Un trapezio è una figura geometrica con quattro angoli. Quando si costruisce un trapezio, è importante considerare che due lati opposti sono paralleli, mentre gli altri due, al contrario, non sono paralleli tra loro. Questa parola è arrivata ai tempi moderni dall'antica Grecia e suonava come "trapezion", che significava "tavolo", "tavolo da pranzo".

Questo articolo parla delle proprietà di un trapezio circoscritto a un cerchio. Considereremo anche i tipi e gli elementi di questa figura.

Elementi, tipi e segni di una figura geometrica trapezoidale

I lati paralleli in questa figura sono chiamati basi e quelli che non sono paralleli sono chiamati lati. A condizione che i lati siano della stessa lunghezza, il trapezio è considerato isoscele. Un trapezio, i cui lati sono perpendicolari alla base con un angolo di 90°, è chiamato trapezio rettangolare.

Questa figura apparentemente semplice ha un numero considerevole di proprietà che le sono inerenti, sottolineandone le caratteristiche:

1. Se disegni una linea mediana lungo i lati, sarà parallela alle basi. Questo segmento sarà uguale a 1/2 della differenza di base.
2. Quando si costruisce una bisettrice da qualsiasi angolo di un trapezio, si forma un triangolo equilatero.
3. Dalle proprietà di un trapezio circoscritto ad una circonferenza è noto che la somma dei lati paralleli deve essere uguale alla somma delle basi.
4. Quando si costruiscono segmenti diagonali, in cui uno dei lati è la base del trapezio, i triangoli risultanti saranno simili.
5. Quando si costruiscono segmenti diagonali, in cui uno dei lati è laterale, i triangoli risultanti avranno un'area uguale.
6. Se continui le linee laterali e costruisci un segmento dal centro della base, l'angolo formato sarà uguale a 90 °. Il segmento che collega le basi sarà pari a 1/2 della loro differenza.

Proprietà di un trapezio circoscritto ad una circonferenza

Racchiudere un cerchio in un trapezio è possibile solo a una condizione. Questa condizione è che la somma dei lati sia uguale alla somma delle basi. Ad esempio, quando si costruisce un AFDM trapezoidale, AF + DM = FD + AM è applicabile. Solo in questo caso, un cerchio può essere racchiuso in un trapezio.

Quindi, di più sulle proprietà di un trapezio circoscritto a un cerchio:

1. Se un cerchio è racchiuso in un trapezio, per trovare la lunghezza della sua linea che interseca la figura a metà, devi trovare 1/2 della somma delle lunghezze dei lati.
2. Quando si costruisce un trapezio circoscritto attorno a un cerchio, l'ipotenusa formata è identica al raggio del cerchio e l'altezza del trapezio è anche il diametro del cerchio.
3. Un'altra proprietà di un trapezio isoscele circoscritto ad un cerchio è che il suo lato laterale è immediatamente visibile dal centro del cerchio con un angolo di 90°.

Un po' di più sulle proprietà di un trapezio racchiuso in un cerchio

Solo un trapezio isoscele può essere inscritto in un cerchio. Ciò significa che è necessario soddisfare le condizioni in cui il trapezio AFDM costruito soddisferà i seguenti requisiti: AF + DM = FD + MA.

Il teorema di Tolomeo afferma che in un trapezio racchiuso in un cerchio il prodotto delle diagonali è identico e uguale alla somma dei lati opposti moltiplicati. Ciò significa che quando si costruisce un cerchio circoscritto attorno al trapezio AFDM, è applicabile: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Negli esami scolastici, abbastanza spesso ci sono problemi che richiedono la risoluzione di problemi con un trapezio. Bisogna memorizzare un gran numero di teoremi, ma se non si riesce ad imparare subito non importa. È meglio ricorrere periodicamente a suggerimenti nei libri di testo in modo che questa conoscenza da sola, senza troppe difficoltà, si adatti alla tua testa.

