Formula bo'yicha butun son chizig'ida berilgan

X. f. X tasodifiy o'zgaruvchisi, ta'rifiga ko'ra, X. f. uning ehtimollik taqsimoti

X. f.dan foydalanish bilan bogʻliq usul dastlab A. M. Lyapunov tomonidan qoʻllanilgan va keyinchalik asosiy tahliliy usullardan biriga aylangan. ehtimollar nazariyasi usullari. U, ayniqsa, ehtimollar nazariyasidagi chegara teoremalarini isbotlashda samarali qo'llaniladi. 2 momentli mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy chegara teoremasi elementar munosabatga keltiriladi.

X.ning asosiy xossalari f. 1) va ijobiy aniqlovchi, ya'ni.

Kompleks sonlar va argumentlarning har qanday cheklangan to'plami uchun

2) butun o'q bo'ylab bir xilda uzluksiz

4)xususan, faqat haqiqiy qiymatlarni oladi (va juft funktsiya), agar mos keladigan ehtimollik nosimmetrik bo'lsa, ya'ni bu erda

5) X. f. o'lchovni aniq belgilaydi; murojaat bor:

Uchlari nolga teng m-o'lchovga ega bo'lgan har qanday oraliqlar uchun (a, 6). Agar u integral bo'lsa (mutlaqo, agar Riman ma'nosida tushunilsa), unda tegishli taqsimlash funktsiyasi mavjud

6) X. f. ikkita ehtimollik o'lchovining konvolyutsiyasi (ikkita mustaqil tasodifiy miqdorning yig'indisi) ularning X. f.

Quyidagi uchta xususiyat tasodifiy miqdor momentlarining mavjudligi bilan uning X. funksiyasining silliqlik darajasi oʻrtasidagi bogʻliqlikni ifodalaydi.

7) Agar bir oz tabiiy uchun P, u holda barcha naturallar uchun X dan r tartibli hosilalari mavjud. f. tasodifiy o'zgaruvchisi X va tenglik o'rinli

8) Agar mavjud bo'lsa

9) Agar hamma uchun

keyin hamma uchun amal qiladi

X.f usulidan foydalanish asosan X. funksiyalarning yuqoridagi xossalariga, shuningdek quyidagi ikkita teoremaga asoslanadi.
Boxner teoremasi (X. funksiyalar sinfining tavsifi). f funksiya ustida berilgan va f(0)=1 bo'lsin. f X bo'lishi uchun. f. ma'lum bir ehtimollik o'lchovi, uning uzluksiz va ijobiy aniq bo'lishi zarur va etarli.
Levi teoremasi (muvofiqlik). Ehtimollik o‘lchovlari ketma-ketligi va ularning X.f. ketma-ketligi bo‘lsin. Keyin ma'lum bir ehtimollik o'lchoviga zaif yaqinlashadi (ya'ni, ixtiyoriy uzluksiz cheklangan funktsiya uchun, agar har bir nuqtada ma'lum bir nuqtaga yaqinlashsa va faqat bo'lsa. uzluksiz funksiya f; yaqinlashish holatida funksiya Bundan kelib chiqadiki, ehtimollik oʻlchovlarining nisbiy (zaif yaqinlashish maʼnosida) turkumi mos keladigan X. funksiyalar turkumining nol qismidagi teng davomiylikka ekvivalentdir.
Boxner teoremasi Furye-Stieljes konversiyasini ehtimollik o‘lchovlarining yarim guruhi (konvolyutsiya operatsiyasi bo‘yicha) va nolga teng bo‘lgan musbat aniq uzluksiz funksiyalarning yarimguruhi (nuqtaga ko‘paytirish bo‘yicha) o‘rtasida ko‘rish imkonini beradi. teorema bu algebraik ekanligini bildiradi. izomorfizm ham topologikdir. gomeomorfizm, agar ehtimollik o'lchovlarining yarim guruhida zaif yaqinlashish topologiyasi, ijobiy aniqlangan funktsiyalar yarim guruhida esa - bir xil yaqinlashish topologiyasi tushuniladi. cheklangan to'plamlar.
X. f.ning ifodalari maʼlum. asosiy ehtimoliy kasalliklar (qarang,), masalan, X. f. O'rtacha dispersiyaga ega Gauss o'lchovi
Salbiy bo'lmagan butun sonli tasodifiy o'zgaruvchilar uchun X, X. f. bilan bir qatorda uning analogi ishlatiladi -

