Logarifmning ta'rifi

b sonining a asosiga logarifmi b ni olish uchun a ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir.

Raqam e matematikada ifoda moyillik chegarasini belgilash odat tusiga kiradi

Raqam e hisoblanadi irratsional son- bitta bilan solishtirib bo'lmaydigan son, uni butun yoki kasr sifatida aniq ifodalab bo'lmaydi oqilona raqam.

Xat e- lotincha so'zning birinchi harfi exonere- maqtanish, shuning uchun matematikada nomi eksponentsial- eksponensial funktsiya.

Raqam e matematikada keng qo'llaniladi va barcha fanlarda u yoki bu tarzda o'z ehtiyojlari uchun matematik hisoblardan foydalanadi.

Logarifmlar. Logarifmlarning xossalari

Ta'rif: musbat sonning asosiy logarifmi b sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich c hisoblanadi.

Asosiy logarifmik identifikatsiya:

7) Yangi bazaga o'tish formulasi:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

“Logarifmlar. Logarifmlarning xossalari»

• Logarifmlar - matematikadan imtihonni takrorlash uchun muhim mavzular

Ushbu mavzu bo'yicha topshiriqlarni muvaffaqiyatli bajarish uchun siz logarifmning ta'rifini, logarifmlarning xususiyatlarini, asosiy logarifmik identifikatsiyani, o'nlik va natural logarifmlarning ta'riflarini bilishingiz kerak. Ushbu mavzu bo'yicha asosiy vazifalar turlari logarifmik ifodalarni hisoblash va o'zgartirish uchun topshiriqlardir. Ularning yechimini quyidagi misollarda ko‘rib chiqamiz.

Qaror: Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, biz olamiz

Qaror: daraja xossalaridan foydalanib, olamiz

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Logarifmlarning xossalari, formulalari va isbotlari.

Logarifmlar bir qator xarakterli xususiyatlarga ega. Ushbu maqolada biz asosiy narsani tahlil qilamiz logarifmlarning xossalari. Bu erda biz ularning formulalarini beramiz, logarifmlarning xususiyatlarini formulalar shaklida yozamiz, ularni qo'llash misollarini ko'rsatamiz, shuningdek, logarifmlarning xossalarini isbotlaymiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Logarifmlarning asosiy xossalari, formulalari

Eslab qolish va foydalanish qulayligi uchun biz taqdim etamiz logarifmlarning asosiy xossalari formulalar ro'yxati sifatida. Keyingi bo'limda biz ularning formulalari, dalillari, foydalanish misollari va zarur tushuntirishlarini beramiz.

Birlik jurnalining xususiyati: har qanday a>0, a≠1 uchun log a 1=0.

Asosga teng sonning logarifmi: log a a=1 uchun a>0 , a≠1 .

Asosiy darajadagi logarifm xossasi: log a a p =p, bu yerda a>0, a≠1 va p har qanday haqiqiy son.

Ikki musbat son ko‘paytmasining logarifmi: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
va n ta musbat son ko‘paytmasining logarifmi xossasi: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .

Shaxsiy logarifm xususiyati: , bu yerda a>0, a≠1, x>0, y>0.

Son kuchining logarifmi: log a b p =p log a |b| , bu yerda a>0, a≠1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.

Natija: , bu yerda a>0 , a≠1 , n birdan katta natural son, b>0 .

Xulosa 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Natija 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p va q haqiqiy sonlar, q≠0 , xususan, b=a uchun bizda mavjud. .

Xususiyatlarning bayonotlari va dalillari

Biz logarifmlarning qayd etilgan xususiyatlarini shakllantirish va isbotlashga o'tamiz. Logarifmning barcha xossalari logarifmning ta’rifi va undan kelib chiqadigan asosiy logarifmik o’ziga xoslik hamda daraja xossalari asosida isbotlanadi.

dan boshlaylik birlik logarifmining xossalari. Uning formulasi quyidagicha: birlikning logarifmi nolga teng, ya'ni log a 1=0 har qanday a>0, a≠1 uchun. Isbot oddiy: yuqoridagi a>0 va a≠1 shartlarini qanoatlantiradigan har qanday a uchun 0 =1 bo‘lganligi sababli, loggarifm ta’rifidan darhol tasdiqlangan log a 1=0 tengligi kelib chiqadi.

Ko'rib chiqilayotgan xossaning qo'llanilishiga misollar keltiramiz: log 3 1=0 , lg1=0 va .

Keling, keyingi mulkka o'tamiz: asosiga teng sonning logarifmi birga teng, ya'ni, log a a=1 a>0, a≠1 uchun. Haqiqatan ham, har qanday a uchun a 1 =a bo'lgani uchun, logarifm ta'rifi bo'yicha log a a=1 bo'ladi.

Logarifmlarning bu xossasidan foydalanish misollari log 5 5=1 , log 5.6 5.6 va lne=1 .

