dispersione variabile casuale è chiamata aspettativa matematica del quadrato della deviazione della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica (se quest'ultima esiste):

D(x) = M((x-M(x)) 2).

Per una variabile casuale discreta:

Se una variabile casuale discreta può assumere un numero infinito di valori, la somma a destra sarà una serie.

Perché viene calcolata la varianza? L'aspettativa matematica di per sé non ci dà un'idea corretta sulla natura del fenomeno in esame, su come una variabile casuale possa cambiare. Conosciamo solo il suo valore medio su un gran numero di esperimenti, ma non possiamo giudicare quale sia la diffusione media dei suoi valori attorno a questo numero. La dispersione ti permette di giudicare questo. Le deviazioni nel suo calcolo vengono prese al quadrato, poiché altrimenti le deviazioni in direzioni diverse (valori maggiori e minori della media) si compenserebbero a vicenda. La scelta di eliminare il segno è la quadratura, e non qualche altra azione (ad esempio, prendere modulo) si spiega con il fatto che la dimostrazione di alcune importanti proprietà di dispersione studiate dalla statistica matematica si basa su questo fatto.

L'espressione sopra per la varianza è scomoda per i calcoli pratici, quindi ne deriviamo un'altra.

Presentiamo alcune proprietà della dispersione senza dimostrazione:

1) La dispersione non è negativa (per definizione):

2) La dispersione della costante è zero:

c – cost D(c) = 0

Ad esempio, se un dipendente riceve uno stipendio costante x = 30 (migliaia di rubli), la sua dispersione sarà uguale a zero (infatti, la caratteristica di dispersione è zero).

3) Il fattore costante può essere estratto dal segno di dispersione quadrandolo:

c – cost D(cx) = c 2 D(x)

Ad esempio, lascia che la varianza del salario di un dipendente sia 4 (x è il salario, D(x) = 4). L'altro lavoratore riceve sempre il 20% in più rispetto al primo lavoratore, cioè il salario del secondo lavoratore è 1,2*x. Allora la varianza salariale del secondo lavoratore è D(1.2*х) =
\u003d 1,2 2 * D (x) \u003d 1,44 * 4 \u003d 5,76.

4) Per variabili casuali indipendenti, la varianza della loro somma è uguale alla somma delle varianze:

D(x + y) = D(x) + D(y) (per x e y indipendenti)

Ad esempio, sia la varianza salariale di un lavoratore 4 (x è il suo salario, D(x) = 4) e quella di un altro lavoratore sia 5 (y è il suo salario, D(y) = 5). Allora la varianza del salario totale sarà D(x +
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. Tuttavia, è possibile eseguire il calcolo in questo modo solo se i salari di questi lavoratori non dipendono l'uno dall'altro. Se sono dipendenti, non è possibile utilizzare la formula.

Si noti che anche la varianza della differenza di due variabili casuali sarà uguale alla somma delle varianze (e non alla differenza). Ciò deriva dalle proprietà (3) e (4), poiché quadrando il fattore (-1) risulta 1.

La proprietà (4) sarà vera non solo per due, ma per qualsiasi numero finito di variabili casuali.

5) Con un aumento (diminuzione) di tutti i valori di una variabile casuale di una costante, la sua varianza non cambierà (questo deriva dalle proprietà (2) e (4):

c - cost D(x - c) = D(x)

Ad esempio, se la dispersione dello stipendio mensile medio è 4 e ogni mese vengono detratti 800 rubli dallo stipendio. pagare un biglietto di viaggio, allora la variazione della retribuzione meno il pagamento di un biglietto di viaggio sarà ancora pari a 4.

Ad esempio, considera una variabile casuale x, il numero di auto vendute al giorno. Questo valore è stato misurato per 100 giorni e durante questo periodo ha preso rispettivamente i valori (0; 1; 2; 3; 4) 18, 15, 28, 15 e 24 volte. È necessario determinare la varianza della distribuzione di probabilità x.

