Prismi diversi sono diversi l'uno dall'altro. Allo stesso tempo, hanno molto in comune. Per trovare l'area della base di un prisma, devi capire che tipo è.

Teoria generale

Un prisma è un qualsiasi poliedro i cui lati hanno la forma di un parallelogramma. Inoltre, qualsiasi poliedro può trovarsi alla sua base, da un triangolo a un n-gon. Inoltre, le basi del prisma sono sempre uguali tra loro. Cosa non si applica alle facce laterali: possono variare in modo significativo in termini di dimensioni.

Quando si risolvono i problemi, non si incontra solo l'area della base del prisma. Potrebbe essere necessario conoscere la superficie laterale, cioè tutte le facce che non sono basi. L'intera superficie sarà già l'unione di tutte le facce che compongono il prisma.

A volte le altezze compaiono nelle attività. È perpendicolare alle basi. La diagonale di un poliedro è un segmento che collega a coppie due vertici qualsiasi che non appartengono alla stessa faccia.

Va notato che l'area della base di un prisma dritto o inclinato non dipende dall'angolo tra loro e le facce laterali. Se hanno le stesse figure nelle facce superiore e inferiore, le loro aree saranno uguali.

Prisma triangolare

Ha alla base una figura con tre vertici, cioè un triangolo. È noto per essere diverso. Se poi basti ricordare che la sua area è determinata dalla metà del prodotto delle gambe.

La notazione matematica si presenta così: S = ½ av.

Per scoprire l'area della base in una forma generale, sono utili le formule: Airone e quello in cui metà del lato viene portata all'altezza ad esso attratta.

La prima formula dovrebbe essere scritta in questo modo: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Questa voce contiene un semiperimetro (p), ovvero la somma di tre lati divisi per due.

Secondo: S = ½ n a * a.

Se vuoi conoscere l'area della base di un prisma triangolare, che è regolare, il triangolo risulta essere equilatero. Ha la sua formula: S = ¼ a 2 * √3.

prisma quadrangolare

La sua base è uno qualsiasi dei quadrilateri conosciuti. Può essere un rettangolo o un quadrato, un parallelepipedo o un rombo. In ogni caso, per calcolare l'area della base del prisma, avrai bisogno della tua formula.

Se la base è un rettangolo, la sua area è determinata come segue: S = av, dove a, b sono i lati del rettangolo.

Quando si tratta di un prisma quadrangolare, l'area di base di un prisma regolare viene calcolata utilizzando la formula per un quadrato. Perché è lui che giace alla base. S \u003d a 2.

Nel caso in cui la base sia un parallelepipedo, sarà necessaria la seguente uguaglianza: S \u003d a * n a. Succede che si danno un lato di un parallelepipedo e uno degli angoli. Quindi, per calcolare l'altezza, dovrai utilizzare una formula aggiuntiva: na \u003d b * sin A. Inoltre, l'angolo A è adiacente al lato "b" e l'altezza è na opposta a questo angolo.

Se un rombo si trova alla base del prisma, sarà necessaria la stessa formula per determinarne l'area come per un parallelogramma (poiché si tratta di un caso speciale). Ma puoi anche usare questo: S = ½ d 1 d 2. Qui d 1 e d 2 sono due diagonali del rombo.

Prisma pentagonale regolare

Questo caso comporta la divisione del poligono in triangoli, le cui aree sono più facili da scoprire. Anche se capita che le figure possano essere con un numero diverso di vertici.

Poiché la base del prisma è un pentagono regolare, può essere diviso in cinque triangoli equilateri. Quindi l'area della base del prisma è uguale all'area di uno di questi triangoli (la formula può essere vista sopra), moltiplicata per cinque.

Prisma esagonale regolare

Secondo il principio descritto per un prisma pentagonale, è possibile dividere l'esagono di base in 6 triangoli equilateri. La formula per l'area della base di tale prisma è simile alla precedente. Solo in esso dovrebbe essere moltiplicato per sei.

La formula sarà simile a questa: S = 3/2 e 2 * √3.

