Umumiy funksiya yoki tarqatish- funksiya haqidagi klassik tushunchani umumlashtiruvchi matematik tushuncha. Bunday umumlashtirishga bo'lgan ehtiyoj ko'plab fizik-matematik masalalarda paydo bo'ladi.

Umumlashtirilgan funksiya tushunchasi moddiy nuqtaning zichligi, nuqta zaryadi, nuqta dipolasi, oddiy yoki qoʻsh qatlamning (fazoviy) zichligi, intensivligi kabi ideallashtirilgan tushunchalarni matematik jihatdan toʻgʻri ifodalash imkonini beradi. bir lahzali manba va boshqalar.

Boshqa tomondan, umumlashtirilgan funktsiya tushunchasi haqiqatan ham bir nuqtada jismoniy miqdorning qiymatini o'lchash mumkin emasligini aks ettiradi, lekin faqat uning o'rtacha qiymatlarini ma'lum bir nuqtaning kichik mahallalarida o'lchash mumkin. Shunday qilib, umumlashtirilgan funktsiyalar texnikasi turli fizik miqdorlarning taqsimlanishini tavsiflash uchun qulay va adekvat apparat bo'lib xizmat qiladi. 20-asr boshlarida matematikada fizikada kashf etilgan kattaliklarning yangi bog'liqliklari sinfi bilan ishlash uchun zarur bo'lgan qat'iy rasmiyatchiliklar mavjud emas edi.

Fizikada funktsiya kontseptsiyasiga yangi matematik yondashuvni shakllantirishga muhim hissa qo'shgan. M. Gyunter, 1916 yilda zichlik tipidagi nuqta xarakteristikalari o'rniga mos keladigan to'plam funktsiyalarini ko'rib chiqishni taklif qilgan va shu asosda matematik fizika tenglamasini echish kontseptsiyasini qayta ko'rib chiqishga harakat qilgan. Biroq, N.M. Gyunter bu g'oyalarni paydo bo'lgan funktsional tahlil va kvant mexanikasi bilan bog'lamadi. Cheklangan funksiyalar bo'shliqlaridan foydalanishga asoslangan fundamental g'oyalar va umumlashtirilgan hosilalarning printsipial jihatdan yangi kontseptsiyasi 1935 yilda S. L. Sobolev tomonidan ishlab chiqilgan. O'n yil o'tgach, taniqli frantsuz matematigi L. Shvarts o'sha davrda ishlab chiqilgan mahalliy qavariq bo'shliqlar nazariyasidan foydalangan holda va umumlashtirilgan funktsiyalarning Furye konvertatsiyasini tuzib, xuddi shunday g'oyalarga keldi. Sobolev va Shvarts taqsimotlar nazariyasi - umumlashtirilgan funktsiyalarni yaratuvchilardir. Umumlashtirilgan funktsiyalardan Dirak kvant mexanikasi bo'yicha tadqiqotlarida empirik ravishda foydalangan.

Keyinchalik, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi ko'plab matematiklar va nazariy fiziklar tomonidan, asosan, nazariy-matematik fizika va differensial tenglamalar nazariyasi ehtiyojlari bilan bog'liq holda jadal rivojlantirildi.

Entsiklopedik YouTube

• 1 / 5

  Rasmiy ravishda umumlashtirilgan funktsiya f (\displaystyle f) chiziqli uzluksiz funksional sifatida aniqlanadi (f , ph) (\displaystyle \left(f,\varphi \o'ng)) u yoki bu vektor maydonida etarli darajada "yaxshi funktsiyalar" mavjud (deb nomlangan asosiy funktsiyalari): f: ph ↦ (f , ph) (\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)) .

  Lineerlik sharti: (f , a 1 ph 1 + a 2 ph 2) = a 1 (f , ph 1) + a 2 (f , ph 2) (\displaystyle \left(f,\alpha _(1)\varphi _(1) )+\alpha _(2)\varphi _(2)\o'ng)=\alpha _(1)\left(f,\varphi _(1)\o'ng)+\alpha _(2)\left(f, \varphi _(2)\o'ng)).

  Davomiylik sharti: agar ph n → 0 (\displaystyle \varphi _(\nu )\o‘ng ko‘rsatkich 0), keyin (f , ph n) → 0 (\displaystyle \left(f,\varphi _(\nu )\o‘ng)\o‘ng ko‘rsatkich 0).

  Asosiy makonning muhim misoli bo'sh joy - bu uchun tabiiy topologiya bilan jihozlangan chekli -funktsiyalar to'plami: dan funktsiyalar ketma-ketligi. D (R n) (\displaystyle D(\mathbb (R) ^(n))) yaqinlashadi, agar ularning tayanchlari qo'zg'almas to'pga tegishli bo'lsa va unda ular C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))- birlashish.

  Darhaqiqat, aks holda biz qarama-qarshilikka ega bo'lamiz:

  (x d) r = 0 ⋅ r = 0 , (\displaystyle (x\delta)\rho =0\cdot \rho =0,) (x r) d = 1 ⋅ d = d . (\displaystyle (x\rho)\delta =1\cdot \delta =\delta.)

