Harmoninis osciliatorius.

Sistema, aprašyta lygtimi , kur , bus vadinamas harmoniniu osciliatoriumi. Yra žinoma, kad šios lygties sprendimas yra toks:

.

Todėl harmoninis osciliatorius yra sistema, kuri atlieka harmoninius virpesius aplink pusiausvyros padėtį.

Harmoniniam osciliatoriui galioja visi anksčiau gauti harmoninio virpesio rezultatai.

Be jų, apsvarstykime ir aptarkime dar du klausimus.

Raskime pulsas harmoninis osciliatorius. Atskirkite išraišką iš t ir gautą rezultatą padauginę iš osciliatoriaus masės, gauname:

Kiekvienoje padėtyje, kuriai būdingas nuokrypis „x“, osciliatorius turi tam tikrą reikšmę „p“. Norėdami rasti "p" kaip "x" funkciją, turite pašalinti "t" iš lygčių, parašytų "p" ir "x". Pavaizduokime šias lygtis taip:

(8.9)

Padalinus šias išraiškas kvadratais ir sudėjus jas, gauname:

. (8.10)

Nubraižykime grafiką, rodantį harmoninio osciliatoriaus impulso ”p” priklausomybę nuo nuokrypio ”x” (8.6 pav.). Koordinačių plokštuma („p“, „x“) paprastai vadinama fazinė plokštuma, o atitinkamas grafikas yra fazės trajektorija. Harmoninio osciliatoriaus fazinė trajektorija yra elipsė su pusašiais “A” ir “A·m·w 0 “. Kiekvienas fazės trajektorijos taškas vaizduoja osciliatoriaus būseną tam tikru momentu (ty jo nuokrypį ir impulsą). Laikui bėgant taškas, vaizduojantis būseną, juda išilgai fazės trajektorijos, sudarydamas visą grandinę svyravimų laikotarpiu. Be to, šis judėjimas atliekamas pagal laikrodžio rodyklę [būtent jei tam tikru momentu t¢ x=A, p=0, tai kitu momentu „x“ sumažės, o „p“ įgis neigiamas reikšmes, kurios absoliučios vertės padidėjimas, t.e. vaizdinio taško (t. y. būseną vaizduojančio taško) judėjimas vyks pagal laikrodžio rodyklę].

Dabar suraskite elipsės plotą. Arba

.

Čia , kur n 0 yra natūralusis generatoriaus dažnis, kuris yra pastovi šio osciliatoriaus vertė.

Vadinasi,. Kur

Taigi bendra harmoninio generatoriaus energija yra proporcinga elipsės plotui, o proporcingumo koeficientas yra natūralus generatoriaus dažnis.

8.6. Nedideli sistemos svyravimai šalia pusiausvyros padėties.

Panagrinėkime savavališką mechaninę sistemą, kurios padėtį galima nurodyti naudojant vieną reikšmę "x". Vertė „x“, kuri apibrėžia sistemos padėtį, gali būti kampas, išmatuotas nuo tam tikros plokštumos, arba atstumas, išmatuotas išilgai tam tikros kreivės.

Tokios sistemos potenciali energija bus vieno kintamojo ”x” funkcija: E p =E p (x).

Iškilmę pasirenkame taip, kad pusiausvyros padėtyje x=0. Tada funkcija E p (x) turės minimumą ties x=0.

(dėl „x“ mažumo likusių terminų nepaisoma)

Nes E p (x) esant x=0 turi minimumą, tada , ir . Pažymėti E p(x)=b ir , tada .

Ši išraiška yra identiška sistemos, kurioje veikia kvazielastinga jėga, potencialios energijos išraiškai (konstanta „b“ gali būti lygi 0).

Sistemą veikiančią jėgą galima nustatyti pagal formulę: . Gaunama atsižvelgiant į tai, kad darbas atliktas dėl potencialios energijos praradimo.

Taigi, sistemos potenciali energija esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros padėties yra kvadratinė poslinkio funkcija, o sistemą veikianti jėga yra kvazielastingos jėgos pavidalu. Vadinasi, esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros padėties, bet kuri mechaninė sistema svyruos arti harmonikos.

8.7. Matematinė švytuoklė.

APIBRĖŽIMAS: matematinė švytuoklė vadinsime idealizuotą sistemą, susidedančią iš besvorio ir netiesiamo gijos, ant kurios kabo viename taške sukoncentruota masė.

