residuo nella forma di Lagrange.

Il teorema di Rolle. Se la funzione f(x) è continua su un intervallo chiuso [à, b], ha una derivata all'interno dell'intervallo, e se

f(a) = f(b)

allora all'interno dell'intervallo [а, b] c'è almeno uno di questi valori x 0 (un< x 0 < b), что

f" (x 0 ) = 0.

Prova. Consideriamo due casi.

1. Funzione f(x)è costante sull'intervallo [ a, b]; poi f"(x)=0 per chiunque x(a< x < b) , cioè. l'affermazione del teorema di Rolle vale automaticamente.

2. Funzione f(x) non è permanente (Figura 1); quindi raggiunge il suo massimo o minimo o entrambi questi valori nel punto interno dell'intervallo, perché f(b) = f(a), e se fa)- il valore più piccolo, quindi il valore più grande è il valore della funzione f(x) accetterà entro l'intervallo.

Lascia per esempio f(x 0 ) - il valore più grande della funzione f(x) sull'intervallo [ a, b] e X 0 è il punto interno di questo intervallo. Poi f(x 0 ) è il massimo della funzione: f(x 0 )  f(x) per tutti X da un quartiere abbastanza piccolo X 0 [per questo quartiere, invece, puoi prendere l'intervallo ( a, b)].

Poiché, a seconda della condizione, f(x) ha al punto X 0 derivata, quindi dal teorema sul segno necessario di un estremo,

f" (x 0 ) = 0 ,

e si dimostra il teorema di Rolle.

Il teorema di Rolle ha una semplice interpretazione geometrica: se è dato un arco AB di una curva y = f(x), in ogni punto di cui è tangente, e gli estremi A e B sono alla stessa distanza dall'asse Ox, allora c'è almeno un punto su questo arco in cui è la tangente t alla curva è parallelo alla corda che sottende l'arco, e quindi all'asse Ox(vedi figura 1).

Se ruotiamo gli assi delle coordinate di un angolo a, allora le estremità UN e B archi AB non sarà più alla stessa distanza dall'asse Bue", ma tangente T sarà ancora parallelo all'accordo AB(vedi figura 1). Pertanto, è naturale aspettarsi che valga il seguente teorema: Dato un arco AB di una curva y = f(x) con una tangente in continuo cambiamento, allora c'è almeno un punto su questo arco in cui la tangente è parallela alla corda AB che lo sottende(Figura 2).

Questo teorema è una parafrasi geometrica del seguente teorema, noto come Teoremi di Lagrange.

Il teorema di Lagrange. Se la funzione f(x) è continua su un intervallo chiuso[a, b] e al suo interno ha una derivata f "(x), allora c'è almeno un tale valore x 0 (un< x 0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).

Prova. Considera la funzione di supporto

F(x) = f(x) - k(x - a),

dove - coefficiente angolare della corda AB(vedi figura 2).

Questa funzione soddisfa tutte le condizioni del teorema di Rolle.

Infatti, a x = a noi abbiamo F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), in x = b noi abbiamo

Inoltre, poiché la funzione f(x) e k(x - a) continuo su [ a, b] e differenziabile in ( a, b), quindi la funzione F(x) = f(x) - k(x - a) continuo su [ a, b] e differenziabile in ( a, b).

Pertanto, secondo il teorema di Rolle, nell'intervallo ( a, b) c'è un tale punto X 0 , che cosa

F"(x 0 ) = 0 ,

f" (x 0 ) - k = 0

Quindi abbiamo

f(b) - f(a) = (b - a)f "(x 0 ) ,

QED

Perché a + (b - a) = b, quindi il valore un +(b-a), dove Q è una frazione positiva propria (0 <  < 1) , è uguale a un numero nell'intervallo ( a, b), quindi la formula di Lagrange può essere scritta come

f(b) - f(a) = (b - a)f"

Se mettiamo a=x, b=x+X, dove b - un =X, allora la formula di Lagrange può essere scritta come

y = f(x +x) - f(x) =xf "(x +X).

In precedenza, è stato dimostrato che se la funzione è uguale a una costante C per qualsiasi valore X nell'intervallo (a,b), allora la sua derivata è zero.

Dimostriamo ora il teorema inverso, che è una conseguenza del teorema di Lagrange:

Se la derivata f "(x) svanisce per qualsiasi valore di x nell'intervallo (a, b), allora in questo intervallo f(x) = C.