  Biroq, agar biz ushbu operatsiyani uzluksiz funktsiyalar to'plamiga cheklash odatiy mahsulotga to'g'ri kelishi haqidagi juda qattiq talabni olib tashlasak, har qanday umumlashtirilgan funktsiyalarni ko'paytirishni aniqlash mumkin. Xususan, Yu. M. Shirokov umumlashtirilgan funksiyalarning kommutativ boʻlmagan algebrasini tuzdi. Bugungi kunda G'arbiy Evropa va Amerikada juda mashhur (masalan, keltirilgan ishlar ro'yxatiga qarang) Kolomboning umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi (uning asosiy manbalaridan biri kitob deb ataladigan narsalar bilan dastlabki tanishish uchun kitobdir) Kolombo amaliyotida "maxsus" algebra ko'proq qo'llaniladi, 8.5-bandga qarang). Bu nazariya doirasida umumlashtirilgan funksiyalar ayrim faktorlar algebrasining ekvivalentlik sinflari hisoblanadi. Kolombo algebrasining afzalligi shundaki, u ham assotsiativ, ham kommutativdir. Umumlashtirilgan Kolombo funktsiyalarini ko'paytirish barcha silliq (ya'ni cheksiz uzluksiz differentsiallanuvchi) funktsiyalar to'plami bilan chegaralanganda odatiy ko'paytirish bilan mos keladi, uzluksiz (lekin silliq bo'lmagan) funktsiyalarni ko'paytirish bilan nomuvofiqlik esa assotsiatsiya tushunchasini kiritish orqali hal qilinadi. (ekvivalentlik tushunchasidan kamroq qat'iy). Shuningdek, ko'rib chiqilayotgan ko'paytirish klassik tahlilning standart operatsiyalariga (masalan, differentsiatsiya) to'liq mos keladi.

  Differentsiatsiya

  Mayli f ∈ D ′ (R n) (\displaystyle f\in D"(\mathbb (R) ^(n))). Umumlashtirilgan funksiyaning umumlashgan (zaif) hosilasi ∂ f ∂ x i (\displaystyle (\frac (\qisman f)(\qisman x_(i)))) tengligi bilan belgilanadi

  (∂ f ∂ x i, ph) = - (f , ∂ ph ∂ x i) . (\displaystyle \left((\frac (\qisman f)(\qisman x_(i))),\;\varphi \o'ng)=-\left(f,\;(\frac (\qisman \varphi))( \qisman x_(i)))\o'ngda).)

  Operatsiyadan beri ph ↦ ∂ ph ∂ x i (\displaystyle \varphi \mapsto (\frac (\qisman \varphi )(\qisman x_(i)))) dan chiziqli va uzluksiz D (R n) (\displaystyle D(\mathbb (R) ^(n))) v D (R n) (\displaystyle D(\mathbb (R) ^(n))), u holda tenglikning o'ng tomoni bilan aniqlangan funktsiya umumlashtirilgan funktsiyadir.

  from -dan funksiyalarning zaif chegarasi D (R n) (\displaystyle D(\mathbb (R) ^(n))). Bu xususiyat ba'zan umumlashtirilgan funktsiyani aniqlash uchun boshlang'ich nuqta sifatida olinadi, umumlashtirilgan funktsiyalar maydonining to'liqligidan bu ekvivalent ta'rifga olib keladi.
• dan har qanday umumlashtirilgan funksiya D ′ (R n) (\displaystyle D"(\mathbb (R) ^(n))) cheksiz farqlanadi (umumiy ma'noda).
• Differentsiatsiya umumlashtirilgan funktsiyani qo'llab-quvvatlashni oshirmaydi.
• Umumlashtirilgan funksiyalar uchun mahsulotni farqlash uchun Leybnits formulasi a f (\displaystyle f), qayerda a ∈ C ∞ (R n) (\displaystyle a\in C^(\infty )(\mathbb (R) ^(n))).
• Har qanday umumlashtirilgan funksiya f (\displaystyle f) dan S ′ (R n) (\displaystyle S"(\mathbb (R) ^(n))) yoki E ′ (R n) (\displaystyle E"(\mathbb (R) ^(n))) da uzluksiz funksiyaning qisman hosilasi mavjud R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)).
• Har qanday umumlashtirilgan funksiya uchun f (\displaystyle f) buyurtma N (\displaystyle N) 0 da qo'llab-quvvatlash bilan noyob vakillik mavjud (f , ph) (\displaystyle (f,\;\varphi)) qisman hosilalarning chiziqli birikmasi sifatida ph (\displaystyle \varphi) nolga teng, kichikroq yoki teng buyurtma bilan N (\displaystyle N).

8. Umumlashtirilgan funksiyalar

8.1. Umumlashtirilgan funksiya tushunchasi

Umumlashtirilgan funksiya tushunchasi moddiy nuqtaning zichligi, nuqta zaryadining zichligi kabi ideallashtirilgan tushunchalarni matematik jihatdan to‘g‘ri shaklda ifodalash imkonini beradi.

Keling, birlikka teng bo'lgan moddiy massa nuqtasi tomonidan yaratilgan zichlikni aniqlashga harakat qilaylik. Ushbu zichlikni aniqlash uchun biz birlik massasini radius yaqinida bir tekis taqsimlaymiz (yoki ular aytganidek, "yog'lash")nolga markazlashtirilgan. Natijada, biz o'rtacha zichlikni olamiz ga teng

Ammo bizni zichlik qiziqtiradi. bilan belgilaymiz. Va birinchi navbatda, kerakli zichlik sifatida biz o'rtacha zichliklar ketma-ketligining nuqta chegarasini olamiz. da , ya'ni funksiya

va bu funktsiyaning butun o'q bo'ylab integrali moddaning umumiy massasini beradi, ya'ni.

Ammo matematik nuqtai nazardan, bu mumkin emas, chunki funktsiya uchunBizning usulimiz bilan aniqlanadi:

Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya massani tiklamaydi va shuning uchun kerakli zichlik sifatida qabul qilinishi mumkin emas. Shunday qilib, o'rtacha zichliklar ketma-ketligining nuqta chegarasi bizning maqsadlarimiz uchun mos emas. Shuning uchun bu holat uchun to'g'ri ta'riflar talab qilinadi.

Chiqish yo'li - ketma-ketlikning zaif chegarasi deb ataladigan boshqa chegarani izlash. Ya'ni, biz chegarani hisobga olmaymizhar bir nuqtada x, va quyidagi integrallarning chegarasi qayerda ixtiyoriy uzluksiz funksiyadir. Bu aniq


Bu formula funksiyalar ketma-ketligining zaif chegarasini bildiradi da operator, aniqrog‘i funktsional, har bir uzluksiz funktsiyaga xaritalar raqam - uning bir nuqtadagi qiymati. Bu biz kerakli zichlik sifatida qabul qiladigan funktsionaldir,bu mashhur Dirac.

