Štai keletas pagrindinių operacijų, kurias galima atlikti naudojant neaiškius rinkinius.

1. Papildymas neaiškus rinkinys Ažymimas simboliu ir apibrėžiamas taip:

(5.15)

Sudėjimo operacija atitinka loginį neigimą. Pavyzdžiui, jei A tada yra neaiškios rinkinio pavadinimas "ne A" suprantama kaip (žr. pavyzdį žemiau).

2. Konsolidavimas neryškūs rinkiniai A ir Vžymimas A+B(arba AÈV) ir yra nustatytas :

(5.16)

Sąjunga atitinka loginį ryšį “ arba“. Pavyzdžiui, jei A ir V yra neaiškių rinkinių pavadinimai, tada įrašas " A arba B“ suprantamas kaip A+B.

u daugiau iš .

Komentuoti: reikia turėti omenyje, kad loginis ryšys Ú šiame kontekste pagal apibrėžimą reiškia max (t. y. ); Ù reiškia min (t. y. ).

3. Sankryža A ir V yra paskirti AÇV ir apibrėžiamas taip:

(5.17)

Sankryža atitinka loginę jungtį " u", t.y. .

A ir B \u003d AÇB(5.18)

Nustatant elementų priklausymo laipsnį uį naują neryškų rinkinį, pasirinkite mažesnis iš (žr. pastabą aukščiau).

4. Produktas A ir Vžymimas AB ir nustatoma pagal formulę

(5.19)

jeigu (5.20)

5.5 pavyzdys. Jeigu

U=1+2+…+10

A=0,8/3+1/5+0,6/6 (5.21)

B = 0,7 / 3 + 1 / 4 + 0,5 / 6,

Tai ØА=1/1+1/2+0,2/3+1/4+0,4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

A+B=0,8/3+1/4+1/5+0,6/6

АЗВ=0,7/3+0,5/6 (min. paimama iš dviejų m reikšmių)(5.22)

AB=0,56/3+0,3/6

0,4A=0,32/3+0,4/5+0,24/6

5. Dekarto gaminys neryškūs rinkiniai А 1 , …, А n universalūs rinkiniai U 1,…,U n atitinkamai pažymėti А 1 ´…´А n ir apibrėžiamas kaip neryškus aibės poaibis U 1 ´…´ U n su narystės funkcija.

5.6 pavyzdys. Jeigu

U 1 \u003d U 2 \u003d 3 + 5 + 7

A 1 =0,5/3+1/5+0,6/7

A 2 \u003d 1/3 + 0,6/5, tada

A 1 ´A 2 = 0,5 / 3,3 + 1 / 5,3 + 0,6 / 7,6 + 0,5 / 3,5 + 0,6 / 5,5 + 0,6 / 7,5

Neaiškūs santykiai.

neaiškus santykis R: X®Y yra neryškus Dekarto gaminio rinkinys X'Y. R aprašomas taip, naudojant dviejų kintamųjų narystės funkciją:

(5.25)

Neryškus santykis aibėje X´Y yra porų rinkinys

(5.26)

kur - fuzzy santykio narystės funkcija R, kurios reikšmė tokia pati kaip ir neaiškios rinkinio narystės funkcija.

Apskritai n- arinis santykis yra neryškus Dekarto sandaugos poaibis X 1 ´X 2 ´…´ X n, ir

(5.27)

Neaiškių santykių pavyzdžiai:

« X maždaug lygus Y»,

« X daug didesnis Y»,

« A daug labiau pageidautina V».

5.7 pavyzdys. Apsimeskime tai X = (Jurijus, Sergejus), Y = (Maksimas, Michailas).

Tada dvejetainis neryškus „panašumo“ ryšys tarp aibių X ir Y elementų gali būti parašytas kaip

panašumas=0,8/(Jurijus, Maksimas)+0,6/(Jurijus, Michailas)+0,2/(Sergejus, Maksimas)+0,9/(Sergejus, Michailas).

Be to, šis santykis gali būti pavaizduotas kaip santykių matricos.

(5.28)

Kuriame (i,j)- elementas yra lygus funkcijos reikšmei i-oji vertė x ir j-oji reikšmė y.

