Diferencialinės lygtysn– įsakymas.

Jei lygtis yra išsprendžiama aukščiausios išvestinės atžvilgiu, tada ji turi formą (1). Be to, n-osios eilės lygtis gali būti pavaizduota kaip n pirmosios eilės lygčių sistema.

(3)

N-osios eilės lygčiai tenkinamos sistemos egzistavimo ir unikalumo teoremos sąlygos, nes (1)~(2)~(3).

Paprasčiausi užsakymo sumažinimo atvejai.

Lygtyje nėra norimos funkcijos ir jos išvestinės iki eilės k -1 imtinai , tai yra

Tokiu atveju užsakymas gali būti sumažintas iki
pakeitimas. Jei išreiškiame iš šios lygties, sprendimas y gali būti nustatytas k karto integruojama funkcija p.

Pavyzdys.
.

Lygtis, kurioje nėra nežinomo kintamojo

(5)

Tokiu atveju užsakymą galima sumažinti vienu pakeičiant.

Pavyzdys.
.

Kairioji lygties pusė

(6)

yra kokios nors diferencinės išraiškos ( n -1) užsakymas .
. Jeigu
- todėl paskutinės lygties sprendinys egzistuoja. Gavome pirmąjį (6) lygties integralą ir sprendžiamos lygties laipsnį sumažinome vienu.

komentuoti. Kartais kairioji (6) pusė tampa (n-1) eilės diferencialinės lygties išvestine tik tada, kai ji padauginama iš
todėl čia gali atsirasti papildomas sprendimas (atvirkštinis iki nulio) arba galime prarasti sprendimą, jei nepertraukiama funkcija.

Pavyzdys.

Lygtis

(7)

atžvilgiu vienalytis ir jo dariniai .

Arba kur yra eksponentas
nustatoma iš homogeniškumo sąlygų.

Šios lygties eiliškumą galima sumažinti vienu pakeičiant: .

Jei šiuos ryšius pakeisime į (7) ir atsižvelgsime į funkcijos homogeniškumą F , tada galų gale gauname: .

Pavyzdys.
.

Antros eilės diferencialinės lygtys,

leidžiantis sumažinti užsakymą.

Pakeitimas
.

Jei (8) lygtis gali būti išspręsta atsižvelgiant į didžiausią išvestinę, tada lygtis
integruota du kartus kintamojo atžvilgiu x.

Galite įvesti parametrą ir pakeisti lygtį (8) jos parametriniu vaizdu:
. Santykio naudojimas skirtumams:
, gauname: ir

II .
(9)

Naudokime parametrinį vaizdavimą:

III.
. (10)

Galite sumažinti užsakymą pakeisdami:
.

Jei (10) lygtis yra išsprendžiama atsižvelgiant į didžiausią išvestinę
, tada dešinę ir kairę puses padauginkite iš
. Gauname:. Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
.

(10) lygtis gali būti pakeista jos parametriniu vaizdu: . Naudokime diferencialo savybes:

Pavyzdys.
.

Tiesinės diferencialinės lygtysn– įsakymas.

Apibrėžimas. Tiesinės diferencialinės lygtys n – įsakymas vadinamos formos lygtimis:
. (1)

Jei koeficientai nuolatinis
, tada šalia bet kokių pradinių formos reikšmių:, kur priklauso intervalui, tada šalia šių pradinių verčių sąlygos yra įvykdytos egzistavimo ir unikalumo teoremos. (1) lygties tiesiškumas ir homogeniškumas išsaugomas atliekant bet kokią transformaciją
, kur yra savavališka n kartų diferencijuojama funkcija. Ir
. Tiesiškumas ir vienalytiškumas išsaugomi atliekant tiesinę ir homogeninę nežinomos funkcijos transformaciją.

Pateikiame tiesinį diferencialinį operatorių: , tada (1) gali būti parašytas taip:
. Vronskio determinantas už
atrodys taip:

, kur - tiesiškai nepriklausomi (1) lygties sprendiniai.

1 teorema. Jei tiesiškai nepriklausomos funkcijos
yra tiesinės vienalytės lygties (1) su tolydiniu sprendinys
koeficientai
, tada Vronskio determinantas
neišnyksta jokiame atkarpos taške
.