Assumiamo che il numero di esperimenti - 100 - sia abbastanza grande da considerare la frequenza relativa come una stima empirica della probabilità. Pertanto, per determinare le probabilità, dividiamo ciascuna delle frequenze per 100. Presentiamo la distribuzione di probabilità nella forma della tabella 2, aggiungendovi due righe per i calcoli ausiliari.

Tavolo 2

6,46-2,12 2 1,97.

Tuttavia, è difficile utilizzare la stima risultante. Non può essere paragonato all'aspettativa matematica, poiché le sue unità di misura non hanno senso economico ("auto al quadrato"). Pertanto, per determinare se la dispersione nel numero di vendite intorno al valore di 2,12 è davvero così grande, prendiamo la radice della varianza . Il risultato ottenuto ha le stesse unità di misura della variabile aleatoria considerata (in questo caso si misura nel numero di vetture, cioè in pezzi).

Questo valore viene chiamato deviazione standard(RMS) e denota .

RMS \u003d 1.4 (pz.) - è molto o poco? Probabilmente, se il volume delle vendite fosse in media, ad esempio, di 10 auto al giorno, un tale valore caratterizzerebbe uno spread ridotto. Nel caso in esame
M = 2,12 (pz.). Per valutare il risultato ottenuto è necessario calcolare il relativo indicatore, che consentirà di confrontare l'RMS con l'aspettativa matematica.

Viene chiamato il rapporto tra la deviazione standard e l'aspettativa matematica di una variabile casuale coefficiente di variazione: . È un valore adimensionale (puoi convertirlo in percentuale moltiplicandolo per 100%).

Per l'esempio considerato, il coefficiente di variazione è 1,4/2,12 =
= 0,66 o 66%.

L'aspettativa matematica, varianza, RMS e coefficiente di variazione discussi sopra sono caratteristiche numeriche variabile casuale. Oltre a loro, ci sono altre caratteristiche numeriche, che per ora non prenderemo in considerazione.

La dispersione di una variabile casuale è una misura della diffusione dei valori di questa variabile. Piccola varianza significa che i valori sono raggruppati uno vicino all'altro. Una grande varianza indica una forte dispersione dei valori. Il concetto di dispersione di una variabile casuale è utilizzato in statistica. Ad esempio, se si confronta la varianza dei valori di due grandezze (come i risultati delle osservazioni di pazienti maschi e femmine), è possibile verificare la significatività di alcune variabili. La varianza viene utilizzata anche durante la creazione di modelli statistici, poiché una piccola varianza può indicare che si stanno superando i valori.

Passi

Esempio di calcolo della varianza

1. Registrare i valori del campione. Nella maggior parte dei casi, gli statistici hanno a disposizione solo campioni di determinate popolazioni. Ad esempio, di norma, gli statistici non analizzano il costo del mantenimento della popolazione di tutte le auto in Russia: analizzano un campione casuale di diverse migliaia di auto. Tale campione aiuterà a determinare il costo medio per auto, ma molto probabilmente il valore risultante sarà lontano da quello reale.

   • Ad esempio, analizziamo il numero di panini venduti in un bar in 6 giorni, presi in ordine casuale. Il campione ha la seguente forma: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Questo è un campione, non una popolazione, perché non abbiamo dati sui panini venduti per ogni giorno di apertura del bar.
   • Se ti viene fornita una popolazione e non un campione di valori, vai alla sezione successiva.

2. Annotare la formula per calcolare la varianza campionaria. La dispersione è una misura della diffusione dei valori di una certa quantità. Più il valore di dispersione è vicino a zero, più vicini sono raggruppati i valori. Quando si lavora con un campione di valori, utilizzare la seguente formula per calcolare la varianza:

   • s 2 (\ displaystyle s ^ (2)) = ∑[(x io (\ displaystyle x_ (i))-X) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2))] / (n - 1)
   • s 2 (\ displaystyle s ^ (2))è la dispersione. La dispersione è misurata in unità quadrate.
   • x io (\ displaystyle x_ (i))- ogni valore nel campione.
   • x io (\ displaystyle x_ (i)) devi sottrarre x̅, quadrarlo e quindi aggiungere i risultati.
   • x̅ – media campionaria (media campionaria).
   • n è il numero di valori nel campione.

