Įvadas

Tikimybių teorija yra viena iš klasikinių matematikos šakų. Ji turi ilgą istoriją. Šios mokslo šakos pagrindus padėjo puikūs matematikai. Pavadinsiu, pavyzdžiui, Fermat, Bernoulli, Pascal. Vėliau tikimybių teorijos raida buvo nulemta daugelio mokslininkų darbuose. Didelį indėlį į tikimybių teoriją įnešė mūsų šalies mokslininkai: P. L. Čebyševas, A. M. Lyapunovas, A. A. Markovas, A. N. Kolmogorovas. Tikimybiniai ir statistiniai metodai dabar yra giliai įterpti į programas. Jie naudojami fizikoje, inžinerijoje, ekonomikoje, biologijoje ir medicinoje. Jų vaidmuo ypač išaugo dėl kompiuterinių technologijų plėtros.

Pavyzdžiui, tiriant fizikinius reiškinius, atliekami stebėjimai ar eksperimentai. Jų rezultatai paprastai įrašomi kaip kai kurių stebimų kiekių reikšmės. Kartodami eksperimentus randame jų rezultatų sklaidą. Pavyzdžiui, kartojant to paties kiekio matavimus tuo pačiu prietaisu išlaikant tam tikras sąlygas (temperatūrą, drėgmę ir pan.), gauname bent šiek tiek besiskiriančius, bet vis tiek vienas nuo kito skirtingus rezultatus. Netgi keli matavimai neleidžia tiksliai numatyti kito matavimo rezultato. Šia prasme sakoma, kad matavimo rezultatas yra atsitiktinis dydis. Dar aiškesnis atsitiktinio dydžio pavyzdys – laimėjusio loterijos bilieto skaičius. Galima pateikti daug kitų atsitiktinių dydžių pavyzdžių. Nepaisant to, nelaimingų atsitikimų pasaulyje yra tam tikrų modelių. Matematinį aparatą tokiems dėsningumams tirti suteikia tikimybių teorija. Taigi, tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinių įvykių ir su jais susijusių atsitiktinių dydžių matematinę analizę.

1. Atsitiktiniai dydžiai

Atsitiktinių dydžių sąvoka yra pagrindinė tikimybių teorijos ir jos taikymo dalis. Atsitiktiniai dydžiai, pavyzdžiui, yra taškų, numestų per vieną kauliuko metimą, suirusių radžio atomų skaičius per tam tikrą laikotarpį, skambučių skaičius telefono stotyje per tam tikrą laikotarpį, nuokrypis. nuo tam tikro dydžio detalės nominalios vertės su tinkamai nustatytu technologiniu procesu ir kt.

Taigi atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę ir kuris yra žinomas iš anksto.

Atsitiktinius kintamuosius galima suskirstyti į dvi kategorijas.

Diskretusis atsitiktinis dydis yra toks kintamasis, kuris dėl patirties gali įgyti tam tikras reikšmes su tam tikra tikimybe, sudarydamas skaičiuojamą aibę (aibę, kurios elementus galima sunumeruoti).

Šis rinkinys gali būti baigtinis arba begalinis.

Pavyzdžiui, šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį yra diskretusis atsitiktinis dydis, nes ši reikšmė gali įgyti begalinį, nors ir suskaičiuojamą, skaičių reikšmių.

Nuolatinis atsitiktinis kintamasis yra kintamasis, kuris gali gauti bet kokią reikšmę iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Norint nurodyti atsitiktinį kintamąjį, neužtenka tik nurodyti jo reikšmę, reikia nurodyti ir šios reikšmės tikimybę.

2. Vienodas paskirstymas

Tegul Jaučio ašies segmentas yra kokio nors instrumento skalė. Tarkime, kad tikimybė, kad rodyklė pataikys į tam tikrą skalės atkarpą, yra proporcinga šios atkarpos ilgiui ir nepriklauso nuo atkarpos vietos skalėje. Prietaiso žymeklio ženklas yra atsitiktinis dydis

kuris gali gauti bet kokią segmento reikšmę. Taigi ir (<) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и, а разность, - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем, tada , iš kur .

Šiuo būdu

(1)

Dabar nesunku rasti atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio funkciją F(x).

. Jei , tada reikšmės nėra mažesnės nei a. Leisk dabar. Pagal tikimybių sudėjimo aksiomą. Pagal (1) formulę, kurioje mes priimame , turime , tada mes gauname

Galiausiai, jei

, tada , nes vertės yra segmente ir todėl neviršija b. Taigi, mes pasiekiame šią paskirstymo funkciją:

Funkcijų grafikas

parodyta pav. vienas.