2 teorema. Bendrasis tiesinės vienalytės lygties (1) sprendimas su tolydiniu
koeficientai
bus linijinis sprendinių derinys , tai yra
(2), kur
tiesiškai nepriklausomas nuo segmento
konkretūs sprendimai (1).

(įrodyta panašiai kaip tiesinių diferencialinių lygčių sistemos atveju)

Pasekmė. Didžiausias tiesiškai nepriklausomų sprendinių skaičius (1) yra lygus jo tvarkai.

Žinant vieną netrivialų konkretų (1) lygties sprendinį -
, galite pakeisti
ir sumažinti lygties eiliškumą, išlaikant jos tiesiškumą ir nehomogeniškumą. Paprastai šis pakaitalas yra padalintas į du. Kadangi tai yra tiesiškai vienalytis vaizdas, jis išsaugo (1) tiesiškumą ir vienalytiškumą, o tai reiškia, kad (1) turi būti sumažintas iki formos. sprendimas
dėka
atitinka sprendimą
, taigi
. Atliekant pakeitimą
, gauname lygtį su tvarka
.

Lemma. (3)

Dvi (3) ir (4) formos lygtys, kur Q i ir P i yra tolydžios funkcijose, turinčiose bendrą pamatinę sprendinių sistemą, sutampa, t.y. Q i (x) = P i (x), i = 1,2,…n,  x

Remdamiesi lema, galime daryti išvadą, kad pagrindinė sprendinių y 1 y 2 …y n sistema visiškai nustato tiesinę vienalytę lygtį (3).

Raskime (3) lygties formą, kuri turi pagrindinę sprendinių sistemą y 1 y 2 …y n . Bet koks sprendimas y(x) (3) lygtis tiesiškai priklauso nuo pagrindinės sprendinių sistemos, o tai reiškia, kad W=0. Išplėskime Wronsky determinantą W paskutiniame stulpelyje.

(5) lygtis yra norima tiesinė diferencialinė lygtis su pateikta pagrindinių sprendimų sistema. Mes galime (5) padalyti iš W, nes jis nelygus nuliui  x. Tada:

(*)

Pagal determinantų diferenciacijos taisyklę determinanto išvestinė yra lygi i=1,2…n determinantų sumai, kurių kiekvienos i-oji eilutė yra lygi pradinio i-osios eilės išvestinei. determinantas. Šioje sumoje visi determinantai, išskyrus paskutinį, yra lygūs nuliui (nes jie turi dvi identiškas eilutes), o paskutinė lygi (*). Taigi gauname:

, tada:
(6)

(7)

Apibrėžimas. Formulės (6) ir (7) vadinamos Ostrogradsky-Liouville formulės.

Mes naudojame (7), kad integruotume antros eilės tiesinę homogeninę lygtį. Ir sužinokime vieną iš (8) lygties sprendinių y 1.

Pagal (7) bet koks (8) sprendimas turi atitikti šį ryšį:

(9)

Mes naudojame integravimo faktoriaus metodą.

Tiesinės vienalytės lygtys su

pastovūs santykiai.

Jei tiesinėje vienalytėje lygtyje visi koeficientai yra pastovūs,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

tada konkrečius sprendinius (1) galima apibrėžti taip: y=e kx , kur k yra konstanta.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Apibrėžimas. (3) - charakteristikos lygtis.

Sprendimo (1) forma nustatoma pagal charakteristikų (3) lygties šaknis.

1). Visos šaknys yra tikros ir skirtingos. , tada:

2). Jei visi koeficientai yra realūs, tada šaknys gali būti sudėtingos konjuguotos .

k 1 =+i k 2 =-i

Tada sprendimai atrodo taip:

Pagal teoremą: jei operatorius su realiais koeficientais turi kompleksinius konjuguotus sprendinius, tai jų tikroji ir menamoji dalys taip pat yra sprendiniai. Tada:

Pavyzdys.

