Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Blezas Paskalis (1623-1662).

Izaokas Niutonas (1643-1727).

Paskalio trikampis.

Šiandien, kaip ir prieš trisdešimt ar keturiasdešimt metų, stojantieji į universitetus tradiciškai bijo ištraukti bilietą su klausimu apie Niutono binomį. (Formulės autorius yra puikus anglų fizikas, matematikas, astronomas ir filosofas seras Isaacas Newtonas.) Ne tik formulė atrodo sudėtinga. Jo mokymasis buvo arba įtrauktas į vidurinės mokyklos programą, arba išimtas iš pagrindinio kurso, tačiau rimtuose universitetuose egzaminuotojai klausdavo ir tebeklausinėja apie Niutono binomį.

Tiesą sakant, čia nėra ko bijoti. Niutono dvinaris yra formulė, leidžianti savavališkai natūralią dvinario \((a+b)^n \) galią išplėsti į daugianarį. Kiekvienas iš mūsų mintinai žino „sumos kvadrato“ \((a+b)^2 \) ir „sumos kubo“ \((a+b)^3 \ formules, tačiau, kai rodiklis didėja kartu su koeficientų nustatymas daugianario sąlygomis, sunkumai. Kad nesuklystumėte, taikoma Niutono dvinario formulė:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac(n)(1a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]!}

Bendresne forma dvinario koeficientų formulė parašyta taip:

\[ C_(n)^(k) = \frac(n{k!(n-k)!} \]!}

kur k- eilės eilės skaičius daugianario.

Prisiminkite, kad faktorialas yra natūraliųjų skaičių sandauga nuo 1 iki n, y. \(1*2*3*\ldots*n \) – žymimas n!, pavyzdžiui, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Prisiminti formulę tikrai sunku. Bet pabandykime tai išanalizuoti. Galima pastebėti, kad bet kuriame daugianario yra a n ir b n su koeficientais 1. Taip pat aišku, kad bet kuris kitas daugianario narys atrodo kaip kiekvieno dvinalio nario tam tikrų laipsnių sandauga (a+b), o galių suma visada lygi n. Pavyzdžiui, reiškinyje \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] faktorių laipsnių suma visuose terminuose yra lygi trims (3, 2+1, 1+2, 3). Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą laipsnį. Tik klausimas, kokie koeficientai turėtų būti dedami nariams.

Matyt, norėdamas palengvinti moksleivių ir studentų darbą, didysis prancūzų matematikas ir fizikas Blaise'as Pascalis prieš tris šimtus penkiasdešimt metų sugalvojo specialų įrankį tiems patiems koeficientams nustatyti - „Paskalio trikampį“.

Jis sudarytas taip: Trikampio viršuje rašome 1. Vienetas atitinka išraišką \((a+b)^0, \), nes bet koks skaičius, pakeltas iki nulio laipsnio, suteikia vienetą. Užbaigdami trikampį, žemiau parašome dar vieną vienetą. Tai yra to paties dvejetainio plėtimosi koeficientai, pakelti iki pirmojo laipsnio: \((a+b)^1 = a+b.\) Eikime toliau. Trikampio kraštinės sudaro vienetus, o tarp jų yra dviejų viršuje esančių vienetų suma, tai yra 2. Tai yra „sumos kvadrato“ trinario koeficientai:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Kita eilutė, kaip ir ankstesnė, prasideda ir baigiasi vienetais, o tarp jų yra viršuje esančių skaitmenų sumos: 1, 3, 3, 1. Gavome „sumos kubo“ plėtimosi koeficientus. Ketvirtojo laipsnio dvinario koeficientų skaičius bus 1, 4, 6, 4, 1 ir pan.

Pavyzdžiui, naudodami Paskalio trikampį, išplečiame dvinarių sumą iki šeštojo laipsnio į daugianarį:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Viskas labai paprasta ir įsimintina visam gyvenimui. Beje, taip pat daug lengviau prisiminti ir išvesti Niutono binominę formulę, nubrėžus Paskalio trikampį ant juodraščio.

Kai kurie mokslo istorikai Blaise'ui Pascaliui priskiria ne tik trikampio, leidžiančio rasti dvinario koeficientus, bet ir pačios dvinario formulės autorystę. Jie mano, kad Pascalis tai išvedė šiek tiek anksčiau nei Niutonas, ir jis tik apibendrino skirtingų eksponentų formulę.