X. bilan bogʻlangan f. nisbat
X. f. Cheklangan o'lchovli fazoda ehtimollik o'lchovi xuddi shunday aniqlanadi:

Qayerda x> anglatadi. Yuqorida bayon qilingan faktlar X. f uchun ham to‘g‘ri keladi. ehtimollik o'lchovlari

Lit.: Lukach E., Xarakteristik funktsiyalar, trans. ingliz tilidan, M., 1979; Feller V., Ehtimollar nazariyasiga kirish va uning qo'llanilishi, 2-jild. trans. ingliz tilidan, M., 1967; Proxorov Yu.V., Rozanov Yu.A., Ehtimollar nazariyasi. Asosiy tushunchalar. Limit teoremalari. Tasodifiy jarayonlar, 2-nashr, M., 1973; 3olotarev V. M., Bir o'lchovli barqaror taqsimotlar, Moskva, 1983 yil.
N.H. Vaxaniya.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.

Boshqa lug'atlarda "CHARACTERISTIC FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

Xarakterli funktsiya: Termodinamikada xarakterli funksiya sistemaning termodinamik xossalari aniqlanadigan funksiyadir. To'plamning xarakterli funktsiyasi - to'plamdagi elementning a'zoligini o'rnatuvchi funktsiya; ... ... Vikipediya

Termodinamikada termodinamika holatini belgilovchi mustaqil parametrlar holati funksiyasi. tizimlari. X. f.ga. termodinamik va entropiya potentsiallarini o'z ichiga oladi. X orqali... Jismoniy ensiklopediya

xarakterli funktsiya- Tegishli mustaqil termodinamik parametrlarning termodinamik tizimining holati funktsiyasi, bu funktsiya va uning hosilalari orqali ushbu parametrlarga nisbatan barcha termodinamik ... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Xarakterli funktsiya- nazariy jihatdan kooperativ o'yinlar, o'yindagi har qanday koalitsiya uchun minimal to'lov qiymatini belgilaydigan nisbat. Ikki koalitsiya birlashganda, H.f.ning qiymati. yo'q bo'ladi miqdoridan kamroq birlashgan bo'lmaganlar uchun bunday funktsiyalar ... ... Iqtisodiy va matematik lug'at

xarakterli funktsiya- budingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visa termodinaminės sistemos savybes. attikmenys: ingliz. xarakterli funksiya rus. xarakterli funktsiya ... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

xarakterli funktsiya- budingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. xarakterli funksiya vok. Characteristische Funktion, f rus. xarakterli funksiya, f pranc. fonction caractéristique, f… Fizikos terminų žodynas - Espace X to'plamlari 1 ga va 0 ga teng funktsiyadir (bu erda CE Ev X ning to'ldiruvchisidir). Qiymatlari (0, 1) boʻlgan har qanday funksiya X. funksiya hisoblanadi. maʼlum bir toʻplamning, yaʼni toʻplamning, X. funksiyalarining xossalari: juft boʻlib ajratilgan, keyin 6) agar u holda... Matematik entsiklopediya

a k	(y)=	M[Y				+∞∫ s k	(x)			(x) dx;
mk(y)				∫ (s (x)						f(x)dx.
Tasodifiy kattalikning xarakteristik funksiyasi
Y = e itX bo'lsin, bu erda			X -	tasodifiy qiymat ma'lum qonun bilan
taqsimot, t – parametr, i =				− 1.
Xarakterli funktsiya tasodifiy o'zgaruvchi Chaqirildi
Y = e itX funktsiyasining matematik kutilishi:
					∑ e itx k p k, DSV uchun,
				k = 1
y X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , NSV uchun.
Shunday qilib, xarakteristikasi								y X(t)		va taqsimot qonuni

