Raskite atsitiktinių dydžių sprendimų pavyzdžių būdingąją funkciją. §20. Būdingos funkcijos

Duota visoje skaitinėje ašyje pagal formulę

X. f. atsitiktinis kintamasis X pagal apibrėžimą yra X. f. jo tikimybių pasiskirstymas

Metodą, susijusį su X. f vartojimu, pirmiausia panaudojo A. M. Lyapunovas, o vėliau tapo vienu iš pagrindinių analitinių. tikimybių teorijos metodai. Jis ypač efektyviai naudojamas, pavyzdžiui, įrodant tikimybių teorijos ribines teoremas. Centrinė ribinė teorema nepriklausomiems identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių su 2 momentais redukuojasi į elementarų ryšį

Pagrindinės X. f savybės. 1) ir yra teigiamas apibrėžtasis, t.y.

Bet kokiems baigtiniams kompleksinių skaičių ir argumentų rinkiniams

2) tolygiai ištisinis visoje ašyje

4)visų pirma, ima tik realias reikšmes (ir yra lygi funkcija) tada ir tik tada, kai atitinkama tikimybinė funkcija yra simetriška, t. y.

5) X. f. vienareikšmiškai apibrėžia priemonę; cirkuliacija vyksta:

Bet kokiems intervalams (a, 6), kurių galuose yra m matas nulis. Jei ji yra integruojama (absoliučiai, jei suprantama Riemanno prasme), tai atitinkama skirstinio funkcija turi ri

6) X. f. dviejų tikimybių matų konvoliucijos (dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos) yra jų X. f.

Šios trys savybės išreiškia ryšį tarp atsitiktinio dydžio momentų egzistavimo ir jo X lygumo laipsnio. f.

7) Jei kai kuriems natūraliems P, tada visiems teigiamiems sveikiesiems skaičiams yra r eilės išvestinės iš X. f. atsitiktinis dydis X ir lygybė

8) Jei yra, tada

9) Jei už visus

tada visiems

Naudojant metodą X. f. daugiausia remiasi anksčiau nurodytomis X. funkcijos savybėmis, taip pat dviem toliau pateiktomis teoremomis.
Bochnerio teorema (X. f. klasės aprašymas). Tegul funkcija f yra apibrėžta ir f(0)=1. Kad f būtų X. f. tam tikras tikimybės matas, būtinas ir pakanka, kad jis būtų tęstinis ir teigiamas apibrėžtas.
Levio teorema (korespondencija). Leisti būti tikimybių priemonių seka ir būti jų X seka. f. Tada silpnai konverguoja į tam tikrą tikimybės matą (t. y. savavališkai nuolatinei ribotai funkcijai, kai n tik tada, kai ji konverguoja kiekviename taške į kokią nors ištisinę funkciją f; konvergencijos atveju funkcija Iš to išplaukia, kad santykinė (silpno prasme) tikimybių matų šeimos konvergencija) yra lygiavertis atitinkamos X šeimos lygiateisiškumui ties nuliu. f.
Bochnerio teorema leidžia pažvelgti į Furjė-Stieltjeso transformaciją tarp tikimybių matų pusgrupės (atsižvelgiant į konvoliucijos operaciją) ir pusgrupės (atsižvelgiant į taškinį dauginimą), lygių vienybei nuliui. Levy teorema teigia, kad ši algebrinė. izomorfizmas taip pat yra topologinis. homeomorfizmas, jei tikimybių matų pusgrupėje turime omenyje silpnos konvergencijos topologiją, o teigiamų apibrėžtųjų funkcijų pusgrupėje – tolygios konvergencijos apribotose aibėse topologiją.
Žinomi posakiai X. f. pagrindinės tikimybinės jūros (žr. , ), pavyzdžiui, X. f. Gauso matas su vidutine ti dispersija yra
Neneigiamiems sveikiesiems atsitiktiniams dydžiams x, kartu su X. f. naudojamas jo analogas -

Susijęs su X. f. santykis
X. f. tikimybės matas baigtinių matmenų erdvėje apibrėžiamas panašiai:

Kur x> reiškia . Aukščiau išdėstyti faktai galioja ir X. f. tikimybės matai

Lit.: Lukacs E., Charakteristinės funkcijos, vert. iš anglų k., M., 1979; Feller V., Tikimybių teorijos įvadas ir jos pritaikymai, t. 2. per. iš anglų k., M., 1967; Prochorov Yu. V., Rozanov Yu. A., Tikimybių teorija. Pagrindinės sąvokos. Ribinės teoremos. Atsitiktiniai procesai, 2 leidimas, M., 1973; 3olotarev V. M., Vienmatis stabilus pasiskirstymas, Maskva, 1983 m.
N. H. Wahania.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977-1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra "CHARACTERISTIC FUNCTION" kituose žodynuose:

