Matematik kutish tushunchasini zar otish misolida ko'rib chiqish mumkin. Har bir otishda tushgan ochkolar qayd etiladi. Ularni ifodalash uchun 1 dan 6 gacha bo'lgan tabiiy qiymatlar qo'llaniladi.

Muayyan miqdordagi otishlardan so'ng, oddiy hisob-kitoblar yordamida siz tushgan nuqtalarning o'rtacha arifmetik qiymatini topishingiz mumkin.

Har qanday diapazon qiymatlaridan voz kechish bilan bir qatorda, bu qiymat tasodifiy bo'ladi.

Va agar siz otishlar sonini bir necha marta oshirsangiz? Ko'p sonli otishlar bilan, ballarning o'rtacha arifmetik qiymati ma'lum bir raqamga yaqinlashadi, ehtimollik nazariyasida bu matematik kutish deb ataladi.

Shunday qilib, matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati sifatida tushuniladi. Bu ko'rsatkich ehtimoliy qiymatlarning o'lchangan yig'indisi sifatida ham taqdim etilishi mumkin.

Ushbu tushuncha bir nechta sinonimlarga ega:

• o'rtacha qiymati;
• o'rtacha qiymat;
• markaziy trend indikatori;
• birinchi daqiqa.

Boshqacha qilib aytganda, bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari atrofida taqsimlanadigan raqamdan boshqa narsa emas.

Inson faoliyatining turli sohalarida matematik kutishni tushunishga yondashuvlar biroz boshqacha bo'ladi.

Buni quyidagicha ko'rish mumkin:

• qaror qabul qilishdan olingan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqilsa;
• har bir tikish uchun o'rtacha hisoblangan g'alaba qozonish yoki yutqazishning mumkin bo'lgan miqdori (qimor nazariyasi). Slangda ular "o'yinchining afzalligi" (o'yinchi uchun ijobiy) yoki "kazino afzalligi" (futbolchi uchun salbiy) kabi eshitiladi;
• yutuqdan olingan foyda foizi.

Matematik kutish mutlaqo barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun majburiy emas. Tegishli summa yoki integralda nomuvofiqlikka ega bo'lganlar uchun bu mavjud emas.

Kutish xususiyatlari

Har qanday statistik parametr singari, matematik kutish ham quyidagi xususiyatlarga ega:

Matematik kutish uchun asosiy formulalar

Matematik kutilmani hisoblash uzluksizligi (A formula) va diskretlik (formula B) bilan tavsiflangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ham amalga oshirilishi mumkin:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, bu erda xi tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari, pi - ehtimolliklar:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, bu yerda f(x) berilgan ehtimollik zichligi.

Matematik kutishni hisoblash misollari

Misol A.

Qorqiz haqidagi ertakdagi gnomlarning o'rtacha balandligini bilish mumkinmi? Ma'lumki, 7 gnomning har biri ma'lum bir balandlikka ega edi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 va 0,81 m.

Hisoblash algoritmi juda oddiy:

• o'sish ko'rsatkichining barcha qiymatlari yig'indisini toping (tasodifiy o'zgaruvchi):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Olingan miqdor gnomlar soniga bo'linadi:
  6,31:7=0,90.

Shunday qilib, ertakdagi gnomlarning o'rtacha balandligi 90 sm. Boshqacha qilib aytganda, bu gnomlarning o'sishining matematik kutishidir.

Ishchi formula - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Matematik kutishning amaliy amalga oshirilishi

Matematik kutishning statistik ko'rsatkichini hisoblash amaliy faoliyatning turli sohalarida qo'llaniladi. Avvalo, biz tijorat sohasi haqida gapiramiz. Darhaqiqat, Gyuygens tomonidan ushbu ko'rsatkichning kiritilishi qandaydir hodisa uchun qulay yoki aksincha, noqulay bo'lishi mumkin bo'lgan imkoniyatlarni aniqlash bilan bog'liq.