Formoje atstovaujame sprendimą
, tada charakteristikos lygtis turi tokią formą:

, gauname du sprendimus:

tada norima funkcija yra:

3). Yra kelios šaknys: k i su daugybe  i . Šiuo atveju skirtingų sprendimų skaičius
bus mažesnis už n, todėl trūkstamų tiesiškai nepriklausomų sprendinių reikia ieškoti kitokia forma. Pavyzdžiui:

Įrodymas:

Tarkime, k i = 0, jei pakeisime jį į (3), tada gausime, kad:

- konkretūs sprendimai (3).

Tegul k i 0, pakeisime
(6)

Pakeitę (6) į (1), z atžvilgiu gauname tiesinę vienalytę n-osios eilės lygtį su pastoviais koeficientais (7).

Šaknys (3) skiriasi nuo charakteristikų (7) lygties šaknų terminu k i .

(8)

Jeigu k=k i , tai šis k atitinka (7) lygties sprendinį, kurio šaknis p=0 , t.y. atitinka z= formos sprendinius
, tada y=- (1) lygties sprendimas. Ir bendras sprendimas atrodo taip:

sprendimas k i



Eilerio lygtis.

Apibrėžimas. Tipo lygtis:

a i -konstantos koeficientai vadinami Eilerio lygtis.

Eilerio lygtis pakeitus x=e t redukuojama į tiesinę homogeninę lygtį su pastoviais koeficientais.

Galite ieškoti sprendinių formoje y=x k , tada jie atrodo taip:

Tiesinės nehomogeninės lygtys.

Jei 0 (x)0, tai lygtį (1) padalinę iš šio koeficiento, gauname:

.

Jei i ir f yra ištisiniai b, tai (2) turi unikalų sprendinį, kuris tenkina atitinkamas pradines sąlygas . Jei aiškiai išreiškiame didžiausias išvestines iš (2), gauname lygtį, kurios dešinioji pusė tenkina egzistavimo ir unikalumo teoremą. Kadangi operatorius L yra tiesinis, tai reiškia, kad (2) yra teisinga:

1).
- sprendimas (2), jei yra nehomogeninės lygties (2) sprendimas ir yra atitinkamos vienalytės lygties sprendinys.

2). Jeigu - sprendimai
, tada
lygties sprendimas
.

2 savybė yra superpozicijos principas, jis galioja
jei eilė
- suartėja ir prisipažįsta m- kartojamas diferencijavimas pagal terminą.

3) Tegu pateikta operatoriaus lygtis
, kur L yra operatorius su koeficientais , visi - tikras. Funkcijos U ir V taip pat yra realios. Tada, jei ši lygtis turi sprendimą
, tada įsivaizduojamoji ir tikroji y dalys bus tos pačios lygties sprendinys:
ir
. Be to, kiekvienas iš jų atitinka sprendimą.

Teorema. Bendrasis nehomogeninės lygties sprendimasn- įsakymas
segmente [a, b] su sąlyga, kad visi koeficientai
ir dešinėje pusėje
- tolydžios funkcijos, gali būti vaizduojamos kaip bendrojo sprendinio suma, atitinkanti vienalytę sistemą
ir ypatingas nehomogeniškumo sprendimas -
.

Tie. sprendimas
.

Jei neįmanoma aiškiai pasirinkti tam tikrų nevienalytės sistemos sprendinių, galite naudoti šį metodą konstantos variacijos . Ieškosime sprendimo formoje:

(3)

kur
vienarūšiai sisteminiai sprendimai,
- nežinomos funkcijos.

Visiškai nežinomos funkcijos
- n. Jie turi atitikti pradinę (2) lygtį.

Pakeitę išraišką y(x) į (2) lygtį, gauname sąlygas nustatyti tik vieną nežinomą funkciją. Norint nustatyti likusias (n-1) šulinio funkcijas, būtina papildoma (n-1) bet papildoma sąlyga, jas galima pasirinkti savavališkai. Jas parenkame taip, kad sprendimas (2) - y(x) atrodytų taip pat, tarsi
buvo konstantos.

,

nes
tada elkitės kaip konstantos
, o tai reiškia ir
.

Tai. gauname (n-1)-bet sąlyga be (1) lygties. Jei išvestinių išraišką pakeisime (1) lygtimi ir atsižvelgsime į visas gautas sąlygas ir į tai, kad y i yra atitinkamos vienalytės sistemos sprendinys, tada gausime paskutinę sąlygą
.