Matematikos pamokos planas:

« Binominė teorema. Binominių koeficientų savybės »

Tikslai :

- edukacinis : pristatyti Niutono dvejetainę formulę, išmokyti taikyti Niutono dvinarį formulę keliant dvinarį laipsniu;
- besivystantis : skatinti atminties, algoritminio ir loginio mąstymo, dėmesio ugdymą;
- edukacinis: ir toliau ugdyti atsakomybės jausmą, savarankiškumą, sąžiningumą.)

Įranga : kompiuteris, multimedijos projektorius, ekranas, prezentacija, kortelės su teorine medžiaga.

Pamokos tipas - kombinuotas;

Studentų darbo formos - priekinis, individualus.

Užsiėmimų metu:

1 . Organizavimo laikas:

Temos žinutė, pamokos tikslai, praktinė nagrinėjamos temos reikšmė.

2. Žinių atnaujinimas

aš . Priekinė apklausa:

1) Ką tiria kombinatorika?

2) Kokius jungčių tipus ar pavyzdžius žinote?

3) Atspėk kryžiažodį „Kombinatorika“

II . Žodinis skaičiavimas:

5!=….(120), A 5 2 =…(20)., C 4 2 =….(8)

Kiek būdų 5 žmonės gali sėdėti ant suoliuko?

3. Naujos medžiagos pristatymas: Darbas su teorinės medžiagos kortelėmis. Mokinių pranešimų išklausymas ir analizė. Abstraktus rašymas.

aš ) Kombinatorikos istorija ( Studento žinutė)

Paskutinėje pamokoje susipažinome su kombinatorikos pagrindais. Pirmosios kūrybinės grupės namų užduotis buvo parengti pranešimą apie kombinatorikos, kaip mokslo, atsiradimo istoriją. (Studento žinutė)

Kokie mokslininkai prisidėjo kuriant kombinatoriką kaip mokslą?

Vienas iškiliausių to meto protų buvo anglų mokslininkas Izaokas Niutonas. Jūsų namų darbas buvo parengti pranešimą apie šį puikų genijų.

II ) Izaokas Niutonas - didysis matematikas ( Studento žinutė)

Iš pranešimo girdėjote, kiek puikių idėjų ir atradimų priklauso didžiajam matematikui Isaacui Newtonui. Vienas iš jo atradimų yra formulėBinominė teorema .

III ) Niutono dvinaris.

Būtent šiam atradimui skirsime šios dienos pamoką. Parašykime pamokos temą.Mūsų pamokos tikslai : susipažinti su Niutono binomine formule, išmokti pritaikyti Niutono dvinarį formulę keliant dvinarį laipsniu.

Žodis dvejetainis reiškia „du skaičiai“ Matematikoje dvinaris yra „formulė, skirta dviejų kintamųjų sumos neneigiamam sveikajam skaičiui suskaidyti į atskirus terminus“. Pabandykime jį išvesti, vadovaudamiesi Niutonu, kad vėliau pritaikytume.

Tikriausiai prisimenate (ar bent jau turėtumėte prisiminti) sutrumpintas dviejų narių sumos kvadrato ir kubo daugybos formules (tokia suma vadinama "dvinario ", rusiškai -dvinario .

Jei pamiršite šias formules, jas galite gauti tiesiogiai išplėsdami skliaustus akivaizdžiose lygybėse

Gal jums iškilo klausimas: ar įmanoma (be kompiuterio) gauti ketvirto laipsnio, penkto, dešimto – bet kokių dvinarių tipines formules?

Pabandykime tiesiai eiti bent į penktą laipsnį, o ten, ko gero, bus "fortepijonas krūmuose" (užsakymui terminus dėsime dešinėje pusėje mažėjančia tvarkaa , jis sumažėja nuo maksimumo iki nulio):

Dabar mes atskirai išrašome skaitinius koeficientus dešiniosiose formulių pusėse, kai padidiname dvinarį iki nurodytos galios:

Galbūt jau atspėjote, kad „fortepijonas krūmuose“ yra Paskalio trikampis ankstesniame puslapyje. Nesunku patikrinti, ar skaitiniams koeficientams išrašytos yra Paskalio trikampio linijos, pradedant nuo trečiosios. Šį „sutrumpintą trikampį“, kuriame nėra pirmųjų dviejų eilučių, galima nesunkiai užbaigti (gaukite eilutes, kain=0 irn=1 ):

Galiausiai gauname:

Šis teiginys buvo žinomas gerokai anksčiau nei Paskalis – jį žinojo tie, kurie gyveno XI-XII a. Vidurinės Azijos matematikas ir poetas Omaras Khayyamas (deja, jo esė apie tai mūsų nepasiekė). Pirmasis pas mus atėjusios formulės aprašymas yra Vidurinės Azijos matematiko at-Tusi knygoje, pasirodžiusioje 1265 m., kur pateikiama skaičių lentelė (binominiai koeficientai) iki imtinai.