Logarifm asosiga teng bo'lgan sonning kuchining logarifmi ko'rsatkichga teng.. Logarifmning bu xossasi shakl formulasiga mos keladi log a a p =p, bu yerda a>0, a≠1 va p har qanday haqiqiy son. Bu xususiyat bevosita logarifm ta'rifidan kelib chiqadi. E'tibor bering, bu sizga logarifmning qiymatini darhol belgilashga imkon beradi, agar logarifm belgisi ostidagi raqamni asos darajasi sifatida ko'rsatish mumkin bo'lsa, biz bu haqda logarifmlarni hisoblash maqolasida ko'proq gaplashamiz.

Masalan, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 va .

Ikki musbat sonning ko'paytmasining logarifmi x va y mahsulotga teng Bu raqamlarning logarifmlari: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Mahsulot logarifmining xossasini isbotlaylik. Darajaning xossalari tufayli a log a x + log a y =a log a x a log a y va asosiy logarifmik identifikatsiyaga ko'ra log a x =x va log a y =y bo'lgani uchun log a x a log a y =x y bo'ladi. Shunday qilib, log a x+log a y =x y , buning uchun zarur bo'lgan tenglik logarifm ta'rifidan kelib chiqadi.

Mahsulotning logarifmi xossasidan foydalanish misollarini ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 va .

Mahsulot logarifmi xossasini x 1 , x 2 , …, x n musbat sonlarning chekli n sonining mahsulotiga umumlashtirish mumkin: log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Bu tenglikni matematik induksiya usuli bilan osongina isbotlash mumkin.

Masalan, mahsulotning natural logarifmini 4, e va sonlarining uchta natural logarifmi yig‘indisi bilan almashtirish mumkin.

Ikki musbat sonning qismining logarifmi x va y bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng. Bo'lim logarifmining xossasi shaklning formulasiga mos keladi , bu yerda a>0 , a≠1 , x va y ba'zi musbat sonlardir. Ushbu formulaning haqiqiyligi mahsulotning logarifmi formulasi kabi isbotlangan: beri , keyin logarifmning ta'rifi bilan .

Logarifmning ushbu xususiyatidan foydalanishga misol: .

Keling, davom etaylik daraja logarifmining xossasi. Darajaning logarifmi ko'rsatkichning ko'paytmasiga va ushbu daraja asosining modulining logarifmiga teng. Darajaning logarifmining bu xossasini formula ko‘rinishida yozamiz: log a b p =p log a |b|, bu yerda a>0, a≠1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.

Bu xususiyatni birinchi navbatda musbat b uchun isbotlaymiz. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b sonini log a b, so'ngra b p =(a log a b) p ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi va natijada paydo bo'lgan ifoda kuch xususiyati tufayli a p log a b ga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz b p =a p log a b tengligiga erishamiz, undan logarifmning ta'rifiga ko'ra log a b p =p log a b degan xulosaga kelamiz.

Bu xususiyatni salbiy b uchun isbotlash uchun qoladi. Bu yerda manfiy b uchun log a b p ifodasi faqat p juft ko‘rsatkichlari uchun ma’noli ekanligini ta’kidlaymiz (chunki b p darajaning qiymati noldan katta bo‘lishi kerak, aks holda logarifm ma’noga ega bo‘lmaydi) va bu holda b p =|b| p . Keyin b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , qayerdan log a b p =p log a |b| .

Misol uchun, va ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Bu avvalgi mulkdan kelib chiqadi ildizdan logarifmning xossasi: n-darajali ildizning logarifmi 1/n kasr va ildiz ifodasining logarifmi ko‘paytmasiga teng, ya’ni bu yerda a>0, a≠1, n birdan katta natural son, b>0.

Isbot har qanday musbat b uchun amal qiladigan tenglikka (kasr koʻrsatkichli koʻrsatkich taʼrifiga qarang) va daraja logarifmi xossasiga asoslanadi: .

Bu xususiyatdan foydalanishga misol: .

Endi isbot qilaylik logarifmning yangi bazasiga aylantirish formulasi mehribon . Buning uchun tenglik log c b=log a b log c a ning haqiqiyligini isbotlash kifoya. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b, keyin esa log c b=log c a log a b ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi. Darajaning logarifmi xususiyatidan foydalanish qoladi: log c a log a b = log a b log c a . Shunday qilib log c b=log a b log c a tengligi isbotlangan, demak, logarifmning yangi asosiga o‘tish formulasi ham isbotlangan. .

Keling, logarifmlarning ushbu xususiyatini qo'llashga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: va .

Yangi bazaga o'tish formulasi sizga "qulay" asosga ega bo'lgan logarifmlar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi. Masalan, undan natural yoki o'nlik logarifmlarga o'tish uchun foydalanish mumkin, shunda siz logarifmlar jadvalidan logarifm qiymatini hisoblashingiz mumkin. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi, shuningdek, ba'zi hollarda, ba'zi logarifmlarning boshqa asoslar bilan qiymatlari ma'lum bo'lganda, berilgan logarifmning qiymatini topishga imkon beradi.

Ko'pincha formaning c=b uchun logarifmning yangi asosiga o'tish formulasining maxsus holati qo'llaniladi. Bu log a b va log b a o'zaro teskari sonlar ekanligini ko'rsatadi. Masalan, .

