Specialybė: Taikomoji matematika ir informatika bei Taikomoji matematika ir informatika

Dalykos „Stochastinės diferencialinės lygtys ir jų taikymas“ tikslas – įgyti žinių atsitiktinių procesų teorijos srityje, supažindinti studentus su skaitiniais stochastinių diferencialinių lygčių sprendimo metodais, suprasti atsitiktinių skaičių generatorius ir ištirti galimybę lygiagretinti programas naudojant OpenMP aplinką.

Kurso metu daroma prielaida, kad gautas teorines žinias atsitiktinių procesų teorijos srityje ir lygiagrečiojo programavimo įgūdžius studentai galės toliau panaudoti sprendžiant taikomąsias vienkartinių ir paskirstytų sistemų netiesinės dinamikos problemas, atsižvelgiant į triukšmą ir svyravimus.

Įsisavinęs discipliną, studentas privalo:

Žinoti:

– pagrindiniai skaičiavimo matematikos algoritmai stochastinės dinamikos uždaviniams spręsti, jų pritaikymo sąlygos.

Galėti:

– nustatyti ir profesionaliai įgyvendinti skaičiavimo algoritmus, reikalingus taikomiesiems stochastinės dinamikos uždaviniams spręsti, analizuoti gautus rezultatus;

– profesionaliai kurti ir naudoti programinę įrangą taikomųjų problemų sprendimui;

Atlikti įdiegtų skaitmeninių metodų teisingumo procedūras.

Savo:

– netiesinės dinamikos skaičiavimo metodai;

– modernios skaičiavimo priemonės.

1 tema. Vienkartinių dinaminių sistemų su triukšmo šaltiniais skaičiavimo metodai.

2 tema. Neautonominių dinaminių sistemų su triukšmo šaltiniais skaitmeninis tyrimas.

3 tema. Paskirstytų sistemų su triukšmo šaltiniais skaitmeninis tyrimas.

Praktinių užduočių atlikimas šiomis temomis

• „Atsitiktinių skaičių generatorių charakteristikų tyrimai“
• „Lygiagretizacija OpenMP aplinkoje“
• „Josefosono kontakto tikimybinių ir laiko charakteristikų skaitmeninis modeliavimas“
• „Triukšmo sukeltas poveikis keičiantis netiesinių sistemų generavimo charakteristikoms (rezonansinis aktyvavimas, koherentinis ir stochastinis rezonansas, triukšmo sukeltas atsako laiko padidėjimas)“

Literatūra

a) pagrindinė literatūra:

1. A.N. Malakhovas, Atsitiktinių ne Gauso procesų ir jų transformacijų kumuliantinė analizė, Maskva, Sovietų radijas, 1978).
2. K.V. Gardiner, Stochastiniai gamtos mokslų metodai, Maskva, „Mir“, 1986 m.
3. Į IR. Tikhonovas, M.A. Mironovas, Markovo procesai, Maskva, Sovietų radijas, 1977 m.
4. L.A. Pontriaginas, A.A. Andronovas, A.A. Witt, Apie statistinį dinaminių sistemų svarstymą, Eksperimentinės ir teorinės fizikos žurnalas. - 1933. - V. 3, Nr. 3. - S. 165-180.
5. A.N. Malakhovas, Savaiminių virpesių sistemų svyravimai, M.: Nauka, 1968, p. 660.

b) papildoma literatūra:

1. A.N. Malakhovas, A.L. Pankratov, Tikimybių skirstinių ir vidurkių evoliucijos laikai. Tikslūs Kramerso problemos sprendimai, Adv. Chem. Phys., 121, 357-438 (2002).

c) programinė įranga ir interneto ištekliai

http://www.df.unipi.it/~mannella/papers/algorithms/SDE_on_a_computer.pdf

OpenMP standarto aprašymas. http://parallel.ru/tech/tech_dev/openmp.html

Daugelio realių sistemų elgesys priklauso nuo svyravimų ir šia prasme nėra aprašytas griežtais deterministiniais dėsniais. Pavyzdžiui, Brauno judėjimas, galvanometro adatos virpesiai, elektros grandinių svyravimai ir tt Tokiais atvejais kalbama apie stochastiniai procesai, kurioje svarstomos tam tikrų specifinių sąlygų įgyvendinimo tikimybės. Tokiu atveju lygtys, lemiančios sistemos savybes, tampa atsitiktinių dydžių lygtimis, t.y. stochastines lygtis.

Yra trys pagrindiniai stochastinių diferencialinių lygčių tipai pagal formas, kuriomis atsitiktiniai elementai patenka į lygtį:

• 1) atsitiktinės pradinės sąlygos;
• 2) atsitiktinės veikimo jėgos;
• 3) atsitiktiniai lygties koeficientų pokyčiai, priklausantys nuo sistemos parametrų.

Tipiškas pirmojo tipo lygties pavyzdys yra dalelės judėjimo lygtis, nulemta dėsnių, kai atsitiktinis elementas atsiranda tik dėl pradinių sąlygų neapibrėžtumo.

Antruoju atveju nustatomas stochastinis procesas, kuris nustato sistemą veikiančią atsitiktinę jėgą. Tipiškas pavyzdys yra dalelės Brauno judėjimas veikiant atsitiktinėms jėgoms.

Trečiuoju atveju sistemos parametrai yra atsitiktiniai dydžiai. Pavyzdžiui, elektros grandinė, kurioje atsitiktinai keičiasi kondensatoriaus talpa.