tasodifiy o'zgaruvchilar yagona bog'liqdir Furye konvertatsiyasi. Masalan, X tasodifiy o'zgaruvchining f (x) taqsimot zichligi uning xarakteristik funktsiyasi orqali yagona tarzda ifodalanadi: teskari Furye konvertatsiyasi:

	f(x)=		+∞ y (t) e− itX dt.
		2 p−∞ ∫
Xarakteristik funktsiyaning asosiy xususiyatlari:
	Z = aX + b miqdorning xarakteristik funktsiyasi, bu erda X tasodifiy
xarakteristik funksiyaning qiymati y X (t) ga teng
	y Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itby X (at) .
	X tasodifiy miqdorning k-darajali boshlang'ich momenti ga teng
	a k (x )= y X (k ) (0)i − k ,

bu yerda y X (k) (0) - t = 0 da xarakteristik funksiyaning k-hosilasining qiymati.

3. Yig‘indining xarakterli funksiyasi	Y = ∑ X k mustaqil
	k = 1

tasodifiy o'zgaruvchilar atamalarning xarakteristik funktsiyalarining mahsulotiga teng:

y Y(t ) = ∏ y Xi		(t).
i = 1
4. Normalning xarakterli funksiyasi			bilan tasodifiy o'zgaruvchi
m va s parametrlari teng:
y X (t) = eitm −	t 2 s 2

8-MA'RUZA Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorlar. Ikki o'lchovli taqsimot qonuni

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) - bu bir xil tajriba natijasida qiymatlarni oladigan ikkita bir o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami.

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar ularning tarkibiy qismlarining Ō X, Ō Y qiymatlari to'plami va qo'shma (ikki o'lchovli) taqsimot qonuni bilan tavsiflanadi. X,Y komponentlar turiga qarab diskret, uzluksiz va aralash ikki o'lchovli tasodifiy miqdorlar farqlanadi.

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) geometrik ravishda x0y tekisligidagi tasodifiy nuqta (X, Y) yoki boshlang'ich nuqtadan (X, Y) nuqtaga yo'naltirilgan tasodifiy vektor sifatida ifodalanishi mumkin.

Ikki o'lchovli taqsimot funktsiyasi ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi

(X ,Y ) ikkita hodisaning birgalikda bajarilishi ehtimoliga teng (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrik ikki o‘lchovli taqsimot funksiyasi F(x, y)

tasodifiy nuqtaning (X, Y) zarbasi
cheksiz		bilan kvadrant	yuqoriga kirish
chap va uning ostida yotgan nuqta (x,y).
X komponenti qiymatlarni oldi
haqiqiy x sonidan kichik, bu
	tarqatish		F X (x ) va
Y komponenti - haqiqiydan kamroq
y raqamlari,			tarqatish
FY(y).

Ikki o'lchovli taqsimot funktsiyasining xususiyatlari:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

ehtimollikdir

. (x,y)

Isbot. Xususiyat taqsimot funktsiyasining ehtimollik sifatida ta'rifidan kelib chiqadi: ehtimollik 1 dan oshmaydigan manfiy bo'lmagan sondir.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), agar x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), y 2 >y 1 bo‘lsa.

Isbot. F (x ,y ) ga nisbatan kamaymaydigan funksiya ekanligini isbotlaylik

o'zgaruvchan x. Ehtimolni ko'rib chiqing

p (X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Chunki p (X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

y uchun ham xuddi shunday.

4. Bir o‘lchovli xarakteristikaga o‘tish:

	F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. To'rtburchak maydonga urish ehtimoli
p (a≤ X ≤ b; d≤ D≤ g) =
F (b ,g ) −F (b ,d ) −F (a ,g ) +F (a ,d ).										(β,γ)
Tarqatish funktsiyasi - ko'pchilik
universal
tarqatish
ishlatilgan		qanday qilib tavsiflanadi								(β,δ)
davomiy,		va diskret						(α,δ)
ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar.