Jeigu R- požiūris X®Y(arba, kas yra tas pats, santykis in X'Y), a S- požiūris Y®Z, tada kompozicija R ir S yra neryškus santykis X®Z, pažymėta R°S ir apibrėžta formule

kur ° - kompozicijos ženklas, ženklai Ú ir Ù pažymėti atitinkamai maks ir min, V m– viršutinė diapazono riba adresu.

Štai (5.29). santykių kompozicija.

Išraiška (5.29) apibrėžia maxmin sandaugą R ir S.

Taigi tikriems skaičiams a ir b:

(5.30)

(5.31)

Jeigu X, Y, Z yra baigtinės aibės, tada santykių matrica R°S yra santykio matricų maxmin sandauga R ir S. Matricų maxmin sandaugoje vietoj sudėties ir daugybos operacijos naudojamos operacijos Ú ir Ù atitinkamai.

Maxmin produkto pavyzdys

(5.32)

Čia eilučių skaičius turi būti lygus stulpelių skaičiui. Eilutė padauginama iš stulpelio, o didžiausia vertė paimama iš mažiausių porų verčių.

3) bet kuris kitas funkcijos grafiko taškas, išskyrus c ix 0,5, pavyzdžiui, apytikslė nešiklio riba (x 0,01 ) arba šerdies (x 0,99 ) – iš rezultatų apskaičiuojama parametro b reikšmė.

3. Neaiškių rinkinių operacijos

Yra dvi neaiškių rinkinių operacijų grupės:

1) aibės teorinis operacijos , kurios yra klasikinės aibių teorijos operacijų apibendrinimas neaiškių aibių atveju;

2) operacijos, kuriose atsižvelgiama į aibės neryškumą

savybės, kurios nėra prasmės įprastiems rinkiniams.

Bendruoju atveju aibių teorinės operacijos su neaiškiomis aibėmis apibrėžiamos taip, kad pritaikant aiškioms aibėms jos sutampa su įprastomis, klasikinėmis aibių teorinėmis operacijomis.

Iš pirmosios grupės operacijų apsvarstykite papildymo operacijas,

sankryžos, sąjungos ir Dekarto produktai , iš antros grupės operacijų – operacija eksponencija.

3.1. Papildymas

Tegu A yra neaiški aibė aibėje X su narystės funkcija µ A. A komplementas yra neaiški aibė A su narystės funkcija

		(x )= 1− μ A (x ),x X

Komplemento operatorius paprastai naudojamas loginiam NE modifikatoriui pavaizduoti.

Neaiškios sudėties operacijos pavyzdys parodytas fig. 3.1, iš kurio aišku, kad yra apibrėžimo srities elementų, kurie priklauso ir pačiai aibei, ir jos papildiniui, o šie elementai visiškai nepriklauso nė vienai iš šių aibių, kurių narystės laipsnis lygus 1. Žodžiais, neaiškioji logika neveikia gerai žinomo iš klasikinės logikos nuoseklumo principo ir pašalinto vidurio dėsnio, o tai yra būtent dėl ribų tarp sąvokos ir jos neigimo neryškumo.

Pagrindinės neaiškių aibių teorijos sąvokos

Ryžiai. 3.1. Neaiškios sudėties operacijos pavyzdys

3.2. Sankryža ir Sąjunga

Apsvarstykite vieną iš labiausiai paplitusių neaiškių aibių susikirtimo ir jungimo operacijų apibrėžimo metodų, kartais vadinamų minimax metodu.

Tegu A ir B yra neaiškios aibės aibėje X su narystės funkcijomis atitinkamai μ A ir μ B. Tada šių aibių sankirta A ∩ B ir jungtis A B yra neryškūs X rinkiniai su narystės funkcijomis:

naudojant minimax metodą, parodyta fig. 3.2.

Ryžiai. 3.2. Neaiškių aibių susikirtimo ir sujungimo operacijų atlikimo pavyzdžiai naudojant minimalią maksimalaus metodą

Sankryžos operacija paprastai naudojama AND loginiam ryšiui pavaizduoti, o jungimo operacija naudojama ARBA jungtis.