Žinoma, galimos situacijos, kai atsitiktiniai elementai atsiranda dėl įvairių veikimo priežasčių derinio. Kaip pavyzdį, leidžiantį iliustruoti aprašytą problemą be išsamios įvairių tikimybinių momentų analizės, apsvarstykite pirmosios eilės stochastinę lygtį:

kuris apibūdina klasikinės dalelės vienmatį judėjimą veikiant greičiui proporcinga trinties jėga v(t)> ir tam tikra funkcija aprašyta „atsitiktinė“ jėga u(t).

Atkreipiame dėmesį, kad nepaisant to, kad (1) lygtis formaliai atrodo kaip antrasis Niutono dėsnis ir šia prasme yra „tiksli“ klasikinės dalelės mechaniniam elgesiui, iš tikrųjų ji yra pavyzdinė, nes joje naudojama pavyzdinė išraiška. pasipriešinimo judėjimui jėga nuolatinėje aplinkoje.

Formalus (1) lygties sprendimas parašytas kaip

tačiau atsitiktinis, nenuspėjamas funkcijos elgesys u(t) daro neįmanomą įprastą šios lygties sprendimo būdą, susijusį su integralo, įtraukto į (2) išraišką, skaičiavimu.

Norint toliau išspręsti problemą, būtina nurodyti atsitiktinės jėgos realizacijų ansamblį u(t) ir apskaičiuokite visas vertes, rodomas (2) šiame ansamblyje. Nurodydami vidutines vertes kampiniais skliaustais, gauname

Paprasčiausias atsitiktinio dydžio realizacijų ansamblis yra vadinamasis „baltasis triukšmas“, kuriame santykiai

kur 6 (m) yra Dirako 6 funkcija. Ryšiai (4) atitinka nepriklausomas atsitiktines dydžio reikšmes u(t) skirtingais laiko momentais. „Baltojo triukšmo“ (4) atveju (3) lygtis suteikia t.y. vidutinis dalelės greitis laikui bėgant mažėja pagal eksponentinį dėsnį. Apsvarstykite dabar (t 2 (f)). Atsižvelgiant į lygybę

naudodami (2) ir (4) gauname

Kai stengiamasi / ->

į vertę, lygią kt/t, kur į - Boltzmanno konstanta; T - absoliuti temperatūra. Taigi C/2a = kt/t, ir santykis (7) perrašomas į formą

Pusiausvyra praktiškai nustatyta laiko reikšmėmis / » 1 / a. Aproksimacija (4) naudojama Brauno judėjimo tipo procesams apibūdinti, kai nuo greičio priklausoma klampios trinties jėga egzistuoja net nesant terpės poveikio dalelei svyravimų. u(t) apibūdina visiškai atsitiktinę jėgą.

Dabar apsvarstykite koordinatės priklausomybę nuo laiko X Brauno dalelė. Darant prielaidą, kad x(0) = 0, turime

Tam gauname tokią išraišką:

Naudojant ryšius (2) ir (4) ( v(s)v(p)) mes turime:

Atsižvelgiant į (4) ir (8) ryšius, koreliacijos funkcija (v(s)v(p)) gali būti suteikta išvaizda

po kurio (x 2 (/)) turime

Pasirodo, kad vidutinės kvadratinės dalelių poslinkio vertės išraiška skiriasi dviem ribiniais atvejais, kai yra didelis (/ » 1 /a) ir mažas (/ /a) laikai. Naudodami (13) randame

Iš (14) matyti, kad dažniausiai Brauno dalelė juda stochastiškai. Priešingai, trumpą laiką, kaip matyti iš (15), sistema demonstruoja „dinaminį elgesį“, nors toks elgesys atitinka ne atskirą dalelę, o kokį nors vidutinį vaizdą, nes mes nekalbame apie x 2 (/ ), bet apie vidutinę šių kiekių vertę.

Atkreipkite dėmesį, kad du iš eilės būdingi sistemos raidos etapai, atitinkantys (14) ir (15) formules, atsiranda, kai (1) lygtyje naudojama greičiui proporcinga pasipriešinimo jėga. Pati tokia jėga nustatoma po tam tikro laiko/s, po kurio galima pavaizduoti pasirinktos dalelės sąveikos su aplinkinėmis dalelėmis rezultatą kaip tam tikrą vidutinę nuolat veikiančią jėgą. Todėl santykyje (15) teisingiau būtų rašyti tc Kartais mažiau tc, pasirinktos dalelės elgsena aprašoma grynai dinamiškai. Priimtu požiūriu tc veikia būtent kaip fenomenologinis parametras, kurį galima įvertinti arba apskaičiuoti tik detalesnio modelio rėmuose.

Apibendrinant stochastines sistemas, o ypač Brauno judėjimą, pristatoma pasiskirstymo funkcijų p(x 0 , / 0 |x, r), kurios nustato tikimybę rasti Brauno dalelė intervale (x, x + dx)šiuo metu /, su sąlyga, kad šiuo metu / 0 tai buvo taške xq. (Paprastumo dėlei dar kartą atsižvelgiama į vienmatį judėjimą.) Laikoma, kad pasiskirstymo funkcija yra normalizuota:

Be to, ši funkcija tenkina pradinę sąlygą, taigi

Perėjimo tikimybės, paimtos nuosekliems laiko intervalams, laikomos nepriklausomomis, taigi sandauga

atitinka tikimybę aptikti dalelę laiku t+dt srityje (x, x+dx), jei šiuo metu / 0 tai buvo taške x 0, o šiuo metu / - srityje (x, x "+ dx"). Integruoja visas tarpines būsenas X" momentu / gauname tikimybę p(dco, / 0 |x, t+dt). Taigi

Tai Smoluchovskio lygtis (netiesinė integralinė lygtis). Juo remiantis išvedama Fokker-Planck tiesinė diferencialinė lygtis, kuri plačiai naudojama vertinant stochastinių sistemų – dinaminių sistemų su svyruojančiais parametrais – savybes. Apsvarstymo apibendrinimas trimačiu atveju nėra sudėtingas ir veda prie dalinių diferencialinių lygčių.

