introduzione

La teoria della probabilità è una delle branche classiche della matematica. Ha una lunga storia. Le basi di questo ramo della scienza furono gettate da grandi matematici. Nominerò, ad esempio, Fermat, Bernoulli, Pascal. Successivamente, lo sviluppo della teoria della probabilità è stato determinato nelle opere di molti scienziati. Un grande contributo alla teoria della probabilità è stato dato dagli scienziati del nostro paese: P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. I metodi probabilistici e statistici sono ora profondamente radicati nelle applicazioni. Sono usati in fisica, ingegneria, economia, biologia e medicina. Il loro ruolo è particolarmente aumentato in connessione con lo sviluppo della tecnologia informatica.

Ad esempio, per studiare i fenomeni fisici, vengono fatte osservazioni o esperimenti. I loro risultati sono solitamente registrati come valori di alcune grandezze osservate. Quando ripetiamo gli esperimenti, troviamo una dispersione nei loro risultati. Ad esempio, ripetendo misurazioni della stessa quantità con lo stesso dispositivo mantenendo determinate condizioni (temperatura, umidità, ecc.), otteniamo risultati che differiscono almeno leggermente, ma differiscono comunque tra loro. Anche misurazioni multiple non consentono di prevedere con precisione il risultato della misurazione successiva. In questo senso, si dice che il risultato di una misurazione è una quantità casuale. Un esempio ancora più chiaro di variabile casuale è il numero di un biglietto vincente della lotteria. Possono essere forniti molti altri esempi di variabili casuali. Tuttavia, nel mondo degli incidenti, si trovano determinati schemi. L'apparato matematico per lo studio di tali regolarità è fornito dalla teoria della probabilità. Pertanto, la teoria della probabilità si occupa dell'analisi matematica di eventi casuali e delle variabili casuali ad essi associate.

1. Variabili casuali

Il concetto di variabile casuale è fondamentale nella teoria della probabilità e nelle sue applicazioni. Le variabili casuali, ad esempio, sono il numero di punti persi in un singolo lancio di dadi, il numero di atomi di radio decaduti in un dato periodo di tempo, il numero di chiamate a una centrale telefonica in un certo periodo di tempo, la deviazione dal valore nominale di una certa dimensione di una parte con un processo tecnologico adeguatamente stabilito, ecc.

Pertanto, una variabile casuale è una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere uno o un altro valore e quale è noto in anticipo.

Le variabili casuali possono essere suddivise in due categorie.

Una variabile casuale discreta è una tale variabile che, a seguito dell'esperienza, può assumere determinati valori con una certa probabilità, formando un insieme numerabile (un insieme i cui elementi possono essere numerati).

Questo insieme può essere finito o infinito.

Ad esempio, il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio è una variabile casuale discreta, perché questo valore può assumere un numero infinito, anche se numerabile, di valori.

Una variabile casuale continua è una variabile che può assumere qualsiasi valore da un intervallo finito o infinito.

Ovviamente, il numero di valori possibili di una variabile casuale continua è infinito.

Per specificare una variabile casuale non è sufficiente specificarne il valore, è necessario specificare anche la probabilità di tale valore.

2. Distribuzione uniforme

Sia il segmento dell'asse del Bue la scala di uno strumento. Assumiamo che la probabilità che il puntatore colpisca un determinato segmento della scala sia proporzionale alla lunghezza di questo segmento e non dipenda dalla posizione del segmento sulla scala. Il segno del puntatore dello strumento è una variabile casuale

che può assumere qualsiasi valore dal segmento. Così e (<) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и, а разность, - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем, allora , donde .

In questo modo

(1)

Ora è facile trovare la funzione F(x) della distribuzione di probabilità della variabile casuale

. Se , allora non prende valori inferiori a un. Lascia ora. Secondo l'assioma dell'addizione delle probabilità. Secondo la formula (1), in cui accettiamo , abbiamo , quindi arriviamo

Infine, se

, quindi, poiché i valori giacciono sul segmento e, quindi, non superano B. Quindi, arriviamo alla seguente funzione di distribuzione:

Grafico delle funzioni

mostrato in fig. uno.