Nesunku pastebėti, kad jei įprastos traškios aibės laikomos operandais A ir B, tai tokiu būdu apibrėžtos sankirtos ir sąjungos operacijos sumažinamos iki jų klasikinių aibių teorinių atitikmenų. Be to, šios operacijos turi šias savybes:

Pagrindinės neaiškių aibių teorijos sąvokos

	komutaciškumas:
	A ∩ B= B∩ A, A B= B A;
	asociatyvumas:
	(A∩ B) ∩ C= A∩ (B∩ C) ,
	(A B) C= A(B C) ;
	pasienio sąlygos:
	A∩=,	A=A
	A ∩ X = A,	AX=X;
	idempotencija:
	A ∩ A= A A= A;
	paskirstymas:
	A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C),

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C).

Apsvarstytas požiūris į neaiškios sankirtos ir sąjungos operacijų apibrėžimą nėra vienintelis galimas. Gana dažnai naudojamas kitoks požiūris, pagal kurį:

μ A ∩ B (x ) = μ A (x ) μ B (x ), x X ,
μ A B (x )= μ A (x )+ μ B (x )− μ A (x )μ B (x ),x X .

Šis metodas kartais vadinamas tikimybiniu, nes atitinkamos išraiškos savo forma sutampa su išraiškomis, kuriomis nustatomos atsitiktinių įvykių kirtimo ir derinimo tikimybė. Sankryžos ir sujungimo operacijų atlikimo naudojant tikimybinį metodą pavyzdžiai parodyti fig. 3.3.

Ryžiai. 3.3. Neaiškių aibių susikirtimo ir jungimo operacijų atlikimo tikimybiniu metodu pavyzdžiai

Sankirtos ir jungties operacijoms, apibrėžtoms tikimybiniu metodu, lieka galioti komutatyvumo ir asociatyvumo savybės, taip pat ribinės sąlygos

Pagrindinės neaiškių aibių teorijos sąvokos

lovia. Idempotencijos ir distributyvumo savybės negalioja.

egzistuoja, tačiau galioja jų ne tokie griežti analogai:

A ∩ A A, A A A;

A ∩ (B C) (A ∩ B) (A ∩ C),

A (B ∩ C) (A B) ∩ (A C).

Įvesti neaiškios sankryžos apibrėžimo ir sujungimo operacijų metodai gali būti laikomi ypatingais apibendrinto požiūrio, pagrįsto naudojimu, atvejai. trikampės normos ir konormos.

Tegu yra dviejų kintamųjų T (x ,y ) funkcija domene × (ty vieneto kvadrate), atsižvelgiant į atkarpos reikšmes ir tenkinant šias sąlygas (visoms galimoms x ir y reikšmėms ):

1) komutatyvumas: T(x, y) = T(y, x);

2) monotoniškumas: x1 ≤ x2, y1 ≤ y2 T(x1, y1) ≤ T(x2, y2);

3) asociatyvumas: T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z));

4) ribinė sąlyga: T(x, 1) = T(1, x) = x.

Panašiai tegul funkcija S ( x , y ) turi būti pateikta toje pačioje srityje, atsižvelgiant į atkarpos reikšmes ir visoms galimoms x ir y reikšmėms, atitinkančioms šias sąlygas:

1) komutatyvumas: S(x, y) = S(y, x);

2) monotoniškumas : x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 S(x1 , y1 ) ≤ S(x2 , y2 );

3) asociatyvumas: S(S(x, y), z) = S(x, S(y, z));

4) ribinė sąlyga: S(x, 0) = S(0, x) = x.

Tada iškviečiama funkcija T (x ,y ). trikampė norma arba

T norma, o S(x, y) yra trikampė konorma arba S norma.

T ir S normų pavyzdžiai:

TM (x,y) = min(x,y);	S M (x ,y ) = max(x,y );
T P (x ,y ) =xy ;	S P (x, y) \u003d x + y -xy;
T L (x, y) \u003d max (x + y -1, 0);	S L (x, y) = min(x + y, 1).

