Turinys Matematinio modeliavimo dalykas. Modeliavimo pagrindai. Modelio samprata. Modeliavimo principas. Modeliavimas kaip mokslo žinių metodas. Modeliavimo etapai. Būdinga 1 - 2 etapai. Modeliavimo etapai. Būdingi 3 - 4 etapai. Modelių klasifikacija. Bendra apžvalga. Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija. Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Matematinis modelis. Linijinis programavimas. Linijinio programavimo problemos teiginys. Tiesinio programavimo uždavinio geometrinė interpretacija ir grafinis sprendimas. simplekso metodas. Pradinio pagrindinio plano kūrimas. Paprastos lentelės. Pagrindinio plano optimalumo ženklas. Dvilypumo samprata. Dvigubų problemų konstravimas ir jų savybės. transporto užduotis. Pradinio pagrindinio plano kūrimas. transporto užduotis. Potencialų metodas.

Turinys Grafų teorijos pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai. Dviženklio elementų išdėstymas. Fulkersono algoritmas. Problemų sprendimas ieškant trumpiausių kelių grafike. Maksimalaus srauto problema ir jos pritaikymai. Transporto problema tinklo nustatymuose. Tinklo planavimo elementai. Dinaminio programavimo principai, metodo skaičiavimo procedūra. Monte Karlo metodas. Metodo esmė. Problemų sprendimas Monte Karlo metodu. Matricinių žaidimų teorijos elementai. Suporuoti nulinės sumos matricos žaidimai. Matricinių žaidimų sprendimo būdai. Žaidimai su gamta. Sprendimo priėmimo kriterijai. Paketas Klevas 7. Pakuotės apžvalga. Jo galimybės. Programos sąsaja, darbas su komandomis. Naudojant kintamuosius. Darbas su stalais.

Matematinio modeliavimo dalykas. Modeliavimo pagrindai Matematinis modeliavimas – tai reiškinių, procesų, sistemų ar objektų tyrimas, konstruojant ir tiriant jų modelius, o pastaraisiais nustatant ar tikslinant naujai konstruojamų technologinių procesų, sistemų ir objektų charakteristikas bei racionalius konstravimo būdus. Matematinis modelis – tai realaus pasaulio abstrakcija, kurioje ryšiai tarp realių tyrėją dominančių elementų pakeičiami atitinkamais matematinių kategorijų santykiais. Šie ryšiai, kaip taisyklė, pateikiami lygčių ir (ar) nelygybių, apibūdinančių imituojamos realios sistemos funkcionavimą, pavidalu. Matematinių modelių konstravimo menas yra apjungti kuo didesnį matematinio aprašymo trumpumą su pakankamu modelio atkūrimo tikslumu būtent tų analizuojamos tikrovės aspektų, kurie domina tyrėją. Meniu modeliavimas – tai kūrybinis procesas, reikalaujantis rimto pasiruošimo ir didelio informacijos kiekio apdorojimo, apjungiantis kruopštumą ir euristinius principus, tikimybinio pobūdžio.

Modelio samprata. Modeliavimas kaip mokslo žinių metodas Modelis yra tam tikras supaprastintas realaus objekto, reiškinio ar proceso panašumas. Modelis yra toks materialus arba mintyse vaizduojamas objektas, kuris pakeičia pradinį objektą jo tyrimo tikslais, išsaugodamas kai kurias tipines originalo savybes ir savybes, kurios yra svarbios šiam tyrimui. Gerai pastatytas modelis, kaip taisyklė, yra labiau prieinamas tyrimams nei realus objektas (pvz., šalies ekonomika, saulės sistema ir pan.). Kita, ne mažiau svarbi modelio paskirtis – padeda nustatyti reikšmingiausius veiksnius, formuojančius tam tikras objekto savybes. Modelis taip pat leidžia išmokti valdyti objektą, o tai svarbu tais atvejais, kai eksperimentuoti su objektu yra nepatogu, sunku arba neįmanoma (pavyzdžiui, kai eksperimentas trunka ilgai arba kai yra rizika atnešti objektą į nepageidaujamą arba negrįžtamą būseną). Taigi galime daryti išvadą, kad modelis reikalingas tam, kad: suprastume, kaip yra išdėstytas konkretus objektas – kokia jo struktūra, pagrindinės savybės, vystymosi ir sąveikos su išoriniu pasauliu dėsniai; išmokti valdyti objektą ar procesą ir nustatyti geriausius valdymo metodus pagal nustatytus tikslus ir kriterijus (optimizavimas); Meniu nuspėti tiesiogines ir netiesiogines nurodytų metodų ir poveikio formų pasekmes objektui, procesui įgyvendinus.

Modeliavimo etapai 1 etapo charakteristikos I etapas. Problemos teiginys Problema bendriausia prasme suprantama kaip tam tikra problema, kurią reikia išspręsti. Svarbiausia yra nustatyti modeliavimo objektą ir suprasti, koks turėtų būti rezultatas. Pagal formulavimo pobūdį visas užduotis galima suskirstyti į dvi pagrindines grupes. Pirmoji grupė apima užduotis, kuriose reikia ištirti, kaip keičiasi objekto savybės, turint tam tikrą poveikį. Toks problemos pareiškimas paprastai vadinamas „kas bus, jei...“. Antroji užduočių grupė turi tokią apibendrintą formuluotę: koks poveikis turi būti padarytas objektui, kad jo parametrai atitiktų tam tikrą sąlygą? Šis problemos teiginys dažnai vadinamas „kaip tai padaryti, kad...“. Modeliavimo tikslus lemia modelio projektiniai parametrai. Dažniausiai tai yra atsakymo į problemos formuluojant klausimą ieškojimas. Tada pereikite prie objekto ar proceso aprašymo. Šiame etape nustatomi veiksniai, nuo kurių priklauso modelio elgsena. Modeliuojant skaičiuoklėse galima atsižvelgti tik į tuos parametrus, kurie turi kiekybines charakteristikas. Kartais užduotis jau gali būti suformuluota supaprastinta forma, joje aiškiai nustatomi tikslai ir apibrėžiami modelio parametrai, į kuriuos reikia atsižvelgti. Analizuojant objektą būtina atsakyti į tokį klausimą: ar tiriamas objektas ar procesas gali būti vertinamas kaip visuma, ar tai sistema, susidedanti iš paprastesnių objektų? Jei tai yra viena visuma, galite pradėti kurti informacinį modelį. Jei sistema yra - būtina pereiti prie ją sudarančių objektų analizės, nustatyti ryšius tarp jų. Meniu

Modeliavimo etapai Charakteristikos 2 etapas II etapas. Modelio kūrimas Remiantis objekto analizės rezultatais, sudaromas informacinis modelis. Jame detaliai aprašomos visos objekto savybės, jų parametrai, veiksmai ir ryšiai. Be to, informacinis modelis turėtų būti išreikštas viena iš ženklų formų. Atsižvelgiant į tai, kad dirbsime skaičiuoklės aplinkoje, informacinis modelis turi būti konvertuojamas į matematinį. Remiantis informacija ir matematiniais modeliais, lentelių pavidalu sudaromas kompiuterinis modelis, kuriame išskiriamos trys duomenų sritys: pradiniai duomenys, tarpiniai skaičiavimai, rezultatai. Pradiniai duomenys įvedami „rankiniu būdu“. Tiek tarpiniai, tiek galutiniai skaičiavimai atliekami pagal formules, įrašytas pagal skaičiuoklių taisykles. Meniu

Modeliavimo etapai Būdingas 3 etapai III etapas. Kompiuterinis eksperimentas Norint suteikti gyvybės naujiems dizaino patobulinimams, gamyboje įdiegti naujus techninius sprendimus ar išbandyti naujas idėjas, būtinas eksperimentas. Neseniai tokį eksperimentą buvo galima atlikti arba laboratorinėmis sąlygomis specialiai jam sukurtose instaliacijose, arba gamtoje, tai yra su tikru gaminio pavyzdžiu, atliekant įvairius bandymus. Tam reikia daug pinigų ir laiko. Į pagalbą atėjo kompiuterinis modeliavimas. Atliekant kompiuterinį eksperimentą, tikrinamas pastato modelių teisingumas. Modelio elgsena tiriama esant įvairiems objekto parametrams. Kiekvieną eksperimentą lydi rezultatų supratimas. Jeigu kompiuterinio eksperimento rezultatai prieštarauja sprendžiamos problemos reikšmei, tai klaidos reikia ieškoti neteisingai pasirinktame modelyje arba jos sprendimo algoritme ir būdu. Nustačius ir pašalinus klaidas, kompiuterinis eksperimentas kartojamas. Meniu

Modeliavimo etapai Charakteristikos 4 etapai IV etapas. Modeliavimo rezultatų analizė Paskutinis modeliavimo etapas yra modelio analizė. Remiantis gautais apskaičiuotais duomenimis, patikrinama, kiek skaičiavimai atitinka mūsų supratimo ir modeliavimo tikslus. Šiame etape pateikiamos rekomendacijos, kaip tobulinti priimtą modelį ir, jei įmanoma, objektą ar procesą. Meniu

Modelių klasifikacija Klasifikacija pagal naudojimo sritis Mokymosi: vaizdinės priemonės, įvairūs treniruokliai, mokymo programos. Patyrę: sumažintos arba padidintos tiriamo objekto kopijos tolimesniam tyrimui (laivo, automobilio, lėktuvo, hidroelektrinės modeliai). Kuriami moksliniai ir techniniai modeliai procesams ir reiškiniams tirti (stovas televizoriams testuoti; sinchrotronas - elektronų greitintuvas ir kt.). Žaidimai: kariniai, ekonominiai, sportiniai, verslo žaidimai. Modeliavimas: atspindi tikrovę skirtingu tikslumu (naujo vaisto išbandymas atliekant daugybę eksperimentų su pelėmis; eksperimentai, kuriais siekiama įdiegti naują technologiją gamyboje). Klasifikavimas atsižvelgiant į laiko faktorių Statinis modelis yra tam tikru laiku esančio objekto modelis. Dinaminis modelis leidžia matyti, kaip objektas keičiasi laikui bėgant. Meniu

Modelių klasifikacija Klasifikacija vaizdavimo būdu Medžiaginis modelis – tai fizinis objekto panašumas. Jie atkuria originalo geometrines ir fizines savybes (paukščių iškamšos, gyvūnų manekenai, žmogaus kūno vidaus organai, geografiniai ir istoriniai žemėlapiai, Saulės sistemos schema). Informacinis modelis – informacijos rinkinys, apibūdinantis objekto, proceso, reiškinio savybes ir būsenas, taip pat santykį su išoriniu pasauliu. Bet kuriame informaciniame modelyje yra tik esminė informacija apie objektą, atsižvelgiant į tikslą, kuriam jis sukurtas. To paties objekto informaciniai modeliai, sukurti skirtingiems tikslams, gali būti visiškai skirtingi. Verbalinis modelis – informacinis modelis mentaline arba pokalbio forma. Ženklų modelis yra informacinis modelis, išreikštas specialiais ženklais, t. y. bet kokia formalia kalba. Simboliniai modeliai – tai brėžiniai, tekstai, grafikai, diagramos, lentelės ir kt. Kompiuterinis modelis – tai programinės aplinkos pagalba realizuotas modelis. Prieš kuriant objekto (reiškinio, proceso) modelį, būtina išskirti jo sudedamuosius elementus ir ryšius tarp jų (atlikti sistemos analizę) ir gautą struktūrą „išversti“ į tam tikrą iš anksto nustatytą formą – formalizuoti informaciją. . Meniu formalizavimas – tai objekto, reiškinio ar proceso vidinės struktūros išryškinimas ir pavertimas konkrečia informacijos struktūra – forma.

Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija Ekonominiai ir matematiniai modeliai – tai valdomų ir reguliuojamų ekonominių procesų modeliai, kurie naudojami transformuojant ekonominę tikrovę. Modelių tinkamumą modeliavimo objektams lemia tyrimo rezultatų sutapimas su stebimais faktais. Praktika šiuo atveju reiškia realybę. Pagal numatytą paskirtį ekonominiai ir matematiniai modeliai yra Teoriniai ir analitiniai Taikomieji ekonominiai ir matematiniai modeliai skirstomi į visos šalies ūkio ir jos posistemių (pramonės šakų, regionų ir kt.) modelius Modeliai yra funkciniai ir struktūriniai. Modeliai yra aprašomieji ir normatyviniai. Dekreptyvūs modeliai atsako į klausimą, kaip tai vyksta ir kaip tai gali vystytis toliau? Norminiai modeliai atsako į klausimą, kaip turėtų būti? Tai yra, jie prisiima kryptingą veiklą. Yra griežtai deterministinių modelių ir modelių, kuriuose atsižvelgiama į atsitiktinumą ir neapibrėžtumą. Modeliai yra statiniai arba dinamiški. Pagal nagrinėjamo laikotarpio trukmę išskiriami trumpalaikio (1-5 metų) ir ilgalaikio (10-15 metų ir daugiau) prognozavimo ir planavimo modeliai. Pats laikas tokiuose modeliuose gali keistis nuolat arba diskretiškai. Meniu modeliai gali būti linijiniai arba nelinijiniai.

Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Ekonominės problemos teiginys ir jos analizė. Svarbiausia yra nustatyti problemos pobūdį, daromas prielaidas ir klausimus, į kuriuos reikia atsakyti. Etapas apima svarbiausių objekto savybių ir savybių išryškinimą, abstrahavimą nuo smulkmenų. Jei reikia, hipotezių suformavimas, paaiškinantis objekto elgesį ir vystymąsi. Matematinio modelio konstravimas. Ekonominės problemos formalizavimo etapas. Klaidinga manyti, kad kuo daugiau faktų modelis atsižvelgia, tuo jis geresnis. Modelio sudėtingumo ir apimties keitimas apsunkina tyrimo procesą. Būtina atsižvelgti į realias informacijos ir matematinės paramos galimybes. Reikia palyginti modeliavimo išlaidas su gautu efektu. Viena iš svarbiausių matematinio modelio ypatybių yra potenciali galimybė juos panaudoti sprendžiant įvairias problemas. Meniu

Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Matematinė modelio analizė. Šio etapo tikslas – išsiaiškinti bendras modelio savybes. Svarbus dalykas yra sprendimo egzistavimo įrodymas. Pradinės informacijos rengimas Būtina atsižvelgti į reikalingos informacijos surinkimo laiką, atsižvelgti į informacijos rengimo išlaidas. Rengimo procese plačiai naudojami tikimybių teorijos, teorinės ir matematinės statistikos metodai. Skaitinis sprendimas. Skaitmeninio uždavinio sprendimo algoritmų kūrimas, programų kompiuteriui sudarymas ir tiesioginis skaičiavimas. Šiame etape sunkumų sukelia didelis ekonominių problemų matmuo ir poreikis apdoroti didelius informacijos kiekius. Meniu Skaitinių rezultatų analizė ir jų taikymas. Šiame etape kyla klausimas dėl modeliavimo rezultatų teisingumo ir išsamumo, apie jų praktinio pritaikymo laipsnį.

Linijinis programavimas. Tai matematinio modeliavimo dalis, kurios visos priklausomybės yra tiesinės. Bet kurio linijinio programavimo uždavinio matematinis modelis turi formą Z= max(min) Meniu sąlygos neneigiamumui Xj ≥ 0

Pavyzdys: Gaminant gaminius u 1 ir u 2, naudojamos tekinimo ir frezavimo staklės, taip pat plienas ir spalvotieji metalai, pagal technologinius standartus gaminio vienetui u 1, 300 ir 200 vnt. reikia atitinkamai tekinimo ir frezavimo įrenginių (valandomis), o plieno ir spalvotųjų metalų – 10 ir 20 vienetų (kg.). gaminiui u pagaminti reikia atitinkamai 2, 400, 100, 70, 50 vienetų tų pačių išteklių. Dirbtuvėse yra 12400 ir 6800 valandų, 640 ir 840 kg. medžiaga. Pelnas pardavus produkto vienetą u 1=6000 den. vienetų , u 2 = 16000 den. vienetų Būtina: pateikite šaltinio duomenis į lentelę, kuri būtų patogi modeliui kurti. Sudarykite matematinį problemos modelį. Nustatyti gaminių gamybos planą, užtikrinti maksimalų pelną, su sąlyga, kad turi būti pilnai išnaudotas frezavimo staklių darbo laikas.

Sprendimas: Tegul x1 – produktų skaičius u 1, o x2 – produktų skaičius u 2, z – visas pelnas.

Linijinis programavimas. Tai yra bendra arba išvestinė žymėjimo forma. Kintamieji Xj, kurie tenkina apribojimų sistemą ir neneigiamumo sąlygą, vadinami priimtinais. Galiojantys kintamieji, paverčiantys tikslo funkciją į max arba min, vadinami optimaliais. Tokių problemų sprendimo būdai skirstomi į universalius ir specialiuosius. Bet koks PLP išsprendžiamas universaliu metodu. Specialiuose metoduose atsižvelgiama į modelio ypatybes. Mokymosi programos ypatybė yra ta, kad tikslo funkcija pasiekia maks. (min) ties galimų sprendimų srities riba. ZLP apima: optimalių technologijų pasirinkimo problemą; mišinio problema; medžiagos pjovimo užduotis; transporto užduotis; Meniu užduotis apie geriausią išteklių panaudojimą; užsakymo pateikimo užduotis;

Linijinio programavimo problemos teiginys Bet koks LPP parašytas naudojant matematinį modelį. Yra 3 ZLP meniu rašymo formos (savavališkas)

Tiesinio programavimo problemos teiginys Visos šios formos yra lygiavertės. Norint pereiti nuo max iki min (arba atvirkščiai), reikia pakeisti kiekvieno termino ženklus tikslo funkcijos žymėjime. Norint formos nelygybę paversti formos nelygybe (ir atvirkščiai), reikia abi nelygybės dalis padauginti iš -1. Meniu Kanoninis (pagrindinis) Norint nelygybę paversti lygybe (ir atvirkščiai), reikia pridėti arba atimti papildomą neneigiamą kintamąjį iš kairės pusės, jis vadinamas balanso kintamuoju. Rašant tikslo funkciją, jos koeficientas =0.

Praktinių uždavinių sprendimas matematiniais metodais nuosekliai vykdomas formuluojant uždavinį (matematinio modelio kūrimas), pasirenkant gauto matematinio modelio tyrimo metodą, analizuojant gautą matematinį rezultatą. Matematinė uždavinio formuluotė dažniausiai pateikiama geometrinių vaizdų, funkcijų, lygčių sistemų ir kt. Objekto (reiškinio) aprašymas gali būti vaizduojamas naudojant ištisines arba diskrečiąsias, deterministines arba stochastines ir kitas matematines formas.

Matematinio modeliavimo teorija užtikrina įvairių supančio pasaulio reiškinių srauto ar sistemų ir įrenginių veikimo dėsningumų identifikavimą matematiniu jų aprašymu ir modeliavimu be lauko bandymų. Šiuo atveju naudojamos matematikos nuostatos ir dėsniai, apibūdinantys imituojamus reiškinius, sistemas ar įrenginius tam tikru jų idealizavimo lygmeniu.

Matematinis modelis (MM) yra formalizuotas sistemos (arba operacijos) aprašymas tam tikra abstrakčia kalba, pavyzdžiui, matematinių ryšių rinkinio arba algoritminės schemos pavidalu, t. y. toks matematinis aprašymas, kuris imituoja sistemų arba prietaisų veikimas pakankamai artimu jų faktiniam elgesiui, gautam atliekant visapusiškus sistemų ar prietaisų bandymus. Bet kuris MM apibūdina realų objektą, reiškinį ar procesą tam tikru laipsniu priartindamas prie tikrovės. MM tipas priklauso ir nuo realaus objekto pobūdžio, ir nuo tyrimo tikslų.

Socialinių, ekonominių, biologinių ir fizinių reiškinių, objektų, sistemų ir įvairių prietaisų matematinis modeliavimas yra viena iš svarbiausių gamtos pažinimo ir įvairiausių sistemų bei įrenginių projektavimo priemonių. Yra žinomi modeliavimo efektyvaus panaudojimo pavyzdžiai kuriant branduolines technologijas, aviacijos ir kosmoso sistemas, prognozuojant atmosferos ir vandenyno reiškinius, orus ir kt.

Tačiau tokios rimtos modeliavimo sritys dažnai reikalauja superkompiuterių ir ilgų didelių mokslininkų komandų darbo, kad paruoštų duomenis modeliavimui ir jo derinimui. Nepaisant to, šiuo atveju sudėtingų sistemų ir prietaisų matematinis modeliavimas ne tik leidžia sutaupyti pinigų tyrimams ir bandymams, bet ir gali pašalinti ekologines nelaimes – pavyzdžiui, tai leidžia atsisakyti branduolinių ir termobranduolinių ginklų bandymų, o ne matematinio modeliavimo naudai. arba aviacijos ir erdvėlaivių sistemų bandymas prieš faktinius skrydžius.

