7 klasės matematikos kurse jie pirmą kartą susitinka su lygtys su dviem kintamaisiais, tačiau jie tiriami tik lygčių sistemų su dviem nežinomaisiais kontekste. Štai kodėl daugelis problemų iškrenta iš akiračio, kai juos ribojantiems lygties koeficientams pateikiamos tam tikros sąlygos. Be to, ignoruojami ir tokie problemų sprendimo metodai kaip „Išspręskite lygtį natūraliais arba sveikaisiais skaičiais“, nors su tokio pobūdžio problemomis vis dažniau susiduriama USE medžiagoje ir stojamųjų egzaminų metu.

Kuri lygtis bus vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais?

Taigi, pavyzdžiui, lygtys 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 arba xy = 12 yra dviejų kintamųjų lygtys.

Apsvarstykite lygtį 2x - y = 1. Ji virsta tikrąja lygybe, kai x = 2 ir y = 3, todėl ši kintamųjų reikšmių pora yra nagrinėjamos lygties sprendimas.

Taigi, bet kurios lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra sutvarkytų porų (x; y) rinkinys, kintamųjų reikšmės, kurias ši lygtis paverčia tikrąja skaitine lygybe.

Lygtis su dviem nežinomaisiais gali:

a) turi vieną sprendimą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 5y 2 = 0 turi unikalų sprendimą (0; 0);

b) turi kelis sprendimus. Pavyzdžiui, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 turi 4 sprendinius: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

in) neturi sprendimų. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + y 2 + 1 = 0 neturi sprendinių;

G) turi be galo daug sprendimų. Pavyzdžiui, x + y = 3. Šios lygties sprendiniai bus skaičiai, kurių suma lygi 3. Šios lygties sprendinių aibę galima parašyti kaip (k; 3 - k), kur k yra bet koks realusis skaičius.

Pagrindiniai lygčių su dviem kintamaisiais sprendimo būdai yra metodai, pagrįsti reiškinių skaidymu į veiksnius, pilno kvadrato parinkimu, kvadratinės lygties savybių panaudojimu, išraiškų ribojimu ir vertinimo metodais. Lygtis, kaip taisyklė, paverčiama forma, iš kurios galima gauti nežinomųjų suradimo sistemą.

Faktorizacija

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: xy - 2 = 2x - y.

Sprendimas.

Sąlygas faktoringo tikslais sugrupuojame:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Išimkite bendrą koeficientą iš kiekvieno skliausto:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Turime:

y = 2, x yra bet koks realusis skaičius arba x = -1, y yra bet koks realusis skaičius.

Taigi, atsakymas yra visos poros formos (x; 2), x € R ir (-1; y), y € R.

Neneigiamų skaičių lygybė nuliui

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Sprendimas.

Grupavimas:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Dabar kiekvieną skliaustelį galima sutraukti naudojant kvadrato skirtumo formulę.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Dviejų neneigiamų išraiškų suma lygi nuliui tik tada, kai 3x - 2 = 0 ir 2y - 3 = 0.

Taigi x = 2/3 ir y = 3/2.

Atsakymas: (2/3; 3/2).

Vertinimo metodas

3 pavyzdys

Išspręskite lygtį: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Sprendimas.

Kiekviename skliaustelyje pasirinkite visą kvadratą:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Įvertinkite skliausteliuose esančių posakių reikšmė.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ir (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tada kairioji lygties pusė visada yra bent 2. Lygybė galima, jei:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ir (y - 2) 2 + 2 = 2, taigi x = -1, y = 2.

Atsakymas: (-1; 2).

Susipažinkime su kitu lygčių su dviem antrojo laipsnio kintamaisiais sprendimo būdu. Šis metodas yra tas, kad lygtis laikoma kvadratas kurio nors kintamojo atžvilgiu.

4 pavyzdys

Išspręskite lygtį: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Sprendimas.

Išspręskime lygtį kaip kvadratinę x atžvilgiu. Raskime diskriminantą:

D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16 y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Lygtis turės sprendinį tik tada, kai D = 0, t.y., jei y = 4. Pakeičiame y reikšmę pradine lygtimi ir nustatome, kad x = 3.

Atsakymas: (3; 4).

Dažnai lygtyse su dviem nežinomaisiais nurodo kintamųjų apribojimai.

5 pavyzdys

Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Sprendimas.