Naudodami T ir S normas, galime pateikti tokį apibendrintą neaiškių aibių susikirtimo ir sąjungos operacijų apibrėžimą:

μ A ∩ B (x ) = T (μ A (x ), μ B (x )), x X ,
μ A B (x )= S (μ A (x ), μ B (x )), x X .

kur T yra tam tikra T norma, S yra tam tikra S norma.

Būlio operacijos

Įsijungia. Leisti A ir V- neryškūs rinkiniai universaliame rinkinyje E. Jie taip sako A esantis V, jeigu

Pavadinimas: A⊂ V.

Terminas kartais vartojamas dominavimas, tie. tuo atveju, kai A⊂ V, jie tai sako V dominuoja A.

Lygybė. A ir B yra lygūs, jei

Pavadinimas: A = B.

Papildymas. Leisti M = , A ir V yra neryškūs rinkiniai, apibrėžti E. A ir V papildo vienas kitą, jei

Pavadinimas:

Tai akivaizdu (priedas nustatytas M= , bet akivaizdu, kad jį galima apibrėžti bet kokiai tvarkai M).

sankryža. A⋂ V yra didžiausias neryškus poaibis, esantis vienu metu A ir V:

Asociacija.A∪V yra mažiausias neryškus poaibis, apimantis abu A, taip V, su narystės funkcija:

Skirtumas. su narystės funkcija:

Atskira suma

A ⊕ V = (A-B) ∪ (B-A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅A ⋂ B )

su narystės funkcija:

Pavyzdžiai. Leisti

Čia:

1) A ⊂ V, y., A yra B arba B dominuoja A; SU nepalyginamai nei su A, nei su V, tie. poros ( A, C) ir ( A, C) yra nedominuojančių neaiškių aibių poros.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) A⋂ B = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /X 4 .

5) A∪ V= 0,7/ x 1+ 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) A-B= A⋂̅B = 0,3/x 1 + 0,l/ x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

V- A= ̅A⋂ V= 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/ x 3 + 0/x 4 .

7) A⊕ B = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Vizualus loginių operacijų neaiškiose aibėse vaizdavimas. Neryškiems rinkiniams galite sukurti vaizdinį vaizdą. Apsvarstykite stačiakampę koordinačių sistemą, kurios y ašyje reikšmės nubraižytos μ A (x), elementai yra išdėstyti atsitiktine tvarka ant abscisių ašies E(tokį vaizdavimą jau naudojome neaiškių aibių pavyzdžiuose). Jeigu E yra sutvarkyta pagal prigimtį, pageidautina išlaikyti šią tvarką elementų išdėstyme x ašyje. Toks atvaizdavimas paprastas logines operacijas su neaiškiomis aibėmis padaro vizualiai (žr. 1.3 pav.).

Ryžiai. 1.3. Grafinis loginių operacijų aiškinimas: α - neryškus rinkinys A; b- neryškus rinkinys ̅A, in - A⋂A; G- A∪ A

Ant pav. 1,3α užtamsinta dalis atitinka neaiškią rinkinį A ir, tiksliau, vaizduoja diapazoną A ir visi neryškūs rinkiniai, esantys A. Ant pav. 1.3 b, c, g yra duoti A, A ⋂ ̅ A, A U A.

Veiklos ypatybės ∪ ir ⋂

Leisti A, B, C yra neryškūs rinkiniai, tada galioja šios savybės:

Skirtingai nuo traškių rinkinių, apskritai neryškiems rinkiniams

atvejis:

A⋂̅A ≠∅, A∪ ̅A ≠ E

(kuris visų pirma iliustruotas aukščiau – neaiškių aibių vaizdinio vaizdavimo pavyzdyje).

komentuoti . Aukščiau pateiktos neaiškių rinkinių operacijos yra pagrįstos maksimalių ir min. operacijų naudojimu. Neaiškių aibių teorijoje plėtojami apibendrintų, parametrizuotų sankirtos, sąjungos ir papildinio operatorių konstravimo klausimai, leidžiantys atsižvelgti į įvairius atitinkamų jungčių „ir“, „arba“, „ne“ semantinius atspalvius.