Pereikime prie sistemos:

(3)

Sistemos (3) determinantas yra (W) Vronskio determinantas, ir nuo tada y i yra vienalytės sistemos sprendiniai, tada W0 iki .

Pavyzdys. Nehomogeninė lygtis

, atitinkama vienalytė lygtis

Mes ieškome sprendimo formojey= e kx . Charakteristinė lygtisk 2 +1=0, t.y.k 1,2 =  i

y= e ix = cos x + i nuodėmė x, bendras sprendimas -

Naudokime pastovaus kitimo metodą:

Sąlygos, skirtos
:

, kuris prilygsta rašymui:

Iš čia:

n– įsakymas

Teorema. Jeigu y 0- homogeninės lygties sprendimas L[y]=0, y 1- atitinkamos nehomogeninės lygties sprendimas L[y] = f(x), tada suma y0+y1 yra šios nehomogeninės lygties sprendimas.

Nehomogeninės lygties bendrojo sprendinio struktūra nustatoma pagal tokią teoremą.

Teorema. Jeigu Y- konkretus lygties sprendimas L[y] = f(x) su nuolatiniais koeficientais, yra atitinkamos vienalytės lygties bendrasis sprendinys L[y] = 0, tada šios nehomogeninės lygties bendrasis sprendimas nustatomas pagal formulę

komentuoti. Norint užrašyti bendrą tiesinės nehomogeninės lygties sprendinį, reikia rasti tam tikrą šios lygties sprendinį ir bendrą atitinkamos vienarūšės lygties sprendinį.

Tiesinės nehomogeninės lygtys n

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį n-toji eilė su pastoviais koeficientais

kur a 1, a 2, …, a n yra realūs skaičiai. Rašome atitinkamą vienalytę lygtį

Bendrasis nehomogeninės lygties sprendinys nustatomas pagal formulę

Bendrasis homogeninės lygties sprendimas y 0 galime rasti konkretų sprendimą Y galima rasti neapibrėžtųjų koeficientų metodu šiais paprasčiausiais atvejais:

Bendruoju atveju naudojamas savavališkų konstantų kitimo metodas.

Savavališkų konstantų kitimo metodas

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį n-toji eilė su kintamaisiais koeficientais

Jei sunku rasti konkretų šios lygties sprendinį, bet yra žinomas bendras atitinkamos homogeninės lygties sprendinys, tada galima rasti bendrą nehomogeninės lygties sprendinį savavališkų konstantų kitimo metodas.

Tegu atitinkama vienalytė lygtis

turi bendrą sprendimą

Bendras nehomogeninės lygties sprendinys bus ieškomas formoje

kur y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) yra tiesiškai nepriklausomi vienarūšės lygties, įtrauktos į jos bendrąjį sprendinį, sprendiniai, ir C 1 (x), C2(x), …, C n (x)- nežinomos funkcijos. Norėdami rasti šias funkcijas, joms taikome tam tikras sąlygas.

Raskime išvestinę

Reikalaujame, kad suma antrajame skliaustelyje būtų lygi nuliui, tai yra,

Raskime antrąją išvestinę

ir mes to reikalaujame

Tęsdami tą patį procesą, gauname

Šiuo atveju negalima reikalauti, kad suma, esanti antrajame skliaustelyje, išnyktų, nes funkcijos C 1 (x), C2(x), …, C n (x) jau pavaldi n-1 sąlygomis, tačiau būtina tenkinti ir pirminę nehomogeninę lygtį.

Linijinės diferencialinės sistemos lygtys.

Diferencialinių lygčių sistema vadinama linijinis, jeigu jis tiesinis nežinomų funkcijų ir jų išvestinių atžvilgiu. sistema n- 1 eilės tiesinės lygtys rašomos taip:

Sistemos koeficientai yra konst.

Šią sistemą patogu rašyti matricos forma:

kur yra nežinomų funkcijų stulpelio vektorius, priklausantis nuo vieno argumento.

Šių funkcijų išvestinių stulpelių vektorius.

Laisvųjų terminų stulpelių vektorius.

Koeficientų matrica.