Lavoro di progettazione "Proprietà interessanti di un trapezio" Completato da: studenti del 10° anno Kudzaeva Elina Bazzaeva Diana Scuola secondaria MKOU p. N.Batako Capo: Gagieva A.O. 20/11/2015

Scopo del lavoro: Per considerare le proprietà del trapezio, che non vengono studiate nel corso di geometria della scuola, ma quando si risolvono i problemi geometrici dell'Esame di Stato Unificato dalla parte ampliata C 4, potrebbe essere necessario conoscere ed essere in grado di applicare proprio queste proprietà.

Proprietà di un trapezio: Se un trapezio è diviso da una retta parallela alle sue basi, uguale ad aeb, in due trapezi di uguali dimensioni. Allora il segmento di questa retta, racchiuso tra i lati, è uguale a B k

Proprietà di un segmento passante per il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio. Il segmento parallelo alle basi, passante per il punto di intersezione delle diagonali è: a in c

Proprietà di un trapezio: Un segmento di una retta parallela alle basi del trapezio, racchiuso all'interno del trapezio, è diviso dalle sue diagonali in tre parti. Quindi i segmenti adiacenti ai lati sono uguali tra loro. MP=OK R M O K

Proprietà di un trapezio isoscele: se un cerchio può essere inscritto in un trapezio, il raggio del cerchio è la media proporzionale ai segmenti in cui il punto tangente divide il lato. O S W A D. E O

Proprietà di un trapezio isoscele: se il centro del cerchio circoscritto giace alla base del trapezio, allora la sua diagonale è perpendicolare al lato O A B C D

Proprietà di un trapezio isoscele: un cerchio può essere inscritto in un trapezio isoscele se il lato laterale è uguale alla sua linea mediana. C V A D h

1) Se la condizione del problema dice che un cerchio è inscritto in un trapezio rettangolare, si possono utilizzare le seguenti proprietà: 1. La somma delle basi del trapezio è uguale alla somma dei lati. 2. Le distanze dal vertice del trapezio ai punti tangenti del cerchio inscritto sono uguali. 3. L'altezza di un trapezio rettangolare è uguale al suo lato laterale più piccolo e uguale al diametro del cerchio inscritto. 4. Il centro del cerchio inscritto è il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli del trapezio. 5. Se il punto tangente divide il lato laterale nei segmenti m e n, il raggio del cerchio inscritto è uguale a

Proprietà di un trapezio rettangolare in cui è inscritto un cerchio: 1) Un quadrilatero formato dal centro del cerchio inscritto, dai punti tangenti e dal vertice del trapezio è un quadrato il cui lato è uguale al raggio. (AMOE e BCOM sono quadrati di lato r). 2) Se un cerchio è inscritto in un trapezio rettangolare, l'area del trapezio è uguale al prodotto delle sue basi: S=AD*BC

Dimostrazione: L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle sue basi e della sua altezza: Denota CF=m , FD=n . Poiché le distanze dai vertici ai punti di contatto sono uguali, l'altezza del trapezio è uguale a due raggi del cerchio inscritto e

I. Le bisettrici degli angoli sul lato laterale del trapezio si intersecano con un angolo di 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (come interno unilaterale con AD∥BC e secante AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (perché le bisettrici tagliano in due gli angoli). 3) Poiché la somma degli angoli di un triangolo è 180º, nel triangolo ABK abbiamo: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, quindi ∠AKB=180-90=90º. Conclusione: le bisettrici degli angoli sul lato laterale del trapezio si intersecano ad angolo retto. Questa affermazione viene utilizzata per risolvere problemi su un trapezio in cui è inscritto un cerchio.

io io Lascia che la bisettrice dell'angolo ABC intersechi il lato AD nel punto S. Allora il triangolo ABS è isoscele di base BS, quindi anche la sua bisettrice AK è una mediana, cioè il punto K è il punto medio di BS. Se M e N sono i punti medi dei lati del trapezio, allora MN è la linea mediana del trapezio e MN∥AD. Poiché M e K sono i punti medi di AB e BS, MK è la linea mediana del triangolo ABS e MK∥AS. Poiché si può tracciare una sola linea attraverso il punto M e parallela a quella data, il punto K giace sulla linea mediana del trapezio.