Europos mokslininkai su formule susipažino, matyt, per Rytų matematikus. Išsamų savybių tyrimą 1654 m. atliko prancūzų matematikas ir filosofas B. Pascalis. Jūsų namų užduotis buvo parengti ataskaitą apie prancūzų mokslininką Paskalį.

IV ) Blezas Paskalis ( Studento žinutė)

Dabar aišku, kaip padidinti dvinarį iki bet kokios galios n. Kairėje pusėje rašome (a+b) n. Ir dešinėje pusėje rašome sumą a n + a n-1 b + … + b n, paliekant vietos koeficientui kiekviename termine. Ir šios vietos užpildytos skaičiais iš n Paskalio trikampio eilutė, kuri, žinoma, turi būti išrašyta iš anksto.

Binomio konstravimasa+b iki laipsnion gali būti sudarytas pagal formulę, vadinamą skaidymuNiutono dvinaris :

(a+b) n = a n + C 1 n a n - 1 b+C 2 n a n - 2 b 2 +...+C k n a n-k b k +... + C n - 1 n ab n - 1 + C n n b n

kurC k n - visi galimi deriniai kuriuos galima suformuotiiš n elementų pagal k .

Pavyzdys : (a+b) 5 = a 5 + C 1 5 a 4 b+C 2 5 a 3 b 2 + C 3 5 a 2 b 3 + C 4 5 ab 4 + C 5 5 b 5 = a 5 + 5a 4 b+10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 +b 5

Taigi, galite parašyti formulę, kaip padidinti dvinarį iki bet kokios laipsnio. Pastebėkime kai kurias dėmenų savybes dvinario plėtinyje pagal dvinario Niutono formulę.

V ) Niutono dvinario savybės

Koeficientai yra simetriški.

Jei skliausteliuose yra minuso ženklas, tada + ir - ženklai pakaitomis.

Kiekvieno nario laipsnių suma yra lygi dvinario laipsniui.

Plėtimo koeficientų suma (a + b) nlygus 2 n .

VI ) Naujos medžiagos konsolidavimas.

Su Niutono dvinario vartojimu susipažinome studijuodami sutrumpintas daugybos formules: Kur dar naudojamas Niutono dvinaris?

VII ) Binominio Niutono taikymas.

Pabaigoje apsvarstykite pavyzdį, kuriame Niutono dvinario naudojimas leidžia įrodyti išraiškos dalijimąsi iš tam tikro skaičiaus.

Pavyzdys.

Įrodykite, kad išraiškos reikšmė , kur n yra natūralusis skaičius, dalijasi iš 16 be liekanos.

Sprendimas.

Pirmąjį išraiškos terminą atstovaujame kaip ir naudokite Niutono binominę formulę:

Gauta sandauga įrodo pradinės išraiškos dalijimąsi iš 16.Niutono dvinaris naudojamas Ferma teoremos įrodyme, begalinių eilučių teorijoje ir Niutono-Leibnizo formulės išvedime.

VIII ) Ką reiškia idioma "Binome of Newton"?

Juokaujama frazė, vartojama kalbant apie menką dalyką, paprastą užduotį, kurią kai kurie klaidingai laiko per sudėtinga arba itin sudėtinga.
Frazės atsiradimas : iš romano (1891 - 1940) "Meistras ir Margarita" (1940).
Korovjevo, nusprendusio pakomentuoti Wolando pokalbį su barmenu Sokovu, žodžiai. Barmenas skundžiasi žiūrovais, kurie jam sumokėjo netikrais pinigais, kurie „buffet nubaudė šimtą devynių rublių“.
- Na, žinoma, tai ne suma, - nuolaidžiai tarė Volandas savo svečiui, - nors, beje, jums jos irgi nereikia. Kada tu mirsi?
Šiuo metu barmenas supyko.
„Niekas nežino ir niekam nerūpi“, – atsakė jis.
- Na, taip, nežinoma, - tas pats balsas (Korovjevas) iš biuro, -pagalvokite apie Niutono binomį ! Jis mirs po devynių mėnesių, kitų metų vasarį, nuo kepenų vėžio Pirmojo Maskvos valstybinio universiteto klinikoje, ketvirtoje palatoje.