Formuladan ham tez-tez foydalaniladi, bu logarifm qiymatlarini topishda qulaydir. So'zlarimizni tasdiqlash uchun biz shaklning logarifmining qiymati uning yordamida qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor . Formulani isbotlash uchun a logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasidan foydalanish kifoya: .

Logarifmlarning taqqoslash xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi.

Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, a 1 >1, a 2 >1 va a 1 2 va 0 1 log a 1 b≤log a 2 b uchun to‘g‘ri bo‘lsin. Logarifmlarning xususiyatlariga ko'ra, bu tengsizliklarni qayta yozish mumkin va mos ravishda va ulardan kelib chiqadiki, log b a 1 ≤log b a 2 va log b a 1 ≥log b a 2. U holda bir xil asosli darajalarning xossalari bo'yicha b log b a 1 ≥b log b a 2 va b log b a 1 ≥b log b a 2 tengliklari, ya'ni a 1 ≥a 2 qanoatlantirilishi kerak. Shunday qilib, biz a 1 2 shartiga qarama-qarshilikka erishdik. Bu dalilni to'ldiradi.

Logarifmlarning asosiy xossalari

• Dars uchun materiallar
• Barcha formulalar yuklab olish

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va log a y . Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing - va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 6 4 + log 6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, bu nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:

• log a x n = n log a x;
• 
• 

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

[Rasm sarlavhasi]

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Bizda ... bor:

[Rasm sarlavhasi]

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

log a x logarifmi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

[Rasm sarlavhasi]

Xususan, agar c = x ni qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

[Rasm sarlavhasi]

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

[Rasm sarlavhasi]

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

[Rasm sarlavhasi]

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

[Rasm sarlavhasi]

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

1. n = log a a n

2. Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

   Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

   Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajaga b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a . Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib" qo'yishadi.

   Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

   [Rasm sarlavhasi]

   E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - faqat bazaning kvadratini va logarifm argumentini oling. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

   [Rasm sarlavhasi]

   Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

   Logarifmik birlik va logarifmik nol

   Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

   1. log a a = 1 - logarifmik birlik. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
   2. log a 1 = 0 logarifmik nolga teng. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa - logarifm nolga teng! Chunki 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

   Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

   Logarifm. Logarifmning xossalari (qo‘shish va ayirish).

   Logarifmning xossalari uning ta'rifidan kelib chiqadi. Shunday qilib, raqamning logarifmi b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

   Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x=log a b, tenglamani yechishga teng ax=b. Misol uchun, log 2 8 = 3 chunki 8 = 2 3 . Logarifmning formulasi agar ekanligini asoslashga imkon beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng bilan. Logarifm mavzusi sonning kuchi mavzusi bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq.

   Logarifmlar bilan, har qanday raqamlarda bo'lgani kabi, siz bajarishingiz mumkin qo'shish, ayirish amallari va har tomonlama o'zgartiring. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligini hisobga olib, bu erda o'zlarining maxsus qoidalari qo'llaniladi, ular deyiladi. asosiy xususiyatlar.

   Logarifmlarni qo'shish va ayirish.

   Bir xil asosga ega ikkita logarifmni oling: log x va log a y. Keyin olib tashlang, qo'shish va ayirish amallarini bajarish mumkin:

   Ko'rib turganimizdek, logarifmlar yig'indisi mahsulotning logarifmiga teng, va farq logarifmlar- qismning logarifmi. Va agar raqamlar bo'lsa, bu to'g'ri a, X va da ijobiy va a ≠ 1.

   Shuni ta'kidlash kerakki, bu formulalardagi asosiy jihat bir xil asoslardir. Agar asoslar bir-biridan farq qilsa, bu qoidalar qo'llanilmaydi!

   Bir xil asosli logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha ham o'qiladi. Natijada, mahsulotning logarifmi va qismning logarifmi uchun teoremalarga ega bo'lamiz.

   Mahsulotning logarifmi ikkita musbat son ularning logarifmlarining yig'indisiga teng ; Bu teoremani izohlab, raqamlar bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz a, x va da ijobiy va a ≠ 1, keyin:

   Bo'limning logarifmi Ikki musbat sonning soni dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Boshqacha qilib aytganda, raqamlar bo'lsa a, X va da ijobiy va a ≠ 1, keyin:

   Yechish uchun yuqoridagi teoremalardan foydalanamiz misollar:

   Agar raqamlar x va da demak, salbiy mahsulot logarifm formulasi ma'nosiz bo'lib qoladi. Shunday qilib, yozish taqiqlanadi:

   chunki log 2 (-8) va log 2 (-4) iboralari umuman aniqlanmagan (logarifmik funktsiya da= jurnal 2 X faqat argumentning ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi X).