Troviamo la densità della distribuzione di probabilità con la formula. Se

o , allora . Se poi

Nel caso in cui, per lo studio di fenomeni casuali, si debbano utilizzare due variabili casuali X e Y congiuntamente diciamo che c'è un sistema ( X, Y) di due variabili casuali. Possibili valori di sistema ( X, Y) sono punti casuali ( X, y) nell'intervallo dei possibili valori del sistema.

I sistemi discreti e continui si distinguono in base al tipo di variabili casuali in essi incluse.

La legge di distribuzione di un sistema discreto è data sotto forma di una tabella o di una funzione di distribuzione.

Lezione 6

Tabella di allocazione del sistema{X, Y) contiene un insieme di quantità xi, yj e P(xi,yj), dove P(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m– il numero di possibili valori della variabile casuale X, Y rispettivamente.

Funzione di distribuzione del sistema{X, Y) è dato come:

Lezione 6

La legge di distribuzione di un sistema continuo ( X, Y) può essere rappresentato funzione di distribuzione F(x, y)o densità di distribuzione φ(x, y):

Lezione 6

Sistema di distribuzione privato{X, Y) sono le leggi di distribuzione di ciascuna delle variabili casuali X e Y.

Se X e Y sono variabili casuali discrete, quindi le probabilità P(xi) e P(yj) necessari per trovare le loro leggi di distribuzione si trovano dalla tabella di distribuzione utilizzando le formule:

Per sistemi continui ( X, Y) le densità di distribuzione parziale hanno la forma:

Lezione 6

Distribuzioni condizionali Sono definiti:

probabilità condizionali P(xi/yj), P(yj/xi) per sistemi discreti ( X, Y) e densità di distribuzione condizionale ( x/a), (y/x) per sistemi continui ( X, Y}:

Lezione 6

Condizioni per l'indipendenza delle variabili casuali X e Y:

– per sistemi discreti (8)

– per sistemi continui (9)

Quando questi rapporti sono soddisfatti, segue:

(10) (11)

Probabilità di colpire possibili valori di un sistema continuo{X, Y) nella regione ( D) è determinato dalla formula:

(12)

Lezione 6

Esempio 3.1

La legge di distribuzione del sistema (X, Y) è data dalla tabella:

Necessario:

a) trovare le distribuzioni parziali di X e Y;

b) la legge condizionale di distribuzione di Y a X= -1;

c) determinare se i valori di X e Y sono dipendenti?

Lezione 6

Soluzione:

a) Trova le distribuzioni parziali di X e Y

b) Legge di distribuzione condizionata Y a X= -1. Quando X= -1, la variabile casuale Y ha la seguente legge di distribuzione:

c) Determinare se le quantità X e Y sono dipendenti?

Poiché nelle leggi di distribuzione incondizionata e condizionale le probabilità P(yj) e P(yj / X = -1) sono diverse, quindi le variabili casuali X e Y sono dipendenti.

Lezione 6

Esempio 3.2

Dato un sistema (X, Y) distribuito uniformemente nel quadrato |x|+|y|1 (vedi fig. 22).

Determinare: a) leggi particolari di distribuzione di X e Y; b) Queste variabili casuali sono dipendenti?

Lezione 6

Soluzione:

La legge di distribuzione (X, Y) ha la forma:

La densità a |x|≤1 è determinata dalla formula:

Lezione 6

Quindi (vedi Fig. 23):

Allo stesso modo, per (y) otteniamo:

Poiché la condizione di indipendenza non è soddisfatta:

allora le variabili casuali X e Y sono dipendenti.

Alle caratteristiche numeriche del sistema ( X, Y) relazionare:

• caratteristiche numeriche delle variabili casuali X e Y:

mx, mio, Dx, Dy, σx, yy;

• caratteristiche numeriche delle distribuzioni condizionali:

mx/a, mio/x, Gx/a, Dy/x, σx/y, y/x;

• caratteristiche numeriche della connessione di variabili casuali:

Kxy e rxy

Lezione 7. Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali

Le caratteristiche numeriche del primo gruppo sono determinate dalle formule precedentemente fornite.

Caratteristiche numeriche del secondo gruppo in relazione ad un sistema continuo ( X, Y) sono determinati dalle formule:

Per sistemi discreti ( X, Y) queste formule sono ovvie.

