Ecco alcune delle operazioni di base che possono essere eseguite su set fuzzy.

1. Aggiunta insieme sfocato MA indicato da un simbolo e definito come segue:

(5.15)

L'operazione di addizione corrisponde alla negazione logica. Ad esempio, se MAè il nome del set fuzzy, quindi "non A" inteso come (vedi esempio sotto).

2. Consolidamento set sfocati MA e A indicato A+B(o AÈV) ed è determinato :

(5.16)

L'unione corrisponde al connettivo logico " o". Ad esempio, se MA e A sono i nomi degli insiemi fuzzy, quindi la voce " A o B' è inteso come A+B.

tu di più a partire dal .

Commento: va tenuto presente che la connessione logica Ú in questo contesto si intende per definizione max (cioè ); Ù significa min (cioè ).

3. Intersezione A e A sono designati AÇV ed è così definito:

(5.17)

L'intersezione corrisponde al connettivo logico " tu", cioè. .

A e B \u003d AÇB(5.18)

Quando si determina il grado di appartenenza degli elementi tu a un nuovo set sfocato, scegli minore da (vedi commento sopra).

4. Prodotto A e A indicato AB ed è determinato dalla formula

(5.19)

Se (5.20)

Esempio 5.5. Se un

U=1+2+…+10

A=0,8/3+1/5+0,6/6 (5.21)

B=0,7/3+1/4+0,5/6,

Quella ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

A+B=0,8/3+1/4+1/5+0,6/6

АЗВ=0.7/3+0.5/6 (il min è preso da due valori di m)(5.22)

AB=0,56/3+0,3/6

0,4A=0,32/3+0,4/5+0,24/6

5. prodotto cartesiano set sfocati À 1 , …, À n insiemi universali U 1 ,…,U n rispettivamente indicato À 1 ´…´Ð n ed è definito come un sottoinsieme sfocato dell'insieme U 1 ´…´U n con funzione di appartenenza.

Esempio 5.6. Se un

U 1 \u003d U 2 \u003d 3 + 5 + 7

A 1 =0,5/3+1/5+0,6/7

A 2 \u003d 1/3 + 0,6/5, quindi

LA 1 ´LA 2 =0,5/3,3+1/5,3+0,6/7,6+0,5/3,5+0,6/5,5+0,6/7,5

Relazioni sfocate.

relazione sfocata R: X®Yè un insieme sfocato del prodotto cartesiano X'Y. Rè descritto nel modo seguente utilizzando la funzione di appartenenza di due variabili:

(5.25)

Una relazione fuzzy su un insieme X´Y è un insieme di coppie

(5.26)

dove - funzione di appartenenza della relazione fuzzy R, che ha lo stesso significato della funzione di appartenenza all'insieme fuzzy.

In genere n- La relazione ariana è un sottoinsieme sfocato del prodotto cartesiano X 1 ´X 2 ´…´X n, e

(5.27)

Esempi di relazioni sfocate:

« X approssimativamente uguale a Y»,

« X molto più grande Y»,

« MA molto più preferibile A».

Esempio 5.7. Facciamo finta che X=(Yuri, Sergey), Y=(Massimo, Michele).

Quindi la relazione fuzzy binaria di "somiglianza" tra gli elementi degli insiemi X e Y può essere scritta come

somiglianza=0,8/(Yuri, Maxim)+0,6/(Yuri, Mikhail)+0,2/(Sergey, Maxim)+0,9/(Sergey, Mikhail).

Inoltre, questa relazione può essere rappresentata come matrici di relazione.

(5.28)

in cui (i,j)- l'elemento è uguale al valore della funzione for io-esimo valore X e j-esimo valore y.

Se un R- atteggiamento X®Y(o, che è lo stesso, la relazione in X'Y), un S- atteggiamento Y®Z, quindi la composizione R e Sè una relazione sfocata X®Z, indicato R°S e definito dalla formula

dove ° - segno di composizione, segni Ú e Ù denotano rispettivamente max e min, Vy– limite superiore nell'intervallo A.