Ushbu parametr, ayniqsa moliyaviy investitsiyalar haqida gap ketganda, xavflarni baholash uchun keng qo'llaniladi.
Shunday qilib, biznesda matematik kutishni hisoblash narxlarni hisoblashda xavfni baholash usuli sifatida ishlaydi.

Shuningdek, ushbu ko'rsatkichdan ma'lum chora-tadbirlarning samaradorligini hisoblashda, masalan, mehnatni muhofaza qilish bo'yicha foydalanish mumkin. Uning yordamida siz voqea sodir bo'lish ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Ushbu parametrni qo'llashning yana bir sohasi menejmentdir. U mahsulot sifatini nazorat qilish vaqtida ham hisoblanishi mumkin. Masalan, mat yordamida. taxminlar, siz ishlab chiqarish nuqsonli qismlarning mumkin bo'lgan sonini hisoblashingiz mumkin.

Ilmiy tadqiqot jarayonida olingan natijalarni statistik qayta ishlash jarayonida matematik kutish ham ajralmas hisoblanadi. Shuningdek, u maqsadga erishish darajasiga qarab eksperiment yoki tadqiqotning istalgan yoki istalmagan natijasi ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Axir, uning yutug'i daromad va foyda bilan bog'liq bo'lishi mumkin, va erishilmasligi - yo'qotish yoki yo'qotish sifatida.

Forexda matematik kutishdan foydalanish

Ushbu statistik parametrni amalda qo'llash valyuta bozorida operatsiyalarni amalga oshirishda mumkin. U savdo operatsiyalarining muvaffaqiyatini tahlil qilish uchun ishlatilishi mumkin. Bundan tashqari, kutish qiymatining oshishi ularning muvaffaqiyati oshishini ko'rsatadi.

Shuni ham unutmaslik kerakki, matematik kutish treyder faoliyatini tahlil qilish uchun foydalaniladigan yagona statistik parametr sifatida qaralmasligi kerak. O'rtacha qiymat bilan bir qatorda bir nechta statistik parametrlardan foydalanish ba'zida tahlilning aniqligini oshiradi.

Ushbu parametr savdo hisoblari kuzatuvlarini kuzatishda o'zini yaxshi isbotladi. Unga rahmat, depozit hisobvarag'ida amalga oshirilgan ishlarni tezkor baholash amalga oshiriladi. Treyderning faoliyati muvaffaqiyatli bo'lgan va u yo'qotishlardan qochgan hollarda, faqat matematik kutishni hisoblashdan foydalanish tavsiya etilmaydi. Bunday hollarda xavflar hisobga olinmaydi, bu esa tahlil samaradorligini pasaytiradi.

Treyderlarning taktikasi bo'yicha o'tkazilgan tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki:

• eng samarali - tasodifiy kiritishga asoslangan taktikalar;
• eng kam samarali bo'lganlar tuzilgan ma'lumotlarga asoslangan taktikalardir.

Ijobiy natijalarga erishish uchun bir xil darajada muhim:

• pulni boshqarish taktikasi;
• chiqish strategiyalari.

Matematik kutish kabi ko'rsatkichdan foydalanib, biz 1 dollar investitsiya qilishda qanday foyda yoki zarar bo'lishini taxmin qilishimiz mumkin. Ma'lumki, kazinoda o'ynaladigan barcha o'yinlar uchun hisoblangan ushbu ko'rsatkich muassasa foydasiga. Bu sizga pul ishlash imkonini beradi. Uzoq seriyali o'yinlar bo'lsa, mijoz tomonidan pul yo'qotish ehtimoli sezilarli darajada oshadi.

Professional o'yinchilarning o'yinlari kichik vaqt oralig'i bilan cheklangan, bu g'alaba qozonish imkoniyatini oshiradi va yo'qotish xavfini kamaytiradi. Xuddi shunday holat investitsiya operatsiyalarini bajarishda ham kuzatiladi.

Investor qisqa vaqt ichida ijobiy kutish va ko'p sonli bitimlar bilan katta miqdorda daromad olishi mumkin.