Švytuoklės nuokrypis nuo pusiausvyros padėties bus apibūdinamas kampu j (8.7 pav.). Švytuoklei nukrypus nuo pusiausvyros padėties, atsiranda sukimosi momentas , ji turi tokią kryptį, kad ji linkusi grąžinti švytuoklę į pusiausvyros padėtį, todėl momentui M ir kampiniam poslinkiui j turi būti priskirti skirtingi ženklai.

Apsvarstykite svorio m svyravimus ant spyruoklės su standumo koeficientu k, kuri guli ant plokščio horizontalaus stalo, darant prielaidą, kad ant stalo paviršiaus nėra svorio trinties. Jei svoris bus pašalintas iš pusiausvyros padėties, jis svyruos apie šią padėtį. Šiuos svyravimus apibūdinsime nuo laiko priklausoma funkcija, darydami prielaidą, kad ji lemia svorio nuokrypį nuo pusiausvyros padėties momentu t.

Horizontalioje kryptimi svorį veikia tik viena jėga – spyruoklės tamprumo jėga, nulemta gerai žinomo Huko dėsnio.

Spyruoklės deformacija yra laiko funkcija, todėl ji taip pat yra kintamoji.

Iš antrojo Niutono dėsnio turime

nes pagreitis yra antroji poslinkio išvestinė: .

(9) lygtį galima perrašyti į formą

kur. Ši lygtis vadinama harmoninio osciliatoriaus lygtimi.

komentuoti. Matematinėje literatūroje, rašant diferencialinę lygtį, prie visų nuo jo priklausančių funkcijų argumentas (t) dažniausiai nenurodomas. Ši priklausomybė laikoma pagal numatytuosius nustatymus. Naudojant matematinį paketą Maple in (10), būtina nurodyti aiškią funkcijos priklausomybę.

Priešingai nei ankstesniame kūno judėjimo veikiant pastoviai jėgai pavyzdyje, mūsų atveju jėga kinta laikui bėgant, ir (10) lygtis nebegali būti išspręsta naudojant įprastą integravimo procedūrą. Pabandykime atspėti šios lygties sprendimą, žinodami, kad ji apibūdina kažkokį svyravimo procesą. Kaip vieną iš galimų (10) lygties sprendimų galime pasirinkti šią funkciją:

Turime diferencijavimo funkciją (11).

Pakeitę išraišką (12) į (10) lygtį, įsitikiname, kad ji vienodai tenkinama bet kuriai t reikšmei.

Tačiau funkcija (11) nėra vienintelis harmoninio osciliatoriaus lygties sprendimas. Pavyzdžiui, kaip kitą sprendimą galima pasirinkti funkciją, kurią taip pat lengva patikrinti panašiu būdu. Be to, galima patikrinti, ar bet koks šių dviejų atsitiktinai pavadintų sprendimų tiesinis derinys

su pastoviais koeficientais A ir B taip pat yra harmoninio osciliatoriaus lygties sprendimas.

Galima įrodyti, kad dviejų konstantų sprendinys (13) yra harmoninių generatorių lygties (10) bendrasis sprendinys. Tai reiškia, kad (13) formulė išnaudoja visus galimus šios lygties sprendimus. Kitaip tariant, harmoninio osciliatoriaus lygtis neturi kitų konkrečių sprendimų, išskyrus tuos, kurie gaunami iš (13) formulės, fiksuojant savavališkas konstantas A ir B.

Atkreipkite dėmesį, kad fizikoje dažniausiai reikia ieškoti tam tikrų atskirų ODE ar jų sistemų sprendimų. Panagrinėkime šį klausimą išsamiau.

Sužadinti mūsų svarstomos spyruoklės svorio sistemos svyravimus galima įvairiais būdais. Nustatykime tokias pradines sąlygas

Tai reiškia, kad pradiniu laiko momentu svoris a reikšme buvo pašalintas iš pusiausvyros padėties ir laisvai paleistas (ty pradeda judėti nuliniu pradiniu greičiu). Galima įsivaizduoti daugybę kitų sužadinimo būdų, pavyzdžiui, svoriui pusiausvyros padėtyje „paspaudimu“ suteikiamas tam tikras pradinis greitis ir pan. [Bendra atvejis, ].