3. Calcola la media campionaria.È indicato come x̅. La media campionaria viene calcolata come una normale media aritmetica: somma tutti i valori nel campione, quindi dividi il risultato per il numero di valori nel campione.

   • Nel nostro esempio, aggiungi i valori nel campione: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Ora dividi il risultato per il numero di valori nel campione (nel nostro esempio ce ne sono 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Media campionaria x̅ = 14.
   • La media campionaria è il valore centrale attorno al quale sono distribuiti i valori nel campione. Se i valori nel campione si raggruppano attorno alla media del campione, la varianza è piccola; in caso contrario, la dispersione è ampia.

4. Sottrarre la media campionaria da ogni valore nel campione. Ora calcola la differenza x io (\ displaystyle x_ (i))- x̅, dove x io (\ displaystyle x_ (i))- ogni valore nel campione. Ciascun risultato indica il grado di deviazione di un determinato valore dalla media campionaria, ovvero quanto dista questo valore dalla media campionaria.

   • Nel nostro esempio:
     x 1 (\ displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\ displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\ displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 (\ displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\ displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\ displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • La correttezza dei risultati ottenuti è facilmente verificabile, poiché la loro somma deve essere uguale a zero. Ciò è correlato alla determinazione del valore medio, poiché i valori negativi (distanze dal valore medio a valori inferiori) sono completamente compensati da valori positivi (distanze dal valore medio a valori maggiori).

5. Come notato sopra, la somma delle differenze x io (\ displaystyle x_ (i))- x̅ deve essere uguale a zero. Ciò significa che la varianza media è sempre zero, il che non dà alcuna idea della diffusione dei valori di alcune grandezze. Per risolvere questo problema, quadra ogni differenza x io (\ displaystyle x_ (i))- X. Ciò ti consentirà di ottenere solo numeri positivi che, una volta sommati, non si sommeranno mai a 0.

   • Nel nostro esempio:
     (x 1 (\ displaystyle x_(1))-X) 2 = 3 2 = 9 (\ displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\ displaystyle (x_(2))-X) 2 = 1 2 = 1 (\ displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Hai trovato il quadrato della differenza - x̅) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) per ogni valore del campione.

6. Calcola la somma delle differenze al quadrato. Cioè, trova la parte della formula scritta in questo modo: ∑[( x io (\ displaystyle x_ (i))-X) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2))]. Qui il segno Σ indica la somma delle differenze al quadrato per ogni valore x io (\ displaystyle x_ (i)) nel campione. Hai già trovato le differenze al quadrato (x io (\ displaystyle (x_(i))-X) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) per ogni valore x io (\ displaystyle x_ (i)) nel campione; ora aggiungi solo questi quadrati.

   • Nel nostro esempio: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Dividi il risultato per n - 1, dove n è il numero di valori nel campione. Qualche tempo fa, per calcolare la varianza campionaria, gli statistici hanno semplicemente diviso il risultato per n; in questo caso, otterrai la media della varianza al quadrato, ideale per descrivere la varianza di un dato campione. Ma ricorda che ogni campione è solo una piccola parte della popolazione generale dei valori. Se prendi un campione diverso e fai gli stessi calcoli, otterrai un risultato diverso. A quanto pare, dividendo per n - 1 (piuttosto che solo per n) si ottiene una stima migliore della varianza della popolazione, che è ciò che stai cercando. Dividere per n - 1 è diventato un luogo comune, quindi è incluso nella formula per il calcolo della varianza campionaria.

   • Nel nostro esempio, il campione include 6 valori, ovvero n = 6.
     Varianza campionaria = s 2 = 166 6 - 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. La differenza tra la varianza e la deviazione standard. Si noti che la formula contiene un esponente, quindi la varianza viene misurata in unità quadrate del valore analizzato. A volte un tale valore è abbastanza difficile da gestire; in questi casi viene utilizzata la deviazione standard, che è uguale alla radice quadrata della varianza. Ecco perché la varianza campionaria è indicata come s 2 (\ displaystyle s ^ (2)), e la deviazione standard campionaria come s (\ displaystyle s).