IX ) Pamokos rezultatai. Atspindys

Pagalvokite apie Niutono dvinarį

„Tik pagalvok, Niutono binomėlis“
Katė miaukė Hippo
(Jis yra paklusnus Volando tarnas)
Numatyti gyvenimo eigą.
Visa tai tik patvirtina
Niutonas yra genijus, bet ilgam
Binomas buvo žinomas Kinijoje,
Arabai apie jį žinojo.
Tačiau Niutonas apibendrino sprendimą,
Jis pakėlė daugianarį laipsniu ...
Išlaisvino mus nuo visų abejonių
Kitų problemų neturime.
Pasakykite mums be jokių argumentų
Kam mums reikalingas tas dvejetainis?
Reiškinių kombinatorika
Nerasime jo be dvinario.
Lapkričio mėn. 2015 m. 7 d

Ką naujo išmokote pamokoje? Ar ši formulė svarbi matematikai? Ar jums buvo sunku išmokti naujos medžiagos?

Namų darbai. Pasiruošimas kontroliniam darbui.

( užduočių lapas kiekvienam mokiniui)

1. Iš 12 komandos narių reikia pasirinkti kapitoną ir pavaduotoją. Kiek būdų tai galima padaryti?

2. Apskaičiuokite: 4P 3 + 3A 2 10 -C 2 5

Ekonomikos instituto absolventai dirba trijose skirtingose ​​organizacijose: 17 žmonių banke, 23 įmonėje ir 19 mokesčių inspekcijoje. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai sutiktas absolventas dirba banke?

Yra 8 skirtingos knygos, iš kurių 2 yra eilėraščių rinkiniai. Keliais būdais šias knygas galima išdėstyti lentynoje, kad žinynai būtų vienas šalia kito?

Norint žaisti KVN reikia pasirinkti 6 žmonių komandą.Kiek būdų tai galima padaryti, jei komandoje turėtų būti vienodas berniukų ir mergaičių skaičius, o klasėje turėtų būti 12 mergaičių ir 10 berniukų?

Kiek triženklių skaičių su skirtingais skaitmenimis galima sudaryti iš skaitmenų 0,1,3,6,7,9?

Atsižvelgk :( a- b) 9 ir (3 x+ y) 10

Apsvarstykite šias išraiškas su (a + b) n laipsniais, kur a + b yra bet koks dvinaris, o n yra sveikas skaičius.

Kiekviena išraiška yra daugianario. Visose išraiškose galite pastebėti bruožus.

1. Kiekvienoje išraiškoje yra vienu nariu daugiau nei rodiklis n.

2. Kiekviename dėinyje laipsnių suma lygi n, t.y. galia, iki kurios pakeliamas dvinario.

3. Laipsniai prasideda nuo dvinario laipsnio n ir mažėja link 0. Paskutinis narys neturi koeficiento a. Pirmasis narys neturi faktoriaus b, t.y. b laipsniai prasideda nuo 0 ir didėja iki n.

4. Koeficientai prasideda nuo 1 ir tam tikromis reikšmėmis didėja iki „pusės kelio“, o tada mažėja tomis pačiomis reikšmėmis iki 1.

Pažvelkime atidžiau į koeficientus. Tarkime, kad norime rasti reikšmę (a + b) 6 . Pagal funkciją, kurią ką tik pastebėjome, čia turėtų būti 7 nariai
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Bet kaip galime nustatyti kiekvieno koeficiento reikšmę c i ? Tai galime padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas apima koeficientų rašymą trikampyje, kaip parodyta toliau. Tai žinoma kaip Paskalio trikampis :


Trikampyje yra daug funkcijų. Raskite kuo daugiau.
Galbūt radote būdą, kaip parašyti kitą skaičių eilutę naudodami skaičius aukščiau esančioje eilutėje. Vienetai visada yra šonuose. Kiekvienas likęs skaičius yra dviejų skaičių, viršijančių tą skaičių, suma. Pabandykime rasti išraiškos (a + b) 6 reikšmę pridėdami šią eilutę naudodami rastas funkcijas:

Tai matome paskutinėje eilutėje

pirmas ir paskutinis skaičius 1 ;
antrasis skaičius yra 1 + 5 arba 6 ;
trečiasis skaičius yra 5 + 10 arba 15 ;
ketvirtasis skaičius yra 10 + 10 arba 20 ;
penktasis skaičius yra 10 + 5 arba 15 ; ir
šeštas skaičius yra 5 + 1 arba 6 .