Tuo tarpu matematinis modeliavimas paprastesnių uždavinių sprendimo lygmeniu, pavyzdžiui, iš mechanikos, elektrotechnikos, elektronikos, radiotechnikos ir daugelio kitų mokslo ir technologijų sričių, tapo prieinamas šiuolaikiniuose asmeniniuose kompiuteriuose. O naudojant apibendrintus modelius, atsiranda galimybė modeliuoti gana sudėtingas sistemas, pavyzdžiui, telekomunikacijų sistemas ir tinklus, radarus ar radijo navigacijos sistemas.

Matematinio modeliavimo tikslas – realių procesų (gamtoje ar technologijoje) analizė matematiniais metodais. Savo ruožtu tam reikia ištirti MM proceso formalizavimą. Modelis gali būti matematinė išraiška, turinti kintamųjų, kurių elgsena yra panaši į realios sistemos elgesį. Modelis gali apimti atsitiktinumo elementus, kurie atsižvelgia į galimų dviejų ar daugiau „žaidėjų“ veiksmų tikimybę, kaip, pavyzdžiui, žaidimų teorijoje; arba jis gali atstovauti tikruosius tarpusavyje susijusių operacinės sistemos dalių kintamuosius.

Matematinis modeliavimas, skirtas sistemų charakteristikoms tirti, gali būti skirstomas į analitinį, imitacinį ir kombinuotą. Savo ruožtu MM skirstomi į modeliavimo ir analitinius.

Modelio ir modeliavimo samprata.

Modelis plačiąja prasme- tai bet koks bet kokio tūrio, proceso ar reiškinio vaizdas, psichikos ar nusistovėjusio vaizdo analogas, aprašymas, diagrama, brėžinys, žemėlapis ir pan., naudojamas kaip jo pakaitalas ar atstovas. Pats objektas, procesas ar reiškinys vadinamas šio modelio originalu.

Modeliavimas - tai bet kurio objekto ar objektų sistemos tyrimas kuriant ir tiriant jų modelius. Tai modelių naudojimas, siekiant nustatyti ar patobulinti charakteristikas ir racionalizuoti naujai statomų objektų konstravimo būdus.

Bet koks mokslinio tyrimo metodas yra pagrįstas modeliavimo idėja, o teoriniais metodais naudojami įvairūs simboliniai, abstrakčiai, o eksperimentiniuose – dalykiniai modeliai.

Tiriant sudėtingą realų reiškinį, jis pakeičiamas kokia nors supaprastinta kopija ar schema, kartais tokia kopija pasitarnauja tik prisiminimui ir kitam susitikimui išsiaiškinti norimą reiškinį. Kartais sukonstruota schema atspindi kai kuriuos esminius bruožus, leidžia suprasti reiškinio mechanizmą, leidžia numatyti jo kitimą. Skirtingi modeliai gali atitikti tą patį reiškinį.

Tyrėjo užduotis – numatyti reiškinio prigimtį ir proceso eigą.

Kartais nutinka taip, kad objektas yra prieinamas, tačiau eksperimentai su juo kainuoja brangiai arba sukelia rimtų pasekmių aplinkai. Žinios apie tokius procesus įgyjamos modelių pagalba.

Svarbu tai, kad pati mokslo prigimtis apima ne vieno konkretaus reiškinio, o plataus susijusių reiškinių klasę. Tai reiškia, kad reikia suformuluoti kai kuriuos bendrus kategoriškus teiginius, kurie vadinami dėsniais. Natūralu, kad naudojant tokią formuluotę, nepaisoma daugelio smulkmenų. Siekdami aiškiau identifikuoti šabloną, jie sąmoningai eina į grubumą, idealizavimą, schematiškumą, tai yra, tyrinėja ne patį reiškinį, o daugiau ar mažiau tikslią jo kopiją ar modelį. Visi dėsniai yra modelių dėsniai, todėl nenuostabu, kad laikui bėgant kai kurios mokslinės teorijos tampa netinkamos naudoti. Tai nesukelia mokslo žlugimo, nes vienas modelis buvo pakeistas kitu. modernesnis.

Ypatingą vaidmenį moksle atlieka matematiniai modeliai, šių modelių statybinė medžiaga ir įrankiai – matematinės sąvokos. Jie kaupėsi ir tobulėjo per tūkstančius metų. Šiuolaikinė matematika suteikia išskirtinai galingas ir universalias tyrimo priemones. Beveik kiekviena matematikos sąvoka, kiekvienas matematinis objektas, pradedant nuo skaičiaus sąvokos, yra matematinis modelis. Kuriant matematinį tiriamo objekto ar reiškinio modelį, išskiriamos tos jo ypatybės, ypatybės ir detalės, kurios, viena vertus, talpina daugiau ar mažiau išsamią informaciją apie objektą, kita vertus, leidžia. matematinis formalizavimas. Matematinis formalizavimas reiškia, kad objekto požymius ir detales galima susieti su atitinkamomis adekvačiomis matematinėmis sąvokomis: skaičiais, funkcijomis, matricomis ir pan. Tada tiriamame objekte rastus ir prisiimtus ryšius tarp atskirų jo dalių ir komponentų galima užrašyti naudojant matematinius ryšius: lygybes, nelygybes, lygtis. Rezultatas yra matematinis tiriamo proceso ar reiškinio aprašymas, tai yra jo matematinis modelis.

Matematinio modelio tyrimas visada yra susijęs su tam tikromis tiriamų objektų veikimo taisyklėmis. Šios taisyklės atspindi priežasčių ir pasekmių ryšį.

Matematinio modelio kūrimas yra pagrindinis bet kurios sistemos tyrimo ar projektavimo etapas. Visa tolesnė objekto analizė priklauso nuo modelio kokybės. Modelio kūrimas nėra formali procedūra. Tai stipriai priklauso nuo tyrėjo, jo patirties ir skonio, visada remiasi tam tikra eksperimentine medžiaga. Modelis turi būti pakankamai tikslus, tinkamas ir patogus naudoti.

Matematinis modeliavimas.

Matematinių modelių klasifikacija.

Matematiniai modeliai gali būtiAtkaklus ir stochastinis .

Deterministinis modelis ir - tai modeliai, kuriuose nustatomas vienas su vienu atitikimas tarp objektą ar reiškinį apibūdinančių kintamųjų.

Šis požiūris pagrįstas žiniomis apie objektų veikimo mechanizmą. Modeliuojamas objektas dažnai yra sudėtingas, o jo mechanizmo iššifravimas gali būti labai sunkus ir daug laiko reikalaujantis. Šiuo atveju jie vyksta taip: eksperimentai atliekami su originalu, rezultatai apdorojami ir, nesigilinant į modeliuojamo objekto mechanizmą ir teoriją, naudojant matematinės statistikos ir tikimybių teorijos metodus, nustatomi ryšiai tarp kintamieji, apibūdinantys objektą. Šiuo atveju gaukitestochastinis modelis . AT stochastinis modelis, ryšys tarp kintamųjų yra atsitiktinis, kartais tai vyksta iš esmės. Daugelio veiksnių įtaka, jų derinys lemia atsitiktinį objektą ar reiškinį apibūdinančių kintamųjų rinkinį. Pagal režimų pobūdį modelis yrastatistiniai ir dinamiškas.

Statistiniaimodelisapima santykių tarp pagrindinių modeliuojamo objekto kintamųjų pastovioje būsenoje, neatsižvelgiant į parametrų pokyčius laikui bėgant, aprašymą.

AT dinamiškasmodeliaiapibūdina ryšį tarp pagrindinių modeliuojamo objekto kintamųjų pereinant iš vieno režimo į kitą.

Modeliai yra diskretus ir tęstinis, taip pat sumaišytas tipo. AT tęstinis kintamieji paima reikšmes iš tam tikro intervalo, indiskretuskintamieji įgauna atskiras reikšmes.

Linijiniai modeliai- visos funkcijos ir ryšiai, apibūdinantys modelį, yra tiesiškai priklausomi nuo kintamųjų irne linijiniskitaip.

Matematinis modeliavimas.

Reikalavimai , pristatyta prie modelių.

1. Universalumas- apibūdina ekrano išsamumą pagal tiriamų realaus objekto savybių modelį.

1. Adekvatumas – gebėjimas atspindėti norimas objekto savybes ne didesne nei nurodyta paklaida.
2. Tikslumas – įvertinamas pagal realaus objekto charakteristikų verčių ir šių charakteristikų verčių, gautų naudojant modelius, sutapimo laipsnį.
3. ekonomika – yra nulemtas kompiuterio atminties resursų sąnaudų ir jos įgyvendinimo bei eksploatavimo laiko.

Matematinis modeliavimas.

Pagrindiniai modeliavimo etapai.

1. Problemos pareiškimas.

Analizės tikslo ir būdų jam pasiekti nustatymas bei bendro požiūrio į tiriamą problemą kūrimas. Šiame etape reikia giliai suprasti užduoties esmę. Kartais teisingai nustatyti užduotį yra ne mažiau sunku, nei ją išspręsti. Inscenizacija nėra formalus procesas, nėra bendrų taisyklių.

2. Teorinių pagrindų tyrimas ir informacijos apie originalo objektą rinkimas.

Šiame etape parenkama arba kuriama tinkama teorija. Jei jo nėra, tarp objektą apibūdinančių kintamųjų nustatomi priežastiniai ryšiai. Nustatomi įvesties ir išvesties duomenys, daromos supaprastinančios prielaidos.

3. Formalizavimas.

Tai susideda iš simbolių sistemos pasirinkimo ir jų panaudojimo objekto komponentų santykiams užrašyti matematinių išraiškų forma. Sukuriama užduočių klasė, kuriai galima priskirti gautą matematinį objekto modelį. Kai kurių parametrų reikšmės šiame etape dar gali būti nenurodytos.

4. Sprendimo metodo pasirinkimas.

Šiame etape, atsižvelgiant į objekto eksploatavimo sąlygas, nustatomi galutiniai modelių parametrai. Gautam matematiniam uždaviniui parenkamas sprendimo būdas arba kuriamas specialus metodas. Renkantis metodą, atsižvelgiama į vartotojo žinias, jo pageidavimus, taip pat į kūrėjo pageidavimus.

5. Modelio įgyvendinimas.

Sukūrus algoritmą, parašyta programa, kuri yra derinama, išbandoma ir gaunamas norimos problemos sprendimas.

