Una combinazione di corpi geometrici dovrebbe comprendere vari oggetti geometrici posti uno accanto all'altro o articolati tra loro (piani, prismi, coni, cilindri, ecc.), ad eccezione della superficie di appoggio.

Si consideri la costruzione di un'ombra che cade da una parte sporgente di un oggetto sulla superficie dell'oggetto stesso. Sulla fig. 5.14 è data una superficie prismatica in isometria rettangolare, che può essere considerata come una combinazione di due prismi articolati tra loro. Costruire un'ombra prismatica su un piano XEhi mostrato in precedenza (Figura 5.7).

Questo esempio mostra anche la costruzione di un'ombra sul piano di un quadrilatero APE 1 B 1 . Il punto che appartiene all'ombra del bordo laterale è l'ombra del punto desiderato K.

Quindi, per determinare la posizione del punto Kè necessario tracciare un raggio all'indietro (la sua direzione è opposta ai raggi di luce) dal punto K 0 parallelo R fino all'intersezione con il bordo EE 1 . Unendo i punti B e K, otteniamo il confine della nostra stessa ombra sul piano del quadrilatero APE 1 B 1 .

Come risultato delle costruzioni completate, il confine della propria ombra è una linea spezzata ABKEMCC 1 m 1 e 1 B 1 UN 1 e l'ombra discendente è un poligono UN 1 UN 0 K 0 e 0 m 0 C 0 C 1 m 1 e 1 B 1 UN 1 .

h e fig. 5.15 dato un cono in un'isometria rettangolare, la direzione dei raggi luminosi R e le loro proiezioni secondarie R 1 , e l'aereo PxOy, su cui dovrebbe cadere l'ombra del cono.

Per costruire la goccia e la propria ombra dal cono, trova prima l'ombra C 0 dal punto C all'aereo XEhi. Poi attraverso il punto C 0 disegna le tangenti C 0 D e C 0 B alla base del cono. Segnare i punti e e F. Sezione EF definisce la linea di flessione dell'ombra discendente.

Come puoi vedere, l'ombra dal punto C all'aereo P si trova sulla linea di intersezione tra il piano di proiezione orizzontale, in cui è racchiuso il raggio di luce, e il piano P.

Unendo i punti e e F con un punto , otteniamo il contorno della parte d'ombra che cade sul piano P. I confini dell'ombra del cono sono determinati dai generatori cd e CB.

Sulla fig. 5.16 viene considerato un esempio di costruzione di un'ombra che cade da un'asta sporgente orizzontalmente AB su un cono. Da sporgenze ortogonali dell'asta AB e un cono, costruiamo le loro immagini in isometria rettangolare. Quindi determiniamo l'incidente e le ombre proprie del cono per una data direzione del raggio di luce R e la sua proiezione secondaria R 1 . Quindi costruiamo un'ombra da AB all'aereo XEhi. Raggi di luce che passano AB, formano un piano sporgente orizzontalmente Σ , che interseca la superficie conica lungo un'iperbole EMKT.

Un'iperbole può essere costruita utilizzando proiezioni secondarie di punti appartenenti all'iperbole. Ad esempio, intraprendere il sentiero Σ 1 punto m 1 (proiezione secondaria), tracciare una linea attraverso di essa OD(proiezione della generatrice cd). Colleghiamo il punto C con un punto D e sulla generatrice cd segna il punto m appartenente all'iperbole (vedi Fig. 4.8), e il punto K, sdraiato sul confine dell'ombra del cono, determinata utilizzando il raggio all'indietro K 0 K.

Sulla fig. 5.17 mostra la costruzione di un'ombra da una figura composta da due superfici articolate: un cilindro e un cono.

Innanzitutto, puoi costruire le tue ombre cadenti dal cono in una determinata direzione del raggio di luce R e la sua proiezione secondaria R 1 , e poi - ombre proprie e cadenti dal cilindro (vedi costruzione).

Va notato che i confini delle autoombre del cono e del cilindro sulla linea della loro base comune non coincidono.