Perrašykime lygtį į formą x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Dešinioji gautos lygties pusė, padalijus iš 5, gaunama liekana 2. Todėl x 2 nesidalija iš 5. Bet kvadratas iš 5 nesidalijančio skaičiaus liekana yra 1 arba 4. Taigi lygybė neįmanoma ir sprendinių nėra.

Atsakymas: nėra šaknų.

6 pavyzdys

Išspręskite lygtį: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Sprendimas.

Pažymime visus kvadratus kiekviename skliaustelyje:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Kairioji lygties pusė visada yra didesnė arba lygi 3. Lygybė galima, jei |x| – 2 = 0 ir y + 3 = 0. Taigi, x = ± 2, y = -3.

Atsakymas: (2; -3) ir (-2; -3).

7 pavyzdys

Kiekvienai neigiamų sveikųjų skaičių (x; y) porai, atitinkančiai lygtį
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, apskaičiuokite sumą (x + y). Atsakykite į mažiausią sumą.

Sprendimas.

Pasirinkite pilnus kvadratus:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kadangi x ir y yra sveikieji skaičiai, jų kvadratai taip pat yra sveikieji skaičiai. Dviejų sveikųjų skaičių kvadratų sumą, lygią 37, gauname sudėjus 1 + 36. Todėl:

(x – y) 2 = 36 ir (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ir (y + 2) 2 = 36.

Išspręsdami šias sistemas ir atsižvelgdami į tai, kad x ir y yra neigiami, randame sprendinius: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Atsakymas: -17.

Nenusiminkite, jei turite sunkumų spręsdami lygtis su dviem nežinomaisiais. Šiek tiek praktikuodami galėsite įvaldyti bet kokią lygtį.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis su dviem kintamaisiais?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Lygčių sprendimas sveikaisiais skaičiais yra viena iš seniausių matematinių problemų. Jau II tūkstantmečio pr. Kr. pradžioje. e. Babiloniečiai mokėjo išspręsti tokių lygčių sistemas su dviem kintamaisiais. Ši matematikos sritis didžiausią klestėjimą pasiekė senovės Graikijoje. Pagrindinis šaltinis mums yra Diofanto „Aritmetika“, kurioje yra įvairių tipų lygtys. Jame Diofantas (po savo vardo ir lygčių pavadinimų - Diofantinės lygtys) numato daugybę 2 ir 3 laipsnių lygčių tyrimo metodų, kurie išsivystė tik XIX a.

Paprasčiausios diofantinės lygtys ax + y = 1 (lygtis su dviem kintamaisiais, pirmasis laipsnis) x2 + y2 = z2 (lygtis su trimis kintamaisiais, antrojo laipsnio)

Plačiausiai ištirtos algebrinės lygtys, jų sprendimas buvo viena svarbiausių XVI–XVII a. algebros problemų.

Iki XIX amžiaus pradžios P. Fermat, L. Eulerio, K. Gauss darbai ištyrė formos diofantinę lygtį: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kur a, b, c , d, e, f yra skaičiai; x, y yra nežinomi kintamieji.

Tai 2-ojo laipsnio lygtis su dviem nežinomaisiais.

K. Gaussas sukūrė bendrąją kvadratinių formų teoriją, kuri yra pagrindas sprendžiant tam tikro tipo lygtis su dviem kintamaisiais (Diofantine lygtys). Yra daug specifinių Diofanto lygčių, kurias galima išspręsti elementariais metodais. /p>

teorinė medžiaga.

Šioje darbo dalyje bus aprašytos pagrindinės matematinės sąvokos, pateikti terminų apibrėžimai, suformuluota skilimo teorema neapibrėžtinių koeficientų metodu, kurie buvo tiriami ir atsižvelgta sprendžiant lygtis su dviem kintamaisiais.

1 apibrėžimas: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 lygtis, kur a, b, c, d, e, f yra skaičiai; x, y nežinomi kintamieji vadinami antrojo laipsnio lygtimi su dviem kintamaisiais.

Mokyklos matematikos kurse tiriama kvadratinė lygtis ax2 + inx + c \u003d 0, kur skaičiaus x a, b, c yra kintamasis su vienu kintamuoju. Yra daug būdų, kaip išspręsti tokią lygtį:

1. Šaknų radimas naudojant diskriminantą;

2. Lyginio koeficiento in šaknų radimas (pagal D1 =);

3. Šaknų radimas pagal Vietos teoremą;

4. Šaknų suradimas naudojant dvinario pilno kvadrato pasirinkimą.

Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad jų nėra.

2 apibrėžimas. Lygties šaknis yra skaičius, kurį pakeitus į lygtį, susidaro tikroji lygybė.

3 apibrėžimas: Lygties su dviem kintamaisiais sprendimas vadinamas skaičių pora (x, y), pakeitus juos į lygtį, ji virsta tikrąja lygybe.

Lygties sprendinių paieškos procesas labai dažnai susideda iš lygties pakeitimo lygiaverte, bet paprastesne lygtimi. Tokios lygtys vadinamos ekvivalentinėmis.

4 apibrėžimas: sakoma, kad dvi lygtys yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos lygties sprendinys yra kitos lygties sprendimas ir atvirkščiai, ir abi lygtys nagrinėjamos toje pačioje srityje.

Sprendžiant lygtis su dviem kintamaisiais, naudojama teorema apie lygties išplėtimą į tobulųjų kvadratų sumą (neapibrėžtų koeficientų metodu).

Antrosios eilės lygtis ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) yra skaidymas a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Suformuluokime sąlygas, kurioms esant vyksta dviejų kintamųjų (1) lygties plėtimasis (2).

Teorema: Jei (1) lygties koeficientai a, c, c tenkina sąlygas a0 ir 4av - c20, tai plėtra (2) nustatoma unikaliu būdu.

Kitaip tariant, lygtis (1) su dviem kintamaisiais gali būti redukuojama į formą (2), naudojant neapibrėžtų koeficientų metodą, jei tenkinamos teoremos sąlygos.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip įgyvendinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodas.

1 METODAS. Išspręskite lygtį neapibrėžtųjų koeficientų metodu

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Patikrinkime teoremos sąlygų įvykdymą, a=2, b=1, c=2, taigi a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Tenkinamos teoremos sąlygos, kurias galima išplėsti pagal (2) formulę.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, remiantis teoremos sąlygomis, abi tapatybės dalys yra lygiavertės. Supaprastinkite dešinę tapatybės pusę.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 + h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Sulyginkite tų pačių kintamųjų koeficientus su jų laipsniais.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Gaukite lygčių sistemą, išspręskite ją ir raskite koeficientų reikšmes.

7. Pakeiskite koeficientus (2), tada lygtis įgis tokią formą

2 x 2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Taigi pradinė lygtis yra lygiavertė lygčiai

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), ši lygtis yra lygiavertė dviejų tiesinių lygčių sistemai.

Atsakymas: (-1; 1).

Jei atkreipsite dėmesį į skaidymo tipą (3), pamatysite, kad jis savo forma yra identiškas viso kvadrato ištraukimui iš kvadratinės lygties su vienu kintamuoju: ax2 + inx + c = a(x +)2 + .

Taikykime šią gudrybę spręsdami lygtį su dviem kintamaisiais. Viso kvadrato parinkimo pagalba išspręskime kvadratinę lygtį su dviem kintamaisiais, jau išspręstą teorema.

2 METODAS: Išspręskite lygtį 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Sprendimas: 1. 2x2 pavaizduojame kaip dviejų narių x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 sumą.

2. Terminus sugrupuojame taip, kad galėtume sutraukti pagal pilno kvadrato formulę.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Iš skliausteliuose esančių išraiškų pasirinkite pilnus kvadratus.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ši lygtis yra lygiavertė tiesinių lygčių sistemai.

Atsakymas: (-1;1).

Jei palygintume rezultatus, pamatytume, kad lygtis, išspręsta metodu Nr. 1 naudojant teoremą ir neapibrėžtųjų koeficientų metodą, ir lygtis, išspręsta metodu Nr. 2, pasirenkant pilną kvadratą, turi tas pačias šaknis.

Išvada: Kvadratinę lygtį su dviem kintamaisiais galima išplėsti į kvadratų sumą dviem būdais:

➢ Pirmasis metodas yra neapibrėžtųjų koeficientų metodas, pagrįstas teorema ir išskaidymu (2).

➢ Antrasis būdas – identiškų transformacijų pagalba, kurios leidžia pasirinkti iš eilės užbaigtus kvadratus.

Žinoma, sprendžiant problemas, pirmenybė teikiama antrajam metodui, nes jam nereikia įsiminti išplėtimo (2) ir sąlygų.