Tarqatish matritsasi

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) diskret hisoblanadi, agar uning Ō X va Ō Y komponentlarining qiymatlari to'plamlari sanaladigan to'plamlar bo'lsa. Bunday miqdorlarning ehtimollik xarakteristikalarini tavsiflash uchun ikki o'lchovli taqsimot funktsiyasi va taqsimot matritsasi ishlatiladi.

Tarqatish matritsasi X − Ō X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), Y − Ō Y =( y 1 ,y 2 komponentining qiymatlarini o‘z ichiga olgan to‘rtburchaklar jadvaldir. , …,y m ) va barcha mumkin bo‘lgan juft qiymatlar ehtimoli p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

xi\yj
	X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Y komponentining ehtimollik taqsimot qatoriga o‘tish:
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

i= 1

Ikki o'lchovli taqsimlash zichligi

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X ,Y ) agar u uzluksiz bo'lsa

F (x, y) taqsimot funksiyasi har bir argument uchun uzluksiz, differentsiallanuvchi funktsiyadir va ikkinchisi mavjud.

aralash hosila ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Ikki o'lchovli taqsimot zichligi f(x, y ) koordinatalari bo'lgan nuqta yaqinidagi ehtimollik zichligini tavsiflaydi ( x, y ) va taqsimot funksiyasining ikkinchi aralash hosilasiga teng:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Ikki o'lchovli zichlikning xususiyatlari:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Normalizatsiya sharti:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .

Xarakterli funktsiya tasodifiy o'zgaruvchi X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishining Furye konvertatsiyasi deyiladi:

Xususiyatlari

Isbot.

Isbot.

Tabiiyki, bu xususiyat koʻproq atamalarni qamrab oladi:

.

φ (t) bir xil uzluksiz.

Isbot.

Olingan yakuniy ifoda faqat bog'liq h. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz yozishimiz mumkin

.

Isbot. Agar mavjud bo'lsa k kattalik momenti X, keyin, integral belgisi ostida farqlashdan foydalanib (bu mumkin, chunki p(x) mavjud), biz olamiz

Har bir keyingi farqlash bilan u "tashiladi" i E[ X], shuning uchun keyin k biz farqlarni olamiz i k E[ X k]. Bu natija shaklda ifodalanishi mumkin

.

Xarakteristik funktsiya tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishini noyob tarzda aniqlaydi.

Maxsus holatlarning isboti

Mayli X - butun sonli diskret tasodifiy o'zgaruvchi ( k Z), keyin (teskari Furye konvertatsiyasi)

(Koeffitsientlari bo'lgan Furye seriyalari p k), Keyin

Buning uchun barcha shartlar k≠m, 0 ni (ortogonallik bo'yicha) bering va qoladi

.

Mayli φ (t) haqiqiy chiziqda mutlaqo integrallanadi va taqsimot zichligi mavjud p(x) 11 .

Kel urinib ko'ramiz ifodalash p(x) xarakteristik funksiya orqali. Funktsiyaning teskari Furye o'zgarishini yozamiz φ :

.

Buni hisobga olgan holda

Chunki

O'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali biz olamiz

va shuning uchun

.

Agar (*) ikkinchi integralda integrallashning ikkala chegarasi ham bir xil belgilarga ega bo lsa, 0 ni olamiz; agar boshqacha bo'lsa - cheklangan son. Ya'ni, da nol bo'lmagan chegara mavjud a<y<b. Bunday holda, −∞ dan ∞ gacha bo'lgan integral paydo bo'ladi, ga teng π . Bu yerdan

bor:

,

shuning uchun, p xarakterli funksiya bilan to‘liq aniqlanadi.

.

Isbot..