Pradines sąlygas (14) laikome kai kuriomis papildomomis sąlygomis, skirtomis atskirti nuo bendro sprendimo (13) tam tikrą konkretų sprendimą, atitinkantį mūsų svorio svyravimų sužadinimo metodą.

Darant prielaidą, kad reiškinyje (13) t=0, gauname, iš to seka, kad B=a. Taigi sprendime (13) radome vieną iš anksčiau savavališkų konstantų. Be to, diferencijuodami pagal (13) formulę, turime

Darant prielaidą, kad šioje išraiškoje t=0 ir atsižvelgiant į antrąją pradinę sąlygą iš (14), gauname, taigi A=0, taigi, pradinis konkretus sprendimas turi formą

Jame aprašomas nagrinėjamos mechaninės sistemos virpesių režimas, kurį lemia pradinio sužadinimo sąlygos (14).

Iš mokyklinio fizikos kurso žinoma, kad (16) formulėje a yra svyravimų amplitudė (nustato didžiausią svorio nuokrypį nuo pusiausvyros padėties), yra ciklinis dažnis ir virpesių fazė. pradinė fazė yra lygi nuliui).

Harmoninio osciliatoriaus lygtis (10) yra tiesinės ODE pavyzdys. Tai reiškia, kad nežinoma funkcija ir visos jos išvestinės yra įtrauktos į kiekvieną lygties narį iki pirmo laipsnio. Tiesinės diferencialinės lygtys turi nepaprastai svarbią skiriamąją savybę: jos atitinka superpozicijos principą. Tai reiškia, kad bet koks tiesinis bet kurių dviejų linijinio ODE sprendinių derinys taip pat yra jo sprendimas.

Nagrinėjamo harmoninio generatoriaus lygties pavyzdyje savavališkas tiesinis dviejų konkrečių sprendimų derinys yra ne tik naujas sprendimas, bet ir bendras šios lygties sprendimas (jis išnaudoja visus galimus sprendimus).

Apskritai taip nėra. Pavyzdžiui, jei turėtume reikalų su trečios eilės tiesine diferencialine lygtimi (ty jei lygtis apimtų trečią išvestinę), tai bet kurių dviejų konkrečių jos sprendimų tiesinis derinys taip pat būtų šios lygties sprendimas, bet ne atstovauti yra jos bendras sprendimas.

Diferencialinių lygčių eigoje įrodyta teorema, kad N eilės ODE bendras sprendinys (tiesinis ar netiesinis) priklauso nuo N savavališkų konstantų. Netiesinės lygties atveju šios savavališkos konstantos gali patekti į bendrąjį sprendimą (priešingai nei (13)), netiesiniu būdu.

Superpozicijos principas vaidina nepaprastai svarbų vaidmenį ODE teorijoje, nes jį galima panaudoti kuriant bendrą diferencialinės lygties sprendinį jos konkrečių sprendimų superpozicijos pavidalu. Pavyzdžiui, tiesiniams ODE su pastoviais koeficientais ir jų sistemoms (harmoninių osciliatorių lygtis priklauso būtent tokio tipo lygtims) diferencialinių lygčių teorijoje buvo sukurtas bendras sprendimo būdas. Jo esmė tokia. Mes ieškome konkretaus sprendimo formoje Dėl jos pakeitimo į pradinę lygtį visi nuo laiko priklausomi veiksniai panaikinami ir gauname tam tikrą būdingą lygtį, kuri N eilės ODE yra N laipsnio algebrinė lygtis. Jį išspręsdami randame visus galimus konkrečius sprendimus, kurių savavališkas tiesinis derinys suteikia bendrą pradinio ODE sprendimą. Toliau šiuo klausimu nenagrinėsime, skaitydami atitinkamus diferencialinių lygčių teorijos vadovėlius, kuriuose galima rasti daugiau detalių, ypač atvejį, kai charakteringoje lygtyje yra kelios šaknys.

Jei nagrinėjama tiesinė ODE su kintamaisiais koeficientais (jos koeficientai priklauso nuo laiko), tai galioja ir superpozicijos principas, tačiau jokiu standartiniu metodu jau nebeįmanoma sukonstruoti bendro šios lygties sprendinio eksplicitine forma. Prie šio klausimo grįšime vėliau, aptardami parametrinio rezonanso fenomeną ir su jo tyrimu susijusią Mathieu lygtį.