Ecco (5.29). composizione del rapporto.

L'espressione (5.29) definisce il prodotto maxmin R e S.

Quindi per i numeri reali un e b:

(5.30)

(5.31)

Se un X,Y,Z sono insiemi finiti, quindi la matrice delle relazioni R°Sè il prodotto maxmin delle matrici di relazione R e S. Nel prodotto maxmin delle matrici, invece dell'operazione di addizione e moltiplicazione, vengono utilizzate le operazioni Ú e Ù rispettivamente.

Esempio di prodotto Maxmin

(5.32)

Qui, il numero di righe deve essere uguale al numero di colonne. La riga viene moltiplicata per la colonna e il valore massimo viene ricavato dai valori minimi delle coppie.

3) qualsiasi altro punto sul grafico di una funzione diverso da c ix 0,5, ad esempio, il confine approssimativo della portante (x 0,01) o del nucleo (x 0,99) - il valore del parametro b viene calcolato dai risultati.

3.Operazioni su set fuzzy

Esistono due gruppi di operazioni sugli insiemi fuzzy:

1) teoria degli insiemi operazioni , che sono una generalizzazione delle operazioni della teoria classica degli insiemi al caso degli insiemi fuzzy;

2) operazioni che tengano conto della sfocatura dell'insieme

proprietà che non hanno senso per gli insiemi ordinari.

Nel caso generale, le operazioni di teoria degli insiemi su insiemi fuzzy sono definite in modo tale che, quando applicate agli insiemi crisp, coincidono con le consuete operazioni di teoria degli insiemi classici.

Dalle operazioni del primo gruppo, considera le operazioni di addizione,

incroci, unioni e prodotti cartesiani , dalle operazioni del secondo gruppo: l'operazione esponenziazione.

3.1. Aggiunta

Sia A un insieme fuzzy su un insieme X con una funzione di appartenenza µ A. Il complemento di A è un insieme fuzzy A con una funzione di appartenenza

		(x )= 1− μ A (x ),x X

L'operatore del complemento viene solitamente utilizzato per rappresentare il modificatore NOT logico.

Un esempio di esecuzione di un'operazione di addizione fuzzy è mostrato in Fig. 3.1, da cui si evince che vi sono elementi del dominio di definizione che appartengono sia all'insieme stesso che al suo complemento, mentre tali elementi non appartengono a nessuno di questi insiemi completamente, con grado di appartenenza pari a 1. In altri parole, la logica fuzzy non opera ben noto dalla logica classica il principio di coerenza e la legge del terzo escluso, che è proprio dovuto alla sfocatura dei confini tra il concetto e la sua negazione.

Concetti di base della teoria degli insiemi fuzzy

Riso. 3.1. Un esempio di esecuzione di un'operazione di addizione fuzzy

3.2. Intersezione e unione

Si consideri uno degli approcci più comuni alla definizione di operazioni di intersezione e unione di insiemi fuzzy, talvolta chiamato approccio minimax.

Siano A e B insiemi fuzzy sull'insieme X con funzioni di appartenenza μ A e μ B, rispettivamente. Allora l'intersezione A ∩ B e l'unione A B di questi insiemi sono insiemi fuzzy su X con funzioni di appartenenza, rispettivamente:

utilizzando l'approccio minimax sono mostrati in fig. 3.2.

Riso. 3.2. Esempi di esecuzione di operazioni di intersezione e unione di insiemi fuzzy utilizzando l'approccio minimax

L'operazione di intersezione viene solitamente utilizzata per rappresentare il connettivo logico AND e l'operazione di unione viene utilizzata per rappresentare il connettivo OR.