Tiriant pačios įvairiausios prigimties stochastinius reiškinius, vadinamasis pagrindinė lygtis - valdančioji lygtis

Šiuo santykiu w- tikimybė, kad sistema bus būsenoje, kuriai būdingas charakteristikų rinkinys / (kvantiniai skaičiai, jei kalbame apie fizinę sistemą), RU- perėjimo iš būsenos per laiko vienetą tikimybė j pasakyti /: RU> 0. Teorinėje fizikoje (19) lygtis vadinama Pauli kinetinės pusiausvyros lygtimi, o tikimybės w, yra traktuojami kaip statistinio operatoriaus įstrižainės elementai jo pavaizdavimu.

Beveik „akivaizdu“ iš intuityvių svarstymų, ši lygtis gali būti pagrįsta naudojant gana griežtus svarstymus arba išvesta iš kitų lygčių, pavyzdžiui, naudojant Smollowski lygtį. Iš tiesų, įsivaizduokite tikimybę p(x), /| x, t+dt) kaip

kur pirmasis dešinėje pusėje esantis narys apibūdina tikimybę, kad dalelė liks po dt taške x“, o antrasis – tikimybė pravažiuoti per tą patį laiką dtį tašką x. Atsižvelgiant į normalizavimo sąlygą (16), ją lengva naudoti (20) ryšiui gauti

Pakeitę (20) į Smoluchovskio lygtį (18), atsižvelgdami į (21), gauname ryšį

Ryšys (22) tiesiogiai reiškia diferencialinę lygtį

kuri tiksliai atitinka (19) lygtį.

Pagrindinė lygtis (19) išsaugo tikimybių skirstinio normalizavimą ir yra atsipalaidavimo tipo lygtis: šia lygtimi aprašyta sistema laikui bėgant negrįžtamai atsipalaiduoja iki tam tikros nuo laiko nepriklausomos stacionarios būsenos. Pasirinkus vieną ar kitą modelio vaizdavimą perėjimo tikimybei f*, šią lygtį galima panaudoti įvairiems stochastiniams procesams apibūdinti. Visų pirma, Pauli lygtis apima, kaip ypatingą atvejį, Boltzmanno kinetinę lygtį ir kai kuriuos jos kvantinius apibendrinimus.

Šios lygties matematinio tyrimo patogumui ji perrašoma matricos forma būsenos vektoriui W su w komponentais:

kur A yra pereinamoji matrica su elementais

Realiosioms perėjimo tikimybėms /* matrica L yra hermitinė, t.y. jo savosios reikšmės yra tikros, o jo savieji vektoriai yra stačiakampiai. Formalus (24) lygties sprendimas parašytas kaip

kur W( 0) yra būsenos vektorius pradiniu laiko momentu. Ermitiška matricos A savybė leidžia lengvai įrodyti (19) lygties atsipalaidavimo pobūdį.

Užduotys ir pratimai

• 1. Parodyk tai v(t), apibrėžta formule (2) yra (1) lygties sprendimas.
• 2. Įrodykite (6) ir (7) ryšių pagrįstumą.
• 3. Gauti koeficientą (12).
• 4. Gaukite (x 2 (/)) formulę (13).
• 5. Naudodamiesi (13), įrodykite ryšius (14) ir (15).
• 6. Naudodami ryšius (5) ir (9), raskite reikšmę (*(/)) ir analizuokite rezultatą dviem ribojančiais atvejais: adresu ir i/»1. Palyginkite su (14) ir (15) santykiais.
• 7. Gauti koeficientą (22).

Programa

kursas "Stochastinės diferencialinės lygtys"

lektorius A. V. Bulinskis

(Maskvos fizikos ir technologijos instituto Aukštosios matematikos katedra)

Kai kurios užduotys , todėl atsiranda stochastiniai įprastų diferencialinių lygčių analogai (stochastiniai modeliai, atsirandantys fizikoje, technologijoje, biologijoje ir finansinėje matematikoje).

Pagalbinis matematinis aparatas. Sąlyginis matematinis lūkestis ir jo savybės (tiesiškumas, „teleskopiškumas“, Jenseno nelygybė ir kt.). Filtruotos tikimybių erdvės. Stabdymo momentai, jų savybės, pavyzdžiai. Martingalai, submartingalai, supermartingalai su diskrečiu ir nenutrūkstamu laiku. esminės nelygybės. Konvergencijos teoremos. Vietiniai martingalai ir pusmartingalai. Doob-Meyer skilimas. Ištisiniai ir kvadratiniai integruojami martingalai.

Brauno judesys (Wiener procesas), įvairūs jo dizainai. Trajektorijos elgsena: nediferencijavimas su viena tikimybe, vietiniai maksimumai, augimo taškai. Braunų šeima. Brauno judėjimo (šeimos) markoviškųjų ir griežtai markoviškų savybių variantai. Taikymas ribinių verčių uždaviniams spręsti (Dirichlet problema). Feynmano-Katzo formulė. Vietinis Brauno judėjimo laikas, priedinės funkcijos. Vektorius Brauno judesys. Beselio procesai. Fraktalinis Brauno judesys.

