Che deve essere definito, è omogeneo e ha una forma semplice: rettangolare, rotonda, sferica, cilindrica, quadrata e ha un centro di simmetria, in tal caso il baricentro coincide con il centro di simmetria.

Per un'asta omogenea, il baricentro si trova al centro, cioè nel suo centro geometrico. Esattamente lo stesso risultato si ottiene per un disco tondo uniforme. Il suo baricentro si trova nel punto di intersezione dei diametri del cerchio. Pertanto, il baricentro sarà al suo centro, al di fuori dei punti del cerchio stesso. Trova il centro di gravità di una sfera omogenea: si trova nel centro geometrico della sfera. Il baricentro dell'omogeneo sarà all'intersezione delle sue diagonali.

Se il corpo ha una forma arbitraria, se è disomogeneo, diciamo, ha delle tacche, è difficile calcolare la posizione. Scopri dove un tale corpo ha il punto di intersezione di tutte le forze di gravità che agiscono su questa figura quando viene capovolta. È più facile trovare questo punto empiricamente, usando il metodo di appendere liberamente il corpo a un filo.

Fissare costantemente il corpo al filo in diversi punti. In equilibrio, il baricentro del corpo deve giacere su una linea coincidente con la linea del filo, altrimenti la gravità metterebbe in moto il corpo.

Usando un righello e una matita, disegna linee verticali che corrispondono alla direzione dei fili che sono stati fissati in punti diversi. A seconda della complessità della forma del corpo, dovrai disegnare due o tre linee. Tutti loro devono intersecare in un punto. Questo punto sarà il baricentro di questo corpo, perché il baricentro deve trovarsi simultaneamente su tutte queste linee rette.

Determina, usando il metodo della sospensione, il baricentro sia di una figura piatta che di un corpo più complesso, la cui forma può cambiare. Ad esempio, due barre collegate da un cardine, nello stato spiegato, hanno un baricentro nel centro geometrico e, nello stato piegato, il loro baricentro è al di fuori di queste barre.

Fonti:

• Centro di gravità dei corpi
• come determinare il baricentro del corpo
• Calcolo delle coordinate del baricentro di un piano

A scuola, durante le lezioni di fisica, per la prima volta abbiamo familiarizzato con un concetto come il centro di gravità. Il compito non è facile, ma è ben spiegato e comprensibile. Non solo il giovane fisico dovrà conoscere la definizione del baricentro. E se ti trovi di fronte a questo compito, dovresti ricorrere a suggerimenti e promemoria per rinfrescarti la memoria.

Istruzione

Dopo aver studiato i libri di testo di fisica, meccanica, dizionari o enciclopedie, ti imbatterai nel centro di gravità, o come viene chiamato il centro di massa.

In scienze diverse, definizioni leggermente diverse, ma l'essenza, in effetti, non è persa. Il baricentro si trova sempre al centro di simmetria del corpo. Per un concetto più visivo, “il centro di gravità (o altrimenti chiamato centro di massa) è quello che è invariabilmente associato a un corpo solido. Attraverso di essa passa la risultante delle forze di gravità che agiscono su una particella di un dato corpo in una qualsiasi delle sue posizioni.

Se il baricentro di un corpo rigido è un punto, allora deve avere le sue coordinate.

Per determinare, è importante conoscere le coordinate x, y, z della i-esima parte del corpo e il peso, indicato dalla lettera - p.

Considera un'attività di esempio.

Dati due corpi di massa diversa m1 e m2, che risentono di forze peso diverse (come mostrato in figura). Annotando i pesi:

P1= m1*g, P2= m2*g;

Il baricentro è tra le due masse. E se tutto il corpo è sospeso in t.O, verrà il valore dell'equilibrio, cioè questi cesseranno di superarsi a vicenda.

Una varietà di forme geometriche ha fisici e calcoli sul baricentro. Ognuno ha il suo approccio e metodo.

Considerando il disco, chiariamo che al suo interno c'è il baricentro, più precisamente i diametri (come mostrato nella figura al punto C - il punto di intersezione dei diametri). Allo stesso modo si trovano i centri di un parallelepipedo o di una palla omogenea.

Il disco presentato ei due corpi di massa m1 e m2 sono di massa uniforme e di forma regolare. Qui si può notare che il baricentro che stiamo cercando si trova all'interno di questi oggetti. Tuttavia, nei corpi con massa disomogenea e forma irregolare, il centro può trovarsi al di là. Tu stesso senti che il compito sta già diventando più difficile.

L'equilibrio dal punto di vista della scienza economica è un tale stato del sistema in cui ciascuno dei partecipanti al mercato non vuole cambiare il proprio comportamento. L'equilibrio di mercato è quindi definito come una situazione in cui i venditori offrono in vendita esattamente la quantità di beni che gli acquirenti desiderano acquistare. Trovare il punto di equilibrio significa costruire un modello ideale di comportamento di mercato dei partecipanti alle relazioni economiche.

Istruzione

Usa i concetti di domanda e per trovare il punto di equilibrio. Questo aiuterà a determinare a quale livello di prezzo entrambe le funzioni avranno valori uguali. La domanda caratterizza gli acquirenti di acquistare un prodotto e - la volontà del produttore di vendere questo prodotto.

Esprimi le funzioni della domanda e dell'offerta utilizzando una tabella a tre colonne (vedi Figura 1). La prima colonna di numeri includerà i valori dei prezzi, ad esempio in per articolo. La seconda colonna definisce il volume della domanda e la terza il volume dell'offerta per un periodo predeterminato.

Utilizzare una visualizzazione grafica della domanda e dell'offerta per trovare l'equilibrio del mercato. Trasferisci i dati dalla tabella simile a quella sopra nello spazio di due assi, uno dei quali (P) mostra il livello dei prezzi e il secondo (Q) - il numero di unità di merce.

Disegna delle linee per collegare i punti che rappresentano la modifica dei parametri in ciascuna colonna. Di conseguenza, otterrai due grafici D e S che si intersecano ad un certo punto. La curva D è un riflesso della domanda dei consumatori per un prodotto e la curva S è un'immagine dell'offerta dello stesso prodotto sul mercato.

Contrassegnare il punto di intersezione delle due curve come A. Questo punto comune mostra il valore di equilibrio della quantità di merce e il suo prezzo in questo segmento di mercato. Tale rappresentazione grafica del punto di equilibrio è un'immagine più voluminosa e visiva della domanda e dell'offerta.

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Il baricentro di qualsiasi oggetto geometrico è il punto di intersezione di tutte le forze di gravità che agiscono sulla figura con qualsiasi cambiamento nella sua posizione. A volte questo segno potrebbe non coincidere con il corpo, essendo al di fuori dei suoi confini.

Sulla base delle formule generali sopra ottenute, è possibile indicare metodi specifici per determinare le coordinate dei baricentro dei corpi.

1. Simmetria. Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria (Fig. 7), il suo centro di gravità si trova rispettivamente nel piano di simmetria, nell'asse di simmetria o nel centro di simmetria.

Fig.7

2. Scissione. Il corpo è suddiviso in un numero finito di parti (Fig. 8), per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro e l'area.