Kutishni foyda foizi (PW) o'rtacha foyda (AW) va yo'qotish ehtimoli (PL) o'rtacha yo'qotish (AL) o'rtasidagi farq sifatida ko'rib chiqilishi mumkin.

Misol sifatida quyidagilarni ko'rib chiqing: pozitsiya - 12,5 ming dollar, portfel - 100 ming dollar, har bir omonat uchun xavf - 1%. Bitimlarning rentabelligi o'rtacha foyda 20% bo'lgan hollarda 40% ni tashkil qiladi. Yo'qotish bo'lsa, o'rtacha yo'qotish 5% ni tashkil qiladi. Savdo uchun matematik kutishni hisoblash $625 qiymatini beradi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.

Tasodifiy o'zgaruvchi faqat mos ravishda teng bo'lgan ehtimolliklarni qabul qilsin.U holda tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tenglik bilan aniqlanadi.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini qabul qilsa, u holda

Bundan tashqari, tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud.

Izoh. Ta'rifdan kelib chiqadiki, diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.

Umumiy holatda matematik kutishning ta'rifi

Keling, taqsimlanishi mutlaqo diskret bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlaylik. Keling, manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilardan boshlaylik. Matematik kutish allaqachon aniqlangan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar yordamida bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni taxminiy hisoblash va matematik kutishni uni yaqinlashtiruvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutish chegarasiga tenglashtirishdan iborat bo'ladi. Aytgancha, bu juda foydali umumiy g'oya bo'lib, u oddiy ob'ektlar uchun qandaydir xarakteristikalar dastlab aniqlanadi, keyin esa murakkabroq ob'ektlar uchun ularni oddiyroqlari bilan yaqinlashtirish orqali aniqlanadi.

Lemma 1. Ixtiyoriy manfiy bo'lmagan tasodifiy miqdor bo'lsin. Keyin diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi mavjud bo'lib, shunday

Isbot. Yarim o'qni teng uzunlikdagi segmentlarga ajratamiz va aniqlaymiz

Keyin 1 va 2 xossalar tasodifiy o'zgaruvchining ta'rifidan osongina kelib chiqadi va

Lemma 2. Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi va va Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning ikkita ketma-ketligi bo'lsin.

Isbot. E'tibor bering, salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun biz ruxsat beramiz

3-xususiyatga ko'ra, ijobiy raqamlar ketma-ketligi mavjudligini ko'rish oson

Demak, bundan kelib chiqadi

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik taxminlar xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz

Lemma 2 tasdiqini olishimiz bilan chegaraga o'tamiz.

Ta'rif 1. Salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi bo'lsin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi sondir.

Lemma 2, taxminiy ketma-ketlikni tanlashga bog'liq emasligini kafolatlaydi.

Keling, ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keling, aniqlaymiz

Ta'rifdan va bu osonlik bilan kelib chiqadi

Ta'rif 2. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorning matematik kutilishi sondir

Agar bu tenglikning o'ng tomonidagi raqamlardan kamida bittasi chekli bo'lsa.

Kutish xususiyatlari

Xossa 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng:

Isbot. Biz doimiyni bitta mumkin bo'lgan qiymatga ega bo'lgan va uni ehtimollik bilan qabul qiladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz, shuning uchun

Izoh 1. Biz doimiy qiymatning diskret tasodifiy o'zgaruvchining mahsulotini mumkin bo'lgan qiymatlari mumkin bo'lgan qiymatlar bo'yicha doimiyning mahsulotiga teng bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi sifatida aniqlaymiz; mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklari mos keladigan mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklariga teng.Masalan, agar mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli teng bo'lsa, u holda qiymatning qiymatni olish ehtimoli ham teng bo'ladi.