Tikimybių pasiskirstymo tankį randame pagal formulę. Jeigu

arba tada . Jei tada

Tuo atveju, kai atsitiktiniams reiškiniams tirti reikia naudoti du atsitiktinius dydžius X ir Y kartu sakome, kad yra sistema ( X, Y) iš dviejų atsitiktinių dydžių. Galimos sistemos reikšmės ( X, Y) yra atsitiktiniai taškai ( x, y) galimų sistemos verčių diapazone.

Atsižvelgiant į į jas įtrauktų atsitiktinių dydžių tipą, išskiriamos diskrečios ir tolydžios sistemos.

Diskrečiosios sistemos pasiskirstymo dėsnis pateikiamas lentelės arba paskirstymo funkcijos pavidalu.

6 paskaita

Sistemos paskirstymo lentelė{X, Y) yra kiekių rinkinys xi, yj ir P(xi, yj), kur P(xi, yj)=P(X=xi, Y=yj), n, m– galimų atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius X, Y atitinkamai.

Sistemos paskirstymo funkcija{X, Y) pateikiamas taip:

6 paskaita

Tolydžios sistemos pasiskirstymo dėsnis ( X, Y) gali būti atstovaujama paskirstymo funkcija F(x, y)arba pasiskirstymo tankis φ(x, y):

6 paskaita

Privati ​​paskirstymo sistema{X, Y) yra kiekvieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniai X ir Y.

Jeigu X ir Y yra diskretieji atsitiktiniai dydžiai, tada tikimybės P(xi) ir P(yj), reikalingos jų pasiskirstymo dėsniams rasti, randami paskirstymo lentelėje naudojant formules:

Nuolatinėms sistemoms ( X, Y) dalinio pasiskirstymo tankiai turi tokią formą:

6 paskaita

Sąlyginiai skirstymai yra apibrėžti:

sąlyginės tikimybės P(xi/yj), P(yj/xi) atskiroms sistemoms ( X, Y) ir sąlyginius pasiskirstymo tankius ( x/m), (y/x) nuolatinėms sistemoms ( X, Y}:

6 paskaita

Atsitiktinių dydžių X ir Y nepriklausomumo sąlygos:

– atskiroms sistemoms (8)

– nuolatinėms sistemoms (9)

Įvykdžius šiuos santykius, tai:

(10) (11)

Tikimybė pasiekti galimas ištisinės sistemos vertes{X, Y) į regioną ( D) nustatoma pagal formulę:

(12)

6 paskaita

3.1 pavyzdys

Sistemos pasiskirstymo dėsnis (X, Y) pateikiamas lentelėje:

Reikalinga:

a) rasti X ir Y dalinius skirstinius;

b) sąlyginis Y pasiskirstymo dėsnis, kai X= -1;

c) nustatyti, ar X ir Y reikšmės priklauso?

6 paskaita

Sprendimas:

a) Raskite X ir Y dalinius skirstinius

b) Sąlyginis skirstymo dėsnis Y ties X= -1. Kai X= -1, atsitiktinis kintamasis Y turi tokį pasiskirstymo dėsnį:

c) Nustatykite, ar dydžiai X ir Y yra priklausomi?

Kadangi besąlyginio ir sąlyginio skirstymo dėsniuose tikimybės P(yj) ir P(yj / X = -1) yra skirtingos, todėl atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi.

6 paskaita

3.2 pavyzdys

Duota sistema (X, Y), tolygiai paskirstyta kvadrate |x|+|y|1 (žr. 22 pav.).

Nustatykite: a) konkrečius X ir Y pasiskirstymo dėsnius; b) Ar šie atsitiktiniai dydžiai priklausomi?

6 paskaita

Sprendimas:

Paskirstymo įstatymas (X, Y) turi tokią formą:

Tankis esant |x|≤1 nustatomas pagal formulę:

6 paskaita

Tada (žr. 23 pav.):

Panašiai (y) gauname:

Kadangi nepriklausomybės sąlyga neįvykdyta:

tada atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi.

Prie skaitinių sistemos charakteristikų ( X, Y) susiję:

• atsitiktinių dydžių X ir Y skaitinės charakteristikos:

mx, mano, Dx, Dy, σx, σy;

• skaitinės sąlyginių skirstinių charakteristikos:

mx/m, mano/x, Dx/m, Dy/x, σx/m, σy/x;

• atsitiktinių dydžių ryšio skaitinės charakteristikos:

Kxy ir rxy

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Pirmosios grupės skaitinės charakteristikos nustatomos pagal anksčiau pateiktas formules.

Antrosios grupės skaitinės charakteristikos, susijusios su ištisine sistema ( X, Y) nustatomi pagal formules:

Skirta atskiroms sistemoms ( X, Y) šios formulės yra akivaizdžios.

