Keling, aniq misollar yordamida piramidaning bir qismini qanday qurish kerakligini tahlil qilaylik. Piramidada parallel tekisliklar mavjud emasligi sababli, kesuvchi tekislikning yuz tekisligi bilan kesishish chizig'ini (izini) qurish ko'pincha ushbu yuz tekisligida yotgan ikkita nuqta orqali to'g'ri chiziq chizishni o'z ichiga oladi.
Eng oddiy vazifalarda, bir yuzda yotgan berilgan nuqtalardan o'tadigan tekislik orqali piramidaning bir qismini qurish kerak.
Misol.
Samolyot uchastkasini qurish (MNP)
Uchburchak MNP - Piramida kesimi
M va N nuqtalar bir xil ABS tekisligida yotadi, shuning uchun biz ular orqali chiziq chizishimiz mumkin. Bu chiziqning izi MN segmentidir. U ko'rinadi, shuning uchun biz M va N ni qattiq chiziq bilan bog'laymiz.
M va P nuqtalar bir xil ACS tekisligida yotadi, shuning uchun biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Iz MP segmentidir. Biz buni ko'rmayapmiz, shuning uchun biz MP segmentini zarba bilan chizamiz. Biz PN izini xuddi shunday tarzda quramiz.
MNP uchburchagi talab qilinadigan qismdir.
Agar kesmani chizish kerak bo'lgan nuqta chekkada emas, balki yuzda bo'lsa, u holda iz segmentining oxiri bo'lmaydi.
Misol. Piramidaning B, M va N nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kesmasini tuzing, bu erda M va N nuqtalar mos ravishda ABS va BCS yuzlariga tegishli.
Bu erda B va M nuqtalari ABS ning bir yuzida yotadi, shuning uchun biz ular orqali chiziq chizishimiz mumkin.
Xuddi shunday, biz B va P nuqtalari orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Biz mos ravishda BK va BL izlarini oldik.
K va L nuqtalar ACS ning bir yuzida yotadi, shuning uchun biz ular orqali chiziq chizishimiz mumkin. Uning izi KL segmentidir.
BKL uchburchagi talab qilinadigan qismdir.
Biroq nuqta holatida ma'lumotlar orqali to'g'ri chiziq chizish har doim ham mumkin emas. Bunday holda, siz yuzlarni o'z ichiga olgan tekisliklarning kesishish chizig'ida yotadigan nuqtani topishingiz kerak.
Misol. M, N, P nuqtalardan o'tuvchi tekislik orqali piramidaning kesimini tuzing.
M va N nuqtalar bir xil ABS tekisligida yotadi, shuning uchun ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Biz MN izini olamiz. Xuddi shunday - NP. Ikkala iz ham ko'rinadi, shuning uchun biz ularni qattiq chiziq bilan bog'laymiz.
M va P nuqtalar turli tekisliklarda yotadi. Shuning uchun biz ularni to'g'ridan-to'g'ri bog'lay olmaymiz.
Biz NP chizig'ini davom ettiramiz.
U BCS yuzining tekisligida yotadi. NP faqat bitta tekislikda yotgan chiziqlar bilan kesishadi. Bizda uchta shunday chiziq bor: BS, CS va BC. BS va CS chiziqlari bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud - bu faqat N va P. Shunday qilib, biz NP ning BC chizig'i bilan kesishishini qidiramiz.
Kesishish nuqtasi (uni H deb ataymiz) NP va BC chiziqlarni kesishmagacha davom ettirish orqali olinadi.
Bu H nuqta NP toʻgʻrida joylashgani uchun ham tekislikka (BCS) ham, BC toʻgʻrida joylashgani uchun ham tekislikka (ABC) tegishli.
Shunday qilib, biz tekislikda yotgan sekant tekislikning yana bir nuqtasini oldik (ABC).
H va bir tekislikda yotgan M nuqta orqali biz to'g'ri chiziq chizishimiz mumkin.
Biz MT izini olamiz.
T - MH va AC chiziqlarning kesishish nuqtasi.
T AC to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lganligi uchun u va P nuqta orqali chiziq o'tkazishimiz mumkin, chunki ular ikkalasi bir tekislikda (ACS) yotadi.
To'rtlik MNPT - berilgan M,N,P nuqtalardan o'tuvchi tekislik tomonidan piramidaning kerakli kesimi.
Biz NP chizig'i bilan ishladik, uni kengaytirib, kesish tekisligining tekislik bilan kesishish nuqtasini topdik (ABC). Agar MN to'g'ri chiziq bilan ishlasak, xuddi shunday natijaga erishamiz.
