Esempio

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ecc.

Fattore di proporzionalità

Viene chiamato il rapporto costante di quantità proporzionali coefficiente di proporzionalità. Il coefficiente di proporzionalità mostra quante unità di una quantità cadono su un'unità di un'altra.

Proporzionalità diretta

Proporzionalità diretta- dipendenza funzionale, in cui una certa quantità dipende da un'altra in modo tale che il loro rapporto rimanga costante. In altre parole, queste variabili cambiano proporzionalmente, in parti uguali, ovvero se l'argomento è cambiato due volte in qualsiasi direzione, anche la funzione cambia due volte nella stessa direzione.

Matematicamente, la proporzionalità diretta è scritta come una formula:

F(X) = unX,un = ConST

Proporzionalità inversa

Proporzione inversa- si tratta di una dipendenza funzionale, in cui un aumento del valore indipendente (argomento) provoca una diminuzione proporzionale del valore dipendente (funzione).

Matematicamente, la proporzionalità inversa è scritta come una formula:

Proprietà della funzione:

Fonti

Fondazione Wikimedia. 2010.

• La seconda legge di Newton
• Barriera coulombiana

Scopri cos'è la "proporzionalità diretta" in altri dizionari:

proporzionalità diretta- - [AS Goldberg. Dizionario energetico inglese russo. 2006] Temi energia in generale EN rapporto diretto … Manuale tecnico del traduttore

proporzionalità diretta- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporzionalità diretta vok. direkte Proportionalitat, f rus. proporzionalità diretta, f pranc. propornalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORZIONALITÀ- (dal lat. proporzionaleis proporzionale, proporzionale). Proporzionalità. Dizionario di parole straniere incluso nella lingua russa. Chudinov AN, 1910. PROPORZIONALITÀ otlat. proporzionale, proporzionale. Proporzionalità. Spiegazione di 25000… … Dizionario di parole straniere della lingua russa

PROPORZIONALITÀ- PROPORZIONALITÀ, proporzionalità, pl. no, femmina (libro). 1. distrazione sostantivo a proporzionale. Proporzionalità delle parti. Proporzionalità corporea. 2. Tale relazione tra quantità quando sono proporzionali (vedi proporzionale ... Dizionario esplicativo di Ushakov

Proporzionalità- Due quantità reciprocamente dipendenti sono dette proporzionali se il rapporto tra i loro valori rimane invariato.. Sommario 1 Esempio 2 Coefficiente di proporzionalità ... Wikipedia

PROPORZIONALITÀ- PROPORZIONALITÀ, e, mogli. 1. vedi proporzionale. 2. In matematica: tale rapporto tra quantità, quando l'aumento di una di esse comporta una variazione dell'altra di pari importo. Diretto p. (se tagliato con un aumento di un valore ... ... Dizionario esplicativo di Ozhegov

proporzionalità- e; bene. 1. a Proporzionale (1 cifra); proporzionalità. P. parti. P. fisico. P. rappresentanza in parlamento. 2. Matematica. Dipendenza tra quantità che cambiano proporzionalmente. Fattore di proporzionalità. Diretto p. (in cui con ... ... dizionario enciclopedico

La proporzionalità è la relazione tra due quantità, in cui una variazione di una di esse comporta una variazione dell'altra di pari importo.

La proporzionalità è diretta e inversa. In questa lezione, esamineremo ciascuno di essi.

Contenuto della lezione

Proporzionalità diretta

Supponiamo che un'auto si muova a una velocità di 50 km/h. Ricordiamo che la velocità è la distanza percorsa nell'unità di tempo (1 ora, 1 minuto o 1 secondo). Nel nostro esempio, l'auto si muove a una velocità di 50 km/h, ovvero in un'ora percorrerà una distanza pari a cinquanta chilometri.

Tracciamo la distanza percorsa dall'auto in 1 ora.

Lascia che l'auto guidi per un'altra ora alla stessa velocità di cinquanta chilometri orari. Quindi si scopre che l'auto percorrerà 100 km

Come si può vedere dall'esempio, il raddoppio del tempo ha comportato un aumento della distanza percorsa della stessa quantità, cioè del doppio.

Quantità come tempo e distanza si dicono direttamente proporzionali. Viene chiamata la relazione tra queste quantità proporzionalità diretta.

La proporzionalità diretta è il rapporto tra due quantità, in cui l'aumento di una di esse comporta un aumento dell'altra di pari importo.

e viceversa, se un valore diminuisce di un certo numero di volte, l'altro diminuisce dello stesso importo.

Supponiamo che inizialmente fosse previsto di guidare un'auto per 100 km in 2 ore, ma dopo aver percorso 50 km, l'autista ha deciso di fare una pausa. Quindi si scopre che riducendo la distanza della metà, il tempo diminuirà della stessa quantità. In altre parole, una diminuzione della distanza percorsa comporterà una diminuzione del tempo dello stesso fattore.

Una caratteristica interessante delle quantità direttamente proporzionali è che il loro rapporto è sempre costante. Cioè, quando si cambiano i valori delle quantità direttamente proporzionali, il loro rapporto rimane invariato.

Nell'esempio considerato, la distanza era inizialmente pari a 50 km e il tempo era di un'ora. Il rapporto tra distanza e tempo è il numero 50.