Panagrinėkime paprastą fizinę sistemą – materialų tašką, galintį be trinties svyruoti ant horizontalaus paviršiaus, veikiant Huko jėgai (žr. 2 pav.).

Jei apkrovos poslinkis mažas (daug mažesnis už nedeformuotos spyruoklės ilgį), o spyruoklės konstanta yra k, tai vienintelė apkrovą veikianti jėga yra Hooke jėga. Tada lygtis

krovinio judėjimas (antrasis Niutono dėsnis) turi formą

Perkeldami terminus į kairę lygties pusę ir padalijus iš materialaus taško masės (neatsižvelgiame į spyruoklės masę lyginant su m), gauname judėjimo lygtį

(*) ,

,

,

svyravimų periodas.

Tada imkitės funkcijos

ir diferencijuodami jį laiko atžvilgiu, pirmiausia įsitikiname, kad apkrovos greitis yra lygus

ir, antra, po pakartotinio diferenciacijos,

,

y., X(t) iš tikrųjų yra spyruoklės apkrovos lygties sprendimas.

Tokia sistema apskritai, bet kokia mechaninė, elektrinė ar kitokia sistema, turinti judėjimo lygtį (*), vadinama harmoniniu osciliatoriumi. X(t) tipo funkcija vadinama harmoninio osciliatoriaus judėjimo dėsniu, dydžiu
paskambino amplitudė,cikliškas arba natūralus dažnis,pradinė fazė. Natūralus dažnis nustatomas pagal osciliatoriaus parametrus, amplitudė ir pradinė fazė – pagal pradines sąlygas.

Judėjimo dėsnis X(t) yra laisvasis svyravimas. Tokius virpesius atlieka neslopintos švytuoklės (matematinės ar fizinės), srovė ir įtampa idealioje virpesių grandinėje ir kai kurios kitos sistemos.

Harmoniniai virpesiai gali vystytis tiek viena kryptimi, tiek įvairiomis kryptimis. Sudėjimo rezultatas taip pat yra harmoninis svyravimas, pavyzdžiui,

.

Tai yra virpesių superpozicijos (superpozicijos) principas.

Matematikai sukūrė tokio tipo eilučių teoriją, kurios vadinamos Furjė eilėmis. Taip pat yra keletas apibendrinimų, tokių kaip Furjė integralai (dažniai gali nuolat keistis) ir net Laplaso integralai, kurie veikia su sudėtingais dažniais.

§15. slopinamas osciliatorius. Priverstinės vibracijos.

Tikros mechaninės sistemos visada turi bent nedidelę trintį. Paprasčiausias atvejis yra skysta arba klampi trintis. Tai trintis, kurios reikšmė proporcinga sistemos greičiui (ir, žinoma, nukreipta prieš judėjimo kryptį). Jei judėjimas vyksta išilgai X ašies, tada judesio lygtį galima parašyti (pavyzdžiui, svarmeniui ant spyruoklės) forma

,

kur yra klampios trinties koeficientas.

Šią judesio lygtį galima konvertuoti į formą

.

čia
yra susilpnėjimo koeficientas, vis dar yra natūralus generatoriaus dažnis (kurio jau nebegalima vadinti harmoniniu; tai slopinamas generatorius su klampia trintimi).

Matematikai žino, kaip išspręsti tokias diferencialines lygtis. Buvo parodyta, kad sprendimas yra funkcija

Paskutinėje formulėje naudojamas užrašas: – pradinė amplitudė, silpnai slopinamų virpesių dažnis
,
. Be to, dažnai naudojami kiti slopinimą apibūdinantys parametrai: logaritminis slopinimo mažinimas
, sistemos atsipalaidavimo laikas
, sistemos kokybės faktorius
, kur skaitiklis yra sistemos sukaupta energija, o vardiklis yra energijos nuostoliai per laikotarpį T.

Esant stipriam susilpnėjimui
tirpalas turi aperiodinę formą.