Biz quyidagicha bahslashamiz: MN chizig'i tekislikda (ABS) yotadi, shuning uchun u faqat bitta tekislikda yotgan chiziqlar bilan kesishishi mumkin. Bizda uchta shunday chiziq bor: AB, BS va AS. Ammo AB va BS chiziqlari bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud: M va N.
Demak, MNni kengaytirib, uning AS to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasini qidiramiz. Bu nuqtani R deb ataymiz.
R nuqta AS to'g'rida yotadi, shuning uchun u AS to'g'risi tegishli bo'lgan tekislikda (ACS) ham yotadi.
P nuqta tekislikda (ACS) joylashganligi sababli, biz R va P nuqtalari orqali chiziq chizishimiz mumkin. Biz PT izini olamiz.
T nuqta tekislikda (ABC) yotadi, shuning uchun biz u orqali chiziq va M nuqtani o'tkazishimiz mumkin.
Shunday qilib, biz bir xil MNPT kesimini oldik.
Keling, bunday turdagi yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
M, N, P nuqtalardan o'tuvchi tekislik orqali piramidaning kesimini tuzing.
Bir tekislikda yotgan M va N nuqtalar orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazing (BCS). Biz MN izini olamiz (ko'rinadigan).
Bir tekislikda yotgan N va P nuqtalar orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazing (ACS). Biz PN izini olamiz (ko'rinmas).
M va P nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkaza olmaymiz.
1) MN chizig'i tekislikda (BCS) yotadi, bu erda yana uchta chiziq mavjud: BC, SC va SB. SB va SC chiziqlari bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud: M va N. Shuning uchun biz MN ning BC bilan kesishish nuqtasini qidiramiz. Ushbu chiziqlarni davom ettirib, biz L nuqtasini olamiz.
L nuqta BC to'g'riga tegishli bo'lib, u tekislikda (ABC) yotadi. Shuning uchun, tekislikda (ABC) ham yotadigan L va P orqali biz to'g'ri chiziq chizishimiz mumkin. Uning izi PF.
F AB to'g'rida, demak, tekislikda (ABS) yotadi. Shuning uchun, F va tekislikda (ABS) ham yotadigan M nuqta orqali biz to'g'ri chiziq chizamiz. Uning treki FM. To'rtburchak MNPF talab qilinadigan qismdir.
2) Yana bir usul - to'g'ridan-to'g'ri PNni davom ettirish. U tekislikda (ACS) yotadi va shu tekislikda yotgan AC va CS chiziqlarni P va N nuqtalarda kesib o'tadi.
Shunday qilib, biz PN ning kesishish nuqtasini ushbu tekislikning uchinchi to'g'ri chizig'i bilan - AS bilan qidiramiz. Biz AS va PN ni davom ettiramiz, kesishgan joyda biz E nuqtani olamiz. E nuqta tekislikka (ABS) tegishli bo'lgan AS to'g'ridan-to'g'ri chiziqda joylashganligi sababli, biz E nuqta va M nuqta orqali chiziq o'tkazishimiz mumkin, u ham ( ABS). Uning treki FM. P va F nuqtalar suv tekisligida (ABC) yotadi, biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz va PF (ko'rinmas) izini olamiz.
Ta'rif. Yon yuz- bu uchburchak bo'lib, unda bir burchak piramidaning tepasida joylashgan va uning qarama-qarshi tomoni poydevor tomoniga (ko'pburchak) to'g'ri keladi.
Ta'rif. Yon qovurg'alar yon yuzlarning umumiy tomonlari. Piramidaning ko'pburchakda qancha burchak bor bo'lsa, shuncha qirralari bor.
Ta'rif. piramida balandligi- piramidaning tepasidan poydevoriga tushirilgan perpendikulyar.
Ta'rif. Apothem- bu piramidaning yuqori qismidan poydevor tomoniga tushirilgan piramidaning yon yuzining perpendikulyar qismidir.
Ta'rif. Diagonal qism- bu piramidaning yuqori qismidan va poydevorning diagonalidan o'tadigan tekislik bilan kesilgan qismi.
Ta'rif. To'g'ri piramida- Bu piramida bo'lib, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, balandligi poydevor markaziga tushadi.