È facile vedere che se gli insiemi nitidi ordinari sono presi come operandi A e B, allora le operazioni di intersezione e unione definite in questo modo sono ridotte alle loro controparti teoriche degli insiemi classici. Inoltre, queste operazioni hanno le seguenti proprietà:

Concetti di base della teoria degli insiemi fuzzy

	commutatività:
	A ∩ B= B∩ A, A B= B A;
	associatività:
	(LA∩ B) ∩ DO= LA∩ (SI∩ DO) ,
	(AB) C= A(B C) ;
	condizioni di confine:
	A∩=,	A=A
	A ∩ X= A,	AX=X;
	idempotenza:
	LA ∩ LA= LA LA= LA;
	distributività:
	LA ∩ (B C) = (LA ∩ B) (LA ∩ C),

A (B ∩ C) = (AB) ∩ (A C).

L'approccio considerato alla definizione delle operazioni di intersezione e unione fuzzy non è l'unico possibile. Molto spesso viene utilizzato un approccio diverso, secondo il quale:

μ A ∩ B (x )= μ A (x )μ B (x ),x X ,
μ A B (x )= μ A (x )+ μ B (x )− μ A (x )μ B (x ),x X .

Questo approccio è talvolta chiamato probabilistico, poiché le espressioni corrispondenti coincidono nella loro forma con espressioni per determinare le probabilità di incrociare e combinare eventi casuali. Esempi di esecuzione di operazioni di intersezione e unione utilizzando un approccio probabilistico sono mostrati in fig. 3.3.

Riso. 3.3. Esempi di esecuzione di operazioni di intersezione e unione di insiemi fuzzy utilizzando un approccio probabilistico

Per le operazioni di intersezione e unione definite con l'approccio probabilistico restano valide le proprietà di commutatività e associatività, così come le condizioni al contorno

Concetti di base della teoria degli insiemi fuzzy

lovia. Le proprietà di idempotenza e distributività non reggono.

esistono, ma sono validi i loro analoghi meno stringenti:

LA ∩ LA LA, LA LA LA;

LA ∩ (SI DO) (LA ∩ SI) (LA ∩ DO),

LA (LA ∩ C) (LA B) ∩ (LA C).

Gli approcci introdotti alla definizione di intersezione fuzzy e operazioni di unione possono essere considerati casi speciali di un approccio generalizzato basato sull'uso norme e conformi triangolari.

Sia data una funzione di due variabili T (x ,y ) sul dominio × (cioè sul quadrato unitario), assumendo valori sul segmento e soddisfacendo le seguenti condizioni (per tutti i possibili valori di x e y ):

1) commutatività: T(x, y) = T(y, x);

2) monotonia: x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 T(x1 , y1 ) ≤ T(x2 , y2 );

3) associatività: T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z));

4) condizione al contorno: T(x, 1) = T(1, x) = x.

Allo stesso modo, sia data una funzione S ( x , y ) sulla stessa area, assumendo valori su un segmento e per tutti i possibili valori di xey che soddisfino le seguenti condizioni:

1) commutatività: S(x, y) = S(y, x);

2) monotonia : x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 S(x1 , y1 ) ≤ S(x2 , y2 );

3) associatività: S(S(x, y), z) = S(x, S(y, z));

4) condizione al contorno: S(x, 0) = S(0, x) = x.

Quindi viene chiamata la funzione T (x ,y ). norma triangolare o

T-norma, e S(x, y) è un triangolare conorm o S-norma.

Esempi di norme T e norme S sono:

TM (x ,y ) = min(x ,y );	SM (x ,y ) = max(x ,y );
TP (x ,y ) =xy ;	SP (x, y) \u003d x + y -xy;
T L (x, y) \u003d massimo (x + y -1, 0);	S L (x, y) = min(x + y, 1).

Utilizzando le norme T e S, possiamo introdurre la seguente definizione generalizzata delle operazioni di intersezione e unione di insiemi fuzzy:

μ A ∩ B (x )= T (μ A (x ),μ B (x )),x X ,
μ A B (x )= S (μ A (x ),μ B (x )), x X .

dove T è una norma T, S è una norma S.