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Kiekiai Kxy ir rxy yra linijinės koreliacijos tarp X ir Y; juos apibrėžia priklausomybės:

kur Kxy yra koreliacijos momentas arba ryšio momentas tarp X ir Y;

yra koreliacijos koeficientas tarp X ir Y, -1  rx  1. (16)

Koreliacijos koeficientas apibūdina tiesinės koreliacijos laipsnį tarp X ir Y.

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Pagal koreliacinė priklausomybė tokia priklausomybė suprantama, kai, pavyzdžiui, pasikeitus vienam atsitiktiniam dydžiui X, kitas turi Y jo matematiniai lūkesčiai keičiasi ( mano/x).

Kada | rxy|=1 yra linijinis funkcinis ryšys tarp X ir Y, adresu rxy=0 atsitiktinių dydžių X ir Y nekoreliuoja.

Jeigu X ir Y nepriklausomi, tada jie nekoreliuoja. Jeigu rxy=0, tada atsitiktiniai dydžiai X ir Y gali būti priklausomas.

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

3.3 pavyzdys

3.1 pavyzdžio sąlygomis. apibrėžkite: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Sprendimas:

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

3.4 pavyzdys

3.2 pavyzdžio sąlygomis. nustatyti skaitines sistemos charakteristikas (X, Y).

Sprendimas:

7 paskaita. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

yra tolygus pasiskirstymo tankis intervale

(-(1-|x|), (1-|x|))

Panašiai galima parašyti mx/y , Dx/y išraiškas.

Bendruoju atveju, kai atsitiktiniai dydžiai, įtraukti į sistemą ( X, Y), yra priklausomi, normaliojo skirstinio tankis turi tokią formą:

(17)

Privatūs paskirstymai nustatomi pagal formules:

(18)

(19)

8 paskaita

Sąlyginiai tankiai ( x/m) ir ( y/x) turi normaliųjų skirstinių formą:

(20) (21)

kur

(22) (23)

(24) (25)

8 paskaita

Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tada tankis įgauna tokią formą:

Tikimybė patekti į normaliai paskirstytą sistemą (X, Y)(jeigu nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X ir Y) į stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims, nustatomi naudojant Laplaso funkciją pagal formulę:

(27)

8 paskaita

3.5 pavyzdys

Nustatykite tikimybę, kad sviedinys pataikys į taikinį, kuris yra stačiakampio formos su centro koordinatėmis: xц=10 m, yц =5 m. Stačiakampio kraštinės yra lygiagrečios koordinačių ašims ir lygios: išilgai ašies: 2 = 20 m, išilgai oy ašies: 2k = 40 m. Nukreipimo taško koordinatės: mx=5m, my=5 m. Sviedinio sklaidos pagal ašis ox ir oy charakteristikos yra: σx=20 m, σy= 10 m.

Sprendimas: stačiakampio plotą pažymėkite kaip D.

Tada:

4 tema. Atsitiktinių dydžių funkcijos

9 paskaita

Funkcijos skirstinio dėsnio nustatymo tvarka Y=y(X), kur X yra diskretinis atsitiktinis dydis, pateiktas 4.1 pavyzdyje.

Jei galimos atsitiktinių dydžių reikšmės X ir Y susietos funkcine priklausomybe y=y(x), kur y(x) yra tolydis ir diferencijuojamas, o atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra žinomas X-, tada atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis Y- tuo atveju, kai y(x) monotoniškai didėja arba mažėja jo galimų reikšmių diapazone, išreiškiamas formule (1):

(1) formulėje x(y) yra atvirkštinė funkcija.

Tuo atveju, kai funkcija y(x) Tai turi n mažėjančios ir didėjančios atkarpos, tada ši formulė rašoma forma (2).

9 paskaita

4.1 pavyzdys

Atsitiktinis dydis X turi pasiskirstymo dėsnį:

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį

Sprendimas: Raskite galimas funkcijos reikšmes

esant =0, 1, 2, 3.

Jos yra atitinkamai: 1, 2, 1, 0. Todėl galimos reikšmės yra: 0, 1, 2.

9 paskaita

Mes nustatome šių galimų verčių tikimybes:

Y paskirstymo įstatymas:

9 paskaita

4.2 pavyzdys

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį ir sukurkite jo grafiką, jei atsitiktinis kintamasis X pasiskirstęs tolygiai per intervalą

Sprendimas: funkcijos grafikas

parodyta pav. 24.

9 paskaita

Atsitiktinis dydis X turi tokį pasiskirstymo tankį:

Atvirkštinės funkcijos x radimas(y)ir jo vedinys:

9 paskaita

Galiausiai gauname tokią tankio išraišką

Šio tankio grafikas

parodyta pav. 25.