Funksiyaning xarakterli mezoni

Funktsiya φ X (t) - tasodifiy miqdor uchun xarakteristikasi X agar va faqat agar:

φ X (0) = 1,

φ X (t) ijobiy aniqlik.

Funktsiya φ (t) deyiladi ijobiy aniqlik(ijobiy aniq), agar

nolga tenglikka esa faqat qachon erishiladi z i = 0i. Agar biz tenglikka erishish shartini nolga tushirsak, olamiz salbiy bo'lmagan aniq funktsiyasi.

Keling, tekshiramiz Xarakteristik funktsiya musbat aniqlangan:

Mantiqiy asos. Mulk bo'yicha 5),

Da k= 1, biz olamiz,

Da k= 2 -.

Agar E X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Misollar

Yechim. Keling, ifodani shaklga qisqartiraylik

Buni ko'rish qiyin emas
. O'zgartirishdan so'ng siz yozishingiz mumkin
.

Keling, qadriyatlarni ko'rib chiqaylik p i :

Xulosa: cos 2 t 1/2 ehtimollik bilan 0 qiymatini va 1/4 ehtimollik bilan 2 va -2 qiymatlarni qabul qiluvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristik funktsiyasidir.

Xarakteristik funktsiyani hisoblang degeneratsiya tasodifiy o'zgaruvchi: P(X= 0) = 1.

Yechim..

Agar P(X=C) = 1, olamiz.

Yechim. Keling, ifodani shaklga qisqartiraylik

.

Keling, qadriyatlarni ko'rib chiqaylik p i :

bor: Bu diskret tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi.

Yechim. Mayli Y=X–X′ , Keyin

Xulosa: har qanday xarakteristik funksiya modulining kvadrati yana xarakterli funksiya hisoblanadi.

Mayli X,Y - xarakterli funktsiyalarga ega tasodifiy o'zgaruvchilar φ X (t) Va φ Y (t);a,b> 0 - shunday konstantalar a+b= 1. Funktsiyani ko'rib chiqing

Bu xarakterlidirmi va agar shunday bo'lsa, qaysi tasodifiy o'zgaruvchi uchun?

Javob: Ha shunaqa. Tegishli taqsimot funksiyalari bo'lsin X Va Y - F X (x) Va F Y (y). Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Shubhasiz, bu tarqatish funktsiyasi, chunki

Keyin ehtimollik zichligi

Agar φ (t) - xarakterli funktsiya X, Bu φ (−t) - xarakterli funktsiya (- X). (4-misoldan)).

Mayli φ (tX, keyin bo'ladi

f (t) =Qayta[ φ (t)]

Yechim. Shubhasiz,

Mayli φ (t) taqsimot funksiyasiga mos keladi F X (x), keyin Re[ uchun φ (t)]:

Mayli φ (t) - miqdorning xarakterli funksiyasi X, keyin bo'ladi

f (t) =Men[ φ (t)]

ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning xarakteristik funktsiyasi?

Yechim. Yo'q, unday emas, chunki f (0) = 0.

Normal taqsimotning xarakteristik funksiyasini toping.

1. X ~ N(0, 1):

Keling, hisoblaylik φ (t), integral belgisi ostida farqlash:

Differensial tenglamani yechamiz
dastlabki holat bilan φ (0) = 1:

X~N(a,σ 2): keling, ushbu qiymatni bilan solishtiramiz X 0 ~N(0, 1). Buni ko‘rish oson X=a+σ X 0 . Keyin, mulk bo'yicha 2)

Matematik kutish va uning xossalari.

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari.

Xarakterli funktsiya.

5-sonli ma’ruza

2-bo'lim. Tasodifiy o'zgaruvchilar.

1-mavzu. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi, ehtimollik zichligi va sonli xarakteristikalari.

Ma'ruza maqsadi: tasodifiy miqdorlarni tavsiflash usullari haqida bilim berish.

Dars savollari:

Adabiyot:

L1 - Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Ehtimollar nazariyasi. Matematik statistika. - 2-nashr. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 b.