Stochastinis skaičiavimas. Itô integralo konstrukcija, integralo savybės (įskaitant Itô integralo martingale savybę su kintama viršutine riba). Stratonovičiaus integralas. Ryšys tarp dviejų tipų stochastinio integralo. Pusiau martingale integracija. Itô kintamųjų kitimo formulė ir tolesni jos apibendrinimai. Pavyzdžiai.

Stochastinės diferencialinės lygtys. Stiprūs ir silpni sprendimai. Egzistencijos problemos ir sprendimų unikalumas (stiprioje ir silpnoje formoje). Skorohod, Yatamada ir Watanabe rezultatai. Langevino lygties sprendimas. Ornstein-Uhlenbeck procesas. Stochastinės diferencialinės lygties stipraus sprendinio Markovo savybė. Engelberto-Schmidto teorema. Cameron-Martin-Girsanov transformacija kaip silpnų sprendimų konstravimo metodas. Strukos-Varadano Martingale uždavinys, ryšys su stochastinėmis diferencialinėmis lygtimis. Įvairūs difuzijos procesų tyrimo metodai.

Stochastinių diferencialinių lygčių taikymas. Filtravimo problemos (Kalman-Bucy filtras). Optimali stabdymo problema. Stochastinė kontrolė. Difuzijos akcijų kainos modelis: nuo Bachelier modelio iki Samuelsono modelio. Pasirinkimai, teisinga kaina. Black-Scholes formulė. Optimali investicija ir vartojimas.

Tolesnis tyrimas. Kvantinių stochastinių diferencialinių lygčių samprata ir Markovo atvirųjų kvantinių sistemų evoliucija. Stochastinių diferencialinių lygčių uždaviniai dalinėse išvestinėse. Kai kurie stochastinių diferencialinių lygčių skaitinio sprendimo metodai.

Literatūra

1. Oksendal B. Stochastinės diferencialinės lygtys. MCMIO, 2002 m.

2. Shiryaev A.N. Stochastinės finansinės matematikos pagrindai, v.1,2. M: Fazis, 1998 m.

3. Zhakod Zh., Shiryaev A.N. Atsitiktinių procesų ribinės teoremos, v.1,2. M: Fizmatgiz, 1994 m.

4. Bulinskis A.V., Širyajevas A.N. Atsitiktinių procesų teorija. M: Fizmatlit, 2003 m.

5. Kallenberg O. Šiuolaikinės tikimybės pagrindai. Springeris, Niujorkas, 1997 m.

6. Karatzas I., Shreve S.E. Brauno judėjimas ir stochastinis skaičiavimas. Springeris, Niujorkas, 1997 m.

7. Parthasarathy K.R. Įvadas į kvantinį stochastinį skaičiavimą. Birkhauseris, Bazelis, 1992 m.

Grįžkime prie pirmos eilės dinaminės lygties (sistemos su 1/2 laisvės laipsnių), kurios pavyzdys buvo mažų amplitudės svyravimų lygtis autogeneratoriuje [pirmoji formulė (29.1)], t.y. forma

Tą pačią lygtį sprendžiame nagrinėdami masės dalelės greičio ir vienmačio judėjimo terpėje, kurioje yra klampi trintis, arba šios dalelės poslinkio s, bet neturinčios masės ir susietos su spyruokle, kurios elastingumo koeficientas, uždavinius, arba įtampa V talpos kilpoje arba o srovė I grandinėje ir kt.

Remiantis tuo, kas buvo pasakyta § 28, tikimės, kad veikiant dinaminei sistemai (35.1) pakankamai „storūs“ (palyginti su nusistovėjimo laiku) vienarūšiai sukrėtimai, atsakas bus nuolat vienalytis.

Markovo procesas su perėjimo tikimybe, atitinkančia Einšteino-Fokkerio lygtį

y., lygtis (29.2), bet vienmačiu atveju, kai nėra v priklausomybės nuo antrojo kintamojo. 28 paragrafe motyvuotu būdu koeficientas (35.2) prilyginamas x išraiškai, ty dešiniajai (35.1) lygties pusei:

Esant pradinei sąlygai

(35.2) lygties sprendinys išreiškiamas normaliuoju dėsniu

[cm. (29.5) ir (29.6)]. Riboje , ty t , formulė (35.3) pereina į stacionarų skirstinį, nepriklausomą nuo . Greičio ir dalelių klampioje terpėje problema, kai pasiskirstymas turi būti Maksvelo:

taigi iš kur panašios B išraiškos gali būti parašytos likusiose aukščiau išvardytose užduotyse - tiesiog kaip energijos pasiskirstymo tarp laisvės laipsnių teoremos pasekmė: vidutinė sistemos su 1/2 laisvės laipsnių energija turėtų būti lygi (tokiu atveju

Tai yra grynai tikimybinė schema, skirta svyravimų problemai išspręsti remiantis pradinėmis prielaidomis. Dabar darysime kitaip. Į (35.1) lygtį įtraukiame atsitiktinę (arba svyravimo) jėgą:

Jei konkretumo dėlei aptariame dalelės judėjimo neribotoje klampioje terpėje problemą, tai kalbame apie judėjimo lygtį

kurioje terpės poveikis dalelei yra padalintas į dvi dalis: sisteminę trinties jėgą ir atsitiktinę jėgą

Darydami prielaidą, kad sisteminė trinties jėga išreiškiama Stokso dėsniu (turime sferinės spindulio dalelės a , kur yra skysčio klampumas), darome dvi prielaidas.