10 paskaita

Pagrindinės formulės:

10 paskaita

10 paskaita

kur Xi yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai,

10 paskaita

10 paskaita

Dėl n Atsitiktiniai dydžiai, skaitinės charakteristikos pateikiamos visuma ir koreliacijos matrica:

Pažymėjimas trikampės matricos pavidalu galioja, nes

10 paskaita

Koreliacinė matrica gali būti pavaizduota normalizuota forma, t.y. koreliacijos koeficientų matrica:

10 paskaita

4.3 pavyzdys

Nustatykite atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas

jeigu

Sprendimas:

Atsitiktinis kintamasis U yra atsitiktinių argumentų X, Y ir Z tiesinė funkcija. Todėl naudojant šios dalies formules (11) ir (17) gauname:

Atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Pasiskirstymo dėsnis visiškai charakterizuoja atsitiktinių dydžių sistemą, tačiau ne visada patogu jį naudoti praktiškai dėl sudėtingumo. Dažnai pakanka žinoti atsitiktinių dydžių, sudarančių sistemą, skaitines charakteristikas, kurios apima: matematinius lūkesčius M[X], M[Y], dispersijas D[X], D[Y] ir standartinius nuokrypius. Jie apskaičiuojami pagal šias formules.

Komponentų dispersijas taip pat galima apskaičiuoti naudojant sutrumpintas formules

Dvimačių atsitiktinių dydžių teorijoje svarbų vaidmenį atlieka koreliacijos momentas (kovariacija), apibūdinantis tiesinį ryšį tarp sistemos komponentų.

Koreliacijos momentas apskaičiuojamas pagal šias formules.

Diskretinėms atsitiktinių dydžių sistemoms

Ištisinėms atsitiktinių dydžių sistemoms

Kartu su koreliacijos momentu naudojama ir bedimensinė koreliacijos charakteristika – koreliacijos koeficientas

Bet kurioms atsitiktinių dydžių sistemoms

Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nekoreliuojančiais, jei

Nepriklausomi dydžiai visada nėra koreliuojami.

Į sistemą įtraukto atsitiktinio dydžio sąlyginis pasiskirstymo dėsnis yra jo pasiskirstymo dėsnis, apskaičiuojamas su sąlyga, kad kitas atsitiktinis kintamasis turi tam tikrą reikšmę. Ištisinių atsitiktinių dydžių sistemoms sąlyginiai dėsniai išreiškiami sąlyginiais komponentų pasiskirstymo tankiais

Šiuo atveju (6.9)

Kuriame

Atsitiktinių dydžių sistemų vienodo ir normaliojo pasiskirstymo dėsniai

Lygi teisė. Jei visos atsitiktinių dydžių, įtrauktų į sistemą, reikšmės yra D srityje, o sistemos tikimybės tankis turi tokią formą

tada (X, Y) taikomas vienodas skirstymo įstatymas.

normalus įstatymas. Jei sistemos pasiskirstymo tankis (X, Y) turi formą

kur – matematiniai lūkesčiai; - standartiniai nuokrypiai ir - koreliacijos koeficientas, tada sistemai galioja normalaus skirstinio dėsnis.

Nekoreliuotų atsitiktinių dydžių normaliojo pasiskirstymo tankis

6.2 pavyzdys. Kitais metais planuojama 3 įmonių veikla. Sistema (X, Y)

kur yra įmonės numeris

Investicijų dydis (tūkst. įprastų piniginių vienetų),

Pateikta pagal lentelę

X komponento pasiskirstymo dėsnis reiškia, kad, nepaisant investicijų apimties, pirmoji įmonė turės investicijų su 0,3, antroji - su 0,2, o trečioji - su 0,5 tikimybe. Y komponentas atitinka paskirstymo dėsnį

o tai reiškia, kad, nepaisant įmonės skaičiaus, investicijų apimtis gali būti lygi 3 tūkst. įprastinių vienetų. den. vienetų su 0,5 arba 4 tūkst. sutartinių vienetų tikimybe. su 0,5 tikimybe.

Dedamųjų skaitinėms charakteristikoms nustatyti naudojame rastus pasiskirstymo dėsnius X ir Y bei formules diskrečiųjų sistemų skaitinėms charakteristikoms nustatyti

Vidutinė investicijų apimtis;

Nukrypimas nuo vidutinės investicijų apimties

Įmonės skaičiaus ir investicijų apimties ryšys

6.3 pavyzdys. Gaminant tam tikrą laikotarpį buvo naudojamos dviejų rūšių žaliavos. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra atitinkamai žaliavų kiekiai, išreikšti sutartiniais vienetais. Sistemos tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą

Apsvarstykite dviejų atsitiktinių nuolatinių kintamųjų sistemą. Šios sistemos pasiskirstymo dėsnis yra normalaus pasiskirstymo dėsnis, jei šios sistemos tikimybių tankio funkcija turi formą

. (1.18.35)

Galima parodyti, kad čia yra atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai, jų vidurkio kvadratiniai nuokrypiai ir kintamųjų koreliacijos koeficientas. Skaičiavimai pagal formules (1.18.31) ir (1.18.35) duoda

. (1.18.36)

Nesunku pastebėti, kad jei atsitiktiniai dydžiai, paskirstyti pagal normalųjį dėsnį, nėra koreliuojami, jie taip pat yra nepriklausomi

.