L2 - Gmurman, V. E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika: Darslik. universitetlar uchun qo'llanma / V. E. Gmurman. - 9-nashr, o'chirilgan. - M .: Yuqori. maktab, 2005. - 479 b.: kasal.

L3 - Naxman A.D., Kosenkova I.V. Qatorlar. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Uslubiy ishlanmalar. – Tambov: TDTU nashriyoti, 2009 yil.

L4 - Plotnikova S.V. Matematik statistika. Uslubiy ishlanmalar. – Tambov: TDTU nashriyoti, 2005. (pdf fayl)

Ko'p muammolarni hal qilishda, taqsimlash funktsiyasi o'rniga F(x) va p.v. p(x) xarakteristik funktsiya qo'llaniladi. Ushbu belgi yordamida, masalan, so'zning ba'zi sonli xususiyatlarini aniqlash maqsadga muvofiq bo'ladi. va z.r. funktsiyalari s.v.

Xarakterli funktsiya sl.v. uning a.e.ning Furye konvertatsiyasi deyiladi. p(x):

, (2.6.1)

xarakteristik funktsiyaning argumenti bo'lgan parametr qaerda, - m.o. sl.v. (2.8-bandga qarang).

Teskari Furye konvertatsiyasini qo'llash orqali biz a.e.ni aniqlaydigan formulaga ega bo'lamiz. sl.v. xarakterli funktsiyasi bilan

. (2.6.2)

O'lchamdan beri p(x) o'lchamga teskari x, u holda miqdor va shuning uchun o'lchovsizdir. Argument teskari o'lchamga ega x.

Vakillikdan foydalanish (2.5.7) a.e. p(x) delta funksiyalar yig'indisi ko'rinishida (1) formulani diskret r.v ga kengaytira olamiz.

. (2.6.3)

Ba'zida xarakterli funktsiya o'rniga uning logarifmini ishlatish qulay bo'lib chiqadi:

Y. (2.6.4)

Funktsiya Y ikkinchi deb atash mumkin ( logarifmik)xarakterli funktsiya sl.v. .

Xarakteristik funktsiyaning eng muhim xususiyatlarini qayd qilaylik.

1. Xarakteristik funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

. (2.6.5)

2. Simmetrik taqsimot uchun, qachon p(x)= p(-x), (1) dagi xayoliy qism nolga teng va shuning uchun xarakteristik funksiya haqiqiy juft funktsiyadir. . Aksincha, agar u faqat haqiqiy qiymatlarni qabul qilsa, u juft bo'lib, mos taqsimot simmetrik bo'ladi.

3. Agar s.v. r.v ning chiziqli funksiyasi hisoblanadi. , keyin uning xarakteristik funktsiyasi ifoda bilan aniqlanadi

, (2.6.6)

Qayerda a Va b- doimiy.

4. Yig'indining xarakteristik funktsiyasi mustaqil s.v. atamalarning xarakteristik funktsiyalari mahsulotiga teng, ya'ni agar

. (2.6.7)

Bu xususiyat ayniqsa foydalidir, chunki aks holda a.e. sl.v miqdori. konvolyutsiyaning bir necha marta takrorlanishi bilan bog'liq bo'lib, bu ba'zan qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.

Shunday qilib, taqsimot funktsiyasi, ehtimollik zichligi va xarakterli funktsiya o'rtasidagi aniq bog'liqlikni hisobga olgan holda, ikkinchisidan r.v.ni tavsiflash uchun teng ravishda foydalanish mumkin.

2.6.1-misol. Ikki impulsning kod birikmasi shovqin bilan aloqa kanali orqali uzatiladi. Ushbu impulslarga interferensiyaning mustaqil ta'siri tufayli ularning har biri ehtimollik bilan bostirilishi mumkin. q=0,2. Aniqlash kerak: I) c.v ning tarqalish qatori. - interferensiya bilan bostirilgan impulslar soni; 2) taqsimlash funksiyasi; 3) ehtimollik zichligi; 4) r.v.ning xarakterli funksiyasi. .