Compiti

N. 1. Viene data una linea retta regolare. La sua diagonale è di 22 cm, l'altezza del poliedro è di 14 cm. Calcola l'area della base del prisma e l'intera superficie.

Soluzione. La base di un prisma è un quadrato, ma il suo lato non è noto. Puoi trovare il suo valore dalla diagonale del quadrato (x), che è correlata alla diagonale del prisma (d) e alla sua altezza (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. D'altra parte, questo segmento "x" è l'ipotenusa in un triangolo le cui gambe sono uguali al lato del quadrato. Cioè, x 2 \u003d a 2 + a 2. Pertanto, risulta che a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Sostituisci il numero 22 invece di d e sostituisci "n" con il suo valore - 14, si scopre che il lato del quadrato è 12 cm Ora è facile scoprire l'area di base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Per scoprire l'area dell'intera superficie, è necessario aggiungere il doppio del valore dell'area di base e quadruplicare il lato. Quest'ultimo è facile da trovare con la formula per un rettangolo: moltiplicare l'altezza del poliedro e il lato della base. Cioè, 14 e 12, questo numero sarà uguale a 168 cm 2. La superficie totale del prisma risulta essere 960 cm 2 .

Risposta. L'area di base del prisma è di 144 cm2. L'intera superficie - 960 cm 2 .

N. 2. Dana Alla base si trova un triangolo con un lato di 6 cm In questo caso la diagonale della faccia laterale è di 10 cm Calcola le aree: la base e la superficie laterale.

Soluzione. Poiché il prisma è regolare, la sua base è un triangolo equilatero. Pertanto, la sua area risulta essere uguale a 6 al quadrato per ¼ e la radice quadrata di 3. Un semplice calcolo porta al risultato: 9√3 cm 2. Questa è l'area di una base del prisma.

Tutte le facce laterali sono uguali e sono rettangoli con lati di 6 e 10 cm Per calcolare le loro aree, è sufficiente moltiplicare questi numeri. Quindi moltiplicali per tre, perché il prisma ha esattamente tante facce laterali. Quindi l'area della superficie laterale viene avvolta di 180 cm 2 .

Risposta. Aree: base - 9√3 cm 2, superficie laterale del prisma - 180 cm 2.

Definizione 1. Superficie prismatica
Teorema 1. Su sezioni parallele di una superficie prismatica
Definizione 2. Sezione perpendicolare di una superficie prismatica
Definizione 3. Prisma
Definizione 4. Altezza del prisma
Definizione 5. Prisma diretto
Teorema 2. L'area della superficie laterale del prisma

Parallelepipedo:
Definizione 6. Parallelepipedo
Teorema 3. Sull'intersezione delle diagonali di un parallelepipedo
Definizione 7. Parallelepipedo destro
Definizione 8. Parallelepipedo rettangolare
Definizione 9. Dimensioni di un parallelepipedo
Definizione 10. Cubo
Definizione 11. Romboedro
Teorema 4. Sulle diagonali di un parallelepipedo rettangolare
Teorema 5. Volume di un prisma
Teorema 6. Volume di un prisma rettilineo
Teorema 7. Volume di un parallelepipedo rettangolare

prisma viene chiamato un poliedro, in cui due facce (basi) giacciono su piani paralleli e gli spigoli che non giacciono in queste facce sono paralleli tra loro.
Vengono chiamate facce diverse dalle basi laterale.
Vengono chiamati i lati delle facce laterali e delle basi bordi del prisma, vengono chiamate le estremità degli spigoli le parti superiori del prisma. Costole laterali chiamati spigoli che non appartengono alle basi. Viene chiamata l'unione delle facce laterali superficie laterale del prisma, e si chiama l'unione di tutte le facce tutta la superficie del prisma. Altezza del prisma chiamata perpendicolare caduta dal punto della base superiore al piano della base inferiore o lunghezza di questa perpendicolare. prisma dritto detto prisma, in cui i bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. corretta detto prisma rettilineo (Fig. 3), alla base del quale giace un poligono regolare.