___________________________________________

CONTENUTO

DENOMINAZIONI ACCETTATE………………………………………………………3

INTRODUZIONE………………………………………………………………………...4

1. METODO DI PROIEZIONE………………………………………………...………...6

1.1. Concetti e definizioni di base……………………………………..……6

1.1.1. Figure geometriche. …………………………………………….6

1.1.2. Elementi e caratteristiche del metodo di proiezione…………………………6

1.2. Sistemi di proiezione……………………………………………..….……...7

1.2.1. Sistema di proiezione centrale……………………….……….7

1.2.2. Sistema di proiezione parallela…………………………………8

1.2.3. Proprietà immagine…………………………………………………..8

1.2.4. Proprietà delle proiezioni parallele……………………………………...9

1.2.5. Proiezione di forme geometriche……………………..……12

1.2.6. Aggiunte di un disegno a immagine singola……………………………..12

2.PROIEZIONI ORTOGONALI DI FIGURE GEOMETRICHE………14

2.1. Proiezioni puntuali………………………………………………………………..14

2.1.1. Disegno complesso a due immagini di un punto……………………...14

2.1.2. Sostituzione dei piani di proiezione……………………………….……….16

2.1.3. Disegno complesso a tre immagini di un punto………………………18

2.2. Proiezioni di rette……………………………………………………...22

2.2.1. Linee di posizione generale………………………………………………22

2.2.2. Rette…………………………………………….……………23

2.2.3. Linee sporgenti………………………………………………..24

2.2.4. Determinazione della dimensione naturale di un segmento di retta

posizione generale……………………………………………………………….25

2.2.5. Posizione reciproca delle rette………………………………………….26

2.3. Proiezioni di linee curve……………………………………………………....29

2.3.1. Linee curve piatte…………………………………………………29

2.3.2. Linee curve spaziali………………………………..…31

2.4. Proiezioni di superficie. Impostazione della superficie sul disegno……….…..34

2.4.1. Definire una superficie usando un determinante………….……..34

2.4.2. Struttura di superficie……………………………………………….……36

2.4.3. Specificare una superficie che non ha un determinante…….………..36

2.4.4. Contorno della superficie…………………………………………..………37

2.4.5. Proiezioni del piano……………………………………………………..38

2.4.6. Tipi di piani secondo la loro posizione nello spazio…….….39

2.4.7. Esempi di incidenza………………………………………………………………………………………43

2.4.8. Parallelismo di una retta e di un piano … ………………………….45

2.4.9. Piani paralleli………………………………………….…...45

2.4.10. Costruzione di proiezioni piane durante la sostituzione di aerei

proiezioni…………………………………………………………….………46

2.4.11. Classificazione delle superfici……………………………………..48

2.4.12. Superfici poliedriche e poliedri………………...48

2.4.13. Superfici di rivoluzione………………………………………………….52

3. INCARICHI POSIZIONALI.…………………………………………...…….60

3.1. Intersezione di oggetti geometrici quando entrambi

oggetto geometrico sporgente………….…………………………...60

3.1.1. Costruzione di una linea di intersezione di due piani orizzontalmente aggettanti ………………………………………………..60

3.1.2. Tipi di linee di intersezione di un cilindro circolare retto

con gli aerei………………………………………………………………….60

3.1.3. Determinazione delle proiezioni della linea di intersezione di due circolari

cilindri……………………………………………………………………..62

3.2. L'intersezione di oggetti geometrici, quando uno di

oggetti geometrici sporgenti, e gli altri non sporgenti... ..62

3.2.1. Costruzione di una linea di intersezione di due piani …………...…62

3.2.2. Linee di intersezione di una superficie conica con i piani ... .63

3.2.3. Costruzione di sporgenze e dimensione naturale della linea

intersezione di una superficie conica con un piano …………………63

3.2.4. Costruzione delle proiezioni e dimensione naturale della linea di intersezione della sfera con il piano ………………………………………………….….64

3.2.5. Costruzione delle proiezioni della linea di intersezione del cono e del prisma ... ..65

3.3. Intersezione di oggetti geometrici quando entrambi

oggetti geometrici - non sporgenti…….……………………………………………………………………………………………………….

3.3.1. Algoritmo per costruire una linea di intersezione di due superfici...65

3.3.2. Costruzione di una linea di intersezione di due piani del generale

disposizioni……………………………………………………………………..66

3.3.3. Costruzione di proiezioni della linea di intersezione di due curve

superfici utilizzando piani di taglio ausiliari ... ..67

3.3.4. Intersezione di superfici di rivoluzione coassiali…………………68

3.3.5. Costruzione di proiezioni di linee di intersezione di superfici

rotazione tramite sfere ausiliarie (concentriche)…..69

3.4. Intersezione di una linea con una superficie…………………………..…………..71

3.4.1. Intersezione di una linea con una superficie quando entrambe

oggetto geometrico che proietta…………………………………71

3.4.2. L'intersezione di una linea con una superficie quando una di

oggetti geometrici che si intersecano proiettando,

e l'altro non è proiettivo……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………….