Taigi normaliam skirstymo dėsniui nekoreliacija ir nepriklausomumas yra lygiavertės sąvokos.

Jei , tada atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Sąlyginiai skirstymo dėsniai apskaičiuojami pagal formules (1.18.20)

. (1.18.37)

Abu dėsniai (1.18.37) yra normalieji skirstiniai. Tiesą sakant, paverskime, pavyzdžiui, antrąjį iš santykių (1.18.37) į formą

.

Tai iš tikrųjų yra įprastas paskirstymo dėsnis sąlyginis lūkestis lygus

, (1.18.38)

a sąlyginis standartinis nuokrypis išreiškiamas formule

. (1.18.39)

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyginiame dydžio pasiskirstymo fiksuota verte dėsnyje nuo šios reikšmės priklauso tik sąlyginis matematinis lūkestis, bet ne sąlyginė dispersija – .

Koordinačių plokštumoje priklausomybė (1.18.38) yra tiesė

, (1.18.40)

kuris vadinamas regresijos linija ant .

Panašiai nustatyta, kad sąlyginis kiekio paskirstymas fiksuota verte

, (1.18.41)

yra normalusis skirstinys su sąlyginiu lūkesčiu

, (1.18.42)

sąlyginis standartinis nuokrypis

. (1.18.43)

Šiuo atveju regresijos linija atrodo taip

. (1.18.44)

Regresijos tiesės (1.18.40) ir (1.18.44) sutampa tik tada, kai ryšys tarp ir yra tiesinis. Jei dydžiai ir yra nepriklausomi, regresijos linijos yra lygiagrečios koordinačių ašims.

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso:

Paskaitų konspektas apie matematiką tikimybių teorija matematinė statistika

Aukštosios matematikos ir informatikos katedra.. paskaitų konspektai.. matematikoje..

Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums pasirodė naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

tviteryje

Visos temos šiame skyriuje:

Tikimybių teorija
Tikimybių teorija yra matematikos šaka, tirianti atsitiktinių masės reiškinių modelius. Atsitiktinis yra reiškinys, kuris

Statistinis tikimybės apibrėžimas
Įvykis – atsitiktinis reiškinys, kuris dėl patirties gali atsirasti arba nepasireikšti (dvivertis reiškinys). Įvykius pažymėkite didžiosiomis lotyniškomis raidėmis

Elementarių įvykių erdvė
Tegul įvykių visuma asocijuojasi su tam tikra patirtimi ir: 1) kaip patirties rezultatas – vienas ir vienintelis

Veiksmai dėl įvykių
Dviejų įvykių suma ir

Permutacijos
Žymimas skirtingų elementų permutacijų skaičius

Apgyvendinimas
Elementų išdėstymas pagal

Deriniai
Elementų derinys

Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo formulė
Teorema. Dviejų nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai. (vienas

Tikimybių pridėjimo formulė savavališkiems įvykiams
Teorema. Dviejų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų sandaugos tikimybės.

Tikimybių daugybos formulė
Tebūnie du įvykiai. Apsvarstykite įvykį

Bendrosios tikimybės formulė
Tegul yra visa nesuderinamų įvykių grupė, jie vadinami hipotezėmis. Apsvarstykite kokį nors įvykį

Hipotezių tikimybių formulė (Bayes)
Apsvarstykite dar kartą – visa nesuderinamų hipotezių ir įvykio grupė

Asimptotinė Puasono formulė
Tais atvejais, kai bandymų skaičius yra didelis ir įvykio atsiradimo tikimybė

Atsitiktiniai diskretieji kintamieji
Atsitiktinė reikšmė yra dydis, kuris, pakartojant eksperimentą, gali įgyti nelygias skaitines reikšmes. Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiu,

Atsitiktiniai nuolatiniai kintamieji
Jei dėl eksperimento atsitiktinis kintamasis gali įgyti bet kokią reikšmę iš tam tikro segmento arba visos realios ašies, tada jis vadinamas tęstiniu. įstatymas

Atsitiktinio tolydžio dydžio tikimybės tankio funkcija
Leisti. Apsvarstykite tašką ir padidinkite jį