Operazioni booleane

Inclusione. Lascia stare MA e A- insiemi fuzzy sull'insieme universale e. Dicono che MA contenuto in A, Se

Designazione: MA⊂ A.

Il termine è talvolta usato dominio, quelli. nel caso quando MA⊂ A, dicono che A domina MA.

Uguaglianza. A e B sono uguali se

Designazione: A = B.

Aggiunta. Lascia stare M = , MA e A sono insiemi fuzzy definiti su E.A e A si completano a vicenda se

Designazione:

È ovvio che (aggiunta definita per M= , ma è ovvio che può essere definito per qualsiasi ordinato M).

intersezione. MA⋂ Aè il più grande sottoinsieme fuzzy contenuto simultaneamente in MA e A:

Unione.UN∪Aè il sottoinsieme fuzzy più piccolo che include entrambi MA, Così A, con funzione di appartenenza:

Differenza. con funzione di appartenenza:

Somma disgiunta

MA ⊕ A = (AB) ∪ (BA) = (UN ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅A ⋂ B )

con funzione di appartenenza:

Esempi. Lascia stare

Qui:

1) LA ⊂ A, cioè A è contenuto in B o B domina MA; Insieme a incomparabilmente né con UN, né con A, quelli. coppie ( CORRENTE ALTERNATA) e ( CORRENTE ALTERNATA) sono coppie di insiemi fuzzy non dominati.

2) UN≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 1/X 3 + 0/X 4 ; ̅B = 0,3/X 1 + 0,1/X 2 + 0,9/X 3 +0/X 4 .

4) MA⋂ B = 0,4/X 1 + 0,2/X 2 + 0/X 3 + 1 /X 4 .

5) UN∪ A= 0,7/ x 1+ 0,9/X 2 + 0,1/X 3 + 1/X 4 .

6) A - B= MA⋂̅B = 0,3/X 1 + 0,l/ X 2 + 0/X 3 + 0/X 4 ;

A- A= ̅A⋂ A= 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,l/ X 3 + 0/X 4 .

7) MA⊕ B = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,1/X 3 + 0/X 4 .

Rappresentazione visiva di operazioni logiche su insiemi fuzzy. Per i set fuzzy, puoi costruire una rappresentazione visiva. Considera un sistema di coordinate rettangolare, sull'asse y di cui sono tracciati i valori μA (x), gli elementi sono disposti in ordine casuale sull'asse delle ascisse e(abbiamo già utilizzato tale rappresentazione negli esempi di insiemi fuzzy). Se un eè ordinato per natura, è desiderabile preservare questo ordine nella disposizione degli elementi sull'asse x. Tale rappresentazione rende visive semplici operazioni logiche su insiemi fuzzy (vedi Fig. 1.3).

Riso. 1.3. Interpretazione grafica delle operazioni logiche: α - set sfocato MA; b- set sfocato ̅A, a - MA⋂MA; G- UN∪ MA

Sulla fig. 1.3α la parte ombreggiata corrisponde all'insieme sfocato MA e, per essere precisi, descrive la gamma MA e tutti i set fuzzy contenuti in MA. Sulla fig. 1.3 b, c, g sono dati AA ⋂ ̅ UN, UN u MA.

Proprietà dell'operazione ∪ e ⋂

Lascia stare A, B, C sono insiemi fuzzy, allora valgono le seguenti proprietà:

A differenza dei set nitidi, per i set fuzzy in generale

Astuccio:

UN⋂̅A ≠∅, LA∪ ̅A ≠ E

(che, in particolare, è illustrato sopra nell'esempio di una rappresentazione visiva di insiemi fuzzy).

Commento . Le operazioni di cui sopra sugli insiemi fuzzy si basano sull'uso delle operazioni max e min. Nella teoria degli insiemi fuzzy si sviluppano i problemi di costruzione di operatori generalizzati e parametrizzati di intersezione, unione e complemento, che consentono di prendere in considerazione le varie sfumature semantiche dei corrispondenti connettivi “e”, “o”, “non”.

