Contenuti L'argomento della modellazione matematica. Nozioni di base sulla modellazione. Il concetto di modello. Il principio della modellazione. La modellazione come metodo di conoscenza scientifica. Fasi della modellazione. Caratteristica 1 - 2 stadi. Fasi della modellazione. Caratteristica 3 - 4 stadi. Classificazione dei modelli. Revisione generale. Classificazione dei modelli economici e matematici. Fasi della modellizzazione economica e matematica. Modello matematico. Programmazione lineare. Enunciato il problema della programmazione lineare. Interpretazione geometrica e soluzione grafica di un problema di programmazione lineare. metodo simplex. Costruzione del piano di base iniziale. Tabelle Simplex. Segno dell'ottimalità del piano di base. Il concetto di dualità. Costruzione di problemi duali e loro proprietà. compito di trasporto. Costruzione del piano di base iniziale. compito di trasporto. Metodo dei potenziali.

Contenuti Concetti e definizioni di base della teoria dei grafi. L'ordinamento degli elementi di un digrafo. Algoritmo di Fulkerson. Risolvere problemi sulla ricerca dei percorsi più brevi in ​​un grafo. Il problema della portata massima e sue applicazioni. Problema di trasporto in un'impostazione di rete. Elementi di pianificazione della rete. Principi di programmazione dinamica, procedura computazionale del metodo. Metodo Montecarlo. L'essenza del metodo. Risoluzione dei problemi con il metodo Monte Carlo. Elementi di teoria dei giochi di matrici. Giochi di matrici a somma zero accoppiati. Metodi per risolvere i giochi di matrici. Giochi con la natura. Criteri per il processo decisionale. Pacchetto Maple 7. Panoramica del pacchetto. Le sue possibilità. Interfaccia del programma, lavora con i comandi. Utilizzo di variabili. Lavorare con le tabelle.

L'argomento della modellazione matematica. Nozioni di base sulla modellazione La modellazione matematica è lo studio di fenomeni, processi, sistemi o oggetti costruendo e studiando i loro modelli e utilizzando questi ultimi per determinare o perfezionare le caratteristiche e le modalità razionali di costruzione di processi, sistemi e oggetti tecnologici di nuova costruzione. Un modello matematico è un'astrazione del mondo reale, in cui le relazioni tra elementi reali di interesse per il ricercatore sono sostituite da appropriate relazioni tra categorie matematiche. Queste relazioni, di regola, sono presentate sotto forma di equazioni e (o) disuguaglianze che caratterizzano il funzionamento del sistema reale simulato. L'arte di costruire modelli matematici consiste nel combinare la massima brevità possibile nella sua descrizione matematica con una sufficiente accuratezza nella riproduzione del modello proprio di quegli aspetti della realtà analizzata che interessano il ricercatore. Menu Modeling è un processo creativo che richiede una seria preparazione ed elaborazione di una grande quantità di informazioni, combina laboriosità e principi euristici ed è di natura probabilistica.

Il concetto di modello. La modellazione come metodo di conoscenza scientifica Un modello è una somiglianza semplificata di un oggetto, fenomeno o processo reale. Un modello è un oggetto materiale o rappresentato mentalmente che sostituisce l'oggetto originale ai fini del suo studio, pur mantenendo alcune delle caratteristiche e proprietà tipiche dell'originale che sono importanti per questo studio. Un modello ben costruito, di regola, è più accessibile per la ricerca di un oggetto reale (ad esempio, l'economia di un paese, il sistema solare, ecc.). Un altro, non meno importante scopo del modello è che aiuta a identificare i fattori più significativi che formano determinate proprietà dell'oggetto. Il modello permette anche di imparare a controllare un oggetto, cosa importante nei casi in cui sperimentare con un oggetto è scomodo, difficile o impossibile (ad esempio quando l'esperimento ha una lunga durata o quando c'è il rischio di portare l'oggetto in uno stato indesiderabile o irreversibile). Pertanto, possiamo concludere che un modello è necessario per: capire come è organizzato un particolare oggetto - quali sono la sua struttura, le proprietà di base, le leggi di sviluppo e di interazione con il mondo esterno; imparare a gestire un oggetto o un processo e determinare i migliori metodi di gestione per determinati obiettivi e criteri (ottimizzazione); Menu per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione dei metodi e delle forme di impatto specificati sull'oggetto, processo.

Fasi della modellazione Caratteristiche della fase 1 Fase I. Enunciazione del problema Un problema nel senso più generale è inteso come un certo problema che deve essere risolto. La cosa principale è determinare l'oggetto della modellazione e capire quale dovrebbe essere il risultato. A seconda della natura della formulazione, tutti i compiti possono essere suddivisi in due gruppi principali. Il primo gruppo include compiti in cui è necessario indagare su come cambiano le caratteristiche di un oggetto con un certo impatto su di esso. Una tale affermazione del problema è di solito chiamata "cosa accadrà se...". Il secondo gruppo di compiti ha la seguente formulazione generalizzata: quale impatto dovrebbe avere sull'oggetto in modo che i suoi parametri soddisfino una determinata condizione? Questa affermazione del problema è spesso indicata come "come fare in modo che . . .". Gli obiettivi della modellazione sono determinati dai parametri di progettazione del modello. Molto spesso, questa è una ricerca di una risposta alla domanda posta nella formulazione del problema. Quindi procedere alla descrizione dell'oggetto o del processo. In questa fase vengono identificati i fattori da cui dipende il comportamento del modello. Durante la modellazione nei fogli di calcolo, possono essere presi in considerazione solo quei parametri che hanno caratteristiche quantitative. A volte il compito può essere già formulato in forma semplificata, e definisce chiaramente gli obiettivi e definisce i parametri del modello che devono essere presi in considerazione. Quando si analizza un oggetto, è necessario rispondere alla seguente domanda: l'oggetto o il processo in esame può essere considerato come un tutto unico, oppure è un sistema costituito da oggetti più semplici? Se si tratta di un tutto unico, è possibile procedere alla creazione di un modello informativo. Se il sistema è - è necessario procedere all'analisi degli oggetti che lo compongono, per determinare le connessioni tra di loro. Menù

Fasi della modellazione Caratteristiche Fase 2 Fase II. Sviluppo del modello Sulla base dei risultati dell'analisi dell'oggetto, viene compilato un modello informativo. Descrive in dettaglio tutte le proprietà dell'oggetto, i suoi parametri, le azioni e le relazioni. Inoltre, il modello informativo dovrebbe essere espresso in una delle forme dei segni. Considerando che lavoreremo in un ambiente di foglio elettronico, il modello informativo deve essere convertito in un modello matematico. Sulla base delle informazioni e dei modelli matematici, viene compilato un modello informatico sotto forma di tabelle, in cui si distinguono tre aree di dati: dati iniziali, calcoli intermedi, risultati. I dati iniziali vengono inseriti "manualmente". I calcoli, sia intermedi che finali, vengono effettuati secondo formule registrate secondo le regole dei fogli di calcolo. Menù

Fasi di modellazione Caratteristica 3 stadi III stadio. Esperimento al computer Per dare vita a nuovi sviluppi progettuali, per introdurre nuove soluzioni tecniche in produzione, o per testare nuove idee, è necessaria una sperimentazione. Nel recente passato, tale esperimento poteva essere effettuato sia in condizioni di laboratorio su installazioni appositamente realizzate, sia in natura, cioè su un campione reale del prodotto, sottoponendolo ad ogni sorta di test. Ciò richiede un sacco di soldi e tempo. Le simulazioni al computer sono venute in soccorso. Quando si esegue un esperimento al computer, viene verificata la correttezza dei modelli di costruzione. Il comportamento del modello è studiato per vari parametri dell'oggetto. Ogni esperimento è accompagnato da una comprensione dei risultati. Se i risultati di un esperimento al computer contraddicono il significato del problema da risolvere, allora l'errore deve essere ricercato in un modello scelto in modo errato o nell'algoritmo e nel metodo per risolverlo. Dopo aver identificato ed eliminato gli errori, l'esperimento al computer viene ripetuto. Menù

Fasi di modellazione Caratteristiche 4 stadi Stadio IV. Analisi dei risultati della simulazione La fase finale della simulazione è l'analisi del modello. Sulla base dei dati calcolati ottenuti, viene verificato in che misura i calcoli corrispondono ai nostri obiettivi di comprensione e modellazione. In questa fase vengono formulate raccomandazioni per migliorare il modello adottato e, se possibile, l'oggetto o il processo. Menù

Classificazione dei modelli Classificazione per area di utilizzo Educational: ausili visivi, simulatori vari, programmi di formazione. Esperto: copie ridotte o ingrandite dell'oggetto oggetto di studio per ulteriori studi (modelli di nave, auto, aereo, centrale idroelettrica). Vengono creati modelli scientifici e tecnici per lo studio di processi e fenomeni (un supporto per testare i televisori; un sincrotrone - un acceleratore di elettroni, ecc.). Gaming: giochi militari, economici, sportivi, aziendali. Simulazione: riflettere la realtà con vari gradi di accuratezza (test di un nuovo farmaco in una serie di esperimenti sui topi; esperimenti per introdurre una nuova tecnologia nella produzione). Classificazione che tiene conto del fattore tempo Un modello statico è un modello di un oggetto in un dato momento. Il modello dinamico consente di vedere come cambia un oggetto nel tempo. Menù

Classificazione dei modelli Classificazione per rappresentazione Un modello materiale è una somiglianza fisica di un oggetto. Riproducono le proprietà geometriche e fisiche dell'originale (uccelli impagliati, manichini di animali, organi interni del corpo umano, mappe geografiche e storiche, un diagramma del sistema solare). Un modello informativo è una raccolta di informazioni che caratterizza le proprietà e gli stati di un oggetto, processo, fenomeno, nonché la relazione con il mondo esterno. Qualsiasi modello informativo contiene solo informazioni essenziali sull'oggetto, tenendo conto dello scopo per cui è stato creato. I modelli informativi dello stesso oggetto, progettati per scopi diversi, possono essere completamente diversi. Modello verbale: un modello informativo in forma mentale o conversazionale. Un modello di segni è un modello informativo espresso da segni speciali, cioè attraverso un qualsiasi linguaggio formale. I modelli simbolici sono disegni, testi, grafici, diagrammi, tabelle, ecc. Il modello al computer è un modello implementato per mezzo di un ambiente software. Prima di costruire un modello di un oggetto (fenomeno, processo), è necessario individuarne gli elementi costitutivi e le connessioni tra di essi (per condurre un'analisi del sistema) e "tradurre" la struttura risultante in una forma predeterminata - per formalizzare l'informazione . Menu La formalizzazione è il processo di evidenziare e tradurre la struttura interna di un oggetto, fenomeno o processo in una specifica struttura informativa - una forma.