Ma abbiamo aumentato di 2 volte il tempo di movimento, rendendolo pari a due ore. Di conseguenza, la distanza percorsa è aumentata della stessa quantità, ovvero è diventata pari a 100 km. Il rapporto tra cento chilometri e due ore è di nuovo il numero 50

Viene chiamato il numero 50 coefficiente di proporzionalità diretta. Mostra quanta distanza c'è per ora di movimento. In questo caso, il coefficiente gioca il ruolo della velocità di movimento, poiché la velocità è il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo.

Le proporzioni possono essere fatte da quantità direttamente proporzionali. Ad esempio, i rapporti e compongono la proporzione:

Cinquanta chilometri sono relativi a un'ora come cento chilometri sono relativi a due ore.

Esempio 2. Il costo e la quantità della merce acquistata sono direttamente proporzionali. Se 1 kg di dolci costa 30 rubli, 2 kg degli stessi dolci costeranno 60 rubli, 3 kg - 90 rubli. Con l'aumento del costo della merce acquistata, la sua quantità aumenta dello stesso importo.

Poiché il valore di una merce e la sua quantità sono direttamente proporzionali, il loro rapporto è sempre costante.

Scriviamo il rapporto di trenta rubli per un chilogrammo

Ora scriviamo a cosa corrisponde il rapporto tra sessanta rubli e due chilogrammi. Questo rapporto sarà di nuovo pari a trenta:

Qui, il coefficiente di proporzionalità diretta è il numero 30. Questo coefficiente mostra quanti rubli per chilogrammo di dolci. In questo esempio, il coefficiente svolge il ruolo del prezzo di un chilogrammo di merce, poiché il prezzo è il rapporto tra il costo della merce e la sua quantità.

Proporzionalità inversa

Considera il seguente esempio. La distanza tra le due città è di 80 km. Il motociclista ha lasciato la prima città e, alla velocità di 20 km/h, ha raggiunto la seconda città in 4 ore.

Se la velocità di un motociclista era di 20 km/h, significa che ogni ora percorreva una distanza pari a venti chilometri. Rappresentiamo in figura la distanza percorsa dal motociclista e il tempo del suo movimento:

Sulla via del ritorno, la velocità del motociclista era di 40 km/he ha trascorso 2 ore nello stesso viaggio.

È facile vedere che quando la velocità cambia, il tempo di movimento è cambiato della stessa quantità. Inoltre, è cambiato nella direzione opposta, ovvero la velocità è aumentata e il tempo, al contrario, è diminuito.

Grandezze come velocità e tempo sono dette inversamente proporzionali. Viene chiamata la relazione tra queste quantità proporzionalità inversa.

La proporzionalità inversa è la relazione tra due quantità, in cui un aumento di una di esse comporta una diminuzione dell'altra di pari importo.

e viceversa, se un valore diminuisce di un certo numero di volte, l'altro aumenta dello stesso importo.

Ad esempio, se sulla via del ritorno la velocità di un motociclista fosse di 10 km/h, allora percorrerebbe gli stessi 80 km in 8 ore:

Come si può vedere dall'esempio, una diminuzione della velocità ha comportato un aumento del tempo di percorrenza dello stesso fattore.

La particolarità delle quantità inversamente proporzionali è che il loro prodotto è sempre costante. Cioè, quando si cambiano i valori delle quantità inversamente proporzionali, il loro prodotto rimane invariato.

Nell'esempio considerato, la distanza tra le città era di 80 km. Al variare della velocità e del tempo del motociclista, questa distanza è rimasta sempre invariata.

Un motociclista potrebbe coprire questa distanza a una velocità di 20 km/h in 4 ore, a una velocità di 40 km/h in 2 ore ea una velocità di 10 km/h in 8 ore. In tutti i casi il prodotto di velocità e tempo era pari a 80 km

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Oggi vedremo quali quantità sono chiamate inversamente proporzionali, come appare il grafico della proporzionalità inversa e come tutto ciò può esserti utile non solo nelle lezioni di matematica, ma anche fuori dalle mura scolastiche.

Proporzioni così diverse

Proporzionalità nominare due quantità che sono reciprocamente dipendenti l'una dall'altra.

La dipendenza può essere diretta e inversa. Pertanto, la relazione tra quantità descrive proporzionalità diretta e inversa.

Proporzionalità diretta- questo è un tale rapporto tra due quantità, in cui un aumento o una diminuzione di una di esse porta ad un aumento o una diminuzione dell'altra. Quelli. il loro atteggiamento non cambia.

Ad esempio, maggiore è lo sforzo che dedichi alla preparazione degli esami, più alti saranno i tuoi voti. O più cose porti con te durante un'escursione, più difficile sarà trasportare lo zaino. Quelli. la quantità di lavoro spesa per la preparazione degli esami è direttamente proporzionale ai voti ricevuti. E il numero di cose imballate in uno zaino è direttamente proporzionale al suo peso.

Proporzionalità inversa- questa è una dipendenza funzionale, in cui una diminuzione o un aumento di più volte di un valore indipendente (si chiama argomento) provoca un aumento o una diminuzione proporzionale (cioè della stessa quantità) di un valore dipendente (si chiama a funzione).