Lezione 7. Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali

Le quantità Kxy e rxy sono caratteristiche di una correlazione lineare tra X e Y; sono definiti da dipendenze:

dove Kxyè il momento di correlazione o momento di connessione tra X e Y;

è il coefficiente di correlazione tra X e Y, -1  rx  1. (16)

Coefficiente di correlazione caratterizza il grado di correlazione lineare tra X e Y.

Lezione 7. Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali

Sotto dipendenza dalla correlazione tale dipendenza è intesa quando, ad esempio, con un cambiamento in una variabile casuale X, l'altro ha Y la sua aspettativa matematica cambia ( mio/x).

Quando | rxy|=1 esiste una relazione funzionale lineare tra X e Y, in rxy=0 variabili casuali X e Y non correlato.

Se X e Y indipendenti, quindi non sono correlati. Se rxy=0, quindi le variabili casuali X e Y può essere dipendente.

Lezione 7. Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali

Esempio 3.3

Nelle condizioni dell'esempio 3.1. definire: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Soluzione:

Lezione 7. Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali

Esempio 3.4

Nelle condizioni dell'esempio 3.2. determinare le caratteristiche numeriche del sistema (X, Y).

Soluzione:

Lezione 7. Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali

è la densità di distribuzione uniforme nell'intervallo

(-(1-|x|), (1-|x|))

Allo stesso modo, si possono scrivere espressioni per mx/y , Dx/y.

Nel caso generale, quando le variabili casuali incluse nel sistema ( X, Y), sono dipendenti, la densità della distribuzione normale ha la forma:

(17)

Le distribuzioni private sono determinate dalle formule:

(18)

(19)

Lezione 8

Densità condizionali ( x/a) e ( y/x) hanno la forma di distribuzioni normali:

(20) (21)

dove

(22) (23)

(24) (25)

Lezione 8

Se variabili casuali X e Y sono indipendenti, allora la densità assume la forma:

Probabilità di colpire un sistema normalmente distribuito (X,Y)(nel caso di variabili casuali indipendenti X e Y) in un rettangolo con i lati paralleli agli assi delle coordinate, sono determinati utilizzando la funzione di Laplace secondo la formula:

(27)

Lezione 8

Esempio 3.5

Determina la probabilità che un proiettile colpisca un bersaglio che ha la forma di un rettangolo con coordinate centrali: xц=10 m, yц =5 m I lati del rettangolo sono paralleli agli assi delle coordinate e sono uguali: lungo l'asse del bue: 2 = 20 m, lungo l'asse oy: 2k = 40 m Coordinate del punto di mira: mx=5m, my=5 m Le caratteristiche di dispersione del proiettile lungo gli assi ox e oy, rispettivamente, sono: σx=20 m, σy= 10 m.

Soluzione: denota l'area del rettangolo come D.

Poi:

Argomento 4. Funzioni di variabili casuali

Lezione 9

L'ordine di trovare la legge di distribuzione di una funzione S=s(X), dove Xè una variabile casuale discreta, presentata nell'Esempio 4.1.

Se i possibili valori di variabili casuali X e Y legati da dipendenza funzionale y=y(X), dove y(X) è continua e differenziabile ed è nota la legge di distribuzione della variabile casuale X-, quindi la legge di distribuzione della variabile casuale Y- per il caso quando y(X) aumenta o diminuisce in modo monotono nell'intervallo dei suoi possibili valori, è espresso dalla formula (1):

Nella formula (1) X(y) è una funzione inversa.

Nel caso in cui la funzione y(X) Esso ha n sezioni di decrescente e crescente, quindi questa formula viene scritta nella forma (2).

Lezione 9

Esempio 4.1

La variabile casuale X ha una legge di distribuzione:

Trova la legge di distribuzione di una variabile casuale

Soluzione: trova i possibili valori della funzione

a =0, ​​1, 2, 3.

Sono rispettivamente uguali: 1, 2, 1, 0. Pertanto, i valori possibili sono: 0, 1, 2.

Lezione 9

Troviamo le probabilità di questi possibili valori:

Y legge di distribuzione:

Lezione 9

Esempio 4.2

Trova la densità di distribuzione di una variabile casuale e costruisci il suo grafico se la variabile casuale X è distribuita uniformemente nell'intervallo

Soluzione: grafico di una funzione

mostrato in fig. 24.