Diskret s.v. uchta qiymatni qabul qilishi mumkin (impulslarning hech biri bostirilmaydi), (bitta impuls bostiriladi), (ikkala impuls ham bostiriladi). Ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mos ravishda teng:

Aytgancha, siz shunchaki talaba bir xil davomiylik haqida hech narsa bilmasligini targ'ib qildingiz va endi siz unga delta funktsiyalarini taklif qilyapsizmi? To'g'risi, men hech narsa demayman.

Sizni shaxsan o'zimga tegishli bo'lgan xususiyatlardan qat'iy nazar muhokama qilishga tayyor bo'lgan mavzuda yana ko'rganimdan xursandman. Men sizga qiziqaman. Talaba o'zidan so'rash mumkin bo'lgan hamma narsani bilishi kerak, lekin birinchi navbatda u tushunchalar tizimini, ularning tavsifini va ular o'rtasidagi munosabatlarni o'zlashtirishi kerak va u fan bo'limining tor doirasi bilan cheklanib qolmasligi kerak. hozirda o'qiyotgan va shuningdek, bo'lmasligi kerak yurish ma'lumotnomasi , u doimo u yoki bu shartni qondirmaydigan ko'p sonli funktsiyalarni eslab turadi.
Dastlabki masalada berilgan HF funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini aniqlash kerak edi. Talaba HF tushunchasi kiritilganda bunday vazifani oladi. Va bunday muammolarni hal qilishdan maqsad CP va PR o'rtasidagi munosabatlar haqidagi tushunchani mustahkamlash, shuningdek, CP xususiyatlari haqidagi bilimlarni mustahkamlashdir.
Berilgan funktsiyaning HF ekanligini ko'rsatishning ikki yo'li mavjud: yoki Furye bo'yicha unga mos keladigan funktsiyani topib, uning normalizatsiya shartini qondirishini va ijobiy ekanligini tekshirish kerak yoki berilgan funktsiyaning manfiy bo'lmagan aniqligini isbotlash kerak. funktsiyasi va Bochner-Xinchin teoremasiga murojaat qiling. Shu bilan birga, SV ni boshqa Rademacher SV larining chiziqli birikmasi shaklida ifodalash bo'yicha teoremalardan foydalanish HF ning asosiy xususiyatlarini tushunishga hech qanday hissa qo'shmaydi, bundan tashqari, yuqorida aytib o'tganimdek, sizning yechimingiz pardalangan Furye seriyasi, ya'ni aslida birinchi usulga mos keladi.
Agar berilgan funktsiya hech qanday SV ning HF bo'la olmasligini ko'rsatish kerak bo'lganda, HF xususiyatlaridan birining muvaffaqiyatsizligini aniqlash kifoya: nolga teng birlik qiymati, modul bir bilan chegaralangan, to'g'ri qiymatlarni olish. PDF lahzalari uchun bir xil uzluksizlik. Berilgan funktsiya orqali hisoblangan momentlar qiymatlarining to'g'riligini tekshirish bir xil uzluksizlikni matematik jihatdan ekvivalent tekshirishdir, chunki bu xususiyatlardan birortasini bajarmaslik berilgan funktsiyaning yaroqsizligini tan olish uchun bir xil asos bo'lib xizmat qilishi mumkin. Biroq, moment qiymatlarining to'g'riligini tekshirish rasmiylashtiriladi: farqlash va tekshirish. Umumiy holda, bir xil uzluksizlik isbotlanishi kerak, bu muammoni hal qilish muvaffaqiyatini talabaning ijodiy salohiyatiga, uning "taxmin qilish" qobiliyatiga bog'liq qiladi.
SV "qurilishi" ni muhokama qilishning bir qismi sifatida men oddiy masalani ko'rib chiqishni taklif qilaman: keling, quyidagi shakldagi HF bilan SV quraylik: Qayerda