III. Il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli acuti alla base del trapezio appartiene ad un'altra base. In questo caso, i triangoli ABK e DCK sono triangoli isoscele con basi AK e DK, rispettivamente. Pertanto, BC=BK+KC=AB+CD. Conclusione: se le bisettrici degli angoli acuti di un trapezio si intersecano in un punto appartenente alla base minore, la base minore è uguale alla somma dei lati del trapezio. In un trapezio isoscele, in questo caso, la base più piccola è grande il doppio del lato laterale.

I V. Il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli ottusi alla base del trapezio appartiene ad un'altra base. In questo caso i triangoli ABF e DCF sono triangoli isoscele con basi BF e CF rispettivamente. Quindi AD=AF+FD=AB+CD. Conclusione: se le bisettrici degli angoli ottusi di un trapezio si intersecano in un punto appartenente alla base maggiore, la base maggiore è uguale alla somma dei lati del trapezio. Un trapezio isoscele in questo caso ha una base più grande il doppio del lato.

Se si può inscrivere un trapezio isoscele con i lati a, b, c, d e attorno ad esso si possono circoscrivere dei cerchi, allora l'area del trapezio è

FGKOU "MKK" Collegio del Ministero della Difesa della Federazione Russa "

"APPROVARE"

Capo di una disciplina separata

(matematica, informatica e TIC)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Trapezio e sue proprietà»

Sviluppo metodico

insegnante di matematica

Shatalina Elena Dmitrievna

Considerato e

alla riunione del PMO del ________________________

Protocollo n.______

Mosca

2015

Sommario

Introduzione 2

Definizioni 3

Proprietà di un trapezio isoscele 4

Cerchi inscritti e circoscritti 7

Proprietà dei trapezi inscritti e circoscritti 8

Valori medi in un trapezio 12

Proprietà di un trapezio arbitrario 15

Segni di un trapezio 18

Costruzioni aggiuntive in un trapezio 20

Area trapezoidale 25

10. Conclusione

Bibliografia

Appendice

Dimostrazioni di alcune proprietà di un trapezio 27

Compiti per lavoro autonomo

Compiti sull'argomento "Trapezio" di maggiore complessità

Test di verifica sull'argomento "Trapezio"

introduzione

Questo lavoro è dedicato a una figura geometrica chiamata trapezio. "Una figura normale", dici, ma non lo è. È irto di molti segreti e misteri, se guardi da vicino e approfondisci il suo studio, scoprirai molte cose nuove nel mondo della geometria, compiti che non sono stati risolti prima ti sembreranno facili.

Trapeze - la parola greca trapezion - "tavola". Prestiti. nel 18° secolo dal lat. lang., dove trapezio è greco. È un quadrilatero con due lati opposti paralleli. Il trapezio viene ritrovato per la prima volta dall'antico scienziato greco Posidonio (II secolo aC). Ci sono molte figure diverse nella nostra vita. In 7a elementare, abbiamo avuto modo di conoscere da vicino il triangolo, in 8a elementare, secondo il curriculum scolastico, abbiamo iniziato a studiare il trapezio. Questa cifra ci interessava e nel libro di testo si scrive incredibilmente poco a riguardo. Pertanto, abbiamo deciso di prendere in mano la questione e trovare informazioni sul trapezio. le sue proprietà.

L'articolo considera proprietà familiari agli alunni dal materiale trattato nel libro di testo, ma in misura maggiore proprietà sconosciute che sono necessarie per risolvere problemi complessi. Maggiore è il numero di compiti da risolvere, più domande sorgono quando li risolvi. La risposta a queste domande a volte sembra un mistero, apprendendo nuove proprietà del trapezio, metodi insoliti per risolvere i problemi e la tecnica di costruzioni aggiuntive, scopriamo gradualmente i segreti del trapezio. Su Internet, se ottieni un punteggio in un motore di ricerca, c'è pochissima letteratura sui metodi per risolvere i problemi sull'argomento "trapezio". Durante il lavoro sul progetto, è stata trovata una grande quantità di informazioni che aiuteranno gli studenti in uno studio approfondito della geometria.

Trapezio.

Definizioni

Trapezio Un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli (e l'altra coppia di lati non paralleli).