Taigi išraiška (a + b) 6 bus lygi
(a + b) 6 = 1 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab5 + 1 b6.

Norėdami padidinti laipsnį (a + b) 8 , Paskalio trikampį papildome dvi eilutes:

Tada
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Savo rezultatus galime apibendrinti taip.

Niutono dvinaris naudojant Paskalio trikampį

Bet kuriam dvinariui a + b ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
kur skaičiai c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n paimti iš Paskalio trikampio (n + 1) serijos.

1 pavyzdys Pakelkite iki galios: (u - v) 5 .

Sprendimas Turime (a + b) n , kur a = u, b = -v ir n = 5. Mes naudojame Paskalio trikampio 6 eilutę:
1 5 10 10 5 1
Tada mes turime
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u) (-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5 uv 4 - v 5 .
Atkreipkite dėmesį, kad terminų ženklai svyruoja tarp + ir -. Kai -v laipsnis yra nelyginis skaičius, ženklas yra -.

2 pavyzdys Pakelkite iki galios: (2t + 3/t) 4 .

Sprendimas Turime (a + b) n , kur a = 2t, b = 3/t ir n = 4. Mes naudojame Paskalio trikampio 5 eilutę:
1 4 6 4 1
Tada mes turime

Dvejetainis skaidymas naudojant faktorines reikšmes

Tarkime, kad norime rasti reikšmę (a + b) 11 . Paskalio trikampio naudojimo trūkumas yra tas, kad turime apskaičiuoti visas ankstesnes trikampio eilutes, kad gautume reikiamą eilutę. Toliau pateiktas metodas to išvengia. Tai taip pat leidžia rasti konkrečią eilutę – tarkime, 8 eilutę – neskaičiuojant visų kitų eilučių. Šis metodas yra naudingas atliekant skaičiavimus, statistiką ir jį naudojant dvinario koeficiento žymėjimas .
Niutono dvinarį galime suformuluoti taip.

Binominis Niutonas, naudojant faktorinį žymėjimą

Bet kuriam dvejetainiam (a + b) ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n,
.

Niutono binomį galima įrodyti matematine indukcija. Ji parodo kodėl binominis koeficientas .

3 pavyzdys Pakelkite iki galios: (x 2 - 2y) 5 .

Sprendimas Turime (a + b) n , kur a = x 2 , b = -2y ir n = 5. Tada, naudojant Niutono binomį, gauname


Galiausiai (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

4 pavyzdys Pakelkite iki galios: (2/x + 3√x ) 4 .

Sprendimas Turime (a + b) n , kur a = 2/x, b = 3√x ir n = 4. Tada, naudojant Niutono dvinarį, gauname


Galiausiai (2/x + 3√x) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x2.

Konkretaus nario paieška

Tarkime, iš išraiškos norime nustatyti vieną ar kitą termino narį. Mūsų sukurtas metodas leis mums rasti šį terminą neskaičiuojant visų Paskalio trikampio eilučių ar visų ankstesnių koeficientų.

Atkreipkite dėmesį, kad Niutono dvinaris suteikia mums 1-ąjį narį, suteikia mums 2-ąjį narį, suteikia mums 3-ią narį ir pan. Tai galima apibendrinti taip.

Radimo (k + 1) terminas

(k + 1) išraiškos terminas (a + b) n yra .

5 pavyzdys Raskite 5-ąjį reiškinio narį (2x - 5y) 6 .

Sprendimas Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad 5 = 4 + 1. Tada k = 4, a = 2x, b = -5y ir n = 6. Tada 5-asis išraiškos narys bus

6 pavyzdys Išraiškoje (3x - 2) raskite 8-ąjį narį 10 .

Sprendimas Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad 8 = 7 + 1. Tada k = 7, a = 3x, b = -2 ir n = 10. Tada 8-asis išraiškos narys bus

Bendras poaibių skaičius

Tarkime, kad aibėje yra n objektų. Poaibių, kuriuose yra k elementų, skaičius yra . Bendras aibės poaibių skaičius yra 0 elementų poaibių skaičius, taip pat 1 elemento poaibių skaičius, taip pat 2 elementų poaibių skaičius ir pan. Bendras aibės su n elementų poaibių skaičius yra
.
Dabar panagrinėkime eksponentiškumą (1 + 1) n:

.
Taigi. bendras poaibių skaičius yra (1 + 1) n arba 2 n . Mes įrodėme štai ką.