Un approccio agli operatori di intersezione e unione consiste nel definirli la classe delle norme e delle norme triangolari.

norma triangolare(t-norma) è chiamata funzione reale a due posti T: x → , che soddisfa le seguenti condizioni:

Esempi di norme triangolari

min( µA, b)

lavoro µA· b

massimo(0, µA+ b- 1 ).

conformazione triangolare(t-conformità) è chiamata funzione reale a due posti S: x → con proprietà:

Esempit-conformità

massimo( µA, b)

µA+ b- µA· b

min(1, µA+ b).

Operazioni algebriche su insiemi fuzzy

Prodotto algebrico A e A indicato UN· A ed è così definito:

Somma algebrica di questi insiemi è indicato A+B ed è così definito:

Per le operazioni (-, +) sono soddisfatte le seguenti proprietà:

Non eseguito:

Commento. Quando si utilizzano le operazioni ( U, ⋂, + , ) insieme, vengono soddisfatte le seguenti proprietà:

In base all'operazione del prodotto algebrico, l'operazione è definita esponenziazione α insieme sfocato MA, dove α è un numero positivo insieme sfocato Un αè determinato dalla funzione di appartenenza μ α A = μ α A ( X). Un caso speciale di esponenziazione sono:

1) CON ( MA) = A 2- operazione concentrazione (foche);

2) DIL( MA) = A 0,5- operazione allungamento,

che vengono utilizzati quando si lavora con le incertezze linguistiche (Fig. 1.4).

Riso. 1.4. Illustrazione per il concetto di operazioni di concentrazione (compattazione) e stretching

Moltiplicazione per un numero. Se un α è un numero positivo tale che, quindi il set sfocatoαAha una funzione di appartenenza:

μαA (x) = αμUN(X).

Combinazione convessa di insiemi sfocati. Lascia stare UN 1 , A 2 ,..., MAn- insiemi fuzzy dell'insieme universale E, un ω 1 , ω 2 , …, ωn sono numeri non negativi la cui somma è 1.

combinazione convessa UN 1 , MA 2 , ..., MAn chiamato insieme sfocato MA con funzione di appartenenza:

cartesiano(diretto) prodotto di insiemi fuzzy. Lascia stare UN 1 , MA 2 , ..., MAn- sottoinsiemi fuzzy di insiemi universali E 1, E 2, ..., en rispettivamente. Prodotto cartesiano o diretto MA = A 1 X A 2 x... x MAnè un sottoinsieme sfocato dell'insieme e = E 1 X E 2 x... x en con funzione di appartenenza:

Operatore di aumento della sfocatura viene utilizzato per convertire i set nitidi in set fuzzy e per aumentare la sfocatura di un set fuzzy.

Lascia stare MA- set sfocato, e- set universale e per tutti Xϵ e gli insiemi fuzzy sono definiti K(x). La totalità di tutti K(x)è chiamato il kernel dell'operatore di aumento della sfocatura Ф Il risultato dell'azione dell'operatore Ф sull'insieme fuzzy MAè un insieme sfocato del modulo

dove μ A (x) K (x)è il prodotto di un numero per un insieme fuzzy.

Esempio . Lascia stare

E =(1,2,3,4); A \u003d 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0/3 + 0/4; A(1)= 1/1 + 0,4/2;

A(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; A(3) = 1/3 + 0,5/4; A(4)= 1/4.

Quindi

Chiara serie di livelli α(o livello α). L'insieme di livello α dell'insieme fuzzy MA insieme universale e chiamata chiaro sottoinsieme Un α insieme universale E, definito nella forma

E α ={ X/μ UN(X) ≥ α },

dove α ≤ 1.