Piramidaning hajmi va sirt maydoni
Formula. piramida hajmi tayanch maydoni va balandligi bo'yicha:
piramidaning xususiyatlari
Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, u holda piramida poydevori atrofida aylana bo'lishi mumkin va poydevorning markazi aylananing markaziga to'g'ri keladi. Shuningdek, yuqoridan tushirilgan perpendikulyar taglikning markazidan (doira) o'tadi.
Agar barcha yon qovurg'alar teng bo'lsa, ular bir xil burchak ostida tayanch tekisligiga moyil bo'ladi.
Yon qovurg'alar asosiy tekislik bilan teng burchak hosil qilganda yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa, tengdir.
Agar yon yuzlar poydevor tekisligiga bir burchak ostida qiya bo'lsa, u holda piramida poydevoriga aylana chizilgan bo'lishi mumkin va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiya qilinadi.
Agar yon yuzlar bir burchak ostida asosiy tekislikka moyil bo'lsa, u holda yon yuzlarning apotemlari teng bo'ladi.
Muntazam piramidaning xossalari
1. Piramidaning yuqori qismi poydevorning barcha burchaklaridan bir xil masofada joylashgan.
2. Barcha yon qirralar teng.
3. Barcha yon qovurg'alar poydevorga bir xil burchak ostida moyil.
4. Barcha yon yuzlarning apotemlari teng.
5. Barcha yon yuzlarning maydonlari teng.
6. Barcha yuzlar bir xil dihedral (tekis) burchaklarga ega.
7. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin. Ta'riflangan sharning markazi qirralarning o'rtasidan o'tadigan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
8. Piramida ichiga shar chizilgan bo'lishi mumkin. Yozilgan sharning markazi chekka va poydevor orasidagi burchakdan chiqadigan bissektrisalarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
9. Agar chizilgan sharning markazi chegaralangan sharning markaziga to'g'ri kelsa, u holda cho'qqidagi tekis burchaklar yig'indisi p ga teng yoki aksincha, bir burchak p / n ga teng, bu erda n - son. piramida poydevoridagi burchaklar soni.
Piramidaning shar bilan bog'lanishi
Piramidaning tagida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lgan ko'pburchak joylashganda sharni piramida atrofida tasvirlash mumkin (zarur va etarli shart). Sfera markazi piramidaning yon qirralarining o'rta nuqtalaridan perpendikulyar o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
Sharni har doim har qanday uchburchak yoki muntazam piramida atrofida tasvirlash mumkin.
Agar piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari bir nuqtada kesishsa (zarur va etarli shart) sharni piramidaga yozish mumkin. Bu nuqta sharning markazi bo'ladi.
Piramidaning konus bilan bog'lanishi
Konusning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa va konusning asosi piramida poydevoriga chizilgan bo'lsa, u piramidaga chizilgan deb ataladi.
Agar piramidaning apotemalari teng bo'lsa, konusni piramidaga yozish mumkin.
Konus piramida atrofida aylanib o'yilgan deyiladi, agar ularning uchlari mos tushsa va konusning asosi piramida poydevori atrofida aylana bo'lsa.
Agar piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramida atrofida tasvirlash mumkin.
Piramidaning silindr bilan ulanishi
Agar piramidaning tepasi silindrning bir poydevorida yotsa, piramidaning asosi esa silindrning boshqa poydevoriga chizilgan bo'lsa, u silindrga yozilgan deb ataladi.
Silindrni piramida atrofida aylana bo'lishi mumkin, agar piramida poydevori atrofida aylana bo'lsa.
Tetraedrning to'rtta yuzi va to'rtta cho'qqisi va oltita qirrasi bor, bu erda har qanday ikkita qirraning umumiy uchlari yo'q, lekin tegmaydi.
Har bir cho'qqi hosil bo'lgan uchta yuz va qirralardan iborat uchburchak burchak.
Tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markazi bilan bog'laydigan segment deyiladi tetraedrning medianasi(GM).
Bimedian tegmaydigan qarama-qarshi qirralarning o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment deyiladi (KL).
Tetraedrning barcha bimedianlari va medianalari bir nuqtada (S) kesishadi. Bunday holda, bimedianlar yarmiga bo'linadi va medianlar yuqoridan boshlab 3: 1 nisbatda bo'linadi.
Ta'rif. O'tkir burchakli piramida piramida bo'lib, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan ko'p bo'ladi.
Ta'rif. o'tkir piramida- piramida bo'lib, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan kam bo'ladi.
Ta'rif. muntazam tetraedr To'rtta yuzi teng qirrali uchburchaklar bo'lgan tetraedr. Bu beshta muntazam ko'pburchaklardan biridir. Muntazam tetraedrda barcha ikki burchakli burchaklar (yuzlar orasidagi) va uchburchak burchaklar (cho'qqidagi) tengdir.