   Mahsulot teoremasi nafaqat ikkita, balki cheksiz ko'p omillar uchun ham amal qiladi. Bu har bir tabiiy uchun, degan ma'noni anglatadi k va har qanday ijobiy raqamlar x 1 , x 2 , . . . ,x n o'ziga xoslik mavjud:

   Kimdan qism logarifm teoremalari logarifmning yana bir xossasini olish mumkin. Bu jurnali yaxshi ma'lum a 1= 0, shuning uchun

   Shunday qilib, tenglik mavjud:

   Ikki o'zaro o'zaro sonlarning logarifmlari bir xil asosda bir-biridan faqat belgisi bilan farqlanadi. Shunday qilib:

   Logarifm. Logarifmlarning xossalari

   Logarifm. Logarifmlarning xossalari

   Tenglikni hisobga oling. Bizga qiymatlarni bildiring va biz qiymatini topmoqchimiz.

   Ya'ni, biz olish uchun xo'roz kerak bo'lgan ko'rsatkichni qidirmoqdamiz.

   Bo'lsin oʻzgaruvchi istalgan real qiymatni qabul qilishi mumkin, keyin oʻzgaruvchilarga quyidagi cheklovlar qoʻyiladi: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Agar biz va ning qiymatlarini bilsak va biz noma'lumni topish vazifasiga duch kelsak, u holda buning uchun matematik operatsiya kiritiladi, bu deyiladi. logarifm.

   Biz oladigan qiymatni topish uchun sonning logarifmi yoqilgan asos :

   Raqamning asosga bo'lgan logarifmi - bu ko'rsatkichni olish uchun ko'tarish kerak.

   Ya'ni asosiy logarifmik identifikatsiya:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   mohiyatan matematik belgidir logarifm ta'riflari.

   Matematik operatsiya logarifmi ko'rsatkichga teskari hisoblanadi, shuning uchun logarifmlarning xossalari daraja xossalari bilan chambarchas bog‘liqdir.

   Biz asosiylarini sanab o'tamiz logarifmlarning xossalari:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Quyidagi xususiyatlar guruhi logarifm belgisi ostidagi yoki logarifmning tagida turgan koeffitsientni logarifm belgisi oldidagi ko'rsatkichni ko'rsatishga imkon beradi:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Keyingi formulalar guruhi asosi berilgan logarifmadan ixtiyoriy asosli logarifmaga o‘tish imkonini beradi va shunday deyiladi. formulalarni yangi bazaga o'tkazish:

   10.

   12. (11-xususiyatdan xulosa)

   

   Quyidagi uchta xususiyat yaxshi ma'lum emas, lekin ular ko'pincha logarifmik tenglamalarni echishda yoki logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtirishda qo'llaniladi:

   13.

   14.

   15.

   Maxsus holatlar:

   — o'nlik logarifm

   — tabiiy logarifm

   Logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralarni soddalashtirishda umumiy yondashuv qo'llaniladi:

   1. O'nli kasrlarni oddiy kasrlar shaklida ifodalaymiz.

   2. Aralash sonlarni noto'g'ri kasrlar sifatida ifodalaymiz.

   3. Logarifmning negizida va belgisi ostidagi sonlar tub ko‘paytmalarga ajratiladi.

   4. Biz barcha logarifmlarni bir xil asosga keltirishga harakat qilamiz.

   5. Logarifmlarning xossalarini qo‘llang.

   Keling, logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtirish misollarini ko'rib chiqaylik.

   1-misol

   Hisoblash:

   Keling, barcha ko'rsatkichlarni soddalashtiramiz: bizning vazifamiz ularni logarifmlarga etkazishdir, ularning asosi ko'rsatkichning asosi bilan bir xil sondir.

   ==(7-xususiyat bo'yicha)=(6-xususiyat bo'yicha) =

   Olingan ko'rsatkichlarni asl iborada almashtiring. Biz olamiz:

   Javob: 5.25

   2-misol Hisoblang:

   

   Biz barcha logarifmlarni 6-asosga keltiramiz (bu holda kasrning maxrajidan logarifmlar numeratorga "ko'chib o'tadi"):

   Logarifm belgisi ostidagi sonlarni tub omillarga ajratamiz:

   4 va 6 xossalarni qo'llang:

   Biz almashtirishni taqdim etamiz

   Biz olamiz:

   Javob: 1

   Logarifm . Asosiy logarifmik identifikatsiya.

   Logarifmlarning xossalari. O'nlik logarifm. tabiiy logarifm.

   logarifm asosdagi musbat N soni (b > 0, b 1) N olish uchun b ko'tarilishi kerak bo'lgan x ko'rsatkichi deyiladi .

   Ushbu yozuv quyidagilarga teng: b x = N .

   MISOLLAR: log 3 81 = 4 chunki 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3 chunki (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Logarifmning yuqoridagi ta'rifi identifikatsiya sifatida yozilishi mumkin:

   

   Logarifmlarning asosiy xossalari.

   2) log 1 = 0, chunki b 0 = 1 .