Designazioni:
l - nervatura laterale;
P - perimetro di base;
S o - area di base;
H - altezza;
P ^ - perimetro della sezione perpendicolare;
S b - superficie laterale;
V - volume;
S p - area della superficie totale del prisma.

V=SH S p \u003d S b + 2S o S b = P^l

Definizione 1 . Una superficie prismatica è una figura formata da parti di più piani paralleli ad una retta limitata da quelle rette lungo le quali questi piani si intersecano successivamente *; queste linee sono parallele tra loro e sono chiamate bordi della superficie prismatica.
*Si assume che ogni due piani consecutivi si intersechino e che l'ultimo piano intersechi il primo.

Teorema 1 . Le sezioni di una superficie prismatica di piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai suoi bordi) sono poligoni uguali.
Siano ABCDE e A"B"C"D"E" sezioni di una superficie prismatica di due piani paralleli. Per verificare che questi due poligoni siano uguali basta mostrare che i triangoli ABC e A"B"C" sono uguali e hanno lo stesso senso di rotazione e che lo stesso vale per i triangoli ABD e A"B"D", ABE e A"B"E". Ma i lati corrispondenti di questi triangoli sono paralleli (per esempio AC è parallela ad A "C") come le linee di intersezione di un certo piano con due piani paralleli; ne consegue che questi lati sono uguali (ad esempio, AC è uguale a A"C") come lati opposti di un parallelogramma, e che gli angoli formati da questi lati sono uguali e hanno la stessa direzione.

Definizione 2 . Una sezione perpendicolare di una superficie prismatica è una sezione di questa superficie da un piano perpendicolare ai suoi bordi. Sulla base del teorema precedente, tutte le sezioni perpendicolari della stessa superficie prismatica saranno poligoni uguali.

Definizione 3 . Un prisma è un poliedro delimitato da una superficie prismatica e due piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai bordi della superficie prismatica)
Vengono chiamate le facce che giacciono in questi ultimi piani basi prismatiche; facce appartenenti ad una superficie prismatica - facce laterali; bordi della superficie prismatica - bordi laterali del prisma. In virtù del teorema precedente, le basi del prisma sono poligoni uguali. Tutte le facce laterali del prisma parallelogrammi; tutti i bordi laterali sono uguali tra loro.
È ovvio che se si danno in grandezza e direzione la base del prisma ABCDE e uno degli spigoli AA" allora è possibile costruire un prisma disegnando gli spigoli BB", CC", .., uguali e paralleli a il bordo AA".

Definizione 4 . L'altezza di un prisma è la distanza tra i piani delle sue basi (HH").

Definizione 5 . Un prisma si dice retta se le sue basi sono sezioni perpendicolari di una superficie prismatica. In questo caso, l'altezza del prisma è, ovviamente, la sua nervatura laterale; i bordi laterali lo faranno rettangoli.
I prismi possono essere classificati in base al numero di facce laterali, pari al numero di lati del poligono che funge da base. Pertanto, i prismi possono essere triangolari, quadrangolari, pentagonali, ecc.

Teorema 2 . L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del bordo laterale e del perimetro della sezione perpendicolare.
Sia ABCDEA"B"C"D"E" il prisma dato e abcde la sua sezione perpendicolare, in modo che i segmenti ab, bc, .. siano perpendicolari ai suoi bordi laterali. La faccia ABA"B" è un parallelogramma; la sua area è uguale al prodotto della base AA " per un'altezza che corrisponde ad ab; l'area della faccia BCV "C" è uguale al prodotto della base BB" per l'altezza bc, ecc. Pertanto, la superficie laterale (cioè la somma delle aree delle facce laterali) è uguale al prodotto dello spigolo laterale, ovvero la lunghezza totale dei segmenti AA", BB", .., per la somma ab+bc+cd+de+ea.

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Con l'aiuto di questo video tutorial, tutti potranno conoscere autonomamente l'argomento "Il concetto di poliedro. Prisma. Superficie prismatica. Durante la lezione, l'insegnante parlerà di cosa sono le forme geometriche come un poliedro e dei prismi, darà le definizioni appropriate e ne spiegherà l'essenza con esempi specifici.