Fig.8

3.Metodo delle aree negative. Un caso speciale del metodo di partizionamento (Fig. 9). Si applica ai corpi con intagli se sono noti i baricentro del corpo senza l'intaglio e l'intaglio. Un corpo a forma di piastra ritagliata è rappresentato da una combinazione di una piastra solida (senza ritaglio) con l'area S 1 e l'area della parte ritagliata S 2 .

Fig.9

4.metodo di raggruppamento.È una buona aggiunta agli ultimi due metodi. Dopo aver scomposto la figura nei suoi elementi costitutivi, può essere conveniente ricombinarne alcuni, in modo da semplificare poi la soluzione tenendo conto della simmetria di questo gruppo.

Centri di gravità di alcuni corpi omogenei.

1) Centro di gravità di un arco di cerchio. Considera l'arco AB raggio R con angolo centrale. A causa della simmetria, il baricentro di questo arco giace sull'asse Bue(Fig. 10).

Fig.10

Troviamo la coordinata usando la formula. Per fare ciò, seleziona sull'arco AB elemento MM' lunghezza, la cui posizione è determinata dall'angolo. Coordinata X elemento MM' volere . Sostituendo questi valori X e d l e tenendo presente che l'integrale deve essere esteso per tutta la lunghezza dell'arco, si ottiene:

dove l- lunghezza dell'arco AB, uguale a .

Da qui troviamo infine che il baricentro dell'arco circolare giace sul suo asse di simmetria ad una distanza dal centro o uguale a

dove l'angolo è misurato in radianti.

2) Il baricentro dell'area di un triangolo. Considera un triangolo che giace nel piano Ossi, le cui coordinate di vertice sono note: un io(x io,si io), (io= 1,2,3). Spezzare il triangolo in strisce sottili parallele al lato MA 1 MA 2 , giungiamo alla conclusione che il baricentro del triangolo deve appartenere alla mediana MA 3 M 3 (fig.11) .

Fig.11

Spezzare il triangolo in strisce parallele al lato MA 2 MA 3 , puoi assicurarti che si trovi sulla mediana MA 1 M uno . Così, il baricentro di un triangolo si trova nel punto di intersezione delle sue mediane, che, come sapete, separa la terza parte da ciascuna mediana, contando dal lato corrispondente.

In particolare per la mediana MA 1 M 1 otteniamo, dato che le coordinate del punto M 1 è la media aritmetica delle coordinate del vertice MA 2 e MA 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Pertanto, le coordinate del baricentro del triangolo sono la media aritmetica delle coordinate dei suoi vertici:

X c =(1/3)Σ x io ; y c =(1/3)Σ si io.

3) Il baricentro dell'area del settore circolare. Considera un settore di una circonferenza di raggio R con un angolo centrale di 2α, situato simmetricamente rispetto all'asse Bue(Fig. 12) .

È ovvio che y c = 0, e la distanza dal centro del cerchio da cui questo settore è tagliato al suo baricentro può essere determinata dalla formula:

Fig.12

Il modo più semplice per calcolare questo integrale è dividere il dominio di integrazione in settori elementari con un angolo dφ. Fino a infinitesimi del primo ordine, tale settore può essere sostituito da un triangolo di base uguale a R× dφ e altezza R. L'area di un tale triangolo dF=(1/2)R 2 ∙dφ, e il suo centro di gravità è a una distanza di 2/3 R dall'alto, quindi in (5) mettiamo X = (2/3)R∙cosφ. Sostituendo in (5) F= α R 2 otteniamo:

Utilizzando l'ultima formula, calcoliamo, in particolare, la distanza dal baricentro semicerchio.

Sostituendo in (2) α = π/2 si ottiene: X c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Esempio 1 Determiniamo il baricentro del corpo omogeneo mostrato in Fig. tredici.

Fig.13

Il corpo è omogeneo, costituito da due parti di forma simmetrica. Le coordinate dei loro centri di gravità:

I loro volumi:

Pertanto, le coordinate del baricentro del corpo

Esempio 2 Trova il baricentro di un piatto piegato ad angolo retto. Dimensioni - sul disegno (Fig. 14).

Fig.14

Coordinate dei centri di gravità:

Piazze:

Riso. 6.5.

Esempio 3 Da un foglio quadrato di cm si ritaglia un foro quadrato di cm (Fig. 15). Trova il baricentro del foglio.

Fig.15

In questo problema, è più conveniente dividere il corpo in due parti: un grande quadrato e un foro quadrato. Solo l'area del foro è da considerarsi negativa. Quindi le coordinate del baricentro del foglio con il foro:

coordinata poiché il corpo ha un asse di simmetria (diagonale).

Esempio 4 La staffa metallica (Fig. 16) è composta da tre sezioni della stessa lunghezza l.

Fig.16

Le coordinate dei baricentro delle sezioni:

Pertanto, le coordinate del baricentro dell'intera staffa:

Esempio 5 Determinare la posizione del baricentro del traliccio, le cui aste hanno tutte la stessa densità lineare (Fig. 17).

Ricordiamo che in fisica la densità di un corpo ρ e il suo peso specifico g sono legati dalla relazione: γ= ρ g, dove g- accelerazione di gravità. Per trovare la massa di un corpo così omogeneo, devi moltiplicare la densità per il suo volume.

Fig.17

Il termine densità "lineare" o "lineare" significa che per determinare la massa del truss rod, la densità lineare deve essere moltiplicata per la lunghezza di questo tondino.

Per risolvere il problema, puoi utilizzare il metodo di partizionamento. Rappresentando un dato traliccio come somma di 6 singole aste, otteniamo:

dove L io lunghezza io-th asta della fattoria, e x io, si io sono le coordinate del suo baricentro.

La soluzione a questo problema può essere semplificata raggruppando gli ultimi 5 truss rod. È facile vedere che formano una figura con un centro di simmetria situato nel mezzo della quarta asta, dove si trova il baricentro di questo gruppo di aste.

Pertanto, un determinato traliccio può essere rappresentato da una combinazione di soli due gruppi di aste.

Il primo gruppo è costituito dalla prima canna, per questo l 1 = 4 m, X 1 = 0 m, y 1 = 2 M. Il secondo gruppo di aste è composto da cinque aste, per le quali l 2 = 20 m, X 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Le coordinate del baricentro della fattoria si trovano con la formula:

X c = (l 1 ∙X 1 +l 2 ∙X 2)/(l 1 + l 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (l 1 ∙y 1 +l 2 ∙y 2)/(l 1 + l 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Si noti che il centro Insieme a giace sulla linea di collegamento Insieme a 1 e Insieme a 2 e divide il segmento Insieme a 1 Insieme a 2 in merito a: Insieme a 1 Insieme a/SS 2 = (X c - X 1)/(X 2 - X c ) = l 2 /l 1 = 2,5/0,5.

Domande per l'autoesame

Qual è il centro delle forze parallele?

Come si determinano le coordinate del centro delle forze parallele?

Come determinare il centro delle forze parallele, la cui risultante è zero?

Qual è la proprietà del centro delle forze parallele?

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate del centro delle forze parallele?