Xossa 2. Kutish belgisidan doimiy omilni chiqarish mumkin:

Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik taqsimoti qonuni bilan berilgan bo'lsin:

1-izohni hisobga olib, tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini yozamiz

Izoh 2. Keyingi xususiyatga o'tishdan oldin shuni ta'kidlaymizki, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa o'zgaruvchi qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, mustaqil deb nomlanadi. Aks holda, tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'ladi. Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning har qanday sonining taqsimlanish qonunlari boshqa o'zgaruvchilar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, o'zaro mustaqil deb ataladi.

Izoh 3. Biz mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotini aniqlaymiz va tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ularning mumkin bo'lgan qiymatlari har bir mumkin bo'lgan qiymatning mahsulotiga teng bo'lgan mahsulotning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimolining har bir mumkin bo'lgan qiymatiga teng. omillarning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli mahsulotiga. Misol uchun, agar mumkin bo'lgan qiymat ehtimoli bo'lsa, mumkin bo'lgan qiymat ehtimoli bo'lsa, unda mumkin bo'lgan qiymat ehtimoli bo'ladi.

3-xususiyat. Ikki mustaqil tasodifiy miqdor ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko‘paytmasiga teng:

Isbot. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar o'zlarining ehtimollik taqsimot qonunlari bilan berilgan bo'lsin:

Tasodifiy o'zgaruvchi olishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlarni tuzamiz.Buni amalga oshirish uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni har bir mumkin bo'lgan qiymatga ko'paytiramiz; Natijada, biz olamiz va 3-izohni inobatga olgan holda, mahsulotning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari boshqacha ekanligini soddaligi uchun taqsimlash qonunini yozamiz (agar bunday bo'lmasa, isbotlash xuddi shunday amalga oshiriladi):

Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng:

Natija. Bir nechta o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.

4-xususiyat. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng:

Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchilar va quyidagi taqsimot qonunlari bilan berilgan bo'lsin:

Miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini tuzing Buning uchun har bir mumkin bo'lgan qiymatni har bir mumkin bo'lgan qiymatga qo'shing; Biz oddiylik uchun ushbu mumkin bo'lgan qiymatlar boshqacha deb taxmin qilamiz (agar bunday bo'lmasa, isbot xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi) va ularning ehtimolliklarini mos ravishda va bilan belgilaymiz.

Qiymatning matematik kutilishi ularning ehtimolliklari bo'yicha mumkin bo'lgan qiymatlar mahsuloti yig'indisiga teng:

Qiymatni qabul qilishdan iborat bo'lgan (bu hodisaning ehtimoli teng) hodisa yoki (qo'shilish teoremasi bo'yicha bu hodisaning ehtimoli teng) yoki aksincha, qiymatni olishdan iborat bo'lgan hodisani keltirib chiqarishini isbotlaylik. Bundan kelib chiqadiki, tenglik

Ushbu tengliklarning to'g'ri qismlarini (*) nisbatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz

yoki nihoyat

Dispersiya va standart og'ish

Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini baholash talab qilinadi. Masalan, artilleriyada snaryadlar urish kerak bo'lgan nishonga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.

Bir qarashda, tarqalishni baholashning eng oson yo'li tasodifiy o'zgaruvchining og'ishining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini hisoblash va keyin ularning o'rtacha qiymatini topishdir. Biroq, bu yo'l hech narsa bermaydi, chunki og'ishning o'rtacha qiymati, ya'ni. har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun nolga teng. Bu xususiyat ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari esa salbiy ekanligi bilan izohlanadi; ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida og'ishning o'rtacha qiymati nolga teng. Ushbu mulohazalar mumkin bo'lgan og'ishlarni ularning mutlaq qiymatlari yoki ularning kvadratlari bilan almashtirishning maqsadga muvofiqligini ko'rsatadi. Ular buni amalda shunday qilishadi. To'g'ri, mumkin bo'lgan og'ishlar ularning mutlaq qiymatlari bilan almashtirilganda, mutlaq qiymatlar bilan ishlashga to'g'ri keladi, bu ba'zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun, ko'pincha ular boshqa yo'l bilan borishadi, ya'ni. dispersiya deb ataladigan kvadrat og'ishning o'rtacha qiymatini hisoblang.