Classificazione dei modelli economici e matematici I modelli economici e matematici sono modelli di processi economici controllati e regolamentati utilizzati per trasformare la realtà economica. L'adeguatezza dei modelli agli oggetti di modellazione è determinata dalla coincidenza dei risultati dello studio con i fatti osservati. Pratica in questo caso significa realtà. I modelli economici e matematici, a seconda delle finalità previste, sono teorici e analitici I modelli economici e matematici applicati sono suddivisi in modelli dell'intera economia nazionale e dei suoi sottosistemi (industrie, regioni, ecc.) I modelli sono funzionali e strutturali. I modelli sono descrittivi e normativi. I modelli deskreptive rispondono alla domanda, come avviene e come può svilupparsi ulteriormente? I modelli normativi rispondono alla domanda come dovrebbe essere? Cioè, assumono un'attività intenzionale. Esistono modelli e modelli strettamente deterministici che tengono conto della casualità e dell'incertezza. I modelli sono statici o dinamici. In base alla durata del periodo considerato, si distinguono modelli di previsione e pianificazione a breve (1-5 anni) ea lungo termine (10-15 anni o più). Il tempo stesso in tali modelli può cambiare continuamente o discretamente. I modelli di menu possono essere lineari o non lineari.

Fasi della modellazione economica e matematica. Enunciato del problema economico e sua analisi. La cosa principale è determinare la natura del problema, le ipotesi formulate e le domande a cui è necessario rispondere. La fase prevede l'evidenziazione delle caratteristiche e delle proprietà più importanti dell'oggetto, astraendo da quelle minori. Formazione di ipotesi, se richieste, che spieghino il comportamento e lo sviluppo dell'oggetto. Costruzione di un modello matematico. La fase di formalizzazione del problema economico. È sbagliato presumere che più fatti un modello prende in considerazione, meglio è. Modificare la complessità e l'ingombro del modello complica il processo di ricerca. È necessario tenere conto delle reali possibilità di informazione e supporto matematico. È necessario confrontare i costi della modellazione con l'effetto ottenuto. Una delle caratteristiche più importanti del modello matematico è la potenziale possibilità di utilizzarli per risolvere vari problemi. Menù

Fasi della modellazione economica e matematica. Analisi matematica del modello. Lo scopo di questa fase è chiarire le proprietà generali del modello. Un punto importante è la prova dell'esistenza di una soluzione. Preparazione delle informazioni iniziali È necessario tenere conto dei tempi di raccolta delle informazioni necessarie, per tenere conto dei costi di preparazione delle informazioni. Nel processo di preparazione sono ampiamente utilizzati metodi di teoria della probabilità, statistica teorica e matematica. Soluzione numerica. Sviluppo di algoritmi per la soluzione numerica del problema, compilazione di programmi per computer ed esecuzione diretta di calcoli. La difficoltà in questa fase è creata dalla grande dimensione dei problemi economici e dalla necessità di elaborare quantità significative di informazioni. Menu Analisi dei risultati numerici e loro applicazione. In questa fase, sorge la domanda sulla correttezza e completezza dei risultati della simulazione, sul grado della loro applicabilità pratica.

Programmazione lineare. Questa è una sezione della modellazione matematica, le cui dipendenze sono lineari. Il modello matematico di qualsiasi problema di programmazione lineare ha la forma Z= max(min) Menu Condizioni di non negatività Xj ≥ 0

Esempio: nella fabbricazione dei prodotti u 1 e u 2, vengono utilizzate macchine per tornitura e fresatura, nonché acciaio e metalli non ferrosi, secondo standard tecnologici per la produzione di un'unità di prodotto u 1, 300 e 200 unità di attrezzature per tornitura e fresatura (in ore) sono necessarie rispettivamente 10 e 20 unità di acciaio e metalli non ferrosi (in kg.). per la produzione del prodotto sono necessarie rispettivamente 2, 400, 100, 70, 50 unità delle stesse risorse. L'officina ha 12400 e 6800 ore, 640 e 840 kg. Materiale. Utile dalla vendita di un'unità di prodotto u 1=6000 den. unità , u 2=16000 den. unità Richiesto: inserire i dati di origine in una tabella comoda per la creazione di un modello. Crea un modello matematico del problema. Determinare il piano per la produzione dei prodotti, garantire il massimo profitto, a condizione che il tempo di funzionamento delle fresatrici debba essere utilizzato completamente.

Soluzione: Sia x1 - il numero di prodotti u 1 e x2 - il numero di prodotti u 2, z - il profitto totale.

Programmazione lineare. Questa è una forma di notazione generale o derivata. Le variabili Xj che soddisfano il sistema dei vincoli e la condizione di non negatività sono dette ammissibili. Le variabili valide che trasformano la funzione obiettivo in max o min sono dette ottimali. I metodi per risolvere tali problemi sono divisi in universali e speciali. Qualsiasi PLP è risolto con un metodo universale. Metodi speciali tengono conto delle caratteristiche del modello. Una caratteristica dell'LLP è che la funzione obiettivo raggiunge max (min) al confine della regione di soluzioni ammissibili. Le ZLP comprendono: il problema della scelta delle tecnologie ottimali; problema della miscela; il compito di tagliare il materiale; compito di trasporto; Attività di menu sul miglior uso delle risorse; il compito di effettuare un ordine;

Enunciato del problema della programmazione lineare Qualsiasi LPP viene scritto utilizzando un modello matematico. Ci sono 3 forme di scrittura ZLP Menu Generale (arbitrario)

Enunciato del problema della programmazione lineare Tutte queste forme sono equivalenti. Per passare da max a min (o viceversa), è necessario modificare i segni di ogni termine nella notazione della funzione obiettivo. Per trasformare una disuguaglianza della forma in una disuguaglianza della forma (e viceversa), è necessario moltiplicare entrambe le parti della disuguaglianza per -1. Menu Canonico (principale) Per trasformare la disuguaglianza in uguaglianza (e viceversa), è necessario aggiungere o sottrarre un'ulteriore variabile non negativa dal lato sinistro, chiamata variabile di equilibrio. Quando si scrive la funzione obiettivo, ha un coefficiente =0.

La soluzione di problemi pratici con metodi matematici viene eseguita in modo coerente formulando il problema (sviluppo di un modello matematico), scegliendo un metodo per studiare il modello matematico ottenuto, analizzando il risultato matematico ottenuto. La formulazione matematica del problema viene solitamente presentata sotto forma di immagini geometriche, funzioni, sistemi di equazioni, ecc. La descrizione di un oggetto (fenomeno) può essere rappresentata utilizzando forme matematiche continue o discrete, deterministiche o stocastiche e altre.

La teoria della modellazione matematica garantisce l'identificazione degli schemi del flusso di vari fenomeni del mondo circostante o il funzionamento di sistemi e dispositivi mediante la loro descrizione matematica e modellazione senza prove sul campo. In questo caso vengono utilizzate le disposizioni e le leggi della matematica che descrivono i fenomeni, i sistemi o i dispositivi simulati a un certo livello della loro idealizzazione.

Un modello matematico (MM) è una descrizione formalizzata di un sistema (o di un'operazione) in un linguaggio astratto, ad esempio sotto forma di un insieme di relazioni matematiche o di uno schema di algoritmo, cioè una tale descrizione matematica che fornisce un'imitazione del funzionamento di sistemi o dispositivi a un livello sufficientemente vicino al loro comportamento effettivo ottenuto durante i test su vasta scala di sistemi o dispositivi. Qualsiasi MM descrive un oggetto, un fenomeno o un processo reale con un certo grado di approssimazione alla realtà. Il tipo di MM dipende sia dalla natura dell'oggetto reale che dagli obiettivi dello studio.

La modellazione matematica di fenomeni sociali, economici, biologici e fisici, oggetti, sistemi e dispositivi vari è uno dei mezzi più importanti per comprendere la natura e progettare un'ampia varietà di sistemi e dispositivi. Sono noti esempi dell'uso efficace della modellizzazione nella creazione di tecnologie nucleari, sistemi aeronautici e aerospaziali, nella previsione di fenomeni atmosferici e oceanici, meteorologici, ecc.

Tuttavia, aree di modellazione così serie richiedono spesso supercomputer e anni di lavoro da parte di grandi team di scienziati per preparare i dati per la modellazione e il relativo debug. Tuttavia, in questo caso, la modellazione matematica di sistemi e dispositivi complessi non solo consente di risparmiare denaro per la ricerca e i test, ma può anche eliminare i disastri ambientali, ad esempio consente di abbandonare i test di armi nucleari e termonucleari a favore della sua modellazione matematica o testare i sistemi aerospaziali prima dei loro voli effettivi.