Lezione 9

La variabile casuale X ha la seguente densità di distribuzione:

Trovare la funzione inversa x(y)e la sua derivata:

Lezione 9

Infine, otteniamo la seguente espressione per la densità

Grafico di questa densità

mostrato in fig. 25.

Lezione 10

Formule di base:

Lezione 10

Lezione 10

dove Xi sono variabili casuali indipendenti,

Lezione 10

Lezione 10

Per n variabili casuali, le caratteristiche numeriche sono date dalla totalità e dalla matrice di correlazione:

La notazione sotto forma di matrice triangolare è valida, perché

Lezione 10

La matrice di correlazione può essere rappresentata in forma normalizzata, ad es. matrice dei coefficienti di correlazione:

Lezione 10

Esempio 4.3

Determina le caratteristiche numeriche di una variabile casuale

Se

Soluzione:

La variabile casuale U è una funzione lineare di argomenti casuali X, Y e Z. Pertanto, utilizzando le formule (11) e (17) di questa sezione, otteniamo:

Caratteristiche numeriche di un sistema di variabili casuali

La legge di distribuzione caratterizza completamente il sistema di variabili casuali, ma non sempre è conveniente utilizzarla nella pratica a causa della complessità. Spesso è sufficiente conoscere le caratteristiche numeriche delle variabili casuali che compongono il sistema, che includono: aspettative matematiche M[X], M[Y], varianze D[X], D[Y] e deviazioni standard. Sono calcolati secondo le seguenti formule.

Le dispersioni dei componenti possono essere calcolate anche utilizzando formule abbreviate

Un ruolo importante nella teoria delle variabili casuali bidimensionali è svolto dal momento di correlazione (covarianza), che caratterizza la relazione lineare tra le componenti del sistema

Il momento di correlazione è calcolato con le seguenti formule.

Per sistemi discreti di variabili casuali

Per sistemi continui di variabili casuali

Insieme al momento di correlazione, viene utilizzata una caratteristica adimensionale della correlazione: il coefficiente di correlazione

Per qualsiasi sistema di variabili casuali

Le variabili casuali X e Y sono dette non correlate se

Le quantità indipendenti sono sempre non correlate.

La legge condizionata di distribuzione di una variabile aleatoria inclusa nel sistema è la legge della sua distribuzione, calcolata a condizione che un'altra variabile aleatoria abbia assunto un certo valore. Per i sistemi di variabili casuali continue, le leggi condizionali sono espresse dalle densità di distribuzione condizionale dei componenti

In questo caso, (6.9)

in cui

Leggi di distribuzione uniforme e normale di sistemi di variabili casuali

Legge paritaria. Se tutti i valori delle variabili casuali incluse nel sistema si trovano all'interno della regione D, e la densità di probabilità del sistema ha la forma seguente

allora (X, Y) è soggetto alla legge di distribuzione uniforme.

legge normale. Se la densità di distribuzione del sistema (X, Y) ha la forma

dove - aspettative matematiche; - deviazioni standard e - coefficiente di correlazione, quindi il sistema è soggetto alla legge di distribuzione normale.

Per variabili casuali non correlate, la densità di distribuzione normale

Esempio 6.2. L'attività di 3 imprese è prevista per il prossimo anno. Sistema (X,Y)

dov'è il numero dell'azienda

La dimensione degli investimenti (in migliaia di unità monetarie convenzionali),

Dato dalla tabella

La legge di distribuzione della componente X significa che, indipendentemente dal volume degli investimenti, la prima impresa avrà investimenti con una probabilità di 0,3, la seconda - con una probabilità di 0,2 e la terza - con una probabilità di 0,5. La componente Y corrisponde alla legge di distribuzione

e ciò significa che, indipendentemente dal numero dell'impresa, il volume degli investimenti può essere pari a 3mila unità convenzionali. tana. unità con una probabilità di 0,5 o 4 mila unità convenzionali. con una probabilità di 0,5.