   3) Mahsulotning logarifmi omillarning logarifmlari yig'indisiga teng:

   4) Bo'limning logarifmi dividend va bo'linuvchining logarifmlari o'rtasidagi farqga teng:

   5) Darajaning logarifmi ko'rsatkich va uning asosining logarifmi ko'paytmasiga teng:

   Ushbu mulkning natijasi quyidagicha: log ildizi ildiz sonining logarifmini ildiz kuchiga bo'linganga teng:

   

   6) Agar logarifmning asosi daraja bo'lsa, u holda qiymat ko‘rsatkichning o‘zaro nisbati olmosh jurnali belgisidan chiqarilishi mumkin:

   

   Oxirgi ikkita xususiyatni bittaga birlashtirish mumkin:

   

   7) O'tish moduli formulasi (ya'ni, logarifmning bir bazasidan boshqa asosga o'tish):

   

   Muayyan holatda, qachon N = a bizda ... bor:

   

   O'nlik logarifm chaqirdi asosiy logarifm 10. U lg bilan belgilanadi, ya'ni. jurnal 10 N= jurnal N. 10, 100, 1000, sonlarning logarifmlari. p mos ravishda 1, 2, 3, …, ya'ni. juda ko'p ijobiy narsalar bor

   birlik, logarifm sonida birdan keyin nechta nol bor. 0,1, 0,01, 0,001, sonlarning logarifmlari. p mos ravishda -1, -2, -3, …, ya'ni. birdan oldingi logarifm sonida qancha nol boʻlsa, shuncha manfiyga ega boʻladi (shu jumladan, nol butun sonlar). Qolgan sonlarning logarifmlari deyiladi kasr qismiga ega mantis. Logarifmning butun qismi deyiladi xarakterli. Amaliy ilovalar uchun o'nli logarifmlar eng qulaydir.

   tabiiy logarifm chaqirdi asosiy logarifm e. U ln bilan belgilanadi, ya'ni. jurnal e N=ln N. Raqam e irratsionaldir, uning taxminiy qiymati 2,718281828. Bu raqam (1 + 1 /) bo'lgan chegaradir. n) n cheksiz o'sish bilan n(sm. birinchi ajoyib chegara Raqamlar ketma-ketligi chegaralari sahifasida).
   Qanday g'alati tuyulmasin, tabiiy logarifmlar funktsiyalarni tahlil qilish bilan bog'liq turli operatsiyalarni bajarishda juda qulay bo'lib chiqdi. Asosiy logarifmlarni hisoblash e boshqa asoslarga qaraganda ancha tezroq.

• Rossiyada bola asrab olish uchun bugungi kunda nima kerak? Rossiyada farzand asrab olish, mas'uliyatli shaxsiy qarorga qo'shimcha ravishda, nomzodlarni davlat tomonidan tekshirish uchun bir qator tartiblarni o'z ichiga oladi. Tayyorgarlik bosqichida qattiq tanlov ko'proq yordam beradi [...]
• Rossiya bo'ylab soliq reestridan TIN yoki OGRN tomonidan bepul ma'lumotlar - onlayn Soliq xizmatlarining yagona portalida, yuridik shaxslarni, yakka tartibdagi tadbirkorlarni davlat ro'yxatidan o'tkazish to'g'risidagi ma'lumotlar, [...]
• Hujjatsiz haydash uchun jazo (haydovchilik guvohnomasi, sug'urta, STS) Ba'zida unutuvchanlik tufayli haydovchilar guvohnomasiz rulga o'tirishadi va hujjatsiz haydash uchun jarima oladilar. Eslatib o'tamiz, avtoulovchi u bilan bexato haydab [...]
• Erkaklar uchun gullar. Erkakka qanday gullar bera olasiz? Erkakka qanday gullar berilishi mumkin? "Erkak" gullar unchalik ko'p emas, lekin erkaklarga berilganlar bor. Sizning oldingizda gullarning kichik ro'yxati: Xrizantema. Atirgullar. Chinnigullar. […]
• Memo - bu korxonaning ichki muhitida qo'llaniladigan va joriy ishlab chiqarish muammolarini tezkor hal qilishga xizmat qiladigan hujjatning maxsus shakli. Odatda, ushbu hujjat ba'zi bir […]
• Sberbankda pensiyaning moliyalashtirilgan qismini qachon va qanday olish mumkin? Sberbank davlat pensiya jamg'armasining hamkor bankidir. Shu asosda jamg‘arib boriladigan pensiya tayinlagan fuqarolar jamg‘arib boriladigan pensiyani o‘tkazishi mumkin edi [...]
• 2018 yilda Ulyanovsk va Ulyanovsk viloyatida bolalar uchun nafaqalar Bundan tashqari, barcha hududlarda federal qonun bilan tasdiqlangan dasturlar ishlaydi. Keling, kimga va qanday imtiyozlarga ishonish mumkinligini ko'rib chiqaylik. Mintaqaviy hokimiyat sifatida […]
• Sudda jismoniy shaxsning manfaatlarini himoya qilish uchun ishonchnomani qanday rasmiylashtirish bo'yicha batafsil qo'llanma Fuqarolik yoki hakamlik da'vosida, ma'muriy yoki jinoiy ishda da'vogarning ham, javobgarning ham manfaatlarini advokat himoya qilishi mumkin: […]

Musbat b sonining a asosi uchun logarifmi (a>0, a 1 ga teng emas) c soni shundayki a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

E'tibor bering, musbat bo'lmagan sonning logarifmi aniqlanmagan. Shuningdek, logarifmning asosi 1 ga teng bo'lmagan musbat son bo'lishi kerak.Masalan, -2 kvadratiga ega bo'lsak, 4 raqamini olamiz, lekin bu 4 ning asosi -2 logarifmi 2 ga teng degani emas.