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Atsitiktiniai diskretieji arba tolydieji kintamieji laikomi visiškai apibrėžtais, jei žinomi jų pasiskirstymo dėsniai. Iš tiesų, žinant pasiskirstymo dėsnius, visada galima apskaičiuoti pataikymo tikimybę

Atsitiktinių dydžių kvantliai
Atsitiktinio tolydžio dydžio kvantilis

Atsitiktinių dydžių matematinis lūkestis
Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis apibūdina jo vidutinę reikšmę. Visos atsitiktinio dydžio reikšmės yra sugrupuotos aplink šią reikšmę. Pirmiausia apsvarstykite atsitiktinį diskrečiųjį kintamąjį

Atsitiktinių dydžių standartinis nuokrypis ir dispersija
Pirmiausia apsvarstykite atsitiktinį diskrečiųjį kintamąjį. Skaitinės režimo charakteristikos, mediana, kvantiliai ir matematiniai lūkesčiai

Atsitiktinių dydžių momentai
Be matematinių lūkesčių ir dispersijos, tikimybių teorijoje naudojamos aukštesnių laipsnių skaitinės charakteristikos, kurios vadinamos atsitiktinių dydžių momentais.

Atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų teoremos
1 teorema. Neatsitiktinio kintamojo matematinis lūkestis yra lygus pačiai šiai reikšmei. Įrodymas: tegul

Binominio skirstymo dėsnis

Poisson platinimo dėsnis
Tegul atsitiktinis diskretinis kintamasis paima reikšmes

Vienodas platinimo įstatymas
Vienodas atsitiktinio tolydžio kintamojo pasiskirstymo dėsnis yra tikimybių tankio funkcijos dėsnis, kuris

Normalaus paskirstymo dėsnis
Atsitiktinio nuolatinio kintamojo normalusis pasiskirstymo dėsnis yra tankio funkcijos dėsnis

Eksponentinio skirstymo dėsnis
Atsitiktinių dydžių eksponentinis arba eksponentinis pasiskirstymas naudojamas tokiose tikimybių teorijos taikymuose kaip eilių teorija, patikimumo teorija.

Atsitiktinių dydžių sistemos
Praktikoje, taikant tikimybių teoriją, dažnai susiduriama su problemomis, kuriose eksperimento rezultatai aprašomi ne vienu atsitiktiniu dydžiu, o iš karto keliais atsitiktiniais dydžiais.

Dviejų atsitiktinių diskrečiųjų dydžių sistema
Tegul du atsitiktiniai diskretieji kintamieji sudaro sistemą. Atsitiktinė vertė

Dviejų atsitiktinių nuolatinių dydžių sistema
Dabar leiskite sistemą sudaryti iš dviejų atsitiktinių nuolatinių kintamųjų. Šios sistemos skirstymo dėsnis vadinamas tikriausiai

Sąlyginiai skirstymo dėsniai
Tegul ir priklausomi atsitiktiniai tolydieji dydžiai

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos
Atsitiktinių dydžių sistemos eilės pradinis momentas

Kelių atsitiktinių dydžių sistema
Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos gautus rezultatus galima apibendrinti sistemoms, susidedančioms iš savavališko skaičiaus atsitiktinių dydžių. Tegul sistemą sudaro aibė

Tikimybių teorijos ribinės teoremos
Pagrindinis tikimybių teorijos disciplinos tikslas – tirti atsitiktinių masės reiškinių dėsningumus. Praktika rodo, kad stebint homogeninių atsitiktinių reiškinių masę atskleidžiama

Čebyševo nelygybė
Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį su matematiniais lūkesčiais

Čebyševo teorema
Jei atsitiktiniai dydžiai yra poromis nepriklausomi ir jų populiacijoje yra ribotos dispersijos

Bernulio teorema
Neribotai didėjant eksperimentų skaičiui, įvykio pasireiškimo dažnis pagal tikimybę susilieja su įvykio tikimybe

Centrinės ribos teorema
Pridedant atsitiktinius dydžius su bet kokiais pasiskirstymo dėsniais, bet su ribojamomis dispersijomis, pasiskirstymo dėsnis

Pagrindiniai matematinės statistikos uždaviniai
Aukščiau aptarti tikimybių teorijos dėsniai yra matematinė realių modelių, iš tikrųjų egzistuojančių įvairiuose atsitiktiniuose masės reiškiniuose, išraiška. studijuojant

Paprasta statistika. Statistinio pasiskirstymo funkcija
Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį, kurio pasiskirstymo dėsnis nežinomas. Reikalingas pagal patirtį

Statistinė eilutė. juostos diagrama
Esant dideliam stebėjimų skaičiui (šimtų eilės), bendrajai populiacijai tampa nepatogu ir sudėtinga registruoti statistinę medžiagą. Dėl aiškumo ir kompaktiškumo – statistinė medžiaga