Per determinare le caratteristiche numeriche dei componenti, utilizziamo le leggi di distribuzione trovate X e Y e le formule per determinare le caratteristiche numeriche dei sistemi discreti

Volume medio degli investimenti;

Deviazione dal volume medio dell'investimento

Relazione tra numero di società e volume di investimento

Esempio 6.3. Nella produzione per un certo periodo sono state utilizzate due tipologie di materie prime. Le variabili casuali X e Y sono, rispettivamente, i volumi delle materie prime, espressi in unità convenzionali. La densità di distribuzione di probabilità del sistema ha la forma

Si consideri un sistema di due variabili continue casuali. La legge di distribuzione di questo sistema è la legge di distribuzione normale se la funzione di densità di probabilità di questo sistema ha la forma

. (1.18.35)

Si può dimostrare che qui ci sono le aspettative matematiche delle variabili casuali, sono le loro deviazioni radice-quadrata media ed è il coefficiente di correlazione delle variabili. I calcoli con le formule (1.18.31) e (1.18.35) danno

. (1.18.36)

È facile vedere che se le variabili casuali distribuite secondo la legge normale non sono correlate, allora sono anche indipendenti

.

Pertanto, per una normale legge di distribuzione, non correlazione e indipendenza sono concetti equivalenti.

Se , le variabili casuali sono dipendenti. Le leggi di distribuzione condizionale sono calcolate con le formule (1.18.20)

. (1.18.37)

Entrambe le leggi (1.18.37) sono distribuzioni normali. Infatti, trasformiamo, ad esempio, la seconda delle relazioni (1.18.37) nella forma

.

Questa è davvero una normale legge di distribuzione, che ha aspettativa condizionale equivale

, (1.18.38)

un deviazione standard condizionale è espresso dalla formula

. (1.18.39)

Si noti che nella legge condizionale della distribuzione di una quantità ad un valore fisso, solo l'aspettativa matematica condizionale dipende da questo valore, ma non varianza condizionale – .

Sul piano delle coordinate, la dipendenza (1.18.38) è una retta

, (1.18.40)

che è chiamato linea di regressione sul .

Del tutto analogamente, è stabilito che la distribuzione condizionale della quantità ad un valore fisso

, (1.18.41)

è una distribuzione normale con aspettativa condizionale

, (1.18.42)

deviazione standard condizionale

. (1.18.43)

In questo caso, appare la retta di regressione

. (1.18.44)

Le rette di regressione (1.18.40) e (1.18.44) coincidono solo quando la relazione tra e è lineare. Se le quantità e sono indipendenti, le linee di regressione sono parallele agli assi delle coordinate.

Fine del lavoro -

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Teoria della probabilità
La teoria della probabilità è una branca della matematica che studia i modelli di fenomeni di massa casuali. Casuale è un fenomeno che

Definizione statistica di probabilità
Un evento è un fenomeno casuale che, per esperienza, può manifestarsi o meno (fenomeno a due valori). Designare gli eventi in lettere latine maiuscole

Spazio degli eventi elementari
Lascia che un insieme di eventi sia associato a qualche esperienza, e: 1) come risultato dell'esperienza, uno e solo uno

Azioni sugli eventi
La somma di due eventi e

Permutazioni
Viene indicato il numero di diverse permutazioni di elementi

Alloggi
Posizionamento degli elementi di

Combinazioni
Una combinazione di elementi

La formula per sommare le probabilità per eventi incompatibili
Teorema. La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. (uno

Formula di addizione di probabilità per eventi arbitrari
Teorema. La probabilità della somma di due eventi è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro prodotto.

Formula di moltiplicazione delle probabilità
Sia dato due eventi. Considera un evento

Formula di probabilità totale
Sia un gruppo completo di eventi incompatibili, si chiamano ipotesi. Considera qualche evento

Formula delle probabilità delle ipotesi (Bayes)
Considera ancora: il gruppo completo di ipotesi incompatibili e l'evento

Formula di Poisson asintotica
Nei casi in cui il numero di prove è elevato e la probabilità che si verifichi un evento

Variabili discrete casuali
Un valore casuale è una quantità che, quando l'esperimento viene ripetuto, può assumere valori numerici disuguali. La variabile casuale è chiamata discreta,

Variabili continue casuali
Se, a seguito di un esperimento, una variabile casuale può assumere qualsiasi valore da un determinato segmento o dall'intero asse reale, allora si dice continua. legge

Funzione di densità di probabilità di una variabile continua casuale
Permettere. Considera un punto e dagli un incremento