Pirma, turi būti tenkinama laminarinio srauto aplink dalelę sąlyga, ty Reinoldso skaičiaus mažumas:

kur yra skysčio tankis. Jei ir imsime šiluminio judėjimo vidutinio kvadratinio greičio reikšmę [ir yra dalelės medžiagos tankis], t.y., atsižvelgsime į greičiausius dalelės virpesius, tada

Esant , turime, kad net ir molekuliniams dydžiams a suteikia reikšmę. Taigi laminarumo sąlyga yra įvykdyta.

Antra, visa sisteminė jėga, veikianti rutulį, judantį klampiame nesuspaudžiamame skystyje, yra, pasak Boussin,

kur pridėta masė lygi pusei masės, kurią išstumia skysčio dalelė. (35.6) lygtyje iš bendros jėgos F išlaikomas tik pirmasis narys. Tačiau antrajai ir trečiajai tos pačios eilės terminams su . Kalbant apie tai, tai nėra reikšminga, nes šio termino vaidmuo sumažinamas tik iki dalelės efektyvios masės pasikeitimo. Svarbesnis yra trečiasis terminas, išreiškiantis klampų hidrodinaminį poveikį (žr. §§ 15 ir 21), į kurį atsižvelgiant sistema įgyja begalinį laisvės laipsnių skaičių.

Esant klampiam (taigi tikimybiniam) poveikiui, vidutinį dalelių poslinkio kvadratą nustatė V. V. Vladimirskis ir Ya. P. Terletskis. Įprasta išraiška, pasirodo, galioja tik pakankamai dideliems laiko intervalams t, palyginti su atsipalaidavimo laiku. Apsiribojame supaprastinta uždavinio formuluote, remiantis (35.5) lygtimi.

Šią stochastinę lygtį traktuosime taip, lyg tai būtų įprasta diferencialinė lygtis.

Integruodami jį pradine sąlyga, gauname

Kadangi, darant prielaidą, atsitiktinių jėgų visumos vidurkis (35,7)

y., x, gaunamas toks pat dinaminis dėsnis, kaip ir iš (35.1) lygties ir iš Einšteino-Fokkerio lygties (35.2). Dabar suraskime dispersiją. Pagal (35.7) ir (35.8)

ir todėl norint gauti, būtina nustatyti atsitiktinės jėgos koreliacijos funkciją. Galite nurodyti bet kurią koreliacijos funkciją, kurią leidžia bendrieji jos formos apribojimai, tačiau mes darysime specialią prielaidą, būtent, manysime, kad tai yra stacionarus delta koreliacinis procesas:

kur C yra konstanta. Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu jėgos impulsas

yra nuolatinė atsitiktinė funkcija su nepriklausomais prieaugiais, todėl paprastai pasiskirsto bet kuriame t (§ 34).

Pakeitę (35.10) į (35.9), randame

(35.11)

Jei įdėsime , tai sutaps su išraiška (35.4), gauta iš Einšteino-Fokkerio lygties (35.2).

Radome tik akimirkas, bet galima teigti ir daugiau. Kadangi impulso prieaugis paprastai paskirstomas kiekvienam, skirtumas pagal (35.7) yra normaliai paskirstytų dydžių suma (arba, tiksliau, sumos riba). Vadinasi, skirstinys taip pat pateikiamas Gauso sklaidos dėsniu (35.11). Tai yra sąlyginis skirstinys (darant prielaidą ), jei imamas tiesiog sutampa su (35.3). Be to, tiesioginiu pakeitimu nesunku patikrinti, ar tokio pobūdžio sąlyginės tikimybės tenkina Smoluchovskio lygtį (tai yra perėjimo tikimybės), t. y. procesas pasirodo esąs Markovo. Taigi, jei stochastinėje diferencialinėje lygtyje (35.5) atsitiktinė jėga ) yra stacionari ir delta koreliuota [žr. (35.10)], tada atsakas yra difuzinis Markovo procesas, kurio perėjimo tikimybė tenkina Einšteino-Fokkerio lygtį su

Abu metodai, pagrįsti Einšteino-Fokkerio lygtimi ir stochastine atsitiktinės funkcijos diferencialine lygtimi, yra lygiaverčiai nagrinėjamoje užduotyje. Tai, žinoma, nereiškia, kad jie yra identiški už šios užduoties ribų. Pavyzdžiui, Einšteino-Fokkerio lygtis turi neabejotiną pranašumą tais atvejais, kai yra taikomi tam tikri apribojimai galimų atsitiktinės funkcijos reikšmių rinkiniui (atspindinčių ar sugeriančių sienelių buvimas ir pan.), į kuriuos atsižvelgiama. tiesiog pagal atitinkamas ribines sąlygas. Langevino problemos formuluotėje tokius apribojimus įvesti gana sunku. Kita vertus, kaip jau buvo pabrėžta, Langevin metodas nereikalauja, kad jėga būtinai turi būti koreliuota su delta.

Verta paminėti, kad tik delta koreliuotos jėgos atveju diferencialinės lygties (35.5) veikimas tam tikra prasme yra sąlyginis. Ši lygtis parašyta ne x, o momentinei vertei. Tačiau esant be galo dažniems sukrėtimams, atsakas nėra diferencijuojama funkcija, t. y. jos neegzistuoja (bet kokia tikimybine išvestinės sąvokos prasme). Taigi visa „diferencialinė lygtis“ turi tik tam tikrą simbolinę reikšmę. Tai turėtų būti suprantama taip.