3.4.3. Intersezione di una linea con una superficie quando entrambe

oggetto geometrico non sporgente…………………………………………………………72

3.5. Oggetti geometrici perpendicolari…………………………….76

3.5.1. Rette perpendicolari………………………………………………76

3.5.2. Retta e piano perpendicolari……………………………76

3.5.3. Piani perpendicolari……………………………………………77

4. PROIEZIONI ASSONOMETRICHE……………………….…………...78

4.1. Educazione e tipologie di proiezioni assonometriche…………………...78

4.2. Proiezioni assonometriche rettangolari…………………………...79

4.2.1. Proiezione isometrica rettangolare…………………………79

4.2.2. Proiezione dimetrica rettangolare………………………….81

4.2.3. Oggetti geometrici spaziali dentro

assonometria rettangolare………………………………………………..82

4.3. Proiezioni assonometriche oblique……………………………..83

4.3.1. Proiezione isometrica frontale obliqua…………83

4.3.2. Proiezione isometrica orizzontale obliqua……...83

4.3.3. Proiezione dimetrica frontale obliqua………….83

5. OMBRE IN ASSONOMETRIA……………………….…………………………...84

5.1. Concetti base della teoria delle ombre……………………………….…………..84

5.2. Ombre assonometriche con illuminazione centrale……………………85

5.3. Ombre in assonometria con illuminazione parallela……….………….86

5.3.1. Ombre da un punto, una linea retta e una figura piatta…………………………86

5.3.2. Costruzione di ombre di poliedri………………………………………88

Il cono è inscritto nel cilindro(vedi figura sotto) quando la base del cono coincide con la base inferiore del cilindro e la sommità del cono è il centro della base superiore del cilindro. Gli assi del cilindro e del cono in questo caso coincidono.

Cilindro inscritto in un cono(vedi figura sotto), se la base inferiore del cilindro giace sulla base del cono, gli assi del cono e del cilindro coincidono, la base superiore del cilindro coincide con la sezione del cono di un piano parallelo alla base , ad una distanza pari all'altezza del cilindro dalla base.

prisma,iscritto in un cilindro(vedi figura sotto), viene chiamato un tale prisma, in cui i piani delle basi sono i piani delle basi del cilindro e i bordi laterali sono i generatori del cilindro. Pertanto, le altezze del prisma e del cilindro sono le stesse, e le basi del prisma sono poligoni inscritti per le basi del cilindro.

Piano tangenteal cilindro detto piano passante per la generatrice del cilindro e perpendicolare al piano della sezione assiale contenente questa generatrice.
Un prisma circoscritto ad un cilindro(vedi figura sotto) è chiamato prisma, in cui i piani delle basi sono i piani delle basi del cilindro e le facce laterali toccano il cilindro.

In questo caso, le basi del prisma sono poligoni circoscritti attorno alle basi del cilindro e le altezze del cilindro e del prisma sono le stesse.
I casi "prisma inscritto in un cono", "prisma circoscritto attorno a un cono" sono simili alle combinazioni "cono - cilindro". Hanno anche combinazioni simili di "cilindro - piramide".
Piramide inscritta in un cono, si chiama tale piramide, la cui base è un poligono inscritto nel cerchio della base del cono, e la sommità è la sommità del cono. I bordi laterali di una piramide inscritta in un cono sono i coni creativi.
Piano tangente al cono detto piano passante per la generatrice del cono e perpendicolare al piano della sezione assiale tracciata attraverso questa generatrice.
Piramide circoscritta ad un cono(vedi figura sotto) è detta piramide, alla cui base giace un poligono circoscritto vicino alla base del cono, e la sommità coincide con la sommità del cono.

I piani delle facce laterali della piramide descritta sono i piani tangenti al cono.
Si chiama il poliedro inscritto in una palla se tutti i suoi vertici giacciono sulla superficie della sfera. Si chiama il poliedro descritto sulla palla se tutte le sue facce toccano la superficie della sfera.

Sulla fig. 6.1 mostra i semplici corpi geometrici in cui dovrebbe essere costituita la composizione d'esame. Oltre ai corpi già familiari, qui vengono presentati dadi e bastoncini. Matrici: elementi quadrati, rotondi ed esagonali aggiuntivi, la cui altezza è pari a un ottavo del bordo del cubo. I bastoncini sono elementi lineari della composizione, la cui lunghezza è uguale al bordo del cubo. Inoltre, nella composizione possono essere utilizzati corpi delle stesse proporzioni, ma di dimensioni diverse. Queste sono le cosiddette composizioni con ridimensionamento (poiché in questo caso ci sono corpi identici sul foglio, ma, per così dire, presi su una scala diversa). Si considerino le composizioni realizzate dai candidati negli ultimi anni (Fig. 6.2-6.20).

La forma della composizione dell'esame, le sue dimensioni, il posizionamento sul foglio, il grado e la natura dell'interazione dei corpi geometrici sono stati stabiliti da tempo. Tutte queste posizioni si riflettono nel compito d'esame in un modo o nell'altro. Naturalmente, dovresti prenotare immediatamente che parleremo dell'attività d'esame che esiste oggi - potrebbe essere modificata nel momento in cui leggerai questa sezione del manuale. Tuttavia, speriamo che l'essenza dell'attività venga preservata e che sarai in grado di utilizzare i nostri suggerimenti e consigli.