   • Nel nostro esempio, la deviazione standard campionaria è: s = √33,2 = 5,76.

   Calcolo della varianza della popolazione

   1. Analizza un insieme di valori. Il set comprende tutti i valori della quantità in esame. Ad esempio, se stai studiando l'età dei residenti nella regione di Leningrado, la popolazione include l'età di tutti i residenti di questa regione. Nel caso di lavorare con un aggregato, si consiglia di creare una tabella e di inserirvi i valori dell'aggregato. Considera il seguente esempio:

      • Ci sono 6 acquari in una certa stanza. Ogni acquario contiene il seguente numero di pesci:
        x 1 = 5 (\ displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\ displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\ displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\ displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Annotare la formula per calcolare la varianza della popolazione. Poiché la popolazione include tutti i valori di una certa quantità, la seguente formula consente di ottenere il valore esatto della varianza della popolazione. Per distinguere la varianza della popolazione dalla varianza del campione (che è solo una stima), gli statistici utilizzano varie variabili:

      • σ 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) = (∑(x io (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2))) / n
      • σ 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2))- varianza della popolazione (letta come "sigma al quadrato"). La dispersione è misurata in unità quadrate.
      • x io (\ displaystyle x_ (i))- ogni valore dell'aggregato.
      • Σ è il segno della somma. Cioè, per ogni valore x io (\ displaystyle x_ (i)) sottrarre μ, quadrarlo e quindi sommare i risultati.
      • μ è la media della popolazione.
      • n è il numero di valori nella popolazione generale.

   3. Calcola la media della popolazione. Quando si lavora con la popolazione generale, il suo valore medio è indicato come μ (mu). La media della popolazione viene calcolata come la consueta media aritmetica: sommare tutti i valori nella popolazione, quindi dividere il risultato per il numero di valori nella popolazione.

      • Tieni presente che le medie non vengono sempre calcolate come media aritmetica.
      • Nel nostro esempio, la popolazione significa: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Sottrarre la media della popolazione da ogni valore della popolazione. Più il valore della differenza è vicino a zero, più il valore particolare è vicino alla media della popolazione. Trova la differenza tra ogni valore nella popolazione e la sua media e otterrai una prima occhiata alla distribuzione dei valori.

      • Nel nostro esempio:
        x 1 (\ displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\ displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\ displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\ displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\ displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\ displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Piazza ogni risultato che ottieni. I valori di differenza saranno sia positivi che negativi; se metti questi valori su una linea numerica, mentiranno a destra e a sinistra della media della popolazione. Questo non va bene per calcolare la varianza, poiché i numeri positivi e negativi si annullano a vicenda. Pertanto, quadra ogni differenza per ottenere numeri esclusivamente positivi.

      • Nel nostro esempio:
        (x io (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) per ogni valore di popolazione (da i = 1 a i = 6):
        (-5,5)2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)), dove x n (\ displaystyle x_ (n))è l'ultimo valore della popolazione.
      • Per calcolare il valore medio dei risultati ottenuti, devi trovare la loro somma e dividerla per n: (( x 1 (\ displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) + (x 2 (\ displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2)) + ... + (x n (\ displaystyle x_ (n)) - μ) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2))) / n
      • Ora scriviamo la spiegazione sopra usando le variabili: (∑( x io (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\ stile di visualizzazione ^ (2))) / n e ottenere una formula per calcolare la varianza della popolazione.

Questa è la differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato di una variabile casuale e il quadrato del suo valore di aspettativa.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

La dispersione caratterizza il grado di dispersione del valore di una variabile casuale rispetto al suo tappeto di aspettativa. Se tutti i valori sono strettamente concentrati attorno al suo tappeto di aspettativa e più della deviazione dal tappeto previsto, allora una tale variabile casuale ha una piccola varianza e se sono sparsi e c'è un'alta probabilità di grandi deviazioni da M, allora la variabile casuale ha una grande varianza.