Vienas iš sankryžos ir sąjungos operatorių būdų yra juos apibrėžti trikampių normų ir konormų klasė.

trikampė norma(t- norma) vadinama dviejų vietų realiąja funkcija T: x → , atitinkantis šias sąlygas:

Trikampių normų pavyzdžiai

min( µ A, μ B)

dirbti µ A· μ B

max(0, µ A+ μ B- 1 ).

trikampė konorma(t-konorma) vadinama dviejų vietų realiąja funkcija S: x → su savybėmis:

Pavyzdžiait-konormos

max ( µ A, μ B)

µ A+ μ B- µ A· μ B

min(1, µ A+ μ B).

Algebrinės operacijos su neaiškiomis aibėmis

Algebrinis produktas A ir Vžymimas A· V ir apibrėžiamas taip:

Algebrinė suma iš šių rinkinių yra pažymėta A+B ir apibrėžiamas taip:

Operacijų (-, +) atveju įvykdytos šios savybės:

Neatlikta:

komentuoti. Naudojant operacijas ( U, ⋂, + , ) kartu, išpildomos šios savybės:

Remiantis algebrinės sandaugos operacija, apibrėžiama operacija eksponencija α neaiškus rinkinys A, kur α yra teigiamas skaičius. neaiškus rinkinys A α nustatoma pagal narystės funkciją μ α A = μ α A ( x). Ypatingas eksponencijos atvejis yra:

1) CON( A) = A 2- operacija koncentracija (plombos);

2) DIL( A) = A 0,5- operacija tempimas,

kurie naudojami dirbant su kalbiniais neapibrėžtumais (1.4 pav.).

Ryžiai. 1.4. Koncentravimo (sutankinimo) ir tempimo operacijų sampratos iliustracija

Padauginimas iš skaičiaus. Jeigu α yra teigiamas skaičius toks, kad, tada neryškus rinkinysαAturi narystės funkciją:

μ αA (x) = αμA(x).

Išgaubtas neryškių rinkinių derinys. Leisti A 1 , A 2 ,..., An- neryškūs universalaus rinkinio rinkiniai E, a ω 1, ω 2, …, ωn yra neneigiami skaičiai, kurių suma lygi 1.

išgaubtas derinys A 1 , A 2 , ..., An vadinamas neaiškiu rinkiniu A su narystės funkcija:

Dekarto(tiesioginis) neaiškių rinkinių produktas. Leisti A 1 , A 2 , ..., An- neryškūs universalių aibių poaibiai E 1, E 2, ..., En atitinkamai. Dekartinis arba tiesioginis produktas A = A 1 x A 2 x... x An yra neryškus aibės poaibis E = E 1 x E 2 x... x En su narystės funkcija:

Neryškumo didinimo operatorius naudojamas aiškiems rinkiniams konvertuoti į neaiškius ir padidinti neaiškių rinkinių neryškumą.

Leisti A- neryškus rinkinys, E- universalus rinkinys ir tinka visiems Xϵ E yra apibrėžtos neaiškios aibės K(x). Viso visuma K(x) vadinamas neryškumo didinimo operatoriaus Ф branduoliu. Operatoriaus Ф veikimo neaiškiai aibe rezultatas A yra neryškus formos rinkinys

kur μ A (x) K (x) yra skaičiaus sandauga iš neaiškios aibės.

Pavyzdys . Leisti

E =(1,2,3,4); A \u003d 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0/3 + 0/4; KAM(1)= 1/1 + 0,4/2;

KAM(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; KAM(3) = 1/3 + 0,5/4; KAM(4)= 1/4.

Tada

Aiškus α lygio rinkinys(arba α lygis). Neaiškios aibės α lygio rinkinys A universalus komplektas E paskambino aišku poaibis A α universalus komplektas E, apibrėžta formoje

Ir α ={ x/μ A(x) ≥ α },

kur α ≤ 1.

Pavyzdys. Leisti A = 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4, tada A 0,3 = { x 3 , x 4 } , A 0,7 = {x 4} .

Gana akivaizdi savybė: jei α 1≥ 2, tada Ir α1≤ Ir α2.