-funksiyani quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkinmi: ba'zi bir lokal integral funksiya bilan?

Buning uchun bu zarur da . Ammo bunday funktsiya yo'q.

Ta'rif. Haqiqiy funktsiyani belgilang f ko'p funktsiyalar bo'yicha M har bir funktsiyaga muvofiq qoidani belgilashni anglatadihaqiqiy songa mos keladi. Biz to'plam sifatida ko'rib chiqamiz M uchun aniqlangan haqiqiy funktsiyalar to'plami uzluksiz va har qanday tartibli hosilalarga ega. Bundan tashqari, biz funktsiyalarni taxmin qilamiz cheklangan, ya'ni chekli intervalda ( a,b) nuqtalarning mahallalari mavjud a va b(funksiyalarning har biri uchun o'ziga xos), bu erda bu funktsiyalar yo'qoladi. Cheksiz intervalda ( a,b), bundan tashqari, shunday doimiy A mavjud va har bir funktsiya uchun - o'zining, intervaldan tashqarida (- A, A) funksiya yo'qoladi. Biz bunday funktsiyalarni chaqiramiz Asosiy, va ularning hammasi D(a,b)-asosiy makon.

Bunday funktsiyaga misol 2-rasmda ko'rsatilgan.

Keling, ushbu funktsiya asosiy ekanligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun uning cheksiz farqlanishini ko'rsatish kifoya. Barcha nuqtalarda bundan mustasnobu xususiyat aniq. Keling, uning bajarilishini nuqtada tekshiramiz.

Mayli , keyin L'Hopital qoidasiga ko'ra

ya’ni funksiya differentsiallanadi.

Har qanday tartibdagi lotinning uzluksizligi xuddi shunday tekshirilishi mumkin. Shuni ta'kidlash orqali buni tekshirish osonhar qanday doimiy uchun n.

Asosiy funktsiyalar maydonini aniqlash D(a,b), ular bilan amallarni o'rnatishingiz kerak. Aniqroq aytganda, chiziqli operatsiyalar asosiy funktsiyalar to'plamidan kelib chiqmasligini tekshirish kerak.

1. , va yig'indi cheklangan, ya'ni.

Agar u holda asosiy funksiya hisoblanadi- asosiy funktsiya.

2. , qayerda - yakuniy raqam.

Agar asosiy funksiyasi hisoblanadi- asosiy funktsiya.

Bo'shliqning har bir elementiga raqam beradigan chiziqli operator deyiladi chiziqli funksional (haqiqiy yoki murakkab).

Funksional harakatni belgilaymiz f asosiy funktsiyagaquyida bayon qilinganidek:
.

Umumiy funksiya (tarqatish) asosiy funksiyalar fazosidagi chiziqli uzluksiz funksional, ya’ni funksionaldir f, shartlarni qondirish:

1., bu yerda (chiziqlilik);

2. Agar ichida D , keyin (uzluksizlik). f

Keling, almashtirish qilaylik, keyin

Vikipediyadan, bepul ensiklopediya

Umumiy funksiya yoki tarqatish- funksiya haqidagi klassik tushunchani umumlashtiruvchi matematik tushuncha. Bunday umumlashtirishga bo'lgan ehtiyoj ko'plab fizik-matematik masalalarda paydo bo'ladi.

Umumlashtirilgan funksiya tushunchasi moddiy nuqtaning zichligi, nuqta zaryadi, nuqta dipolasi, oddiy yoki qoʻsh qatlamning (fazoviy) zichligi, intensivligi kabi ideallashtirilgan tushunchalarni matematik jihatdan toʻgʻri ifodalash imkonini beradi. bir lahzali manba va boshqalar.

Boshqa tomondan, umumlashtirilgan funktsiya tushunchasi haqiqatan ham bir nuqtada jismoniy miqdorning qiymatini o'lchash mumkin emasligini aks ettiradi, lekin faqat uning o'rtacha qiymatlarini ma'lum bir nuqtaning kichik mahallalarida o'lchash mumkin. Shunday qilib, umumlashtirilgan funktsiyalar texnikasi turli fizik miqdorlarning taqsimlanishini tavsiflash uchun qulay va adekvat apparat bo'lib xizmat qiladi. 20-asr boshlarida matematikada fizikada kashf etilgan kattaliklarning yangi bog'liqliklari sinfi bilan ishlash uchun zarur bo'lgan qat'iy rasmiyatchiliklar mavjud emas edi.

Fizikada funktsiya kontseptsiyasiga yangi matematik yondashuvni shakllantirishga muhim hissa qo'shgan. M. Gyunter, 1916 yilda zichlik tipidagi nuqta xarakteristikalari o'rniga mos keladigan to'plam funktsiyalarini ko'rib chiqishni taklif qilgan va shu asosda matematik fizika tenglamasini echish kontseptsiyasini qayta ko'rib chiqishga harakat qilgan. Biroq, N.M. Gyunter bu g'oyalarni paydo bo'lgan funktsional tahlil va kvant mexanikasi bilan bog'lamadi. Cheklangan funksiyalar bo'shliqlaridan foydalanishga asoslangan fundamental g'oyalar va umumlashtirilgan hosilaning printsipial jihatdan yangi kontseptsiyasi 1935 yilda S. L. Sobolev tomonidan ishlab chiqilgan. O'n yil o'tgach, taniqli frantsuz matematigi L. Shvarts o'sha davrda ishlab chiqilgan mahalliy qavariq bo'shliqlar nazariyasidan foydalangan holda va umumlashtirilgan funktsiyalarning Furye konvertatsiyasini tuzib, xuddi shunday g'oyalarga keldi. Sobolev va Shvarts taqsimotlar nazariyasi - umumlashtirilgan funktsiyalarni yaratuvchilardir. Umumlashtirilgan funktsiyalardan Dirak kvant mexanikasi bo'yicha tadqiqotlarida empirik ravishda foydalangan.