Esempio. Lascia stare A = 0,2/X 1 + 0/X 2 + 0,5/X 3 + 1/X 4, quindi UN 0,3 = { X 3 , X 4 } , UN 0,7 = {x 4} .

Una proprietà abbastanza ovvia: se α 1≥ 2, quindi E α1≤ E α2.

Inclusione. Siano A e B insiemi fuzzy su un insieme universale E. Diciamo che A è contenuto in B se "x ОE m A (x) > m B (x). Notazione: A М B.

Uguaglianza. A e B sono uguali se "xОE m A (x) = m B (x). Notazione: A = B.

Aggiunta. Siano M = , A e B insiemi fuzzy definiti su E. A e B si completano a vicenda se
"xОE m A (x) = 1 – m B (x). Notazione: B = o A = . Ovviamente, . (Il complemento è definito per M = , ma ovviamente può essere definito per qualsiasi M ordinato) .

intersezione. A Ç B è il più grande sottoinsieme fuzzy contenuto contemporaneamente in A e B;

m A Ç B(X) = min(m LA ( X), m B ( X)}.

Union.A È B è il sottoinsieme fuzzy più piccolo, inclusi sia A che B, con funzione di appartenenza

m A è B(X) = massimo ((m A ( X), m B ( X)}.

Differenza. MA \ B= A Z con funzione di appartenenza:

m A \ B ( X) = min ( m LA ( X), 1 – m SI ( X)}.

Per esempio.

Sia: A = 0.4/ x 1 È 0.2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

1. A Ì B, cioè A è contenuto in B, C è incomparabile sia con A che con B.

2. A ¹ B ¹ C .

3. = 0,6/ x 1 È 0,8/ x 2 È 1/ x 3 È 0/ x 4 ;
= 0,3/ x 1 È 0,1/ x 2 È 0,9/ x 3 È 0/ x 4 .

Per i set fuzzy, puoi costruire una rappresentazione visiva. Considera un sistema di coordinate rettangolare, sull'asse y di cui sono tracciati i valori m A ( X), gli elementi di E si trovano sull'asse x in un ordine arbitrario (abbiamo già usato tale rappresentazione negli esempi di insiemi fuzzy). Se E è intrinsecamente ordinato, allora è desiderabile preservare questo ordine nella disposizione degli elementi sull'asse x. Tale rappresentazione rende visive semplici operazioni su insiemi fuzzy.

Riso. 1. Fig. 2

Riso. 3. Fig. 4.

Sulla fig. 1, la parte scura corrisponde al fuzzy set A e, per la precisione, rappresenta il range di A e tutti gli insiemi fuzzy contenuti in A. In Fig. Si danno 2 – 4 , LA Ç , LAÈ , rispettivamente.

Proprietà delle operazioni È e Ç.

Siano A, B, C insiemi fuzzy, allora valgono le seguenti relazioni:

un) – commutatività;

b) - associatività;

c) – idempotenza;

G) – distributività;

e) AÆ = A, dove Æ è l'insieme vuoto, cioè m Æ (x) = 0"xÎE;

AÇE = A, dove E è l'insieme universale;

e) – I teoremi di De Morgan.

A differenza degli insiemi nitidi, per gli insiemi fuzzy nel caso generale AÇ Æ, AÈ ¹ E, che, in particolare, è illustrato sopra nell'esempio di una rappresentazione visiva di insiemi fuzzy.

Operazioni algebriche su insiemi fuzzy

Il prodotto algebrico di A e B è indicato con A × B ed è definito come segue:

"xОE m A × B ( X) = m UN ( X)m B ( X).

La somma algebrica di questi insiemi è indicata con A + B ed è definita come segue:

"xОE m LA+В ( X) = m UN ( X) + m B ( X)-m LA ( X)m B ( X).

Per le operazioni (×, +), sono soddisfatte le seguenti proprietà:

· – commutatività;

· - associatività;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E ;

- Le leggi di De Morgan.