Ta'rif. To'rtburchaklar tetraedr tetraedr deyiladi, uning uchida uch qirrasi o'rtasida to'g'ri burchakka ega (qirralari perpendikulyar). Uchta yuz hosil bo'ladi to'rtburchaklar uchburchak burchak va yuzlari to'g'ri burchakli uchburchaklar, asosi esa ixtiyoriy uchburchakdir. Har qanday yuzning apothemi apotem tushadigan poydevorning yarmiga teng.
Ta'rif. Izoedral tetraedr Tetraedr deyiladi, unda yon tomonlari bir-biriga teng, asosi esa muntazam uchburchakdir. Bunday tetraedrning yuzlari teng yonli uchburchaklardir.
Ta'rif. Ortosentrik tetraedr Tetraedr deyiladi, unda yuqoridan qarama-qarshi yuzga tushirilgan barcha balandliklar (perpendikulyarlar) bir nuqtada kesishadi.
Ta'rif. yulduz piramidasi Bazasi yulduz bo'lgan ko'pburchak deyiladi.
Oldindan proyeksiyalovchi tekislik a " bilan kesishgan muntazam olti burchakli piramida 189-rasmda ko'rsatilgan. Oldingi misollarda bo'lgani kabi, kesmaning frontal proyeksiyasi tekislikning frontal iziga to'g'ri keladi. Kesma figurasining gorizontal va profil proyeksiyalari. a" tekislikning piramida qirralari bilan kesishish nuqtalari bo'lgan nuqtalarda qurilgan. Ushbu misoldagi kesma rasmining haqiqiy ko'rinishi proyeksiya tekisliklarini o'zgartirish orqali topiladi. 189-rasm Kesilgan piramidaning yon yuzasining kesma shakli va asos figurasi bilan ishlanishi 190-rasmda ko'rsatilgan. Birinchidan, kesilmagan piramidaning ishlanmasi qurilgan, uning barcha yuzlari uchburchak shakliga ega. xuddi shu. Tekislikda S0 nuqtasi (piramidaning tepasi) belgilangan va undan pengradan bo'lgani kabi, piramidaning lateral chetining haqiqiy uzunligiga teng bo'lgan R radiusi bilan aylana yoyi chizilgan. Qovurg'aning haqiqiy uzunligini piramidaning profil proektsiyasidan aniqlash mumkin, masalan, 6 L yoki S B segmentlari, chunki bu qovurg'alar profil tekisligiga parallel bo'lib, unda haqiqiy uzunlik bilan tasvirlangan. Keyinchalik, har qanday nuqtadan aylana yoyi bo'ylab, masalan, Afr, olti burchakli yon tomonning haqiqiy uzunligiga teng bo'lgan oltita bir xil segmentlar yotqiziladi - piramida asosi. Piramida poydevorining yon tomonining haqiqiy uzunligi gorizontal proyeksiyada (A "B" segmenti) olinadi. A^-E0 nuqtalari to'g'ri chiziqlar orqali SQ cho'qqisiga tutashgan. Keyin, bu chiziqlardagi S0 cho'qqisidan tortib, qovurg'alar segmentlarining sekant tekislikgacha bo'lgan haqiqiy uzunliklari chiziladi. Kesilgan piramidaning profil proyeksiyasida faqat ikkita segmentning haqiqiy uzunliklari mavjud - S "" 5 "" va S "2"". Qolgan segmentlarning haqiqiy uzunliklari ularni gorizontalga perpendikulyar o'q atrofida aylantirish orqali aniqlanadi. tekislik va cho'qqidan o'tuvchi S. Olingan nuqtalar / 0 , 30, va hokazo to'g'ri chiziqlar bilan bog'lanadi va asos va kesimning raqamlari triangulyatsiya usuli yordamida biriktiriladi. Ishlash bo'yicha katlama chiziqlari tire bilan chiziladi. ikki nuqtali nuqta chizig'i.Kesik piramidaning izometrik proyeksiyasini qurish kompleks chizmaning gorizontal proyeksiyasidan olingan o'lchamlarga muvofiq piramida asosining izometrik proyeksiyasini qurishdan boshlanadi.Keyin, tekislikda. asos, lekin 1-6 "nuqtalarning koordinatalarida kesimning gorizontal proyeksiyasi quriladi (piramida poydevoridagi ingichka chiziqlar, 191-rasm). Olingan olti burchakli cho'qqidan vertikal chiziqlar chiziladi, ularda prizmaning frontal yoki profil proyeksiyasidan olingan koordinatalar, masalan, A, K2, Ku segmentlari va boshqalar chiziladi. Olingan 1-6 nuqtalarni bir-biriga bog'laymiz, biz kesma figurani olamiz. 1-6 nuqtalarni piramida asosi bo'lgan olti burchakli uchlari bilan bog'lab, kesilgan piramidaning izometrik proyeksiyasini olamiz. Ko'rinmas qirralar chiziqli chiziqlar bilan ko'rsatilgan.