Charakteristinė funkcija: Termodinamikos charakteristika yra funkcija, pagal kurią nustatomos sistemos termodinaminės savybės. Būdingoji aibės funkcija yra funkcija, kuri nustato, ar elementas priklauso aibei; ... ... Vikipedija

Termodinamikoje nepriklausomų parametrų, lemiančių termodinamikos būseną, būsenos funkcija. sistemos. Į X. f. apima termodinaminius potencialus ir entropiją. Per X... Fizinė enciklopedija

būdinga funkcija- Atitinkamų nepriklausomų termodinaminių parametrų termodinaminės sistemos būsenos funkcija, kuriai būdinga tai, kad per šią funkciją ir jos išvestinius šių parametrų atžvilgiu visi termodinaminiai ... ... Techninis vertėjo vadovas

būdinga funkcija- kooperacinių žaidimų teorijoje koeficientas, nulemiantis bet kurios koalicijos žaidime minimalaus atlygio vertę. Sujungus dvi koalicijas, Ch.f. bus ne mažesnė nei tokių funkcijų suma nesujungtam ... ... Ekonomikos ir matematikos žodynas

būdinga funkcija- būdingos funkcijos statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: angl. būdinga funkcija eng. būdinga funkcija... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

būdinga funkcija- būdingos funkcijos statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. būdinga funkcija vok. characteristische Funktion, f rus. būdinga funkcija, fpranc. funkcijos charakteristika, f… Fizikos terminų žodynas - E-erdvės X funkcijos aibės, lygios 1 at ir lygios 0 at (kur CE yra Ev X papildinys). Bet kuri funkcija, kurios reikšmės yra (0, 1), yra X. f. tam tikros aibės, būtent aibės, X savybės. f .: porinis disjunktas, tada 6) jei tada ... Matematinė enciklopedija

Beje, jūs ką tik pasisakėte už tai, kad studentas nieko nežinotų apie vienodą tęstinumą, o dabar siūlote jam delta funkcijas? Teisingai, aš nieko nesakysiu.

Džiaugiuosi vėl matydamas jus temoje su noru diskutuoti, nepaisant man asmeniškai rūpimų savybių. Aš domiuosi tavimi. Studentas turi žinoti viską, apie ką jo galima paklausti, bet pirmiausia jis turi įsisavinti sąvokų sistemą, jų apibūdinimą ir ryšį tarp jų ir neturėtų apsiriboti siauru disciplinos, kurią studijuoja, ratu. šiuo metu ir taip pat neturėtų būti vaikščiojantis žinynas. , kuris nuolat prisimena daugybę funkcijų, kurios neatitinka vienos ar kitos sąlygos.
Pradinėje užduotyje buvo reikalaujama nustatyti, ar duota HF funkcija yra koks nors atsitiktinis kintamasis. Tokią užduotį studentas gauna, kai pristatoma HF sąvoka. O tokių problemų sprendimo tikslas yra įtvirtinti supratimą apie HF ir PDF ryšį, taip pat įtvirtinti žinias apie HF savybes.
Yra du būdai parodyti, kad tam tikra funkcija yra HF: arba reikia rasti ją atitinkančią funkciją pagal Furjė ir patikrinti, ar ji tenkina normalizavimo sąlygą ir yra teigiama, arba įrodyti neneigiamą duotosios funkcijos apibrėžtumą ir nurodyti. prie Bochnerio-Chinchino teoremos. Tuo pačiu metu teoremų, susijusių su RV vaizdavimu kaip kitų Rademacher RV linijiniu deriniu, naudojimas jokiu būdu neprisideda prie pagrindinių HF savybių supratimo, be to, kaip jau minėjau aukščiau, jūsų sprendime yra paslėpta Furjė serija. , tai yra, jis iš tikrųjų atitinka pirmąjį metodą.
Kai reikia parodyti, kad tam tikra funkcija negali būti bet kurio RV HF, pakanka nustatyti, kad neįvykdyta viena iš HF savybių: viena reikšmė ties nuliu, ribotas modulis vienas, gaunant teisingas reikšmes. PDF momentams vienodas tęstinumas. Momentinių verčių, apskaičiuotų naudojant tam tikrą funkciją, teisingumo patikrinimas matematiškai prilygsta vienodo tęstinumo patikrinimui ta prasme, kad bet kurios iš šių savybių gedimas gali būti tas pats pagrindas tam tikros funkcijos netinkamumui atpažinti. Tačiau momentinių verčių teisingumo tikrinimas yra formalizuotas: diferencijuokite ir patikrinkite. Vienodą tęstinumą, bendru atveju, reikia įrodyti, todėl problemos sprendimo sėkmė priklauso nuo mokinio kūrybinio potencialo, nuo jo gebėjimo „atspėti“.
Diskusijose apie RV „statymą“ siūlau apsvarstyti paprastą užduotį: sukonstruosime RV su tokios formos HF: kur

Matematinis lūkestis ir jo savybės.