Nel frattempo, la modellazione matematica a livello di risoluzione di problemi più semplici, ad esempio dal campo della meccanica, dell'ingegneria elettrica, dell'elettronica, dell'ingegneria radio e di molte altre aree della scienza e della tecnologia, è ora disponibile per essere eseguita su PC moderni. E quando si utilizzano modelli generalizzati, diventa possibile modellare sistemi piuttosto complessi, ad esempio sistemi e reti di telecomunicazioni, radar o sistemi di radionavigazione.

Lo scopo della modellazione matematica è l'analisi di processi reali (in natura o in tecnologia) mediante metodi matematici. A sua volta, ciò richiede lo studio della formalizzazione del processo di MM. Il modello può essere un'espressione matematica contenente variabili il cui comportamento è simile a quello di un sistema reale. Il modello può includere elementi di casualità che tengono conto delle probabilità di azioni possibili di due o più "giocatori", come, ad esempio, nella teoria dei giochi; oppure può rappresentare le variabili reali delle parti interconnesse del sistema operativo.

La modellazione matematica per lo studio delle caratteristiche dei sistemi può essere suddivisa in analitica, simulazione e combinata. A loro volta, i MM si dividono in simulazione e analisi.

Il concetto di modello e simulazione.

Modello in senso lato- si tratta di qualsiasi immagine, analogo di un'immagine mentale o stabilita, descrizione, diagramma, disegno, mappa, ecc. di qualsiasi volume, processo o fenomeno, utilizzato come suo sostituto o rappresentante. L'oggetto, il processo o il fenomeno stesso è chiamato l'originale di questo modello.

Modellazione - questo è lo studio di qualsiasi oggetto o sistema di oggetti costruendo e studiandone i modelli. Questo è l'uso di modelli per determinare o affinare le caratteristiche e razionalizzare le modalità di costruzione di oggetti di nuova costruzione.

Qualsiasi metodo di ricerca scientifica si basa sull'idea di modellizzazione, mentre i metodi teorici utilizzano vari tipi di modelli simbolici e astratti, mentre i metodi sperimentali utilizzano modelli soggetto.

Nello studio di un fenomeno reale complesso, viene sostituito da una copia o uno schema semplificato, a volte tale copia serve solo a ricordare e al prossimo incontro per scoprire il fenomeno desiderato. A volte lo schema costruito riflette alcune caratteristiche essenziali, consente di comprendere il meccanismo del fenomeno, consente di prevederne il cambiamento. Modelli diversi possono corrispondere allo stesso fenomeno.

Il compito del ricercatore è prevedere la natura del fenomeno e il corso del processo.

A volte capita che un oggetto sia disponibile, ma gli esperimenti con esso sono costosi o portano a gravi conseguenze ambientali. La conoscenza di tali processi si ottiene con l'aiuto di modelli.

Un punto importante è che la natura stessa della scienza implica lo studio non di un fenomeno specifico, ma di un'ampia classe di fenomeni correlati. Implica la necessità di formulare alcune affermazioni categoriali generali, che prendono il nome di leggi. Naturalmente, con una tale formulazione, molti dettagli vengono trascurati. Al fine di identificare più chiaramente lo schema, vanno deliberatamente per grossolanamento, idealizzazione, schematicità, cioè studiano non il fenomeno in sé, ma una sua copia o modello più o meno esatto. Tutte le leggi sono leggi sui modelli, e quindi non sorprende che, nel tempo, alcune teorie scientifiche si trovino inutilizzabili. Questo non porta al collasso della scienza, dal momento che un modello è stato sostituito da un altro. più moderno.

Un ruolo speciale nella scienza è svolto dai modelli matematici, dal materiale da costruzione e dagli strumenti di questi modelli: concetti matematici. Si sono accumulati e migliorati nel corso di migliaia di anni. La matematica moderna fornisce mezzi di ricerca eccezionalmente potenti e universali. Quasi ogni concetto in matematica, ogni oggetto matematico, a partire dal concetto di numero, è un modello matematico. Nella costruzione di un modello matematico di un oggetto o di un fenomeno oggetto di studio, vengono individuati quelli delle sue caratteristiche, caratteristiche e dettagli che, da un lato, contengono informazioni più o meno complete sull'oggetto e, dall'altro, consentono formalizzazione matematica. La formalizzazione matematica significa che le caratteristiche ei dettagli di un oggetto possono essere associati ad appropriati concetti matematici adeguati: numeri, funzioni, matrici e così via. Quindi le connessioni e le relazioni trovate e assunte nell'oggetto in studio tra le sue singole parti e componenti possono essere scritte utilizzando relazioni matematiche: uguaglianze, disuguaglianze, equazioni. Il risultato è una descrizione matematica del processo o del fenomeno oggetto di studio, ovvero il suo modello matematico.

Lo studio di un modello matematico è sempre associato ad alcune regole di azione sugli oggetti oggetto di studio. Queste regole riflettono le relazioni tra cause ed effetti.

La costruzione di un modello matematico è una fase centrale nello studio o nella progettazione di qualsiasi sistema. L'intera successiva analisi dell'oggetto dipende dalla qualità del modello. Costruire un modello non è una procedura formale. Dipende fortemente dal ricercatore, dalla sua esperienza e dal suo gusto, si affida sempre a determinati materiali sperimentali. Il modello dovrebbe essere sufficientemente accurato, adeguato e conveniente per l'uso.

Modellazione matematica.

Classificazione dei modelli matematici.

I modelli matematici possono esseredeterminato e Stocastico .

Deterministico modello e - si tratta di modelli in cui si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le variabili che descrivono un oggetto o un fenomeno.

Questo approccio si basa sulla conoscenza del meccanismo di funzionamento degli oggetti. L'oggetto modellato è spesso complesso e decifrarne il meccanismo può essere molto laborioso e dispendioso in termini di tempo. In questo caso si procede come segue: si effettuano esperimenti sull'originale, si elaborano i risultati e, senza approfondire il meccanismo e la teoria dell'oggetto modellato, utilizzando i metodi della statistica matematica e della teoria della probabilità, si stabiliscono relazioni tra le variabili che descrivono l'oggetto. In questo caso, prendiStocastico modello . V Stocastico modello, la relazione tra le variabili è casuale, a volte accade fondamentalmente. L'impatto di un numero enorme di fattori, la loro combinazione porta a un insieme casuale di variabili che descrivono un oggetto o un fenomeno. Per la natura dei modi, il modello èstatistico e dinamico.

Statisticomodelloinclude una descrizione delle relazioni tra le principali variabili dell'oggetto simulato allo stato stazionario senza tener conto della variazione dei parametri nel tempo.

V dinamicoModellidescrive la relazione tra le principali variabili dell'oggetto simulato nel passaggio da una modalità all'altra.

I modelli sono discreto e continuo, così come misto genere. V continuo le variabili prendono valori da un certo intervallo, indiscretole variabili assumono valori isolati.

Modelli lineari- tutte le funzioni e le relazioni che descrivono il modello sono linearmente dipendenti dalle variabili enon linearealtrimenti.

Modellazione matematica.

Requisiti , presentata ai modelli.

1. Versatilità- caratterizza la completezza della visualizzazione dal modello delle proprietà studiate dell'oggetto reale.

1. Adeguatezza: la capacità di riflettere le proprietà desiderate dell'oggetto con un errore non superiore a quello specificato.
2. Precisione - è stimata dal grado di coincidenza dei valori delle caratteristiche di un oggetto reale e dai valori di queste caratteristiche ottenuti utilizzando i modelli.
3. economia - è determinato dal costo delle risorse di memoria del computer e dal tempo per la sua implementazione e funzionamento.

Modellazione matematica.

Le fasi principali della modellazione.

1. Enunciato del problema.

Determinare lo scopo dell'analisi e le modalità per raggiungerlo e sviluppare un approccio comune al problema in esame. In questa fase, è richiesta una profonda comprensione dell'essenza del compito. A volte, non è meno difficile impostare correttamente un compito che risolverlo. La messa in scena non è un processo formale, non ci sono regole generali.

2. Lo studio dei fondamenti teorici e la raccolta di informazioni sull'oggetto dell'originale.

In questa fase, viene selezionata o sviluppata una teoria adatta. Se non è presente, si stabiliscono relazioni causali tra le variabili che descrivono l'oggetto. I dati di input e output sono determinati, si fanno ipotesi semplificative.

3. Formalizzazione.

Consiste nello scegliere un sistema di simboli e utilizzarli per scrivere la relazione tra i componenti dell'oggetto sotto forma di espressioni matematiche. Viene stabilita una classe di compiti, a cui si può attribuire il modello matematico risultante dell'oggetto. I valori di alcuni parametri in questa fase potrebbero non essere ancora specificati.

4. Scelta del metodo di soluzione.

In questa fase vengono impostati i parametri finali dei modelli, tenendo conto delle condizioni per il funzionamento dell'oggetto. Per il problema matematico ottenuto, viene selezionato un metodo di soluzione o viene sviluppato un metodo speciale. Quando si sceglie un metodo, vengono prese in considerazione la conoscenza dell'utente, le sue preferenze e le preferenze dello sviluppatore.

5. Attuazione del modello.

Dopo aver sviluppato un algoritmo, viene scritto un programma di cui viene eseguito il debug, testato e si ottiene una soluzione al problema desiderato.

6. Analisi delle informazioni ricevute.

La soluzione ricevuta e attesa viene confrontata, l'errore di modellazione viene controllato.