Illustriamo con un semplice esempio. Vuoi comprare mele al mercato. Le mele sul bancone e la quantità di denaro nel tuo portafoglio sono inversamente correlate. Quelli. più mele compri, meno soldi ti restano.

Funzione e suo grafico

La funzione di proporzionalità inversa può essere descritta come y = k/x. In quale X≠ 0 e K≠ 0.

Questa funzione ha le seguenti proprietà:

1. Il suo dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali tranne X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. L'intervallo è composto da tutti i numeri reali tranne y= 0. E(y): (-∞; 0) u (0; +∞) .
3. Non ha valori massimi o minimi.
4. È dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
5. Non periodico.
6. Il suo grafico non attraversa gli assi delle coordinate.
7. Non ha zeri.
8. Se K> 0 (ovvero, l'argomento aumenta), la funzione diminuisce proporzionalmente su ciascuno dei suoi intervalli. Se K< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. All'aumentare dell'argomento ( K> 0) i valori negativi della funzione sono nell'intervallo (-∞; 0) e i valori positivi sono nell'intervallo (0; +∞). Quando l'argomento è in diminuzione ( K< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Il grafico della funzione di proporzionalità inversa è chiamato iperbole. Raffigurato come segue:

Problemi proporzionali inversi

Per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata ad alcune attività. Non sono troppo complicati e la loro soluzione ti aiuterà a visualizzare cos'è la proporzione inversa e come questa conoscenza può essere utile nella tua vita di tutti i giorni.

Compito numero 1. L'auto viaggia a una velocità di 60 km/h. Gli ci vollero 6 ore per raggiungere la sua destinazione. Quanto tempo impiegherà a percorrere la stessa distanza se si muove al doppio della velocità?

Possiamo iniziare scrivendo una formula che descrive il rapporto tra tempo, distanza e velocità: t = S/V. D'accordo, ci ricorda molto la funzione di proporzionalità inversa. E indica che il tempo che l'auto trascorre sulla strada, e la velocità con cui si muove, sono inversamente proporzionali.

Per verificarlo, troviamo V 2, che, per condizione, è 2 volte superiore: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Quindi calcoliamo la distanza usando la formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ora non è difficile scoprire il tempo t 2 che ci viene richiesto secondo la condizione del problema: t 2 = 360/120 = 3 ore.

Come puoi vedere, il tempo di percorrenza e la velocità sono infatti inversamente proporzionali: con una velocità 2 volte superiore a quella originale, l'auto trascorrerà 2 volte meno tempo su strada.

La soluzione a questo problema può anche essere scritta in proporzione. Perché creiamo un diagramma come questo:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Le frecce indicano una relazione inversa. E suggeriscono anche che quando si elabora la proporzione, è necessario girare il lato destro del record: 60/120 \u003d x / 6. Dove otteniamo x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ore.

Compito numero 2. L'officina impiega 6 lavoratori che affrontano una determinata quantità di lavoro in 4 ore. Se il numero dei lavoratori viene dimezzato, quanto tempo impiegherà i restanti lavoratori a completare la stessa quantità di lavoro?

Scriviamo le condizioni del problema sotto forma di diagramma visivo:

↓ 6 lavoratori - 4 ore

↓ 3 operai - x h

Scriviamola come proporzione: 6/3 = x/4. E otteniamo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ore Se ci sono 2 volte meno lavoratori, il resto trascorrerà 2 volte più tempo per completare tutto il lavoro.

Compito numero 3. Due tubi conducono alla piscina. Attraverso un tubo, l'acqua entra a una velocità di 2 l / se riempie la piscina in 45 minuti. Attraverso un altro tubo, la piscina verrà riempita in 75 minuti. Quanto velocemente l'acqua entra nella piscina attraverso questo tubo?

Per cominciare, porteremo tutte le quantità che ci vengono fornite in base alla condizione del problema nelle stesse unità di misura. Per fare ciò, esprimiamo la velocità di riempimento della piscina in litri al minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Poiché deriva dalla condizione che la piscina venga riempita più lentamente attraverso il secondo tubo, significa che la velocità di afflusso dell'acqua è inferiore. Sulla faccia della proporzione inversa. Esprimiamo la velocità a noi sconosciuta in termini di x e tracciamo il seguente schema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

E poi faremo una proporzione: 120 / x \u003d 75/45, da dove x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

Nel problema la velocità di riempimento della vasca è espressa in litri al secondo, riportiamo la nostra risposta nella stessa forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Compito numero 4. I biglietti da visita vengono stampati in una piccola tipografia privata. Un dipendente della tipografia lavora a una velocità di 42 biglietti da visita all'ora e lavora a tempo pieno - 8 ore. Se lavorava più velocemente e stampava 48 biglietti da visita all'ora, quanto prima poteva tornare a casa?

Andiamo in modo provato ed elaboriamo uno schema in base alla condizione del problema, denotando il valore desiderato come x:

↓ 42 biglietti da visita/h – 8 h

↓ 48 biglietti da visita/h – xh

Davanti a noi c'è una relazione inversamente proporzionale: quante volte più biglietti da visita stampa ogni ora un dipendente di una tipografia, lo stesso tempo che gli occorre per portare a termine lo stesso lavoro. Sapendo questo, possiamo impostare la proporzione:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ore.