6. Gautos informacijos analizė.

Palyginamas gautas ir laukiamas sprendimas, kontroliuojama modeliavimo klaida.

7. Realaus objekto tinkamumo tikrinimas.

Modeliu gauti rezultatai lyginamiarba su turima informacija apie objektą, arba atliekamas eksperimentas ir jo rezultatai lyginami su apskaičiuotais.

Modeliavimo procesas yra kartotinis. Esant nepatenkinamiems etapų rezultatams 6. arba 7. vykdomas grįžimas į vieną iš ankstyvųjų etapų, dėl kurių gali būti sukurtas nesėkmingas modelis. Šis etapas ir visi tolesni etapai yra tobulinami, o toks modelio tobulinimas vyksta tol, kol gaunami priimtini rezultatai.

Matematinis modelis yra apytikslis bet kurios realaus pasaulio reiškinių ar objektų klasės aprašymas matematikos kalba. Pagrindinis modeliavimo tikslas – ištirti šiuos objektus ir numatyti būsimų stebėjimų rezultatus. Tačiau modeliavimas yra ir supančio pasaulio pažinimo metodas, leidžiantis jį valdyti.

Matematinis modeliavimas ir su juo susijęs kompiuterinis eksperimentas yra būtini tais atvejais, kai dėl vienokių ar kitokių priežasčių pilnas eksperimentas neįmanomas arba sunkus. Pavyzdžiui, neįmanoma sukurti pilno masto istorijos eksperimento, kuris patikrintų „kas būtų, jei...“ Neįmanoma patikrinti vienos ar kitos kosmologinės teorijos teisingumo. Iš esmės galima, bet vargu ar pagrįsta, eksperimentuoti su kokios nors ligos, pavyzdžiui, maro, plitimu arba surengti branduolinį sprogimą, siekiant ištirti jo pasekmes. Tačiau visa tai galima padaryti ir kompiuteriu, prieš tai sukūrus matematinius tiriamų reiškinių modelius.

1.1.2 2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1) Modelio kūrimas. Šiame etape nurodomas koks nors „nematematinis“ objektas – gamtos reiškinys, statyba, ekonominis planas, gamybos procesas ir tt Tokiu atveju, kaip taisyklė, aiškus situacijos aprašymas yra sunkus. Pirmiausia nustatomi pagrindiniai reiškinio bruožai ir jų tarpusavio ryšys kokybiniu lygmeniu. Tada rastos kokybinės priklausomybės formuluojamos matematikos kalba, tai yra sudaromas matematinis modelis. Tai pati sunkiausia modeliavimo dalis.

2) Matematinės problemos, į kurią veda modelis, sprendimas. Šiame etape daug dėmesio skiriama algoritmų ir skaitmeninių problemos sprendimo būdų kompiuteryje kūrimui, kurių pagalba reikiamu tikslumu ir per leistiną laiką galima rasti rezultatą.

3) Gautų pasekmių iš matematinio modelio interpretavimas.Iš modelio išvestos pasekmės matematikos kalba interpretuojamos šioje srityje priimta kalba.

4) Modelio tinkamumo tikrinimas.Šiame etape išsiaiškinama, ar eksperimento rezultatai tam tikru tikslumu sutampa su teorinėmis modelio pasekmėmis.

5) Modelio modifikavimas.Šiame etape modelis arba tampa sudėtingesnis, kad labiau atitiktų tikrovę, arba supaprastinamas, kad būtų pasiektas praktiškai priimtinas sprendimas.

1.1.3 3. Modelių klasifikacija

Modeliai gali būti klasifikuojami pagal skirtingus kriterijus. Pavyzdžiui, pagal sprendžiamų problemų pobūdį modeliai gali būti skirstomi į funkcinius ir struktūrinius. Pirmuoju atveju visi reiškinį ar objektą apibūdinantys dydžiai išreiškiami kiekybiškai. Tuo pačiu metu kai kurie iš jų laikomi nepriklausomais kintamaisiais, o kiti yra laikomi šių dydžių funkcijomis. Matematinis modelis dažniausiai yra įvairių tipų (diferencialinių, algebrinių ir kt.) lygčių sistema, nustatanti kiekybinius ryšius tarp nagrinėjamų dydžių. Antruoju atveju modelis apibūdina sudėtingo objekto struktūrą, susidedančią iš atskirų dalių, tarp kurių yra tam tikri ryšiai. Paprastai šie santykiai nėra kiekybiškai įvertinami. Norint sukurti tokius modelius, patogu naudoti grafų teoriją. Grafas yra matematinis objektas, kuris yra taškų (viršūnių) rinkinys plokštumoje arba erdvėje, kai kurie iš jų yra sujungti linijomis (kraštais).

Pagal pradinių duomenų pobūdį ir prognozavimo rezultatus modelius galima skirstyti į deterministinius ir tikimybinius-statistinius. Pirmojo tipo modeliai pateikia aiškias, nedviprasmiškas prognozes. Antrojo tipo modeliai yra pagrįsti statistine informacija, o jų pagalba gautos prognozės yra tikimybinio pobūdžio.

MATEMATINIS MODELIAVIMAS IR BENDRIEJI KOMPIUTERIZAVIMO ARBA MODELIAVIMO MODELIAI

Dabar, kai šalyje vyksta kone visuotinė kompiuterizacija, iš įvairių profesijų specialistų galima išgirsti pasisakymus: „Įveskime mūsų šalyje kompiuterį, tada visi uždaviniai bus išspręsti tuoj pat“. Toks požiūris yra visiškai klaidingas, patys kompiuteriai nieko negali be tam tikrų procesų matematinių modelių, o apie visuotinę kompiuterizaciją galima tik pasvajoti.

Pagrįsdami tai, kas išdėstyta, bandysime pagrįsti modeliavimo, įskaitant matematinį modeliavimą, poreikį, atskleisti jo pranašumus žmogaus išorinio pasaulio pažinime ir transformacijoje, nustatyti esamus trūkumus ir pereiti... prie modeliavimo modeliavimo, t.y. modeliavimas naudojant kompiuterius. Bet viskas tvarkoje.

Pirmiausia atsakykime į klausimą: kas yra modelis?

Modelis – tai materialus arba mintyse vaizduojamas objektas, kuris pažinimo (studijos) procese pakeičia originalą, išsaugodamas kai kurias šiam tyrimui svarbias tipines savybes.

Gerai pastatytas modelis yra labiau prieinamas tyrimams nei realus objektas. Pavyzdžiui, eksperimentai su šalies ekonomika švietimo tikslais yra nepriimtini, čia neapsieinama be modelio.

Apibendrinant tai, kas pasakyta, galime atsakyti į klausimą: kam skirti modeliai? Tam, kad

• suprasti, kaip veikia objektas (jo sandara, savybės, vystymosi dėsniai, sąveika su išoriniu pasauliu).
• išmokti valdyti objektą (procesą) ir nustatyti geriausias strategijas
• numatyti poveikio objektui pasekmes.

Kas yra teigiama bet kuriame modelyje? Tai leidžia gauti naujų žinių apie objektą, bet, deja, vienaip ar kitaip neišsamios.

Modelissuformuluotas matematikos kalba naudojant matematinius metodus vadinamas matematiniu modeliu.

Jos statybos pradžia paprastai yra kokia nors užduotis, pavyzdžiui, ekonominė. Plačiai paplitusi, tiek aprašomoji, tiek optimizacinė matematinė, charakterizuojanti įvairius ekonominiai procesai ir įvykius, tokius kaip:

• išteklių paskirstymas
• racionalus pjovimas
• transportavimas
• įmonių konsolidavimas
• tinklo planavimas.

Kaip kuriamas matematinis modelis?

• Pirmiausia suformuluojamas tyrimo tikslas ir tema.
• Antra, išryškinamos svarbiausios šį tikslą atitinkančios charakteristikos.
• Trečia, modelio elementų ryšiai aprašomi žodžiu.
• Be to, santykiai formalizuojami.
• O skaičiavimas atliekamas pagal matematinį modelį ir gauto sprendimo analizę.

Naudodami šį algoritmą galite išspręsti bet kokią optimizavimo problemą, įskaitant ir daugiakriterinę, t.y. tokia, kurioje siekiama ne vieno, o kelių tikslų, tarp jų ir prieštaringų.

Paimkime pavyzdį. Eilių teorija – eilių problema. Turite subalansuoti du veiksnius – aptarnavimo įrenginių priežiūros išlaidas ir buvimo eilėje išlaidas. Sukūrus formalų modelio aprašymą, atliekami skaičiavimai analitiniais ir skaičiavimo metodais. Jei modelis geras, tai su jo pagalba rasti atsakymai yra adekvatūs modeliavimo sistemai, o jei blogas – reikia tobulinti ir pakeisti. Tinkamumo kriterijus yra praktika.

Optimizavimo modeliai, tarp jų ir daugiakriteriai, turi bendrą savybę – žinomas tikslas (ar keli tikslai), kurį pasiekti dažnai tenka susidurti su sudėtingomis sistemomis, kur reikia ne tiek optimizavimo problemų sprendimo, o būsenų tyrinėjimo ir numatymo. priklausomai nuo pasirinktų valdymo strategijų. Ir čia susiduriame su sunkumais įgyvendinant ankstesnį planą. Jie yra tokie:

• sudėtingoje sistemoje yra daug jungčių tarp elementų
• realią sistemą įtakoja atsitiktiniai veiksniai, į juos analitiškai atsižvelgti neįmanoma
• galimybė palyginti originalą su modeliu egzistuoja tik pradžioje ir pritaikius matematinį aparatą, nes tarpiniai rezultatai gali neturėti analogų realioje sistemoje.

Atsižvelgiant į išvardytus sunkumus, kylančius studijuojant sudėtingas sistemas, praktika reikalavo lankstesnio metodo ir atsirado – imitacinis modeliavimas „ Simuliacinis modeliavimas“.

Dažniausiai imitacinis modelis suprantamas kaip kompiuterinių programų rinkinys, aprašantis atskirų sistemų blokų funkcionavimą ir tarpusavio sąveikos taisykles. Naudojant atsitiktinius dydžius, būtina pakartotinai atlikti eksperimentus su modeliavimo sistema (kompiuteriu) ir vėliau atlikti statistinę gautų rezultatų analizę. Labai dažnas modeliavimo modelių panaudojimo pavyzdys yra eilių problemos sprendimas MONTE CARLO metodu.

Taigi darbas su modeliavimo sistema yra eksperimentas, atliekamas kompiuteriu. Kokia nauda?