Asosiy logarifmik identifikatsiya

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ushbu formulaning o'ng va chap qismlarini aniqlash sohalari har xil bo'lishi muhimdir. Chap tomon faqat b>0, a>0 va a ≠ 1 uchun aniqlanadi. O'ng tomon har qanday b uchun aniqlanadi va a ga umuman bog'liq emas. Shunday qilib, tenglamalar va tengsizliklarni echishda asosiy logarifmik "o'ziga xoslik" ni qo'llash DPV ning o'zgarishiga olib kelishi mumkin.

Logarifmni aniqlashning ikkita aniq natijasi

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Darhaqiqat, a raqamini birinchi darajaga ko'targanda, biz bir xil raqamni olamiz va uni nol darajaga ko'targanda, biz bitta raqamni olamiz.

Ko'paytmaning logarifmi va qismning logarifmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Men maktab o'quvchilarini logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda ushbu formulalardan o'ylamasdan foydalanishdan ogohlantirmoqchiman. Ulardan “chapdan o‘ngga” foydalanilganda ODZ torayadi, logarifmlar yig‘indisidan yoki ayirmasidan mahsulot yoki qismning logarifmiga o‘tganda ODZ kengayadi.

Darhaqiqat, log a (f (x) g (x)) ifodasi ikki holatda aniqlanadi: ikkala funktsiya qat'iy musbat bo'lganda yoki f(x) va g (x) ikkalasi ham noldan kichik bo'lganda.

Ushbu ifodani log a f (x) + log a g (x) yig'indisiga aylantirib, biz faqat f(x)>0 va g(x)>0 bo'lgan holat bilan cheklanishga majbur bo'lamiz. Ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ining torayishi mavjud va bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas, chunki bu yechimlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin. Xuddi shunday muammo formula (6) uchun ham mavjud.

Darajani logarifm belgisidan chiqarish mumkin

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Va yana aniqlik uchun chaqirmoqchiman. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Tenglikning chap tomoni f(x) ning noldan tashqari barcha qiymatlari uchun aniq belgilangan. O'ng tomon faqat f(x)>0 uchun! Logarifmadan quvvatni olib, biz yana ODZni toraytiramiz. Teskari protsedura ruxsat etilgan qiymatlar doirasini kengaytirishga olib keladi. Bu mulohazalar nafaqat 2 ning kuchiga, balki har qanday teng kuchga ham tegishli.

Yangi bazaga o'tish uchun formula

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Konvertatsiya paytida ODZ o'zgarmaydigan kamdan-kam holatlar. Agar siz c bazasini oqilona tanlagan bo'lsangiz (ijobiy va 1 ga teng emas), yangi bazaga o'tish formulasi mutlaqo xavfsizdir.

Agar biz b raqamini yangi c asosi sifatida tanlasak, formulaning (8) muhim alohida holatini olamiz:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Logarifmlar bilan bir nechta oddiy misollar

1-misol Hisoblang: lg2 + lg50.
Qaror. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Biz logarifmlar yig'indisi (5) va o'nlik logarifmning ta'rifi uchun formuladan foydalandik.

2-misol Hisoblang: lg125/lg5.
Qaror. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Biz yangi bazaga o'tish formulasidan (8) foydalandik.

Logarifmlarga oid formulalar jadvali

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Raqamning logarifmi N sabab bilan a ko'rsatkich deyiladi X , siz oshirishingiz kerak bo'lgan a raqamni olish uchun N

Shu sharti bilan
,
,

Logarifmning ta'rifidan kelib chiqadiki
, ya'ni.
- bu tenglik asosiy logarifmik identifikatsiyadir.

10-sonli logarifmlar oʻnlik logarifmlar deyiladi. Ning o'rniga
yozish
.

asosiy logarifmlar e tabiiy deyiladi va belgilanadi
.

Logarifmlarning asosiy xossalari.

Har qanday asos uchun birlik logarifmi nolga teng

Mahsulotning logarifmi omillarning logarifmlari yig'indisiga teng.

3) Bo'limning logarifmi logarifmlarning ayirmasiga teng

Faktor
bazadagi logarifmlardan o'tish moduli deyiladi a asosdagi logarifmlarga b .

2-5 xossalardan foydalanib, ko'pincha murakkab ifodaning logarifmini logarifmlar ustidagi oddiy arifmetik amallar natijasiga qisqartirish mumkin.

Misol uchun,

Logarifmning bunday o'zgarishlariga logarifmlar deyiladi. Logarifmlarning o'zaro o'zgarishiga potentsiallanish deyiladi.

2-bob. Oliy matematika elementlari.

1. Limitlar

funktsiya chegarasi
intilish paytida chekli A soni bo'lsa xx 0 har bir oldindan belgilangan uchun
, raqam bor
shu bilanoq
, keyin
.