Così, dopo aver completato i lavori in 7 ore, l'impiegato della tipografia potrebbe tornare a casa un'ora prima.

Conclusione

Ci sembra che questi problemi di proporzionalità inversa siano davvero semplici. Ci auguriamo che ora anche tu li consideri tali. E, soprattutto, la conoscenza della dipendenza inversamente proporzionale delle quantità può davvero esserti utile più di una volta.

Non solo a lezione di matematica e agli esami. Ma anche allora, quando hai intenzione di fare un viaggio, fare shopping, decidere di guadagnare qualche soldo durante le vacanze, ecc.

Dicci nei commenti quali esempi di proporzionalità inversa e diretta noti intorno a te. Che questo sia un gioco. Vedrai quanto è eccitante. Non dimenticare di "condividere" questo articolo sui social network in modo che anche i tuoi amici e compagni di classe possano giocare.

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§ 129. Preliminari chiarimenti.

L'uomo ha costantemente a che fare con un'ampia varietà di quantità. Il dipendente e l'operaio cercano di raggiungere il servizio, di lavorare entro una certa ora, il pedone si affretta a raggiungere un determinato luogo per il percorso più breve, la fonte di riscaldamento a vapore si preoccupa che la temperatura nella caldaia stia lentamente aumentando, il direttore aziendale fa piani per ridurre i costi di produzione, ecc.

Si potrebbe citare un numero qualsiasi di tali esempi. Tempo, distanza, temperatura, costo: tutte queste sono quantità diverse. Nella prima e nella seconda parte di questo libro abbiamo conosciuto alcune grandezze particolarmente comuni: area, volume, peso. Incontriamo molte quantità nello studio della fisica e di altre scienze.

Immagina di essere su un treno. Di tanto in tanto guardi l'orologio e noti da quanto tempo sei già in viaggio. Dici ad esempio che dalla partenza del tuo treno sono trascorse 2, 3, 5, 10, 15 ore, ecc.. Questi numeri indicano vari periodi di tempo; sono chiamati valori di questa quantità (tempo). Oppure guardi fuori dal finestrino e segui i pali della strada per la distanza percorsa dal tuo treno. I numeri 110, 111, 112, 113, 114 km lampeggiano davanti a te. Questi numeri indicano le varie distanze che il treno ha percorso dal punto di partenza. Sono anche chiamati valori, questa volta con un valore diverso (percorso o distanza tra due punti). Pertanto, un valore, ad esempio tempo, distanza, temperatura, può assumere qualsiasi valore valori diversi.

Presta attenzione al fatto che una persona non considera quasi mai un solo valore, ma lo collega sempre ad altri valori. Ha a che fare contemporaneamente con due, tre e più quantità. Immagina di dover arrivare a scuola entro le 9 in punto. Guardi l'orologio e vedi che hai 20 minuti. Quindi decidi rapidamente se dovresti prendere il tram o avrai il tempo di andare a piedi alla scuola. Dopo aver pensato, decidi di camminare. Nota che nel momento in cui stavi pensando, stavi risolvendo qualche problema. Questo compito è diventato semplice e familiare, poiché risolvi tali problemi ogni giorno. In esso, hai rapidamente confrontato diversi valori. Eri tu a guardare l'orologio, il che significa che tenevi conto dell'ora, poi immaginavi mentalmente la distanza da casa tua a scuola; infine, hai confrontato due quantità: la velocità del tuo passo e la velocità del tram, e hai concluso che in un dato tempo (20 minuti) avrai il tempo di camminare. Da questo semplice esempio, puoi vedere che nella nostra pratica alcune quantità sono interconnesse, cioè dipendono l'una dall'altra

Nel capitolo dodici si è parlato del rapporto tra quantità omogenee. Ad esempio, se un segmento è 12 m e l'altro 4 m, il rapporto di questi segmenti sarà 12: 4.

Abbiamo detto che è il rapporto di due quantità omogenee. In altre parole, è il rapporto di due numeri un nome.

Ora che abbiamo acquisito maggiore familiarità con le quantità e abbiamo introdotto il concetto di valore di una quantità, possiamo enunciare la definizione di relazione in un modo nuovo. Infatti, quando abbiamo considerato due segmenti di 12 m e 4 m, si parlava di un valore - la lunghezza, e 12 m e 4 m erano solo due valori diversi di questo valore.

Pertanto, in futuro, quando inizieremo a parlare di un rapporto, considereremo due valori di una di alcune quantità e il rapporto tra un valore di una quantità e un altro valore della stessa quantità sarà chiamato quoziente di divisione il primo valore per il secondo.

§ 130. Le quantità sono direttamente proporzionali.

Si consideri un problema la cui condizione include due quantità: distanza e tempo.

Compito 1. Un corpo che si muove in linea retta e percorre uniformemente 12 cm al secondo Determina il percorso percorso dal corpo in 2, 3, 4, ..., 10 secondi.

Realizziamo una tabella con la quale sarebbe possibile monitorare il cambiamento di tempo e distanza.