Dažnai pasitaiko atvejų, kai, be trinties jėgų, osciliatorių veikia ir išorinė jėga. Tada judesio lygtis redukuojama į formą

,

dešinėje esanti išraiška dažnai vadinama sumažinta jėga, pati išraiška
vadinama prievartos jėga. Dėl savavališkos varomosios jėgos neįmanoma rasti lygties sprendimo. Paprastai apsvarstykite harmoningą tipo varomąją jėgą
. Tada sprendimas yra slopinama (**) tipo dalis, kuri dažnai būna nulis, o nuolatiniai (priverstiniai) svyravimai

Priverstinių virpesių amplitudė

,

ir priverstinių svyravimų fazė

.

Atkreipkite dėmesį, kad natūraliajam dažniui artėjant prie varomosios jėgos dažnio, priverstinių virpesių amplitudė didėja. Šis reiškinys žinomas kaip rezonansas. Jei slopinimas didelis, tai rezonansinis padidėjimas nėra didelis. Toks rezonansas vadinamas „kvaila“. Esant mažam slopinimui, „aštriojo“ rezonanso amplitudė gali gana ženkliai padidėti. Jei sistema ideali, o joje nėra trinties, tai priverstinių virpesių amplitudė didėja be apribojimų.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad varomosios jėgos dažniu

Pasiekiama didžiausia varomosios jėgos amplitudės reikšmė, lygi

.

Harmoninio osciliatoriaus svyravimai Harmoninis osciliatorius yra fizinis objektas, kurio raida laikui bėgant apibūdinama diferencialine lygtimi

Kur q yra apibendrinta harmoninio osciliatoriaus koordinatė, t- laikas, ? yra harmoninio osciliatoriaus būdingasis dažnis. Du taškai virš kintamojo reiškia antrąją išvestinę laiko atžvilgiu. Vertė q darant harmonines vibracijas.
Harmoninių osciliatorių problema atlieka pagrindinį vaidmenį tiek klasikinėje, tiek kvantinėje fizikoje.
Daugelis fizinių sistemų elgiasi kaip harmoniniai generatoriai su nedideliu nukrypimu nuo pusiausvyros. Tai yra matematinės ir fizinės švytuoklės, molekulių ir kietųjų medžiagų atomų virpesiai, elektros virpesių grandinės ir daugelis kitų.
Nedideli švytuoklės svyravimai yra harmoningi

Energy, Lagrange ir Hamilton funkcija
Harmoninio osciliatoriaus kinetinė energija pateikiama išraiška

Potenciali harmoninio osciliatoriaus energija pateikiama išraiška

Atitinkamai, atsižvelgiant į vertę q apibendrinta koordinatė, harmoninio osciliatoriaus Lagranžo funkcija parašyta kaip

.

Apibendrintas impulsas

Hamiltono funkcija

.

Priverstinės vibracijos
Veikiant išorinei periodinei jėgai, kurios dažnis nebūtinai sutampa su harmoninio osciliatoriaus natūraliu dažniu, generatorius atlieka harmoninius virpesius, kurių amplitudę lemia išorinės jėgos dydis ir išorinės jėgos santykis. dažnis ir osciliatoriaus natūralusis dažnis.
Harmoninio osciliatoriaus priverstiniai virpesiai su dažniu? 0, veikiant jėgai su dažniu?, apibūdinamos lygtimi

Kur f 0 yra išorinės jėgos amplitudė.
Konkretus šios lygties sprendimas, apibūdinantis priverstinius virpesius, turi formą

.

Harmoninis generatorius, veikiamas išorinės jėgos, sukuria harmoninius virpesius, kurių amplitudė . Esant , priverstinių virpesių amplitudė linkusi į begalybę. Šis reiškinys vadinamas rezonansu.
Slopintas harmoninis osciliatorius
Atsižvelgus į trinties ar kitokios rūšies pasipriešinimo jėgas, dėl kurių osciliatoriaus energija išsisklaido ir virsta šiluma, harmoninio osciliatoriaus lygtis pasikeičia. Visų pirma, labai dažnas atvejis, kai pasipriešinimo jėgos yra proporcingos kiekio kitimo greičiui q. Tada harmoninio osciliatoriaus lygtis įgauna formą

Tokie svyravimai su laiku mažėja pagal dėsnį

Slopinamo harmoninio osciliatoriaus priverstiniai virpesiai
Periodiškai veikiant išorinei jėgai, net ir slopinant, generatoriaus harmoniniai svyravimai, kurių amplitudė priklauso nuo veikiančios jėgos, dažnio santykio, taip pat nuo slopinimo dydžio, nustatomi.
Priverstinių svyravimų amplitudė, atsižvelgiant į slopinimą, nustatoma pagal formulę

.