Qual è il baricentro di un corpo?

Perché le forze di attrazione della Terra, agenti su un punto del corpo, possono essere prese come un sistema di forze parallele?

Annotare la formula per determinare la posizione del baricentro di corpi disomogenei e omogenei, la formula per determinare la posizione del baricentro di sezioni piane?

Scrivi la formula per determinare la posizione del baricentro di semplici forme geometriche: un rettangolo, un triangolo, un trapezio e un semicerchio?

Come si chiama il momento statico dell'area?

Fai un esempio di un corpo il cui baricentro si trova all'esterno del corpo.

Come vengono utilizzate le proprietà di simmetria per determinare i centri di gravità dei corpi?

Qual è l'essenza del metodo dei pesi negativi?

Dove si trova il baricentro dell'arco circolare?

Quale costruzione grafica può essere utilizzata per trovare il baricentro di un triangolo?

Scrivi la formula che determina il baricentro di un settore circolare.

Usando formule che determinano i centri di gravità di un triangolo e di un settore circolare, ricava una formula simile per un segmento circolare.

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate dei centri di gravità di corpi omogenei, figure piane e linee?

Quello che viene chiamato il momento statico dell'area di una figura piatta rispetto all'asse, come viene calcolato e che dimensione ha?

Come determinare la posizione del baricentro dell'area, se è nota la posizione dei baricentro delle sue singole parti?

Quali teoremi ausiliari vengono utilizzati per determinare la posizione del baricentro?

6.1. Informazione Generale

Centro di forze parallele
Si considerino due forze parallele dirette nella stessa direzione , e , applicate al corpo nei punti MA 1 e MA 2 (fig.6.1). Questo sistema di forze ha una risultante, la cui linea d'azione passa per un certo punto Insieme a. Posizione del punto Insieme a può essere trovato usando il teorema di Varignon:

Se giri la forza e ti avvicini ai punti MA 1 e MA 2 in una direzione e con la stessa angolazione, quindi otteniamo un nuovo sistema di grassi paralleli aventi gli stessi moduli. In questo caso, anche la loro risultante passerà attraverso il punto Insieme a. Tale punto è chiamato centro di forze parallele.
Si consideri un sistema di forze parallele ed egualmente dirette applicate a un corpo rigido in punti. Questo sistema ha una risultante.
Se ciascuna forza del sistema viene ruotata vicino ai punti della loro applicazione nella stessa direzione e allo stesso angolo, si otterranno nuovi sistemi di forze parallele egualmente dirette con gli stessi moduli e punti di applicazione. Il risultante di tali sistemi avrà lo stesso modulo R, ma ogni volta in una direzione diversa. Deposto la forza F 1 e F 2 trovano che la loro risultante R 1 , che passerà sempre per il punto Insieme a 1, la cui posizione è determinata dall'uguaglianza. Aggiungendo ulteriormente R 1 e F 3 , trova la loro risultante, che passerà sempre per il punto Insieme a 2 sdraiato sulla linea MA 3 Insieme a 2. Avendo portato a termine il processo di addizione delle forze, giungeremo alla conclusione che la risultante di tutte le forze passerà infatti sempre per lo stesso punto Insieme a, la cui posizione rispetto ai punti rimarrà invariata.
Punto Insieme a, attraverso la quale passa la linea d'azione del sistema risultante di forze parallele per ogni rotazione di queste forze vicino ai punti della loro applicazione nella stessa direzione allo stesso angolo è chiamata centro delle forze parallele (Fig. 6.2).

Fig.6.2

Determiniamo le coordinate del centro delle forze parallele. Dalla posizione del punto Insieme a rispetto al corpo è invariato, quindi le sue coordinate non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate. Ruotare tutte le forze vicino alla loro applicazione in modo che diventino parallele all'asse UO e applica il teorema di Varignon alle forze ruotate. Come R"è la risultante di queste forze, quindi, secondo il teorema di Varignon, abbiamo , perché , , noi abbiamo

Da qui troviamo la coordinata del centro delle forze parallele zc:

Per determinare la coordinata xc comporre un'espressione per il momento delle forze attorno all'asse Oz.

Per determinare la coordinata yc ruotare tutte le forze in modo che diventino parallele all'asse Oz.

La posizione del centro delle forze parallele rispetto all'origine (Fig. 6.2) può essere determinata dal suo vettore raggio:

6.2. Baricentro di un corpo rigido

centro di gravità di un corpo rigido è un punto invariabilmente associato a questo corpo Insieme a, attraverso la quale passa la linea d'azione della risultante delle forze di gravità di un dato corpo, per qualsiasi posizione del corpo nello spazio.
Il centro di gravità viene utilizzato nello studio della stabilità delle posizioni di equilibrio di corpi e mezzi continui sotto l'influenza della gravità e in alcuni altri casi, vale a dire: nella resistenza dei materiali e nella meccanica strutturale - quando si utilizza la regola di Vereshchagin.
Esistono due modi per determinare il baricentro di un corpo: analitico e sperimentale. Il metodo analitico per la determinazione del baricentro deriva direttamente dal concetto di centro di forze parallele.
Le coordinate del baricentro, come centro delle forze parallele, sono determinate dalle formule:

dove R- peso di tutto il corpo; pk- peso delle particelle corporee; xk, yk, zk- coordinate delle particelle corporee.
Per un corpo omogeneo, il peso di tutto il corpo e di qualsiasi sua parte è proporzionale al volume P=Vγ, pk =vk γ, dove γ - peso per unità di volume, V- volume del corpo. Espressioni sostitutive P, pk nelle formule per determinare le coordinate del baricentro e, riducendo di un fattore comune γ , noi abbiamo:

Punto Insieme a, le cui coordinate sono determinate dalle formule ottenute il baricentro del volume.
Se il corpo è una sottile piastra omogenea, il baricentro è determinato dalle formule:

dove S- area dell'intero piatto; sk- l'area da parte sua; xk, yk- coordinate del baricentro delle parti in lamiera.
Punto Insieme a in questo caso viene chiamato zona del baricentro.
Si chiamano con i numeratori delle espressioni che determinano le coordinate del baricentro delle figure piane momenti statici del territorio sugli assi A e X:

Quindi il baricentro dell'area può essere determinato dalle formule:

Per i corpi la cui lunghezza è molte volte maggiore delle dimensioni della sezione trasversale, viene determinato il baricentro della linea. Le coordinate del baricentro della linea sono determinate dalle formule:

dove l- lunghezza della linea; lc- la lunghezza delle sue parti; xk, yk, zk- coordinata del baricentro delle parti di linea.

6.3. Metodi per determinare le coordinate dei centri di gravità dei corpi

Sulla base delle formule ottenute, è possibile proporre metodi pratici per determinare i baricentro dei corpi.
1. Simmetria. Se il corpo ha un centro di simmetria, allora il centro di gravità è al centro di simmetria.
Se il corpo ha un piano di simmetria. Ad esempio, il piano XOU, quindi il centro di gravità si trova in questo piano.
2. scissione. Per i corpi costituiti da corpi semplici, viene utilizzato il metodo di divisione. Il corpo è diviso in parti, il cui centro di gravità si trova con il metodo della simmetria. Il baricentro dell'intero corpo è determinato dalle formule per il baricentro del volume (area).