1 teorema: Jei visi matricos koeficientai A yra tęstinis tam tikru intervalu ir , Tada kai kuriose kiekvieno m kaimynystėje. TSIE sąlygos yra įvykdytos. Todėl per kiekvieną tokį tašką yra tik viena integralioji kreivė.

Iš tiesų, šiuo atveju dešinės sistemos pusės yra ištisinės argumentų aibės atžvilgiu, o jų dalinės išvestinės (lygios matricos A koeficientams) yra ribotos dėl tęstinumo uždarame intervale. .

SLDE sprendimo metodai

1. Diferencialinių lygčių sistema gali būti sumažinta pašalinus nežinomus į vieną lygtį.

Pavyzdys: Išspręskite lygčių sistemą: (1)

Sprendimas: Neįtraukti z iš šių lygčių. Iš pirmosios lygties turime . Pakeitus antrąja lygtimi, supaprastinus gauname: .

Ši lygčių sistema (1) sumažintas iki vienos antros eilės lygties. Po to, kai randama ši lygtis y, reikėtų rasti z, naudojant lygybę .

2. Sprendžiant lygčių sistemą pašalinant nežinomuosius, dažniausiai gaunama aukštesnės eilės lygtis, todėl daugeliu atvejų sistemą patogiau išspręsti ieškant integruojami deriniai.

Tęsinys 27b

Pavyzdys: Išspręskite sistemą

Sprendimas:

Šią sistemą išsprendžiame Eulerio metodu. Užrašome determinantą, kad rastume charakteristiką

lygtys: , (kadangi sistema yra vienalytė, kad ji turėtų netrivialų sprendimą, šis determinantas turi būti lygus nuliui). Gauname charakteringą lygtį ir randame jos šaknis:

Bendras sprendimas atrodo taip: ;

- savasis vektorius.

Rašome sprendimą: ;

- savasis vektorius.

Rašome sprendimą: ;

Gauname bendrą sprendimą: .

Patikrinkime:

suraskite : ir pakeiskite pirmąją šios sistemos lygtį, t.y. .

Mes gauname:

- tikra lygybė.

Linijinis skirtumas. n-osios eilės lygtis. Nehomogeninės n-osios eilės tiesinės lygties bendrojo sprendinio teorema.

N-osios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra tokios formos lygtis: (1)

Jei šiame ur-ii koeficiente, tada, padalijant iš jo, gauname lygtį: (2) .

Paprastai lygtys tipo (2). Tarkime, kad lygyje. (2) visi koeficientai ir taip pat f(x) nuolatinis tam tikru intervalu (a, b). Tada, pagal TSIE, lygtis (2) turi unikalų sprendimą, kuris tenkina pradines sąlygas: , , …, for . Čia - bet kuris taškas iš intervalo (a, b), ir visi yra bet kokie pateikti skaičiai. Lygtis (2) tenkina TS&E , todėl neturi specialius sprendimus.

Def.: specialus taškai yra tie, kur =0.

Tiesinės lygties savybės:

1. Tiesinė lygtis išlieka tiesinė, kai pasikeičia nepriklausomas kintamasis.
2. Linijinė lygtis tokia išlieka bet kokiam norimos funkcijos tiesiniam pokyčiui.

Numatyta: jei lygtyje (2) įdėti f(x)=0, tada gauname formos lygtį: (3) , kuris vadinamas vienalytė lygtis nehomogeninės lygties atžvilgiu (2).

Įveskime linijinį diferencialinį operatorių: (4). Naudojant šį operatorių galima trumpai perrašyti lygtis (2) ir (3): L(y)=f(x), L(y)=0. operatorius (4) turi šias paprastas savybes:

Iš šių dviejų savybių galime padaryti išvadą: .

Funkcija y=y(x) yra nehomogeninės lygties sprendimas (2), jeigu L(y(x))=f(x), tada f(x) vadinamas lygties sprendiniu. Taigi lygties sprendimas (3) vadinama funkcija y(x), jei L(y(x))=0 numatytais intervalais.

Apsvarstykite. nehomogeninė tiesinė lygtis: , L(y)=f(x).

Tarkime, kad tam tikru būdu radome konkretų sprendimą, tada .

Pristatome naują nežinomą funkciją z pagal formulę: , kur yra tam tikras sprendimas.