Formali lygties (35.5) integracija veda į sprendinį (35.7), kuriame nebėra problemų, nes joje yra delta koreliuota dila tik po integralu. Kitaip tariant, lygtis (35.5) -

tai (nagrinėjamos delta koreliacinės jėgos atveju) yra matematiškai neteisingas šios lygties tolesnio – jau gana prasmingo ir galiausiai vienintelio mus dominančio – sprendimo žymėjimas. Šio požiūrio pagrindimas yra gerai žinomi veikimo diferencialinėmis lygtimis privalumai nustatant problemą – galimybė vadovautis bendraisiais dinaminiais dėsniais, galimybė panaudoti visą esamą matematinių įrankių arsenalą sprendimui gauti ir tt Mes esame jau nekalbant apie tai, kad su delta koreliacija ne viskas išlygos tampa perteklinės: stochastinės diferencialinės lygtys pačioms atsitiktinėms funkcijoms tada įgyja visiškai apibrėžtą matematinį turinį ir, be to, leidžia peržengti Markovo procesų klasę.

Konstanta C koreliacijos funkcijoje (35.10) akivaizdžiai apibūdina atsitiktinių smūgių intensyvumą. Grįžkime prie kintamųjų, kuriuose sistemos jėga ir atsakas yra energetiškai konjuguoti, t.y. jėgos sandauga ir atsako išvestinė yra sistemai suteikta galia. Tai pasakytina, pavyzdžiui, jėgai lygtyje (35.6), nes dalelei suteikta galia yra . (35.6) lygtis patenka į (35.5), padalijus iš dalelės masės m. Taigi, kad esamos jėgos koreliacijos funkcija pagal (35.10) yra

Aukščiau mes nustatėme, kas ir kas yra Brauno dalelės greičio uždavinyje. Todėl jėgos koreliacijos funkcijos konstanta C yra

y., ji susijusi tik su sisteminės trinties koeficientu h. Srovės -kilpoje problemą reikėtų suprasti atsitiktine termine (§ 28), o h - aktyviąja kilpos varža R, kad koreliacijos konstanta bus

Anatolijus Afanasjevičius LEVAKOVAS

STOCHASTINIS

DIFERENCIALUS

LYGTYBĖS

Levakovas, A. A. Stochastinės diferencialinės lygtys/

BET. A. Levakovas. Minskas: BGU, 2009. 231 p. ISBN 978-985-518-250-5.

AT Monografijoje pateikiama stochastinių diferencialinių lygčių teorija, kuri yra viena pagrindinių atsitiktinių procesų tyrimo priemonių. Nagrinėjamos trys stochastinių diferencialinių lygčių teorijos dalys: egzistencijos teoremos, stabilumo teorija ir integravimo metodai. Pateikiami funkcinės analizės faktai, daugiareikšmio atvaizdavimo teorija ir atsitiktiniai procesai, kuriais grindžiamas knygos pristatymas.

Tikimybių teorijos, diferencialinių lygčių teorijos ir jų taikymo srities specialistams, taip pat dėstytojams, magistrantams ir universitetų matematikos fakultetų studentams.

Bibliografija: 171 pavadinimas.

Paskelbta Baltarusijos valstybinio universiteto Redakcinės ir leidybos tarybos sprendimu

Recenzentai: Baltarusijos nacionalinės mokslų akademijos narys korespondentas,

fizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius L. A. Janovičius; Fizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius N. V. Lazakovičius

ISBN 978-985-518-250-5

c Levakovas A. A., 2009 m

2.3. Stochastinių diferencialinių lygčių β-silpnųjų sprendinių egzistencijos teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4. Stiprus ir silpnas egzistavimas, trajektorijos požiūriu ir silpnas unikalumas stochastinėms diferencialinėms lygtims ir inkliuzams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.5. nekintamieji rinkiniai. Stochastinių diferencialinių inkliuzų perspektyvių sprendinių egzistencijos teorema. . . . . . . . . . . . 126

2.6. Stochastinių diferencialinių lygčių su atspindžiu nuo ribos sprendinių egzistencijos teoremos. . . . . . . . . . . 139

2.7. Vienmatės stochastinės diferencialinės lygtys. . . . . . . . . 142

3 SKYRIUS. STOCHASTINIŲ DIFERENCINIŲ LYGČIŲ IR ĮSKAIČIŲ SPRENDIMŲ SAVYBĖS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1. Stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių priklausomybė nuo pradinių sąlygų. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.2. Stochastinių diferencialinių lygčių stabilumo tyrimas Liapunovo funkcijų metodu. . . . . . . . . 157

3.3. Stochastinių diferencialinių lygčių stabilumo netiesinėje aproksimacijoje tyrimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4. Ribumo kriterijus tiesinių stochastinių diferencialinių sistemų sprendimų vidutiniame kvadrate. . . . . . . . . . . . . . . 174

3.5. Asimptotinė lygiavertė įprastos diferencialinės lygties ir sutrikusios stochastinės diferencialinės sistemos vidutiniame kvadrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.6. Stochastinių sistemų charakteristiniai rodikliai kvadratu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4 SKYRIUS. STOCHASTINIŲ DIFERENCINIŲ SISTEMŲ INTEGRAVIMO METODAI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.1. Elementarios stochastinės diferencialinės sistemos. . . . . . . . . 188

4.2. Kolmogorovo lygtys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.3. Sąlyginių matematinių lūkesčių diferencialinės lygtys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

SUBJEKTŲ RODYKLĖ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

PAGRINDINIŲ SIMBOLIŲ SĄRAŠAS

B(x0 , r)