Esempio. Determinare il baricentro della piastra mostrato nella figura sottostante (Fig. 6.3). La piastra può essere divisa in rettangoli in vari modi e si possono determinare le coordinate del baricentro di ciascun rettangolo e la loro area.

Fig.6.3

Risposta: Xc= 17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Aggiunta. Questo metodo è un caso speciale del metodo di partizionamento. Viene utilizzato quando il corpo presenta intagli, tagli, ecc., se si conoscono le coordinate del baricentro del corpo senza l'intaglio.

Esempio. Determinare il baricentro di una piastra rotonda avente un ritaglio con un raggio r = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

La piastra rotonda ha un centro di simmetria. Posizioniamo l'origine delle coordinate al centro del piatto. Area della piastra senza tacca, area della tacca. Area della piastra dentellata; .
La piastra dentata ha un asse di simmetria O1 x, quindi, yc=0.

4. Integrazione. Se il corpo non può essere diviso in un numero finito di parti, di cui sono note le posizioni dei baricentro, il corpo viene diviso in piccoli volumi arbitrari, per i quali la formula che utilizza il metodo di partizione assume la forma: .
Inoltre passano al limite, tendendo a zero i volumi elementari, cioè contrazione dei volumi in punti. Le somme vengono sostituite da integrali estesi all'intero volume del corpo, quindi le formule per determinare le coordinate del baricentro del volume assumono la forma:

Formule per determinare le coordinate del baricentro dell'area:

Le coordinate del baricentro dell'area devono essere determinate studiando l'equilibrio delle piastre, quando si calcola l'integrale di Mohr in meccanica strutturale.

Esempio. Determina il baricentro di un arco di cerchio di raggio R con angolo centrale AOB= 2α (Fig. 6.5).

Riso. 6.5

L'arco di cerchio è simmetrico all'asse Oh, quindi, il baricentro dell'arco giace sull'asse Oh, si = 0.
Secondo la formula per il baricentro di una linea:

6.Modo sperimentale. I centri di gravità di corpi disomogenei di configurazione complessa possono essere determinati sperimentalmente: appendendo e pesando. Il primo modo è che il corpo sia sospeso su un cavo in vari punti. La direzione della fune su cui è sospeso il corpo darà la direzione della gravità. Il punto di intersezione di queste direzioni determina il baricentro del corpo.
Il metodo di pesatura consiste nel determinare prima il peso di un corpo, come un'auto. Quindi, sulla bilancia, viene determinata la pressione dell'asse posteriore dell'auto sul supporto. Compilando un'equazione di equilibrio rispetto a un punto, ad esempio l'asse delle ruote anteriori, puoi calcolare la distanza da questo asse al baricentro dell'auto (Fig. 6.6).

Fig.6.6

A volte, quando si risolvono problemi, è necessario applicare contemporaneamente metodi diversi per determinare le coordinate del baricentro.

6.4. Centri di gravità di alcune semplici forme geometriche

Per determinare i centri di gravità di corpi di forma comune (triangolo, arco circolare, settore, segmento), è conveniente utilizzare i dati di riferimento (Tabella 6.1).

Tabella 6.1

Coordinate del baricentro di alcuni corpi omogenei

№	Nome della figura	Foto
	arco di cerchio: il baricentro di un arco di circonferenza omogenea è sull'asse di simmetria (coordinata yc=0). Rè il raggio del cerchio.
	Settore circolare omogeneo yc=0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Segmento: il baricentro si trova sull'asse di simmetria (coordinata yc=0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Semicerchio:
	Triangolo: il baricentro di un triangolo omogeneo si trova nel punto di intersezione delle sue mediane. dove x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- coordinate dei vertici del triangolo
	Cono: il baricentro di un cono circolare omogeneo giace alla sua altezza ed è ad una distanza di 1/4 dell'altezza dalla base del cono.

Nella pratica ingegneristica, capita che diventi necessario calcolare le coordinate del baricentro di una figura piatta complessa costituita da elementi semplici per i quali è nota la posizione del baricentro. Questo compito fa parte del compito di determinare...

Caratteristiche geometriche di sezioni trasversali composte di travi e tondini. Spesso tali domande vengono affrontate da ingegneri progettisti di stampi di punzonatura quando determinano le coordinate del centro di pressione, sviluppatori di schemi di carico per vari veicoli durante il posizionamento di carichi, progettisti di strutture metalliche durante la selezione di sezioni di elementi e, naturalmente, studenti durante lo studio le discipline “Meccanica Teorica” e “Forza dei Materiali”.

Biblioteca di figure elementari.

Per le figure piane simmetriche, il baricentro coincide con il centro di simmetria. Il gruppo simmetrico di oggetti elementari comprende: un cerchio, un rettangolo (compreso un quadrato), un parallelogramma (compreso un rombo), un poligono regolare.

Delle dieci cifre mostrate nella figura sopra, solo due sono di base. Cioè, usando triangoli e settori di cerchi, puoi combinare quasi tutte le figure di interesse pratico. Eventuali curve arbitrarie possono essere suddivise in sezioni e sostituite da archi di cerchio.

Le restanti otto figure sono le più comuni, motivo per cui sono state incluse in questo tipo di biblioteca. Nella nostra classificazione, questi elementi non sono fondamentali. Un rettangolo, un parallelogramma e un trapezio possono essere formati da due triangoli. Un esagono è la somma di quattro triangoli. Il segmento del cerchio è la differenza tra il settore del cerchio e il triangolo. Il settore anulare del cerchio è la differenza tra i due settori. Un cerchio è un settore di un cerchio con un angolo α=2*π=360˚. Un semicerchio è, rispettivamente, un settore di un cerchio con un angolo α=π=180˚.

Calcolo in Excel delle coordinate del baricentro di una figura composta.

È sempre più facile trasmettere e percepire informazioni prendendo in considerazione un esempio che studiare la questione su calcoli puramente teorici. Considera la soluzione al problema "Come trovare il baricentro?" sull'esempio di una figura composta mostrata nella figura sotto questo testo.

Una sezione composta è un rettangolo (con dimensioni un1 = 80 mm, b1 \u003d 40 mm), a cui è stato aggiunto un triangolo isoscele in alto a sinistra (con le dimensioni della base un2 =24 mm e altezza h2 \u003d 42 mm) e da cui è stato tagliato un semicerchio in alto a destra (centrato nel punto con le coordinate X03 =50 mm e y03 =40 mm, raggio r3 =26 mm).

Per aiutarti a eseguire il calcolo, coinvolgeremo il programma MS Excel o programma Oo Calc . Ognuno di loro affronterà facilmente il nostro compito!

Nelle celle con giallo il riempimento è fattibile preliminare ausiliario calcoli .

Nelle celle con un riempimento giallo chiaro, contiamo i risultati.

Blu il carattere è dati iniziali .

Nero il carattere è intermedio risultati di calcolo .

Rosso il carattere è finale risultati di calcolo .

Iniziamo a risolvere il problema: iniziamo a cercare le coordinate del baricentro della sezione.