Tai yra baigtinė vertė visais išorinės jėgos dažniais.
Matematinė švytuoklė su nedideliu pradiniu nuokrypiu nuo vertikalės, daranti harmoninius virpesius dažniu

Virpesių grandinė yra harmoninis osciliatorius, turintis dažnį

Kur L yra induktyvumas, C yra talpa.
Norėdami gauti daugiau informacijos, žr. „Kvantinis osciliatorius“.
Savųjų reikšmių ir savųjų funkcijų spektras
Pirmųjų šešių būsenų banginės funkcijos su kvantiniais skaičiais nuo n= nuo 0 iki 5. Apibendrinta koordinatė brėžiama ant y ašies Harmoninio osciliatoriaus Hamiltono vertė gaunama pakeitus impulsą Hamiltono funkcijoje p ant

.

Harmoninio osciliatoriaus spektras randamas iš stacionarios Šriodingerio lygties ir pateikiamas formule

.

čia n yra kvantinis skaičius, kuris svyruoja nuo nulio iki begalybės. Harmoninio vienodo atstumo osciliatoriaus energijos lygiai. Būdinga harmoninio osciliatoriaus savybė yra ta, kad net ir pagrindinėje būsenoje harmoninis generatorius turi nulinę energiją

Ši maža energija vadinama nulinių virpesių energija.
Harmoninio osciliatoriaus savosios funkcijos, atitinkančios kvantinį skaičių n pateikiami formulėmis

,

Kur H n (x) yra Hermito daugianariai.
Netgi n harmoninio osciliatoriaus savosios funkcijos yra suporuotos, o Neprano atveju jos yra nelyginės. Harmoninio osciliatoriaus Hamiltono signalas sujungiamas su pakaitiniu operatoriumi x ant - x(pagal pariteto operatorių), todėl turi bendrų savųjų funkcijų su šiuo operatoriumi.
Gimimo ir sunaikinimo operatoriai
Jei apibrėžtume gimdymo operatorių

Ir nužudymo operatorius

,

.

Sukūrimo ir naikinimo operatoriai tenkina komutavimo ryšį:

Tada harmoninio osciliatoriaus savosios funkcijos turi formą

Arba naudojant ket ir liemenėlės vektorinį žymėjimą:

Bendras gimimo operatoriaus poveikis harmonikų operatoriui būsenoje | n> veda prie perėjimo į būseną | n+1>:

Naikinimo operatoriaus veiksmai valstybei | n> veda prie perėjimo į būseną | n-1>:

operatorius

Jis vadinamas dalelių skaičiaus operatoriumi, nes jam galioja santykis.

Atrankos taisyklės
Kai fotoną išspinduliuoja arba sugeria leistini harmoninio osciliatoriaus perėjimai, yra tokių, kuriuose kvantinis skaičius n pasikeičia vienu. Atsižvelgiant į lygių vienodumą, ši atrankos taisyklė lemia tai, kad nepaisant begalinio lygių skaičiaus, harmoninio generatoriaus optinės sugerties arba emisijos spektre yra tik viena linija, kurios dažnis ?.
Realiuose molekulių virpesių spektruose galimi nukrypimai nuo šios taisyklės dėl tikrojo tarpatominės sąveikos potencialo anharmoniškumo, kvadrupolių perėjimų ir kt.

Paprasčiausias atomų vibracinio judėjimo dviatominėje molekulėje modelis gali būti dviejų masių sistema T/ ir w sujungti elastine spyruokle. Dviejų atomų vibracija apie masės centrą gali būti pakeista vieno ekvivalento vibracija

masė, palyginti su pradiniu nuliniu tašku R= 0, kur

R- atstumas tarp masių, Re- pusiausvyros taško padėtis.

Klasikiniu požiūriu daroma prielaida, kad spyruoklė yra ideali – tamprumo jėga F yra tiesiogiai proporcinga deformacijai – nuokrypiui nuo pusiausvyros x \u003d R-R e, pagal Huko dėsnį:

kur Į yra elastingumo konstanta. Taigi jėga nukreipta į grįžimą į pusiausvyros padėtį.