Proprietà:

1.La dispersione è sempre 0 D(C)=0

2. La varianza del prodotto del case value per la costante C è uguale al prodotto della varianza del case value X per il quadrato della costante D(CX)=C^2D(X)

3. Se X e Y sono indipendenti, la varianza della loro somma (differenza) è uguale alla somma delle varianze

D(XY)=D(X)+D(Y)

4. La dispersione del valore case non cambierà se viene aggiunta una costante

Teorema:

La varianza del numero di occorrenze di eventi A in n prove indipendenti in ciascuna delle quali la probabilità di occorrenza di eventi è costante e uguale a p, è uguale al prodotto del numero di prove per la probabilità di occorrenza e la probabilità di mancato verificarsi in una prova

Deviazione standard.

La deviazione quadratica media di una variabile casuale X è la radice aritmetica della varianza

Variabili casuali continue. Funzione di distribuzione di probabilità e sue proprietà.

Viene chiamata una variabile casuale il cui valore riempie un determinato intervallo continuo.

Gli intervalli possono essere finiti, semiinfiniti o infiniti.

Funzione di distribuzione S.

I metodi per impostare DSV non sono applicabili per il continuo. A questo proposito viene introdotto il concetto di funzione di distribuzione di probabilità.

La funzione di distribuzione è chiamata funzione F(x) che determina per ogni valore x la probabilità che il caso sia grande X assumerà un valore minore di x, cioè

Viene determinata la funzione di distribuzione DSV prendendo il valore (x1,x2,x3) con la probabilità (p1,p2,p3)

Quindi, ad esempio, la funzione di distribuzione della distribuzione binomiale è definita dalla formula:

Una variabile casuale si dice continua se la sua funzione di distribuzione è una funzione continua, parzialmente differenziabile con derivata continua.

Proprietà:

1. Il valore della funzione appartiene

2. la funzione di distribuzione è una funzione non decrescente F(x2)

3. La probabilità che la variabile aleatoria X assuma il valore contenuto nell'intervallo (α,β) è pari all'incremento della funzione di distribuzione su tale intervallo P(α

Conseguenza. La probabilità che un casuale assuma un singolo valore è 0.

4. Se tutti i possibili valori del caso del valore X appartengono a (a, b), allora F (x) \u003d 0 per x a e F (x) \u003d 1 per x b

5. La probabilità che il caso del valore X assuma un valore maggiore di x è uguale alla differenza tra l'unità e la funzione di distribuzione

L'aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale X , data su uno spazio di probabilità discreto, è il numero m =M[X]=∑x i p i , se la serie converge in modo assoluto.

Incarico di servizio. Con un servizio online vengono calcolate l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard(vedi esempio). Inoltre, viene tracciato un grafico della funzione di distribuzione F(X).

Proprietà dell'aspettativa matematica di una variabile casuale

1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a se stessa: M[C]=C , C è una costante;
2. M=C M[X]
3. L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche: M=M[X]+M[Y]
4. L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche: M=M[X] M[Y] se X e Y sono indipendenti.

Proprietà di dispersione

1. La dispersione di un valore costante è uguale a zero: D(c)=0.
2. Il fattore costante può essere dedotto da sotto il segno di dispersione al quadrato: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Se le variabili casuali X e Y sono indipendenti, la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Se le variabili casuali X e Y sono dipendenti: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Per la varianza vale la formula di calcolo:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Esempio. Sono note le aspettative matematiche e le varianze di due variabili casuali indipendenti X e Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Trova l'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale Z=9X-8Y+7 .
Decisione. Basato sulle proprietà dell'aspettativa matematica: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
In base alle proprietà di dispersione: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmo per il calcolo dell'aspettativa matematica

Proprietà delle variabili casuali discrete: tutti i loro valori possono essere rinumerati con numeri naturali; Assegna a ogni valore una probabilità diversa da zero.

1. Moltiplica le coppie una per una: x i per p i .
2. Aggiungiamo il prodotto di ciascuna coppia x i p i .
   Ad esempio, per n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Funzione di distribuzione di una variabile casuale discreta gradualmente, aumenta bruscamente in quei punti le cui probabilità sono positive.