Piramida ko'pburchak bo'lib, u tekis ko'pburchak - piramidaning asosi, poydevor tekisligida yotmaydigan nuqta - piramidaning yuqori qismi va piramidaning yuqori qismini nuqtalari bilan bog'laydigan barcha segmentlardan iborat. asos (18-rasm).
Piramidaning yuqori qismini poydevorning tepalari bilan bog'laydigan segmentlarga lateral qirralar deyiladi.
Piramidaning yuzasi taglik va yon yuzlardan iborat. Har bir yon tomon uchburchakdir. Uning cho'qqilaridan biri piramidaning tepasi, qarama-qarshi tomoni esa piramida poydevorining tomonidir.
Piramidaning balandligi piramidaning tepasidan poydevor tekisligiga tushirilgan perpendikulyar deb ataladi.
Piramida n-gonal deb ataladi, agar uning asosi n-gonal bo'lsa. Uchburchak piramidani tetraedr ham deyiladi.
18-rasmda ko'rsatilgan piramidaning asosi - ko'pburchak A1A2 ... An, piramidaning tepasi - S, yon qirralari - SA1, S A2, ..., S An, yon yuzlari - SA1A2, SA2A3, .. ..
Keyinchalik, biz faqat poydevorida qavariq ko'pburchakli piramidalarni ko'rib chiqamiz. Bunday piramidalar qavariq ko'pburchaklardir.
Piramida va uning tekis kesimlarini qurish
Parallel proyeksiyalash qoidalariga muvofiq, piramidaning tasviri quyidagicha quriladi. Birinchidan, poydevor quriladi. Bu qandaydir tekis ko'pburchak bo'ladi. Keyin piramidaning yuqori qismi belgilanadi, u taglikning tepalariga lateral qovurg'alar bilan bog'lanadi. 18-rasmda beshburchakli piramida tasviri ko'rsatilgan.
Piramidaning tepa qismidan oʻtuvchi tekisliklar boʻyicha kesmalari uchburchaklardir (19-rasm). Xususan, diagonal kesimlar uchburchaklardir. Bular piramidaning ikkita qo'shni bo'lmagan yon chetidan o'tadigan tekisliklarning kesmalari (20-rasm).
Piramidaning asos tekisligida berilgan izi g bo'lgan tekislik bilan kesmasi xuddi prizma kesmasiga o'xshab qurilgan.
Piramidaning kesimini tekislik bilan qurish uchun uning yon yuzlarining kesishuv tekisligi bilan kesishish joylarini qurish kifoya.
Agar g iziga parallel bo'lmagan yuzda kesmaga tegishli qandaydir A nuqta ma'lum bo'lsa, u holda kesuvchi tekislikning g izining shu yuz tekisligi bilan kesishishi birinchi bo'lib quriladi - 21-rasmdagi D nuqta. D nuqta. A nuqtaga to‘g‘ri chiziq orqali tutashgan. Keyin bu chiziqning yuzga tegishli segmenti bu yuzning kesish tekisligi bilan kesishishi hisoblanadi. Agar A nuqta g iziga parallel yuzda yotsa, u holda sekant tekislik bu yuzni g chiziqqa parallel segment bo'ylab kesib o'tadi. Qo'shni yon yuzga borib, ular kesish tekisligi bilan uning kesishishini qurishadi va hokazo. Natijada, piramidaning kerakli kesimi olinadi.