– Didesnis artumas realiai sistemai nei matematiniai modeliai;

– Bloko principas leidžia patikrinti kiekvieną bloką prieš įtraukiant jį į bendrą sistemą;

– Sudėtingesnio pobūdžio priklausomybių, kurios neaprašomos paprastais matematiniais ryšiais, naudojimas.

Išvardyti pranašumai lemia trūkumus

– sukurti imitacinį modelį yra ilgiau, sunkiau ir brangiau;

– norint dirbti su simuliacine sistema, reikia turėti klasei tinkamą kompiuterį;

– sąveika tarp vartotojo ir modeliavimo modelio (sąsajos) neturi būti pernelyg sudėtinga, patogi ir gerai žinoma;

- modeliavimo modelio konstravimas reikalauja gilesnio realaus proceso tyrimo nei matematinis modeliavimas.

Kyla klausimas: ar modeliavimo modeliavimas gali pakeisti optimizavimo metodus? Ne, bet patogiai jas papildo. Modeliavimo modelis – tai programa, įgyvendinanti tam tikrą algoritmą, kurio valdymui optimizuoti pirmiausia išsprendžiama optimizavimo problema.

Taigi nei kompiuteris, nei matematinis modelis, nei jo tyrimo atskirai algoritmas negali išspręsti gana sudėtingos problemos. Tačiau kartu jie atstovauja jėgą, leidžiančią pažinti jus supantį pasaulį, valdyti jį žmogaus interesais.

1.2 Modelių klasifikacija

1.2.1 Klasifikavimas atsižvelgiant į laiko veiksnį ir naudojimo plotą (Makarova N.A.) Statinis modelis - tai tarsi vienkartinė informacijos apie objektą dalis (vienos apklausos rezultatas) Dinamiškas modelis-leidžia pamatyti objekto pokyčius laikui bėgant (kortelė klinikoje) Modelius galima klasifikuoti pagal kokiai žinių sričiai jie priklauso(biologinis, istorinis, ekologiškas ir kt.) Grįžkite į pradžią

1.2.2 Klasifikacija pagal naudojimo sritį (Makarova N.A.) Treniruotė- vizualinis pagalbinės priemonės, treniruokliai , oi daužymas programas Patyręs modelių sumažintas kopijos (automobilis vėjo tunelyje) Mokslinis ir techninis sinchrofasotronas, stendas elektroninės įrangos testavimui Žaidimas - ekonominis, sporto, verslo žaidimai simuliacija - ne jie tiesiog atspindi tikrovę, bet imituoja ją (vaistai bandomi su pelėmis, eksperimentai atliekami mokyklose ir pan.. Šis modeliavimo būdas vadinamas bandymas ir klaida Grįžkite į pradžią

1.2.3 Klasifikacija pagal pateikimo būdą Makarova N.A.) medžiaga modeliai - kitaip galima vadinti dalyku. Jie suvokia geometrines ir fizines originalo savybes ir visada turi tikrą įsikūnijimą. Informacinis modeliai – neleidžiami palieskite arba pamatysite. Jie yra pagrįsti informacija. .Informacija modelis – informacijos rinkinys, apibūdinantis objekto, proceso, reiškinio savybes ir būsenas, taip pat santykį su išoriniu pasauliu. Verbalinis modelis - informacijos modelis mentaline ar pokalbio forma. Ikoniška modelis-informacinis modelis išreikštas ženklais , t.y.. bet kokia formalia kalba. Kompiuterio modelis - m Modelis, įgyvendintas naudojant programinę aplinką.

1.2.4 Modelių klasifikacija, pateikta knygoje „Informatikos žemė“ (Gein A.G.)) „...čia iš pažiūros paprasta užduotis: kiek laiko užtruks kirsti Karakumo dykumą? Atsakyk, žinoma priklauso nuo kelionės būdo. Jeigu keliauti toliau kupranugarių, tada reikės vieno termino, kito, jei važiuosite automobiliu, trečio, jei skrisite lėktuvu. O svarbiausia, kad planuojant kelionę reikalingi skirtingi modeliai. Pirmuoju atveju reikiamą modelį galima rasti žinomų dykumų tyrinėtojų atsiminimuose: juk neapsieina be informacijos apie oazes ir kupranugarių takus. Antruoju atveju – nepakeičiama informacija, esanti kelių atlase. Trečioje – galite pasinaudoti skrydžių tvarkaraščiu. Šie trys modeliai skiriasi – memuarai, atlasas ir tvarkaraštis bei informacijos pateikimo pobūdis. Pirmuoju atveju modelis vaizduojamas žodiniu informacijos aprašymu (aprašomasis modelis), antroje - kaip fotografija iš gamtos (natūralus modelis), trečioje - lentelė su simboliais: išvykimo ir atvykimo laikas, savaitės diena, bilieto kaina (vadinamasis ženklų modelis) Tačiau toks skirstymas labai savavališkas – atsiminimuose galima rasti žemėlapius ir diagramas (viso mastelio modelio elementus), žemėlapiuose yra simboliai (simbolinio modelio elementai), simbolių dekodavimas (aprašomojo modelio elementai). ) nurodyta tvarkaraštyje. Taigi ši modelių klasifikacija, mūsų nuomone, yra neproduktyvi" Mano nuomone, šis fragmentas demonstruoja visoms Geino knygoms būdingą aprašomąjį (nuostabią kalbą ir pateikimo stilių) ir, tarytum, sokratinį mokymo stilių (visi mano, kad taip yra. Aš visiškai su tavimi sutinku, bet jei atidžiai pažvelgsi, tada ...). Tokiose knygose gana sunku rasti aiškią apibrėžimų sistemą (jos autorius neketina). Vadovėlyje, kurį redagavo N.A. Makarova demonstruoja kitokį požiūrį – sąvokų apibrėžimai yra aiškiai atskirti ir šiek tiek statiški.

1.2.5 Modelių klasifikacija pateikta A.I. Bochkino vadove Yra daug būdų klasifikuoti .Pristatome tik keli labiau žinomi fondai ir požymiai: diskretiškumas ir tęstinumas, matrica ir skaliariniai modeliai, statiniai ir dinaminiai modeliai, analitiniai ir informaciniai modeliai, dalykiniai ir vaizdinių ženklų modeliai, didelio masto ir ne masto... Kiekvienas ženklas suteikia tam tikrąžinios apie modelio ir modeliuojamos tikrovės savybes. Ženklas gali tarnauti kaip užuomina apie tai, kaip buvo atliktas arba turi būti atliktas modeliavimas. Diskretiškumas ir tęstinumą diskretiškumas - būdingas kompiuterių modelių bruožas .Po visko kompiuteris gali būti baigtinio, nors ir labai didelio skaičiaus būsenų. Todėl net jei objektas yra tęstinis (laikas), modelyje jis keisis šuoliais. Galima būtų svarstyti tęstinumą ne kompiuterinio tipo modelių ženklas. Atsitiktinumas ir determinizmas . Nežinomybė, avarija iš pradžių priešinosi kompiuterių pasauliui: vėl paleistas algoritmas turi kartotis ir duoti tuos pačius rezultatus. Tačiau atsitiktiniams procesams imituoti naudojami pseudoatsitiktinių skaičių jutikliai. Įvedus atsitiktinumą į deterministines problemas, gaunami galingi ir įdomūs modeliai (Random Tossing Area Calculation). Matrica - skaliarinis. Parametrų prieinamumas matrica modelis rodo didesnį jo sudėtingumą ir, galbūt, tikslumą, palyginti su skaliarinis. Pavyzdžiui, jei neišskirsime visų šalies gyventojų amžiaus grupių, įvertinus jo kitimą kaip visumą, gauname skaliarinį modelį (pavyzdžiui, Malthuso modelį), jei išskiriame – matricą (lytis ir amžius) modelis. Būtent matricos modelis leido paaiškinti gimstamumo svyravimus po karo. statinis dinamiškumas. Šios modelio savybės paprastai yra iš anksto nulemtos realaus objekto savybių. Čia nėra pasirinkimo laisvės. Tiesiog statinis modelis gali būti žingsnis link dinamiškas, arba kai kuriuos modelio kintamuosius kol kas galima laikyti nepakitusiais. Pavyzdžiui, palydovas juda aplink Žemę, jo judėjimui įtakos turi Mėnulis. Jei laikysime, kad Mėnulis nejuda per palydovo revoliuciją, gautume paprastesnį modelį. Analitiniai modeliai. Procesų aprašymas analitiškai, formules ir lygtis. Tačiau bandant sudaryti grafiką patogiau turėti funkcijų reikšmių ir argumentų lenteles. simuliaciniai modeliai. simuliacija modeliai pasirodė seniai didelės apimties laivų, tiltų ir tt kopijų pavidalu pasirodė seniai, tačiau kalbant apie kompiuterius, jie svarstomi neseniai. Žinant, kaip susiję modelio elementus analitiškai ir logiškai, lengviau ne išspręsti tam tikrų ryšių ir lygčių sistemą, o susieti realią sistemą į kompiuterio atmintį, atsižvelgiant į ryšius tarp atminties elementų. Informaciniai modeliai. InformacinisĮprasta modelius supriešinti su matematiniais, tiksliau – algoritminiais. Čia svarbus duomenų/algoritmo santykis. Jei duomenų yra daugiau arba jie svarbesni, turime informacinį modelį, kitu atveju - matematinės. Dalyko modeliai. Tai visų pirma vaikiškas modelis – žaislas. Figūrinių ženklų modeliai. Tai visų pirma žmogaus proto modelis: perkeltine, jei vyrauja grafiniai vaizdai, ir ikoniškas, jei yra daugiau nei žodžių ir (arba) skaičių. Figūrinių ženklų modeliai kuriami kompiuteryje. mastelio modeliai. Į didelio masto modeliai – tai subjekto arba vaizdiniai modeliai, atkartojantys objekto (žemėlapio) formą.

Matematinis modeliavimas

1. Kas yra matematinis modeliavimas?

Nuo XX amžiaus vidurio. įvairiose žmogaus veiklos srityse pradėti plačiai naudoti matematiniai metodai ir kompiuteriai. Atsirado naujos disciplinos, tokios kaip „matematinė ekonomika“, „matematinė chemija“, „matematinė lingvistika“ ir kt., kurios tiria atitinkamų objektų ir reiškinių matematinius modelius, taip pat šių modelių tyrimo metodus.