Dati iniziali:

1. I nomi delle figure elementari che compongono la sezione composta verranno inseriti di conseguenza

alla cella D3: Rettangolo

alla cella E3: Triangolo

alla cella F3: Semicerchio

2. Utilizzando la "Biblioteca delle figure elementari" presentata in questo articolo, determiniamo le coordinate dei baricentro degli elementi della sezione composita xci e yci in mm rispetto agli assi scelti arbitrariamente 0x e 0y e scrivi

alla cella D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = un 1 /2

alla cella D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

alla cella E4: =24/2 =12,000

xc 2 = un 2 /2

alla cella E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

alla cella F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

alla cella F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Calcola l'area degli elementi F 1 , F 2 , F3 in mm2, utilizzando ancora le formule della sezione "Biblioteca delle figure elementari"

nella cella D6: =40*80 =3200

F1 = un 1 * b1

nella cella E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

nella cella F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

L'area del terzo elemento - il semicerchio - è negativa perché questo ritaglio è uno spazio vuoto!

Calcolo delle coordinate del baricentro:

4. Determina l'area totale della figura finale F0 in mm2

nella cella unita D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Calcola i momenti statici della figura composita Sx e Si in mm3 rispetto agli assi selezionati 0x e 0y

nella cella unita D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

nella cella unita D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Si = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Infine, calcoliamo le coordinate del baricentro della sezione composta Xc e Yc in mm nel sistema di coordinate selezionato 0x - 0y

nella cella unita D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Si / F0

nella cella unita D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Il problema è risolto, il calcolo in Excel è completato: vengono trovate le coordinate del baricentro della sezione, compilate utilizzando tre semplici elementi!

Conclusione.

L'esempio nell'articolo è stato scelto per essere molto semplice in modo da facilitare la comprensione della metodologia per il calcolo del baricentro di una sezione complessa. Il metodo sta nel fatto che qualsiasi figura complessa dovrebbe essere suddivisa in elementi semplici con posizioni note dei baricentro e dovrebbero essere effettuati calcoli finali per l'intera sezione.

Se la sezione è composta da profili laminati - angoli e canali, non è necessario suddividerli in rettangoli e quadrati con settori circolari ritagliati "π / 2". Le coordinate dei centri di gravità di questi profili sono riportate nelle tabelle GOST, ovvero sia l'angolo che il canale saranno elementi elementari di base nei tuoi calcoli di sezioni composite (non ha senso parlare di travi a I, tubi , barre ed esagoni - queste sono sezioni simmetriche centrali).

La posizione degli assi delle coordinate sulla posizione del baricentro della figura, ovviamente, non influisce! Pertanto, scegli un sistema di coordinate che semplifichi i tuoi calcoli. Se, ad esempio, ruotassi il sistema di coordinate di 45˚ in senso orario nel nostro esempio, il calcolo delle coordinate dei centri di gravità di un rettangolo, triangolo e semicerchio si trasformerebbe in un altro passo di calcolo separato e ingombrante che non puoi fare " nella tua testa".

Il file di calcolo Excel presentato di seguito non è un programma in questo caso. Piuttosto, è uno schizzo di una calcolatrice, un algoritmo, un modello che segue in ogni caso. crea la tua sequenza di formule per le celle con un riempimento giallo brillante.

Quindi, ora sai come trovare il baricentro di qualsiasi sezione! Un calcolo completo di tutte le caratteristiche geometriche di sezioni composite arbitrarie complesse sarà considerato in uno dei prossimi articoli sotto il titolo "". Segui le notizie sul blog.

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Alcune parole su un bicchiere, una moneta e due forchette, che sono raffigurate sull'"illustrazione dell'icona" all'inizio dell'articolo. Molti di voi conoscono sicuramente questo "trucco" che evoca sguardi ammirati da bambini e adulti non iniziati. L'argomento di questo articolo è il baricentro. È lui e il fulcro, che giocano con la nostra coscienza ed esperienza, ingannano semplicemente la nostra mente!

Il baricentro del sistema "forchette + moneta" è sempre posizionato su fisso distanza verticale verso il basso dal bordo della moneta, che a sua volta è il fulcro. Questa è una posizione di equilibrio stabile! Se scuoti le forche, diventa immediatamente evidente che il sistema si sta sforzando di riprendere la sua precedente posizione stabile! Immagina un pendolo - il punto di ancoraggio (= il punto di appoggio della moneta sul bordo del bicchiere), l'asse del pendolo (= nel nostro caso l'asse è virtuale, poiché la massa delle due forcelle è separati in diverse direzioni dello spazio) e il peso nella parte inferiore dell'asse (= baricentro dell'intero sistema "forchetta" + moneta"). Se inizi a deviare il pendolo dalla verticale in qualsiasi direzione (avanti, indietro, sinistra, destra), tornerà inevitabilmente alla sua posizione originale sotto l'influenza della gravità. stato di equilibrio stabile(lo stesso accade con le nostre forchette e monete)!

Chi non ha capito, ma vuole capire, scoprilo tu stesso. È molto interessante "raggiungere" te stesso! Aggiungo che lo stesso principio dell'utilizzo di un equilibrio stabile è implementato anche nel giocattolo Roly-Get Up. Solo il baricentro di questo giocattolo si trova sopra il fulcro, ma sotto il centro dell'emisfero della superficie di appoggio.

I vostri commenti sono sempre ben accetti, cari lettori!

Chiedere, RISPETTO opera dell'autore, scarica il file DOPO L'ISCRIZIONE per annunci di articoli.

Obbiettivo – determinare analiticamente e sperimentalmente il baricentro di una figura complessa.

Giustificazione teorica. I corpi materiali sono costituiti da particelle elementari, la cui posizione nello spazio è determinata dalle loro coordinate. Le forze di attrazione di ciascuna particella sulla Terra possono essere considerate un sistema di forze parallele, la risultante di queste forze è chiamata forza di gravità del corpo o peso del corpo. Il baricentro di un corpo è il punto di applicazione della gravità.

Il baricentro è un punto geometrico che può trovarsi anche all'esterno del corpo (ad esempio un disco con un foro, una sfera vuota, ecc.). Di grande importanza pratica è la determinazione del baricentro di lastre sottili piatte omogenee. Il loro spessore può essere generalmente trascurato e si può presumere che il baricentro sia posizionato su un piano. Se il piano delle coordinate xOy è allineato con il piano della figura, la posizione del baricentro è determinata da due coordinate:

dov'è l'area di una parte della figura, ();

- coordinate del baricentro delle parti della figura, mm (cm).

Sezione trasversale di una figura	A, mm 2	Xc,mm	Yc, mm
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R2a
Per 2α = π πR 2 /2

Procedura di lavoro.

Disegna una figura di forma complessa, composta da 3-4 figure semplici (rettangolo, triangolo, cerchio, ecc.) su una scala di 1:1 e annota le sue dimensioni.

Disegna gli assi delle coordinate in modo che coprano l'intera figura, suddividi una figura complessa in parti semplici, determini l'area e le coordinate del baricentro di ciascuna figura semplice rispetto al sistema di coordinate selezionato.