Non eseguito:

· – idempotenza;

· – distributività;

e anche A× = Æ, A+ = E.

Dimostriamo la prima legge di De Morgan. Indichiamo m A (x) con a, m B (x) con b. Quindi sul lato sinistro dell'uguaglianza per ogni elemento x abbiamo: 1 - ab, e sulla destra, secondo la formula dell'addizione algebrica: (1 - a) + (1 - b) - (1 - a) (1 - b) = 1 - ab .

Dimostriamo che la prima proprietà di distributività non vale, cioè A×(B + C) ¹ (A×B) + (A×C). Per il lato sinistro abbiamo: a(b+c – bc) = ab + ac - abc; per la destra: ab + ac - (ab) (ac) = ab + ac + a 2 bc. Ciò significa che la distributività non vale per a¹a 2 .

Commento. Quando le operazioni (È, Ç,+,×) vengono utilizzate insieme, valgono le seguenti proprietà:

A×(B È C) = (A×B) È (A × C);

A × (B Ç C) \u003d (A × B) Ç (A × C);

LA+(B È C) = (LA+B) È (LA+C);

LA+ (SI Ç C) = (LA+B) Ç (LA+C).

Prodotto cartesiano di insiemi fuzzy. Siano A 1 , A 2 , ..., A n rispettivamente sottoinsiemi fuzzy di insiemi universali E 1 , E 2 , ..., E n. Prodotto cartesiano A = A 1 ´A 2 ´ ...´A n è un sottoinsieme sfocato dell'insieme E = E 1 ´ E 2 ´ ... ´E n con funzione di appartenenza:

m A ( X 1 ,X 1 , ...,X n) = min( m LA1 ( X 1), m A2 ( X 2) , ... , m Ai ( X n) ).

Principio di generalizzazione

Il principio di generalizzazione, una delle idee principali della teoria degli insiemi fuzzy, è di natura euristica e viene utilizzato per espandere l'ambito degli insiemi fuzzy alle mappature. Diremo che esiste una funzione fuzzy f definita sull'insieme X con un valore nell'insieme Y, se assegna ad ogni elemento xОX un elemento yОY con grado di appartenenza m f (x,y). Una funzione fuzzy f definisce una mappatura fuzzy f : X Y.

Il principio di generalizzazione è che per un dato crisp f: X®Y o fuzzy f : X Mappatura Y per qualsiasi insieme fuzzy A definito su X, viene definito un insieme fuzzy f(A) su Y, che è l'immagine di A.

Sia f: X®Y una data mappatura nitida, e A = (m A (x)/х) sia un insieme fuzzy in X. Allora l'immagine di A sotto la mappatura f è un insieme fuzzy f(A) su Y con funzione di appartenenza:

m f(A) (y) = ; yОY,

dove f –1 (y)=(x | f(x) = y).

Nel caso di una mappatura fuzzy f : X Y, quando per ogni xОX e yОY è definita la funzione di appartenenza a due posti m f (x, y), l'immagine dell'insieme fuzzy A definito su X è l'insieme fuzzy f( UN) sul Y con funzione di appartenenza m f (A) (y) = ( min(m A (x), m f (x, y) ).

DOMANDE E COMPITI DI CONTROLLO

1. Sia: LA = 0.4/ x 1 È 0.2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

B = 0,7/ x 1 È 0,9/ x 2 È 0,1/ x 3 È1/ x 4 ;
C = 0,1/ x 1 È 1/ x 2 È 0,2/ x 3 È 0,9/ x 4 .

Insiemi di costrutti: a) AÇB;

taxi; B\A.

2. Per l'insieme universale E = (Zaporozhets, Zhiguli, Mercedes, Ferrari), costruire gli insiemi fuzzy utilizzando un metodo diretto: a) quelli “ad alta velocità”;

b) “media”;

c) "tranquillo".