Esempio 1.

x io	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

L'aspettativa matematica è trovata dalla formula m = ∑x i p i .
Aspettativa matematica M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
La dispersione si trova con la formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersione D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Deviazione standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Esempio #2. Una variabile casuale discreta ha la seguente serie di distribuzione:

X	-10	-5	0	5	10
R	un	0,32	2un	0,41	0,03

Trova il valore a , l'aspettativa matematica e la deviazione standard di questa variabile casuale.

Decisione. Il valore a è ricavato dalla relazione: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24=3 a , da cui a = 0,08

Esempio #3. Determina la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta se la sua varianza è nota e x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Decisione.
Qui è necessario creare una formula per trovare la varianza d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
dove aspettativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Per i nostri dati
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Di conseguenza, è necessario trovare le radici dell'equazione e ce ne saranno due.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Scegliamo quello che soddisfa la condizione x 1 x3=12

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3

Trasferimento di lezione-assimilazione di nuove conoscenze, abilità e abilità.

Oggetto: Dispersione. Le sue proprietà.

Obiettivi della lezione:

• Cognitivo: 1) trasferimento agli studenti di un certo sistema di conoscenze, abilità matematiche; 2) sviluppare le abilità degli studenti
  risolvere i principali tipi di problemi della teoria della probabilità e applicare la teoria in situazioni specifiche; 3) la formazione di idee sulle idee e sui metodi della matematica superiore; 4) la formazione di metodi di attività educativa e cognitiva negli studenti sul materiale della materia di matematica superiore.
• Sviluppo: 1) sviluppo del pensiero; 2) sviluppo della memoria; 3) sviluppo di elementi di attività creativa come qualità di pensiero; 4) lo sviluppo del discorso, che consiste nel padroneggiare la terminologia matematica, nonché i metodi per costruire definizioni, concetti e operare con essi.
• Educativo: 1) instillare negli studenti l'amore per la professione scelta e per questa materia.

Compito: è determinare le proprietà della dispersione di una variabile casuale e ricavare una formula per il suo calcolo.

Durante le lezioni.

1. Organizzare il tempo.
2. Ripetizione del vecchio e studio del nuovo materiale.
3. Consolidamento di nuovo materiale.
4. Compiti a casa.

1. Verifica degli studenti presenti a lezione.

2. La matematica è la regina di tutte le scienze!
Le navi non volano senza di essa
Non puoi dividere un acro di terra senza di lei,
Non puoi nemmeno comprare il pane, non puoi contare un rublo,
Quello che non sai, ma quando lo sai non capisci!

Insegnante: "Quindi, l'aspettativa matematica non caratterizza completamente la variabile casuale"

Studente 1: "Oh, come mai sono solo una sciocchezza."

Alunno 2: "Sì, hai ragione, stai dicendo la verità."

Studente 1: "Ma chi mi sostituirà improvvisamente, dopotutto, tutti hanno bisogno della mia formula".

Alunno 2: "Sì, prima ti ricordi tutto di te."

Alunno 1: “Nessun problema, ecco le formule, sono note a tutti. E se l'insieme dei valori è infinito, allora l'aspettativa si trova come una serie, o meglio la sua somma:

E, se il valore è improvvisamente continuo, allora abbiamo il diritto di considerare il caso limite, e alla fine cosa otteniamo:

Studente 2: “Ma tutto questo è ridicolo perché l'aspettativa non esiste. Lui non è qui!".

Studente 1: "No, l'aspettativa esiste quando sia l'integrale che la somma sono assolutamente convergenti."

Studente 2: "Eppure continuo a dire una cosa, non dobbiamo aspettare."

Studente 1: “Oh, com'è? Sì, è semplice".

Insegnante: “Fermati, fermati, finiamo la discussione. Prendi una penna e un taccuino e, strada facendo, risolveremo la controversia con te. Ma prima di iniziare, ricordiamo solo una cosa, qual è la deviazione dal valore atteso.