Statistinio skirstinio skaitinės charakteristikos
Tikimybių teorijoje buvo nagrinėjamos įvairios atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos: matematinės lūkesčiai, dispersija, įvairios eilės pradiniai ir centriniai momentai. Panašūs skaičiai

Teorinio skirstinio pasirinkimas momentų metodu
Bet kuriame statistiniame skirstinyje neišvengiamai yra atsitiktinumo elementų, susijusių su ribotu stebėjimų skaičiumi. Atliekant daugybę stebėjimų, šie atsitiktinumo elementai išlyginami,

Hipotezės apie pasiskirstymo dėsnio formą patikimumo tikrinimas
Tegu pateiktas statistinis skirstinys aproksimuojamas kokia nors teorine kreive arba

Sutikimo kriterijai
Apsvarstykite vieną iš dažniausiai naudojamų tinkamumo testų, vadinamąjį Pearsono testą. Tarkime

Taškiniai įverčiai nežinomiems pasiskirstymo parametrams
Į p.p. 2.1. - 2.7 detaliai išnagrinėjome pirmosios ir antrosios pagrindinių matematinės statistikos uždavinių sprendimo būdus. Tai atsitiktinių dydžių pasiskirstymo pagal eksperimentinius duomenis dėsnių nustatymo uždaviniai

Įverčiai lūkesčiams ir dispersijai
Perkelkite atsitiktinį kintamąjį su nežinomais matematiniais lūkesčiais

Pasitikėjimo intervalas. Pasitikėjimo tikimybė
Praktiškai su nedideliu atsitiktinio dydžio eksperimentų skaičiumi apytikslis nežinomo parametro pakeitimas

Tikimybių teorijoje ir jos taikymuose dvimatis normalusis skirstinys vaidina svarbų vaidmenį. Dvimačio normalaus atsitiktinio dydžio (X,Y) tankis turi formą

Čia pateikiami matematiniai X ir Y reikšmių lūkesčiai; - standartiniai X ir Y verčių nuokrypiai; r yra X ir Y reikšmių koreliacijos koeficientas.

Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y nėra koreliuojami, tai yra r=0. Tada mes turime:

(53)

Nustatėme, kad dviejų atsitiktinių dydžių (X, Y) sistemos pasiskirstymo tankis yra lygus X ir Y komponentų pasiskirstymo tankių sandaugai, o tai reiškia, kad X ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Taigi, mes įrodėme šiuos dalykus. teorema: iš normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių nekoreliacijos seka jų nepriklausomumas . Kadangi bet kokių atsitiktinių dydžių nepriklausomumas reiškia jų nekoreliaciją, galime daryti išvadą, kad terminai „nekoreliuoti“ ir „nepriklausomi“ kintamieji yra lygiaverčiai normaliojo skirstinio atveju.

Pateikiame normaliai pasiskirstyto dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybės pakliūti į skirtingas plokštumos sritis formules.

Tegu atsitiktinis vektorius (X,Y), kurio komponentai yra nepriklausomi, pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį (53). Tada tikimybė, kad atsitiktinis taškas (X,Y) pateks į stačiakampį R, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims, yra lygus

y R d c x a b

(54)

kur yra Laplaso funkcija. Ši funkcija yra lentelėse.

Tegu atsitiktinių dydžių sistemos (X,Y) normaliojo dėsnio pasiskirstymo tankis pateikiamas (52) forma. Akivaizdu, kad šis tankis elipsėse išlieka pastovus:

kur C yra konstanta; tuo remiantis vadinamos tokios elipsės vienodų tikimybių elipsės. Galima parodyti, kad tikimybė, kad taškas (X,Y) pateks į vienodos tikimybės elipsės vidų yra

(56)

10 pavyzdys. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi ir normaliai pasiskirstę su Raskite tikimybę, kad atsitiktinis taškas (X,Y) patenka į žiedą

Sprendimas: Kadangi atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, jie nėra koreliuojami, todėl r = 0. Pakeitę į (C), gauname

tai yra, vienodos tikimybės elipsė išsigimė į vienodos tikimybės apskritimą. Tada

Atsakymas: 0,1242.

3.2. Bendrasis n-mačio normaliojo skirstinio atvejis

Sistemos normaliojo pasiskirstymo tankis n Atsitiktiniai dydžiai turi tokią formą:

kur - matricos determinantas C - atvirkštinis kovariacijos matricai; - matematinė atsitiktinio dydžio Х i lūkestis - i-oji dedamoji n -matmenų normalusis atsitiktinis vektorius.