Prima di tutto, elenchiamo i criteri con cui verranno valutate le tue composizioni:

Conformità del disegno completato con il compito;

L'idea compositiva nel suo insieme, l'armonia della soluzione compositiva e la complessità della composizione;

Composizione fogliare;

Immagine competente dei singoli elementi della composizione, correttezza della prospettiva e delle cornici;

Nel tuo lavoro, scegli un argomento che ti è vicino. Può essere un'enorme stabilità o una luce, che aspira a una certa distanza condizionale o movimento verso l'alto. Il movimento può essere ripetuto o spento, interrotto. La massa può essere densa o rarefatta. Una composizione può essere costruita su schemi metrici, uniformi o, al contrario, su un ritmo semplice o complesso. Può contenere una distribuzione uniforme della massa o accenti netti ed evidenziati. Le proprietà elencate possono essere combinate (tranne, ovviamente, quelle che si escludono a vicenda in un'opera). Va ricordato che la sensazione della complessità della composizione nasce dalla percezione della complessa armonia di qualche idea non banale, e non solo dalla complessità degli inserti, e non certo dal cumulo di tanti corpi.

Corretto: un prerequisito per una buona composizione. Probabilmente avrai già notato che quando la tua composizione è composta solo da pochi corpi geometrici, è abbastanza difficile mantenere la corretta prospettiva sul foglio. Anche se l'opera si basa su un cubo quasi perfettamente costruito, l'aggiunta di ogni nuovo corpo porta ad un graduale aumento della distorsione.

Rintracciarli e correggerli è abbastanza difficile, soprattutto nelle prime composizioni, quando l'esperienza e le capacità pratiche sono ancora scarse. Ecco perché, al fine di determinare correttamente l'apertura di tutte le facce e la direzione di tutte le linee su un foglio, vengono utilizzati vari metodi per ordinare tutte queste posizioni correlate, portandole in un unico sistema. Uno di questi sistemi è descritto in dettaglio nell'attività successiva. Questa è la cosiddetta griglia - una struttura spaziale che determina l'apertura delle facce dei corpi geometrici e la direzione delle linee su tutto il foglio.

Nel processo di preparazione per l'esame, la "griglia" ti aiuterà a riunire tutta la varietà di problemi associati al processo di costruzione di una composizione e, in una volta, a risolverli facilmente. Certo, la "griglia" è una cosa utile, ma, ovviamente, ha i suoi pro e contro.

Da un lato, raffigurando composizioni basate sulla "griglia", si trascorre ovviamente del tempo (a volte abbastanza significativo) nella fase preparatoria (della "griglia" stessa), riducendo così il tempo di lavoro sull'effettivo composizione.

D'altra parte, la "griglia" può ridurre notevolmente i tempi di risoluzione di problemi puramente tecnici relativi alla determinazione delle direzioni delle linee orizzontali e alla rivelazione delle varie superfici. Certo, una certa abilità ti consentirà di ridurre al minimo il tempo trascorso sulla "rete", ma se viene commesso un errore nella "rete" (che è abbastanza probabile nelle condizioni stressanti dell'esame), puoi notare questo errore solo disegnando il primo corpo geometrico.

Cosa fare in questo caso: correggere la griglia o abbandonarla del tutto per recuperare il tempo perso? È ovvio che dovresti iniziare a lavorare sulla composizione dell'esame dalla "griglia" solo se hai imparato a creare la "griglia" in modo rapido ed efficiente dall'esame, portando questo processo quasi all'automatismo, e costruisci facilmente una composizione basata su di esso.

Un'altra domanda che spesso preoccupa il richiedente è la questione dei tie-in: quali tie-in dovrebbero essere fatti, quanto dovrebbero essere difficili e persino dovrebbero essere fatti? Per cominciare, è possibile non creare cornici nella composizione dell'esame: nell'attività d'esame, l'uso di cornici è solo consigliato e non è un prerequisito, tuttavia, dovrebbe essere chiaro che una composizione senza cornici ha una complessità significativamente inferiore ed espressione artistica. Non dimenticare che la tua composizione sarà valutata tra le altre, e quindi, realizzando una composizione senza tie-in, ridurrai ovviamente la competitività della tua stessa (preoccupazioni. Ovviamente il livello della composizione d'esame cresce di anno in anno , e questo impone l'inclusione di complessi tie-in nella composizione che rendono il lavoro d'esame più espressivo e interessante.Tuttavia, il loro completamento richiede tempo aggiuntivo, che è limitato nelle condizioni dell'esame.In questa situazione, tutto dipende sulla tua esperienza - se ti sei preparato diligentemente per l'esame di composizione, molto probabilmente hai già i tuoi tie-in preferiti, che possono essere abbastanza complessi, ma, delineati molte volte, sono raffigurati facilmente e, quindi, rapidamente.Ma fallo non lasciarti trasportare da cornici complesse, complicare eccessivamente il lavoro - ricorda che anche una composizione realizzata con cornici semplici può essere piuttosto complessa ed espressiva su quanti corpi geometrici dovrebbero schiantarsi l'uno contro l'altro. posizioni, i corpi geometrici sono incorporati così leggermente che sembra che non siano incorporati l'uno nell'altro, ma si tocchino appena. Tali composizioni tendono a evocare un senso di instabilità, instabilità e incompletezza. Lo spettatore ha un desiderio irresistibile di rendere più densa una tale composizione, di incorporare i corpi geometrici più a fondo l'uno nell'altro. Analizzando un'opera del genere, è difficile parlarne come una composizione: un gruppo di volumi armoniosamente subordinati. In altre composizioni, i corpi sono così profondamente radicati l'uno nell'altro che non è più chiaro: che tipo di corpi sono? Una tale composizione, di regola, sembra una massa complessa con parti di corpi geometrici che sporgono da essa e non crea un senso di armonia nello spettatore. I corpi al suo interno cessano di esistere come oggetti indipendenti, trasformandosi in una miscela geometrica. Se non consideriamo casi così estremi (quando i corpi geometrici quasi non si scontrano tra loro o quando si trasformano in un'unica massa densa), per creare una composizione di media densità, si dovrebbe attenersi alla seguente regola: un corpo geometrico dovrebbe schiantarsi contro un altro (o altro) corpo geometrico non più della metà, meglio - un terzo. Inoltre, è auspicabile che lo spettatore possa sempre determinare le dimensioni principali di un corpo geometrico dalla sua parte visibile. In altre parole, se si schianta contro un corpo qualsiasi, la sua sommità, una parte significativa della superficie laterale e la circonferenza della base dovrebbero rimanere visibili nella figura. Se si schianta contro qualsiasi corpo, parti della superficie laterale del cilindro e i cerchi delle sue basi dovrebbero rimanere visibili. Una menzione speciale va fatta per gli inserti di cubi e tetraedri: nella composizione, questi corpi geometrici formano uno sfondo o, in un certo senso, una struttura per disporre e inserire altri corpi geometrici più difficili da costruire. Pertanto, gli inserti sono consentiti quando le parti visibili di cubi e tetraedri costituiscono meno della metà dei loro volumi.