Įsijungia. Tegu A ir B yra neaiškios aibės universaliojoje aibėje E. Sakome, kad A yra B, jei "x ОE m A (x) > m B (x). Žymėjimas: A М B.

Lygybė. A ir B yra lygūs, jei "xОE m A (x) = m B (x). Žymėjimas: A = B.

Papildymas. Tegul M = , A ir B yra neaiškios aibės, apibrėžtos E. A ir B papildo viena kitą, jei
"xОE m A (x) = 1 – m B (x). Žymėjimas: B = arba A = . Akivaizdu, . (Komplementas yra apibrėžtas M = , bet akivaizdu, kad jį galima apibrėžti bet kuriam tvarkingam M) .

sankryža. A Ç B yra didžiausias neryškus poaibis, vienu metu esantis A ir B;

m A Ç B(x) = min(m A ( x), m B ( x)}.

Union.A È B yra mažiausias neryškus poaibis, apimantis ir A, ir B, turintis narystės funkciją

m A È B(x) = maks ((m A ( x), m B ( x)}.

Skirtumas. A \ B = A Z su narystės funkcija:

m A \ B ( x) = min ( m A ( x), 1 – m B ( x)}.

Pavyzdžiui.

Tegu: A = 0,4/ x 1 È 0,2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

1. A Ì B, t.y. A yra B, C yra nepalyginamas nei su A, nei su B.

2. A ¹ B ¹ C .

3. = 0,6 / x 1 × 0,8 / x 2 × 1 / x 3 × 0 / x 4;
= 0,3 / x 1 × 0,1 / x 2 × 0,9 / x 3 × 0 / x 4.

Neryškiems rinkiniams galite sukurti vaizdinį vaizdą. Apsvarstykite stačiakampę koordinačių sistemą, kurios y ašyje nubraižytos reikšmės m A ( x), E elementai yra išdėstyti x ašyje savavališka tvarka (tokį vaizdavimą jau naudojome neaiškių aibių pavyzdžiuose). Jei E yra savaime sutvarkyta, pageidautina išlaikyti šią tvarką išdėstant elementus x ašyje. Toks vaizdavimas paprastas operacijas su neaiškiais rinkiniais daro vizualiai.

Ryžiai. 1. pav. 2

Ryžiai. 3. pav. 4.

Ant pav. 1, tamsioji dalis atitinka neaiškią rinkinį A ir, tiksliau, vaizduoja A diapazoną ir visus neaiškius rinkinius, esančius A. Fig. 2 – 4 duota atitinkamai , A Ç , AÈ .

Operacijų È ir Ç savybės.

Tegul A, B, C yra neaiškios aibės, tada galioja šie santykiai:

a) – komutaciškumas;

b) – asociatyvumas;

c) – idempotencija;

G) – paskirstymas;

e) AÈÆ = A, kur Æ yra tuščias rinkinys, t.y. m Æ (x) = 0"xÎE;

AÇE = A, kur E yra universalioji aibė;

e) – De Morgano teoremos.

Skirtingai nuo aiškių rinkinių, neaiškių rinkinių atveju bendruoju atveju AÇ Æ, AÈ ¹ E, kuris, visų pirma, iliustruotas aukščiau, vaizdinio neaiškių rinkinių pavyzdyje.

Algebrinės operacijos su neaiškiomis aibėmis

A ir B algebrinė sandauga žymima A × B ir apibrėžiama taip:

"xОE m A × B ( x) = m A ( x)m B ( x).

Šių aibių algebrinė suma žymima A + B ir apibrėžiama taip:

"xОE m A+В ( x) = m A ( x) + m B ( x)-m A ( x)m B ( x).

Atliekant operacijas (×, +), tenkinamos šios savybės:

· – komutaciškumas;

· – asociatyvumas;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E ;

- De Morgano dėsniai.

Neatlikta:

· – idempotencija;

· – paskirstymas;

taip pat A× = Æ, A+ = E.

Įrodykime pirmąjį De Morgano dėsnį. m A (x) pažymėkite a, m B (x) - b. Tada kairėje kiekvieno elemento x lygybės pusėje turime: 1 - ab, o dešinėje - pagal algebrinę sudėjimo formulę: (1 - a) + (1 - b) - (1 - a) (1 - b) = 1 - ab .