Kirish. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Ko‘pburchak haqida tushuncha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
piramidaning xususiyatlari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Kesilgan piramida. . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... . . . sakkiz
2.3. Piramida va uning tekis kesimlarini qurish. . . .to'qqiz
3. Prizma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o'n bir
3.1. Prizma tasviri va uning qurilishi
bo'limlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o'n uch
4. Parallelepiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o'n besh
4.1 Parallelepipedning ayrim xossalari. . . . . . . o'n olti
5. Eylerning ko‘p yuzli teoremasi. . . . . . . . . . . . . . . o'n sakkiz
6. Ko‘p yuzlilarning o‘xshashligi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Muntazam ko‘pburchaklar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1. Ko'p yuzlilarning qisqacha jadvali. . . . . . . . . . . 22
Xulosa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Adabiyotlar ro'yxati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kirish
Blez Paskal shunday degan edi: "Matematika mavzusi shunchalik jiddiyki, uni biroz qiziqarli qilish uchun imkoniyatni boy bermaslik yaxshidir". Ushbu pozitsiyadan kelib chiqib, geometriyaning bo'limlaridan biri bo'lgan stereometriyani ko'rib chiqishga harakat qilaylik. Stereometriya kosmosdagi figuralarning xususiyatlarini o'rganadi. Masalan, vaznsizlikdagi suyuqlik tomchilari to'p deb ataladigan geometrik jism shaklida bo'ladi. Xuddi shu shaklda kichik tennis to'pi va kattaroq narsalar - bizning sayyoramiz va boshqa ko'plab kosmik ob'ektlar mavjud. Qalay quti silindrdir.
Atrofimizdagi stereometriya: kundalik hayotda va kasbiy faoliyatda. Biz, albatta, fanni "ko'ra olmaymiz", lekin u o'rganayotgan fazodagi uch o'lchovli jismlarni har kuni ko'rishimiz mumkin. O'zingni oynaga har tomondan qarash qiziq emasmi? Ammo inson qiyofasi ham uch o'lchamli ob'ektdir.
Tetraedr va parallelepiped bilan bog'liq bo'lgan ko'plab geometrik masalalarni hal qilish uchun ularning kesimlarini turli tekisliklar orqali shaklda qura bilish kerak. Kesuvchi tekislikni har ikki tomonida shu figuraning nuqtalari joylashgan har qanday tekislik deb ataymiz. Kesuvchi tekislik segmentlar bo'ylab shaklning yuzlarini kesib o'tadi. Tomonlari shu segmentlardan iborat bo'lgan ko'pburchak shaklning kesimi deyiladi. Tetraedrning to'rtta yuzi bo'lganligi sababli, uning bo'limlari faqat uchburchaklar va to'rtburchaklar bo'lishi mumkin. Parallelepipedning oltita yuzi bor. Uning bo'limlari uchburchaklar, to'rtburchaklar, beshburchaklar va olti burchakli bo'lishi mumkin.
1. Ko‘pburchak haqida tushuncha
Ko'p yuzli- har tomondan chekli sonli tekis ko'pburchaklar bilan chegaralangan geometrik fazoviy jism. Fasetlar ko'pburchaklar ko'pburchaklarni bog'laydigan ko'pburchaklar deb ataladi (yuzlar - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). qovurg'alar ko'pburchaklar qo'shni yuzlarning umumiy tomonlari deb ataladi (qirralari - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). cho'qqilari ko'pburchaklar yuzlari bir nuqtada to'planishi natijasida hosil bo'lgan ko'pburchak burchaklarning uchlari deyiladi. . Diagonal Ko'pburchak - bir yuzda yotmaydigan ikkita cho'qqini bog'laydigan chiziq segmenti (BN). diagonal tekislik ko'pburchak ko'pburchakning bir yuzida yotmaydigan uchta uchidan o'tuvchi tekislik deyiladi (BEN tekisligi).
Ko'pburchak deyiladi qavariq , agar u sirtining har bir ko'pburchak tekisligining bir tomonida joylashgan bo'lsa. Qavariq ko'pburchakning yuzlari faqat qavariq ko'pburchaklar bo'lishi mumkin (qavariq ko'pburchakning misoli kub, 1-rasm).
Agar ko'pburchakning yuzlari o'zaro kesishsa, bunday ko'pburchak deyiladi qavariq bo'lmagan (2-rasm).
Ko'pburchakning tekislik bilan kesmasi bu tekislikning ko'pburchak yuzasining ushbu tekislik bilan kesishish chizig'i bilan chegaralangan qismidir.
.
2. Piramida
Piramida ko'pburchak deyiladi, uning bir yuzi ixtiyoriy ko'pburchak, qolgan yuzlari esa umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardir.