Calcola analiticamente le coordinate del baricentro dell'intera figura. Ritaglia questa forma da cartone sottile o compensato. Pratica due fori, i bordi dei fori dovrebbero essere lisci e il diametro dei fori dovrebbe essere leggermente più grande del diametro dell'ago per appendere la figura.

Appendi prima la figura in un punto (foro), traccia una linea con una matita che coincide con il filo a piombo. Ripeti lo stesso quando appendi la figura in un altro punto. Il baricentro della figura, trovato empiricamente, deve corrispondere.

Determinare analiticamente le coordinate del baricentro di una lastra omogenea sottile. Verifica per esperienza

Algoritmo risolutivo

1. Metodo analitico.

a) Disegna il disegno in scala 1:1.

b) Dividere una figura complessa in figure semplici

c) Selezionare e disegnare gli assi delle coordinate (se la figura è simmetrica, quindi - lungo l'asse di simmetria, altrimenti - lungo il contorno della figura)

d) Calcola l'area delle figure semplici e l'intera figura

e) Segnare la posizione del baricentro di ogni semplice figura nel disegno

f) Calcolare le coordinate del baricentro di ogni figura

(lungo l'asse xey)

g) Calcolare le coordinate del baricentro dell'intera figura utilizzando la formula

h) Segnare la posizione del baricentro sul disegno C (

2. Determinazione esperta.

La correttezza della soluzione del problema viene verificata sperimentalmente. Ritaglia questa forma da cartone sottile o compensato. Pratica tre fori, i bordi dei fori dovrebbero essere lisci e il diametro dei fori dovrebbe essere leggermente più grande del diametro dell'ago per appendere la figura.

Appendi prima la figura in un punto (foro), traccia una linea con una matita che coincide con il filo a piombo. Ripeti lo stesso quando appendi la figura in altri punti. Il valore delle coordinate del baricentro della figura, trovato appendendo la figura in due punti: . Il baricentro della figura, trovato empiricamente, deve corrispondere.

3. Conclusione sulla posizione del baricentro nella determinazione analitica e sperimentale.

Esercizio

Determinare analiticamente ed empiricamente il baricentro di una sezione piana.

Esempio di esecuzione

Compito

Determinare le coordinate del baricentro di una lastra omogenea sottile.

I Metodo analitico

1. Il disegno è disegnato in scala (le dimensioni sono generalmente espresse in mm)

2. Dividiamo la figura complessa in figure semplici.

1- Rettangolo

2- Triangolo (rettangolo)

3- L'area di un semicerchio (non ce n'è, segno meno).

Troviamo la posizione del baricentro di semplici figure di punti, e

3. Disegniamo gli assi delle coordinate come conveniente e segniamo l'origine delle coordinate t.O.

4. Calcoliamo le aree delle figure semplici e l'area dell'intera figura. [dimensione in cm]

(3. no, segno -).

L'area dell'intera figura

5. Trova la coordinata del c.t. , e nel disegno.

6. Calcolare le coordinate dei punti C 1 , C 2 e C 3

7. Calcola le coordinate del punto C

8. Segna un punto sul disegno

II Esperto

Coordinate del baricentro empiricamente.

Domande di prova.

1. La forza di gravità di un corpo può essere considerata come un sistema risultante di forze parallele?

2. È possibile localizzare il baricentro dell'intero corpo stesso?

3. Qual è l'essenza della determinazione sperimentale del baricentro di una figura piatta?

4. Come si determina il baricentro di una figura complessa, costituita da più figure semplici?

5. Come dovrebbe essere razionale dividere una figura di forma complessa in figure semplici quando si determina il baricentro dell'intera figura?

6. Qual è il segno dell'area del foro nella formula per determinare il baricentro?

7. All'intersezione di quali linee del triangolo si trova il suo baricentro?

8. Se la cifra è difficile da scomporre in un piccolo numero di cifre semplici, quale metodo per determinare il baricentro può dare la risposta più veloce?

Lavoro pratico n. 6

"Risolvere problemi di natura complessa"

Obbiettivo: essere in grado di risolvere problemi di natura complessa (cinematica, dinamica)

Giustificazione teorica: La velocità è una misura cinematica del movimento di un punto, che caratterizza la velocità di cambiamento nella sua posizione. La velocità di un punto è un vettore che caratterizza la velocità e la direzione del movimento di un punto in un dato momento. Quando si specifica il moto di un punto mediante le equazioni, le proiezioni della velocità sugli assi delle coordinate cartesiane sono uguali a:

Il modulo di velocità puntuale è determinato dalla formula

La direzione della velocità è determinata dai coseni di direzione:

Una caratteristica della velocità di variazione della velocità è l'accelerazione a. L'accelerazione di un punto è uguale alla derivata temporale del vettore velocità:

Quando si specifica il movimento di un punto, le equazioni per la proiezione dell'accelerazione sugli assi delle coordinate sono:

Modulo di accelerazione:

Modulo di accelerazione completo

Il modulo di accelerazione tangenziale è determinato dalla formula

Il modulo di accelerazione normale è determinato dalla formula

dove è il raggio di curvatura della traiettoria in un dato punto.

La direzione dell'accelerazione è determinata dai coseni di direzione

L'equazione del moto rotatorio di un corpo rigido attorno ad un asse fisso ha la forma

Velocità angolare del corpo:

A volte la velocità angolare è caratterizzata dal numero di giri al minuto ed è indicata dalla lettera. La relazione tra e ha la forma

Accelerazione angolare del corpo:

La forza uguale al prodotto della massa di un dato punto per la sua accelerazione e la direzione nella direzione direttamente opposta all'accelerazione del punto è chiamata forza d'inerzia.

La potenza è il lavoro svolto da una forza per unità di tempo.

Equazione di base della dinamica del moto rotatorio

- il momento d'inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione, è la somma dei prodotti delle masse dei punti materiali per quadrato delle loro distanze da questo asse

Esercizio

Un corpo di massa m, con l'ausilio di un cavo avvolto su un tamburo di diametro d, si muove su o giù per un piano inclinato con angolo di inclinazione α. Equazione del moto del corpo S=f(t), equazione della rotazione del tamburo, dove S è in metri; φ - in radianti; t è in secondi. P e ω sono rispettivamente la potenza e la velocità angolare sull'albero del tamburo al momento della fine dell'accelerazione o dell'inizio della decelerazione. Tempo t 1 - tempo di accelerazione (da riposo a una data velocità) o decelerazione (da una data velocità a uno stop). Il coefficiente di attrito radente tra il corpo e il piano è –f. Ignora le perdite per attrito sul tamburo, così come la massa del tamburo. Quando risolvi i problemi, prendi g \u003d 10 m / s 2

n. var	α, gradi	Legge del moto	Ad esempio, muoviti	m, kg	t1, c	d, m	P, kW	, rad/s	f	def. le quantità
		S=0,8t2	Giù	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t1
		φ=4t2	Giù		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t2	su	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t2	su	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t2	Giù		-	-	1,76		0,20	d,t1
		S=1,5t2	Giù	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9t2	Giù		-	0,18	-		0,20	P, t1
		φ=10t2	Giù		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t1
		S=t-1,25t2	su		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	su		-	0,20	-	-	0,14	p, w

Esempio di esecuzione

Compito 1(figura 1).