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos.

būdinga funkcija.

5 paskaita

2 skyrius. Atsitiktiniai dydžiai.

1 tema. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija, tikimybių tankis ir skaitinės charakteristikos.

Paskaitos tikslas: suteikti žinių apie atsitiktinių dydžių aprašymo būdus.

Paskaitos klausimai:

Literatūra:

L1 - Bocharovas P.P., Pechinkin A.V. Tikimybių teorija. Matematinė statistika. - 2 leidimas. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 p.

L2 - Gmurman, V. E. Tikimybių teorija ir matematinė statistika: Proc. pašalpa universitetams / V. E. Gmurmanas. – 9-asis leidimas, vyr. - M.: Aukštesnis. mokykla, 2005. - 479 p., iliustr.

R3 – Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Eilutės. Tikimybių teorija ir matematinė statistika. Metodinė plėtra. - Tambovas: TSTU leidykla, 2009 m.

K4 - Plotnikova S.V. Matematinė statistika. Metodinė plėtra. - Tambovas: TSTU leidykla, 2005. (pdf failas)

Sprendžiant daug problemų, vietoj paskirstymo funkcijos F(x) ir a.e. p(x) taikoma būdingoji funkcija. Šios charakteristikos pagalba pasirodo tikslinga, pavyzdžiui, nustatyti kai kurias skaitines r.v. ir z.r. funkcijos r.v.

būdinga funkcija w.v. vadinamas Furjė transformacija jos a.e. p(x):

, (2.6.1)

kur - parametras, kuris yra charakteringos funkcijos argumentas, - m.d. w.v. (Žr. § 2.8.).

Taikydami atvirkštinę Furjė transformaciją, gauname formulę, kuri nustato a.e. w.v. pagal jam būdingą funkciją

. (2.6.2)

Nuo matmens p(x) atvirkštinis matmuo x, tada kiekis , taigi, yra be matmenų. Argumentas turi dimensijos abipusį matmenį x.

Naudojant reprezentaciją (2.5.7) a.e. p(x) kaip delta funkcijų suma, formulė (1) gali būti išplėsta iki diskrečiųjų r.v.

. (2.6.3)

Kartais vietoj būdingos funkcijos patogu naudoti jos logaritmą:

Y. (2.6.4)

Funkcija Y galima vadinti antruoju logaritminis)būdinga funkcija w.v. .

Atkreipiame dėmesį į svarbiausias charakteringos funkcijos savybes.

1. Būdingoji funkcija atitinka šias sąlygas:

. (2.6.5)

2. Simetriškam pasiskirstymui, kai p(x)= p(-x), įsivaizduojama dalis (1) yra lygi nuliui, todėl būdingoji funkcija yra tikroji lyginė funkcija . Ir atvirkščiai, jei jis ima tik realias reikšmes, tada jis yra lygus ir jį atitinkantis skirstinys yra simetriškas.

3. Jeigu r.v. yra tiesinė r.v funkcija. , tada jam būdingą funkciją lemia išraiška

, (2.6.6)

kur a ir b- nuolatinis.

4. Sumos būdingoji funkcija nepriklausomas r.v. yra lygus terminų charakteristikų funkcijų sandaugai, t.y., jei

. (2.6.7)

Ši savybė ypač praverčia, nes kitaip surandant a.e. sumos r.v. susijęs su pasikartojančiu konvoliucijos pasikartojimu, kuris kartais sukelia sunkumų.

Taigi, atsižvelgiant į nedviprasmišką ryšį tarp pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos, pastaroji lygiai taip pat gali būti naudojama apibūdinti r.v.

2.6.1 pavyzdys. Triukšmingu ryšio kanalu perduodamas dviejų impulsų kodų derinys. Dėl nepriklausomo trukdžių poveikio šiems impulsams kiekvienas iš jų gali būti slopinamas su tikimybe q=0,2. Būtina nustatyti: I) c.v pasiskirstymo eilutę. - trukdžių slopintų impulsų skaičius; 2) paskirstymo funkcija; 3) tikimybių tankis; 4) būdinga r.v funkcija. .