Infatti, se X 1 e X 2 - due valori qualsiasi nell'intervallo (a,b), quindi, in virtù del teorema di Lagrange, abbiamo

f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - X 1 )f"(x 0 ),

dove, X 1 < x 0 < x 2 . Ma da allora f"(x 0 ) = 0 , poi

f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,

che dimostra il nostro teorema.

Da questo segue immediatamente un importante teorema:

Se due funzioni f 1 (x) e f 2 (x) hanno la stessa derivata nell'intervallo (a, b), quindi differiscono tra loro di un valore costante in questo intervallo.

Infatti, considera la funzione

(x) = f 2 (x)-f 1 (X).

Quindi per qualsiasi valore X dall'intervallo (a,b)

"(x) = f 2 "(x)-f 1 "(x)=0.

Ma questo significa che  (x)=C e quindi

F 2 (x)-f 1 (x) = C.

Formula di Taylor. Lascia perdere l'intervallola funzione f(x) è n volte derivabile e valgono le seguenti uguaglianze:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (a)=0

Poi all'interno dell'intervalloc'è almeno un valore con,sotto il quale

F (n) (c) = 0

Prova. Di Il teorema di Rolle noi abbiamo

f"(x 0 ) = 0 ,

dove un< x 0 < b . Poi f"(x) sull'intervallo soddisfa il teorema di Rolle, poiché, per ipotesi, f "(a) = 0 e f"(x 0 ) = 0 , e quindi

f ""(x 1 ) = 0 ,

dove un< x 1 < x 0 .

Applicare successivamente il teorema di Rolle alle funzioni f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (X), troviamo infine:

F (n) (c) = 0,

dove un< c < x n-1 < b . Il teorema è stato dimostrato.

Deduciamo ora Formula di Taylor con termine residuo nella forma di Lagrange.

Lascia che la funzione f(x) differenziabile n volte nell'intervallo.

Considera la funzione di supporto

(x) = f(x) - P(x),

Differenziare n volte la funzione  (X). Allora avremo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 - UN n (x - a),

 (n) (x) = f (n) (x)-A n

Richiediamo che la funzione  (X) soddisfa le condizioni del teorema di Rolle generalizzato. Allora avremo

(1) .

Poiché la funzione  (X) soddisfa le condizioni del teorema di Rolle generalizzato, allora esiste un tale valore con un< c < b) , che cosa

 (n) (s) = f (n) (circa n = 0 (2)

L'esistenza di un limite superiore (inferiore) esatto per qualsiasi insieme delimitato dall'alto (dal basso) non è ovvia e richiede una prova. Dimostriamo il seguente teorema principale.

Teorema principale 2.1. Se l'insieme di numeri rappresentabili da infinite frazioni decimali è delimitato dall'alto (rispettivamente, dal basso) e contiene almeno un elemento, allora questo insieme ha un limite superiore esatto (rispettivamente, inferiore esatto).

Prova. Ci soffermeremo solo sulla dimostrazione dell'esistenza di un miglior limite superiore per qualsiasi insieme limitato sopra, perché l'esistenza di un miglior limite inferiore per qualsiasi insieme limitato sotto è dimostrata esattamente nello stesso modo.

Quindi, sia l'insieme limitato dall'alto, cioè esiste un numero M tale che ogni elemento x dell'insieme soddisfi la disuguaglianza

Ci possono essere due casi:

1°. Tra gli elementi dell'insieme c'è almeno un numero non negativo. 2°. Tutti gli elementi dell'insieme sono numeri negativi. Considereremo questi casi separatamente.

1°. Considera solo i numeri non negativi che fanno parte dell'insieme.Ognuno di questi numeri sarà rappresentato come una frazione decimale infinita e considereremo le parti intere di queste frazioni decimali. In virtù della disuguaglianza, tutte le parti intere non superano il numero M, e quindi c'è la più grande delle parti intere, che indichiamo con Teniamo tra i numeri non negativi dell'insieme quelli la cui parte intera è uguale e scartiamo tutti altri numeri. Per i numeri memorizzati, considera le prime cifre decimali dopo la virgola. Indichiamo il più grande di questi segni con Manteniamo tra i numeri non negativi dell'insieme quelli la cui parte intera è uguale e il primo segno decimale è uguale e scartiamo tutti gli altri numeri. Per i numeri memorizzati, considera la seconda cifra decimale dopo la virgola. Indichiamo il più grande di questi segni continuando ulteriormente il ragionamento simile, determineremo successivamente le cifre decimali di un certo numero