7. Verifica dell'adeguatezza di un oggetto reale.

I risultati ottenuti dal modello vengono confrontatio con le informazioni disponibili sull'oggetto, oppure viene eseguito un esperimento e i suoi risultati vengono confrontati con quelli calcolati.

Il processo di modellazione è iterativo. In caso di risultati insoddisfacenti delle tappe 6. o 7. viene effettuato un ritorno a una delle prime fasi, che potrebbe portare allo sviluppo di un modello infruttuoso. Questa fase e tutte le fasi successive vengono perfezionate e tale raffinamento del modello avviene fino a quando non si ottengono risultati accettabili.

Un modello matematico è una descrizione approssimativa di qualsiasi classe di fenomeni o oggetti del mondo reale nel linguaggio della matematica. Lo scopo principale della modellazione è esplorare questi oggetti e prevedere i risultati di osservazioni future. Tuttavia, la modellazione è anche un metodo di cognizione del mondo circostante, che consente di controllarlo.

La modellazione matematica e l'esperimento al computer associato sono indispensabili nei casi in cui un esperimento su vasta scala è impossibile o difficile per un motivo o per l'altro. Ad esempio, è impossibile organizzare un esperimento storico su vasta scala per verificare “cosa accadrebbe se...” È impossibile verificare la correttezza di questa o quella teoria cosmologica. In linea di principio è possibile, ma poco ragionevole, sperimentare la diffusione di qualche malattia, come la peste, o effettuare un'esplosione nucleare per studiarne le conseguenze. Tuttavia, tutto questo può essere fatto su un computer, avendo precedentemente costruito modelli matematici dei fenomeni studiati.

1.1.2 2. Fasi principali della modellazione matematica

1) Costruzione di modelli. In questa fase viene specificato un oggetto "non matematico": un fenomeno naturale, una costruzione, un piano economico, un processo di produzione, ecc. In questo caso, di norma, una chiara descrizione della situazione è difficile. In primo luogo, vengono individuate le caratteristiche principali del fenomeno e la relazione tra di esse a livello qualitativo. Quindi le dipendenze qualitative trovate vengono formulate nel linguaggio della matematica, cioè viene costruito un modello matematico. Questa è la parte più difficile della modellazione.

2) Risolvere il problema matematico a cui porta il modello. In questa fase, viene prestata molta attenzione allo sviluppo di algoritmi e metodi numerici per risolvere il problema su un computer, con l'aiuto del quale è possibile trovare il risultato con la precisione richiesta ed entro un tempo accettabile.

3) Interpretazione delle conseguenze ottenute dal modello matematico.Le conseguenze derivate dal modello nel linguaggio della matematica sono interpretate nel linguaggio accettato in questo campo.

4) Verifica dell'adeguatezza del modello.In questa fase, si scopre se i risultati dell'esperimento concordano con le conseguenze teoriche del modello entro una certa accuratezza.

5) Modifica del modello.In questa fase, o il modello diventa più complesso in modo da essere più adeguato alla realtà, oppure viene semplificato per ottenere una soluzione praticamente accettabile.

1.1.3 3. Classificazione del modello

I modelli possono essere classificati secondo diversi criteri. Ad esempio, a seconda della natura dei problemi da risolvere, i modelli possono essere suddivisi in funzionali e strutturali. Nel primo caso, tutte le grandezze che caratterizzano un fenomeno o un oggetto sono espresse quantitativamente. Allo stesso tempo, alcune di esse sono considerate come variabili indipendenti, mentre altre sono considerate come funzioni di queste grandezze. Un modello matematico è solitamente un sistema di equazioni di vario tipo (differenziale, algebrico, ecc.) che stabiliscono relazioni quantitative tra le grandezze in esame. Nel secondo caso, il modello caratterizza la struttura di un oggetto complesso, costituito da parti separate, tra le quali vi sono determinate connessioni. Tipicamente, queste relazioni non sono quantificabili. Per costruire tali modelli, è conveniente utilizzare la teoria dei grafi. Un grafico è un oggetto matematico, che è un insieme di punti (vertici) su un piano o nello spazio, alcuni dei quali sono collegati da linee (spigoli).

A seconda della natura dei dati iniziali e dei risultati di previsione, i modelli possono essere suddivisi in deterministico e probabilistico-statistico. I modelli del primo tipo forniscono previsioni definite e non ambigue. I modelli del secondo tipo si basano su informazioni statistiche e le previsioni ottenute con il loro aiuto sono di natura probabilistica.

MODELLI MATEMATICI E MODELLI GENERALI DI INFORMATIZZAZIONE O SIMULAZIONE

Ora, quando nel paese si sta verificando l'informatizzazione quasi universale, si possono sentire affermazioni di specialisti di varie professioni: "Introduciamo un computer nel nostro paese, quindi tutti i compiti saranno risolti immediatamente". Questo punto di vista è completamente sbagliato, i computer stessi non possono fare nulla senza modelli matematici di determinati processi e si può solo sognare un'informatizzazione universale.

A sostegno di quanto sopra, cercheremo di giustificare la necessità della modellazione, inclusa la modellazione matematica, rivelarne i vantaggi nella conoscenza e nella trasformazione del mondo esterno da parte di una persona, identificare le carenze esistenti e passare ... alla modellazione di simulazione, ad es. modellazione tramite computer. Ma tutto è in ordine.

Rispondiamo innanzitutto alla domanda: cos'è un modello?

Un modello è un oggetto materiale o rappresentato mentalmente che, nel processo di cognizione (studio), sostituisce l'originale, conservando alcune proprietà tipiche che sono importanti per questo studio.

Un modello ben costruito è più accessibile per la ricerca di un oggetto reale. Ad esempio, sono inaccettabili le sperimentazioni dell'economia del Paese a scopo educativo, qui non si può fare a meno di un modello.

Riassumendo quanto detto, possiamo rispondere alla domanda: a cosa servono i modelli? In modo da

• capire come funziona un oggetto (la sua struttura, proprietà, leggi di sviluppo, interazione con il mondo esterno).
• imparare a gestire un oggetto (processo) e determinare le migliori strategie
• prevedere le conseguenze dell'impatto sull'oggetto.

Cosa c'è di positivo in ogni modello? Ti consente di acquisire nuove conoscenze sull'oggetto, ma, sfortunatamente, non è completo in un modo o nell'altro.

Modelloformulato nel linguaggio della matematica usando metodi matematici è chiamato modello matematico.

Il punto di partenza per la sua costruzione è solitamente un compito, ad esempio economico. Diffuso, sia descrittivo che di ottimizzazione matematica, caratterizzanti vari processi economici ed eventi come:

• assegnazione delle risorse
• taglio razionale
• trasporto
• consolidamento delle imprese
• pianificazione della rete.

Come si costruisce un modello matematico?

• In primo luogo, vengono formulati lo scopo e l'oggetto dello studio.
• In secondo luogo, vengono evidenziate le caratteristiche più importanti corrispondenti a questo obiettivo.
• In terzo luogo, vengono descritte verbalmente le relazioni tra gli elementi del modello.
• Inoltre, il rapporto è formalizzato.
• E il calcolo viene eseguito secondo il modello matematico e l'analisi della soluzione ottenuta.

Utilizzando questo algoritmo è possibile risolvere qualsiasi problema di ottimizzazione, anche multicriterio, ad es. uno in cui non uno, ma più obiettivi, anche contraddittori, sono perseguiti.

Facciamo un esempio. Teoria delle code: il problema delle code. È necessario bilanciare due fattori: il costo di manutenzione dei dispositivi di servizio e il costo di rimanere in linea. Dopo aver costruito una descrizione formale del modello, i calcoli vengono effettuati utilizzando metodi analitici e computazionali. Se il modello è buono, allora le risposte trovate con il suo aiuto sono adeguate al sistema di modellazione; se è cattivo, allora deve essere migliorato e sostituito. Il criterio di adeguatezza è la pratica.

I modelli di ottimizzazione, compresi quelli multicriteri, hanno una proprietà comune: è noto un obiettivo (o più obiettivi) da raggiungere che spesso si ha a che fare con sistemi complessi, dove non si tratta tanto di risolvere problemi di ottimizzazione, ma di ricercare e prevedere stati a seconda delle strategie di controllo scelte. E qui ci troviamo di fronte a difficoltà nell'attuazione del piano precedente. Sono i seguenti:

• un sistema complesso contiene molte connessioni tra gli elementi
• il sistema reale è influenzato da fattori casuali, è impossibile tenerne conto analiticamente
• la possibilità di confrontare l'originale con il modello esiste solo all'inizio e dopo l'applicazione dell'apparato matematico, perché i risultati intermedi potrebbero non avere analoghi in un sistema reale.

In connessione con le difficoltà elencate che sorgono quando si studiano sistemi complessi, la pratica richiedeva un metodo più flessibile, ed è apparso: modellazione di simulazione "Modellazione di simulazione".

Di solito, un modello di simulazione è inteso come un insieme di programmi per computer che descrive il funzionamento dei singoli blocchi di sistemi e le regole di interazione tra di loro. L'utilizzo di variabili casuali rende necessario condurre ripetutamente esperimenti con un sistema di simulazione (su computer) e successiva analisi statistica dei risultati ottenuti. Un esempio molto comune di utilizzo dei modelli di simulazione è la soluzione di un problema di accodamento con il metodo MONTE CARLO.

Pertanto, il lavoro con il sistema di simulazione è un esperimento eseguito su un computer. Quali sono i vantaggi?

– Maggiore vicinanza al sistema reale rispetto ai modelli matematici;

– Il principio del blocco consente di verificare ogni blocco prima che venga inserito nel sistema complessivo;

– L'uso di dipendenze di natura più complessa, non descritte da semplici relazioni matematiche.