Keyinchalik, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi ko'plab matematiklar va nazariy fiziklar tomonidan, asosan, nazariy-matematik fizika va differensial tenglamalar nazariyasi ehtiyojlari bilan bog'liq holda jadal rivojlantirildi.

Ta'rif

Rasmiy ravishda umumlashtirilgan funktsiya $f$ chiziqli uzluksiz funksional sifatida aniqlanadi $\backslash chap\; (f,\; \backslash varphi\; \backslash o\text{'}ng)$ u yoki bu vektor maydonida etarli "yaxshi funktsiyalar" mavjud $\backslash varphi$(deb nomlangan asosiy funktsiyalari): $f:\backslash varphi\backslash mapsto(f,\backslash ;\backslash varphi)$ .

Lineerlik sharti: $\backslash left\; (f,\; \backslash alpha\_(1)\; \backslash varphi\_(1)\; +\; \backslash alpha\_(2)\; \backslash varphi\_(2)\backslash o\text{'}ng)\; =\; \backslash alpha\_(1)\; \backslash chap\; (f,\; \backslash varphi\_(1)\; \backslash o\text{'}ng)\; +\; \backslash \; alfa\_(2)\; \backslash chap\; (f,\; \backslash varphi\_(2)\; \backslash o\text{'}ng)$.

Davomiylik sharti: agar $\backslash varphi\_(\backslash nu)\; \backslash o\text{'}ngga\; strelka\; 0$, keyin $\backslash chap\; (f,\; \backslash varphi\_(\backslash nu)\; \backslash o\text{'}ng)\; \backslash o\text{'}ngga\; 0$.

Asosiy makonning muhim namunasi - makon $D(\backslash R^n)$- cheklilar to'plami $C^\backslash infty$-funktsiyalari yoqilgan $\backslash R^n$, uning tabiiy topologiyasi bilan jihozlangan: dan funksiyalar ketma-ketligi $D(\backslash R^n)$ yaqinlashadi, agar ularning tayanchlari qo'zg'almas to'pga tegishli bo'lsa va unda ular $C^\backslash infty$- birlashish.

Darhaqiqat, aks holda biz qarama-qarshilikka ega bo'lamiz:

$(x\backslash delta)\backslash rho=0\backslash cdot\backslash rho=0,$ $(x\backslash rho)\backslash delta=1\backslash cdot\backslash delta=\backslash delta.$

Biroq, agar biz ushbu operatsiyani uzluksiz funktsiyalar to'plamiga cheklash odatiy mahsulotga to'g'ri kelishi haqidagi juda qattiq talabni olib tashlasak, har qanday umumlashtirilgan funktsiyalarni ko'paytirishni aniqlash mumkin. Xususan, Yu. M. Shirokov umumlashtirilgan funksiyalarning kommutativ boʻlmagan algebrasini tuzdi. Bugungi kunda G'arbiy Evropa va Amerikada juda mashhur (masalan, keltirilgan asarlar ro'yxatiga qarang) nazariya (asosiy manbalardan biri kitob bo'lib, "maxsus" deb nomlangan Kolombo bilan dastlabki tanishish uchun. algebra amaliyotda ko'proq qo'llaniladi, siz 8.5-bandni ko'rishingiz mumkin). Bu nazariya doirasida umumlashtirilgan funksiyalar ayrim faktorlar algebrasining ekvivalentlik sinflari hisoblanadi. Kolombo algebrasining afzalligi shundaki, u ham assotsiativ, ham kommutativdir. Umumlashtirilgan Kolombo funktsiyalarini ko'paytirish barcha silliq (ya'ni cheksiz uzluksiz differentsiallanuvchi) funktsiyalar to'plami bilan chegaralanganda odatiy ko'paytirish bilan mos keladi, uzluksiz (lekin silliq bo'lmagan) funktsiyalarni ko'paytirish bilan nomuvofiqlik esa assotsiatsiya tushunchasini kiritish orqali hal qilinadi. (ekvivalentlik tushunchasidan kamroq qat'iy). Shuningdek, ko'rib chiqilayotgan ko'paytirish klassik tahlilning standart operatsiyalariga (masalan, differentsiatsiya) to'liq mos keladi.

Differentsiatsiya

Mayli $f\backslash in\; D"(\backslash R^n)$. Umumlashtirilgan funksiyaning umumlashgan (zaif) hosilasi $\backslash frac(\backslash qisman\; f)(\backslash qisman\; x\_i)$ tengligi bilan belgilanadi

$\backslash left(\backslash frac(\backslash qisman\; f)(\backslash qisman\; x\_i),\backslash ;\backslash varphi\backslash right)=-\backslash left(f,\backslash ;\backslash frac(\backslash qisman\backslash varphi)(\backslash qisman\; x\_i)\backslash o\text{'}ng).$

Operatsiyadan beri $\backslash varphi\backslash mapsto\backslash frac(\backslash qisman\backslash varphi)(\backslash qisman\; x\_i)$ dan chiziqli va uzluksiz $D(\backslash R^n)$ v $D(\backslash R^n)$, u holda tenglikning o'ng tomoni bilan aniqlangan funktsiya umumlashtirilgan funktsiyadir.