Studente 3: "Oh, me lo ricordo".

Insegnante: "Per favore, ecco la lavagna".

Studente 4: “La differenza X - M(X) è chiamata deviazione della variabile casuale X dalla sua aspettativa matematica M(X). La deviazione è una variabile casuale. Poiché l'aspettativa matematica di una variabile casuale è un valore costante e l'aspettativa matematica di una costante è uguale a questo

costante, quindi M(X - M(X)) = M(X) - M(M(X)) = M (X) - M(X) = 0. m, e, M(X - M(X) )=0.”.

Insegnante: “Sì, è vero, ma amici, questo non può essere preso come misura della dispersione dello scostamento di una variabile aleatoria dal suo valore matematico. E da ciò seguirà che si considerano moduli o quadrati di deviazioni. Ora ascolta la definizione: X di una variabile casuale - dispersione o scattering - è l'aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione. Indicato come D(X), e la formula ha la forma: D(X) = M((X - M(X)) 2). (1) Ora determiniamo quale segno assegneremo al valore?

Studente 5: “Dalle proprietà e definizioni dell'aspettativa matematica, possiamo ricavare solo una cosa, che come valore la varianza è non negativa D(X) > 0” (2).

Insegnante: "Data l'uguaglianza uno, otteniamo la formula per trovare la varianza: D (X) \u003d M (X 2) - (M (X)) 2. Che forse qualcuno dimostrerà.

Studente 6: “Fammi provare. D (X) \u003d M ((X - M (X)) 2) \u003d M (X 2 - 2XM (X) + (M (X)) 2) \u003d M (X 2) - 2M (XM ( X) + M ((M (X)) 2) \u003d M (X 2) - 2M (X) M (X) + (M (X)) 2 \u003d M (X 2) - (M (X) ) 2". ( 3)

Insegnante: “Consideriamo le proprietà di una variabile casuale:

1. Dispersion C - come valore costante è uguale a zero: D (C) - 0 (C - const). (4)

2. Il fattore costante può essere sottratto al segno di dispersione quadrandolo: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. La varianza della differenza di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Dimostriamo queste proprietà tenendo conto delle proprietà di aspettativa:

D (C) \u003d M ((C - M (C)) 2) \u003d M ((C - C 2)) \u003d M (0) \u003d 0. La prima proprietà è dimostrata, significa che la costante non ha lo stesso significato.

Dimostriamo ora la seconda proprietà: D(CX) - M((CX - M(CX)) 2) = M((CX)

CM (X)) 2) \u003d M (C 2 (X - M (X)) 2) \u003d C 2 M ((X - M (X)) 2) \u003d C 2 D (X).

Per dimostrare la terza proprietà, utilizziamo la formula tre:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M( X)) 2 + M(Y 2) - (M(Y)) 2 = D(X) - D(Y).

La terza proprietà si estende a qualsiasi numero di variabili casuali indipendenti a coppie.

La dimostrazione della quarta proprietà segue dalle formule (5) e (6).

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y).

Se la variabile casuale è X è discreta e la sua legge di distribuzione è data Р(Х=х k) = p k (k= 1,2,3,n).

Pertanto, la variabile aleatoria (X - M(X)) 2 ha la seguente legge di distribuzione: (k=1,2,3,n), =l.

Sulla base della definizione di aspettativa matematica, otteniamo la formula

La varianza di una variabile casuale continua X, tutti i possibili valori del core appartengono al segmento [a,b], è determinata dalla formula:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

dove р(х) è la densità di distribuzione di questo valore. La dispersione può essere calcolata con la formula:

Per gli studenti con i voti “4” e “5”, è necessario dimostrare a casa la formula (9).

3. Consolidamento di nuovo materiale sotto forma di lavoro di prova.

1) Lavoro di prova sull'argomento "Dispersione e sue proprietà".

1. Continua la definizione: varianza è.

2. Scegli la formula corretta per calcolare la varianza:

a) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2 ;
b) D(X)=M(X – D(X 2));
c) D(X)=M((X-M(X)) 2);
d) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2 ;