3. Sia E = (1, 2, 3, ..., 100) e corrisponda al concetto di “età”. Metodo diretto per costruire insiemi fuzzy

a) "anziani";

b) "è ora di sposarsi";

c) "coscritto"

e costruire una formula di approssimazione per le corrispondenti funzioni di appartenenza.

4. Nelle condizioni del problema 2, costruisci insiemi fuzzy a) - c) con un metodo indiretto basato su confronti appaiati di elementi E.

CAPITOLO 2. RELAZIONI BINARIE

E SELEZIONA FUNZIONE

Lezione numero 4. Operazioni con set fuzzy

La definizione di operazioni eseguite con insiemi fuzzy è per molti aspetti simile alle operazioni con insiemi ordinari (clear).

Equivalenza. Due set sfocati MA e A sono equivalenti (questo
indicato come ) se e solo se per tutto quello che abbiamo .

Riso. 2.4. Operazioni con set fuzzy

Inclusione. insieme sfocato MA contenuto nel set fuzzy A() se e solo se

Unione, o disgiunzione(disgiunzione), due insiemi fuzzy A e B corrispondono all'operazione logica " O" ed è definito come il più piccolo insieme fuzzy contenente entrambi gli insiemi A e B. La funzione di appartenenza a questo insieme si trova usando l'operazione di prendere massimo(Fig. 2.4, b)

intersezione, o congiunzione(congiunzione), corrisponde all'operazione logica " E" ed è definito come il più grande insieme fuzzy che è contemporaneamente un sottoinsieme di entrambi gli insiemi.

La funzione di appartenenza di un insieme è espressa mediante l'operazione di ricerca minimo(Fig. 2.4, c)

Aggiunta(complemento) set sfocato MA, indicato da (o ¯| A), corrisponde alla negazione logica " NON"ed è determinato dalla formula (Fig. 2.4, d)

È facile notare che in relazione ai classici insiemi "clear", per i quali le funzioni di appartenenza assumono solo 2 valori: 0 o 1, le formule definiscono le ben note operazioni delle logiche "OR", "AND", " NON".

Diamo le definizioni di altre due operazioni abbastanza comuni sugli insiemi fuzzy: il prodotto algebrico e la somma algebrica degli insiemi fuzzy.

Prodotto algebrico AB set sfocati MA e Aè definito come segue:

Somma algebrica:

Oltre a quanto sopra, ci sono altre operazioni utili quando si lavora con variabili linguistiche.

Operazione concentrazione(concentrazione) CON(A) è definito come il prodotto algebrico di un insieme fuzzy MA su te stesso: quelli.

Come risultato dell'applicazione di questa operazione al set MA il grado di appartenenza degli elementi diminuisce X questo insieme, e se , allora questa diminuzione è relativamente piccola e per elementi con un basso grado di appartenenza, è relativamente grande. Nel linguaggio naturale, l'applicazione di questa operazione all'uno o all'altro valore della variabile linguistica A corrisponde all'uso del termine amplificativo "molto" (ad esempio, "molto alto", "molto vecchio", ecc.).

Operazione distorsioni(dilatazione) DIL(A) è definito come

DIL(A)= UN 0,5, dove

L'azione di questa operazione è opposta a quella dell'operazione di concentrazione e corrisponde al termine indefinito "abbastanza", che svolge la funzione di indebolire il successivo termine (di base) MA: "piuttosto alto", "piuttosto vecchio", ecc.

È possibile introdurre altre operazioni simili nel significato, che consentono di modificare i valori di una variabile linguistica, aumentandone così il numero. Pertanto, il termine "più di" può essere definito come segue:

termine composto "molto molto":

Si consideri l'applicazione di queste operazioni al seguente esempio illustrativo. Sia la variabile X caratterizza "l'età di una persona", X- intervallo. Quindi i sottoinsiemi fuzzy descritti dai termini "giovane" e "vecchio" possono essere rappresentati utilizzando la funzione di appartenenza (Fig. 2.5).