Piramidaning asosi kesuvchi tekislikda (ABCDE) olingan ko'pburchak deb ataladi. Piramidaning yon yuzlari umumiy cho'qqisi S bo'lgan ASB, BSC, ... uchburchaklar deyiladi, bu piramida tepasi deb ataladi. Piramidaning yon qirralari yon tomonlari kesishgan qirralardir. Piramidaning balandligi - bu piramidaning cho'qqilaridan poydevor tekisligiga chizilgan perpendikulyar. Piramidaning apothemi - bu piramida tepasidan tushirilgan yon yuzining balandligi.
Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi ushbu ko'pburchakning markaziga proyeksiyalangan bo'lsa.
Keling, buni isbotlaylik Muntazam piramidaning barcha yon qirralari teng, yon tomonlari esa teng yon tomonli uchburchaklardir.
Oddiy PA 1 A 2 …A n piramidasini ko'rib chiqaylik. Avval bu piramidaning barcha yon qirralari teng ekanligini isbotlaymiz. Har qanday yon chekka to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi bo'lib, uning bir oyog'i piramidaning PO balandligi, ikkinchisi esa poydevor yaqinida chegaralangan aylananing radiusi (masalan, yon cheti PA 1 gipotenuzasi). uchburchak OPA 1, bunda OP=h, OA 1 =R). Pifagor teoremasi boʻyicha har qanday yon chekka √(h 2 +R 2) ga teng, shuning uchun PA 1 =PA 2 =…= PA n .
Biz PA 1 A 2 …A n muntazam piramidaning yon qirralari bir-biriga teng ekanligini isbotladik, shuning uchun yon yuzlari teng yonli uchburchaklardir. Bu uchburchaklarning asoslari ham bir-biriga teng, chunki A 1 A 2 …A n muntazam ko‘pburchakdir. Shuning uchun yon yuzlar isbotlanishi kerak bo'lgan uchburchaklar tengligining uchinchi mezoniga ko'ra tengdir.
Piramidaning asos tekisligiga parallel bo'lgan tekisligi deyiladi piramida kesmasi .
piramidaning xususiyatlari
Piramida kesmalarining xossalari.
1. Agar siz piramidani poydevorga parallel tekislik bilan kesib o'tsangiz, u holda:
· 
piramidaning yon qirralari va balandligi bu tekislik bilan proportsional segmentlarga bo'linadi;
bo'limda siz poydevorda yotgan ko'pburchakga o'xshash ko'pburchak olasiz;
Kesma va tayanch maydonlari bir-biriga piramida tepasidan masofalarining kvadratlari sifatida bog'liq bo'ladi:
S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2
2. Agar balandliklari teng boʻlgan ikkita piramidani asoslarga parallel, tepadan bir xil masofada joylashgan tekisliklar kesib oʻtsa, u holda kesmalarning maydonlari asoslar maydonlariga proporsional boʻladi.
Piramidaning lateral yuzasi (yoki oddiygina lateral yuzasi) maydoni uning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisidir.
Umumiy sirt maydoni Piramidaning (yoki oddiygina umumiy yuzasi) uning lateral yuzasi va poydevorining maydoni yig'indisi.
Piramidaning balandligi xususiyatlari
1. Agar piramidaning yon yuzi poydevor tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, u holda piramidaning balandligi shu yuzning tekisligida o'tadi.
2. Agar piramidaning ikkita qo‘shni yon qirralari teng bo‘lsa, u holda piramida balandligining asosi poydevorning shu tomonining o‘rtasidan o‘tkazilgan perpendikulyar bo‘lib, uning uchlaridan bu yon qirralar chiqadi.
3. Agar piramidaning ikkita qo‘shni yon yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo‘lsa, u holda piramida balandligining asosi bu yon yuzlar o‘tadigan poydevorning o‘sha tomonlari hosil qilgan burchakning bissektrisasida yotadi.
4. Agar piramidaning yon qirrasi poydevorning ikki tomoni unga tutashgan holda teng burchaklar hosil qilsa, u holda piramida balandligi asosi poydevorning shu tomonlari hosil qilgan burchakning bissektrisasida yotadi.
5. Agar piramidaning yon qirrasi poydevorning u bilan kesishgan tomoniga perpendikulyar bo'lsa, u holda piramida balandligining asosi tiklangan perpendikulyar (piramida poydevori tekisligida) dan bu tomonga. uning bu yon qirrasi bilan kesishish nuqtasi.
ESLATMA: agar piramidada bu xususiyatlardan ikkitasi bo'lsa, u holda piramida balandligining asosi bo'lgan nuqtani yagona ko'rsatish mumkin.