Cheklangan funksiya undan cheksiz kichik miqdor bilan farq qiladi:
, bu erda - b.m.w., ya'ni.
.

Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing
.

Intilish paytida
, funktsiyasi y nolga tushadi:

1.1. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar.

Doimiy qiymatning chegarasi bu doimiy qiymatga teng

.

Cheklangan sonli funksiyalar yig‘indisining (farqining) chegarasi bu funksiyalar chegaralarining yig‘indisiga (farqiga) teng.

Chekli sonli funksiyalar ko‘paytmasining chegarasi bu funksiyalar chegaralarining ko‘paytmasiga teng.

Agar maxraj chegarasi nolga teng bo'lmasa, ikkita funktsiyaning bo'linmasining chegarasi ushbu funktsiyalarning chegaralari bo'limiga teng.

Ajoyib chegaralar

,
, qayerda

1.2. Limit hisoblash misollari

Biroq, barcha chegaralarni hisoblash oson emas. Ko'pincha, limitni hisoblash noaniqlik turini oshkor qilish uchun qisqartiriladi: yoki .

.

2. Funksiyaning hosilasi

Bizda funktsiya bo'lsin
, segmentda uzluksiz
.

Dalil biroz kuchaydi
. Shundan so'ng, funktsiya ortib boradi
.

Argument qiymati funksiya qiymatiga mos keladi
.

Argument qiymati
funksiyaning qiymatiga mos keladi.

Demak, .

Bu munosabatning chegarasini topamiz
. Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u berilgan funktsiyaning hosilasi deyiladi.

Berilgan funksiyaning 3 hosilasining ta’rifi
argument bilan argumentning o'sishi ixtiyoriy ravishda nolga moyil bo'lganda, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deb ataladi.

Funktsiya hosilasi
quyidagicha ifodalanishi mumkin:

; ; ; .

Ta'rif 4Funksiyaning hosilasini topish amali deyiladi farqlash.

2.1. Hosilning mexanik ma'nosi.

Ba'zi bir qattiq jism yoki moddiy nuqtaning to'g'ri chiziqli harakatini ko'rib chiqing.

Bir vaqtning o'zida ruxsat bering harakatlanuvchi nuqta
masofada edi boshlang'ich pozitsiyasidan
.

Biroz vaqt o'tgach
u uzoqqa ko'chdi
. Munosabat =- moddiy nuqtaning o'rtacha tezligi
. Shuni hisobga olib, bu nisbatning chegarasini topamiz
.

Binobarin, moddiy nuqtaning oniy tezligini aniqlash vaqtga nisbatan yo‘l hosilasini topishga qisqartiriladi.

2.2. Hosilning geometrik qiymati

Faraz qilaylik, bizda grafik jihatdan aniqlangan funksiya bor
.

Guruch. 1. Hosilning geometrik ma’nosi

Agar a
, keyin nuqta
, nuqtaga yaqinlashib, egri chiziq bo'ylab harakatlanadi
.

Shuning uchun
, ya'ni. argumentning qiymati berilgan hosilaning qiymati o'qning musbat yo'nalishi bilan berilgan nuqtada tangens hosil qilgan burchakning tangensiga son jihatdan tengdir.
.

2.3. Asosiy farqlash formulalari jadvali.

Quvvat funktsiyasi

Eksponensial funktsiya

logarifmik funktsiya

trigonometrik funktsiya

Teskari trigonometrik funktsiya

2.4. Farqlash qoidalari.

ning hosilasi

Funktsiyalar yig'indisining (farqining) hosilasi

Ikki funktsiyaning hosilasi

Ikki funktsiya bo'limining hosilasi

2.5. Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Funktsiyaga ruxsat bering
sifatida ifodalanishi mumkin

va
, bu erda o'zgaruvchi demak, oraliq dalildir

Murakkab funktsiyaning hosilasi berilgan funksiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasining x ga nisbatan oraliq argument hosilasi bilan teng.

Misol 1.

2-misol.

3. Funksiya differensiali.

Bo'lsin
, ba'zi bir intervalda differentsiallanadi
qo'yib yubor da bu funksiya hosilaga ega

,

keyin yozishingiz mumkin

(1),

qayerda - cheksiz kichik miqdor,

chunki da

Barcha tenglik shartlarini (1) ga ko'paytirish
bizda ... bor:

Qayerda
- b.m.v. yuqori tartib.

Qiymat
funksiyaning differensiali deyiladi
va belgilandi

.

3.1. Differensialning geometrik qiymati.

Funktsiyaga ruxsat bering
.

2-rasm. Differensialning geometrik ma'nosi.

.

Shubhasiz, funktsiyaning differensialligi
berilgan nuqtadagi tangens ordinatasining ortishiga teng.

3.2. Turli tartibli hosilalar va differentsiallar.

Agar bo'lsa
, keyin
birinchi hosila deyiladi.

Birinchi hosilaning hosilasi ikkinchi tartibli hosila deyiladi va yoziladi
.

Funksiyaning n-tartibning hosilasi
(n-1) tartibning hosilasi deyiladi va shunday yoziladi:

.