Xususiyatlari

• Kosmos $D"(\backslash R^n)$- to'liq: umumlashtirilgan funktsiyalar ketma-ketligi bo'lsa $f\_i$ dan $D"(\backslash R^n)$ har qanday funktsiya uchun shunday bo'ladi $\backslash varphi\backslash D(\backslash R^n)da$ raqamli ketma-ketlik $(f\_i,\backslash ;\backslash varphi)$ yaqinlashadi, keyin funksional
$(f,\backslash ;\backslash varphi)=\; \backslash lim\_(i\backslash to\backslash infty)(f\_i,\backslash ;\backslash varphi)$ tegishli $D"(\backslash R^n)$.
• Har qanday $f$ dan $D"(\backslash R^n)$ dan funksiyalarning zaif chegarasi mavjud $D(\backslash R^n)$. Bu xususiyat ba'zan umumlashtirilgan funktsiyani aniqlash uchun boshlang'ich nuqta sifatida olinadi, umumlashtirilgan funktsiyalar maydonining to'liqligidan bu ekvivalent ta'rifga olib keladi.
• dan har qanday umumlashtirilgan funksiya $D"(\backslash R^n)$ cheksiz farqlanadi (umumiy ma'noda).
• Differentsiatsiya umumlashtirilgan funktsiyani qo'llab-quvvatlashni oshirmaydi.
• Umumlashtirilgan funksiyalar uchun mahsulotni farqlash uchun Leybnits formulasi $af$, qayerda $a\backslash in\; C^\backslash infty(\backslash R^n)$.
• Har qanday umumlashtirilgan funksiya $f$ dan $S"(\backslash R^n)$ yoki $E"(\backslash R^n)$ da uzluksiz funksiyaning qisman hosilasi mavjud $\backslash R^n$.
• Har qanday umumlashtirilgan funksiya uchun $f$ buyurtma $N$ 0 da qo'llab-quvvatlash bilan noyob vakillik mavjud $(f,\backslash ;\backslash varphi)$ qisman hosilalarning chiziqli birikmasi sifatida $\backslash varphi$ nolga teng, kichikroq yoki teng buyurtma bilan $N$.

Misollar

Delta funktsiyasi doimiyning Furye integralini hisoblash yo'li bilan olinadi:

$\backslash int\backslash limits\_(-\backslash infty)^(\backslash infty)e^(ipx)\backslash ,dp=2\backslash pi\backslash delta(x).$

"Umumlashtirilgan funktsiya" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Shuningdek qarang