Šis metodas taip pat gali būti taikomas kvadratinėms lygtims su trimis kintamaisiais. Tokiose lygtyse viso kvadrato parinkimas yra sudėtingesnis. Kitais metais aš padarysiu tokią transformaciją.

Įdomu pastebėti, kad funkcija, turinti formą f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f, vadinama kvadratine dviejų kintamųjų funkcija. Kvadratinės funkcijos vaidina svarbų vaidmenį įvairiose matematikos šakose:

Matematinis programavimas (kvadratinis programavimas)

Tiesinėje algebroje ir geometrijoje (kvadratinės formos)

Diferencialinių lygčių teorijoje (antros eilės tiesinę lygtį redukuojant į kanoninę formą).

Sprendžiant šias įvairias problemas, iš tikrųjų reikia taikyti viso kvadrato išskyrimo iš kvadratinės lygties (vieno, dviejų ar daugiau kintamųjų) procedūrą.

Tiesės, kurių lygtys apibūdinamos kvadratine dviejų kintamųjų lygtimi, vadinamos antros eilės kreivėmis.

Šis apskritimas, elipsė, hiperbolė.

Braižant šias kreives taip pat naudojamas viso kvadrato nuoseklaus pasirinkimo metodas.

Panagrinėkime, kaip nuoseklaus viso kvadrato atrankos metodas veikia konkrečiuose pavyzdžiuose.

Praktinė dalis.

Išspręskite lygtis nuoseklaus viso kvadrato pasirinkimo metodu.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Atsakymas: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Atsakymas: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3 (x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Atsakymas: (-1; 1).

Išspręskite lygtis:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(pateikite formą: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Atsakymas: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(perkelkite į formą: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Atsakymas: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(perkelkite į formą: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Atsakymas: (7; -7)

Išvada.

Šiame moksliniame darbe buvo tiriamos lygtys su dviem antrojo laipsnio kintamaisiais, nagrinėjami jų sprendimo būdai. Užduotis atlikta, suformuluotas ir aprašytas trumpesnis sprendimo būdas, pagrįstas pilno kvadrato parinkimu ir lygties pakeitimu lygiaverte lygčių sistema, dėl to supaprastinama dviejų kintamųjų lygties šaknų radimo procedūra.

Svarbus darbo momentas yra tai, kad nagrinėjamas metodas naudojamas sprendžiant įvairius matematinius uždavinius, susijusius su kvadratine funkcija, konstruojant antros eilės kreives, ieškant didžiausios (mažiausios) išraiškų reikšmės.

Taigi, antrosios eilės lygties su dviem kintamaisiais išplėtimo į kvadratų sumą metodas matematikoje yra daugiausiai pritaikytas.

7 klasės matematikos kurse jie pirmą kartą susitinka su lygtys su dviem kintamaisiais, tačiau jie tiriami tik lygčių sistemų su dviem nežinomaisiais kontekste. Štai kodėl daugelis problemų iškrenta iš akiračio, kai juos ribojantiems lygties koeficientams pateikiamos tam tikros sąlygos. Be to, ignoruojami ir tokie problemų sprendimo metodai kaip „Išspręskite lygtį natūraliais arba sveikaisiais skaičiais“, nors su tokio pobūdžio problemomis vis dažniau susiduriama USE medžiagoje ir stojamųjų egzaminų metu.

Kuri lygtis bus vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais?

Taigi, pavyzdžiui, lygtys 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 arba xy = 12 yra dviejų kintamųjų lygtys.

Apsvarstykite lygtį 2x - y = 1. Ji virsta tikrąja lygybe, kai x = 2 ir y = 3, todėl ši kintamųjų reikšmių pora yra nagrinėjamos lygties sprendimas.

Taigi, bet kurios lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra sutvarkytų porų (x; y) rinkinys, kintamųjų reikšmės, kurias ši lygtis paverčia tikrąja skaitine lygybe.

Lygtis su dviem nežinomaisiais gali:

a) turi vieną sprendimą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 5y 2 = 0 turi unikalų sprendimą (0; 0);

b) turi kelis sprendimus. Pavyzdžiui, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 turi 4 sprendinius: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

in) neturi sprendimų. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + y 2 + 1 = 0 neturi sprendinių;

G) turi be galo daug sprendimų. Pavyzdžiui, x + y = 3. Šios lygties sprendiniai bus skaičiai, kurių suma lygi 3. Šios lygties sprendinių aibę galima parašyti kaip (k; 3 - k), kur k yra bet koks realusis skaičius.