Matematinis modelis yra apytikslis bet kurios realaus pasaulio reiškinių ar objektų klasės aprašymas matematikos kalba. Pagrindinis modeliavimo tikslas – ištirti šiuos objektus ir numatyti būsimų stebėjimų rezultatus. Tačiau modeliavimas yra ir supančio pasaulio pažinimo metodas, leidžiantis jį valdyti.

Matematinis modeliavimas ir su juo susijęs kompiuterinis eksperimentas yra būtini tais atvejais, kai dėl vienokių ar kitokių priežasčių pilnas eksperimentas neįmanomas arba sunkus. Pavyzdžiui, neįmanoma sukurti pilno masto istorijos eksperimento, kuris patikrintų „kas būtų, jei...“ Neįmanoma patikrinti vienos ar kitos kosmologinės teorijos teisingumo. Iš esmės galima, bet vargu ar pagrįsta, eksperimentuoti su kokios nors ligos, pavyzdžiui, maro, plitimu arba surengti branduolinį sprogimą, siekiant ištirti jo pasekmes. Tačiau visa tai galima padaryti ir kompiuteriu, prieš tai sukūrus matematinius tiriamų reiškinių modelius.

2. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1) Modelio kūrimas. Šiame etape nurodomas koks nors „nematematinis“ objektas – gamtos reiškinys, statyba, ekonominis planas, gamybos procesas ir tt Tokiu atveju, kaip taisyklė, aiškus situacijos aprašymas yra sunkus. Pirmiausia nustatomi pagrindiniai reiškinio bruožai ir jų tarpusavio ryšys kokybiniu lygmeniu. Tada rastos kokybinės priklausomybės formuluojamos matematikos kalba, tai yra sudaromas matematinis modelis. Tai pati sunkiausia modeliavimo dalis.

2) Matematinės problemos, į kurią veda modelis, sprendimas. Šiame etape daug dėmesio skiriama algoritmų ir skaitmeninių problemos sprendimo būdų kompiuteryje kūrimui, kurių pagalba reikiamu tikslumu ir per leistiną laiką galima rasti rezultatą.

3) Gautų pasekmių iš matematinio modelio interpretavimas. Iš modelio išvestos pasekmės matematikos kalba interpretuojamos šioje srityje priimta kalba.

4) Modelio tinkamumo tikrinimas.Šiame etape išsiaiškinama, ar eksperimento rezultatai tam tikru tikslumu sutampa su teorinėmis modelio pasekmėmis.

5) Modelio modifikavimas.Šiame etape modelis arba tampa sudėtingesnis, kad labiau atitiktų tikrovę, arba supaprastinamas, kad būtų pasiektas praktiškai priimtinas sprendimas.

3. Modelių klasifikacija

Modeliai gali būti klasifikuojami pagal skirtingus kriterijus. Pavyzdžiui, pagal sprendžiamų problemų pobūdį modeliai gali būti skirstomi į funkcinius ir struktūrinius. Pirmuoju atveju visi reiškinį ar objektą apibūdinantys dydžiai išreiškiami kiekybiškai. Tuo pačiu metu kai kurie iš jų laikomi nepriklausomais kintamaisiais, o kiti yra laikomi šių dydžių funkcijomis. Matematinis modelis dažniausiai yra įvairių tipų (diferencialinių, algebrinių ir kt.) lygčių sistema, nustatanti kiekybinius ryšius tarp nagrinėjamų dydžių. Antruoju atveju modelis apibūdina sudėtingo objekto struktūrą, susidedančią iš atskirų dalių, tarp kurių yra tam tikri ryšiai. Paprastai šie santykiai nėra kiekybiškai įvertinami. Norint sukurti tokius modelius, patogu naudoti grafų teoriją. Grafas yra matematinis objektas, kuris yra taškų (viršūnių) rinkinys plokštumoje arba erdvėje, kai kurie iš jų yra sujungti linijomis (kraštais).

Pagal pradinių duomenų pobūdį ir prognozavimo rezultatus modelius galima skirstyti į deterministinius ir tikimybinius-statistinius. Pirmojo tipo modeliai pateikia aiškias, nedviprasmiškas prognozes. Antrojo tipo modeliai yra pagrįsti statistine informacija, o jų pagalba gautos prognozės yra tikimybinio pobūdžio.

4. Matematinių modelių pavyzdžiai

1) Problemos dėl sviedinio judėjimo.

Apsvarstykite šią mechanikos problemą.

Sviedinys paleidžiamas iš Žemės pradiniu greičiu v 0 = 30 m/s kampu a = 45° į jos paviršių; reikia rasti jo judėjimo trajektoriją ir atstumą S tarp šios trajektorijos pradžios ir pabaigos taškų.

Tada, kaip žinoma iš mokyklos fizikos kurso, sviedinio judėjimas apibūdinamas formulėmis:

kur t – laikas, g = 10 m/s 2 – laisvojo kritimo pagreitis. Šios formulės pateikia matematinį uždavinio modelį. Išreiškę t kaip x iš pirmosios lygties ir pakeitę ją antrąja, gauname sviedinio trajektorijos lygtį:

Ši kreivė (parabolė) kerta x ašį dviejuose taškuose: x 1 \u003d 0 (trajektorijos pradžia) ir (vieta, kur nukrito sviedinys). Į gautas formules pakeisdami nurodytas reikšmes v0 ir a, gauname

atsakymas: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Atkreipkite dėmesį, kad kuriant šį modelį buvo remiamasi daugybe prielaidų: pavyzdžiui, daroma prielaida, kad Žemė yra plokščia, o oras ir Žemės sukimasis neturi įtakos sviedinio judėjimui.

2) Mažiausio paviršiaus ploto rezervuaro problema.

Reikia rasti skardos bako, kurio tūris V = 30 m 3, aukštį h 0 ir spindulį r 0, turinčio uždaro apskrito cilindro formą, kurio paviršiaus plotas S yra minimalus (šiuo atveju mažiausias jai gaminti bus sunaudotas alavo kiekis).

Surašome šias formules, skirtus cilindro, kurio aukštis h ir spindulys r, tūrio ir paviršiaus ploto:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Išreikšdami h kaip r ir V iš pirmosios formulės ir pakeisdami gautą išraišką į antrąją, gauname:

Taigi matematiniu požiūriu problema sumažinama iki r reikšmės, kuriai esant funkcija S(r) pasiekia savo minimumą, nustatymo. Raskime tas r 0 reikšmes, kurių išvestinė

eina į nulį: Galite patikrinti, ar antroji funkcijos S(r) išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, kai argumentas r eina per tašką r 0 . Todėl funkcija S(r) turi minimumą taške r0. Atitinkama reikšmė h 0 = 2r 0 . Pakeitę nurodytą reikšmę V į išraišką r 0 ir h 0, gauname norimą spindulį ir aukštis

3) Transporto užduotis.

Mieste yra du miltų sandėliai ir dvi kepyklos. Kasdien iš pirmojo sandėlio išvežama po 50 tonų miltų, iš antrojo – į gamyklas – 70 tonų, į pirmąjį – 40, į antrąjį – 80 tonų.

Pažymėti a ij – 1 tonos miltų transportavimo iš i-ojo sandėlio į j-tą gamyklą kaina (i, j = 1,2). Leisti būti

a 11 \u003d 1,2 p., a 12 \u003d 1,6 p., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 p.

Kaip reikėtų planuoti transportavimą, kad jų kaina būtų minimali?

Suteikime uždaviniui matematinę formuluotę. x 1 ir x 2 pažymėkime miltų kiekį, kuris turi būti vežamas iš pirmojo sandėlio į pirmą ir antrą gamyklas, o x 3 ir x 4 - atitinkamai iš antrojo sandėlio į pirmą ir antrą gamyklas. Tada:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Bendra viso transportavimo kaina nustatoma pagal formulę

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Matematiniu požiūriu užduotis yra rasti keturis skaičius x 1 , x 2 , x 3 ir x 4, kurie tenkintų visas pateiktas sąlygas ir duotų funkcijos f minimumą. Išspręskime lygčių sistemą (1) xi atžvilgiu (i = 1, 2, 3, 4) nežinomųjų eliminavimo metodu. Mes tai suprantame

x 1 \u003d x 4 – 30, x 2 \u003d 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

ir x 4 negalima vienareikšmiškai nustatyti. Kadangi x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), iš (2) lygčių išplaukia, kad 30J x 4 J 70. Pakeitę x 1 , x 2 , x 3 išraišką į f formulę, gauname

f = 148 – 0,2x4.

Nesunku pastebėti, kad šios funkcijos minimumas pasiekiamas esant didžiausiai galimai x 4 reikšmei, tai yra, kai x 4 = 70. Atitinkamos kitų nežinomųjų reikšmės nustatomos formulėmis (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktyvaus skilimo problema.

Tegu N(0) yra pradinis radioaktyviosios medžiagos atomų skaičius, o N(t) yra nesuirusių atomų skaičius momentu t. Eksperimentiškai nustatyta, kad šių atomų skaičiaus kitimo greitis N "(t) yra proporcingas N (t), tai yra N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 yra tam tikros medžiagos radioaktyvumo konstanta. Matematinės analizės mokykliniame kurse parodyta, kad šios diferencialinės lygties sprendinys yra N(t) = N(0)e –l t . Laikas T, per kurį pradinių atomų skaičius sumažėjo perpus, vadinamas pusėjimo trukme ir yra svarbi medžiagos radioaktyvumo charakteristika. Norint nustatyti T, būtina įvesti formulę Tada Pavyzdžiui, radonui l = 2,084 10–6, taigi T = 3,15 dienos.

5) keliaujančio pardavėjo problema.

Keliaujantis pardavėjas, gyvenantis mieste A 1, turi aplankyti miestus A 2, A 3 ir A 4, kiekviename mieste tiksliai vieną kartą, o tada grįžti į A 1. Yra žinoma, kad visus miestus poromis jungia keliai, o kelių ilgiai b ij tarp miestų A i ir A j (i, j = 1, 2, 3, 4) yra tokie:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Būtina nustatyti miestų lankymo tvarką, kurioje atitinkamo tako ilgis būtų minimalus.