La tabella ci offre l'opportunità di confrontare queste due serie di valori. Ne vediamo che quando i valori della prima quantità (tempo) aumentano gradualmente di 2, 3, ..., 10 volte, anche i valori della seconda quantità (distanza) aumentano di 2, 3, ..., 10 volte. Pertanto, quando i valori di una quantità aumentano più volte, i valori di un'altra quantità aumentano della stessa quantità e quando i valori di una quantità diminuiscono più volte, i valori dell'altra quantità diminuiscono di la stessa quantità.

Consideriamo ora un problema che include due di queste quantità: la quantità di materia e il suo costo.

Compito 2. 15 m di tessuto costano 120 rubli. Calcolare il costo di questo tessuto per diverse altre quantità di metri indicate in tabella.

Da questa tabella, possiamo vedere come il valore di una merce aumenta gradualmente, a seconda dell'aumento della sua quantità. Nonostante il fatto che in questo problema appaiano quantità completamente diverse (nel primo problema - tempo e distanza, e qui - la quantità di beni e il suo costo), tuttavia, si può trovare una grande somiglianza nel comportamento di queste quantità.

Infatti, nella riga superiore della tabella ci sono dei numeri che indicano il numero di metri di tessuto, sotto ognuno di essi è scritto un numero che esprime il costo della corrispondente quantità di merce. Anche uno sguardo superficiale a questa tabella mostra che i numeri sia nella riga superiore che in quella inferiore stanno aumentando; ad un esame più attento della tabella e confrontando le singole colonne, risulta che in tutti i casi i valori della seconda quantità aumentano dello stesso fattore dei valori del primo aumento, cioè se il valore della prima quantità è aumentato, diciamo, 10 volte, quindi anche il valore del secondo valore è aumentato di 10 volte.

Se osserviamo la tabella da destra a sinistra, scopriremo che i valori indicati delle quantità diminuiranno dello stesso numero di volte. In questo senso, c'è una somiglianza incondizionata tra il primo compito e il secondo.

Vengono chiamate le coppie di quantità che abbiamo incontrato nel primo e nel secondo problema direttamente proporzionale.

Pertanto, se due quantità sono interconnesse in modo tale che con un aumento (diminuzione) del valore di una di esse più volte, il valore dell'altra aumenta (diminuisce) della stessa quantità, tali quantità sono chiamate direttamente proporzionali.

Dicono anche di tali quantità che sono interconnesse da una dipendenza direttamente proporzionale.

Nella natura e nella vita che ci circonda, ci sono molte di queste quantità. Ecco alcuni esempi:

1. Volta lavoro (un giorno, due giorni, tre giorni, ecc.) e guadagni ricevuto durante questo periodo con salario giornaliero.

2. Volume qualsiasi oggetto fatto di un materiale omogeneo, e peso questo oggetto.

§ 131. La proprietà delle quantità direttamente proporzionali.

Prendiamo un compito che include le seguenti due quantità: orario di lavoro e guadagno. Se i guadagni giornalieri sono di 20 rubli, i guadagni per 2 giorni saranno di 40 rubli, ecc. È più conveniente redigere una tabella in cui un determinato guadagno corrisponderà a un certo numero di giorni.

Osservando questa tabella, vediamo che entrambe le quantità hanno assunto 10 valori diversi. Ogni valore del primo valore corrisponde a un certo valore del secondo valore, ad esempio, 40 rubli corrispondono a 2 giorni; 5 giorni corrispondono a 100 rubli. Nella tabella, questi numeri sono scritti uno sotto l'altro.

Sappiamo già che se due quantità sono direttamente proporzionali, allora ciascuna di esse, nel processo del suo cambiamento, aumenta della stessa quantità dell'altra. Ne consegue immediatamente: se prendiamo il rapporto di due valori qualsiasi della prima quantità, sarà uguale al rapporto dei due valori corrispondenti della seconda quantità. Davvero:

Perché sta succedendo? Ma poiché questi valori sono direttamente proporzionali, cioè quando uno di essi (tempo) è aumentato di 3 volte, l'altro (guadagno) è aumentato di 3 volte.

Siamo quindi giunti alla seguente conclusione: se prendiamo due valori qualsiasi della prima grandezza e li dividiamo uno per l'altro, e poi dividiamo uno per l'altro i valori corrispondenti della seconda grandezza, allora in entrambi i casi si otterrà lo stesso numero, cioè la stessa relazione. Ciò significa che le due relazioni che abbiamo scritto sopra possono essere collegate con un segno di uguale, cioè

Non c'è dubbio che se prendessimo non queste relazioni, ma altre, e non in quest'ordine, ma nella direzione opposta, otterremmo anche l'uguaglianza delle relazioni. Considereremo infatti i valori delle nostre quantità da sinistra a destra e prenderemo il terzo e il nono valore:

60:180 = 1 / 3 .

Quindi possiamo scrivere:

Ciò implica la seguente conclusione: se due quantità sono direttamente proporzionali, allora il rapporto di due valori arbitrariamente presi della prima quantità è uguale al rapporto tra i due valori corrispondenti della seconda quantità.

§ 132. Formula di proporzionalità diretta.

Facciamo una tabella del costo di varie quantità di dolci, se 1 kg costa 10,4 rubli.