Caratteristiche numeriche di variabili casuali
Le variabili casuali discrete o continue sono considerate completamente specificate se le loro leggi di distribuzione sono note. Infatti, conoscendo le leggi della distribuzione, si può sempre calcolare la probabilità di colpire

Quantili di variabili casuali
Quantile dell'ordine di una variabile continua casuale

Aspettativa matematica di variabili casuali
L'aspettativa matematica di una variabile casuale caratterizza il suo valore medio. Tutti i valori della variabile casuale sono raggruppati attorno a questo valore. Consideriamo prima una variabile discreta casuale

Deviazione standard e varianza di variabili casuali
Consideriamo prima una variabile discreta casuale. Caratteristiche numeriche di moda, mediana, quantili e aspettativa matematica

Momenti di variabili casuali
Oltre all'aspettativa e alla dispersione matematica, la teoria della probabilità utilizza caratteristiche numeriche di ordini superiori, che sono chiamate momenti di variabili casuali.

Teoremi sulle caratteristiche numeriche di variabili casuali
Teorema 1. L'aspettativa matematica di una variabile non casuale è uguale a questo valore stesso. Prova: Let

Legge di distribuzione binomiale

Legge di distribuzione di Poisson
Sia una variabile discreta casuale che prenda i valori

Legge di distribuzione uniforme
La legge uniforme di distribuzione di una variabile continua casuale è la legge della funzione di densità di probabilità, che

Legge di distribuzione normale
La normale legge di distribuzione di una variabile continua casuale è la legge della funzione di densità

Legge di distribuzione esponenziale
La distribuzione esponenziale o esponenziale di una variabile casuale viene utilizzata in applicazioni della teoria della probabilità come la teoria delle code, la teoria dell'affidabilità

Sistemi di variabili casuali
In pratica, nelle applicazioni della teoria della probabilità, si ha spesso a che fare con problemi in cui i risultati di un esperimento sono descritti non da una variabile casuale, ma da più variabili casuali contemporaneamente.

Sistema di due variabili discrete casuali
Lascia che due variabili discrete casuali formino un sistema. Valore casuale

Sistema di due variabili continue casuali
Ora lascia che il sistema sia formato da due variabili continue casuali. La legge di distribuzione di questo sistema è chiamata probabilmente

Leggi condizionali di distribuzione
Let e ​​variabili continue casuali dipendenti

Caratteristiche numeriche di un sistema di due variabili casuali
Il momento iniziale dell'ordine del sistema di variabili casuali

Sistema di più variabili casuali
I risultati ottenuti per un sistema di due variabili casuali possono essere generalizzati al caso di sistemi costituiti da un numero arbitrario di variabili casuali. Lascia che il sistema sia formato dall'insieme

Teoremi limite della teoria della probabilità
L'obiettivo principale della disciplina della teoria della probabilità è studiare i modelli di fenomeni di massa casuali. La pratica mostra che l'osservazione di una massa di fenomeni casuali omogenei si rivela

La disuguaglianza di Chebyshev
Considera una variabile casuale con aspettativa matematica

Il teorema di Chebyshev
Se le variabili casuali sono indipendenti a coppie e hanno varianze finite limitate nella popolazione

Il teorema di Bernoulli
Con un aumento illimitato del numero di esperimenti, la frequenza di accadimento di un evento converge in probabilità alla probabilità di un evento

Teorema del limite centrale
Quando si aggiungono variabili casuali con qualsiasi legge di distribuzione, ma con varianze limitate nell'aggregato, la legge di distribuzione

Principali compiti della statistica matematica
Le leggi della teoria della probabilità discusse sopra sono un'espressione matematica di modelli reali che effettivamente esistono in vari fenomeni di massa casuali. studiando

Una semplice statistica. Funzione di distribuzione statistica
Si consideri una variabile casuale la cui legge di distribuzione è sconosciuta. Richiesto in base all'esperienza

Riga statistica. istogramma
Con un gran numero di osservazioni (dell'ordine di centinaia), la popolazione generale diventa scomoda e ingombrante per la registrazione di materiale statistico. Per chiarezza e compattezza, materiale statistico