I problemi olimpici di questa sezione si riferiscono a varie valutazioni relative a posizionamenti, rivestimenti, imballi e piastrellature, varie combinazioni di figure. Utilizza le proprietà più generali associate alla posizione delle figure sul piano e nello spazio. Notiamo solo quanto segue:

Teorema di Jordan: qualsiasi polilinea chiusa non autointersecante divide il piano in due regioni: interna ed esterna, inoltre, qualsiasi percorso da un punto della regione interna a un punto della regione esterna interseca questa polilinea e possono essere collegati due punti di ciascuna regione da un percorso che non interseca la polilinea.

insieme convessoè un insieme che, insieme a ogni due punti, contiene l'intero segmento che collega questi punti.

Lo scafo convesso della figuraè il più piccolo insieme convesso contenente questa figura; lo scafo convesso di un insieme finito è un poligono (nello spazio, un poliedro) con vertici in alcuni punti dati.

Insieme a questa figura, è utile considerarla r-quartiere: insieme di punti, la distanza minima da cui i punti della figura è minore di R.

Due cifre (in particolare i punti) sono almeno 2 R, se e solo se loro R- i quartieri non si intersecano.

Se l'unione di più figure contiene una data figura F, allora si dice che queste figure formino Rivestimento figure F. In questo caso le figure di copertura possono intersecarsi.

Pacchetto- questa è la collocazione all'interno di una data figura di più figure che non hanno punti in comune, tranne forse quelli di confine.

In alcune attività, la figura viene tagliata in parti più piccole (ad esempio, in due identiche), o viceversa, una grande è composta da più figure date. Questi sono compiti per taglio o piastrellatura. Una piastrellatura è sia un rivestimento che un involucro.

Problemi con soluzioni

1. È possibile coprire un triangolo equilatero con due triangoli equilateri più piccoli?

Ciascuno dei triangoli più piccoli può coprire solo un vertice di quello più grande, ma ci sono tre vertici e solo due triangoli.

Risposta: non puoi.

2. Dei cinque cerchi dati, quattro qualsiasi passano per un punto. Dimostra che c'è un punto attraverso il quale passano tutti e cinque i cerchi.

Il 1°, 2°, 4° e 5° cerchio passano per il punto A;

1°, 3°, 4° e 5° - fino al punto B;

2°, 3°, 4° e 5° - fino al punto C.

Vediamo che tutti e tre i punti A, B e C non possono essere diversi, poiché giacciono sul 4° e 5° cerchio, e due cerchi hanno al massimo due punti di intersezione. Quindi, secondo il principio di Dirichlet, due dei punti A, B e C coincidono.

Lascia che, ad esempio, coincidano i punti A e B. Quindi tutti i cerchi passano per il punto A. La dimostrazione è completa.

3. Qual è il numero più piccolo di tetraedri non sovrapposti in cui può essere diviso un cubo?

È facile vedere che il cubo può essere diviso in 5 tetraedri. Nella figura, questi sono i tetraedri AA"B"D", AB"BC, ACDD", B"C"D"C e ACD"B".