I vantaggi elencati determinano gli svantaggi

– costruire un modello di simulazione è più lungo, più difficile e più costoso;

– per lavorare con il sistema di simulazione è necessario disporre di un computer adatto alla classe;

– l'interazione tra l'utente e il modello di simulazione (interfaccia) non dovrebbe essere troppo complicata, conveniente e ben nota;

- la costruzione di un modello di simulazione richiede uno studio più approfondito del processo reale rispetto alla modellizzazione matematica.

La domanda sorge spontanea: la modellazione di simulazione può sostituire i metodi di ottimizzazione? No, ma li integra convenientemente. Un modello di simulazione è un programma che implementa alcuni algoritmi, per ottimizzare il controllo di cui viene prima risolto un problema di ottimizzazione.

Quindi, né un computer, né un modello matematico, né un algoritmo per studiarlo separatamente possono risolvere un problema piuttosto complicato. Ma insieme rappresentano la forza che ti permette di conoscere il mondo che ti circonda, gestirlo nell'interesse dell'uomo.

1.2 Classificazione del modello

1.2.1 Classificazione tenendo conto del fattore tempo e dell'area di utilizzo (Makarova N.A.) Modello statico -è come una fetta di informazioni una tantum sull'oggetto (il risultato di un sondaggio) Dinamico modello-consente vedere i cambiamenti nell'oggetto nel tempo (Carta in clinica) I modelli possono essere classificati in base a a quale campo di conoscenza appartengono(biologico, storico, ecologico, ecc.) Torna all'inizio

1.2.2 Classificazione per area di utilizzo (Makarova N.A.) Formazione- visivo ausili, formatori , oh dimenarsi programmi Esperto modelli ridotti copie (auto in galleria del vento) Scientifico e tecnico sincrofasotrone, supporto per test di apparecchiature elettroniche Gioco- economico, sport, giochi d'affari simulazione- non riflettono semplicemente la realtà, ma la imitano (i farmaci vengono testati sui topi, gli esperimenti vengono condotti nelle scuole, ecc. Questo metodo di modellazione è chiamato tentativi ed errori Torna all'inizio

1.2.3 Classificazione secondo il metodo di presentazione Makarova N.A.) Materiale Modelli- altrimenti può essere chiamato soggetto. Percepiscono le proprietà geometriche e fisiche dell'originale e hanno sempre una vera incarnazione. Informativo modelli-non ammessi toccare o vedere. Si basano su informazioni. .Informazione il modello è un insieme di informazioni che caratterizza le proprietà e gli stati di un oggetto, processo, fenomeno, nonché la relazione con il mondo esterno. Modello verbale - modello informativo in forma mentale o conversazionale. iconico modello-informativo modello espresso dai segni , cioè.. attraverso qualsiasi linguaggio formale. Modello di computer - m Un modello implementato per mezzo di un ambiente software.

1.2.4 Classificazione dei modelli riportati nel libro "Land of Informatics" (Gein A.G.)) "...ecco un compito apparentemente semplice: quanto tempo ci vorrà per attraversare il deserto del Karakum? Risposta, ovviamente dipende dalla modalità di viaggio. Se viaggiare cammelli, poi sarà richiesto un termine, un altro se si va in macchina, un terzo se si vola in aereo. E, soprattutto, per pianificare un viaggio sono necessari diversi modelli. Per il primo caso, il modello richiesto può essere trovato nelle memorie di famosi esploratori del deserto: dopotutto, non si può fare a meno di informazioni su oasi e sentieri di cammelli. Nel secondo caso, informazioni insostituibili contenute nell'atlante delle strade. Nel terzo, puoi utilizzare l'orario del volo. Questi tre modelli differiscono: memorie, atlanti e orari e la natura della presentazione delle informazioni. Nel primo caso, il modello è rappresentato da una descrizione verbale dell'informazione (modello descrittivo), nel secondo - come una fotografia dalla natura (modello naturale), nel terzo - una tabella contenente i simboli: ora di partenza e di arrivo, giorno della settimana, prezzo del biglietto (il cosiddetto modello dei segni) Tuttavia, questa divisione è molto condizionale: mappe e diagrammi (elementi di un modello in scala reale) possono essere trovati nelle memorie, ci sono simboli sulle mappe (elementi di un modello simbolico), una decodifica di simboli (elementi di un modello descrittivo ) è riportato nel palinsesto. Quindi questa classificazione dei modelli... secondo noi è improduttiva" Questo frammento, a mio avviso, mostra lo stile descrittivo (linguaggio e stile di presentazione meraviglioso) comune a tutti i libri di Gein e, per così dire, lo stile di insegnamento socratico (Tutti pensano che sia così. Sono completamente d'accordo con te, ma se guardi da vicino, allora ...). In tali libri è abbastanza difficile trovare un chiaro sistema di definizioni (non è inteso dall'autore). Nel libro di testo curato da N.A. Makarova dimostra un approccio diverso: le definizioni dei concetti sono chiaramente distinte e alquanto statiche.

1.2.5 Classificazione dei modelli forniti nel manuale di A.I. Bochkin Ci sono molti modi per classificare .Noi presentiamo solo alcune delle fondazioni più note e segni: discrezione e continuità, matrice e modelli scalari, modelli statici e dinamici, modelli analitici e informativi, modelli soggettivi e figurativi-segni, a grande scala e non... Ogni segno dà un certo conoscenza delle proprietà sia del modello che della realtà modellata. Il segno può servire come suggerimento sul modo in cui la simulazione è stata eseguita o deve essere eseguita. Discrezione e continuità discrezione - una caratteristica dei modelli informatici .Dopotutto un computer può trovarsi in un numero finito, anche se molto grande, di stati. Pertanto, anche se l'oggetto è continuo (tempo), nel modello cambierà in salti. Potrebbe essere considerato continuità un segno di modelli di tipo non computerizzato. Casualità e determinismo . Incertezza, incidente inizialmente opposto al mondo dei computer: l'algoritmo lanciato nuovamente deve ripetersi e dare gli stessi risultati. Ma per simulare processi casuali, vengono utilizzati sensori di numeri pseudo-casuali. L'introduzione della casualità nei problemi deterministici porta a modelli potenti e interessanti (Random Toss Area Calculation). Matrice - scalare. Disponibilità dei parametri matrice modello indica la sua maggiore complessità e, possibilmente, accuratezza rispetto a scalare. Ad esempio, se non individuiamo tutte le fasce di età della popolazione del paese, considerando il suo cambiamento nel suo insieme, otteniamo un modello scalare (ad esempio il modello di Malthus), se individuiamo una matrice (sesso ed età) modello. È stato il modello a matrice che ha permesso di spiegare le fluttuazioni del tasso di natalità dopo la guerra. dinamismo statico. Queste proprietà del modello sono solitamente predeterminate dalle proprietà dell'oggetto reale. Non c'è libertà di scelta qui. Solo statico il modello può essere un passo avanti dinamico, oppure alcune delle variabili del modello possono essere considerate per il momento invariate. Ad esempio, un satellite si muove intorno alla Terra, il suo movimento è influenzato dalla Luna. Se consideriamo la Luna stazionaria durante la rivoluzione del satellite, otteniamo un modello più semplice. Modelli analitici. Descrizione dei processi analiticamente, formule ed equazioni. Ma quando si tenta di costruire un grafico, è più conveniente avere tabelle di valori di funzione e argomenti. modelli di simulazione. simulazione i modelli sono apparsi molto tempo fa sotto forma di copie su larga scala di navi, ponti, ecc. Sono apparsi molto tempo fa, ma in connessione con i computer sono considerati di recente. Sapere come connesso modellare gli elementi in modo analitico e logico, è più facile non risolvere un sistema di determinate relazioni ed equazioni, ma mappare il sistema reale nella memoria del computer, tenendo conto dei collegamenti tra gli elementi di memoria. Modelli Informativi. InformativoÈ consuetudine contrapporre i modelli a quelli matematici, più precisamente algoritmici. Il rapporto dati/algoritmo è importante qui. Se ci sono più dati o sono più importanti, abbiamo un modello informativo, altrimenti - matematico. Modelli soggetto. Questo è principalmente un modello per bambini: un giocattolo. Modelli di segni figurativi. È principalmente un modello nella mente umana: figurativo, se predominano le immagini grafiche, e iconico, se sono presenti più di parole e/o numeri. I modelli di segni figurativi sono costruiti su un computer. modelli in scala. A su larga scala i modelli sono quelli del soggetto o modelli figurativi che ripetono la forma dell'oggetto (mappa).

Modellazione matematica

1. Che cos'è la modellazione matematica?

Dalla metà del XX secolo. in vari campi dell'attività umana, i metodi matematici e i computer iniziarono ad essere ampiamente utilizzati. Sono emerse nuove discipline come "economia matematica", "chimica matematica", "linguistica matematica", ecc. che studiano modelli matematici di oggetti e fenomeni rilevanti, nonché metodi per studiare questi modelli.

Un modello matematico è una descrizione approssimativa di qualsiasi classe di fenomeni o oggetti del mondo reale nel linguaggio della matematica. Lo scopo principale della modellazione è esplorare questi oggetti e prevedere i risultati di osservazioni future. Tuttavia, la modellazione è anche un metodo di cognizione del mondo circostante, che consente di controllarlo.