C(R+, X)

rutulys metrinėje erdvėje (X, ρ), kurio centras yra taške x0, kurio spindulys r, (x X | ρ(x, x0 )< r}

komplekto A papildymas

perkelta matrica

Topologinės erdvės T Borelio σ-algebra

komplekto išgaubto korpuso uždarymas A

visų netuščių uždarų X aibės poaibių šeima

visų netuščių kompaktiškų aibės X poaibių šeima

visų netuščių kompaktiškų išgaubtų aibės X poaibių šeima

apibrėžtų tęstinių funkcijų erdvė

βt (C(R+, X))

F ([x]δ )

δ = coF([x]δ )

Lp (T, E)

Scc(X)

sub-σ-algebra β(C(R+ , X)), sukurta f(s), 06 s6 t

aibių F (x1 ) jungties uždarymas visame x1, kad ρ(x, x1 )6 δ

aibės F išgaubto korpuso uždarymas ([x]δ )

integruojamųjų lygiavertiškumo klasių erdvė

pagal Bochnerį funkcijų f: T → E tokių, kad kfkp =

T kf(t)kp dτ< ∞

visų X aibės poaibių šeima

visų X aibės uždarų išgaubtų poaibių šeima

matematinis atsitiktinio dydžio x lūkestis

atsitiktinio dydžio x tikimybių skirstinys

natūraliųjų skaičių rinkinys

realiųjų skaičių rinkinys

R d×r

δij

δ(a)

tr(A) (Ω, F, P)

1A(x)

SSDU a.c. b.s.

a b = min(a, b) a b = max(a, b) f g ha, bi kak

aibė neneigiamų realiųjų skaičių ε = (x X|ρ(x, A)6 ε)

ε rinkinio kaimynystė A

α¯(A, B) = sup(ρ(x, B)|xA)

pusiau nuokrypis pagal Hausdorffo rinkinį

va A iš rinkinio B

α(A, B) = maks.(α¯(A, B), α¯(B, A))

Hausdorfo aibių A ir B nuokrypis

ĮVADAS

Realaus objekto, veikiančio natūralaus triukšmo sąlygomis, elgesiui būdingas tam tikras neapibrėžtumas, be to, sudėtingų sistemų valdymo sistemose dažniausiai dalyvauja žmonės, kuriems būdingas tam tikras elgesio neapibrėžtumas. Tokių sistemų aprašymas naudojant deterministinius metodus ne visada atspindi tikrąjį objekto funkcionavimo vaizdą. Jei proceso modelis yra diferencialinė lygtis dx(t) = f(t, x(t)) dt, tai norint gauti modelį, kuriame atsižvelgiama į baltojo triukšmo trukdžius, g(t, x(t) formos terminas ) pridedamas prie diferencialinės lygties dW (t) dešinės pusės ir apsvarstykite stochastinę diferencialinę lygtį

dx(t) = f(t, x(t)) dt + g(t, x(t)) dW (t)

arba integralia forma

kur antrasis integralas yra Itô integralas per Brauno judesį W(t). Stochastinių integralų ir stochastinių diferencialinių lygčių atsiradimas ir raida siekia S. N. Bernshtein, K. Ito, I. I. Gikhman. Iki šiol yra didžiulė literatūra, skirta stochastinėms diferencialinėms lygtims, kurių teorija ir toliau intensyviai plėtojama. K. Ito pirmasis parodė, kad Lipšico funkcijoms f ir g lygtis (0,1) turi unikalų stiprų sprendimą, tačiau taikymams, ypač kontroliuojamų atsitiktinių procesų teorijai, svarbu įrodyti egzistavimo ir unikalumo teoremas silpnesnėmis sąlygomis. f ir g žemėlapiuose. A. V. Skorokhod pristatė naują sprendimo koncepciją ¾silpnas sprendimas¿, darydamas prielaidą, kad sprendimas gali būti apibrėžtas atitinkamoje tikimybių erdvėje su atitinkamu Brauno judesiu. Tai leido įrodyti egzistavimo teoremą sprendiniams lygties koeficientų tęstinumo sąlygomis. At

Įrodyme naudotas Eulerio laužtinių linijų analogas, tačiau iš gautos procesų sekos konvergencinės posekos pasirinkti neįmanoma. A. V. Skorokhodas, pereidamas į skirtingą tikimybių erdvę ir į skirtingą procesų seką, bet su tais pačiais pasiskirstymo dėsniais, sukonstravo procesų seką, konverguojančią į lygties sprendimą. Šiuo metu šis metodas naudojamas daugumos egzistavimo teoremų įrodymui. Kitas svarbus žingsnis – gauti N. V. Krylovo stochastinių integralų skirstinių įverčius ir jais įrodyti egzistavimo teoremą silpniems stochastinės diferencialinės lygties (0.1) sprendiniams su Borelio išmatuojamomis apribotomis funkcijomis f, g

ir ne vienaskaita matrica g (ν, λ, λ> gg > λ > νkλk). Ši teorema parodo esminį skirtumą tarp stochastinių diferencialinių lygčių ir įprastų sistemų. Lygtis x˙ = f(t, x) su išmatuojama funkcija f apskritai neturi sprendinių. Vėliau matricos g neišsigimimo būklė susilpnėjo. Tačiau norint, kad stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių egzistavimo teorema apimtų sprendinius, panašius į įprastų diferencialinių lygčių slydimo režimus, pavyzdžiui, judėjimą paviršiumi, kuriame dreifo koeficientas f yra netolydus, o difuzijos koeficientas g lygus nuliui, reikia praeiti, lygiai taip pat

ir įprastoms diferencialinėms lygtims – į atitinkamus stochastinius diferencialinius inkliuzus. Kadangi valdymo tikslas dažnai yra tiksliai slydimo režimų gavimas, nes jie silpnai priklauso nuo išorinių poveikių, tokių sprendimų egzistavimo teoremų įrodymas yra svarbi užduotis. Daug dėmesio knygoje skiriama įvairių tipų stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių egzistavimo problemoms.