Funksiya differensialining differensialiga ikkinchi differensial yoki ikkinchi tartibli differensial deyiladi.

.

.

3.3 Differensiallash yordamida biologik masalalarni yechish.

Vazifa 1. Tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, mikroorganizmlar koloniyasining o'sishi qonunga bo'ysunadi
, qayerda N - mikroorganizmlar soni (minglab); t - vaqt (kun).

b) Bu davrda koloniya aholisi ko'payadimi yoki kamayadimi?

Javob. Koloniya kattalashib boradi.

Vazifa 2. Ko'ldagi suv patogen bakteriyalar tarkibini nazorat qilish uchun vaqti-vaqti bilan tekshiriladi. orqali t sinovdan bir necha kun o'tgach, bakteriyalar kontsentratsiyasi nisbati bilan aniqlanadi

.

Ko'lda bakteriyalarning minimal kontsentratsiyasi qachon keladi va unda suzish mumkin bo'ladi?

Yechish Funksiya hosilasi nolga teng bo‘lganda max yoki min ga etadi.

,

6 kundan keyin maksimal yoki min bo'lishini aniqlaymiz. Buning uchun biz ikkinchi hosilani olamiz.

Javob: 6 kundan keyin bakteriyalarning minimal konsentratsiyasi bo'ladi.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar zarurat tug'ilgan bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs vorisiga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

asosiy xususiyatlar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

bir xil asoslar

log6 4 + log6 9.

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz.

Logarifmlarni yechishga misollar

Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:

Albatta, agar ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x >

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Yangi poydevorga o'tish

Logarifm logaksi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Shuningdek qarang:

Logarifmning asosiy xossalari

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Ko'rsatkichni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta.

Logarifmlarning asosiy xossalari

Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.

3.

4. qayerda .

2-misol x if ni toping

3-misol. Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz.

Logarifmlar formulalari. Logarifmlar yechimlarga misoldir.

Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajaga b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Shuningdek qarang:

b sonining a asosiga logarifmi ifodani bildiradi. Logarifmni hisoblash tenglik to'g'ri bo'lgan x () kuchini topishni anglatadi

Logarifmning asosiy xossalari

Yuqoridagi xususiyatlar ma'lum bo'lishi kerak, chunki ular asosida deyarli barcha muammolar va misollar logarifmlar asosida hal qilinadi. Qolgan ekzotik xususiyatlar ushbu formulalar bilan matematik manipulyatsiyalar orqali olinishi mumkin

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Hisoblashda logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi formulalari (3.4) juda tez-tez uchrab turadi. Qolganlari biroz murakkab, ammo bir qator vazifalarda ular murakkab ifodalarni soddalashtirish va ularning qiymatlarini hisoblash uchun ajralmas hisoblanadi.

Logarifmlarning umumiy holatlari

Ba'zi umumiy logarifmlar asosi hatto o'n, eksponensial yoki ikkilik bo'lgan logarifmlardir.
O'nta asosiy logarifm odatda o'nlik logarifm deb ataladi va oddiygina lg (x) bilan belgilanadi.

Yozuvdan ko'rinib turibdiki, yozuvda asoslar yozilmagan. Misol uchun

Natural logarifm asosi ko‘rsatkich bo‘lgan logarifmdir (ln(x) bilan belgilanadi).

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Ko'rsatkichni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta. Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Yana bir muhim asos ikki logarifmdir

Funktsiya logarifmining hosilasi o'zgaruvchiga bo'lingan biriga teng

Integral yoki antiderivativ logarifm bog'liqlik bilan aniqlanadi

Yuqoridagi material logarifm va logarifmlarga oid keng toifadagi masalalarni yechish uchun yetarli. Materialni o'zlashtirish uchun men maktab o'quv dasturi va universitetlardan bir nechta umumiy misollarni keltiraman.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.
Logarifmlarning farq xususiyatiga ko'ra, biz bor

3.
3.5 xossalaridan foydalanib topamiz

4. qayerda .

Bir qator qoidalardan foydalangan holda murakkab ko'rinadigan ibora shaklga soddalashtirilgan

Logarifm qiymatlarini topish

2-misol x if ni toping

Qaror. Hisoblash uchun oxirgi muddatgacha 5 va 13 xossalarini qo'llaymiz

Yozuvda almashtiring va motam tuting

Asoslar teng bo'lgani uchun biz ifodalarni tenglashtiramiz

Logarifmlar. Birinchi daraja.

Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Yechish: Logarifmni hadlar yig‘indisi orqali yozish uchun o‘zgaruvchining logarifmini oling

Bu logarifmlar va ularning xususiyatlari bilan tanishishning boshlanishi. Hisob-kitoblarni mashq qiling, amaliy ko'nikmalaringizni boyiting - tez orada logarifmik tenglamalarni yechish uchun olingan bilimlar kerak bo'ladi. Bunday tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'rganib chiqib, biz sizning bilimingizni yana bir muhim mavzu - logarifmik tengsizliklar bo'yicha kengaytiramiz ...

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log6 4 + log6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajaga b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.