Bendras poaibių skaičius

Bendras n elementų aibės poaibių skaičius yra 2 n .

7 pavyzdys Kiek poaibių turi aibė (A, B, C, D, E)?

Sprendimas Aibėje yra 5 elementai, tada poaibių skaičius yra 2 5 arba 32.

8 pavyzdys„Wendy's“ restoranų tinklas siūlo šiuos mėsainių priedus:
{kečupas, garstyčios, majonezas, pomidorai, salotos, svogūnai, grybai, alyvuogės, sūris}.
Kiek skirtingų rūšių mėsainių Wendy gali pasiūlyti, neįskaitant mėsainių dydžių ar kiekių?

Sprendimas Kiekvieno mėsainio priedai yra visų galimų priedų rinkinio pogrupio elementai, o tuščias rinkinys yra tik mėsainis. Bendras galimų mėsainių skaičius bus

. Taigi, Wendy gali pasiūlyti 512 skirtingų mėsainių.

Niutono atrasta algebrinė formulė, išreiškianti bet kurį dvinario laipsnį, būtent:

(x + a) n \u003d x n + n / 1 (ax n-1) + (a 2 x n-2) + …(a n x n-m) + …

arba kompaktiška forma naudojant simbolį n! = 1.2.3…n:

(x + a) n = ∑ m (!x n-m a m

Pirmą kartą šią formulę be įrodymų pateikė Niutonas 1676 m. Jis iškaltas ant Niutono kapo, Vestminsterio abatijoje, Londone, nors tai jokiu būdu nėra vienas svarbiausių Niutono atradimų.

Sveikojo skaičiaus rodiklio B formulės įrodymas yra lengvai gaunamas kaip specialus bendresnės formulės, išreiškiančios savavališko dvejetainių skaičiaus sandaugą, atvejis. Tiesiogiai dauginant nesunku patikrinti, ar atveju n = 2 arba n = 3 galioja ši formulė:

(x + a 1) (x + a 2) ... (x + a n) \u003d x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + ... + S n n

čia S n 1 yra duotųjų dydžių a 1 , a 2 suma. . . ir n, S n 2 yra jų sandaugų suma iš dviejų, - S n n yra visų šių dydžių sandauga. Ir tada jūs galite įrodyti, kad jei tai teisinga n, tai teisinga n + 1 veiksniams. Nes sudėjus vieną koeficientą x + a n + 1, gauname tiesioginį dauginimą

(x + a 1) (x + a 2)… (x + a n-1) = x n-1 + (S n 1 + a n+1) xn + (S n 2 + S n 1 a n- 1)x n-1 + … + Snnan

ir kartu aišku, kad

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

ir tt, kad paskutinės lygybės dešinioji pusė būtų

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1

ir tt Dabar tegul viskas a lygūs vienas kitam ir lygūs, pvz. a, tada:

S 2 \u003d a 2 ...

ir gaukite (x + a) n \u003d x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + ...

Taigi įrodytas Niutono formulės n sveikasis skaičius, teigiamas, teisingumas. Tačiau pats Niutonas jau įrodė, kad tai tinka tiek trupmeniniams, tiek neigiamiems. Pateikiame Eulerio įrodymą bet kuriai n. Apsvarstykite išraišką:

1+nx + + x3 + …

n sveikųjų skaičių yra (1 + x) n . Tegul bet kuris n yra bendrasis f(n). Panašiai tegul panaši išraiška, kai n pakeista m, yra f(m). Padauginus, randame, viena vertus, f (n) f (m), kita vertus, išraišką, kurios koeficiento sudėties dėsnis mums žinomas iš n, m sveikųjų skaičių, būtent:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m) (n + m - 1)/1,2]x 2 + [(n + m) (n + m - 1) (n + m - 2) / 1,2,3] x 3 + ...

ir tai akivaizdžiai yra f(n+m). Taigi, gavome f(n)f(m) = f(n + m); tokiu pat būdu savavališkam skaičiui faktorių f(n 1)f(n 2).. . f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); nustatant n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, turime

f(n)f(–n) = f(0) = 1, t.y. f(-n) = 1/f(n) arba

f (–n) \u003d (1 + x) -l \u003d nx + x 2 - x 3 + ... ir kt.

• - dvejetainis, dviejų algebrų suma arba skirtumas. pavyzdžiui, posakius, vadinamus B. nariais. ir tt Apie B. laipsnius, tai yra išraiškas taip, žr. Niutono dvinarį ...