Tasodifiy o'zgaruvchilar, taqsimot qonunlaridan tashqari, ham tavsiflanishi mumkin raqamli xususiyatlar .

matematik kutish Tasodifiy miqdorning M (x) qiymati uning o'rtacha qiymati deyiladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi formula bo'yicha hisoblanadi

qayerda – tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari, p men- ularning ehtimolliklari.

Matematik kutishning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1. Konstantaning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng

2. Agar tasodifiy miqdor ma'lum bir k soniga ko'paytirilsa, u holda matematik taxmin bir xil songa ko'paytiriladi.

M (kx) = kM (x)

3. Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig‘indisiga teng.

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun x 1 , x 2 , … x n mahsulotning matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko'paytmasiga teng.

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

11-misoldan tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminini hisoblaymiz.

M(x) == .

12-misol. X 1 , x 2 tasodifiy oʻzgaruvchilar mos ravishda taqsimot qonunlari bilan berilgan boʻlsin:

x 1 2-jadval

x 2 3-jadval

M (x 1) va M (x 2) ni hisoblang

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Ikkala tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminlari bir xil - ular nolga teng. Biroq, ularning taqsimlanishi boshqacha. Agar x 1 qiymatlari ularning matematik kutilganidan ozgina farq qilsa, u holda x 2 qiymatlari ularning matematik kutganidan katta darajada farq qiladi va bunday og'ishlarning ehtimoli kichik emas. Bu misollar shuni ko'rsatadiki, o'rtacha qiymatdan undan qanday og'ishlar ham yuqoriga, ham pastga sodir bo'lishini aniqlash mumkin emas. Shunday qilib, ikki hududda bir xil o'rtacha yillik yog'ingarchilik bilan, bu joylar qishloq xo'jaligi ishlari uchun bir xil darajada qulay deb aytish mumkin emas. Xuddi shunday, o'rtacha ish haqi ko'rsatkichi bo'yicha, yuqori va kam maosh oladigan ishchilar ulushini hukm qilish mumkin emas. Shuning uchun raqamli xarakteristika kiritiladi - dispersiya D(x) , tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidan og'ish darajasini tavsiflovchi:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersiya - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

D(x)= = (3)

Dispersiya ta’rifidan D (x) 0 ekanligi kelib chiqadi.

Dispersiya xususiyatlari:

1. Konstantaning dispersiyasi nolga teng

2. Agar tasodifiy miqdor qandaydir k soniga ko'paytirilsa, dispersiya shu sonning kvadratiga ko'paytiriladi.

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. X 1 , x 2 , … x n juftlik mustaqil tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun yigʻindining dispersiyasi dispersiyalarning yigʻindisiga teng.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

11-misoldan tasodifiy miqdor uchun dispersiyani hisoblaymiz.

Matematik kutilma M (x) = 1. Shuning uchun (3) formulaga muvofiq bizda:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

E'tibor bering, agar biz 3 xususiyatdan foydalansak, dispersiyani hisoblash osonroq bo'ladi:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

12-misoldan x 1 , x 2 tasodifiy miqdorlar uchun dispersiyalarni ushbu formuladan foydalanib hisoblaymiz. Ikkala tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminlari nolga teng.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u0002d

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Dispersiya qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatga nisbatan tarqalishi shunchalik kichik bo'ladi.

Qiymat deyiladi standart og'ish. Tasodifiy moda x diskret turi Md tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lib, u eng yuqori ehtimolga mos keladi.

Tasodifiy moda x uzluksiz turi Md, f(x) ehtimollik taqsimot zichligining maksimal nuqtasi sifatida aniqlangan haqiqiy son.

Tasodifiy o'zgaruvchining medianasi x uzluksiz turi Mn tenglamani qanoatlantiradigan haqiqiy sondir

X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi o'rtacha qiymatdir.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), qayerda C= const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y mustaqil, keyin M(XY) = M(X) M(Y)

Dispersiya

X tasodifiy miqdorning dispersiyasi deyiladi

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M (X 2 ) - M 2 (X).