Kiekvieną miestą pavaizduokime kaip tašką plokštumoje ir pažymėkime atitinkama etikete Ai (i = 1, 2, 3, 4). Šiuos taškus sujungkime linijų atkarpomis: jose bus pavaizduoti keliai tarp miestų. Kiekvienam „keliui“ nurodome jo ilgį kilometrais (2 pav.). Rezultatas yra grafikas – matematinis objektas, susidedantis iš tam tikros plokštumos taškų (vadinamų viršūnėmis) ir tam tikros šiuos taškus jungiančių linijų (vadinamų briaunomis) rinkinio. Be to, šis grafikas yra pažymėtas, nes kai kurios etiketės yra priskiriamos jo viršūnėms ir briaunoms - skaičiai (kraštai) arba simboliai (viršūnės). Grafo ciklas yra tokia viršūnių V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 seka, kurios viršūnės V 1 , ..., V k yra skirtingos, o bet kuri viršūnių pora V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) ir pora V 1 , V k yra sujungti briauna. Taigi, nagrinėjama problema yra rasti tokį grafiko ciklą, einantį per visas keturias viršūnes, kurių visų briaunų svorių suma yra minimali. Paieškokime visuose skirtinguose ciklus, einančius per keturias viršūnes ir pradedant nuo A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Dabar raskime šių ciklų ilgius (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Taigi mažiausio ilgio maršrutas yra pirmasis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei grafe yra n viršūnių ir visos viršūnės poromis sujungtos briaunomis (toks grafikas vadinamas užbaigtu), tai ciklų, einančių per visas viršūnes, skaičius yra lygus.Todėl mūsų atveju ciklai yra lygiai trys .

6) Medžiagų sandaros ir savybių ryšio suradimo problema.

Apsvarstykite keletą cheminių junginių, vadinamų normaliais alkanais. Jie susideda iš n anglies atomų ir n + 2 vandenilio atomų (n = 1, 2 ...), tarpusavyje sujungtų, kaip parodyta 3 paveiksle, kai n = 3. Tegul yra žinomos šių junginių virimo temperatūros eksperimentinės vertės:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Reikia rasti apytikslį ryšį tarp šių junginių virimo temperatūros ir skaičiaus n. Manome, kad ši priklausomybė turi formą

y » a n+b

kur a, b – nustatytinos konstantos. Už radimą a ir b į šią formulę paeiliui pakeičiame n = 3, 4, 5, 6 ir atitinkamas virimo taškų vertes. Mes turime:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Norėdami nustatyti geriausią a ir b yra daug skirtingų metodų. Naudokime paprasčiausią iš jų. Išreiškiame b terminais a iš šių lygčių:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Paimkime norimą b šių reikšmių aritmetinį vidurkį, tai yra, įdėkime b » 16 - 4,5 a. Pakeiskime šią reikšmę b į pradinę lygčių sistemą ir apskaičiuokime a, gauname už ašios reikšmės: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a vidutinė šių skaičių reikšmė, tai yra, nustatome a» 34. Taigi, norima lygtis turi formą

y » 34n – 139.

Patikrinkime modelio tikslumą pradiniuose keturiuose junginiuose, kurių virimo temperatūras apskaičiuojame pagal gautą formulę:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Taigi šios savybės skaičiavimo paklaida šiems junginiams neviršija 5°. Gautą lygtį naudojame junginio, kurio n = 7, neįtraukto į pradinę aibę, virimo temperatūrai apskaičiuoti, o šioje lygtyje pakeičiame n = 7: y р (7) = 99°. Rezultatas pasirodė gana tikslus: žinoma, kad eksperimentinė virimo temperatūros vertė y e (7) = 98°.

7) Elektros grandinės patikimumo nustatymo problema.

Čia nagrinėjame tikimybinio modelio pavyzdį. Pirmiausia pateikime šiek tiek informacijos iš tikimybių teorijos – matematinės disciplinos, tiriančios atsitiktinių reiškinių, stebimų kartojant eksperimentą, modelius. Pavadinkime atsitiktinį įvykį A galimu tam tikros patirties padariniu. Įvykiai A 1 , ..., A k sudaro pilną grupę, jei vienas iš jų būtinai įvyksta kaip eksperimento rezultatas. Įvykiai vadinami nesuderinamais, jei negali vykti vienu metu toje pačioje patirtyje. Tegul įvykis A įvyksta m kartų per eksperimento kartojimą n kartų. Įvykio A dažnis yra skaičius W = . Akivaizdu, kad W vertės negalima tiksliai numatyti, kol nebus atlikta n eksperimentų serija. Tačiau atsitiktinių įvykių prigimtis yra tokia, kad praktikoje kartais pastebimas toks poveikis: didėjant eksperimentų skaičiui, reikšmė praktiškai nustoja būti atsitiktinė ir stabilizuojasi aplink kokį nors neatsitiktinį skaičių P(A), vadinamą įvykio tikimybė A. Neįmanomam įvykiui (kuris niekada neįvyksta eksperimente) P(A)=0, o tam tikram įvykiui (kuris visada vyksta eksperimente) P(A)=1. Jei įvykiai A 1 , ..., A k sudaro visą nesuderinamų įvykių grupę, tai P(A 1)+...+P(A k)=1.

Tarkime, eksperimentas susideda iš kauliuko metimo ir išmestų taškų skaičiaus X stebėjimo. Tada galime įvesti tokius atsitiktinius įvykius A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Jie susidaro visa grupė nesuderinamų vienodai tikėtinų įvykių, todėl P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Įvykių A ir B suma yra įvykis A + B, kuris susideda iš to, kad eksperimente įvyksta bent vienas iš jų. Įvykių A ir B sandauga yra įvykis AB, kuris susideda iš šių įvykių vienu metu. Nepriklausomiems įvykiams A ir B formulės yra teisingos

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Dabar apsvarstykite šiuos dalykus užduotis. Tarkime, kad trys elementai nuosekliai sujungti elektros grandinėje, veikiantys vienas nuo kito nepriklausomai. 1-ojo, 2-ojo ir 3-iojo elementų gedimo tikimybės yra atitinkamai P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Grandinę laikysime patikima, jei tikimybė, kad grandinėje nebus srovės, yra ne didesnė kaip 0,4. Būtina nustatyti, ar nurodyta grandinė yra patikima.

Kadangi elementai yra sujungti nuosekliai, grandinėje nebus srovės (įvykis A), jei bent vienas elementas sugenda. Tegu A i yra įvykis, kai veikia i-asis elementas (i = 1, 2, 3). Tada P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Akivaizdu, kad A 1 A 2 A 3 yra įvykis, kai visi trys elementai veikia vienu metu ir

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tada P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, taigi P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Baigdami pažymime, kad aukščiau pateikti matematinių modelių pavyzdžiai (tarp kurių yra funkciniai ir struktūriniai, deterministiniai ir tikimybiniai) yra iliustratyvūs ir, be abejo, neišsemia visos gamtos ir humanitariniuose moksluose atsirandančių matematinių modelių įvairovės.

Matematiniai modeliai

Matematinis modelis - apytikslis opimodeliavimo objekto aprašymas, išreikštas naudojantschyu matematinė simbolika.

Matematiniai modeliai atsirado kartu su matematika prieš daugelį amžių. Didžiulį postūmį matematinio modeliavimo plėtrai davė kompiuterių atsiradimas. Kompiuterių naudojimas leido išanalizuoti ir praktiškai pritaikyti daugybę matematinių modelių, kurie anksčiau nebuvo tinkami analitiniams tyrimams. Kompiuteriu įgyvendinta matematikadangaus modelis paskambino kompiuterinis matematinis modelis, a tikslinių skaičiavimų atlikimas naudojant kompiuterinį modelį paskambino skaičiavimo eksperimentas.

Kompiuterinės matematikos etapai moištrynimas parodyta paveiksle. Pirmasetapas - modeliavimo tikslų apibrėžimas.Šie tikslai gali būti skirtingi:

1. modelis reikalingas norint suprasti, kaip veikia konkretus objektas, kokia jo struktūra, pagrindinės savybės, vystymosi ir sąveikos dėsniai
   su išoriniu pasauliu (supratimas);
2. modelis reikalingas norint išmokti valdyti objektą (ar procesą) ir nustatyti geriausius valdymo būdus pagal nurodytus tikslus ir kriterijus (valdymas);
3. modelis reikalingas tam, kad būtų galima numatyti tiesiogines ir netiesiogines nurodytų metodų ir poveikio objektui formų (prognozavimo) pasekmes.

Paaiškinkime pavyzdžiais. Tegul tyrimo objektas yra skysčio ar dujų srauto sąveika su kūnu, kuris yra kliūtis šiam srautui. Patirtis rodo, kad pasipriešinimo tekėjimui iš kūno šono jėga didėja didėjant srauto greičiui, tačiau esant pakankamai dideliam greičiui, ši jėga staigiai sumažėja, kad toliau didėjant greičiui vėl padidėtų. Kas lėmė pasipriešinimo jėgos sumažėjimą? Matematinis modeliavimas leidžia gauti aiškų atsakymą: staigiai sumažėjus pasipriešinimui, skysčio ar dujų sraute už supainiojo kūno susidarę sūkuriai pradeda nuo jo atitrūkti ir srauto nunešami.

Pavyzdys iš visiškai kitos srities: taikiai sugyvendami su stabiliomis dviejų rūšių individų populiacijomis, turinčiomis bendrą maisto bazę, „staiga“ pradeda dramatiškai keisti jų skaičių. O štai matematinis modeliavimas leidžia (su tam tikru tikrumu) nustatyti priežastį (arba bent paneigti tam tikrą hipotezę).

Kitas galimas modeliavimo tikslas – objektų valdymo koncepcijos sukūrimas. Kokį lėktuvo skrydžio režimą pasirinkti, kad skrydis būtų saugus ir ekonomiškai naudingiausias? Kaip suplanuoti šimtus darbų, susijusių su didelio objekto statyba, kad jis kuo greičiau baigtųsi? Daugelis tokių problemų sistemingai iškyla ekonomistams, dizaineriams ir mokslininkams.

Galiausiai, tam tikrų poveikių objektui pasekmių numatymas gali būti tiek gana paprastas dalykas paprastose fizinėse sistemose, tiek itin sudėtingas – ties įgyvendinamumo riba – biologinėse, ekonominėse, socialinėse sistemose. Jei gana lengva atsakyti į klausimą apie šilumos sklidimo ploname stryne būdo pasikeitimą, pasikeitus jo sudedamajam lydiniui, tai nepalyginamai sunkiau atsekti (numatyti) aplinkos ir klimato pasekmes, kylančias dėl koto konstrukcijos. didžioji hidroelektrinė arba mokesčių teisės aktų pakeitimų socialiniai padariniai. Galbūt ir čia ateityje reikšmingesnės pagalbos suteiks matematinio modeliavimo metodai.

Antrasis etapas: modelio įvesties ir išvesties parametrų apibrėžimas; įvesties parametrų skirstymas pagal jų pokyčių įtakos produkcijai svarbą. Šis procesas vadinamas reitingavimu arba padalijimu pagal rangą (žr. toliau). „Formalizacijamodelis ir modeliavimas“).