Dimostriamo che questo numero x è il minimo limite superiore dell'insieme, basta provare due affermazioni: 1) ogni elemento x dell'insieme soddisfa la disuguaglianza 2) qualunque numero x sia minore di x, c'è almeno un elemento x dell'insieme che soddisfa la disuguaglianza

Proviamo prima l'asserzione 1). Poiché x per costruzione è un numero non negativo, qualsiasi elemento negativo x dell'insieme soddisfa sicuramente la disuguaglianza

Pertanto, basta provare che qualsiasi elemento non negativo x dell'insieme soddisfa la disuguaglianza

Supponiamo che qualche elemento non negativo non soddisfi la disuguaglianza Allora, secondo la regola di ordinamento, esiste un numero tale che Ma le ultime relazioni contraddicono

contraddicono il fatto che la maggiore delle cifre decimali di quegli elementi di cui la parte intera e la prima cifra decimale sono rispettivamente uguali a

La contraddizione risultante prova l'affermazione 1).

Proviamo ora l'asserzione 2). Sia x un qualsiasi numero che soddisfi la condizione È necessario dimostrare che esiste almeno un elemento x dell'insieme che soddisfa la disuguaglianza

Se il numero x è negativo, allora la disuguaglianza è certamente soddisfatta da un elemento x non negativo dell'insieme (per ipotesi, esiste almeno uno di questi elementi).

Resta da considerare il caso in cui il numero x che soddisfa la condizione è non negativo. Sia Ne consegue dalla condizione e dalla regola di ordinamento che esiste un numero tale che

D'altra parte, dalla costruzione del numero (2.9) segue che per ogni numero esiste un elemento non negativo dell'insieme tale che la parte intera e tutte le prime cifre decimali sono uguali al numero x. In altre parole, per il numero c'è un elemento x tale che

ODA1.

ODA2. bordo superiore esatto e indicato supA.

OPR2'.

UTV. ODA2. — OPR2'.

=> ODA2 è soddisfatto, cioè M = sup A - il più piccolo di tutti i limiti superiori => M - limite superiore degli insiemi A => (cioè, 1) ODA2' è stato completato).

D-m 2) al contrario, cioè il limite superiore dell'insieme A, e M non è il limite superiore minimo - una contraddizione, perché M è il limite superiore => la proprietà 2) OPD2 è soddisfatta.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Perché M' in cima. Faccia di set-va A, sl-ma, M - viene eseguito il limite superiore minimo di set-va A => ODA2.

Biglietto numero 2 p2

ODA3.

ODA4. bordo inferiore esatto e indicato infA.

OPR4'.

UTV. ODA4. ó OPR4’

Dimostrato in modo simile a UTV. ODA2. — OPR2'.

TEOREMA!!!

DOC-IN!!!

Commento: se l'insieme A non è delimitato dall'alto => non ha facce superiori =>

Biglietto numero 1 “SERIE LIMITATE E ILLIMITATE. ESEMPI".

OPR1: mn-in Una denominazione. delimitata dall'alto, Se . In questo caso, M è il top. bordo della serie A.

Esempio: E limitato dall'alto. M = 3 - limite superiore. Qualsiasi numero maggiore di 3 è il limite superiore.

ODA2: mn-in Una denominazione. delimitata dal basso, Se . In questo caso, m è quello in basso. bordo della serie A.

Esempio:

N è delimitato dal basso. m = 1 è il limite inferiore. Qualsiasi numero inferiore a 1 sarà il limite inferiore.

ODA3: mn-in Una denominazione. limitato, se è delimitato dall'alto e dal basso, cioè .

OPR3': mn-in Una denominazione. limitato, Se

DIMOSTRIAMO CHE ODA3 ó ODA3'

=> ND OPR3 => OPR3’

Abbiamo: lascia

Quelli. fatto OPR3'

<= Н.Д. ОПР3’ =>ODA3

Abbiamo: , cioè fatto ODA3.

ODA4. Mn - in A viene chiamato illimitato, Se

Biglietto numero 3 "SEQUENZE NUMERICHE".