La modellazione matematica e l'esperimento al computer associato sono indispensabili nei casi in cui un esperimento su vasta scala è impossibile o difficile per un motivo o per l'altro. Ad esempio, è impossibile organizzare un esperimento storico su vasta scala per verificare “cosa accadrebbe se...” È impossibile verificare la correttezza di questa o quella teoria cosmologica. In linea di principio è possibile, ma poco ragionevole, sperimentare la diffusione di qualche malattia, come la peste, o effettuare un'esplosione nucleare per studiarne le conseguenze. Tuttavia, tutto questo può essere fatto su un computer, avendo precedentemente costruito modelli matematici dei fenomeni studiati.

2. Principali fasi della modellazione matematica

1) Costruzione di modelli. In questa fase viene specificato un oggetto "non matematico": un fenomeno naturale, una costruzione, un piano economico, un processo di produzione, ecc. In questo caso, di norma, una chiara descrizione della situazione è difficile. In primo luogo, vengono individuate le caratteristiche principali del fenomeno e la relazione tra di esse a livello qualitativo. Quindi le dipendenze qualitative trovate vengono formulate nel linguaggio della matematica, cioè viene costruito un modello matematico. Questa è la parte più difficile della modellazione.

2) Risolvere il problema matematico a cui porta il modello. In questa fase, viene prestata molta attenzione allo sviluppo di algoritmi e metodi numerici per risolvere il problema su un computer, con l'aiuto del quale è possibile trovare il risultato con la precisione richiesta ed entro un tempo accettabile.

3) Interpretazione delle conseguenze ottenute dal modello matematico. Le conseguenze derivate dal modello nel linguaggio della matematica sono interpretate nel linguaggio accettato in questo campo.

4) Verifica dell'adeguatezza del modello. In questa fase, si scopre se i risultati dell'esperimento concordano con le conseguenze teoriche del modello entro una certa accuratezza.

5) Modifica del modello. In questa fase, o il modello diventa più complesso in modo da essere più adeguato alla realtà, oppure viene semplificato per ottenere una soluzione praticamente accettabile.

3. Classificazione dei modelli

I modelli possono essere classificati secondo diversi criteri. Ad esempio, a seconda della natura dei problemi da risolvere, i modelli possono essere suddivisi in funzionali e strutturali. Nel primo caso, tutte le grandezze che caratterizzano un fenomeno o un oggetto sono espresse quantitativamente. Allo stesso tempo, alcune di esse sono considerate come variabili indipendenti, mentre altre sono considerate come funzioni di queste grandezze. Un modello matematico è solitamente un sistema di equazioni di vario tipo (differenziale, algebrico, ecc.) che stabiliscono relazioni quantitative tra le grandezze in esame. Nel secondo caso, il modello caratterizza la struttura di un oggetto complesso, costituito da parti separate, tra le quali vi sono determinate connessioni. Tipicamente, queste relazioni non sono quantificabili. Per costruire tali modelli, è conveniente utilizzare la teoria dei grafi. Un grafico è un oggetto matematico, che è un insieme di punti (vertici) su un piano o nello spazio, alcuni dei quali sono collegati da linee (spigoli).

A seconda della natura dei dati iniziali e dei risultati di previsione, i modelli possono essere suddivisi in deterministico e probabilistico-statistico. I modelli del primo tipo forniscono previsioni definite e non ambigue. I modelli del secondo tipo si basano su informazioni statistiche e le previsioni ottenute con il loro aiuto sono di natura probabilistica.

4. Esempi di modelli matematici

1) Problemi sul movimento del proiettile.

Considera il seguente problema in meccanica.

Il proiettile viene lanciato dalla Terra con una velocità iniziale v 0 = 30 m/s con un angolo a = 45° rispetto alla sua superficie; è necessario trovare la traiettoria del suo movimento e la distanza S tra i punti di inizio e di fine di questa traiettoria.

Quindi, come è noto dal corso di fisica della scuola, il moto del proiettile è descritto dalle formule:

dove t - tempo, g = 10 m / s 2 - accelerazione di caduta libera. Queste formule forniscono il modello matematico del compito. Esprimendo t in termini di x dalla prima equazione e sostituendola nella seconda, otteniamo l'equazione per la traiettoria del proiettile:

Questa curva (parabola) interseca l'asse x in due punti: x 1 \u003d 0 (l'inizio della traiettoria) e (il luogo in cui è caduto il proiettile). Sostituendo i valori dati v0 e a nelle formule ottenute, otteniamo

risposta: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Si noti che nella costruzione di questo modello sono state utilizzate una serie di ipotesi: ad esempio, si presume che la Terra sia piatta e che l'aria e la rotazione della Terra non influenzino il movimento del proiettile.

2) Il problema di un serbatoio con la superficie più piccola.

Occorre trovare l'altezza h 0 e il raggio r 0 di un serbatoio di latta di volume V = 30 m 3, avente la forma di un cilindro circolare chiuso, a cui la sua superficie S è minima (in questo caso, la più piccola quantità di stagno sarà utilizzata per produrlo).

Scriviamo le seguenti formule per il volume e la superficie di un cilindro di altezza h e raggio r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Esprimendo h in termini di r e V dalla prima formula e sostituendo l'espressione risultante nella seconda, otteniamo:

Quindi, da un punto di vista matematico, il problema si riduce alla determinazione del valore di r al quale la funzione S(r) raggiunge il suo minimo. Troviamo quei valori di r 0 per i quali la derivata

va a zero: È possibile verificare che la derivata seconda della funzione S(r) cambi segno da meno a più quando l'argomento r passa per il punto r 0 . Pertanto, la funzione S(r) ha un minimo nel punto r0. Il valore corrispondente h 0 = 2r 0 . Sostituendo il valore dato V nell'espressione per r 0 e h 0, otteniamo il raggio desiderato e altezza

3) Compito di trasporto.

Ci sono due magazzini di farina e due panifici in città. Ogni giorno dal primo magazzino vengono esportate 50 tonnellate di farina, 70 tonnellate dal secondo agli stabilimenti, con 40 tonnellate al primo e 80 tonnellate al secondo.

Indica con un ij è il costo del trasporto di 1 tonnellata di farina dall'i-esimo magazzino all'j-esimo impianto (i, j = 1,2). Permettere

un 11 \u003d 1.2 pag., un 12 \u003d 1,6 pag., un 21 \u003d 0,8 pag., un 22 = 1 pag.

Come dovrebbe essere pianificato il trasporto in modo che il loro costo sia minimo?

Diamo al problema una formulazione matematica. Indichiamo con x 1 e x 2 la quantità di farina da trasportare dal primo magazzino al primo e al secondo stabilimento, e con x 3 e x 4 - dal secondo magazzino rispettivamente al primo e al secondo stabilimento. Poi:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Il costo totale di tutti i trasporti è determinato dalla formula

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Da un punto di vista matematico, il compito è trovare quattro numeri x 1 , x 2 , x 3 e x 4 che soddisfino tutte le condizioni date e diano il minimo della funzione f. Risolviamo il sistema di equazioni (1) rispetto a xi (i = 1, 2, 3, 4) con il metodo dell'eliminazione delle incognite. Lo capiamo

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

e x 4 non può essere determinato in modo univoco. Poiché x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), dalle equazioni (2) segue che 30J x 4 J 70. Sostituendo l'espressione di x 1 , x 2 , x 3 nella formula di f, otteniamo

f \u003d 148 - 0,2x 4.

È facile vedere che il minimo di questa funzione viene raggiunto al valore massimo possibile di x 4, cioè a x 4 = 70. I valori corrispondenti di altre incognite sono determinati dalle formule (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Il problema del decadimento radioattivo.

Sia N(0) il numero iniziale di atomi della sostanza radioattiva e N(t) il numero di atomi non decaduti al tempo t. È stato stabilito sperimentalmente che la velocità di variazione del numero di questi atomi N "(t) è proporzionale a N (t), ovvero N" (t) \u003d –l N (t), l > 0 è la costante di radioattività di una data sostanza. Nel corso scolastico di analisi matematica, si mostra che la soluzione di questa equazione differenziale ha la forma N(t) = N(0)e –l t . Il tempo T, durante il quale il numero di atomi iniziali si è dimezzato, è chiamato emivita, ed è una caratteristica importante della radioattività di una sostanza. Per determinare T, è necessario inserire la formula Poi Ad esempio, per radon l = 2,084 10–6, e quindi T = 3,15 giorni.

5) Il problema del commesso viaggiatore.

Un commesso viaggiatore che vive nella città A 1 deve visitare le città A 2 , A 3 e A 4 , ogni città esattamente una volta, e poi tornare ad A 1 . È noto che tutte le città sono collegate a coppie da strade e le lunghezze delle strade b ij tra le città A i e A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sono le seguenti:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

È necessario determinare l'ordine delle città in visita, in cui la lunghezza del percorso corrispondente è minima.

Rappresentiamo ogni città come un punto sul piano e segniamola con la corrispondente etichetta Ai (i = 1, 2, 3, 4). Colleghiamo questi punti con segmenti di linea: rappresenteranno le strade tra le città. Per ogni “strada” indichiamo la sua lunghezza in chilometri (Fig. 2). Il risultato è un grafico - un oggetto matematico costituito da un certo insieme di punti sul piano (chiamati vertici) e un certo insieme di linee che collegano questi punti (chiamati bordi). Inoltre, questo grafico è etichettato, poiché alcune etichette sono assegnate ai suoi vertici e bordi: numeri (spigoli) o simboli (vertici). Un ciclo su un grafo è una sequenza di vertici V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tale che i vertici V 1 , ..., V k siano diversi e qualsiasi coppia di vertici V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) e la coppia V 1 , V k sono collegati da un arco. Pertanto, il problema in esame è trovare un tale ciclo sul grafo passante per tutti e quattro i vertici per i quali la somma di tutti i pesi degli archi è minima. Esaminiamo tutti i diversi cicli passando per quattro vertici e iniziando da A 1:

1) LA 1, LA 4, LA 3, LA 2, LA 1;
2) LA 1, LA 3, LA 2, LA 4, LA 1;
3) LA 1 , LA 3 , LA 4 , LA 2 , LA 1 .