Con l'aiuto di questa lezione, tutti saranno in grado di familiarizzare autonomamente con l'argomento "Il concetto di poliedro. Prisma. Superficie prismatica.

Definizione. Una superficie composta da poligoni e delimitante un determinato corpo geometrico sarà chiamata superficie poliedrica o poliedro.

Considera i seguenti esempi di poliedri:

1. tetraedro ABCDè una superficie composta da quattro triangoli: ABC, adb, bdc e ADC(Fig. 1).

Riso. uno

2. Parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1è una superficie composta da sei parallelogrammi (Fig. 2).

Riso. 2

Gli elementi principali di un poliedro sono facce, bordi, vertici.

Le facce sono i poligoni che compongono il poliedro.

I bordi sono i lati delle facce.

I vertici sono le estremità dei bordi.

Considera un tetraedro ABCD(Fig. 1). Indichiamo i suoi elementi principali.

Sfaccettature: triangoli ABC, ADB, BDC, ADC.

Costolette: AB, AC, BC, DC, ANNO DOMINI, BD.

Picchi: A, B, C, D.

Considera una scatola ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig. 2).

Sfaccettature: parallelogrammi AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Costolette: aa 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Picchi: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.

Un importante caso speciale di un poliedro è un prisma.

ABSA 1 IN 1 CON 1(Fig. 3).

Riso. 3

Triangoli uguali ABC e A 1 B 1 C 1 si trovano su piani paralleli α e β in modo che i bordi AA 1 , BB 1 , SS 1 sono paralleli.

Cioè ABSA 1 IN 1 CON 1- prisma triangolare, se:

1) Triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono uguali.

2) Triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 situato su piani paralleli α e β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Costole AA 1 , BB 1 , SS 1 sono paralleli.

ABC e A 1 B 1 C 1- la base del prisma.

AA 1 , BB 1 , SS 1- nervature laterali del prisma.

Se da un punto arbitrario H 1 un piano (ad esempio, β) lascia cadere la perpendicolare HH 1 sul piano α, allora questa perpendicolare è chiamata altezza del prisma.

Definizione. Se i bordi laterali sono perpendicolari alle basi, il prisma si dice diritto, altrimenti si dice obliquo.

Considera un prisma triangolare ABSA 1 IN 1 CON 1(Fig. 4). Questo prisma è dritto. Cioè, i suoi bordi laterali sono perpendicolari alle basi.

Ad esempio, costola AA 1 perpendicolare al piano ABC. Bordo AA 1è l'altezza di questo prisma.

Riso. 4

Si noti che la faccia laterale AA 1 V 1 V perpendicolare alle basi ABC e A 1 B 1 C 1, poiché passa per la perpendicolare AA 1 alle fondamenta.

Consideriamo ora un prisma inclinato ABSA 1 IN 1 CON 1(Fig. 5). Qui il bordo laterale non è perpendicolare al piano della base. Se cadiamo dal punto A 1 perpendicolare A 1 H sul ABC, allora questa perpendicolare sarà l'altezza del prisma. Si noti che il segmento UNè la proiezione del segmento AA 1 all'aereo ABC.

Quindi l'angolo tra la linea AA 1 e aereo ABCè l'angolo tra la linea AA 1 e lei UN proiezione su un piano, cioè l'angolo A 1 AH.

Riso. cinque

Considera un prisma quadrangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig. 6). Vediamo come va a finire.

1) Quadrilatero ABCD uguale a un quadrilatero A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = UN 1 B 1 C 1 D 1.

2) Quadrilateri ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Quadrilateri ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 disposte in modo che le nervature laterali siano parallele, cioè: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Definizione. La diagonale di un prisma è un segmento che collega due vertici di un prisma che non appartengono alla stessa faccia.

Per esempio, AC 1- diagonale di un prisma quadrangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definizione. Se il bordo laterale AA 1 perpendicolare al piano della base, allora tale prisma è chiamato linea retta.