ODA. Se a ciascun numero naturale viene assegnato un numero secondo una certa legge, allora il numero di numeri viene numerato , chiamata sequenza numerica. indicare il numero dell'ultimo. ; numeri - elementi dell'ultimo.

Esempio:

ODA. Il numero a è chiamato limite dell'ultimo. , se (per qualsiasi numero positivo)

Designato:

Esempio:

Simbolo: quartiere di t.a.

Biglietto numero 4 “B.M. ULTIMI E LORO ST-VA (2 TEOREMI)”.

ODA. L'ultimo è chiamato infinitesimo (in.m.) se

Esempio: b.m.

SW-VA:

TEOREMA_1 !!! lascia e - b.m. ultimo, quindi:

1) Sequenza b.m.

2) placenta b.m.

DOC-IN!!!

1) dato: b.m., cioè

D-m, che b.m. placenta, cioè

Scegliamo ed etichettiamolo.

Perché b.m. => per numero ,

B.m. => per numero

Perché metti il ​​numero =>

2) D-m, cosa b.m.

Lo scegliamo e lo etichettiamo.

B.m. => per numero ,

B.m. => per numero

Numero del biglietto 4 p2

Perché numero positivo => def. b.m. per , cioè b.m.

TEOREMA_2 !!!

Lascia che b.m.last, limitato. retrogusto positivo, quindi b.m.positivo ultimo.

ODA. Placenta. limitato Se

DOC-IN!!!

Ripariamo.

Limitato =>

Bm ultimo => per

Conseguenza:

Lascia che b.m.posled. Allora per ultimi b.m.

Infatti, considera placenta.

Orco. placenta. b.m, perché b.m.

Esempio:

POI. per THEOREM_2!!!

Commento:

Da THEOREM_1!!! Segue quello

1) la somma di un qualsiasi numero finito di b.m. placenta. c'è b.m.posled.

2) il prodotto di un numero finito di b.m. placenta. c'è b.m. placenta.

Biglietto numero 5 "SEQUENZE BB E LORO RELAZIONE CON SEQUENZE BM".

ODA. si chiami b.b. last, se

Denota

TEOREMA!!! Sia b.b.sequenza. Quindi b.m.sequenza.

DOC-IN!!!

Fissatore Placenta

POI.
b.m. placenta.

RAPPORTO DI BB CON SEQUENZE BM.

Bb placenta. b.m. placenta. Relazione inversa.

Ticket 18 proprietà dei limiti delle funzioni (a) unicità del limite. B) limitatezza delle funzioni aventi un limite.)

Unicità del limite

TEOREMA!!! Se f-n ha un limite come K®0, allora è unico

DOC-IN!!!(anzi)

Permettere e

Rass X n¹a "n

Perché Þ per una data sequenza (X n ).

Þ per una data sequenza ( X n ).

Quella. ( f(x)-p.p.t.) contraddittorio perché non può avere

b¹c 2 diversi limiti Þ in = c

.Con

Conseguenze

Domanda numero 22 2° meraviglioso limite

Conseguenze

(an-ma a x \u003d lna)

Bil22str4
Biglietto 23 proprietà bm caratteristiche

ticket 24 bb funzioni e loro collegamento con bm

Biglietto 26. equivalenza bm f-y.

ticket26p.2

Biglietto 25. Confronto bm f-th.

Biglietto 28. Nepr-t f-ii al punto.

fattura.28

TICKET 30. classificazione dei break point delle funzioni (definizione ed esempi)

Sia f(x) def. in qualche U(a) (forse escl. Samu t.a.). i.a. chiamato punto di rottura f-ii f (x), se f non è incoerente in t.a. sia t.a.-punto di discontinuità f-ii f(x).

def. uno) ta-punto di discontinuità 1° tipo se (cioè sostantivo finale unilaterale)

2) Se, inoltre, , allora i.a- punto di rottura.

3) ta - punto di rottura 2° tipo , se non è una rottura del 1° tipo.

Esempi. 1)y=sgn(x). x=0-tr.r.del 1° tipo, perché

2)y= , x=0 –t. smontaggio, perché

3) y= x=0 – t.r. del secondo tipo, perché

,

Punto di discontinuità del 2° tipo.

3).

,

x=0 - punto di discontinuità del 2° tipo.

4).

Non esiste un punto x=0 - un punto di discontinuità del 2° tipo.