Silpni sprendiniai naudojami tiriant tas lygčių savybes, kurios yra susietos su matu trajektorijų erdvėje, pvz., procesų stabilumą, tikimybinį sprendinių vaizdavimą ir kt. Bet jei reikia atsižvelgti į konkrečią trajektorijos, pavyzdžiui, difuzijos procesų valdymo teorijoje, filtravimo teorijoje, tada svarstykite stiprius sprendimus. Įrodant tvirtųjų sprendinių egzistavimo teoremas, svarbų vaidmenį atlieka

atitinka Yamada Watanabe principą: silpnų sprendimų buvimas ir trajektorijos unikalumas reiškia tvirtą egzistavimą. Atkreipkite dėmesį, kad principas taikomas įvairiose situacijose: stochastinėms diferencialinėms lygtims, stochastinėms diferencialinėms lygtims su atspindžiu nuo ribos, stochastiniams diferencialiniams inkliuzams. Stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių egzistavimo ir unikalumo problemą galima apibūdinti taip. Yra lygčių, kurios neturi silpnų sprendinių. Yra lygčių, kurios turi silpnus sprendinius tam tikroje tikimybių erdvėje su tinkamu Brauno judesiu, o kitose tikimybių erdvėse su skirtingais Brauno judesiais sprendinių gali nebūti. Jei yra kelio unikalumas ir lygtis turi silpną egzistavimo savybę, tai bet kurioje tikimybių erdvėje su bet kokiu Brauno judesiu yra unikalus sprendimas, ir jis yra stiprus.

Knyga rodo, kad bet kokia lygtis

dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t)

su Borelio išmatuojamomis lokaliai ribotomis funkcijomis f, g turi silpną sprendinį, bet silpnu sprendimu turime omenyje silpną stochastinės inkliuzijos sprendimą

dx(t) F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dW (t),

čia F (t, x), G(t, x) yra kai kurie nustatytos reikšmės atvaizdai, atitinkantys funkcijas f ir g.

Svarstome tik Markovo tipo difuzijos lygtis. Tokios lygtys buvo tiriamos ilgą laiką. Tačiau filtravimo teorijoje, fizikoje atsiranda stochastinės dalinės diferencialinės lygtys, kurios, kaip taisyklė, gali būti interpretuojamos kaip stochastinės lygtys Hilberto ar Banacho erdvėje. Tiriant daugelį ekonominių problemų, lygtis tenka nagrinėti ne Brauno judėjimo, o kai kurių pusmartingalų požiūriu. Šiuo metu sėkmingai plėtojama stochastinių lygčių pusiau martingalų teorija Banacho erdvėje ir, nepaisant reikšmingos situacijos sudėtingumo, daugelis

lygčių baigtinių matmenų erdvėse metodai ir idėjos ir toliau veikia Banacho erdvėje su atitinkamais pakeitimais.

Pirmasis skyrius skirtas funkcinės analizės informacijos pateikimui, atsitiktinių procesų teorijai, dinaminių sistemų teorijai.

ir monografijoje naudojami diferenciniai inkliuzai. Knyga pirmiausia skirta Taikomosios matematikos ir informatikos fakulteto studentams ir Baltarusijos valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakultete, o siūlomą informacijos versiją padiktuoja tie fundamentinės matematikos kursai, kurie yra dėstomi šiuose fakultetuose, taip pat stochastinių diferencialinių lygčių teorijos poreikiai. Žinoma, informacijos rinkinys negali būti laikomas išsamiu.

AT 2 skyriaus 2.1, 2.4, 2.7 skyriuose įrodomos stochastinių diferencialinių lygčių ir inkliuzų silpnųjų ir stipriųjų sprendinių egzistavimo teoremos, kurios taip pat apima įprastų diferencialinių lygčių slankiojo režimo tipo sprendinius.

Jei lygtis nagrinėjama kurioje nors srityje D, tai trajektorijoms pasiekus ribą D, viena iš jų tolesnio tęsimo galimybių yra atspindėti nuo ribos į sritį. Poveikis sprendiniui ties riba pateikiamas kaip tam tikras stochastinės lygties dreifas, t. y. lygtis dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t) + dK (t), kur K(t) yra nuolatinis ribotos kitimo procesas, kuris didėja tik ties riba. Pirmą kartą difuzijos procesus su atspindžiu iš tiesios linijos tyrė A. V. Skorokhod. Skorokhodo problemos tyrimas

ir darbai skirti jo taikymui stochastinėse diferencialinėse lygtyse. Bendriausios sąlygos, užtikrinančios silpnų stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių su atspindžiu nuo ribos egzistavimą, pateiktos (1.54 teiginys). Straipsnyje buvo nagrinėjami įvairūs problemos aspektai. Stochastinių diferencialinių inkliuzų su atspindžiu nuo ribos silpnųjų sprendinių egzistavimo teorema nustatyta 2.6 skyriuje.

Sprendimai, kurie visoms t > 0 priklauso duotai aibei K, vadinami gyvybingais. Pirmosios sąlygos