Umumlashtirilgan funksiyani tavsiflovchi parcha

- Bu bema'nilik! Bu menga juda kerak, - dedi Rostov xatni stol ostiga tashlab.
- Nega tashlab ketdingiz? — soʻradi Boris.
- Qanday tavsiyanoma, mening xatimda shayton bor!
- Xatda nima yozilgan? - dedi Boris va yozuvni ko'tarib o'qidi. Bu xat siz uchun juda muhim.
"Menga hech narsa kerak emas va men hech kimga adyutant bo'lmayman.
- Nimadan? — soʻradi Boris.
- Kambag'al pozitsiya!
"Siz hali ham o'sha xayolparastsiz, tushunaman", dedi Boris boshini chayqab.
“Siz hali ham diplomatsiz. Xo'sh, gap bu emas ... Xo'sh, siz nimasiz? - so'radi Rostov.
- Ha, ko'rib turganingizdek. Hozircha hammasi yaxshi; lekin tan olamanki, men ad'yutant bo'lishni juda xohlardim va frontda qolmayman.
- Nega?
– Chunki bir marta harbiy xizmatni bosib o‘tgan inson, iloji bo‘lsa, yorqin martaba qilishga intilishi kerak.
- Ha, shunday! - dedi Rostov, shekilli, boshqa narsani o'ylab.
U o‘rtog‘ining ko‘zlariga diqqat bilan va so‘roq bilan qaradi, shekilli, qandaydir savolga yechim izlagan bo‘lsa kerak.
Keksa Gavrilo vino olib keldi.
- Hozir Alfons Karlychni chaqirishimiz kerak emasmi? - dedi Boris. U siz bilan ichadi, lekin men icholmayman.
- Ket! Xo'sh, bu nima bema'nilik? - dedi Rostov xo'rsinib tabassum bilan.
"U juda yaxshi, halol va yoqimli odam", dedi Boris.
Rostov yana bir bor Borisning ko'zlariga diqqat bilan qaradi va xo'rsinib qo'ydi. Berg qaytib keldi va bir shisha vino ustida uch ofitser o‘rtasidagi suhbat yanada ravshanlashdi. Qo'riqchilar Rostovga o'zlarining kampaniyalari, Rossiyada, Polshada va xorijda qanday sharaflanganlari haqida gapirib berishdi. Ular o'z qo'mondoni Buyuk Gertsogning so'zlari va ishlari, uning mehribonligi va fe'l-atvori haqida latifalar aytib berishdi. Berg, odatdagidek, masala shaxsan unga taalluqli bo'lmaganda jim qoldi, lekin Buyuk Gertsogning jahldorligi haqidagi latifalar munosabati bilan, u Galitsiyada Buyuk Gertsog bilan qanday gaplashganini zavq bilan aytdi. polklari va noto'g'ri harakat uchun g'azablangan edi. Yuzida yoqimli tabassum bilan u Buyuk Gertsog juda g'azablanib, uning oldiga otlanib, baqirdi: "Arnauts!" (Arnauts - Tsarevichning g'azablanganida eng sevimli so'zi edi) va kompaniya komandirini talab qildi.
"Ishoning, hisoblang, men hech narsadan qo'rqmadim, chunki men haq ekanligimni bilardim. Bilasizmi, graf, maqtanmasdan aytishim mumkinki, men polk uchun buyruqlarni yoddan bilaman va osmondagi Otamiz kabi nizomni ham bilaman. Shuning uchun, hisoblang, mening kompaniyamda hech qanday kamchiliklar yo'q. Mana mening vijdonim va xotirjamligim. Men keldim. (Berg yarmi o'rnidan turib, qo'li bilan visorga qanday ko'rinishini tasavvur qildi. Darhaqiqat, yanada hurmatli va o'zidan mamnun bo'lgan chehrada tasvirlash qiyin edi.) Allaqachon u meni, ular aytganidek, turtki, turtki; oshqozonga emas, balki o'limga, ular aytganidek; va "Arnautlar" va iblislar va Sibirga, - dedi Berg, aql bilan jilmayib. - Men haq ekanligimni bilaman va shuning uchun jim qoldim: shunday emasmi, graf? — Nima, sen soqovmisan yoki nima? - deb qichqirdi. Men jim turaman. Nima deb o'ylaysiz, graf? Ertasi kuni hatto tartibda ham emas edi: bu yo'qolmaslik degani. Xullas, hisoblang, - dedi Berg trubkasini yoqib, halqalarni puflab.
- Ha, bu juda yaxshi, - dedi Rostov jilmayib.
Ammo Boris Rostovning Berg ustidan kulmoqchi ekanligini payqab, suhbatni mahorat bilan rad etdi. U Rostovdan jarohatni qanday va qayerda olganini aytib berishni so'radi. Rostov xursand bo'ldi va u hikoyani aytib berishni boshladi, u tobora ko'proq jonlanardi. U o'zining Shengraben ishini, xuddi ularda qatnashganlar odatda janglar haqida gapirganday, ya'ni ular qanday bo'lishini xohlasalar, boshqa hikoyachilardan eshitganlaridek, bu qanchalik go'zalroq bo'lganini aytib berdi. aytish kerak, lekin umuman emas. Rostov rostgo'y yigit edi, u hech qachon ataylab yolg'on gapirmasdi. U hamma narsani qanday sodir bo'lganini aytib berish niyatida gapira boshladi, lekin o'zi uchun sezilmas, beixtiyor va muqarrar ravishda yolg'onga aylandi. Agar u xuddi o'zi kabi hujumlar haqidagi hikoyalarni ko'p marta eshitgan va hujum nima ekanligi haqida aniq tasavvurga ega bo'lgan va aynan bir xil voqeani kutgan bu tinglovchilarga haqiqatni aytgan bo'lsa, yoki ular unga ishonishmaydi, yoki undan ham yomoni, ular Rostovning o'zi aybdor deb o'ylashlari mumkin edi, chunki u bilan sodir bo'lgan narsa uning bilan sodir bo'lmagani uchun, bu odatda otliqlarning hujumlarini hikoya qiluvchilar bilan sodir bo'ladi. U ularga shunchalik sodda gapira olmadiki, hammasi yugurib ketishdi, u otdan yiqilib, qo'lini yo'qotdi va frantsuzdan bor kuchi bilan o'rmonga yugurdi. Bundan tashqari, hamma narsani sodir bo'lganini aytib berish uchun, faqat nima bo'lganini aytib berishga harakat qilish kerak edi. Haqiqatni aytish juda qiyin; yoshlar esa kamdan-kam hollarda bunga qodir. Ular qanday qilib uning hamma yoqda yonayotgani, o'zini eslamay qolgani, bo'ron kabi, maydonda uchib ketgani haqidagi hikoyani kutishgan; qanday qilib uni kesib, o'ngga va chapga kesilgan; qilich go'shtni qanday tatib ko'rdi va u qanday qilib charchagan va shunga o'xshash. Va bularning hammasini ularga aytdi.
Hikoyasining o'rtasida u: "Hujum paytida qanday g'alati g'azabni boshdan kechirayotganingizni tasavvur qila olmaysiz", deb aytarkan, xonaga Boris kutgan knyaz Andrey Bolkonskiy kirdi. Yoshlar bilan homiylik munosabatlarini yaxshi ko'radigan, ular himoya qilish uchun unga murojaat qilganidan xursand bo'lgan va bir kun oldin uni qanday mamnun qilishni biladigan Borisga yaxshi munosabatda bo'lgan knyaz Andrey yigitning xohishini amalga oshirishni xohladi. Kutuzovdan Tsarevichga hujjatlarni yuborib, uni yolg'iz topish umidida yigitning oldiga bordi. Xonaga kirib, harbiy sarguzashtlarni aytib berayotgan armiya hussarini ko'rib (knyaz Andrey chidab bo'lmaydigan odamlar), u Borisga mehr bilan jilmayib qo'ydi, qovog'ini chimirdi, Rostovga ko'zlarini qisdi va biroz ta'zim qildi, charchagan va dangasa divanga o'tirdi. . U yomon sherik bo'lishni yomon ko'rardi. Rostov buni tushunib, yonib ketdi. Ammo unga hammasi bir xil edi: bu begona edi. Ammo Borisga qarab, u ham armiya hussaridan uyalganini ko'rdi. Knyaz Andreyning yoqimsiz istehzoli ohangiga qaramay, armiyaning jangovar nuqtai nazaridan Rostovda yangi kelgani aniq bo'lgan ushbu barcha ad'yutantlarga nisbatan nafratga qaramay, Rostov o'zini xijolat qildi, qizarib ketdi va jim qoldi. Boris shtab-kvartirada qanday yangiliklar borligini so'radi va bizning taxminlarimiz haqida o'ylamasdan nima eshitildi?
"Ehtimol, ular oldinga boradilar", deb javob berdi Bolkonskiy, begonalar oldida ko'proq gapirishni istamagan.
Berg fursatdan foydalanib, alohida xushmuomalalik bilan so'radi, ular endi eshitilganidek, armiya rotasi qo'mondonlariga em-xashakni ikki baravar oshiradimi? Bunga knyaz Andrey tabassum bilan bunday muhim davlat buyurtmalarini hukm qila olmasligini aytdi va Berg xursandchilik bilan kuldi.
- Sizning ishingiz haqida, - dedi knyaz Andrey yana Borisga, - keyinroq gaplashamiz va u Rostovga qaradi. - Shoudan keyin mening oldimga keling, biz qo'limizdan kelganini qilamiz.
Va xonaga ko'z yugurtirib, u bolalarcha chidab bo'lmas sharmandalik holatini sezdirmagan Rostovga o'girildi va achchiqlanishga aylandi:
- Shengraben ishi haqida gapirayotganga o'xshaysiz? Siz u yerda edingizmi?
"Men u erda edim", dedi Rostov g'azab bilan, go'yo bu bilan u ad'yutantni xafa qilmoqchi bo'lgandek.
Bolkonskiy hussarning holatini payqadi va bu unga kulgili tuyuldi. U biroz nafrat bilan jilmayib qo'ydi.
- Ha! Bu narsalar haqida juda ko'p hikoyalar!
- Ha, hikoyalar, - dedi Rostov baland ovoz bilan, Borisga, keyin Bolkonskiyga g'azablangan ko'zlari bilan qarab, - ha, ko'p voqealar bor, lekin bizning hikoyalarimiz dushman olovida bo'lganlarning hikoyalari, bizning hikoyalarimiz og'irdir. , va hech narsa qilmasdan mukofot oladigan xodimlarning bezorilarning hikoyalari emas.
— Meni qaysi biriga tegishli deb o‘ylaysiz? - xotirjam va ayniqsa yoqimli jilmayib, dedi knyaz Andrey.
O'sha paytda Rostov qalbida g'alati g'azab hissi va shu bilan birga bu shaxsning xotirjamligiga hurmat birlashgan edi.
"Men siz haqingizda gapirmayapman," dedi u, "men sizni tanimayman va tan olaman, bilishni xohlamayman. Men umuman xodimlar haqida gapiryapman.
- Va men sizga nima deyman, - dedi shahzoda Andrey o'z ovozida xotirjamlik bilan. - Siz meni haqorat qilmoqchisiz va men siz bilan rozi bo'lishga tayyorman, agar o'zingizni etarlicha hurmat qilmasangiz, buni qilish juda oson; lekin buning uchun vaqt ham, joy ham juda noto'g'ri tanlanganiga rozi bo'lasiz. Shunday kunlarning birida biz hammamiz katta, jiddiyroq duelda bo'lishimiz kerak bo'ladi, bundan tashqari, o'zini eski do'stingizman, deb aytadigan Drubetskaya, mening fiziognomiyamning baxtsizligimga ko'nglini keltirmaslik uchun hech qanday aybdor emas. siz. Biroq, - dedi u o'rnidan turib, - siz mening ismimni bilasiz va meni qaerdan topishni bilasiz; lekin unutmang, - deb qo'shib qo'ydi u, - men o'zimni ham, sizni ham xafa qildim deb hisoblamayman va sizdan kattaroq odam sifatida maslahatim shuki, bu ishni oqibatlarsiz qoldiring. Shunday qilib, juma kuni, namoyishdan so'ng, men sizni kutaman, Drubetskoy; Xayr, - dedi knyaz Andrey va ikkalasiga ta'zim qilib tashqariga chiqdi.
Rostov nima javob berishi kerakligini esladi, u allaqachon ketganida. Va u aytishni unutib qo'ygani uchun battar g'azablandi. Rostov darhol otini olib kelishni buyurdi va Boris bilan quruq xayrlashib, o'z joyiga otlandi. Ertaga u bosh qarorgohga borib, bu norozi ad'yutantni chaqirishi kerakmi yoki haqiqatda ishni avvalgidek qoldirishi kerakmi? degan savol uni butun yo'lda qiynagan edi. Endi u to'pponcha ostidagi bu kichkina, zaif va mag'rur kichkina odamning qo'rquvini ko'rib, qanchalik xursand bo'lishini g'azab bilan o'yladi, keyin u o'zi bilgan barcha odamlar orasida bunchalik ko'p narsaga ega bo'lishni xohlamasligini hayrat bilan his qildi. uning do'sti bu kabi ad'yutantni yomon ko'rardi.