Ora facciamolo in questo modo. Prendiamo un numero qualsiasi della seconda riga e lo dividiamo per il numero corrispondente della prima riga. Ad esempio:

Vedi che nel quoziente si ottiene sempre lo stesso numero. Pertanto, per una data coppia di quantità direttamente proporzionali, il quoziente di divisione di un valore qualsiasi di una quantità per il valore corrispondente di un'altra quantità è un numero costante (cioè non cambia). Nel nostro esempio, questo quoziente è 10,4. Questo numero costante è chiamato fattore di proporzionalità. In questo caso esprime il prezzo di un'unità di misura, ovvero un chilogrammo di merce.

Come trovare o calcolare il fattore di proporzionalità? Per fare ciò, devi prendere qualsiasi valore di una quantità e dividerlo per il valore corrispondente di un'altra.

Indichiamo questo valore arbitrario di una quantità con la lettera in e il valore corrispondente di un'altra quantità: la lettera X , quindi il coefficiente di proporzionalità (lo indichiamo A) trova dividendo:

In questa uguaglianza in - divisibile X - divisore e A- quoziente, e poiché, per la proprietà della divisione, il dividendo è uguale al divisore moltiplicato per il quoziente, possiamo scrivere:

y= K X

L'uguaglianza risultante viene chiamata formula della proporzionalità diretta. Usando questa formula, possiamo calcolare un numero qualsiasi di valori ​​di una delle quantità direttamente proporzionali, se conosciamo i valori corrispondenti dell'altra quantità e il coefficiente di proporzionalità.

Esempio. Dalla fisica sappiamo che il peso R di qualsiasi corpo è uguale al suo peso specifico D moltiplicato per il volume di questo corpo V, cioè. R = D V.

Prendi cinque lingotti di ferro di varie dimensioni; conoscendo il peso specifico del ferro (7.8), possiamo calcolare i pesi di questi grezzi usando la formula:

R = 7,8 V.

Confrontando questa formula con la formula in = A X , Lo vediamo y= R, x = V, e il coefficiente di proporzionalità A= 7,8. La formula è la stessa, solo le lettere sono diverse.

Usando questa formula, facciamo una tabella: lascia che il volume del 1° bianco sia di 8 metri cubi. cm, quindi il suo peso è 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Il volume del secondo grezzo è di 27 metri cubi. cm Il suo peso è 7,8 27 \u003d 210,6 (g). La tabella sarà simile a questa:

Calcola tu stesso i numeri mancanti in questa tabella usando la formula R= D V.

§ 133. Altri modi di risolvere problemi con quantità direttamente proporzionali.

Nel paragrafo precedente abbiamo risolto il problema la cui condizione includeva quantità direttamente proporzionali. A questo scopo, abbiamo precedentemente derivato la formula della proporzionalità diretta e quindi applicato questa formula. Ora mostreremo altri due modi per risolvere problemi simili.

Facciamo un problema in base ai dati numerici riportati nella tabella del paragrafo precedente.

Compito. Blank con un volume di 8 metri cubi. cm pesa 62,4 g Quanto peserà un grezzo con un volume di 64 metri cubi? centimetro?

Soluzione. Il peso del ferro, come sai, è proporzionale al suo volume. Se 8 cu. cm pesano 62,4 g, quindi 1 cu. cm peserà 8 volte meno, cioè

62,4: 8 = 7,8 (g).

Un grezzo con un volume di 64 metri cubi. cm peserà 64 volte più di un bianco di 1 cu. cm, cioè

7,8 64 = 499,2(g).

Abbiamo risolto il nostro problema riducendo all'unità. Il significato di questo nome è giustificato dal fatto che per risolverlo abbiamo dovuto trovare nella prima domanda il peso di un'unità di volume.

2. Metodo di proporzione. Risolviamo lo stesso problema usando il metodo delle proporzioni.

Poiché il peso del ferro e il suo volume sono quantità direttamente proporzionali, il rapporto di due valori di una quantità (volume) è uguale al rapporto di due valori corrispondenti di un'altra quantità (peso), cioè

(lettera R abbiamo indicato il peso sconosciuto del grezzo). Da qui:

(G).

Il problema si risolve con il metodo delle proporzioni. Ciò significa che per risolverlo, una proporzione è stata composta dai numeri inclusi nella condizione.

§ 134. Le quantità sono inversamente proporzionali.

Considera il seguente problema: “Cinque muratori possono posare i muri di mattoni di una casa in 168 giorni. Determina in quanti giorni 10, 8, 6, ecc. i muratori potrebbero fare lo stesso lavoro.

Se 5 muratori abbatteranno i muri di una casa in 168 giorni, allora (a parità di produttività del lavoro) 10 muratori potrebbero farlo due volte più velocemente, poiché in media 10 persone fanno il doppio del lavoro di 5 persone.

Facciamo una tabella in base alla quale sarebbe possibile monitorare la variazione del numero delle ore lavorative e delle ore lavorative.