Rasmda oddiy n-ko'mir piramidasining SABCD... parchasi ko'rsatilgan, bu erda SH - piramidaning balandligi; SK - apotema. Keling, quyidagi belgini kiritamiz: burchak alfa ( ά
) piramidaning lateral qirrasi bilan poydevor tekisligi orasidagi burchak; beta (b) - yon yuz va asosiy tekislik orasidagi burchak; burchak y (g) - qo'shni yon qovurg'alar orasidagi burchak; burchak phi (ph) - qo'shni yon yuzlar orasidagi burchak.
Agar bu burchaklardan biri oddiy piramidada ma'lum bo'lsa, qolgan uchtasini topish mumkin. Jadvalda oltita munosabatlar ko'rsatilgan:
Piramida hajmi formula bo'yicha topiladi:
V=1/3S asosiy H,
Bu erda Sbase - tayanch maydoni, H - balandlik.
Yon sirt maydoni to'g'ri piramida quyidagicha ifodalanadi:
S tomoni \u003d 1/2Ph,
bu erda P - asosning perimetri, h - yon yuzning balandligi
2.2. Kesilgan piramida.
kesilgan piramida piramidaning asosi va poydevorga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi, masalan, ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 piramidasi.
Kesilgan piramidaning asoslari parallel yuzlar deb ataladi ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD pastki asos, A 1 B 1 C 1 D 1 esa yuqori asos).
Balandligi kesilgan piramida - asoslarga perpendikulyar bo'lgan va ularning tekisliklari orasiga o'ralgan to'g'ri chiziq segmenti.
Kesilgan piramida to'g'ri , agar uning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va asoslar markazlarini bog'laydigan chiziq asoslar tekisligiga perpendikulyar bo'lsa.
Kesilgan piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir.
Yon sirt kesilgan piramida - uning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi. Kesilgan piramidaning umumiy yuzasi lateral yuzasi va asoslar maydonlarining yig'indisiga teng.
Kesilgan piramida piramidadan uning yuqori qismini poydevorga parallel tekislik bilan kesib olish orqali olinadi. Kesilgan piramidaning asoslari o'xshash ko'pburchaklar, yon yuzlari trapezoidlardir.
Ovoz balandligi kesilgan piramida quyidagi formula bo'yicha topiladi:
V=1/3 H(S+ √ SS1+S1),
bu erda S va S1 - asoslarning maydonlari, H - balandlik.
Yon sirt maydoni muntazam kesilgan piramida quyidagicha ifodalanadi:
S tomoni \u003d 1/2 (P + P 1) h,
bu erda P va P1 - asoslarning perimetrlari, h - yon yuzning balandligi (yoki oddiy kesilgan piramidaning apothemi).
2.3. Piramida va uning tekis kesimlarini qurish
Parallel proyeksiyalash qoidalariga muvofiq, piramidaning tasviri quyidagicha quriladi. Birinchidan, poydevor quriladi. Bu qandaydir tekis ko'pburchak bo'ladi. Keyin piramidaning yuqori qismi belgilanadi, u taglikning tepalariga lateral qovurg'alar bilan bog'lanadi.
Piramidaning tepa qismidan oʻtuvchi tekisliklar boʻyicha kesmalari uchburchaklardir (a-rasm). Xususan, diagonal kesimlar ham uchburchaklardir. Bular piramidaning ikkita qoʻshni boʻlmagan yon chetidan oʻtuvchi tekislik boʻlimlaridir (b-rasm).
Piramidaning asos tekisligida berilgan izi g bo'lgan tekislik bilan kesmasi xuddi prizma kesmasiga o'xshab qurilgan.
Piramidaning kesimini tekislik bilan qurish uchun uning yon yuzlarining kesishuv tekisligi bilan kesishish joylarini qurish kifoya.
Agar g iziga parallel bo'lmagan yuzda kesimga tegishli ba'zi A nuqta ma'lum bo'lsa, u holda sekant tekislik g izining ushbu yuz tekisligi bilan kesishishi birinchi navbatda - rasmdagi D nuqtasi ( ichida). D nuqta A nuqtaga to'g'ri chiziq orqali bog'langan. Keyin bu chiziqning yuzga tegishli segmenti bu yuzning kesish tekisligi bilan kesishishi hisoblanadi. Agar A nuqta g iziga parallel yuzda yotsa, u holda sekant tekislik bu yuzni g chiziqqa parallel segment bo'ylab kesib o'tadi. Qo'shni yon yuzga borib, ular kesish tekisligi bilan uning kesishishini qurishadi va hokazo. Natijada, piramidaning kerakli kesimi olinadi.