Pakeiskite jį į lygtį: , atidarykite skliaustus ir gaukite: .

Gautą lygtį galima perrašyti taip:

Kadangi yra tam tikras pirminės lygties sprendimas, tada , Tada .

Taigi mes gavome vienalytę lygtį atžvilgiu z. Bendras šios vienalytės lygties sprendimas yra tiesinis derinys: , kur funkcijos - sudaro pagrindinę vienarūšės lygties sprendinių sistemą. Pakeičiant zį pakeitimo formulę gauname: (*) funkcijai y yra nežinoma pradinės lygties funkcija. Visi pradinės lygties sprendiniai bus įtraukti (*).

Taigi bendras nehomogeninės lin. Lygtis pavaizduota kaip homogeninės tiesinės lygties bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės lygties sprendinio suma.

(tęsinys kitoje pusėje)

30. Egzistavimo ir unikalumo teorema dif sprendiniui. lygtys

Teorema: Jei lygtyje dešinioji pusė yra ištisinė stačiakampyje ir yra ribojamas, taip pat tenkina Lipschitz sąlygą: , N=const, tada yra unikalus sprendimas, kuris tenkina pradines sąlygas ir yra apibrėžtas atkarpoje , kur.

Įrodymas:

Apsvarstykite visą metrinę erdvę SU, kurių taškai yra visos galimos tolydžios funkcijos y(x), apibrėžtos intervale , kurio grafikai yra stačiakampio viduje, o atstumas nustatomas pagal lygybę: . Ši erdvė dažnai naudojama matematinėje analizėje ir vadinama vienodos konvergencijos erdvė, nes šios erdvės metrikos konvergencija yra vienoda.

Pakeiskite dif. lygtis su nurodytomis pradinėmis sąlygomis į lygiavertę integralinę lygtį: ir atsižvelgti į operatorių A(y), lygus dešiniajai šios lygties pusei: . Šis operatorius priskiria kiekvienai nuolatinei funkcijai

Naudodami Lipšico nelygybę, galime parašyti, kad atstumas . Dabar pasirenkame tokius , kuriems galiotų ši nelygybė: .

Jis turėtų būti pasirinktas taip, kad tada . Taigi, mes parodėme, kad.

Pagal susitraukimo kartografavimo principą yra vienas taškas arba, kas yra tas pats, viena funkcija – diferencialinės lygties sprendinys, tenkinantis pateiktas pradines sąlygas.

Tiesioginės integracijos būdu išspręstos lygtys

Apsvarstykite šios formos diferencialinę lygtį:
.
Integruojame n kartų.
;
;
ir tt Taip pat galite naudoti formulę:
.
Žr. Tiesiogiai išspręstos diferencialinės lygtys integracija >>>

Lygtys, kuriose nėra tiesiogiai priklausomo kintamojo y

Dėl pakeitimo lygties tvarka sumažėja vienu. Čia yra funkcija.
Žr. Aukštesnės eilės diferencialines lygtis, kuriose nėra aiškios funkcijos > > >

Lygtys, kuriose nėra nepriklausomo kintamojo x

.
Manome, kad tai yra funkcija. Tada
.
Panašiai ir dėl kitų išvestinių priemonių. Dėl to lygties tvarka sumažėja vienu.
Žr. Aukštesnės eilės diferencialines lygtis, kuriose nėra aiškaus kintamojo > > >

Lygtys, vienalytės y, y′, y′′, ...

Norėdami išspręsti šią lygtį, atliekame pakeitimą
,
kur yra funkcija . Tada
.
Panašiai transformuojame išvestines ir kt. Dėl to lygties tvarka sumažėja vienu.
Žr. Aukštesnės eilės diferencialines lygtis, vienarūšes funkcijos ir jos išvestinių atžvilgiu >>>

Aukštesnių laipsnių tiesinės diferencialinės lygtys

Apsvarstykite n-osios eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis:
(1) ,
kur yra nepriklausomo kintamojo funkcijos . Tegul yra n tiesiškai nepriklausomų šios lygties sprendinių. Tada bendrasis (1) lygties sprendimas turi tokią formą:
(2) ,
kur yra savavališkos konstantos. Pačios funkcijos sudaro esminę sprendimų sistemą.
Fundamentali sprendimų sistema n-osios eilės tiesinė vienalytė lygtis yra n tiesiškai nepriklausomų šios lygties sprendinių.