Įrodykime, kad negalioja pirmoji pasiskirstymo savybė, t.y. A × (B + C) ¹ (A × B) + (A × C). Kairėje pusėje turime: a(b+c – bc) = ab + ac - abc; dešinėje: ab + ac - (ab) (ac) = ab + ac + a 2 bc. Tai reiškia, kad pasiskirstymas negalioja a¹a 2 .

komentuoti. Kai operacijos (È, Ç,+, ×) naudojamos kartu, galioja šios savybės:

A × (B È C) = (A × B) È (A × C);

A × (B Ç C) \u003d (A × B) Ç (A × C);

A+(B È C) = (A+B) È (A+C);

A+ (B Ç C) = (A+B) Ç (A+C).

Dekarto neaiškių aibių sandauga. Tegu A 1 , A 2 , ..., A n yra atitinkamai neryškūs universalių aibių E 1 , E 2 , ..., E n poaibiai. Dekarto gaminys A = A 1 ´A 2 ´ ...´A n yra neryškus aibės E poaibis = E 1 "E 2". ... 'E n su narystės funkcija:

m A ( x 1 ,x 1 , ...,x n) = min( m A1 ( x 1), m A2 ( x 2) , ... , m Ai ( x n) ).

Apibendrinimo principas

Apibendrinimo principas, viena iš pagrindinių neaiškių aibių teorijos idėjų, yra euristinio pobūdžio ir naudojamas išplėsti neaiškių aibių apimtį iki atvaizdavimo. Sakysime, kad aibėje X yra apibrėžta fuzzy funkcija f, kurios reikšmė aibėje Y, jei ji kiekvienam elementui xОX priskiria elementą yОY, kurio narystės laipsnis m f (x,y). Neaiškioji funkcija f apibrėžia neaiškią atvaizdavimą f : X Y .

Apibendrinimo principas yra toks, kad tam tikram traškumui f: X®Y arba fuzzy f : X Y atvaizdavimas bet kuriai neaiškiai aibei A, apibrėžtai X, apibrėžiama neryški aibė f(A) ant Y, kuri yra A vaizdas.

Tegu f: X®Y yra duotas ryškus atvaizdavimas, o A = (m A (x)/х) yra neryški aibė X. Tada A vaizdas pagal atvaizdavimą f yra neryški aibė f(A) ant Y su narystės funkcija:

m f(A) (y) = ; yОY,

čia f –1 (y)=(x | f(x) = y).

Neryškaus atvaizdavimo atveju f : X Y, kai bet kuriems xОX ir yОY yra apibrėžta dviejų vietų narystės funkcija m f (x, y), neaiškios aibės A vaizdas, apibrėžtas X, yra neaiškioji aibė f( A) ant Y su narystės funkcija m f (A) (y) = ( min(m A (x), m f (x, y) ).

KONTROLINIAI KLAUSIMAI IR UŽDUOTYS

1. Tegu: A = 0,4/ x 1 È 0,2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

B = 0,7 / x 1 × 0,9 / x 2 × 0,1 / x 3 × 1 / x 4;
C = 0,1 / x 1 × 1 / x 2 × 0,2 / x 3 × 0,9 / x 4.

Konstruoti rinkinius: a) AÇB;

Taksi; B\A.

2. Universaliajam rinkiniui E = (Zaporožeciai, Žiguliai, Mercedes, Ferrari) tiesioginiu metodu sukonstruokite neaiškius rinkinius: a) „greitai“;

b) „vidutinis“;

c) „tylus“.

3. Tegu E = (1, 2, 3, ..., 100) ir atitinka „amžiaus“ sąvoką. Tiesioginis neaiškių rinkinių kūrimo metodas

a) „pagyvenę žmonės“;

b) „laikas tuoktis“;

c) „šauktinis“

ir sudaryti apytikslę atitinkamų narystės funkcijų formulę.

4. 2 uždavinio sąlygomis netiesioginiu metodu, remiantis poriniais elementų E palyginimais, sukonstruokite neaiškias aibes a) - c).