Soluzione 1 Moto rettilineo (Figura 1, a). Un punto che si muoveva uniformemente ad un certo punto ricevette una nuova legge di moto, e dopo un certo periodo di tempo si fermò. Determinare tutte le caratteristiche cinematiche del movimento di un punto per due casi; a) movimento lungo una traiettoria rettilinea; b) movimento lungo una traiettoria curvilinea di raggio di curvatura costante r=100cm

Figura 1(a).

Legge del cambio di velocità puntuale

Troviamo la velocità iniziale del punto dalla condizione:

Il tempo di decelerazione per l'arresto può essere ricavato dalla condizione:

a, da qui.

La legge del moto di un punto in un periodo di moto uniforme

La distanza percorsa da un punto lungo la traiettoria durante il periodo di frenata,

La legge di variazione dell'accelerazione tangenziale di un punto

da cui ne consegue che durante il periodo di decelerazione, il punto mosso uniformemente ha rallentato, poiché l'accelerazione tangenziale è negativa e di valore costante.

L'accelerazione normale di un punto su una traiettoria rettilinea è zero, cioè .

Soluzione 2 Movimento curvilineo (Figura 1, b).

Figura 1 (b)

In questo caso, rispetto al caso del moto rettilineo, tutte le caratteristiche cinematiche rimangono invariate, ad eccezione dell'accelerazione normale.

La legge di variazione dell'accelerazione normale di un punto

Accelerazione normale di un punto al momento iniziale della decelerazione

La numerazione delle posizioni del punto sulla traiettoria adottata nel disegno: 1 - la posizione attuale del punto in moto uniforme prima dell'inizio della frenata; 2 – posizione del punto al momento della partenza della frenata; 3 – posizione attuale del punto durante il periodo di frenata; 4 - posizione finale del punto.

Compito 2.

Il carico (Fig. 2, a) viene sollevato utilizzando un argano a tamburo. Il diametro del tamburo è d=0,3 m e la legge della sua rotazione è .

L'accelerazione del tamburo è durata fino alla velocità angolare. Determinare tutte le caratteristiche cinematiche del movimento del tamburo e del carico.

Decisione. La legge di variazione della velocità angolare del tamburo. Troviamo la velocità angolare iniziale dalla condizione: ; pertanto, l'accelerazione è iniziata da fermo. Troviamo il tempo di accelerazione dalla condizione: . L'angolo di rotazione del tamburo durante il periodo di accelerazione.

La legge di variazione dell'accelerazione angolare del tamburo, quindi ne consegue che durante il periodo di accelerazione il tamburo ruotava uniformemente accelerato.

Le caratteristiche cinematiche del carico sono uguali alle corrispondenti caratteristiche di un qualsiasi punto del cavo di trazione, e quindi del punto A, giacente sul bordo del tamburo (Fig. 2, b). Come è noto, le caratteristiche lineari di un punto di un corpo rotante sono determinate dalle sue caratteristiche angolari.

La distanza percorsa dal carico durante il periodo di accelerazione, . Velocità di carico al termine dell'accelerazione.

Accelerazione del carico.

Legge del movimento delle merci.

La distanza, la velocità e l'accelerazione del carico potrebbero essere determinate in altro modo, attraverso la trovata legge di movimento del carico:

Compito 3. Un carico che si muove uniformemente verso l'alto lungo un piano di riferimento inclinato in un determinato momento ha ricevuto una frenatura secondo la nuova legge del moto , dove s è in metri e t è in secondi. Massa del carico m = 100 kg, coefficiente di attrito radente tra il carico e il piano f=0,25. Determinare la forza F e la potenza sul cavo di trazione per due istanti di tempo: a) movimento uniforme prima dell'inizio della frenata;

b) il momento iniziale della frenata. Durante il calcolo, prendi g \u003d 10 m / .

Decisione. Determiniamo le caratteristiche cinematiche del movimento del carico.

La legge di variazione della velocità del carico

Velocità di carico iniziale (a t=0)

Accelerazione del carico

Poiché l'accelerazione è negativa, il movimento è lento.

1. Movimento uniforme del carico.

Per determinare la forza motrice F si considera l'equilibrio del carico, che risente di un sistema di forze convergenti: la forza sul cavo F, la forza di gravità del carico G=mg, la reazione normale della superficie di appoggio N e la forza di attrito diretta verso il movimento del corpo. Secondo la legge di attrito, . Scegliamo la direzione degli assi delle coordinate, come mostrato nel disegno, ed elaboriamo due equazioni di equilibrio per il carico:

La potenza sul cavo prima dell'inizio della frenata è determinata dalla nota formula

Dove m / s.

2. Movimento lento del carico.

Come è noto, con un moto traslatorio irregolare di un corpo, il sistema di forze agenti su di esso nella direzione del moto non è equilibrato. Secondo il principio d'Alembert (metodo cinetostatico), il corpo in questo caso può essere considerato in equilibrio condizionato, se a tutte le forze che agiscono su di esso si aggiunge la forza d'inerzia, il cui vettore è diretto opposto al vettore di accelerazione. Il vettore di accelerazione nel nostro caso è diretto opposto al vettore di velocità, poiché il carico si muove lentamente. Componiamo due equazioni di equilibrio per il carico:

Accendere il cavo al momento della frenata

Domande di prova.

1. Come determinare il valore numerico e la direzione della velocità di un punto in un dato momento?

2. Cosa caratterizza le componenti normale e tangenziale dell'accelerazione totale?

3. Come passare dall'espressione della velocità angolare in min -1 alla sua espressione rad / s?

4. Qual è il peso corporeo? Qual è l'unità di misura della massa

5. Da quale moto di un punto materiale sorge la forza d'inerzia? Qual è il suo valore numerico, come è diretto?

6. Formulare il principio d'Alembert

7. La forza d'inerzia sorge nel moto curvilineo uniforme di un punto materiale?

8. Cos'è la coppia?

9. Come viene espressa la relazione tra coppia e velocità angolare per una data potenza trasmessa?

10. L'equazione di base della dinamica del moto rotatorio.

Lavoro pratico n. 7

"Calcolo delle strutture per la forza"

Obbiettivo: determinare la resistenza, le dimensioni della sezione trasversale e il carico ammissibile

Giustificazione teorica.

Conoscendo i fattori di forza e le caratteristiche geometriche della sezione durante la deformazione a trazione (compressione), possiamo determinare la sollecitazione mediante le formule. E per capire se la nostra parte (albero, ingranaggio, ecc.) può sopportare un carico esterno. È necessario confrontare questo valore con la tensione consentita.

Quindi, l'equazione della resistenza statica

Sulla base di esso, vengono risolti 3 tipi di attività:

1) prova di forza

2) determinazione delle dimensioni della sezione

3) determinazione del carico ammissibile

Quindi, l'equazione della rigidità statica

Sulla base di esso, vengono risolti anche 3 tipi di attività

Equazione della resistenza a trazione statica (compressione).