, . Il punto x=0 è un punto di discontinuità del 2° tipo.

Biglietto numero 2 “LIMITI SUPERIORI E INFERIORI DI UN SET NUMERICO. TEOREMA SUGLI ESSERI DEGLI ESATTI LIMITI INFERIORE E SUPERIORE DI UN INSIEME.

ODA1. M - il limite superiore dell'insieme A ó se .

ODA2. la più piccola di tutte le facce superiori dell'insieme A, chiamata bordo superiore esatto e indicato supA.

OPR2'. Il numero M è chiamato la faccia superiore esatta dell'insieme A se

UTV. ODA2. — OPR2'.

=> ODA2 è soddisfatto, cioè M = sup A - il più piccolo di tutti i limiti superiori => M - limite superiore degli insiemi A => (cioè, 1) ODA2' è stato completato).

D-m 2) al contrario, cioè il limite superiore dell'insieme A, e M non è il limite superiore minimo - una contraddizione, perché M è il limite superiore => la proprietà 2) OPD2 è soddisfatta.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Se, che M è il limite superiore minimo.

D-m dal contrario, cioè Sia M una faccia superiore non più piccola. Designazione secondo St. 2) per questa contraddizione.

Perché M' in cima. Faccia di set-va A, sl-ma, M - viene eseguito il limite superiore minimo di set-va A => ODA2.

Biglietto numero 2 p2

ODA3. m è l'ultimo dell'insieme А ó se .

ODA4. la più grande di tutte le facce inferiori dell'insieme A, chiamata bordo inferiore esatto e indicato infA.

OPR4'. Il numero m è chiamato il limite inferiore esatto dell'insieme A se

UTV. ODA4. ó OPR4’

Dimostrato in modo simile a UTV. ODA2. — OPR2'.

TEOREMA!!! Qualsiasi insieme non vuoto delimitato dall'alto (dal basso) ha un miglior limite superiore (inferiore).

DOC-IN!!! La A plurale non vuota è limitata. dall'alto, allora l'insieme A ha almeno un limite superiore. Sia Y l'insieme di tutte le facce superiori dell'insieme A, cioè , e l'insieme Y non è vuoto, perché l'insieme A ha almeno un limite superiore.

POI. insiemi non vuoti A e Y e St.-woo continui. azione numeri cioè supremo dell'insieme A. M = sup A.

Commento: se l'insieme A non è delimitato sopra => non ha limiti superiori => nessun limite superiore esatto. In questo caso, a volte si presume che . Allo stesso modo, se la pluralità di A non è limitata. dal basso, a volte si presume che

Esistenza di un grande limite superiore per un insieme delimitato dall'alto

Nome parametro	Senso
Oggetto dell'articolo:	Esistenza di un grande limite superiore per un insieme delimitato dall'alto
Rubrica (categoria tematica)	Matematica

Serie limitata. Bordi precisi

Formula di De Moivre

Fu trovato da A. Moivre nel 1707; il suo record moderno è stato proposto da L. Euler nel 1748.

z n =r n e in J =r n(cos n J + io peccato n J). (3)

La formula (3) è dimostrata per induzione su n.

Moltiplicazione di numeri complessi

Lei ha ovviamente ragione. Supponiamo che sia vero per alcuni n, lo dimostreremo per n+1. Abbiamo:

Per il dato, troviamo che soddisfa l'equazione, in altre parole, troviamo la radice n la potenza di un numero complesso. abbiamo non ci sei j=r e io y Þ n j=y+2p k, kОZ , r= dove otteniamo le formule

che servono per calcolare la radice n la potenza di un numero complesso. Il processo di ricerca della radice n- esimo grado da un numero complesso z può essere descritto come segue. Se questo numero non è uguale a 0, allora ci saranno esattamente tali radici n. Tutti loro saranno le vette della destra n- un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio . Uno dei vertici di questo poligono ha un argomento uguale a.

Esempio.
Ospitato su ref.rf
Calcolare. In questo caso, quindi, assume tre valori:

Riso. 1.7

Commento: Minore di, Maggiore di (<, >) non sono definiti in C .

1.3. Limiti superiore e inferiore dell'insieme dei numeri reali

Limiti e limiti dell'insieme.

L'insieme limitato superiore E:$B"XÎ E: x£ B.