Pagrindiniai lygčių su dviem kintamaisiais sprendimo būdai yra metodai, pagrįsti reiškinių skaidymu į veiksnius, pilno kvadrato parinkimu, kvadratinės lygties savybių panaudojimu, išraiškų ribojimu ir vertinimo metodais. Lygtis, kaip taisyklė, paverčiama forma, iš kurios galima gauti nežinomųjų suradimo sistemą.

Faktorizacija

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: xy - 2 = 2x - y.

Sprendimas.

Sąlygas faktoringo tikslais sugrupuojame:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Išimkite bendrą koeficientą iš kiekvieno skliausto:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Turime:

y = 2, x yra bet koks realusis skaičius arba x = -1, y yra bet koks realusis skaičius.

Taigi, atsakymas yra visos poros formos (x; 2), x € R ir (-1; y), y € R.

Neneigiamų skaičių lygybė nuliui

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Sprendimas.

Grupavimas:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Dabar kiekvieną skliaustelį galima sutraukti naudojant kvadrato skirtumo formulę.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Dviejų neneigiamų išraiškų suma lygi nuliui tik tada, kai 3x - 2 = 0 ir 2y - 3 = 0.

Taigi x = 2/3 ir y = 3/2.

Atsakymas: (2/3; 3/2).

Vertinimo metodas

3 pavyzdys

Išspręskite lygtį: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Sprendimas.

Kiekviename skliaustelyje pasirinkite visą kvadratą:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Įvertinkite skliausteliuose esančių posakių reikšmė.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ir (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tada kairioji lygties pusė visada yra bent 2. Lygybė galima, jei:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ir (y - 2) 2 + 2 = 2, taigi x = -1, y = 2.

Atsakymas: (-1; 2).

Susipažinkime su kitu lygčių su dviem antrojo laipsnio kintamaisiais sprendimo būdu. Šis metodas yra tas, kad lygtis laikoma kvadratas kurio nors kintamojo atžvilgiu.

4 pavyzdys

Išspręskite lygtį: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Sprendimas.

Išspręskime lygtį kaip kvadratinę x atžvilgiu. Raskime diskriminantą:

D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16 y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Lygtis turės sprendinį tik tada, kai D = 0, t.y., jei y = 4. Pakeičiame y reikšmę pradine lygtimi ir nustatome, kad x = 3.

Atsakymas: (3; 4).

Dažnai lygtyse su dviem nežinomaisiais nurodo kintamųjų apribojimai.

5 pavyzdys

Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Sprendimas.

Perrašykime lygtį į formą x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Dešinioji gautos lygties pusė, padalijus iš 5, gaunama liekana 2. Todėl x 2 nesidalija iš 5. Bet kvadratas iš 5 nesidalijančio skaičiaus liekana yra 1 arba 4. Taigi lygybė neįmanoma ir sprendinių nėra.

Atsakymas: nėra šaknų.

6 pavyzdys

Išspręskite lygtį: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Sprendimas.

Pažymime visus kvadratus kiekviename skliaustelyje:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Kairioji lygties pusė visada yra didesnė arba lygi 3. Lygybė galima, jei |x| – 2 = 0 ir y + 3 = 0. Taigi, x = ± 2, y = -3.

Atsakymas: (2; -3) ir (-2; -3).

7 pavyzdys

Kiekvienai neigiamų sveikųjų skaičių (x; y) porai, atitinkančiai lygtį
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, apskaičiuokite sumą (x + y). Atsakykite į mažiausią sumą.

Sprendimas.

Pasirinkite pilnus kvadratus:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kadangi x ir y yra sveikieji skaičiai, jų kvadratai taip pat yra sveikieji skaičiai. Dviejų sveikųjų skaičių kvadratų sumą, lygią 37, gauname sudėjus 1 + 36. Todėl:

(x – y) 2 = 36 ir (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ir (y + 2) 2 = 36.

Išspręsdami šias sistemas ir atsižvelgdami į tai, kad x ir y yra neigiami, randame sprendinius: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Atsakymas: -17.