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining o'rtacha qiymatidan og'ish o'lchovidir.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), qayerda C= const

4. Mustaqil tasodifiy miqdorlar uchun

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

X tasodifiy miqdor dispersiyasining kvadrat ildizi standart og'ish deb ataladi .

@ 3-topshiriq: X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik bilan faqat ikkita qiymatni (0 yoki 1) qabul qilsin q, p, qayerda p + q = 1. Matematik kutilma va dispersiyani toping.

Yechim:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.

@ 4-topshiriq: Tasodifiy kattalikning matematik kutilishi va dispersiyasi X 8 ga teng. Tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishi va dispersiyasini toping: a) X-4; b) 3X-4.

Yechish: M(X - 4) = M(X) - 4 = 8 - 4 = 4; D(X - 4) = D(X) = 8; M(3X - 4) = 3M(X) - 4 = 20; D(3X - 4) = 9D(X) = 72.

@ 5-topshiriq: Oilalar to'plami bolalar soni bo'yicha quyidagi taqsimotga ega:

x i	x 1	x2
pi	0,1	p2	0,4	0,35

Aniqlash x 1, x2 va p2 agar ma'lum bo'lsa M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Yechish: p 2 ehtimolligi p 2 = 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 = 0,15 ga teng. Noma’lum x tenglamalardan topiladi: M(X) = x 1 0,1 + x 2 0,15 + 2 0,4 + 3 0,35 = 2; D (X) = 0,1 + 0,15 + 4 0,4 ​​+ 9 0,35 - 4 = 0,9. x 1 = 0; x2 = 1.

Umumiy populyatsiya va namuna. Parametrlarni baholash

Tanlangan kuzatish

Statistik kuzatish uzluksiz va uzluksiz tashkil etilishi mumkin. Uzluksiz kuzatish o'rganilayotgan aholining (umumiy aholi) barcha birliklarini tekshirishni o'z ichiga oladi. Aholi bu tadqiqotchi o'z vazifasiga muvofiq o'rganadigan jismoniy yoki yuridik shaxslar to'plami. Bu ko'pincha iqtisodiy jihatdan foydali emas va ba'zan imkonsizdir. Shu munosabat bilan, umumiy aholining faqat bir qismi o'rganiladi - namuna olish ramkasi .

Namuna populyatsiyasidan olingan natijalar, agar quyidagi printsiplarga rioya qilingan bo'lsa, umumiy populyatsiyaga kengaytirilishi mumkin:

1. Namuna populyatsiyasi tasodifiy tarzda aniqlanishi kerak.

2. Namuna olish birliklarining soni etarli bo'lishi kerak.

3. Taqdim etilishi kerak vakillik ( namunaning reprezentativligi). Vakillik namunasi - bu taqdim etish uchun mo'ljallangan populyatsiyaning kichikroq, ammo aniq modeli.

Namuna turlari

Amalda quyidagi turdagi namunalar qo'llaniladi:

a) to'g'ri tasodifiy, b) mexanik, c) tipik, d) ketma-ket, e) birlashtirilgan.

O'z-o'zidan tasodifiy namuna olish

Da to'g'ri tasodifiy namuna tanlab olish birliklari tasodifiy, masalan, qura tashlash yoki tasodifiy sonlar generatori orqali tanlanadi.

Namunalar takrorlanadi va takrorlanmaydi. Qayta namuna olishda namuna olingan birlik qaytariladi va yana namuna olish uchun teng imkoniyatni saqlab qoladi. Takrorlanmaydigan tanlab olishda namunaga kiritilgan populyatsiya birligi kelajakda tanlamada qatnashmaydi.

Namuna umumiy populyatsiyani to'liq takrorlamasligi sababli kelib chiqadigan namunaviy kuzatishga xos bo'lgan xatolar deyiladi. standart xatolar . Ular tanlovdan olingan ko'rsatkichlar qiymatlari va umumiy populyatsiya ko'rsatkichlarining mos keladigan qiymatlari o'rtasidagi o'rtacha kvadrat farqni ifodalaydi.