Dimostriamo ora che un cubo non può essere diviso in un numero minore di tetraedri. Si divida un cubo con il bordo a in più tetraedri. Ce ne sono almeno due le cui basi giacciono sulla faccia del cubo ABCD. Allo stesso modo, ci sono almeno 2 tetraedri con basi sulla faccia A"B"C"D".

Questi tetraedri sono certamente diversi dai primi due, poiché un tetraedro non può avere due facce parallele. Quindi, abbiamo già 4 tetraedri. Il loro volume totale non è superiore a 2a 3/3, cioè inferiore al volume del cubo. Pertanto, un cubo non può essere diviso in 4 tetraedri.

4. Ci sono n punti segnati sul cerchio. Quante polilinee di collegamento non chiuse non autointersecanti (n–1) esistono con vertici in questi punti?

Il primo punto può essere scelto in n modi. Ciascuno dei successivi n–2 punti può essere scelto in due modi, poiché deve essere adiacente a uno dei punti precedentemente selezionati (altrimenti risulterà una polilinea autointersecante). Poiché l'inizio e la fine non differiscono in questo calcolo, il risultato deve essere diviso per 2. Pertanto, ci sono totali

n 2 n–2 /2 = n 2 n–3

Risposta: n 2 n-3 .

5. a) Si scelgono sei colori ed è necessario colorare sei facce del cubo con colori diversi. In quanti modi diversi può essere fatto? (Tali colorazioni sono considerate diverse se non possono essere combinate tra loro mediante rotazioni del cubo attorno al suo centro.)

b) In quanti modi diversi si possono colorare le facce del dodecaedro in dodici colori?

a) Il cubo può essere ruotato in modo che la faccia dipinta con il primo colore prenda la posizione specificata. Ci sono cinque diverse opzioni per colorare la faccia opposta; colorazioni diverse della faccia opposta danno colorazioni diverse del cubo.

Tra le restanti quattro facce, puoi selezionare una faccia dipinta con un determinato colore e spostarla in una determinata posizione (senza cambiare la posizione delle prime due facce). Diverse colorazioni delle tre facce rimanenti danno colorazioni diverse del cubo. Una di queste facce può essere colorata in tre modi, una delle facce rimanenti in due modi. In totale otteniamo

5 3 2 = 30

varie colorazioni.

Risposta: 30 modi.

b) Il numero di tutte le possibili colorazioni del dodecaedro è 12! = 1 · 2 · ... · 12. Per trovare il numero di coloranti diversi, devi dividere 12! sul numero di autocoincidenza del dodecaedro. Qualsiasi delle 12 facce può essere convertita in qualsiasi altra. Inoltre, ci sono cinque rotazioni (compresa quella identica) che preservano questa faccia. Ci sono 60 auto-combinazioni in totale. Pertanto, il numero di diverse colorazioni del dodecaedro è

12! / 60 = 7983360.

Risposta: 7983360 modi.

6. Nel piano è dato un insieme finito di poligoni, ciascuno dei quali ha un punto in comune. Dimostra che una linea interseca tutti questi poligoni.

Proiettiamo tutti i poligoni su una linea retta. La proiezione di ciascun poligono è un segmento e, a condizione, due segmenti qualsiasi hanno un punto in comune. Ne consegue che tutti i segmenti hanno un punto in comune (per verificarlo è sufficiente considerare la retta data come un asse reale e prendere la più piccola delle estremità destre di questi segmenti). Una retta perpendicolare a quella data e passante per il punto contrassegnato interseca tutti i poligoni.

7. Ogni punto dell'aereo è colorato di rosso o blu. Dimostra che esiste un rettangolo i cui vertici sono tutti colorati dello stesso colore.

Secondo il principio di Dirichlet, su sette punti, almeno quattro devono avere lo stesso colore. Scegliamo tra sette punti sulla linea p quattro punti Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , dipinti in un colore, diciamo, in rosso. Si considerino altre due rette q e r parallele alla retta p, e su di esse due quadruple di punti (Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4) e (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) ottenute mediante proiezione ortogonale dei quattro scelti su queste linee. Considera rettangoli con vertici in questi punti e nei punti Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 . Ora, se due dei punti, ad esempio, Q i e Q j sono rossi, allora tutti i punti del rettangolo Р i Q i Q j Р j sono anch'essi rossi. Allo stesso modo per due punti rossi da R 1 , R 2 , R 3 , R 4 .

Se nessuno di questi casi vale, allora circa tre (o più) punti sulla linea q e tre (o più) punti sulla linea r devono essere blu. Ma queste triplette di punti azzurri sono disposte in modo tale che tra di esse ci sarà inevitabilmente una coppia di punti che giacciono uno sotto l'altro e formano così un rettangolo azzurro, dal quale segue l'enunciazione del problema.

Nota: si noti che questo risultato è valido per qualsiasi area del piano racchiusa all'interno di un cerchio arbitrariamente piccolo.