Borisning Rostov bilan uchrashuvining ertasi kuni Rossiyadan yangi kelgan avstriyalik va rus qo'shinlari va Kutuzov bilan yurishdan qaytganlar ko'rib chiqildi. Ikkala imperator ham, Tsarevichning vorisi bo'lgan rus va avstriyalik archduke bilan ittifoqchi 80 000-chi armiyani ko'rib chiqishdi.
Erta tongdan aql bilan tozalangan va tozalangan qo'shinlar qal'a oldidagi dalada saf tortdilar. Shunda minglab oyoq va nayzalar hilpirab turgan bayroqlar bilan harakatlandi va ofitserlarning buyrug'i bilan to'xtadi, orqaga burilib, turli xil kiyimdagi boshqa shunga o'xshash piyoda askarlarni chetlab o'tib, intervalgacha to'xtadi; so'ng o'lchangan va shang'illagan tovushlar bilan ko'k, qizil, yashil naqshli liboslarda, qora, qizil, kulrang otlarda, oldida naqshinkor musiqachilar bor nafis otliqlar; keyin vagonlar, tozalangan, yaltiroq to'plar va o'ziga xos shinel hidi bilan mis titroq tovushi bilan cho'zilgan artilleriya piyoda va otliq qo'shinlar o'rtasida sudralib bordi va belgilangan joylarga joylashtirildi. Nafaqat to'liq kiyim kiygan, imkonsiz darajada qalin va ingichka bellari va qizarib ketgan, yoqalari, bo'yinlari, sharflari va har qanday tartibdagi generallar; Nafaqat pomador, yaxshi kiyingan ofitserlar, balki yuzi yangi, yuvilgan va soqolini olgan va o'q-dorilar bilan iloji boricha tozalangan har bir askar, har bir otni shunday tikladiki, atlas kabi junlari uning ustiga va sochlari porlab tursin. sochlar ho'l bo'lib yotardi, - hamma jiddiy, muhim va tantanali narsa sodir bo'layotganini his qildi. Har bir general va askar o'zlarining ahamiyatsizligini his qildilar, o'zlarini bu odamlar dengizida qum donasidek his qildilar va birgalikda o'zlarining kuchlarini his qildilar, bu ulkan butunning bir qismi ekanligini angladilar.
Erta tongdan qizg'in ishlar va harakatlar boshlandi va soat 10 da hammasi kerakli tartibda bo'ldi. Keng maydonda qatorlar tizilgan. Butun qo‘shin uch safga cho‘zilgan edi. Oldinda otliq, orqada artilleriya, orqada piyoda.
Har bir qator qo'shin o'rtasida go'yo ko'cha bor edi. Ushbu armiyaning uch qismi bir-biridan keskin ravishda ajralib chiqdi: jangovar Kutuzovskaya (bu erda Pavlograditlar oldingi chiziqning o'ng qanotida turishgan), Rossiyadan kelgan armiya va qo'riqchilar polklari va Avstriya armiyasi. Ammo hamma bir chiziq ostida, bitta buyruq ostida va bir xil tartibda turishdi.
Shamol barglar orasidan o'tayotganda, hayajonli shivirladi: “Ular kelishyapti! ketyaptilar!" Qo'rqinchli ovozlar eshitildi va so'nggi tayyorgarliklar haqida shov-shuv to'lqini barcha qo'shinlarni qamrab oldi.