Trečias etapas: matematinio modelio konstravimas. Šiame etape nuo abstrakčios modelio formuluotės pereinama prie formuluotės, kuri turi specifinį matematinį vaizdą. Matematinis modelis – tai lygtys, lygčių sistemos, nelygybių sistemos, diferencialinės lygtys arba tokių lygčių sistemos ir kt.

Ketvirtas etapas: matematinio modelio tyrimo metodo pasirinkimas. Dažniausiai čia naudojami skaitmeniniai metodai, kurie puikiai tinka programavimui. Paprastai tai pačiai problemai išspręsti tinka keli metodai, kurie skiriasi tikslumu, stabilumu ir pan. Viso modeliavimo proceso sėkmė dažnai priklauso nuo teisingo metodo pasirinkimo.

Penktas etapas: algoritmo kūrimas, kompiuterinės programos kompiliavimas ir derinimas yra sunkiai formalizuojamas procesas. Iš programavimo kalbų daugelis matematinio modeliavimo profesionalų teikia pirmenybę FORTRAN: tiek dėl tradicijų, tiek dėl neprilygstamo kompiliatorių efektyvumo (skaičiuojant darbui) ir dėl didžiulių, kruopščiai derintų ir optimizuotų standartinių matematinių metodų programų, parašytų bibliotekoje, bibliotekų. tai. Taip pat naudojamos kalbos, tokios kaip PASCAL, BASIC, C, atsižvelgiant į užduoties pobūdį ir programuotojo polinkius.

Šeštas etapas: programos testavimas. Programos veikimas išbandomas pagal bandomąją problemą su žinomu atsakymu. Tai tik bandymo procedūros, kurią sunku formaliai išsamiai apibūdinti, pradžia. Paprastai testavimas baigiasi, kai vartotojas pagal savo profesines savybes mano, kad programa yra teisinga.

Septintas etapas: tikrasis skaičiavimo eksperimentas, kurio metu paaiškėja, ar modelis atitinka realų objektą (procesą). Modelis yra pakankamai adekvatus realiam procesui, jei kai kurios proceso charakteristikos, gautos kompiuteriu, tam tikru tikslumu sutampa su eksperimentiškai gautomis charakteristikomis. Jei modelis neatitinka realaus proceso, grįžtame į vieną iš ankstesnių etapų.

Matematinių modelių klasifikacija

Matematinių modelių klasifikacija gali būti pagrįsta įvairiais principais. Galima modelius klasifikuoti pagal mokslo šakas (matematiniai modeliai fizikoje, biologijoje, sociologijoje ir kt.). Jis gali būti klasifikuojamas pagal taikomą matematinį aparatą (modeliai, pagrįsti įprastų diferencialinių lygčių, dalinių diferencialinių lygčių, stochastinių metodų, diskrečiųjų algebrinių transformacijų ir kt. naudojimu). Galiausiai, jei pereisime nuo bendrųjų modeliavimo užduočių įvairiuose moksluose, nepriklausomai nuo matematinio aparato, natūraliausia yra tokia klasifikacija:

• aprašomieji (descriptive) modeliai;
• optimizavimo modeliai;
• daugiakriteriniai modeliai;
• žaidimų modeliai.

Paaiškinkime tai pavyzdžiais.

Aprašomieji (aprašomieji) modeliai. Pavyzdžiui, kometos, kuri įsiveržia į Saulės sistemą, judėjimo modeliavimas atliekamas siekiant numatyti jos skrydžio trajektoriją, atstumą, kuriuo ji praskris nuo Žemės ir pan. Šiuo atveju modeliavimo tikslai yra aprašomieji, nes nėra galimybės paveikti kometos judėjimo, ką nors joje pakeisti.

Optimizavimo modeliai yra naudojami procesams, kuriuos galima paveikti bandant pasiekti tam tikrą tikslą, apibūdinti. Šiuo atveju modelis apima vieną ar daugiau parametrų, kuriuos galima paveikti. Pavyzdžiui, pakeitus terminį režimą grūdų sandėlyje, galima išsikelti tikslą pasirinkti tokį režimą, kad būtų pasiektas maksimalus grūdų išsaugojimas, t.y. optimizuoti saugojimo procesą.

Daugiakriteriniai modeliai. Dažnai reikia optimizuoti procesą keliais parametrais vienu metu, o tikslai gali būti labai prieštaringi. Pavyzdžiui, žinant maisto kainas ir žmogaus poreikį maistui, reikia fiziologiškai teisingai ir tuo pačiu kuo pigiau organizuoti maitinimą didelėms žmonių grupėms (kariuomenėje, vaikų vasaros stovykloje ir pan.). Akivaizdu, kad šie tikslai visiškai nesutampa; modeliuojant bus naudojami keli kriterijai, tarp kurių reikia ieškoti balanso.

Žaidimų modeliai gali būti susiję ne tik su kompiuteriniais žaidimais, bet ir su labai rimtais dalykais. Pavyzdžiui, prieš mūšį, esant nepilnai informacijai apie besipriešinančią kariuomenę, vadas turi parengti planą: kokia tvarka į mūšį įvesti tam tikrus dalinius ir pan., atsižvelgdamas į galimą priešo reakciją. Yra specialus šiuolaikinės matematikos skyrius – žaidimų teorija – nagrinėjantis sprendimų priėmimo metodus nepilnos informacijos sąlygomis.

Mokyklos informatikos kurse studentai įgyja pirminę kompiuterinio matematinio modeliavimo idėją kaip pagrindinio kurso dalį. Vidurinėje mokykloje matematinis modeliavimas gali būti giliai studijuojamas bendrojo lavinimo kurse, skirtame fizikos ir matematikos klasėms, taip pat specializuotame pasirenkamajame kurse.

Pagrindinės kompiuterinio matematinio modeliavimo mokymo formos vidurinėje mokykloje yra paskaitos, laboratoriniai ir įskaitiniai užsiėmimai. Paprastai kiekvieno naujo modelio kūrimo ir pasiruošimo studijoms darbas trunka 3-4 pamokas. Medžiagos pristatymo metu iškeliami uždaviniai, kuriuos ateityje mokiniai turės išspręsti patys, bendrais bruožais nubrėžiami jų sprendimo būdai. Suformuluojami klausimai, į kuriuos atsakymus reikėtų gauti atliekant užduotis. Nurodyta papildoma literatūra, leidžianti gauti pagalbinės informacijos sėkmingiau atlikti užduotis.

Naujos medžiagos studijavimo užsiėmimų organizavimo forma dažniausiai yra paskaita. Pasibaigus aptarimui apie kitą modelį studentai turėti reikalingą teorinę informaciją ir užduočių rinkinį tolesniam darbui. Ruošdamiesi užduočiai, studentai pasirenka tinkamą sprendimo būdą, naudodami kokį nors žinomą privatų sprendimą, išbando sukurtą programą. Iškilus visai galimiems sunkumams atliekant užduotis, konsultuojamasi, siūloma šias dalis detaliau išnagrinėti literatūroje.

Praktinei kompiuterinio modeliavimo mokymo daliai aktualiausias yra projektų metodas. Užduotis mokiniui suformuluota edukacinio projekto forma ir vykdoma per kelias pamokas, o pagrindinė organizacinė forma šiuo atveju yra kompiuterinis laboratorinis darbas. Mokymasis modeliuoti mokymosi projekto metodu gali būti įgyvendinamas įvairiais lygiais. Pirmoji – projekto įgyvendinimo proceso problemos išdėstymas, kuriam vadovauja mokytojas. Antrasis – projektą įgyvendina mokiniai, vadovaujami mokytojo. Trečiasis – studentų savarankiškas edukacinio tyrimo projekto įgyvendinimas.

Darbo rezultatai turi būti pateikti skaitine forma, grafikų, diagramų pavidalu. Jei įmanoma, procesas kompiuterio ekrane pateikiamas dinamikoje. Atlikus skaičiavimus ir gavus rezultatus, jie analizuojami, lyginami su žinomais iš teorijos faktais, patvirtinamas patikimumas ir atliktas prasmingas interpretavimas, kuris vėliau atsispindi rašytinėje ataskaitoje.

Jei rezultatai tenkina mokinį ir mokytoją, tai darbas skaičiuoja baigtas, o paskutinis jos etapas – ataskaitos parengimas. Pranešime pateikiama trumpa teorinė informacija nagrinėjama tema, matematinė problemos formuluotė, sprendimo algoritmas ir jo pagrindimas, kompiuterinė programa, programos rezultatai, rezultatų analizė ir išvados, literatūros sąrašas.

Surašius visas ataskaitas, testų sesijos metu studentai trumpai atsiskaito apie nuveiktus darbus, apgina savo projektą. Tai efektyvi projekto komandos pranešimo klasei forma, apimanti problemos nustatymą, formalaus modelio kūrimą, darbo su modeliu metodų pasirinkimą, modelio diegimą kompiuteryje, darbą su baigtu modeliu, rezultatų interpretavimą, prognozavimas. Dėl to mokiniai gali gauti du balus: pirmasis – už projekto išdirbimą ir jo gynimo sėkmę, antras – už programą, jos algoritmo, sąsajos optimalumą ir kt. Teorinės apklausos metu studentai taip pat gauna balus.

Esminis klausimas – kokias priemones naudoti mokyklinio informatikos kurse matematiniam modeliavimui? Kompiuterinis modelių įgyvendinimas gali būti atliekamas:

• naudojant skaičiuoklę (dažniausiai MS Excel);
• kuriant programas tradicinėmis programavimo kalbomis (Pascal, BASIC ir kt.), taip pat šiuolaikinėmis jų versijomis (Delphi, Visual
  Basic for Application ir kt.);
• naudojant specialius programinius paketus matematiniams uždaviniams spręsti (MathCAD ir kt.).

Pradinėje mokykloje pirmenybė teikiama pirmajai priemonei. Tačiau vidurinėje mokykloje, kai programavimas kartu su modeliavimu yra pagrindinė informatikos tema, pageidautina jį įtraukti kaip modeliavimo įrankį. Programavimo procese studentams tampa prieinamos matematinių procedūrų detalės; be to, jie tiesiog priversti juos įvaldyti, o tai taip pat prisideda prie matematinio išsilavinimo. Kalbant apie specialių programinės įrangos paketų naudojimą, tai tinkama profilio informatikos kursuose kaip kitų įrankių priedas.

Pratimas :

• Apibūdinkite pagrindines sąvokas.