8. Disegniamo piani attraverso un punto fisso nello spazio in modo da dividere lo spazio in quante più parti possibili. Un piano divide lo spazio in due parti, due piani che si intersecano in quattro parti, tre piani che si intersecano in un punto e non hanno altri punti in comune dividono lo spazio in otto parti.

a) Qual è il numero massimo di parti ottenibili con quattro piani?

b) Cosa - con n piani?

Invece dell'intero spazio, divideremo la palla, attraverso il centro della quale disegniamo piani. Sulla superficie della palla (sulla sfera che la delimita). Prendiamo uno di loro come l'equatore e proiettiamo tutti questi cerchi dal centro della palla su un piano tangente alla palla al polo. Le proiezioni dei nostri cerchi (ad eccezione di uno, che è l'equatore e non si proietta in nulla) saranno linee rette. Pertanto, è necessario calcolare il numero massimo di regioni di un piano diviso per n–1 rette. Può essere ottenuto per induzione (vedi problema 9 nella sezione ) a cui è uguale

1+1+2+3+. . . + (n–1) = 1 + n(n–1)/2.

Poiché le aree della sfera sono doppie rispetto alla sua proiezione piatta (ricordiamo l'equatore, che è presente sulla sfera e assente sul piano di proiezione), il numero richiesto sarà il doppio di quello che abbiamo calcolato sopra, quindi è uguale a 2 + n(n– uno).

In particolare, per n = 4 il numero desiderato è 14.

Risposta: a) 14; b) 2+n(n–1).

9. Esistono più quadrati la cui somma delle aree è uguale a 4. Dimostrare che è sempre possibile coprire un quadrato di area 1 con tali quadrati.

Se copriamo un quadrato con un insieme di quadrati, il cui lato è ridotto al numero minore più vicino della forma 1/2 k , k = 1, 2, ... , allora questi quadrati possono essere posizionati senza sovrapporsi (Guarda la figura).

Poiché l'area di ogni quadrato è diminuita di meno di 4 volte, la somma delle loro aree è maggiore di 1, quindi copriranno sicuramente l'intero quadrato.

10. È necessario dividere il triangolo in 19 triangoli in modo che ad ogni vertice della figura risultante (così come ai vertici del triangolo grande) converga lo stesso numero di lati. Il numero 19 non può essere sostituito da un numero più grande, ma può essere sostituito da numeri più piccoli. Che tipo?

Per dividere un triangolo in un certo numero di triangoli in modo che lo stesso numero di lati convergano ad ogni vertice della figura formata, utilizziamo poliedri regolari le cui facce sono triangoli. Questi possono essere i seguenti poliedri: tetraedro regolare, ottaedro e icosaedro e solo loro.

Se all'interno del tetraedro scegliamo un punto che si trova vicino al centro di una delle facce, e da questo punto proiettiamo i bordi del tetraedro sul piano, allora otteniamo la prima figura mostrata nella figura seguente.

Si compone di tre triangoli corrispondenti alle facce del tetraedro; la quarta faccia durante il disegno è passata in un grande triangolo ABC. Tre lati convergono ad ogni vertice della figura, poiché tre spigoli convergono ad ogni vertice del tetraedro.

Allo stesso modo, usando la proiezione centrale, otteniamo dall'ottaedro regolare la seconda figura della figura, composta da sette triangoli, a ciascun vertice di cui convergono quattro lati, e dall'icosaedro regolare, la terza figura, composta da 19 triangoli, a ogni vertice di cui cinque lati.

Non esiste una figura che soddisfi le condizioni del problema e differisca dalle tre rappresentate, poiché corrisponderebbe ad un poliedro regolare diverso dai tre sopra citati, ma questo non esiste.

Quindi, il numero possibile di triangoli inferiore a 19 è 4 e 7.

Problemi senza soluzioni

1. Ci sono 15 riviste sul tavolo, che lo coprono completamente. Dimostrare che è possibile rimuovere 7 caricatori in modo che i rimanenti caricatori coprano almeno 8/15 dell'area del tavolo.

2. Sono dati quattro punti nello spazio che non giacciono sullo stesso piano. Quanti diversi parallelepipedi esistono per i quali questi punti fungono da vertici?

3. In un n-gon convesso (n > 3), tutte le diagonali sono disegnate e non tre di esse si intersecano in un punto. Trova il numero di punti di intersezione delle diagonali.

4. Dimostrare che è impossibile coprire l'intero piano con una rete di triangoli in modo che cinque triangoli convergano su ciascun vertice.

5. Sul piano vengono tracciate n rette (n > 2), dividendo il piano in più regioni. Alcune di queste regioni sono colorate e nessuna regione colorata può toccare il confine. Dimostrare che il numero di regioni colorate non supera n(n+1)/3.