Umumlashtirilgan funksiyalar - bu funksiyaning klassik tushunchasini umumlashtiruvchi matematik tushuncha. Umumlashtirilgan funksiyalar birinchi marta 1920-yillarning oxirida kiritilgan. 20-asr P. Dirak kvant mexanikasi bo'yicha tadqiqotlarida delta funksiyasi va uning hosilalari tushunchasidan tizimli ravishda foydalanadi. Umumlashtirilgan funksiyalarning matematik nazariyasi asoslarini S.L. Sobolev 1936 yilda giperbolik tenglamalar uchun Koshi masalasini yechayotganda, urushdan keyingi yillarda esa fransuz matematigi L. Shvarts umumlashtirilgan funksiyalar nazariyasini tizimli ravishda bayon qilgan. Umumlashtirilgan funksiyalar nazariyasini shakllantirishda J. Hadamardning asarlari muhim rol oʻynadi, ularda toʻlqin tenglamalarining fundamental yechimlarini oʻrganish bilan bogʻliq holda konvergent integrallar koʻrib chiqildi, shuningdek, M. Riesz.

Boshqa tomondan, S.Bochnerning kuch-qonuniy oʻsish funksiyalarining Furye transformatsiyalari nazariyasi umumlashgan funksiyalar nazariyasiga yaqin keladi. Bu Furye o‘zgarishlari mohiyatan umumlashtirilgan funksiyalar bo‘lib, S.Bochner ishida uzluksiz funksiyalarning formal hosilalari sifatida namoyon bo‘ladi. Umumlashtirilgan funktsiyalar juda tez, tom ma'noda ikki yoki uch yil ichida juda mashhur bo'ldi. Hech bo'lmaganda, delta funktsiyasi sodir bo'lgan matematik ishlar soni ko'p marta ko'payganligini ta'kidlash kifoya.

Keyinchalik, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi asosan matematik fizikaning ehtiyojlari tufayli ko'plab matematiklar tomonidan jadal rivojlantirildi. Umumlashtirilgan funksiyalar nazariyasi ko'plab ilovalarga ega va fiziklar, matematiklar va muhandislar orasida tobora keng tarqalgan.

Rasmiy ravishda umumlashtirilgan funksiyalar asosiy funktsiyalarning u yoki bu chiziqli fazosi ustidagi chiziqli uzluksiz funktsiyalar sifatida aniqlanadi. Funksiyalarning asosiy fazosi, masalan, tegishli konvergentsiya (yoki aniqrog‘i, topologiya) bilan jihozlangan cheksiz differentsiallanuvchi chekli funksiyalar to‘plamidir. Bunday holda, oddiy mahalliy yig'iladigan funktsiyalar shaklning funktsional (muntazam umumlashtirilgan funktsiyalari) bilan belgilanadi:

Ixtiyoriy umumlashtirilgan funktsiya tenglik bilan berilgan funktsiya sifatida aniqlanadi:

Demak, har bir umumlashtirilgan funksiya cheksiz differensiallanadi. (1) ga ko'ra (2) tenglik odatiy ma'noda differentsiallanadigan funktsiyalar uchun qismlar bo'yicha integrallash formulasini umumlashtirishdan boshqa narsa emas, shuning uchun bu holda hosilaning ikkala tushunchasi mos keladi.

Umumlashtirilgan funktsiyalarning (chiziqli) to'plami bo'yicha yaqinlashuv funktsiyalarning zaif yaqinlashuvi sifatida kiritiladi. Ma’lum bo‘lishicha, umumlashtirilgan funksiyalarni differentsiallash amali uzluksiz bo‘lib, umumlashtirilgan funksiyalarning konvergent ketma-ketligi muddatlar bo‘yicha cheksiz ko‘p marta farqlashga imkon beradi.

Umumlashtirilgan funktsiyalar bo'yicha boshqa operatsiyalar ham kiritilgan, masalan, konvolyutsiya, Furye transformatsiyasi va Laplas. Bu amallar nazariyasi klassik matematik tahlil imkoniyatlarini kengaytiruvchi umumlashtirilgan funksiyalar tushunchasi doirasida eng sodda va to’liq shaklga ega bo’ladi. Shu sababli, umumlashtirilgan funktsiyalardan foydalanish ko'rib chiqilayotgan muammolar doirasini sezilarli darajada kengaytiradi va sezilarli soddalashtirishga, elementar operatsiyalarni avtomatlashtirishga olib keladi.

Dirac funksiyasi: , bir nuqtada konsentrlangan massa (zaryad) zichligini, bitta impulsni tavsiflaydi;

Heaviside funktsiyasi: , da, da, ; bu funksiyaning hosilasi birlik impulsga teng;

O'q bo'ylab yo'naltirilgan nuqtada moment dipolining zichligi;

Sirt zichligi bo'lgan sirtdagi oddiy qatlamning zichligi;

Oddiy yo'nalish bo'ylab yo'naltirilgan dipollarning sirt momenti zichligi bilan sirtdagi ikki qatlamning zichligi;

Nyutonlarning konvolyutsiyasi, zichlik bilan potentsial, bu erda har qanday umumlashtirilgan funktsiya (masalan, birinchi besh nuqtadan);

Tarmoqli tebranish tenglamasining umumiy yechimi va bu yerda har qanday umumlashtirilgan funksiyalar formulasi bilan berilgan.