Nenusiminkite, jei turite sunkumų spręsdami lygtis su dviem nežinomaisiais. Šiek tiek praktikuodami galėsite įvaldyti bet kokią lygtį.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis su dviem kintamaisiais?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Autoriaus požiūris į šią temą nėra atsitiktinis. Su lygtimis su dviem kintamaisiais pirmą kartą susiduriama 7 klasės kursuose. Viena lygtis su dviem kintamaisiais turi begalinį sprendinių skaičių. Tai aiškiai parodo tiesinės funkcijos grafikas, pateiktas kaip ax + by=c. Mokykliniame kurse mokiniai mokosi dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas. Dėl to iš mokytojo, taigi ir mokinio, akiračio, iškrenta nemažai užduočių su ribotomis lygties koeficiento sąlygomis, taip pat jų sprendimo būdais.

Mes kalbame apie lygties su dviem nežinomaisiais sveikaisiais arba natūraliaisiais skaičiais sprendimą.

Mokykloje natūralūs ir sveikieji skaičiai mokomi 4-6 klasėse. Baigdami mokyklą ne visi mokiniai prisimena šių skaičių aibių skirtumus.

Tačiau tokia užduotis kaip „išspręsti lygtį, sudarytą iš ax + by=c sveikaisiais skaičiais“ vis dažniau pasitaiko stojamuosiuose į universitetus egzaminuose ir USE medžiagoje.

Neapibrėžtų lygčių sprendimas ugdo loginį mąstymą, išradingumą ir atidumą analizei.

Siūlau parengti keletą pamokų šia tema. Neturiu aiškių rekomendacijų dėl šių pamokų laiko. Atskiri elementai gali būti naudojami 7 klasėje (stipriai klasei). Šiomis pamokomis galima remtis ir parengti nedidelį pasirenkamąjį pasirengimo profiliui kursą 9 klasėje. Ir, žinoma, ši medžiaga gali būti naudojama 10-11 klasėse ruošiantis egzaminams.

Pamokos tikslas:

• žinių kartojimas ir apibendrinimas tema „Pirmos ir antros eilės lygtys“
• pažintinio susidomėjimo dalyku ugdymas
• įgūdžių formavimas analizuoti, daryti apibendrinimus, perkelti žinias į naują situaciją

1-oji pamoka.

Per užsiėmimus.

1) Org. momentas.

2) Pagrindinių žinių aktualizavimas.

Apibrėžimas. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais yra formos lygtis

mx + ny = k, kur m, n, k yra skaičiai, x, y yra kintamieji.

Pavyzdys: 5x+2y=10

Apibrėžimas. Lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra kintamųjų reikšmių pora, kuri paverčia šią lygtį tikrąja lygybe.

Lygtys su dviem kintamaisiais, turinčios tuos pačius sprendinius, vadinamos ekvivalentiškomis.

1,5x+2y=12 (2)y=-2,5x+6

Ši lygtis gali turėti bet kokį sprendinių skaičių. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kurią x reikšmę ir rasti atitinkamą y reikšmę.

Tegu x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Skaičių poros (2;1); (4;-4) – (1) lygties sprendiniai.

Ši lygtis turi be galo daug sprendinių.

3) Istorinis fonas

Neapibrėžtos (diofantinės) lygtys yra lygtys, kuriose yra daugiau nei vienas kintamasis.

III amžiuje. REKLAMA – Diofantas Aleksandrietis parašė „Aritmetiką“, kurioje išplėtė skaičių aibę iki racionaliųjų, įvedė algebrinę simboliką.

Taip pat Diofantas nagrinėjo neapibrėžtinių lygčių sprendimo problemas ir pateikė antrojo ir trečiojo laipsnio neapibrėžtųjų lygčių sprendimo būdus.

4) Naujos medžiagos mokymasis.

Apibrėžimas: Nehomogeninė pirmos eilės diofantinė lygtis su dviem nežinomaisiais x, y yra mx + ny = k formos lygtis, kur m, n, k, x, y Z k0

1 teiginys.

Jei (1) lygties laisvasis narys k nesidalija iš didžiausio skaičių m ir n bendro daliklio (GCD), tai (1) lygtis neturi sveikųjų skaičių sprendinių.

Pavyzdys: 34x – 17m = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 nesidalija iš 17, sveikaisiais skaičiais sprendinio nėra.

Tegu k dalijasi iš gcd(m, n). Padalijus visus koeficientus, galima pasiekti, kad m ir n taptų pirminiais.