Tasodifiy qayta namuna olish uchun standart xato uchun hisoblash formulalari quyidagicha: , bu erda S 2 - tanlanma populyatsiyasining dispersiyasi, yo'q - namuna ulushi, n, N- tanlanma va umumiy populyatsiyadagi birliklar soni. Da n = N standart xato m = 0.

Mexanik namuna olish

Da mexanik namuna olish umumiy populyatsiya teng oraliqlarga bo'linadi va har bir oraliqdan tasodifiy ravishda bitta birlik tanlanadi.

Misol uchun, 2% tanlama darajasi bilan har 50-birlik aholi ro'yxatidan tanlanadi.

Mexanik namuna olishning standart xatosi o'z-o'zidan tasodifiy takrorlanmaydigan namuna olish xatosi sifatida aniqlanadi.

Oddiy namuna

Da tipik namuna umumiy populyatsiya bir hil tipik guruhlarga bo'linadi, keyin har bir guruhdan tasodifiy birliklar tanlanadi.

Odatdagi namuna heterojen umumiy populyatsiya holatida qo'llaniladi. Oddiy namuna aniqroq natijalar beradi, chunki u vakillikni ta'minlaydi.

Masalan, o’qituvchilar umumiy aholi sifatida quyidagi belgilarga ko’ra guruhlarga bo’linadi: jinsi, tajribasi, malakasi, ma’lumoti, shahar va qishloq maktablari va boshqalar.

Namuna olishning odatiy standart xatolari o'z-o'zidan tasodifiy tanlab olish xatolari sifatida aniqlanadi, yagona farq shundaki S2 guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha qiymati bilan almashtiriladi.

ketma-ket namuna olish

Da ketma-ket namuna olish umumiy aholi alohida guruhlarga (seriyalarga) bo'linadi, so'ngra tasodifiy tanlangan guruhlar doimiy kuzatuvdan o'tkaziladi.

Ketma-ket namuna olish standart xatolar o'z-o'zidan tasodifiy tanlab olish xatolari sifatida aniqlanadi, yagona farq shundaki S2 guruhlararo dispersiyalarning o'rtacha qiymati bilan almashtiriladi.

Kombinatsiyalangan namuna olish

Kombinatsiyalangan namuna olish ikki yoki undan ortiq namuna turlarining birikmasidir.

Nuqtalarni baholash

Namuna kuzatishning yakuniy maqsadi umumiy populyatsiyaning xususiyatlarini topishdir. Buni to'g'ridan-to'g'ri amalga oshirish mumkin emasligi sababli, namunaviy populyatsiyaning xususiyatlari umumiy populyatsiyaga kengaytiriladi.

O'rtacha tanlama ma'lumotlaridan umumiy aholining o'rtacha arifmetik qiymatini aniqlashning asosiy imkoniyati isbotlangan. Chebishev teoremasi. Cheksiz kattalashtirish bilan n namunaviy o'rtacha va umumiy o'rtacha o'rtasidagi farq o'zboshimchalik bilan kichik bo'lishi ehtimoli 1 ga intiladi.

Bu shuni anglatadiki, aniqlik bilan umumiy aholining xarakteristikasi. Bunday baholash deyiladi nuqta .

Intervalni baholash

Intervalli taxminning asosi hisoblanadi markaziy chegara teoremasi.

Intervalni baholash savolga javob berishga imkon beradi: umumiy populyatsiya parametrining noma'lum, kerakli qiymati qaysi oraliqda va qanday ehtimollik bilan?