Caratteristiche numeriche della distribuzione statistica
Nella teoria della probabilità sono state considerate varie caratteristiche numeriche delle variabili casuali: aspettativa matematica, varianza, momenti iniziali e centrali di vari ordini. Numeri simili

Scelta della distribuzione teorica con il metodo dei momenti
In ogni distribuzione statistica sono inevitabilmente presenti elementi di casualità associati al numero limitato di osservazioni. Con un gran numero di osservazioni, questi elementi di casualità vengono appianati,

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Criteri di consenso
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Stime puntuali per parametri di distribuzione sconosciuti
In p.p. 2.1. - 2.7 abbiamo considerato in dettaglio le modalità di risoluzione del primo e del secondo problema principale della statistica matematica. Questi sono i compiti di determinare le leggi di distribuzione di variabili casuali secondo dati sperimentali

Stime per aspettativa e varianza
Lascia sopra una variabile casuale con aspettativa matematica sconosciuta

Intervallo di confidenza. Probabilità di fiducia
In pratica, con un piccolo numero di esperimenti su una variabile casuale, una sostituzione approssimativa di un parametro sconosciuto

Nella teoria della probabilità e nelle sue applicazioni, la distribuzione normale bidimensionale gioca un ruolo importante. La densità di una variabile casuale normale bidimensionale (X,Y) ha la forma

Ecco le aspettative matematiche dei valori X e Y; - deviazioni standard dei valori X e Y; r è il coefficiente di correlazione dei valori X e Y.

Assumiamo che le variabili casuali X e Y non siano correlate, cioè r=0. Poi abbiamo:

(53)

Abbiamo scoperto che la densità di distribuzione di un sistema di due variabili casuali (X, Y) è uguale al prodotto delle densità di distribuzione delle componenti X e Y, il che significa che X e Y sono variabili casuali indipendenti.

Pertanto, abbiamo dimostrato quanto segue. teorema: dalla non correlazione delle variabili casuali normalmente distribuite deriva la loro indipendenza . Poiché l'indipendenza di qualsiasi variabile casuale implica la loro non correlazione, si può concludere che i termini variabili “non correlate” e “indipendenti” sono equivalenti nel caso di una distribuzione normale.

Diamo le formule per la probabilità che una variabile casuale bidimensionale normalmente distribuita cada in diverse regioni del piano.

Sia distribuito secondo la legge normale (53) un vettore casuale (X,Y), le cui componenti sono indipendenti. Quindi la probabilità che un punto casuale (X,Y) cada in un rettangolo R, i cui lati sono paralleli agli assi delle coordinate, è uguale a

y R d c x a b

(54)

dove è la funzione di Laplace. Questa funzione è tabulata.

Sia data nella forma (52) la densità di distribuzione della legge normale del sistema di variabili casuali (X,Y). È chiaro che questa densità rimane costante sulle ellissi:

dove C è una costante; su questa base, tali ellissi vengono chiamate ellissi di uguale probabilità. Si può dimostrare che la probabilità che un punto (X,Y) cada all'interno di un'ellisse di uguale probabilità è

(56)

Esempio 10. Le variabili casuali X e Y sono indipendenti e normalmente distribuite con Trova la probabilità che un punto casuale (X,Y) cada nell'anello

Soluzione: Poiché le variabili casuali X e Y sono indipendenti, non sono correlate e, quindi, r = 0. Sostituendo in (C), otteniamo

cioè un'ellisse di uguale probabilità è degenerata in un cerchio di uguale probabilità. Poi

Risposta: 0,1242.

3.2. Caso generale di distribuzione normale n-dimensionale

Densità della distribuzione normale del sistema n variabili casuali ha la forma:

dove - il determinante della matrice C - inversa alla matrice di covarianza; - aspettativa matematica di una variabile aleatoria Х i - i-esima componente n vettore casuale normale -dimensionale.

Dall'espressione generale seguono tutte le forme della legge normale per qualsiasi numero di misurazioni e per qualsiasi tipo di dipendenza tra variabili casuali. In particolare, quando n = 2 la matrice di covarianza ha la forma:

(58)

il suo determinante ; la matrice C, inversa alla matrice di covarianza, ha la forma

. (59)

Sostituendo e gli elementi della matrice C nella formula generale (57), otteniamo la formula per la distribuzione normale sul piano (52).