Ora troviamo le lunghezze di questi cicli (in km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Quindi, il percorso di lunghezza minore è il primo.

Nota che se ci sono n vertici in un grafo e tutti i vertici sono collegati a coppie da archi (un grafo di questo tipo è chiamato completo), allora il numero di cicli che passano attraverso tutti i vertici è uguale, quindi nel nostro caso ci sono esattamente tre cicli .

6) Il problema di trovare una connessione tra la struttura e le proprietà delle sostanze.

Considera diversi composti chimici chiamati alcani normali. Sono costituiti da n atomi di carbonio e n + 2 atomi di idrogeno (n = 1, 2 ...), interconnessi come mostrato in Figura 3 per n = 3. Siano noti i valori sperimentali dei punti di ebollizione di questi composti:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

È necessario trovare una relazione approssimativa tra il punto di ebollizione e il numero n per questi composti. Assumiamo che questa dipendenza abbia la forma

e » un n+b

dove un, b - costanti da determinare. Per trovare un e b sostituiamo in questa formula successivamente n = 3, 4, 5, 6 e i corrispondenti valori dei punti di ebollizione. Abbiamo:

– 42 » 3 un+ b, 0 » 4 un+ b, 28 » 5 un+ b, 69 » 6 un+b.

Per determinare il migliore un e b ci sono molti metodi differenti. Usiamo il più semplice di loro. Esprimiamo b in termini di un da queste equazioni:

b" - 42 - 3 un, b » – 4 un, b » 28 – 5 un, b » 69 – 6 un.

Prendiamo come desiderata b la media aritmetica di questi valori, cioè mettiamo b » 16 - 4.5 un. Sostituiamo questo valore b nel sistema originale di equazioni e, calcolando un, prendiamo per un i seguenti valori: un» 37, un» 28, un» 28, un» 36 un il valore medio di questi numeri, cioè lo mettiamo un» 34. Quindi, l'equazione desiderata ha la forma

y » 34n – 139.

Verifichiamo l'accuratezza del modello sui quattro composti iniziali, per i quali calcoliamo i punti di ebollizione utilizzando la formula ottenuta:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Pertanto, l'errore di calcolo di questa proprietà per questi composti non supera i 5°. Usiamo l'equazione risultante per calcolare il punto di ebollizione di un composto con n = 7, che non è incluso nell'insieme iniziale, per il quale sostituiamo n = 7 in questa equazione: y ð (7) = 99°. Il risultato si è rivelato abbastanza accurato: è noto che il valore sperimentale del punto di ebollizione y e (7) = 98°.

7) Il problema della determinazione dell'affidabilità del circuito elettrico.

Consideriamo qui un esempio di modello probabilistico. Per prima cosa, diamo alcune informazioni dalla teoria della probabilità, una disciplina matematica che studia gli schemi dei fenomeni casuali osservati durante la ripetizione ripetuta di un esperimento. Chiamiamo un evento casuale A un possibile risultato di qualche esperienza. Gli eventi A 1 , ..., Ak formano un gruppo completo se uno di essi si verifica necessariamente come risultato dell'esperimento. Gli eventi sono chiamati incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente nella stessa esperienza. Lascia che l'evento A si verifichi m volte durante la ripetizione n volte dell'esperimento. La frequenza dell'evento A è il numero W = . Ovviamente, il valore di W non può essere previsto esattamente fino a quando non è stata eseguita una serie di n esperimenti. Tuttavia, la natura degli eventi casuali è tale che in pratica a volte si osserva il seguente effetto: all'aumentare del numero di esperimenti, il valore praticamente cessa di essere casuale e si stabilizza attorno a un numero non casuale P(A), chiamato probabilità dell'evento A. Per un evento impossibile (che non si verifica mai nell'esperimento) P(A)=0, e per un certo evento (che si verifica sempre nell'esperimento) P(A)=1. Se gli eventi A 1 , ..., A k formano un gruppo completo di eventi incompatibili, allora P(A 1)+...+P(A k)=1.

Per esempio, l'esperienza consiste nel lanciare un dado e osservare il numero di punti persi X. Quindi possiamo introdurre i seguenti eventi casuali A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Si formano un gruppo completo di eventi ugualmente probabili incompatibili, quindi P(A i) = (i = 1, ..., 6).

La somma degli eventi A e B è l'evento A + B, che consiste nel fatto che almeno uno di essi si verifica nell'esperimento. Il prodotto degli eventi A e B è l'evento AB, che consiste nel verificarsi simultaneo di questi eventi. Per gli eventi indipendenti A e B, le formule sono vere

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Consideriamo ora quanto segue compito. Supponiamo che tre elementi siano collegati in serie in un circuito elettrico, funzionando indipendentemente l'uno dall'altro. Le probabilità di guasto del 1°, 2° e 3° elemento sono rispettivamente P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Considereremo affidabile il circuito se la probabilità che non ci sia corrente nel circuito non è superiore a 0,4. È necessario determinare se la catena data è affidabile.

Poiché gli elementi sono collegati in serie, non ci sarà corrente nel circuito (evento A) se almeno uno degli elementi si guasta. Sia A i l'evento in cui l'i-esimo elemento funziona (i = 1, 2, 3). Allora P(LA1) = 0,9, P(LA2) = 0,85, P(LA3) = 0,8. Ovviamente, A 1 A 2 A 3 è l'evento in cui tutti e tre gli elementi funzionano contemporaneamente, e

P(LA 1 LA 2 LA 3) = P(LA 1) P(LA 2) P(LA 3) = 0,612.

Allora P(A) + P(LA 1 A 2 A 3) = 1, quindi P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

In conclusione, notiamo che i suddetti esempi di modelli matematici (tra i quali ci sono funzionali e strutturali, deterministici e probabilistici) sono illustrativi e, ovviamente, non esauriscono l'intera varietà di modelli matematici che sorgono nelle scienze naturali e umane.

Modelli matematici

Modello matematico - opi approssimatividescrizione dell'oggetto di modellazione, espressa mediantesimbolismo matematico schyu.

I modelli matematici sono comparsi insieme alla matematica molti secoli fa. Un enorme impulso allo sviluppo della modellazione matematica è stato dato dalla comparsa dei computer. L'uso dei computer ha permesso di analizzare e mettere in pratica molti modelli matematici che in precedenza non erano stati oggetto di ricerca analitica. Matematica implementata al computermodello del cielo chiamato modello matematico informatico, un eseguire calcoli mirati utilizzando un modello informatico chiamato esperimento computazionale.

Fasi del computer matematico mocancellazione mostrato in figura. Primopalcoscenico - definizione degli obiettivi di modellazione. Questi obiettivi possono essere diversi:

1. è necessario un modello per capire come funziona un particolare oggetto, qual è la sua struttura, le proprietà di base, le leggi di sviluppo e di interazione
   con il mondo esterno (comprensione);
2. è necessario un modello per imparare a gestire un oggetto (o processo) e determinare i modi migliori per gestire determinati obiettivi e criteri (gestione);
3. il modello è necessario per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione delle modalità e delle forme di impatto specificate sull'oggetto (forecasting).

Spieghiamo con esempi. Sia oggetto di studio l'interazione di un flusso liquido o gassoso con un corpo che costituisce un ostacolo a questo flusso. L'esperienza mostra che la forza di resistenza al flusso dal lato del corpo aumenta con l'aumentare della velocità del flusso, ma ad una velocità sufficientemente alta, questa forza diminuisce bruscamente per aumentare di nuovo con un ulteriore aumento della velocità. Cosa ha causato la diminuzione della forza di resistenza? La modellazione matematica ci consente di ottenere una risposta chiara: al momento di una brusca diminuzione della resistenza, i vortici formati nel flusso di liquido o gas dietro il corpo aerodinamico iniziano a staccarsi da esso e vengono portati via dal flusso.

Un esempio da un'area completamente diversa: convivendo pacificamente con popolazioni stabili di due specie di individui con una base alimentare comune, iniziano "improvvisamente" a cambiare drasticamente il loro numero. E qui la modellizzazione matematica permette (con un certo grado di certezza) di stabilirne la causa (o almeno di confutare una certa ipotesi).

Lo sviluppo del concetto di gestione degli oggetti è un altro possibile obiettivo della modellazione. Quale modalità di volo dell'aeromobile dovrebbe essere scelta affinché il volo sia sicuro ed economicamente più vantaggioso? Come programmare centinaia di tipi di lavori per la costruzione di una grande struttura in modo che si concluda il prima possibile? Molti di questi problemi sorgono sistematicamente davanti a economisti, designer e scienziati.

Infine, prevedere le conseguenze di determinati impatti su un oggetto può essere sia una questione relativamente semplice nei sistemi fisici semplici, sia estremamente complessa - sull'orlo della fattibilità - nei sistemi biologici, economici, sociali. Se è relativamente facile rispondere alla domanda sul cambiamento della modalità di propagazione del calore in un'asta sottile con cambiamenti nella sua lega costituente, allora è incomparabilmente più difficile tracciare (prevedere) le conseguenze ambientali e climatiche della costruzione di un grande centrale idroelettrica o le conseguenze sociali delle modifiche alla normativa fiscale. Forse, anche in questo caso, i metodi di modellazione matematica forniranno un'assistenza più significativa in futuro.