2 SKYRIUS. DVEJESINIAI SANTYKIAI

IR PASIRINKITE FUNKCIJĄ

4 paskaita. Operacijos su neaiškiais rinkiniais

Veiksmų, atliekamų su neaiškiomis aibėmis, apibrėžimas daugeliu atžvilgių panašus į operacijas su įprastomis (aiškiomis) aibėmis.

Lygiavertiškumas. Du neryškūs rinkiniai A ir V yra lygiaverčiai (tai
žymimas kaip ) tada ir tik tada, jei už viską, ką turime .

Ryžiai. 2.4. Operacijos su neaiškiais rinkiniais

Įsijungia. neaiškus rinkinys A esantis neryškiame rinkinyje V() Jeigu, ir tik jeigu

Asociacija, arba disjunkcija(disjunkcija), dvi neaiškios aibės A ir B atitinka loginę operaciją " ARBA“ ir apibrėžiamas kaip mažiausia neaiški aibė, kurioje yra ir A, ir B rinkiniai. Šio rinkinio narystės funkcija randama naudojant paėmimo operaciją maksimalus(2.4 pav., b)

sankryža, arba jungtis(jungtukas), atitinka loginę operaciją " IR“ ir apibrėžiamas kaip didžiausia neaiškioji aibė, kuri vienu metu yra abiejų rinkinių poaibis.

Aibės narystės funkcija išreiškiama naudojant radimo operaciją minimumas(2.4 pav., c)

Papildymas(papildyti) neryškus rinkinys A, žymimas (arba ¯| A), atitinka loginį neigimą " NE"ir nustatoma pagal formulę (2.4 pav., d)

Nesunku pastebėti, kad kalbant apie klasikinius „aiškus“ rinkinius, kuriems narystės funkcijos turi tik 2 reikšmes: 0 arba 1, formulės apibrėžia gerai žinomas loginių „ARBA“, „AND“, „ NE".

Pateiksime dar dviejų gana paplitusių neaiškių aibių operacijų apibrėžimus – algebrinę sandaugą ir neaiškių aibių algebrinę sumą.

Algebrinis produktas AB neryškūs rinkiniai A ir V apibrėžiamas taip:

Algebrinė suma:

Be aukščiau išvardytų, yra ir kitų operacijų, kurios yra naudingos dirbant su kalbiniais kintamaisiais.

Operacija koncentracija(koncentracija) CON(A) apibrėžiamas kaip neaiškios aibės algebrinė sandauga A apie save: tie.

Dėl šios operacijos taikymo rinkiniui A mažėja elementų priklausymo laipsnis Xšis aibė, o jei , tai šis sumažėjimas yra santykinai mažas, o elementų, turinčių mažą narystės laipsnį, santykinai didelis. Natūralioje kalboje šios operacijos taikymas vienai ar kitai kalbinio kintamojo A reikšmei atitinka stiprinančio termino „labai“ (pvz., „labai aukštas“, „labai senas“ ir pan.) vartojimą.

Operacija patempimai(išsiplėtimas) DIL(A) apibrėžiamas kaip

DIL(A)= A 0,5, kur

Šios operacijos veiksmas yra priešingas koncentracijos operacijos veiksmui ir atitinka neapibrėžtą terminą „pakankamai“, kuris atlieka sekančio (pagrindinio) termino susilpninimo funkciją. A: „gana aukštas“, „gana senas“ ir kt.

Galima įvesti kitų panašių reikšmių operacijų, kurios leidžia keisti kalbinio kintamojo reikšmes, taip padidinant jų skaičių. Taigi, terminas „daugiau nei“ gali būti apibrėžtas taip:

sudėtinis terminas „labai labai“:

Apsvarstykite šių operacijų taikymą toliau pateiktame iliustruojančiame pavyzdyje. Tegul kintamasis X apibūdina „žmogaus amžių“, X- intervalas. Tada neaiškius poaibius, apibūdinamus terminais „jaunas“ ir „senas“, galima pavaizduoti naudojant narystės funkciją (2.5 pav.).