Odatda ishonch darajasi deb ataladi p = 1 – a, bu intervalda bo'ladi – D< < + D, где D = t cr m > 0 marjinal xato namunalar, a - ahamiyat darajasi (tengsizlikning noto'g'ri bo'lish ehtimoli), t cr- kritik qiymat, bu qiymatlarga bog'liq n va a. Kichik namuna bilan n< 30 t cr bilan ikki dumli test uchun Student t-taqsimlanishining kritik qiymatidan foydalanib berilgan n– 1 darajali erkinlik, ahamiyatlilik darajasi a ( t cr(n- 1, a) "Talaba t-taqsimotining kritik qiymatlari" jadvalidan topilgan, 2-ilova). n > 30 uchun, t cr normal taqsimotning miqdori ( t cr F(t) = (1) Laplas funksiyasining qiymatlari jadvalidan topilgan – a)/2 argument sifatida). P = 0,954 da, kritik qiymat t cr= 2 p = 0,997 kritik qiymatda t cr= 3. Demak, marjinal xato odatda standart xatolikdan 2-3 barobar ko'p bo'ladi.

Shunday qilib, tanlab olish usulining mohiyati shundan iboratki, umumiy aholining ma'lum bir kichik qismining statistik ma'lumotlariga asoslanib, ishonchli ehtimollik bilan intervalni topish mumkin. p umumiy aholining kerakli xarakteristikasi topiladi (ishchilarning o'rtacha soni, o'rtacha ball, o'rtacha hosildorlik, standart og'ish va boshqalar).

@ 1-topshiriq. Tijorat bankida korporativ korxonalarning kreditorlari bilan hisob-kitoblar tezligini aniqlash uchun 100 ta to'lov hujjatlarining tasodifiy tanlovi o'tkazildi, ular uchun pul o'tkazish va qabul qilishning o'rtacha vaqti standart bilan 22 kunni (= 22) tashkil etdi. 6 kunlik og'ish (S = 6). Ehtimollik bilan p= 0,954 o'rtacha tanlamaning marjinal xatosini va ushbu korporatsiya korxonalarining hisob-kitoblarining o'rtacha davomiyligining ishonch oralig'ini aniqlang.

Yechish: ga muvofiq tanlanmaning chegaraviy xatosi(1)ga teng D= 2· 0,6 = 1,2 va ishonch oralig'i (22 - 1,2; 22 + 1,2) sifatida aniqlanadi, ya'ni. (20,8; 23,2).

§6.5 Korrelyatsiya va regressiya

Ehtimollar nazariyasi matematikaning faqat oliy o'quv yurtlari talabalari tomonidan o'rganiladigan maxsus bo'limidir. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishamiz.

Keling, asosiy narsalarni eslaylik

Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.

Shunday qilib, qandaydir tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.

O'rta arifmetik

Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Hozir biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.

Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlar yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.

Dispersiya

Ilmiy nuqtai nazardan, dispersiya - bu olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.

Dispersiya shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni, X*X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng.

Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.

Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farq qanday bo'ladi?

Birinchidan, biz o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Biz uni 7 ga bo'lamiz, 3 ni olamiz. Endi biz dastlabki ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiramiz va natijalarni birgalikda qo'shamiz. . Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, muhokama qilaylik.

Tajribalar soniga bog'liqlik

Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil). Bu nimaga bog'liq?

Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, u holda biz maxrajga N qo'yishimiz kerak, agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.

Vazifa

Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.

Kutilgan qiymat

Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, unda qancha natijalar ko'rib chiqilishidan qat'i nazar, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.

Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy operatsiyalarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'itdik - amaliyot vaqti keldi.

Yana bir misol

Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish masalasini yechish misolini keltiramiz.

Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.

Keling, hisoblashni qulayroq qilish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element bilan buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyinchalik: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, unda hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ni olasiz.

90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.

Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.

Burilish

Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.

Agar siz oddiy taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ishini ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning o'rtasi va gorizontal o'qdagi natijada proyeksiya o'rtasidagi segmentning qiymati standart og'ish bo'ladi.

Dasturiy ta'minot

Formulalarning tavsiflari va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollik nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.

Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihoyat

Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari tufayli ko‘plab talabalar darhol dasturda qolib ketishadi va keyinchalik sessiyada yomon baho olishadi, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.

Kuniga yarim soatdan kamida bir hafta mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.