Si chiamano i lati paralleli di un trapezio motivi. Gli altri due sono i lati .
Se i lati sono uguali si dice trapezio isoscele.

Viene chiamato un trapezio che ha angoli retti su un lato rettangolare.

Si chiama il segmento che collega i punti medi dei latilinea mediana del trapezio.

La distanza tra le basi è chiamata altezza del trapezio.

2 . Proprietà di un trapezio isoscele

3. Le diagonali di un trapezio isoscele sono uguali.

4

1
0. La proiezione del lato laterale di un trapezio isoscele sulla base maggiore è uguale alla semidifferenza delle basi e la proiezione della diagonale è uguale alla somma delle basi.

3. Cerchio inscritto e circoscritto

Se la somma delle basi di un trapezio è uguale alla somma dei lati, allora in esso si può inscrivere un cerchio.

e
Se il trapezio è isoscele, allora si può circoscrivere un cerchio attorno ad esso.

4. Proprietà dei trapezi inscritti e circoscritti

2. Se un cerchio può essere inscritto in un trapezio isoscele, allora

la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati. Pertanto, la lunghezza del lato laterale è uguale alla lunghezza della linea mediana del trapezio.

4 . Se un cerchio è inscritto in un trapezio, i lati dal suo centro sono visibili con un angolo di 90 °.

E se un cerchio è inscritto in un trapezio, che tocca uno dei lati, lo divide in segmenti m e n , allora il raggio del cerchio inscritto è uguale alla media geometrica di questi segmenti.

1

0 . Se il cerchio è costruito sulla base più piccola del trapezio come un diametro, passa per i punti medi delle diagonali e tocca la base inferiore, allora gli angoli del trapezio sono 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Valori medi in un trapezio

media geometrica

In qualsiasi trapezio con basi un e B per un > Bla disuguaglianza :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Proprietà di un trapezio arbitrario

1
. I punti medi delle diagonali del trapezio e i punti medi dei lati giacciono sulla stessa linea retta.

2. Le bisettrici degli angoli adiacenti a uno dei lati del trapezio sono perpendicolari e si intersecano in un punto che giace sulla linea mediana del trapezio, cioè, quando si intersecano, si forma un triangolo rettangolo con un'ipotenusa uguale al lato.

3. I segmenti di una retta parallela alle basi del trapezio, che intersecano i lati e le diagonali del trapezio, racchiusi tra il lato della diagonale, sono uguali.

Il punto di intersezione dell'estensione dei lati di un trapezio arbitrario, il punto di intersezione delle sue diagonali e i punti medi delle basi giacciono su una linea retta.

5. Quando le diagonali di un trapezio arbitrario si intersecano, si formano quattro triangoli con un vertice comune e i triangoli adiacenti alle basi sono simili e i triangoli adiacenti ai lati sono uguali (cioè hanno aree uguali).

6. La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio arbitrario è uguale alla somma dei quadrati dei lati, sommata al doppio del prodotto delle basi.

D 1 2 + D 2 2 = C 2 + D 2 + 2 ab

7
. In un trapezio rettangolare la differenza dei quadrati delle diagonali è uguale alla differenza dei quadrati delle basi D 1 2 - D 2 2 = un 2 – B 2

8 . Le linee rette che intersecano i lati dell'angolo tagliano segmenti proporzionali dai lati dell'angolo.

9. Un segmento parallelo alle basi e passante per il punto di intersezione delle diagonali è diviso da queste ultime a metà.

7. Segni di un trapezio

8. Costruzioni aggiuntive in un trapezio

1. Il segmento che collega i punti medi dei lati è la linea mediana del trapezio.

2
. Un segmento parallelo ad uno dei lati di un trapezio, di cui un'estremità coincide con il punto medio dell'altro lato, l'altro appartiene alla linea che contiene la base.

3
. Dati tutti i lati di un trapezio, si traccia una retta attraverso il vertice della base minore, parallela al lato laterale. Risulta un triangolo con i lati uguali ai lati del trapezio e alla differenza delle basi. Secondo la formula di Heron, si trova l'area del triangolo, quindi l'altezza del triangolo, che è uguale all'altezza del trapezio.