Seconda fase: definizione dei parametri di input e output del modello; suddivisione dei parametri di input in base al grado di importanza dell'impatto delle loro modifiche sull'output. Questo processo è chiamato classifica, o divisione per grado (vedi sotto). "Formalizzazione e modellismo").

Terza fase: costruzione di un modello matematico. In questa fase si passa dalla formulazione astratta del modello a una formulazione che ha una rappresentazione matematica specifica. Un modello matematico è costituito da equazioni, sistemi di equazioni, sistemi di disequazioni, equazioni differenziali o sistemi di tali equazioni, ecc.

Quarto stadio: scelta del metodo per lo studio del modello matematico. Molto spesso qui vengono utilizzati metodi numerici, che si prestano bene alla programmazione. Di norma, diversi metodi sono adatti per risolvere lo stesso problema, che differiscono per precisione, stabilità, ecc. Il successo dell'intero processo di modellazione dipende spesso dalla corretta scelta del metodo.

Quinta tappa: lo sviluppo di un algoritmo, la compilazione e il debug di un programma per computer è un processo difficile da formalizzare. Tra i linguaggi di programmazione, molti professionisti della modellazione matematica preferiscono FORTRAN: sia per tradizione, sia per l'insuperabile efficienza dei compilatori (per il lavoro di calcolo) e per la presenza di enormi librerie, accuratamente debuggate e ottimizzate di programmi standard di metodi matematici scritti in esso. Sono in uso anche linguaggi come PASCAL, BASIC, C, a seconda della natura del compito e delle inclinazioni del programmatore.

Sesta fase: test del programma. Il funzionamento del programma viene testato su un problema di prova con una risposta nota. Questo è solo l'inizio di una procedura di test difficile da descrivere in modo formalmente esaustivo. Solitamente, il test termina quando l'utente, in base alle sue caratteristiche professionali, ritiene che il programma sia corretto.

Settima tappa: vero e proprio esperimento computazionale, durante il quale diventa chiaro se il modello corrisponde a un oggetto reale (processo). Il modello è sufficientemente adeguato al processo reale se alcune caratteristiche del processo ottenuto al computer coincidono con le caratteristiche sperimentalmente ottenute con un determinato grado di accuratezza. Se il modello non corrisponde al processo reale, si torna a una delle fasi precedenti.

Classificazione dei modelli matematici

La classificazione dei modelli matematici può essere basata su vari principi. È possibile classificare i modelli per branche della scienza (modelli matematici in fisica, biologia, sociologia, ecc.). Può essere classificato in base all'apparato matematico applicato (modelli basati sull'uso di equazioni differenziali ordinarie, equazioni differenziali alle derivate parziali, metodi stocastici, trasformazioni algebriche discrete, ecc.). Infine, se procediamo dai compiti generali di modellazione nelle diverse scienze, indipendentemente dall'apparato matematico, la seguente classificazione è del tutto naturale:

• modelli descrittivi (descrittivi);
• modelli di ottimizzazione;
• modelli multicriteri;
• modelli di gioco.

Spieghiamolo con esempi.

Modelli descrittivi (descrittivi).. Ad esempio, vengono effettuate simulazioni del movimento di una cometa che invade il sistema solare per prevedere la traiettoria del suo volo, la distanza alla quale passerà dalla Terra e così via. In questo caso, gli obiettivi della modellazione sono descrittivi, poiché non c'è modo di influenzare il movimento della cometa, di cambiare qualcosa in essa.

Modelli di ottimizzazione sono usati per descrivere i processi che possono essere influenzati nel tentativo di raggiungere un determinato obiettivo. In questo caso, il modello include uno o più parametri che possono essere influenzati. Ad esempio, modificando il regime termico in un granaio, si può fissare l'obiettivo di scegliere tale regime al fine di ottenere la massima conservazione del grano, ad es. ottimizzare il processo di archiviazione.

Modelli multicriteri. Spesso è necessario ottimizzare il processo in più parametri contemporaneamente e gli obiettivi possono essere molto contraddittori. Ad esempio, conoscendo i prezzi del cibo e il fabbisogno alimentare di una persona, è necessario organizzare i pasti per grandi gruppi di persone (nell'esercito, campo estivo per bambini, ecc.) fisiologicamente correttamente e, allo stesso tempo, nel modo più economico possibile. È chiaro che questi obiettivi non coincidono affatto; durante la modellazione verranno utilizzati diversi criteri, tra i quali si deve cercare un equilibrio.

Modelli di gioco può essere correlato non solo ai giochi per computer, ma anche a cose molto serie. Ad esempio, prima di una battaglia, in presenza di informazioni incomplete sull'esercito avversario, un comandante deve sviluppare un piano: in quale ordine portare in battaglia determinate unità, ecc., Tenendo conto della possibile reazione del nemico. C'è una sezione speciale della matematica moderna - la teoria dei giochi - che studia i metodi del processo decisionale in condizioni di informazione incompleta.

Nel corso scolastico di informatica, gli studenti ricevono un'idea iniziale di modellazione matematica informatica come parte del corso base. Al liceo, la modellazione matematica può essere approfondita in un corso di istruzione generale per classi di fisica e matematica, nonché all'interno di un corso specialistico opzionale.

Le principali forme di insegnamento della modellazione matematica informatica nelle scuole superiori sono lezioni frontali, laboratori e lezioni di credito. Di solito, il lavoro di creazione e preparazione per lo studio di ogni nuovo modello richiede 3-4 lezioni. Nel corso della presentazione del materiale, vengono stabiliti compiti, che in futuro dovranno essere risolti dagli studenti da soli, in termini generali, vengono delineate le modalità per risolverli. Vengono formulate domande, le cui risposte dovrebbero essere ottenute durante l'esecuzione di compiti. È indicata la letteratura aggiuntiva, che consente di ottenere informazioni ausiliarie per completare con successo le attività.

La forma di organizzazione delle classi nello studio di nuovo materiale è solitamente una lezione. Dopo il completamento della discussione del prossimo modello studenti avere a disposizione le informazioni teoriche necessarie e una serie di compiti per ulteriori lavori. In preparazione al compito, gli studenti scelgono il metodo di soluzione appropriato, utilizzando una soluzione privata nota, testano il programma sviluppato. In caso di possibili difficoltà nel portare a termine i compiti, viene data la consultazione, viene avanzata una proposta per elaborare queste sezioni in modo più dettagliato nella letteratura.

Il più rilevante per la parte pratica dell'insegnamento della modellazione informatica è il metodo dei progetti. Il compito è formulato per lo studente sotto forma di progetto educativo e si svolge su più lezioni, e la principale forma organizzativa in questo caso è il lavoro di laboratorio informatico. Imparare a modellare utilizzando il metodo del progetto di apprendimento può essere implementato a diversi livelli. Il primo è una definizione del problema del processo di attuazione del progetto, che è guidato dall'insegnante. Il secondo è la realizzazione del progetto da parte degli studenti sotto la guida di un insegnante. Il terzo è l'attuazione indipendente da parte degli studenti di un progetto di ricerca educativa.

I risultati del lavoro dovrebbero essere presentati in forma numerica, sotto forma di grafici, diagrammi. Se possibile, il processo viene presentato sullo schermo del computer in modo dinamico. Al completamento dei calcoli e alla ricezione dei risultati, questi vengono analizzati, confrontati con fatti noti dalla teoria, viene confermata l'affidabilità e viene eseguita un'interpretazione significativa, che si riflette successivamente in una relazione scritta.

Se i risultati soddisfano lo studente e l'insegnante, allora il lavoro conta completato, e la sua fase finale è la preparazione di una relazione. La relazione include brevi informazioni teoriche sull'argomento in studio, una formulazione matematica del problema, un algoritmo di soluzione e la sua giustificazione, un programma per computer, i risultati del programma, l'analisi dei risultati e delle conclusioni, un elenco di riferimenti.

Quando tutte le relazioni sono state redatte, nella sessione di prova, gli studenti fanno brevi relazioni sul lavoro svolto, difendono il loro progetto. Questa è una forma efficace di segnalazione da parte del team di progetto alla classe, inclusa la definizione del problema, la costruzione di un modello formale, la scelta dei metodi per lavorare con il modello, l'implementazione del modello su un computer, il lavoro con il modello finito, l'interpretazione dei risultati, previsione. Di conseguenza, gli studenti possono ottenere due voti: il primo è per l'elaborazione del progetto e il successo della sua difesa, il secondo è per il programma, l'ottimalità del suo algoritmo, interfaccia, ecc. Gli studenti ricevono anche voti nel corso di sondaggi sulla teoria.

Una domanda essenziale è che tipo di strumenti utilizzare nel corso di informatica scolastica per la modellazione matematica? L'implementazione informatica dei modelli può essere effettuata:

• utilizzando un foglio di calcolo (solitamente MS Excel);
• creando programmi nei linguaggi di programmazione tradizionali (Pascal, BASIC, ecc.), così come nelle loro versioni moderne (Delphi, Visual
  Base per l'applicazione, ecc.);
• utilizzando pacchetti software speciali per la risoluzione di problemi matematici (MathCAD, ecc.).

A livello di scuola elementare, il primo rimedio sembra essere quello preferito. Tuttavia, al liceo, quando la programmazione è, insieme alla modellazione, un argomento chiave dell'informatica, è auspicabile coinvolgerla come strumento di modellazione. Nel processo di programmazione, i dettagli delle procedure matematiche diventano disponibili per gli studenti; inoltre, sono semplicemente costretti a padroneggiarli, e questo contribuisce anche all'educazione matematica. Per quanto riguarda l'uso di pacchetti software speciali, questo è appropriato in un corso di informatica di profilo come supplemento ad altri strumenti.

Esercizio :

• Delineare i concetti chiave.