Diskretus r.v. gali turėti tris reikšmes (nė vienas iš impulsų nėra slopinamas), (vienas impulsas yra slopinamas), (abu impulsai yra slopinami). Šių verčių tikimybės yra atitinkamai lygios:

būdinga funkcija atsitiktinis kintamasis X vadinama Furjė atsitiktinio dydžio skirstinio transformacija:

Savybės

Įrodymas.

Natūralu, ši savybė apima didesnį skaičių terminų:

φ (t) yra tolygiai ištisinis.

Įrodymas.

Gauta galutinė išraiška priklauso tik nuo h. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui galime rašyti

Įrodymas. Jei yra k-didumo momentas X, tada, naudojant diferenciaciją po integralo ženklu (tai įmanoma, nes p(x) egzistuoja), gauname

Su kiekvienu tolesniu diferencijavimu, i E[ X], taigi po k gauname darinius i k E[ X k]. Šis rezultatas gali būti pavaizduotas kaip

Charakteristinė funkcija vienareikšmiškai nustato atsitiktinio dydžio pasiskirstymą.

Ypatingų atvejų įrodymas

Leisti būti X - sveikasis diskretinis atsitiktinis kintamasis ( k Z), tada (atvirkštinė Furjė transformacija)

(Furjė serija, kurios koeficientai yra p k), tada

Visos sąlygos, kurioms k≠m, suteikite 0 (pagal ortogonalumą), ir jis lieka

Leisti būti φ (t) yra absoliučiai integruojamas realioje linijoje ir yra pasiskirstymo tankis p(x) 11 .

Pabandykime išreikšti p(x) per būdingąją funkciją. Parašykime funkcijos atvirkštinę Furjė transformaciją φ :

Turint tai omenyje

Tiek, kiek

dėl kintamųjų kitimo gauname

taigi

Jei (*) antrajame integrale abi integravimo ribos turi tuos pačius ženklus, gauname 0; jei skiriasi – baigtinis skaičius. Tai yra, yra ne nulinė riba a<y<b. Tokiu atveju atsiras integralas nuo −∞ iki ∞, lygus π . Iš čia

Gavau:

vadinasi, p yra visiškai nulemtas būdingos funkcijos.

Įrodymas..

Charakteristinės funkcijos kriterijus

Funkcija φ X (t) – atsitiktinio dydžio charakteristika X Jeigu, ir tik jeigu:

φ X (0) = 1,

φ X (t) teigiamas apibrėžtas.

Funkcija φ (t) vadinamas teigiamas apibrėžtas(teigiamas apibrėžtas) jei

o lygybė nuliui pasiekiama tik tada, kai z i = 0i. Jei susilpniname lygybės pasiekimo sąlygą iki nulio, gauname neneigiamas apibrėžtas funkcija.

Patikrinkime kad charakteristinė funkcija yra teigiama apibrėžtoji:

Loginis pagrindas. Pagal 5 nuosavybę)

At k= 1, gauname

At k= 2 -.

Jeigu E X= 0,D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Pavyzdžiai

Sprendimas. Perkeliame išraišką į formą

Tai nesunku pastebėti
. Po transformacijos galime rašyti
.

Apsvarstykite vertybes p i :

Išvada:cos 2 t - būdinga diskrečiojo atsitiktinio dydžio funkcija, kuri įgauna reikšmę 0 su tikimybe 1/2, o reikšmes 2 ir -2 - su 1/4 tikimybe.

Apskaičiuokite charakteringą funkciją išsigimęs atsitiktinis kintamasis: P(X= 0) = 1.

Sprendimas..

Jeigu P(X=C) = 1, gauname.

Sprendimas. Perkeliame išraišką į formą

Apsvarstykite vertybes p i :

Gavau: yra būdinga diskrečiojo atsitiktinio dydžio funkcija.

Sprendimas. Leisti būti Y=X–X′ , tada

Išvada: bet kurios charakteringos funkcijos modulio kvadratas vėl yra būdingoji funkcija.

Leisti būti X,Y - atsitiktiniai dydžiai su būdingomis funkcijomis φ X (t) ir φ Y (t);a,b> 0 – tokios konstantos, kad a+b= 1. Apsvarstykite funkciją

Ar tai būdinga, ir jei taip, kokiam atsitiktiniam dydžiui?

Atsakymas: Taip tai yra. Tegu atitinkamos paskirstymo funkcijos X ir Y - F X (x) ir F Y (y). Panagrinėkime funkciją. Akivaizdu, kad tai yra paskirstymo funkcija, nes

Tada tikimybės tankis