Huko ir Niutono dėsnių derinimas (F-ta), galima parašyti:

(žymi ). Išspręsdami tokią lygtį, kaip žinoma,

atlieka harmonines funkcijas

kur ho- amplitudė ir

Naudojant sumažintą masę /l mes gauname:

Sistemos potencialios energijos matas V tarnauja darbui

Kvantinėje mechanikoje paprasto harmoninio osciliatoriaus modelio virpesių judesių analizė yra gana sudėtinga. Jis pagrįstas Schrödingerio lygties sprendimu

(y/- svyruojančių bangų funkcija, E yra bendra dalelės energija) ir nepatenka į mūsų pristatymo sritį.

Kvantiniam generatoriui galima tik atskira energijos verčių E ir dažnių serija pagal formulę E=hv. Be to, minimali osciliatoriaus energijos vertė nėra lygi nuliui. Ši reikšmė vadinama nuline energija, ji atitinka žemiausią osciliatoriaus energijos lygį ir yra lygi , jos egzistavimą galima paaiškinti remiantis Heisenbergo neapibrėžtumo ryšiu.

Taigi pagal kvantinę mechaniką harmoninio osciliatoriaus energija yra kvantuojama:

kur v- vibracinis kvantinis skaičius, kuris gali turėti reikšmę y=0, 1, 2, 3,....

Kai osciliatorius sąveikauja su elektromagnetinės spinduliuotės kvantais, reikia atsižvelgti į tris veiksnius: 1) lygių populiaciją (tikimybę rasti molekulę tam tikrame energijos lygyje); 2) dažnio taisyklė (Bohr), pagal kurią kvantinė energija turi atitikti bet kurių dviejų lygių energijos skirtumą;

3) kvantinių perėjimų atrankos taisyklė: perėjimo tikimybė, t.y. linijos intensyvumą sugerties spektre lemia dydis perėjimo dipolio momentas (žr. teorinį įvadą). Paprasčiausio harmoninio osciliatoriaus atveju pasirinkimo taisyklė gaunama atsižvelgiant į bangų funkcijas. Sakoma, kad perėjimai gali įvykti tik tarp gretimų lygių („vienas žingsnis“): vibracinis kvantinis skaičius pasikeičia vienu Av= 1. Kadangi atstumai tarp gretimų lygių yra vienodi, harmoninio osciliatoriaus sugerties spektre turi būti tik viena eilutė su dažniu

Kadangi pagal Boltzmann skirstymą žemiausias vibracijos lygis yra apgyvendintas esant kambario ir žemesnei temperatūrai, perėjimas nuo žemiausio lygio (d=0) yra intensyviausias, o šios linijos dažnis sutampa su silpnesnių perėjimų dažniu. aukštesni lygiai į kaimyninį, daugiau aukšto lygio.

Harmoninio osciliatoriaus banginių funkcijų grafikai skirtingoms energijos reikšmėms parodyti 2.3 paveiksle. Jie yra harmoninio osciliatoriaus Schrödingerio lygties sprendiniai

kur N,- normalizuojantis veiksnys, H 0- Ermito daugianariai, x \u003d R-R e- nukrypimas nuo pusiausvyros padėties.

Pereinamojo dipolio momentas vibraciniams perėjimams, R0(arba M") lygu:

kur ju yra molekulės dipolio momentas; dvejodama

pradinės ir galutinės būsenos kietosios bangos funkcijos atitinkamai. Iš formulės matyti, kad perėjimas leidžiamas,

jei pusiausvyros taške – molekulės dipolio momentas

pasikeičia netoli pusiausvyros taško padėties (kreivė ju=f(R)šiuo metu neviršija maksimumo). Integralas (antrasis koeficientas formulėje) taip pat turi būti ne nulis. Galima parodyti, kad ši sąlyga yra įvykdyta, jei perėjimas atliekamas tarp gretimų lygių, taigi ir papildoma atrankos taisyklė AI = 1.

Dviatominių molekulių atveju virpesių spektrai gali būti stebimi tik heterobranduolinėms molekulėms, homobranduolėms molekulėms dipolio momento nėra ir jis nekinta virpesių metu. CO2 virpesių spektrai rodo vibracijas (valentinės antisimetrinės ir deformacinės vibracijos), kurioms esant dipolio momentas keičiasi, tačiau simetrinių vibracijų, kurioms esant jis nekinta, neatsiranda.