2 teiginys.

Jei (1) lygties m ir n yra pirminiai skaičiai, tai ši lygtis turi bent vieną sprendinį.

3 teiginys.

Jei (1) lygties koeficientai m ir n yra santykinai pirminiai skaičiai, tai ši lygtis turi be galo daug sprendinių:

Kur (; ) yra bet kuris (1) lygties sprendinys, t Z

Apibrėžimas. Vienalytė pirmos eilės diofantinė lygtis su dviem nežinomaisiais x, y yra lygtis, kurios formos mx + ny = 0, kur (2)

4 teiginys.

Jei m ir n yra santykinai pirminiai skaičiai, tai bet koks (2) lygties sprendinys turi formą

5) Namų darbai. Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais:

1. 9x - 18m = 5
2. x+y=xy
3. Keli vaikai rinko obuolius. Kiekvienas berniukas surinko po 21 kg, o mergaitė – 15 kg. Iš viso jie surinko 174 kg. Kiek berniukų ir kiek mergaičių rinko obuolius?

komentuoti. Šioje pamokoje nepateikiami sveikųjų skaičių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Taigi namų darbai vaikai sprendžia remdamiesi 1 teiginiu ir atranka.

2 pamoka

1) Organizacinis momentas

2) Namų darbų tikrinimas

1) 9x – 18m = 5

5 nesidalija iš 9, sveikaisiais skaičiais sprendinių nėra.

Atrankos metodas gali rasti sprendimą

Atsakymas: (0;0), (2;2)

3) Sudarykite lygtį:

Tegul berniukai x, x Z ir mergaitės y, y Z, tada galime parašyti lygtį 21x + 15y = 174

Daugelis studentų, sudarę lygtį, nesugebės jos išspręsti.

Atsakymas: 4 berniukai, 6 mergaitės.

3) Naujos medžiagos mokymasis

Susidūrę su sunkumais atliekant namų darbus, mokiniai įsitikino, kad reikia išstudijuoti jų neapibrėžtų lygčių sprendimo metodus. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.

I. Dalybos likučių apskaičiavimo būdas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais 3x – 4y = 1.

Kairioji lygties pusė dalijasi iš 3, todėl dešinioji taip pat turi dalytis. Panagrinėkime tris atvejus.

Atsakymas: kur m Z.

Aprašytą metodą patogu taikyti, jei skaičiai m ir n nėra maži, o išskaidomi į paprastus veiksnius.

Pavyzdys: išspręskite lygtis sveikaisiais skaičiais.

Tegul y = 4n, tada 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) dalijasi iš 4.

y = 4n+1, tada 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n nesidalija iš 4.

y = 4n+2, tada 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n nesidalija iš 4.

y = 4n+3, tada 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n nesidalija iš 4.

Taigi, y = 4n, tada

4x = 16-7 4n = 16-28n, x = 4-7n

Atsakymas: , kur n Z.

II. 2-ojo laipsnio neapibrėžtosios lygtys

Šiandien pamokoje paliesime tik antros eilės Diofanto lygčių sprendimą.

Ir visų tipų lygtyse apsvarstykite atvejį, kai galite taikyti kvadratų skirtumo formulę arba kitą faktoringo būdą.

Pavyzdys: išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais.

13 yra pirminis skaičius, todėl jį galima apskaičiuoti tik keturiais būdais: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Apsvarstykite šiuos atvejus

Atsakymas: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Namų darbai.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais:

(x - y) (x + y) = 4

2x=4	2x=5	2x=5
x=2	x=5/2	x=5/2
y=0	Netinkamas	Netinkamas
2x = -4	Netinkamas	Netinkamas
x=-2
y=0

Atsakymas: (-2;0), (2;0).

Atsakymai: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

in)

Atsakymas: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Rezultatai. Ką reiškia lygtį išspręsti sveikaisiais skaičiais?

Kokius žinote neapibrėžtų lygčių sprendimo būdus?

Priedas:

Pratimai treniruotėms.

1) Išspręskite sveikais skaičiais.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 - 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1–2 m, y = 4 + 9 m, m Z
e) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
f) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x - 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ
h) 28x - 40y = 60	x = 45 + 10 t, y = 30 + 7 t, t Z

2) Raskite sveikuosius neneigiamus lygties sprendinius.