B - limite superiore dell'insieme:"xE:x£ B.

Set con limite inferiore:$un"XÎ e: X³ un.

un - limite inferiore dell'insieme:"xОE: x ³ a.

Grande limite superiore dell'insieme: b = sup E - ϶ᴛᴏ un numero che soddisfa due proprietà:

1)(b - faccia superiore)"XÎ E: x£ B.

2) (non c'è più piccolo) "e>0 $ XÎ E:x>b- e.

L'esatto limite inferiore è definito in modo simile un = inf e.Set limitatoE:$B"XÎ E: .

Commento: Se b= sup e, poi -b= inf E¢, dove E¢- specchio a e un mucchio di, E¢={xОR:(-X)CIOÈ} .

Teorema 1. Un insieme non vuoto delimitato sopra ha un limite minimo superiore.

Prova: Permettere B limite superiore dell'insieme e e unÎ e. Indica con [ un 1 ,B 1 ] segmento, se contiene punti da e. Altrimenti, tramite [ un 1 ,B 1 ] denota il segmento

Riso. 1.8

Nota le proprietà di questo segmento costruito:

1) "xОE: x£ B 1 .

2) eÇ[ un 1 ,B 1 ] ¹ Æ .

Ripetiamo questa procedura per [ un 1 ,B 1 ], ecc. Di conseguenza, otteniamo una sequenza di segmenti annidati [ ak, bk], soddisfacendo le proprietà:

1)"xОE: x £ b k .

2) eÇ[ un K , B k ] ¹ Æ .

La prova di ciò è per induzione. Assumiamo che il segmento [ ak, bk] con le proprietà specificate. Dividilo a metà con un punto. Attraverso [ un k + 1 ,bk + 1 ] denota uno dei segmenti , che ha un'intersezione non vuota con e. Se entrambi contengono

Riso. 1.9

punti da E, poi [ un k + 1 ,bk + 1] ci sia un segmento giusto. Il segmento risultante ha le proprietà 1), 2). Le lunghezze di questi segmenti b k - un k =(b-a)/ 2K tendono a 0, in relazione a questo c'è un solo numero C comune a tutti questi segmenti. Questo numero è il limite superiore minimo dell'insieme specificato. Veramente:

1) "XÎ E: x £ c.

Supponiamo il contrario: $ XÎ E:x>c, prendi, esiste per lui allora, da cui segue b n< x , che contraddice la condizione XÎ[ un n, b n].

Riso. 1.10

2) "e> 0$ xОE: x > c - e.

Per ogni e esiste n: b n - un n< e . Scegliamone uno XÎ[ un n, b n] . In virtù della proprietà 1), sarà soddisfatto X< c, inoltre

c-x£ b n - un n< e . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, oggetto richiesto trovato X.

Riso. 1.11

Allo stesso modo, si può dimostrarlo insieme non vuoto delimitato sotto, c'è un minimo.

Teorema 2. Il limite superiore massimo (se esiste) è unico.

Prova: Lascia che ci siano due facce esatte B 2 ,B 1 , B 1 2 . Prendi e= B 2 -B 1 > 0. Per definizione dell'esatta faccia superiore (per B 2)$XÎ E: x > b 2 - e = b 1 , il che contraddice il fatto che B 1 bordo superiore.

Riso. 1.12

Commento. Allo stesso modo si può provare che l'infimum più grande è unico.

Se E non è limitato dall'alto, allora scriviamo sup E = +¥, allo stesso modo, se E non è limitato dal basso, allora scriviamo inf E= -¥ .

Esistenza di un limite minimo superiore per un insieme delimitato dall'alto - concetto e tipi. Classificazione e caratteristiche della categoria "Esistenza di un limite superiore esatto per un insieme delimitato dall'alto" 2017, 2018.

Serie limitata. Bordi precisi

Formula di De Moivre

Fu trovato da A. Moivre nel 1707; il suo record moderno è stato proposto da L. Euler nel 1748.

z n =r n e in J =r n(cos n J + io peccato n J). (3)

La formula (3) è dimostrata per induzione su n.