Ad esempio, per sapere quanti giorni impiega 6 lavoratori, devi prima calcolare quanti giorni impiega un lavoratore (168 5 = 840) e poi sei lavoratori (840: 6 = 140). Osservando questa tabella, vediamo che entrambe le quantità hanno assunto sei valori diversi. Ogni valore della prima grandezza corrisponde in modo più preciso; il valore del secondo valore, ad esempio 10 corrisponde a 84, il numero 8 - il numero 105, ecc.

Se consideriamo i valori di entrambi i valori da sinistra a destra, vedremo che i valori del valore superiore aumentano e i valori del valore inferiore diminuiscono. L'aumento e la diminuzione sono soggetti alla seguente legge: i valori del numero di lavoratori aumentano tante volte quanto diminuiscono i valori dell'orario di lavoro speso. Ancora più semplicemente, questa idea può essere espressa come segue: più lavoratori sono impiegati in un'impresa, meno tempo hanno bisogno per svolgere un determinato lavoro. Vengono chiamate le due quantità che abbiamo incontrato in questo problema inversamente proporzionale.

Pertanto, se due quantità sono interconnesse in modo tale che con un aumento (diminuzione) del valore di una di esse più volte, il valore dell'altra diminuisce (aumenta) della stessa quantità, tali quantità sono chiamate inversamente proporzionali.

Ci sono molte cose simili nella vita. Diamo esempi.

1. Se per 150 rubli. devi acquistare diversi chilogrammi di dolci, quindi il numero di dolci dipenderà dal prezzo di un chilogrammo. Più alto è il prezzo, meno beni possono essere acquistati con questo denaro; questo può essere visto dalla tabella:

Con un aumento del prezzo dei dolci più volte, il numero di chilogrammi di dolci che possono essere acquistati per 150 rubli diminuisce dello stesso importo. In questo caso le due quantità (il peso del prodotto e il suo prezzo) sono inversamente proporzionali.

2. Se la distanza tra due città è di 1.200 km, può essere percorsa in tempi diversi a seconda della velocità di spostamento. Ci sono diverse modalità di trasporto: a piedi, a cavallo, in bicicletta, in barca, in auto, in treno, in aereo. Minore è la velocità, maggiore è il tempo necessario per spostarsi. Questo può essere visto dalla tabella:

Con un aumento della velocità più volte, il tempo di movimento diminuisce della stessa quantità. Quindi, in determinate condizioni, velocità e tempo sono inversamente proporzionali.

§ 135. La proprietà delle quantità inversamente proporzionali.

Prendiamo il secondo esempio, che abbiamo considerato nel paragrafo precedente. Lì avevamo a che fare con due quantità: la velocità del movimento e il tempo. Se consideriamo i valori di queste quantità da sinistra a destra nella tabella, vedremo che i valori della prima quantità (velocità) aumentano e i valori della seconda (tempo) diminuiscono e la velocità aumenta dello stesso fattore al diminuire del tempo.È facile capire che se scrivi il rapporto di alcuni valori di una quantità, non sarà uguale al rapporto dei valori corrispondenti di un'altra quantità. Infatti, se prendiamo il rapporto tra il quarto valore del valore superiore e il settimo valore (40: 80), allora non sarà uguale al rapporto tra il quarto e il settimo valore del valore inferiore (30: 15 ). Si può scrivere così:

40:80 non è uguale a 30:15 o 40:80 =/= 30:15.

Ma se invece di uno di questi rapporti prendiamo il contrario, allora otteniamo l'uguaglianza, cioè da questi rapporti sarà possibile fare una proporzione. Ad esempio:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Sulla base di quanto sopra, possiamo trarre la seguente conclusione: se due quantità sono inversamente proporzionali, allora il rapporto di due valori presi arbitrariamente di una quantità è uguale al rapporto inverso dei valori corrispondenti dell'altra quantità.

§ 136. Formula di proporzionalità inversa.

Considera il problema: “Ci sono 6 pezzi di tessuto di seta di diverse dimensioni e diversi gradi. Tutti i pezzi hanno lo stesso prezzo. In un unico pezzo 100 m di tessuto al prezzo di 20 rubli. al metro. Quanti metri ci sono in ciascuno dei restanti cinque pezzi, se un metro di tessuto in questi pezzi costa rispettivamente 25, 40, 50, 80, 100 rubli? Creiamo una tabella per risolvere questo problema:

Dobbiamo riempire le celle vuote nella riga superiore di questa tabella. Proviamo prima a determinare quanti metri ci sono nel secondo pezzo. Questo può essere fatto nel modo seguente. È noto dalla condizione del problema che il costo di tutti i pezzi è lo stesso. Il costo del primo pezzo è facile da determinare: ha 100 me ogni metro costa 20 rubli, il che significa che nel primo pezzo di seta 2.000 rubli. Poiché il secondo pezzo di seta contiene lo stesso numero di rubli, quindi, dividendo 2.000 rubli. al prezzo di un metro, cioè a 25, troviamo il valore del secondo pezzo: 2.000: 25 = 80 (m). Allo stesso modo troveremo la dimensione di tutti gli altri pezzi. La tabella sarà simile a:

È facile vedere che esiste una relazione inversa tra il numero di metri e il prezzo.

Se fai tu stesso i calcoli necessari, noterai che ogni volta devi dividere il numero 2000 per il prezzo di 1 m Al contrario, se ora inizi a moltiplicare la dimensione di un pezzo in metri per il prezzo di 1 m, otterrà sempre il numero 2.000 e c'era da aspettarselo, poiché ogni pezzo costa 2.000 rubli.