GEOMETRIA COMBINATORIALE

Una branca della matematica che combina problemi in cui si studiano proprietà estreme di natura combinatoria per sistemi di figure. Questi problemi sono collegati, in primo luogo, alla disposizione ottimale degli insiemi convessi in un certo senso. Un esempio di uno dei problemi più antichi di questo tipo è il problema delle 13 palline: qual è il numero massimo di palline di uguale materiale che possono essere applicate a una palla uguale a tutte nello spazio euclideo? I. Kepler (J. Kepler, 1611) indicò il numero 12, ma il rigore di questo problema fu dato in ser. 20 ° secolo BL Van der Waerden e K. Schutte.

Il termine "Kg" sembra essere apparso per la prima volta nel 1955 (vedi ). Quest'anno è solitamente associato all'emergere della CG come direzione in matematica, sebbene possano essere attribuiti anche risultati precedenti (vedi, ad esempio, ). La visualizzazione dei suoi compiti è caratteristica del CG. Considerazioni combinatorie e combinazioni di tecniche di varie aree della matematica (topologia, analisi funzionale, geometria in generale, teoria dei grafi, ecc.) sono ampiamente utilizzate in CG.

Uno dei gruppi centrali di problemi in CG è il problema di scissione figure in parti, per esempio. problema Vorsuka.

Un folto gruppo di compiti per KG sono. compiti su rivestimenti, in cui si indaga la possibilità di ricoprire un dato insieme con figure di forma speciale (vedi, ad esempio, Ipotesi di Hadwiger sulla copertura di un corpo convesso dal numero minimo di corpi più piccoli omotetici ad esso con un coefficiente di omoteità K, 0illuminazione del compito sul numero minimo di direzioni per fasci di raggi paralleli o sorgenti che illuminano il confine di un corpo convesso, ecc.

KG è legato alla geometria discreta, vedi, ad esempio, connesso in un certo modo con l'ipotesi di Hadwiger e problemi di illuminazione Il compito di Erdős sulla ricerca del numero massimo di punti nello spazio euclideo R n, di cui tre qualsiasi formano con angoli non superiori a p/2.

Gli insiemi convessi sono strettamente correlati alla teoria degli insiemi convessi. Vedi, per esempio, teorema dell'inferno, k-rai descrive le intersezioni di alcune famiglie di insiemi convessi a seconda dell'intersezione delle loro sottofamiglie.

Illuminato.: Hadwiger H., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandroff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, B., 1935; Hadwiger G., Debrunner G., Piani combinatori, trad. dal tedesco., M., 1965; Grunbaum B., Studi di geometria combinatoria e teoria dei corpi convessi, trad. dall'inglese, M., 1971; Hadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Yaglom I. M., Sulla geometria combinatoria, Mosca, 1971; Boltyansky V. G., Soltan P. S., Geometria combinatoria di varie classi di insiemi convessi, Kish., 1978. P.S. Soltan.

COMBINATORIALE- S finito, insieme ad una relazione di chiusura definita per tutti i sottoinsiemi A di S (cioè implica e ma non necessariamente = soddisfare le condizioni: 1) per un insieme vuoto 2) per ogni elemento 3) se e e se ma allora ( proprietà sostitutiva). Gli insiemi chiusi, o piani, formano un reticolo geometrico. Un sottoinsieme è indipendente se, per tutti, tutti gli insiemi o basi massimali indipendenti hanno lo stesso . Nel solito modo, si definisce un CG e la restrizione di un CG al sottoinsieme UN. Il potere delle basi della restrizione del KG ad Anaz. rango (A) dell'insieme UN. Il grado soddisfa la condizione:

Un insieme per il quale r(A) <|А|, chiamato dipendente; insiemi dipendenti minimi K. g. chiamati. cicli. Omettendo le condizioni 1) e 2) nella definizione di un CG, si ottiene la definizione di pregeometria, o matroide. Vengono considerati anche CG infiniti e le basi devono essere finite.

Un esempio di CG è un sottoinsieme S dello spazio vettoriale V con la relazione

definito per tutti dove sp(A) - attraversato da AB v.

Uno dei problemi principali nella teoria di K.g. è il cosiddetto. problema critico. Per un C.G. dato da un insieme S in uno spazio proiettivo di dimensione n su un campo di Galois, questo problema consiste nel trovare il più piccolo k positivo (esponenziale critico) per il quale esiste una famiglia di iperpiani H 1 , ..., HK , distinguendo S(la famiglia degli iperpiani distingue l'insieme S, se per ogni tOS ne esiste almeno uno che non contiene T) .

Illuminato.: Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 p. 509-33; Craro N. N., Rota G. C., Sui fondamenti della teoria combinatoria: geometrie combinatorie, Camb.-L., 1970; Tutte W. T., Introduzione alla teoria dei matroidi, N. Y., 1971; Wilson R., Introduzione alla teoria dei grafi, trad. dall'inglese, M., 1977; Rybnikov K.A., Introduzione all'analisi combinatoria, M., 1972.

AM Reyakin.

Enciclopedia matematica. - M.: Enciclopedia sovietica. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

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Libri

• Raccolta di problemi di geometria differenziale e topologia, Fomenko A., Mishchenko A., Solovyov Yu.