Iš bendrosios išraiškos sekite visas normaliojo dėsnio formas bet kokiam matavimų skaičiui ir bet kokiai atsitiktinių dydžių priklausomybei. Visų pirma, kai n = 2 kovariacijos matrica turi tokią formą:

(58)

jo determinantas ; matrica C, atvirkštinė kovariacijos matricai, turi formą

. (59)

Į bendrąją formulę (57) pakeitę matricos C elementus, gauname normaliojo skirstinio plokštumoje (52) formulę.

Jei atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tada sistemos pasiskirstymo tankis yra lygus

Jei n = 2, ši formulė įgauna formą (53).

3.2. Normalaus paskirstymo atsitiktinių dydžių funkcijos. Chi kvadrato, Studento, Fisher-Snedekor skirstiniai

Apsvarstykite bendrą atvejį: tiesinė normaliai paskirstytų argumentų funkcija. Tegu duotas n matmenų normaliai pasiskirstęs atsitiktinis vektorius , atsitiktinis dydis Y yra tiesinė šių dydžių funkcija:

(61)

Galima parodyti, kad atsitiktinis dydis Y taip pat yra normaliai pasiskirstęs su parametrais

(62)

(63)

kur - atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis - atsitiktinio dydžio dispersija - koreliacijos koeficientas tarp ir .

11 pavyzdys. Parašykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį , jei atsitiktiniai dydžiai ir turi normalųjį skirstinį su parametrais , , , jų koreliacijos koeficientas .

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygą turime: n=2; . Naudodami (62) formulę gauname: . Naudodami (63) formulę gauname: .

Tada norimos atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija yra tokia:

Leisti - nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, paklūstantys normaliajam pasiskirstymui su nuliniu matematiniu lūkesčiu ir vieneto dispersija, tai yra standartiniam normaliajam pasiskirstymui. Atsitiktinio dydžio, kuris yra šių dydžių kvadratų suma, skirstinys

. (64)

vadinamas " chi skirstinys – kvadratas su n laisvės laipsnių ”.

CI pasiskirstymo tankis – kvadratas su n=2 laisvės laipsniais lygus

(65)

Tankis CI - pasiskirstymo kvadratas su n laisvės laipsnių turi tokią formą:

(66)

kur yra Eilerio gama funkcija. Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, skirstinys artėja prie normalaus skirstinio dėsnio (at n >30, pasiskirstymas praktiškai nesiskiria nuo įprasto). Matematinis lūkestis – skirstiniai su n laisvės laipsnių yra n , o dispersija yra 2 n .

Stjudento skirstinys su n laisvės laipsnių St(n) apibrėžiamas kaip atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

kur Z yra standartinė normalioji vertė, nepriklausoma nuo skirstinio.

Stjudento skirstinio tankis su n laisvės laipsnių turi tokią formą:

(68)

Matematinis lūkestis lygus 0, dispersija lygi At At , Stjudento skirstinys artėja prie normalaus (jau ties n >30 beveik sutampa su normaliuoju pasiskirstymu).

Fisher-Snedekor paskirstymas (arba F paskirstymas) su ir laisvės laipsniais yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

(69)

kur ir yra atsitiktiniai dydžiai, turintys - atitinkamai pasiskirstymą su ir laisvės laipsniais.

4. Parašytas D.T. Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos paskaitų konspektas. - M .: Iris-press, 2004 m.

1. Pagrindinė informacija apie atsitiktinių dydžių sistemas ir jų nustatymą. . 3

1.1. Atsitiktinių dydžių sistemos samprata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija ir jos

savybių. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Diskretaus dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo dėsnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Ištisinio dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis ir jo savybės. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. n atsitiktinių dydžių sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trylika

2. Atsitiktinių dydžių priklausomybė ir nepriklausomumas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Sąlyginiai skirstymo dėsniai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Priklausomybės skaitinės charakteristikos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . devyniolika

3. Atsitiktinių dydžių sistemos normalusis skirstinys. . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Dvimatis normalusis skirstinys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Bendrasis n-mačio normaliojo skirstinio atvejis. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Normalaus paskirstymo atsitiktinių dydžių funkcijos. Paskirstymai CI - kvadratas, Studentas, Fisher - Snedekor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Bibliografija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Sudarė Bobkova Vera Aleksandrovna

Atsitiktinių dydžių sistemos

Mokinių savarankiško darbo gairės

Redaktorius G.V. Kulikova

Pasirašyta publikavimui 2010-02-03. Formatas 60x84. Rašomasis popierius. Būklė.spaudas.l.1.63.

Uch.-red.l.1.81. Tiražas 50 egz.

GOU VPO Ivanovo valstybinis chemijos technologijos universitetas

Spausdinta ant Ekonomikos ir finansų katedros spausdinimo įrangos GOU VPO "IGKhTU"

153000, Ivanovo, pr. F. Engels, 7