Apsvarstykite tiesinė nehomogeninė n-osios eilės diferencialinė lygtis:
.
Tegul yra tam tikras (bet koks) šios lygties sprendinys. Tada bendras sprendimas atrodo taip:
,
kur yra bendras homogeninės lygties (1) sprendinys.

Tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais ir jų sumažinimai

Tiesinės vienalytės lygtys su pastoviais koeficientais

Tai yra šios formos lygtys:
(3) .
Čia yra tikri skaičiai. Norėdami rasti bendrą šios lygties sprendimą, turime rasti n tiesiškai nepriklausomų sprendinių, kurie sudaro pagrindinę sprendinių sistemą. Tada bendras sprendimas nustatomas pagal (2) formulę:
(2) .

Ieškome sprendimo formoje. Mes gauname charakteristikos lygtis:
(4) .

Jei ši lygtis turi įvairios šaknys, tada pagrindinė sprendinių sistema turi tokią formą:
.

Jei galima sudėtinga šaknis
,
tada yra ir kompleksinė konjuguota šaknis . Šios dvi šaknys atitinka sprendimus ir , kuriuos mes įtraukiame į pagrindinę sistemą vietoj sudėtingų sprendimų ir .

Kelios šaknys dauginiai atitinka tiesiškai nepriklausomus sprendinius: .

Kelios sudėtingos šaknys dauginiai ir jų sudėtingos konjuguotos reikšmės atitinka tiesiškai nepriklausomus sprendimus:
.

Tiesinės nehomogeninės lygtys su specialia nevienalyte dalimi

Apsvarstykite formos lygtį
,
kur yra s laipsnių daugianariai 1 ir s 2 ; - nuolatinis.

Pirma, mes ieškome bendro homogeninės lygties (3) sprendimo. Jei charakteristikos lygtis (4) nėra šaknies, tada ieškome konkretaus sprendimo tokia forma:
,
kur
;
;
s – didžiausias iš s 1 ir s 2 .

Jei charakteristikos lygtis (4) turi šaknį multiplicity , tada ieškome konkretaus sprendimo tokia forma:
.

Po to gauname bendrą sprendimą:
.

Tiesinės nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais

Čia yra trys galimi sprendimai.

1) Bernulli metodas.
Pirma, randame bet kokį nenulinį homogeninės lygties sprendinį
.
Tada atliekame pakeitimą
,
kur yra x kintamojo funkcija. Gauname u diferencialinę lygtį, kurioje yra tik u išvestinės x atžvilgiu. Pakeitę , gauname lygtį n - 1 – įsakymas.

2) Tiesinio pakeitimo metodas.
Padarykime pakaitalą
,
kur yra viena iš charakteristikų lygties (4) šaknų. Dėl to gauname tiesinę nehomogeninę lygtį su pastovios eilės koeficientais. Nuosekliai taikydami šį pakeitimą, pradinę lygtį sumažiname iki pirmos eilės lygties.

3) Lagranžo konstantų kitimo metodas.
Šiuo metodu pirmiausia išsprendžiame homogeninę lygtį (3). Jo sprendimas atrodo taip:
(2) .
Toliau darome prielaidą, kad konstantos yra kintamojo x funkcijos. Tada pradinės lygties sprendimas turi tokią formą:
,
kur nežinomos funkcijos. Pakeitę pradinę lygtį ir nustatę tam tikrus apribojimus, gauname lygtis, iš kurių galime rasti funkcijų formą.

Eilerio lygtis

Jis sumažinamas iki tiesinės lygties su pastoviais koeficientais pakeičiant:
.
Tačiau norint išspręsti Eulerio lygtį, tokio pakeitimo atlikti nereikia. Iš karto galima ieškoti vienarūšės lygties sprendinio formoje
.
Dėl to gauname tas pačias taisykles kaip ir lygčiai su pastoviais koeficientais, kuriose vietoj kintamojo turime pakeisti .

Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, LKI, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, Lan, 2003 m.