4

. L'altezza di un trapezio isoscele, tratto dal vertice della base minore, divide la base maggiore in segmenti, uno dei quali è uguale alla semidifferenza delle basi, e l'altro alla semisomma delle basi del trapezoidale, cioè la linea mediana del trapezio.

5. Le altezze del trapezio, ribassate dai vertici di una base, sono tagliate su una retta contenente l'altra base, segmento uguale alla prima base.

6
. Un segmento parallelo a una delle diagonali di un trapezio viene disegnato attraverso un vertice, un punto che è la fine di un'altra diagonale. Il risultato è un triangolo con due lati uguali alle diagonali del trapezio e il terzo uguale alla somma delle basi

7
.Il segmento che collega i punti medi delle diagonali è uguale alla semidifferenza delle basi del trapezio.

8. Le bisettrici degli angoli adiacenti ad uno dei lati del trapezio, sono perpendicolari e si intersecano in un punto giacente sulla linea mediana del trapezio, cioè quando si intersecano si forma un triangolo rettangolo con un'ipotenusa uguale alla lato.

9. La bisettrice dell'angolo di un trapezio taglia un triangolo isoscele.

1
0. Le diagonali di un trapezio arbitrario all'intersezione formano due triangoli simili con un coefficiente di somiglianza uguale al rapporto delle basi e due triangoli uguali adiacenti ai lati.

1
1. Le diagonali di un trapezio arbitrario all'intersezione formano due triangoli simili con un coefficiente di somiglianza uguale al rapporto delle basi e due triangoli uguali adiacenti ai lati.

1
2. La continuazione dei lati del trapezio fino all'intersezione consente di considerare triangoli simili.

13. Se un cerchio è inscritto in un trapezio isoscele, viene disegnata l'altezza del trapezio: il prodotto medio geometrico delle basi del trapezio o il doppio del prodotto medio geometrico dei segmenti laterali in cui è diviso per il punto di contatto.

9. Area di un trapezio

1 . L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza S = ½( un + B) h o

P

L'area di un trapezio è uguale al prodotto della linea mediana del trapezio e dell'altezza S = m h .

2. L'area di un trapezio è uguale al prodotto di un lato e una perpendicolare tracciata dal centro dell'altro lato alla linea contenente il primo lato.

L'area di un trapezio isoscele con raggio del cerchio inscritto uguale a Re angolo alla baseα :

10. Conclusione

DOVE, COME E A COSA SERVE UN TRAPEZIO?

Il trapezio nello sport: il trapezio è certamente un'invenzione progressiva dell'umanità. È progettato per alleviare le nostre mani, rendere confortevole e facile camminare su un windsurfer. Camminare su una tavola corta non ha affatto senso senza un trapezio, poiché senza di esso è impossibile distribuire correttamente la trazione tra i gradini e le gambe e accelerare efficacemente.

Trapezio di moda: il trapezio in abiti era popolare nel Medioevo, in epoca romanica del IX-XI secolo. A quel tempo, la base dell'abbigliamento femminile erano le tuniche lunghe fino al pavimento, la tunica si allargava notevolmente verso il basso, creando l'effetto di un trapezio. Il revival della silhouette avvenne nel 1961 e divenne l'inno della giovinezza, dell'indipendenza e della raffinatezza. Un ruolo enorme nella divulgazione del trapezio è stato svolto dalla fragile modella Leslie Hornby, nota come Twiggy. Una ragazza bassa con un fisico anoressico e occhi enormi divenne un simbolo dell'epoca, e i suoi abiti preferiti erano abiti corti a trapezio.

Trapezio in natura: il trapezio si trova anche in natura. Una persona ha un muscolo trapezio, in alcune persone il viso ha la forma di un trapezio. Petali di fiori, costellazioni e, naturalmente, il Monte Kilimangiaro hanno anche la forma di un trapezio.

Trapezio nella vita di tutti i giorni: il trapezio è usato anche nella vita di tutti i giorni, perché la sua forma è pratica. Si trova in articoli come: benna dell'escavatore, tavolo, vite, macchina.