1) Primo tipo - prova di forza

,

cioè, risolviamo il lato sinistro e lo confrontiamo con la tensione consentita.

2) Il secondo tipo: determinare le dimensioni della sezione

dal lato destro della sezione trasversale

cerchio di sezione trasversale

da qui il diametro d

Rettangolo di sezione

Sezione quadrata

A = a² (mm²)

Sezione trasversale di un semicerchio

Sezioni canale, I-beam, angolo, ecc.

Valori dell'area - dalla tabella, presi secondo GOST

3) Il terzo tipo è la determinazione del carico ammissibile;

tolto, intero

ESERCIZIO

Compito

A) Prova di resistenza (calcolo di verifica)

Per una data trave, costruire un diagramma delle forze longitudinali e verificare la resistenza in entrambe le sezioni. Per il materiale della trave (acciaio St3) prendi

numero di opzione
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

B) Selezione della sezione (calcolo del progetto)

Per una data trave, costruire un diagramma delle forze longitudinali e determinare le dimensioni della sezione trasversale in entrambe le sezioni. Per il materiale della trave (acciaio St3) prendi

numero di opzione
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

C) Determinazione della forza longitudinale ammissibile

Per una data trave, determinare i valori ammissibili di carichi e ,

costruire un diagramma delle forze longitudinali. Per il materiale della trave (acciaio St3) prendere . Quando si risolve il problema, considerare che il tipo di carico è lo stesso in entrambe le sezioni della trave.

numero di opzione
	-	-
			-	-
	-	-

Esempio di completamento delle attività

Compito 1(figura 1).

Verificare la resistenza di una colonna composta da travi a I di una determinata dimensione. Per il materiale della colonna (acciaio St3) prendere le sollecitazioni di trazione ammissibili e sotto compressione . Se c'è un sovraccarico o un sottocarico significativo, scegliere le dimensioni delle travi a I che forniscono la resistenza ottimale della colonna.

Decisione.

Una data trave ha due sezioni 1, 2. I limiti delle sezioni sono sezioni in cui vengono applicate forze esterne. Poiché le forze che caricano la trave si trovano lungo il suo asse longitudinale centrale, nelle sezioni trasversali si verifica solo un fattore di forza interno: la forza longitudinale, ad es. si verifica la tensione (compressione) della trave.

Per determinare la forza longitudinale, utilizziamo il metodo delle sezioni, il metodo delle sezioni. Eseguendo una sezione trasversale mentale all'interno di ciascuna delle sezioni, elimineremo la parte fissa inferiore della trave e lasceremo la parte superiore da considerare. Nella sezione 1, la forza longitudinale è costante e uguale a

Il segno meno indica che la trave è compressa in entrambe le sezioni.

Costruiamo un diagramma delle forze longitudinali. Dopo aver tracciato la linea di base (zero) del diagramma parallela all'asse della trave, tracciamo i valori ottenuti perpendicolarmente ad essa su una scala arbitraria. Come puoi vedere, il diagramma è risultato delineato da linee rette parallele a quella di base.

Eseguiamo un controllo di resistenza della trave, ad es. determiniamo la sollecitazione di progetto (per ciascuna sezione separatamente) e la confrontiamo con quella ammissibile. Per fare ciò, utilizziamo la condizione di resistenza alla compressione

dove l'area è una caratteristica geometrica della forza della sezione trasversale. Dalla tavola dei laminati prendiamo:

per I-beam
per I-beam

Prova di forza:

I valori delle forze longitudinali sono presi in valore assoluto.

La resistenza della trave è assicurata, tuttavia, c'è un sottocarico significativo (oltre il 25%), che è inaccettabile a causa della spesa eccessiva del materiale.

Dalla condizione di resistenza determiniamo le nuove dimensioni della trave a I per ciascuna delle sezioni della trave:
Da qui l'area richiesta

Secondo la tabella GOST, selezioniamo una trave a I n. 16, per la quale;

Da qui l'area richiesta

Secondo la tabella GOST, selezioniamo una trave a I n. 24, per la quale;

Con le dimensioni selezionate delle travi a I, c'è anche un sottocarico, ma insignificante (meno del 5%)

Compito numero 2.

Per una barra con determinate dimensioni della sezione trasversale, determinare i valori di carico ammissibili e . Per il materiale della trave (acciaio St3), prendere le sollecitazioni di trazione ammissibili e sotto compressione .

Decisione.

Una data barra ha due sezioni 1, 2. C'è una tensione (compressione) della barra.

Usando il metodo delle sezioni, determiniamo la forza longitudinale, esprimendola attraverso le forze desiderate e. Disegnando una sezione all'interno di ciascuna delle sezioni, scarteremo il lato sinistro della trave e lasceremo il lato destro da considerare. Nella sezione 1, la forza longitudinale è costante e uguale a

Nella sezione 2, anche la forza longitudinale è costante e uguale a

Il segno più indica che la trave è allungata in entrambe le sezioni.

Costruiamo un diagramma delle forze longitudinali. Il diagramma è delineato da linee rette parallele a quella di base.

Dalla condizione di resistenza alla trazione determiniamo i valori ammissibili dei carichi e dopo aver preventivamente calcolato le aree delle sezioni date:

Domande di prova.

1. Quali fattori di forza interna si verificano nella sezione della trave durante la trazione e la compressione?

2. Annotare le condizioni di resistenza alla trazione e alla compressione.

3. Come vengono assegnati i segni della forza longitudinale e della sollecitazione normale?

4. Come cambierà lo stress se l'area della sezione trasversale aumenta di 4 volte?

5. Le condizioni di resistenza differiscono nei calcoli di trazione e compressione?

6. In quali unità viene misurata la tensione?

7. Quale delle caratteristiche meccaniche viene scelta come sollecitazione ultima per materiali duttili e fragili?

8. Qual è la differenza tra lo stress limite e quello consentito?

Lavoro pratico n. 8

"Soluzione di problemi per determinare i principali momenti centrali di inerzia di figure geometriche piatte"

Obbiettivo: determinare analiticamente i momenti di inerzia di corpi piatti di forma complessa

Giustificazione teorica. Le coordinate del baricentro della sezione possono essere espresse in termini di momento statico:

dove rispetto all'asse x

rispetto all'asse Oy

Il momento statico dell'area di una figura rispetto a un asse che giace sullo stesso piano è uguale al prodotto dell'area della figura e della distanza del suo baricentro da questo asse. Il momento statico ha la dimensione. Il momento statico può essere positivo, negativo e uguale a zero (relativo a qualsiasi asse centrale).

Il momento d'inerzia assiale di una sezione è la somma dei prodotti presi sull'intera sezione o l'integrale delle aree elementari dai quadrati delle loro distanze rispetto a un asse giacente nel piano della sezione considerata

Il momento di inerzia assiale è espresso in unità - . Il momento di inerzia assiale è sempre positivo e diverso da zero.

Gli assi che passano per il baricentro della figura sono detti centrali. Il momento d'inerzia rispetto all'asse centrale è detto momento d'inerzia centrale.

Il momento di inerzia rispetto a qualsiasi asse è uguale al centro