  Matematinė enciklopedija

• - algebrinė išraiška, susidedanti iš dviejų dydžių sumos arba skirtumo, pavyzdžiui, axm +...
• - Niutono atrasta algebrinė formulė, išreiškianti bet kokį dvinario laipsnį, būtent: n \u003d xn + n / 1 + + ... + ... arba kompaktiška forma naudojant simbolį n! = 1,2...

  Enciklopedinis Brockhauso ir Eufrono žodynas

• - ir lat. nomen – pavadinimas) dvinaris, dviejų algebrinių išraiškų, vadinamų B. nariais, suma arba skirtumas; pvz a + b ir kt. Apie B laipsnius, tai yra n formos išraiškas, žr. Niutono dvinarį ...
• - formulės, išreiškiančios bet kokią teigiamą sveikąjį dviejų dėmenų sumos galią per šių terminų laipsnius, pavadinimas, būtent: kur n yra teigiamas sveikas skaičius, a ir b yra bet koks ...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - formulės pavadinimas, leidžiantis įrašyti dviejų savavališko laipsnio terminų algebrinės sumos išplėtimą ...

  Collier enciklopedija

• - tas pats kaip dvinario. Dėl n formos dvejetainio žr. str. Niutono binominis...
• - formulė, išreiškianti dviejų dėmenų sumos teigiamą sveikąjį skaičių pagal šių terminų laipsnius (prie jų priskirti koeficientai vadinami dvejetainiais koeficientais ...

  Didelis enciklopedinis žodynas

• – Paskolos. pirmoje pusėje XIX a. iš prancūzų lang., kur binôme yra lat priedas. bi ir graikų. nomē „dalintis, dalintis“. trečia šio žodžio išvestinis atsekamasis popierius yra dvinario ...

  Rusų kalbos etimologinis žodynas

• - Iš Michailo Afanasjevičiaus Bulgakovo romano „Meistras ir Margarita“. Korovievo-Fagoto žodžiai, komentuojant Wolando ir barmeno Andrejaus Fokicho Sokovo dialogą...

  Sparnuotųjų žodžių ir posakių žodynas

• - ; pl. bino/mes, R...

  Rusų kalbos rašybos žodynas

• - vyras. moterų binomija raidžių skaičiavime: skaitinė išraiška, susidedanti iš dviejų terminų; binominis, binominis kiekis...

  Dahlio aiškinamasis žodynas

• - BINOM, -a, vyras. Matematikoje: dvinario...

  Aiškinamasis Ožegovo žodynas

• - dvinario m. Algebrinė išraiška, vaizduojanti dviejų vienanarių sumą arba skirtumą; dvinario...

  Efremovos aiškinamasis žodynas

• - Razg. Shuttle. apie sudėtingas, painus. Elistratovas, 41...

  Didelis rusų posakių žodynas

• - BINOM, -a, m. . Geležis. apie iš pažiūros sudėtingas, painus. Poss. išplito M. Bulgakovo romano „Meistras ir Margarita“ įtakoje ...

  Rusų Argo žodynas

„Niutono binolis“ knygose

Nuo Keplerio iki Niutono

Iš Laplaso knygos autorius Vorontsovas-Velyaminovas Borisas Nikolajevičius

1.2. Nuo Anaksimandro iki Niutono

Iš knygos „Laiko prigimtis: hipotezė apie laiko kilmę ir fizinę esmę“ autorius Paplūdimys Anatolijus Makarovičius

1.2. Nuo Anaksimandro iki Niutono Yra paplitęs įsitikinimas, kad žmonijos aušroje erdvės samprata iš pradžių buvo įsisavinta ir tik tada erdvės panašumu žmonės pamažu pritaikė laiko sampratą praktiniams tikslams.

R. Niutono nuomonė

Iš knygos Kritinis senovės pasaulio chronologijos tyrimas. Antika. 1 tomas autorius Postnikovas Michailas Michailovičius

R. Newtono nuomonė Pastaruoju metu senovės užtemimus iš naujo nagrinėjo Robertas Niutonas, nagrinėjęs ne tik senovės, bet ir viduramžių užtemimus. Detaliau jo darbų nepristatysime, o tik vieną citatą apibendrinsime jo tyrimą.