Riso. 6

Un caso speciale di prisma quadrangolare è il noto parallelepipedo. Parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 mostrato in fig. 7.

Vediamo come funziona:

1) Figure uguali giacciono nelle basi. In questo caso - parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Parallelogrammi ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 giacciono su piani paralleli α e β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Parallelogrammi ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 disposte in modo che le nervature laterali siano parallele tra loro: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Riso. 7

Da un punto A 1 lascia cadere la perpendicolare UN all'aereo ABC. Sezione A 1 Hè l'altezza.

Considera come è disposto un prisma esagonale (Fig. 8).

1) Alla base giacciono esagoni uguali A B C D E F e UN 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= UN 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Piani di esagoni A B C D E F e UN 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 parallelo, cioè le basi giacciono su piani paralleli: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Esagoni A B C D E F e UN 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 disposti in modo che tutti i bordi laterali siano paralleli tra loro: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riso. 8

Definizione. Se un bordo laterale è perpendicolare al piano della base, un tale prisma esagonale è chiamato linea retta.

Definizione. Un prisma retto si dice regolare se le sue basi sono poligoni regolari.

Considera un prisma triangolare regolare ABSA 1 IN 1 CON 1.

Riso. nove

Prisma triangolare ABSA 1 IN 1 CON 1- corretto, questo significa che i triangoli regolari giacciono alle basi, cioè tutti i lati di questi triangoli sono uguali. Inoltre, questo prisma è dritto. Ciò significa che il bordo laterale è perpendicolare al piano della base. E questo significa che tutte le facce laterali sono rettangoli uguali.

Quindi se un prisma triangolare ABSA 1 IN 1 CON 1è corretto, allora:

1) Il bordo laterale è perpendicolare al piano della base, cioè è l'altezza: AA 1 ⊥ ABC.

2) La base è un triangolo regolare: ∆ ABC- Giusto.

Definizione. La superficie totale di un prisma è la somma delle aree di tutte le sue facce. Denotato S pieno.

Definizione. L'area della superficie laterale è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Denotato lato S.

Il prisma ha due basi. Quindi la superficie totale del prisma è:

S completo \u003d Lato S + 2S principale.

L'area della superficie laterale di un prisma rettilineo è uguale al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.

La dimostrazione sarà effettuata sull'esempio di un prisma triangolare.

Dato: ABSA 1 IN 1 CON 1- prisma diretto, cioè AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Dimostra: Lato S \u003d R principale ∙ h.

Riso. 10

Prova.

Prisma triangolare ABSA 1 IN 1 CON 1- dritto, così AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - rettangoli.

Trova l'area della superficie laterale come somma delle aree dei rettangoli AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

Lato S \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P principale ∙ h.

Noi abbiamo Lato S \u003d R principale ∙ h, QED

Abbiamo conosciuto i poliedri, un prisma, le sue varietà. Abbiamo dimostrato il teorema sulla superficie laterale di un prisma. Nella prossima lezione, risolveremo i problemi su un prisma.

1. Geometria. Grado 10-11: un libro di testo per studenti di istituzioni educative (livelli di base e di profilo) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione, corretta e integrata - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : malato.
2. Geometria. Grado 10-11: Un libro di testo per le istituzioni educative generali / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometria. Grado 10: Libro di testo per istituzioni educative generali con studio approfondito e di profilo della matematica / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6a edizione, stereotipo. - M. : Otarda, 008. - 233 p. :malato.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. Vecchia scuola ().
4. wikihow().

1. Qual è il numero minimo di facce che un prisma può avere? Quanti vertici, bordi ha un tale prisma?
2. Esiste un prisma che ha esattamente 100 spigoli?
3. La nervatura laterale è inclinata rispetto al piano di base con un angolo di 60°. Trova l'altezza del prisma se il bordo laterale è 6 cm.
4. In un prisma triangolare retto, tutti i bordi sono uguali. La sua superficie laterale è di 27 cm 2 . Trova la superficie totale del prisma.