Se variabili casuali sono indipendenti, quindi la densità di distribuzione del sistema è uguale a

Per n = 2, questa formula assume la forma (53).

3.2. Funzioni di variabili casuali normalmente distribuite. Distribuzioni Chi quadrato, Student, Fisher-Snedekor

Consideriamo il caso generale: una funzione lineare di argomenti normalmente distribuiti. Sia dato un vettore casuale n-dimensionale normalmente distribuito , la variabile casuale Y è una funzione lineare di queste quantità:

(61)

Si può dimostrare che anche la variabile casuale Y è normalmente distribuita con parametri

(62)

(63)

dove - l'aspettativa matematica di una variabile casuale - la varianza di una variabile casuale - il coefficiente di correlazione tra e .

Esempio 11. Scrivi la densità di distribuzione di una variabile casuale , se variabili casuali e hanno una distribuzione normale con parametri , , , il loro coefficiente di correlazione .

Soluzione. In base alla condizione del problema si ha: n=2; . Utilizzando la formula (62), otteniamo: . Utilizzando la formula (63), otteniamo: .

Allora la funzione di distribuzione desiderata della variabile casuale Y ha la forma:

Permettere - variabili casuali indipendenti che obbediscono ad una distribuzione normale con aspettativa matematica zero e varianza unitaria, cioè la distribuzione normale standard. La distribuzione di una variabile casuale che è la somma dei quadrati di queste quantità

. (64)

chiamato " distribuzione chi - quadrato con n gradi di libertà ”.

La densità di distribuzione di CI - un quadrato con n=2 gradi di libertà è uguale a

(65)

Densità CI - il quadrato della distribuzione con n gradi di libertà ha la forma:

(66)

dove è la funzione gamma di Eulero. All'aumentare del numero di gradi di libertà, la distribuzione si avvicina alla legge di distribuzione normale (at n >30, la distribuzione praticamente non differisce da quella normale). L'aspettativa matematica - distribuzioni con n gradi di libertà è n , e la varianza è 2 n .

Distribuzione di Student con n gradi di libertà St(n) definita come la distribuzione di una variabile casuale

dove Z è il valore normale standard indipendente dalla distribuzione.

La densità della distribuzione di Student con n gradi di libertà ha la forma:

(68)

L'aspettativa matematica a è uguale a 0, la varianza a è uguale a At At , la distribuzione di Student si avvicina alla normale (già a n >30 coincide quasi con la distribuzione normale).

Distribuzione Fisher-Snedekor (o distribuzione F) con e gradi di libertà è la distribuzione di una variabile casuale

(69)

dove e sono variabili casuali aventi rispettivamente - distribuzione con e gradi di libertà.

4. Scritto D.T. Dispense di teoria della probabilità e statistica matematica. - M.: Iris-press, 2004.

1. Informazioni di base sui sistemi di variabili casuali e su come impostarli. . 3

1.1. Il concetto di sistema di variabili casuali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. La funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale bidimensionale e la sua

proprietà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Legge di distribuzione di probabilità per una variabile casuale bidimensionale discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. La densità di distribuzione di probabilità di una variabile casuale bidimensionale continua e le sue proprietà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Sistema di n variabili casuali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tredici

2. Dipendenza e indipendenza di variabili casuali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Variabili casuali indipendenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Leggi condizionali di distribuzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Caratteristiche numeriche della dipendenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . diciannove

3. Distribuzione normale di un sistema di variabili casuali. . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Distribuzione normale bivariata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Caso generale di distribuzione normale n-dimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Funzioni di variabili casuali normalmente distribuite. Distribuzioni di CI - quadrato, Student, Fisher - Snedekor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Compilato da Bobkova Vera Aleksandrovna

Sistemi di variabili casuali

Linee guida per il lavoro autonomo degli studenti

Editore GV Kulikova

Firmato per la pubblicazione il 03/02/2010. Formato 60x84. Carta da scrivere. Condizione.stampa.l.1.63.

Uch.-ed.l.1.81. Tiratura 50 copie.

GOU VPO Ivanovo State University of Chemical Technology

Stampato sull'attrezzatura di stampa del Dipartimento di Economia e Finanza GOU VPO "IGKhTU"

153000, Ivanovo, pr F. Engels, 7