Moltiplicazione di numeri complessi

Lei ha ovviamente ragione. Supponiamo che sia vero per alcuni n, lo dimostreremo per n+1. Abbiamo:

Per il dato, troviamo che soddisfa l'equazione, in altre parole, troviamo la radice n la potenza di un numero complesso. abbiamo non ci sei j=r e io y Þ n j=y+2p k, kОZ , r= dove otteniamo le formule

che servono per calcolare la radice n la potenza di un numero complesso. Il processo di ricerca della radice n- esimo grado da un numero complesso z può essere descritto come segue. Se questo numero non è uguale a 0, allora ci saranno esattamente tali radici n. Tutti loro saranno le vette della destra n- un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio . Uno dei vertici di questo poligono ha un argomento uguale a.

Esempio. Calcolare. In questo caso assume quindi tre valori:

Riso. 1.7

Commento: Minore di, Maggiore di (<, >) non sono definiti in C .

1.3. Limiti superiore e inferiore dell'insieme dei numeri reali

Limiti e limiti dell'insieme.

L'insieme limitato superiore E:$B"XÎ E: x£ B.

B - limite superiore dell'insieme:"xE:x£ B.

Set con limite inferiore:$un"XÎ e: X³ un.

un - limite inferiore dell'insieme:"xОE: x ³ a.

Grande limite superiore dell'insieme: b = sup E è un numero che soddisfa due proprietà:

1)(b - faccia superiore)"XÎ E: x£ B.

2) (non c'è più piccolo) "e>0 $ XÎ E:x>b- e.

L'esatto limite inferiore è definito in modo simile un = inf e.Set limitatoE:$B"XÎ E: .

Commento: Se b= sup e, poi -b= inf E¢, dove E¢- specchio a e un mucchio di, E¢={xОR:(-X)CIOÈ} .

Teorema 1. Un insieme non vuoto delimitato sopra ha un limite minimo superiore.

Prova: Permettere B limite superiore dell'insieme e e unÎ e. Indica con [ un 1 ,B 1 ] segmento se contiene punti da e. Altrimenti, tramite [ un 1 ,B 1 ] denota il segmento

Riso. 1.8

Nota le proprietà di questo segmento costruito:

1) "xОE: x£ B 1 .

2) eÇ[ un 1 ,B 1 ] ¹ Æ .

Ripetiamo questa procedura per [ un 1 ,B 1 ], ecc. Di conseguenza, otteniamo una sequenza di segmenti annidati [ ak, bk], soddisfacendo le proprietà:

1)"xОE: x £ b k .

2) eÇ[ un K , B k ] ¹ Æ .

La prova di ciò è per induzione. Assumiamo che il segmento [ ak, bk] con le proprietà specificate. Dividilo a metà con un punto. Attraverso [ un k + 1 ,bk + 1 ] denota uno dei segmenti , che ha un'intersezione non vuota con e. Se entrambi contengono

Riso. 1.9

punti da E, poi [ un k + 1 ,bk + 1] ci sia un segmento giusto. Il segmento risultante ha le proprietà 1), 2). Le lunghezze di questi segmenti b k - un k =(b-a)/ 2K tendono a 0, quindi c'è un solo numero C comune a tutti questi segmenti. Questo numero è il limite superiore minimo dell'insieme specificato. Veramente:

1) "XÎ E: x £ c.

Supponiamo il contrario: $ XÎ E:x>c, prendi, esiste per lui allora, da cui segue b n< x , che contraddice la condizione XÎ[ un n, b n].

Riso. 1.10

2) "e> 0$ xОE: x > c - e.

Per ogni e esiste n: b n - un n< e . Scegliamone uno XÎ[ un n, b n] . In virtù della proprietà 1), sarà soddisfatto X< c, inoltre

c-x£ b n - un n< e . Così, abbiamo trovato il necessario X.

Riso. 1.11

Allo stesso modo, si può dimostrarlo insieme non vuoto delimitato sotto, c'è un minimo.

Teorema 2. Il limite superiore massimo (se esiste) è unico.

Prova: Lascia che ci siano due facce esatte B 2 ,B 1 , B 1 2 . Prendi e= B 2 -B 1 > 0. Per definizione del limite superiore esatto (per B 2)$XÎ E: x > b 2 - e = b 1 , il che contraddice il fatto che B 1 bordo superiore.

Riso. 1.12

Commento. Allo stesso modo si può provare che l'infimum più grande è unico.

Se E non è limitato dall'alto, allora scriviamo sup E = +¥, allo stesso modo, se E non è limitato dal basso, allora scriviamo inf E= -¥ .