Da ciò possiamo trarre la seguente conclusione: per una data coppia di quantità inversamente proporzionali, il prodotto di qualsiasi valore di una quantità per il valore corrispondente di un'altra quantità è un numero costante (cioè non cambia).

Nel nostro problema questo prodotto è pari a 2000. Verifica che nel problema precedente, che parlava della velocità di movimento e del tempo necessario per spostarsi da una città all'altra, ci fosse anche un numero costante per quel problema (1200).

Tenendo conto di tutto quanto detto, è facile ricavare la formula della proporzionalità inversa. Indica un valore di una quantità con la lettera X e il valore corrispondente di un altro valore: la lettera in . Quindi, sulla base del lavoro di cui sopra X sul in deve essere uguale a un valore costante, che indichiamo con la lettera A, cioè.

x y = A.

In questa uguaglianza X - moltiplicatore, in - moltiplicatore e K- opera. Per la proprietà della moltiplicazione, il moltiplicatore è uguale al prodotto diviso per il moltiplicando. Si intende,

Questa è la formula della proporzionalità inversa. Usandolo, possiamo calcolare un numero qualsiasi di valori ​​di una delle quantità inversamente proporzionali, conoscendo i valori dell'altra e un numero costante A.

Consideriamo un altro problema: “L'autore di un saggio ha calcolato che se il suo libro fosse nel solito formato, allora avrebbe 96 pagine, ma se fosse un formato tascabile, allora avrebbe 300 pagine. Ha provato diverse opzioni, ha iniziato con 96 pagine e poi ha ottenuto 2.500 lettere per pagina. Quindi prese il numero di pagine indicato nella tabella sottostante e calcolò di nuovo quante lettere ci sarebbero state sulla pagina.

Proviamo a calcolare quante lettere ci saranno su una pagina se il libro ha 100 pagine.

Ci sono 240.000 lettere nell'intero libro, poiché 2.500 96 = 240.000.

Tenendo conto di ciò, utilizziamo la formula della proporzionalità inversa ( in - numero di lettere per pagina X - numero di pagine):

Nel nostro esempio A= 240.000, quindi,

Quindi, ci sono 2.400 lettere su una pagina.

Allo stesso modo, apprendiamo che se il libro ha 120 pagine, il numero di lettere sulla pagina sarà:

Il nostro tavolo sarà simile a:

Riempi tu stesso il resto delle celle.

§ 137. Altri modi per risolvere i problemi con quantità inversamente proporzionali.

Nel paragrafo precedente, abbiamo risolto problemi che includevano quantità inversamente proporzionali. In precedenza abbiamo derivato la formula della proporzionalità inversa e quindi applicato questa formula. Ora mostreremo altri due modi per risolvere tali problemi.

1. Metodo di riduzione all'unità.

Compito. 5 tornitori possono fare un po' di lavoro in 16 giorni. In quanti giorni 8 tornitori possono completare questo lavoro?

Soluzione. Esiste una relazione inversa tra il numero di tornitori e l'orario di lavoro. Se 5 tornitori fanno il lavoro in 16 giorni, una persona avrà bisogno di 5 volte più tempo per questo, ad es.

5 tornitori fanno il lavoro in 16 giorni,

1 giocatore lo completerà in 16 5 = 80 giorni.

Il problema si chiede, in quanti giorni 8 tornitori completeranno il lavoro. Ovviamente, faranno il lavoro 8 volte più velocemente di 1 tornitore, cioè per

80: 8 = 10 (giorni).

Questa è la soluzione del problema con il metodo della riduzione all'unità. Qui, prima di tutto, è stato necessario determinare il tempo per l'esecuzione del lavoro da parte di un lavoratore.

2. Metodo di proporzione. Risolviamo lo stesso problema nel secondo modo.

Poiché esiste una relazione inversa tra il numero degli operai e l'orario di lavoro, possiamo scrivere: la durata del lavoro di 5 tornitori il nuovo numero di tornitori (8) la durata del lavoro di 8 tornitori il precedente numero di tornitori (5 ) Indichiamo con la lettera la durata desiderata del lavoro X e sostituisci nella proporzione espressa in parole i numeri necessari:

Lo stesso problema è risolto con il metodo delle proporzioni. Per risolverlo, abbiamo dovuto fare una proporzione dei numeri inclusi nella condizione del problema.

Nota. Nei paragrafi precedenti abbiamo considerato la questione della proporzionalità diretta e inversa. La natura e la vita ci danno molti esempi di proporzioni dirette e inverse di quantità. Tuttavia, va notato che questi due tipi di dipendenza sono solo i più semplici. Insieme a loro, ci sono altre relazioni più complesse tra le quantità. Inoltre, non si dovrebbe pensare che se due quantità qualsiasi aumentano contemporaneamente, allora c'è necessariamente una proporzionalità diretta tra loro. Questo è tutt'altro che vero. Ad esempio, le tariffe ferroviarie aumentano con la distanza: più percorriamo, più paghiamo, ma questo non significa che la tariffa sia proporzionale alla distanza.