Niutono psichologija

Iš knygos „Kvantinis protas“ [The Line Between Physics and Psychology] autorius Mindelis Arnoldas

Niutono psichologija Ar šie dėsniai visada teisingi? Jei atsižvelgsime į mūsų automobilio avariją, mes sakome „taip“, žinome, kad šie dėsniai yra teisingi. Bet ar jie psichologiškai teisingi? Daugelis pasakytų, kad taip. Pavyzdžiui, trečiasis įstatymas gali būti vadinamas įžeidimo ir atpildo įstatymu:

Niutono mechanika

autorius

Niutono mechanika Niutono gravitacijos teorija nebūtų sukurta be jo mechanikos dėsnių. Praleidę detales, kurias galima rasti mokykliniame fizikos vadovėlyje, pateikiame šiuos tris pagrindinius dėsnius galutine forma. Be jokios abejonės, jie turi pagrindą

Niutono dėsnis

Iš knygos Gravitacija [Nuo kristalų sferų iki kirmgraužų] autorius Petrovas Aleksandras Nikolajevičius

Niutono dėsnis Visuotinės gravitacijos dėsnis po diskusijos trečiajame svarstyme buvo išsiųstas peržiūrėti... Tautosaka Tikrinant Niutono dėsnį. Niutono dėsnio supratimas vis dar vaidina labai svarbų vaidmenį suvokiant gravitacijos sampratą apskritai. Kaip gali

Niutono dėsniai

Iš knygos „Burtininko sugrįžimas“. autorius Keleris Vladimiras Romanovičius

Niutono dėsniai Tarp išskirtinių Niutono mokslo pasiekimų yra jo drąsi prielaida, kad visi materialūs kūnai, be tokių vaizdinių, akivaizdžių savybių kaip kietumas, elastingumas, svoris ir kt., turi dar vieną nepaprastai svarbią savybę:

Dvejetainė

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (BI). TSB

Diferencialinis dvinomasis

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (CI). TSB

Niutono dvinaris

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (Hb). TSB

Tik pagalvok, Niutono dvinaris!

Iš knygos Enciklopedinis sparnuotų žodžių ir posakių žodynas autorius Serovas Vadimas Vasiljevičius

Tik pagalvok, Niutono dvinaris! Iš Michailo Afanasjevičiaus Bulgakovo (1891 - 1940) romano (18 sk. „Nelaimingi lankytojai“) „Meistras ir Margarita“ (1940). Korovievo-Fagoto žodžiai, komentuojantys Woland ir barmeno Andrejaus Fokicho Sokovo dialogą. Paskutinis atėjo skųstis

Binomas Khayyamas

Iš knygos Toks būdas suprasti autorius Lurie Samuil Aronovič

BINOM KHAYYAM Nežinau, kaip jūs, bet aš, eidamas į negyvenamą salą, tikrai pasiimčiau su savimi Omarą Khajamą. Tai praktiška: ant bet kokių papročių svarstyklių 66 ketureiliai netrukdys strėlytei, o čia tave lydi geriausias gėrimo palydovas pasaulyje.Tarkime, įsivaizduojamas. Bet

Binomas Khayyamas

Iš knygos Aiškiaregystės sėkmė autorius Lurie Samuil Aronovič

BINOM KHAYYAM Nežinau, kaip jūs, bet aš, eidamas į negyvenamą salą, tikrai pasiimčiau su savimi Omarą Khajamą. Tai praktiška: ant bet kokių papročių svarstyklių 66 ketureiliai netrukdys strėlės, o čia jus lydi geriausias gėrimo draugas pasaulyje. Tarkime, įsivaizduojamas. Bet taip pat

Tai ne Niutono dvinario!

Iš knygos Signalas ir triukšmas. Kodėl vienos prognozės išsipildo, o kitos – ne? pateikė Silver Nate

Tai ne Niutono dvinario! Kad hipotezė būtų priimta, reikia tvirtų įrodymų. Šiltnamio efekto hipotezė atitiko šią sąlygą, todėl pirmojoje IPCC ataskaitoje išvada apie šiltnamio efekto egzistavimą buvo išskirta iš šimtų kitų.

Binominė teorema

Iš knygos Išvykimas Tyura-Tam autorius Kovtonyukas Vladimiras Aleksandrovičius

Niutono binominis Kubanas lašais teka žemyn iš Elbruso ledynų, susijungia į atskirus nekenksmingus upelius, kurie, susijungę ir priimdami Dauto ir Khudeso intakus, sudaro nežabotą kalnų suspaustą upelį. Priešais miestą uolos, tarsi sutvarkę paskutinį patikrinimą