Il trapezio è un simbolo dell'architettura Inca. La forma stilistica dominante nell'architettura Inca è semplice ma aggraziata, il trapezio. Non ha solo un valore funzionale, ma anche un design artistico strettamente limitato. Porte, finestre e nicchie trapezoidali si trovano in edifici di ogni tipo, sia nei templi che in edifici meno significativi, edifici per così dire più rozzi. Il trapezio si trova anche nell'architettura moderna. Questa forma di edifici è insolita, quindi tali edifici attirano sempre gli occhi dei passanti.

Trapeze in ingegneria: Trapeze è utilizzato nella progettazione di parti nella tecnologia spaziale e nell'aviazione. Ad esempio, alcuni pannelli solari delle stazioni spaziali sono di forma trapezoidale perché hanno un'ampia area, il che significa che accumulano più energia solare.

Nel 21° secolo, le persone quasi non pensano al significato delle forme geometriche nelle loro vite. A loro non importa affatto quale sia la forma del loro tavolo, dei loro bicchieri o del loro telefono. Scelgono semplicemente la forma che è pratica. Ma l'uso dell'oggetto, il suo scopo, il risultato del lavoro possono dipendere dalla forma di questa o quella cosa. Oggi ti abbiamo presentato uno dei più grandi successi dell'umanità: il trapezio. Abbiamo aperto le porte al meraviglioso mondo delle figure, ti abbiamo raccontato i segreti del trapezio e abbiamo mostrato che la geometria è intorno a noi.

Bibliografia

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Enciclopedia "Avanta plus", Mathematics M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Appendice

1. Dimostrazione di alcune proprietà di un trapezio.

1. Una retta passante per il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio parallela alle sue basi interseca i lati del trapezio in puntiK e l . Dimostra che se le basi di un trapezio sono uguali ma e B , poi lunghezza del segmento KL uguale alla media geometrica delle basi del trapezio. Prova

Lascia stareDI - punto di intersezione delle diagonali,ANNO DOMINI = un sole = B . Diretto KL parallela alla baseANNO DOMINI , Di conseguenza,K DI║ ANNO DOMINI , triangoliIN K DI ecattivo simile, quindi

(1)

(2)

Sostituisci (2) in (1) , otteniamo KO=

Allo stesso modo LO= Allora K l = KO + LO =

IN rispetto a un qualsiasi trapezio, i punti medi delle basi, il punto di intersezione delle diagonali e il punto di intersezione del prolungamento dei lati giacciono sulla stessa retta.

Dimostrazione: lascia che le estensioni dei lati si intersechino in un puntoA. Attraverso il puntoA e puntoDI incroci diagonalitraccia una linea retta KO.

K

Mostriamo che questa linea divide a metà le basi.

DI designareVM = x, ms = si, UN = E, ND = v . Abbiamo:

∆ VKM ~ ∆AKN →

m

X

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

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Buona serata! Oh, questi cerchi circoscritti, o inscritti, figure geometriche. È così difficile confondersi. cosa e quando.

Proviamo a capirlo prima con la dicitura. Ci viene dato un cerchio circoscritto a . In altre parole, questo trapezio è inscritto in un cerchio.

Ricordiamoci che possiamo descrivere solo un cerchio intorno. E un trapezio isoscele, a sua volta, è un trapezio i cui lati sono uguali.

Proviamo a risolvere il problema. Sappiamo che le basi del trapezio isoscele ADCB sono 6 (DC) e 4 (AB). E il raggio del cerchio circoscritto è 4. Devi trovare l'altezza del trapezio FK.

FK è l'altezza del trapezio. dobbiamo trovarlo, ma prima ricorda che il punto O è il centro del cerchio. E OS, OD, OA, OB sono raggi conosciuti.

In OFC conosciamo l'ipotenusa, che è il raggio del cerchio, e la gamba FC = metà della base DC = 3 cm (perché DF = FC).

Ora troviamo OF:

E in un triangolo rettangolo OKB, conosciamo anche l'ipotenusa, poiché questo è il raggio del cerchio. E KB è la metà di AB; KB = 2 cm E, usando il teorema di Pitagora, calcoliamo il segmento OK: