Diskret taqsimotlarning ko'rib chiqilgan xususiyati bunday taqsimotlarni jadvallashtirish va ulardan foydalanishda katta qiyinchiliklar tug'diradi, chunki taqsimot xususiyatlarining odatiy raqamli qiymatlarini aniq saqlash mumkin emas. Xususan, bu parametrik bo'lmagan statistik testlarning kritik qiymatlari va ahamiyatlilik darajalari uchun to'g'ri keladi (pastga qarang), chunki bu testlarning statistik taqsimotlari diskretdir.

Statistikada miqdor tartibi katta ahamiyatga ega R= ½. U median deb ataladi (tasodifiy o'zgaruvchi X yoki uning taqsimlash funktsiyasi F(x)) va belgilanadi Men (X). Geometriyada "median" tushunchasi mavjud - uchburchakning tepasidan o'tadigan va uning qarama-qarshi tomonini yarmiga bo'luvchi to'g'ri chiziq. Matematik statistikada mediana uchburchakning yon tomoniga emas, balki tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishiga bo'linadi: tenglik F(x 0,5)= 0,5 chapga chiqish ehtimolini bildiradi x 0,5 va o'ngga chiqish ehtimoli x 0,5(yoki to'g'ridan-to'g'ri x 0,5) bir-biriga teng va ½ ga teng, ya'ni.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Median taqsimotning "markazini" ko'rsatadi. Zamonaviy kontseptsiyalardan biri - barqaror statistik protseduralar nazariyasi nuqtai nazaridan mediana tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan yaxshiroq xarakteristikasi hisoblanadi. O'lchov natijalarini tartibli shkala bo'yicha qayta ishlashda (o'lchov nazariyasi bo'limiga qarang) medianadan foydalanish mumkin, ammo matematik kutish mumkin emas.

Moda kabi tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikasi aniq ma'noga ega - doimiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun ehtimollik zichligining mahalliy maksimaliga yoki diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun ehtimollikning mahalliy maksimaliga mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati (yoki qiymatlari). .

Agar x 0– zichlikka ega tasodifiy o‘zgaruvchining rejimi f(x), u holda, differensial hisobdan ma'lumki, .

Tasodifiy o'zgaruvchi ko'p rejimga ega bo'lishi mumkin. Shunday qilib, bir xil taqsimot uchun (1) har bir nuqta X shu kabi a< x < b , bu moda. Biroq, bu istisno. Qaror qabul qilishning ehtimollik statistik usullarida va boshqa amaliy tadqiqotlarda qo'llaniladigan ko'pgina tasodifiy o'zgaruvchilar bitta rejimga ega. Bir rejimga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar, zichliklar, taqsimotlar unimodal deb ataladi.

Cheklangan miqdordagi qiymatlarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik kutish "Hodisalar va ehtimollar" bo'limida muhokama qilinadi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun X kutilgan qiymat M(X) tenglikni qondiradi

bu "Hodisalar va ehtimollar" bobining 2-bandidagi (5) formulaning analogidir.

5-misol. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorni kutish X teng

Ushbu bobda ko'rib chiqilgan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun, cheklangan miqdordagi qiymatlarga ega diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari ko'rib chiqilgan matematik taxminlar va dispersiyalarning barcha xususiyatlari to'g'ri. Biroq, biz bu xususiyatlarning isbotini keltirmaymiz, chunki ular matematik nozikliklarni chuqurlashtirishni talab qiladi, bu qaror qabul qilishning ehtimollik-statistik usullarini tushunish va malakali qo'llash uchun zarur emas.

Izoh. Ushbu darslik, xususan, o'lchanadigan to'plamlar va o'lchanadigan funktsiyalar, hodisalar algebrasi va boshqalar bilan bog'liq bo'lgan matematik nozikliklardan ongli ravishda qochishadi. Bu tushunchalarni o‘zlashtirmoqchi bo‘lganlar maxsus adabiyotlarga, xususan, ensiklopediyaga murojaat qilishlari kerak.

Uchta xarakteristikaning har biri - matematik kutish, median, rejim - ehtimollik taqsimotining "markazini" tavsiflaydi. "Markaz" tushunchasiga turli yo'llar bilan ta'rif berish mumkin - shuning uchun uch xil xususiyat. Biroq, taqsimotning muhim sinfi uchun - nosimmetrik unimodal - uchta xususiyat mos keladi.

Tarqatish zichligi f(x)– nosimmetrik taqsimotning zichligi, agar raqam mavjud bo'lsa x 0 shu kabi

. (3)

Tenglik (3) funksiya grafigini bildiradi y = f(x) simmetriya markazidan o'tuvchi vertikal chiziqqa nisbatan simmetrik X = X 0 . (3) dan nosimmetrik taqsimot funksiyasi munosabatni qanoatlantirishi kelib chiqadi

(4)

Bitta rejimli nosimmetrik taqsimot uchun matematik kutish, median va rejim mos keladi va tengdir. x 0.

Eng muhim holat - 0 ga yaqin simmetriya, ya'ni. x 0= 0. Keyin (3) va (4) tenglikka aylanadi

(6)

mos ravishda. Yuqoridagi munosabatlar barcha uchun simmetrik taqsimotlarni jadvalga kiritishning hojati yo'qligini ko'rsatadi X da jadvallar bo'lishi kifoya x > x 0.

Qaror qabul qilishning ehtimollik-statistik usullarida va boshqa amaliy tadqiqotlarda doimiy ravishda qo'llaniladigan simmetrik taqsimotlarning yana bir xususiyatini qayd etamiz. Uzluksiz taqsimlash funktsiyasi uchun

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Qayerda F– tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi X. Agar tarqatish funktsiyasi bo'lsa F 0 ga yaqin simmetrikdir, ya'ni. u uchun formula (6) to'g'ri bo'ladi

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Ko'rib chiqilayotgan bayonotning boshqa formulasi tez-tez ishlatiladi: agar

.

Agar va taqsimot funksiyasining tartibli va mos ravishda ((2) ga qarang) 0 ga yaqin simmetrik bo‘lsa, (6) dan shunday xulosa chiqadi:

Lavozimning xarakteristikasidan - matematik kutish, median, rejim - tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish xususiyatlariga o'tamiz. X: dispersiya, standart og'ish va o'zgarish koeffitsienti v. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun dispersiyaning ta'rifi va xususiyatlari oldingi bobda muhokama qilingan. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun

Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizining manfiy bo'lmagan qiymatidir:

Variatsiya koeffitsienti standart og'ishning matematik kutishga nisbati:

O'zgaruvchanlik koeffitsienti qachon qo'llaniladi M(X)> 0. U tarqalishni nisbiy birliklarda o'lchaydi, standart og'ish esa mutlaq birliklarda.

6-misol. Bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun X Dispersiya, standart og'ish va o'zgarish koeffitsienti topilsin. Farq quyidagicha:

O'zgaruvchini o'zgartirish quyidagi yozish imkonini beradi:

Qayerda c = (b – a)/ 2. Shuning uchun standart og'ish ga teng va o'zgarish koeffitsienti:

Har bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun X yana uchta miqdorni aniqlang - markazlashtirilgan Y, normallashtirilgan V va berilgan U. Markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi Y berilgan tasodifiy miqdor orasidagi farqdir X va uning matematik kutilishi M(X), bular. Y = X - M (X). Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorni kutish Y 0 ga teng va dispersiya berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasidir: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Tarqatish funksiyasi F Y(x) markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi Y taqsimlash funktsiyasi bilan bog'liq F(x) original tasodifiy o'zgaruvchi X nisbat:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarning zichligi tenglikni qondiradi

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normallashtirilgan tasodifiy miqdor V berilgan tasodifiy miqdorning nisbati X uning standart og'ishiga, ya'ni. . Normallashtirilgan tasodifiy miqdorning kutilishi va dispersiyasi V xususiyatlari orqali ifodalanadi X Shunday qilib:

,

Qayerda v– dastlabki tasodifiy miqdorning o‘zgarish koeffitsienti X. Tarqatish funktsiyasi uchun F V(x) va zichlik f V(x) normallashtirilgan tasodifiy miqdor V bizda ... bor:

Qayerda F(x) – dastlabki tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi X, A f(x) - uning ehtimollik zichligi.

Qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchi U markazlashtirilgan va normallashtirilgan tasodifiy miqdor:

.

Berilgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Normallashtirilgan, markazlashtirilgan va qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar nazariy tadqiqotlarda ham, algoritmlarda, dasturiy mahsulotlarda, normativ, texnik va o'quv hujjatlarida doimiy ravishda qo'llaniladi. Xususan, tenglik tufayli usullarni asoslashni, teorema va hisoblash formulalarini shakllantirishni soddalashtirish imkonini beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar va umumiyroq transformatsiyalar qo'llaniladi. Shunday qilib, agar Y = aX + b, Qayerda a Va b- unda ba'zi raqamlar

7-misol. Agar u holda Y kamaytirilgan tasodifiy miqdor va formulalar (8) formulalar (7) ga aylanadi.

Har bir tasodifiy o'zgaruvchi bilan X ko'p tasodifiy o'zgaruvchilarni bog'lashingiz mumkin Y, formula bilan berilgan Y = aX + b boshqacha a> 0 va b. Ushbu to'plam deyiladi miqyosda siljish oilasi, tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan yaratilgan X. Tarqatish funktsiyalari F Y(x) taqsimot funksiyasi tomonidan yaratilgan taqsimotlarning miqyosda siljish oilasini tashkil qiladi F(x). O'rniga Y = aX + b tez-tez yozib olishdan foydalaning

Raqam Bilan shift parametri va raqam deb ataladi d- masshtab parametri. Formula (9) buni ko'rsatadi X- ma'lum miqdorni o'lchash natijasi - ichiga kiradi U- agar o'lchov boshlanishi nuqtaga ko'chirilgan bo'lsa, bir xil miqdorni o'lchash natijasi Bilan, va keyin yangi o'lchov birligidan foydalaning, in d eskisidan bir necha marta katta.

Masshtab siljishi oilasi (9) uchun X ning taqsimoti standart deb ataladi. Qaror qabul qilishning ehtimollik statistik usullarida va boshqa amaliy tadqiqotlarda standart normal taqsimot, standart Weibull-Gnedenko taqsimoti, standart gamma taqsimoti va boshqalar qo'llaniladi (pastga qarang).

Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa transformatsiyalari ham qo'llaniladi. Masalan, ijobiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun X ko'rib chiqmoqdalar Y= jurnal X, bu erda lg X– sonning o‘nlik logarifmi X. Tenglik zanjiri

F Y (x) = P ( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

tarqatish funktsiyalarini bog'laydi X Va Y.

Ma'lumotlarni qayta ishlashda tasodifiy miqdorning quyidagi xarakteristikalari qo'llaniladi X tartib lahzalari sifatida q, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminlari Xq, q= 1, 2, ... Shunday qilib, matematik kutishning o'zi tartib momenti 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun tartib momenti. q sifatida hisoblash mumkin

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Buyurtma lahzalari q tartibning dastlabki momentlari deb ham ataladi q, tegishli xususiyatlardan farqli o'laroq - tartibning markaziy momentlari q, formula bilan berilgan

Demak, dispersiya 2-tartibning markaziy momentidir.

Normal taqsimot va markaziy chegara teoremasi. Qaror qabul qilishning ehtimollik-statistik usullarida biz ko'pincha normal taqsimot haqida gapiramiz. Ba'zan ular dastlabki ma'lumotlarning taqsimlanishini modellashtirish uchun foydalanishga harakat qilishadi (bu urinishlar har doim ham oqlanmaydi - pastga qarang). Eng muhimi, ma'lumotlarni qayta ishlashning ko'plab usullari hisoblangan qiymatlarning normaga yaqin taqsimlanishiga asoslanadi.

Mayli X 1 , X 2 ,…, Xn M(X i) = m va farqlar D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Oldingi bobning natijalaridan kelib chiqqan holda,

Qisqartirilgan tasodifiy miqdorni ko'rib chiqing U n miqdori uchun , aynan,

(7) formulalardan kelib chiqqan holda, M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(bir xil taqsimlangan atamalar uchun). Mayli X 1 , X 2 ,…, Xn, … – matematik taxminlarga ega mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o‘zgaruvchilar M(X i) = m va farqlar D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Keyin har qanday x uchun chegara mavjud

Qayerda F(x)– standart normal taqsimot funksiyasi.

Funktsiya haqida ko'proq F(x) - quyida ("x dan fi" ni o'qing, chunki F- yunoncha bosh harf "phi").

Markaziy chegara teoremasi (CLT) o'z nomini oldi, chunki u ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning markaziy, eng ko'p qo'llaniladigan matematik natijasidir. CLT tarixi taxminan 200 yil davom etadi - 1730 yildan boshlab, ingliz matematigi A. Moivre (1667-1754) CLT bilan bog'liq birinchi natijani e'lon qilganidan keyin (Moivre-Laplas teoremasi haqida quyida qarang), 20-30 yillargacha. 20-asr, Fin J.V. Lindeberg, fransuz Pol Levi (1886-1971), Yugoslaviya V. Feller (1906-1970), rus A.Ya. Xinchin (1894-1959) va boshqa olimlar klassik markaziy chegara teoremasining haqiqiyligi uchun zarur va yetarli shart-sharoit oldilar.

Ko'rib chiqilayotgan mavzuning rivojlanishi shu bilan to'xtamadi - ular dispersiyaga ega bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishdi, ya'ni. kimlar uchun

(akademik B.V. Gnedenko va boshqalar), raqamlarga qaraganda murakkabroq xarakterga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar (aniqrog'i, tasodifiy elementlar) jamlangan vaziyat (akademiklar Yu.V. Proxorov, A.A. Borovkov va ularning sheriklari) va boshqalar .d.

Tarqatish funksiyasi F(x) tenglik bilan beriladi

,

ancha murakkab ifodaga ega bo'lgan standart normal taqsimotning zichligi qayerda:

.

Bu erda =3,1415925… - geometriyada ma'lum bo'lgan son, aylananing diametrga nisbatiga teng, e = 2,718281828... - natural logarifmlar asosi (bu raqamni eslab qolish uchun 1828 yil yozuvchi L.N.Tolstoyning tug'ilgan yili ekanligini unutmang). Matematik tahlildan ma'lumki,

Kuzatish natijalarini qayta ishlashda normal taqsimot funksiyasi berilgan formulalar yordamida hisoblanmaydi, balki maxsus jadvallar yoki kompyuter dasturlari yordamida topiladi. Rus tilidagi eng yaxshi "Matematik statistika jadvallari" SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zolari L.N. Bolshev va N.V.Smirnov.

Standart normal taqsimotning zichligi shakli biz bu erda ko'rib chiqa olmaydigan matematik nazariyadan, shuningdek, CLT isbotidan kelib chiqadi.

Tasvirlash uchun biz tarqatish funktsiyasining kichik jadvallarini beramiz F(x)(2-jadval) va uning kvantillari (3-jadval). Funktsiya F(x) 0 ga yaqin simmetrik, bu 2-3-jadvalda aks ettirilgan.

2-jadval.

Standart normal taqsimot funksiyasi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X tarqatish funksiyasiga ega F(x), Bu M(X) = 0, D(X) = 1. Bu fikr ehtimollar zichligi turiga asoslangan ehtimollar nazariyasida isbotlangan. Bu qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikalari uchun shunga o'xshash bayonotga mos keladi U n, bu juda tabiiy, chunki CLT atamalar sonining cheksiz ko'payishi bilan taqsimlash funktsiyasini ta'kidlaydi. U n standart normal taqsimot funksiyasiga intiladi F(x), va har qanday uchun X.

3-jadval.

Standart normal taqsimotning miqdorlari.

Oddiy taqsimotlar oilasi tushunchasini kiritamiz. Ta'rifga ko'ra, normal taqsimot tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishidir X, buning uchun qisqartirilgan tasodifiy miqdorning taqsimlanishi F(x). Tarqatishlar shkalasi siljishi oilalarining umumiy xususiyatlaridan kelib chiqqan holda (yuqoriga qarang), normal taqsimot tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishidir.

Qayerda X– taqsimot bilan tasodifiy o‘zgaruvchi F(X), va m = M(Y), = D(Y). Shift parametrlari bilan normal taqsimlash m va o'lchov odatda ko'rsatiladi N(m, ) (ba'zida belgi ishlatiladi N(m, ) ).

(8) dan kelib chiqqan holda, normal taqsimotning ehtimollik zichligi N(m, ) Mavjud

Oddiy taqsimotlar miqyosli siljishlar oilasini tashkil qiladi. Bunday holda, o'lchov parametri d= 1/ , va shift parametri c = - m/ .

Oddiy taqsimotning uchinchi va to'rtinchi tartibli markaziy momentlari uchun quyidagi tengliklar amal qiladi:

Bu tengliklar kuzatishlar normal taqsimotga amal qilishini tekshirishning klassik usullarining asosini tashkil qiladi. Hozirgi kunda odatda mezon yordamida normallikni tekshirish tavsiya etiladi V Shapiro - Vilka. Oddiylikni tekshirish muammosi quyida muhokama qilinadi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 Va X 2 tarqatish funksiyalariga ega N(m 1 , 1) Va N(m 2 , 2) shunga ko'ra, keyin X 1+ X 2 taqsimotga ega Shuning uchun, agar tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 ,…, Xn N(m, ) , keyin ularning arifmetik o'rtachasi

taqsimotga ega N(m, ) . Oddiy taqsimotning bu xossalari qarorlar qabul qilishning turli ehtimollik va statistik usullarida, xususan, texnologik jarayonlarni statistik tartibga solishda va miqdoriy mezonlarga asoslangan statistik qabul nazoratida doimiy ravishda qo'llaniladi.

Oddiy taqsimotdan foydalanib, statistik ma'lumotlarni qayta ishlashda tez-tez ishlatiladigan uchta taqsimot aniqlanadi.

Tarqatish (chi - kvadrat) - tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda X 1 , X 2 ,…, Xn mustaqil va bir xil taqsimotga ega N(0,1). Bunday holda, atamalar soni, ya'ni. n, chi-kvadrat taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi.

Tarqatish t Student t - tasodifiy miqdorning taqsimlanishi

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda U Va X mustaqil, U standart normal taqsimotga ega N(0,1) va X– chi taqsimoti – kvadrat c n erkinlik darajalari. Qayerda n Talaba taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi. Ushbu taqsimot 1908 yilda pivo zavodida ishlagan ingliz statistik V. Gosset tomonidan kiritilgan. Bu zavodda iqtisodiy va texnik qarorlar qabul qilishda ehtimollik va statistik usullardan foydalanilgan, shuning uchun uning rahbariyati V. Gossetga oʻz nomi bilan ilmiy maqolalar chop etishni taqiqlagan. Shunday qilib, V. Gosset tomonidan ishlab chiqilgan ehtimollik va statistik usullar ko'rinishidagi tijorat sirlari va "nou-xau" himoyalangan. Biroq u “Talaba” taxallusi bilan nashr etish imkoniyatiga ega bo‘ldi. Gosset-Student tarixi shuni ko'rsatadiki, yana yuz yil davomida Buyuk Britaniyadagi menejerlar qaror qabul qilishning ehtimollik-statistik usullarining iqtisodiy samaradorligini bilishgan.

Fisher taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotidir

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda X 1 Va X 2 mustaqil va erkinlik darajalari soni bilan x-kvadrat taqsimotiga ega k 1 Va k 2 mos ravishda. Shu bilan birga, er-xotin (k 1 , k 2 ) - Fisher taqsimotining bir juft "erkinlik darajasi", xususan, k 1 - numeratorning erkinlik darajalari soni, va k 2 – maxrajning erkinlik darajalari soni. F tasodifiy miqdorning taqsimlanishi buyuk ingliz statistik olimi R. Fisher (1890-1962) sharafiga nomlangan bo'lib, u o'z asarlarida faol foydalangan.

Xi-kvadrat, Student va Fisher taqsimot funktsiyalari uchun ifodalar, ularning zichligi va xarakteristikalari, shuningdek jadvallarni maxsus adabiyotlarda topish mumkin (masalan, qarang).

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, oddiy taqsimotlar ko'pincha turli xil qo'llaniladigan sohalarda ehtimollik modellarida qo'llaniladi. Ushbu ikki parametrli tarqatish oilasining keng tarqalganligining sababi nima? U quyidagi teorema orqali aniqlangan.

Markaziy chegara teoremasi(boshqacha taqsimlangan shartlar uchun). Mayli X 1 , X 2 ,…, Xn,… - matematik taxminlarga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), ... va farqlar D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... mos ravishda. Mayli

Keyin, agar ba'zi shartlar to'g'ri bo'lsa, unda har qanday shartning kichik hissasini ta'minlaydi U n,

har kim uchun X.

Biz bu erda ko'rib chiqilayotgan shartlarni shakllantirmaymiz. Ularni maxsus adabiyotlarda topish mumkin (masalan, qarang). "XQT faoliyatining shartlarini oydinlashtirish - taniqli rus olimlari A. A. Markov (1857-1922) va, xususan, A. M. Lyapunov (1857-1918) ning xizmatlaridir."

Markaziy chegara teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar o'lchov (kuzatish) natijasi ko'p sabablar ta'sirida shakllangan bo'lsa, ularning har biri ozgina hissa qo'shadi va umumiy natija aniqlanadi. qo'shimcha ravishda, ya'ni. qo'shilgan holda, u holda o'lchov (kuzatish) natijasining taqsimlanishi normalga yaqin bo'ladi.

Ba'zan taqsimotning normal bo'lishi uchun o'lchov (kuzatish) natijasi etarli bo'ladi, deb ishoniladi. X ko'pgina sabablar ta'sirida shakllanadi, ularning har biri kichik ta'sirga ega. Bu unday emas. Muhimi, bu sabablarning qanday ishlashi. Agar qo'shimcha bo'lsa, unda X taxminan normal taqsimotga ega. Agar multiplikativ tarzda(ya'ni, individual sabablarning harakatlari ko'paytiriladi va qo'shilmaydi), keyin taqsimot X normal emas, balki shunday deb ataladigan narsaga yaqin. logarifmik normal, ya'ni. Yo'q X, va log X taxminan normal taqsimotga ega. Agar yakuniy natijani shakllantirish uchun ushbu ikkita mexanizmdan biri ishlayotganiga ishonish uchun hech qanday sabab bo'lmasa (yoki boshqa aniq belgilangan mexanizm), u holda tarqatish haqida X aniq hech narsa aytish mumkin emas.

Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, muayyan qo'llaniladigan muammoda o'lchov natijalarining (kuzatishlarning) normalligini, qoida tariqasida, umumiy mulohazalar asosida aniqlash mumkin emas, uni statistik mezonlar yordamida tekshirish kerak. Yoki o'lchov natijalarini (kuzatishlarini) taqsimlash funktsiyalarining u yoki bu parametrik oilaga a'zoligi haqidagi taxminlarga asoslanmagan parametrik bo'lmagan statistik usullardan foydalaning.

Qaror qabul qilishning ehtimollik va statistik usullarida qo'llaniladigan uzluksiz taqsimotlar. Oddiy taqsimotlarning miqyosda siljish oilasidan tashqari, bir qator boshqa taqsimotlar oilalari keng qo'llaniladi - lognormal, eksponensial, Veybull-Gnedenko, gamma taqsimotlar. Keling, ushbu oilalarni ko'rib chiqaylik.

Tasodifiy qiymat X tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa lognormal taqsimotga ega Y= jurnal X normal taqsimotga ega. Keyin Z= jurnal X = 2,3026…Y normal taqsimotga ham ega N(a 1 ,s 1), qaerda ln X- natural logarifm X. Lognormal taqsimotning zichligi:

Markaziy chegara teoremasidan hosil bo'lganligi kelib chiqadi X = X 1 X 2 … Xn mustaqil musbat tasodifiy o'zgaruvchilar X i, i = 1, 2,…, n, katta n lognormal taqsimot bilan taxminan taxmin qilish mumkin. Xususan, ish haqi yoki daromadni shakllantirishning multiplikativ modeli ish haqi va daromadlarning taqsimlanishini logarifmik normal qonunlar bo'yicha taxminiylashtirish tavsiyasiga olib keladi. Rossiya uchun bu tavsiya asosli bo'lib chiqdi - statistik ma'lumotlar buni tasdiqlaydi.

Lognormal qonunga olib keladigan boshqa ehtimollik modellari mavjud. Bunday modelning klassik misoli A.N.Kolmogorov tomonidan berilgan bo'lib, u fizik asoslangan postulatlar tizimidan ma'dan, ko'mir va boshqalarni maydalashda zarrachalarning o'lchamlari to'g'risida xulosaga kelgan. shar tegirmonlarida lognormal taqsimotga ega.

Keling, qaror qabul qilishning turli ehtimollik-statistik usullarida va boshqa amaliy tadqiqotlarda keng qo'llaniladigan taqsimotlarning yana bir oilasiga - eksponensial taqsimotlar oilasiga o'tamiz. Keling, bunday taqsimotlarga olib keladigan ehtimollik modelidan boshlaylik. Buning uchun "hodisalar oqimi" ni ko'rib chiqing, ya'ni. vaqtning muayyan nuqtalarida birin-ketin sodir bo'ladigan voqealar ketma-ketligi. Misollar: telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar oqimi; texnologik zanjirda uskunaning nosozliklari oqimi; mahsulotni sinovdan o'tkazishda mahsulot nosozliklari oqimi; mijozlarning bank filialiga murojaatlari oqimi; tovar va xizmatlarga murojaat qiluvchi xaridorlar oqimi va boshqalar. Hodisalar oqimlari nazariyasida markaziy chegara teoremasiga o‘xshash teorema o‘rinli, lekin u tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi haqida emas, balki hodisalar oqimining yig‘indisi haqida ketmoqda. Biz ko'p sonli mustaqil oqimlardan tashkil topgan umumiy oqimni ko'rib chiqamiz, ularning hech biri umumiy oqimga ustun ta'sir ko'rsatmaydi. Masalan, telefon stantsiyasiga kiradigan qo'ng'iroqlar oqimi alohida abonentlardan kelib chiqadigan ko'plab mustaqil qo'ng'iroqlar oqimlaridan iborat. Oqimlarning xarakteristikalari vaqtga bog'liq bo'lmagan taqdirda, umumiy oqim to'liq bitta raqam - oqimning intensivligi bilan tavsiflanishi isbotlangan. Umumiy oqim uchun tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X- ketma-ket hodisalar orasidagi vaqt oralig'ining uzunligi. Uning taqsimlash funktsiyasi shaklga ega

(10)

Bu taqsimot eksponensial taqsimot deb ataladi, chunki formula (10) ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga oladi e -λ x. 1/l qiymati shkala parametridir. Ba'zan shift parametri ham kiritiladi Bilan, tasodifiy miqdorning taqsimlanishi eksponensial deb ataladi X + s, tarqatish qaerda X(10) formula bilan berilgan.

Eksponensial taqsimotlar deb ataladigan narsaning alohida holatidir. Weibull - Gnedenko taqsimoti. Ular charchoq sinovlari natijalarini tahlil qilish amaliyotiga ushbu taqsimotlarni kiritgan muhandis V.Veybull va maksimal miqdorni o'rganishda bunday taqsimotlarni chegara sifatida olgan matematik B.V.Gnedenko (1912-1995) nomlari bilan atalgan. test natijalari. Mayli X- mahsulotning, murakkab tizimning, elementning ishlash muddatini (ya'ni, resurs, chegaralangan holatgacha bo'lgan ish vaqti va boshqalar), korxonaning ishlash muddatini yoki tirik mavjudotning hayotini va boshqalarni tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchi. Muvaffaqiyatsizlik intensivligi muhim rol o'ynaydi

(11)

Qayerda F(x) Va f(x) - tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va zichligi X.

Keling, muvaffaqiyatsizlik darajasining odatiy harakatini tasvirlaylik. Butun vaqt oralig'ini uch davrga bo'lish mumkin. Ulardan birinchisida funktsiya l(x) yuqori qiymatlarga va aniq pasayish tendentsiyasiga ega (ko'pincha u monoton ravishda kamayadi). Buni ko'rib chiqilayotgan mahsulot birliklari partiyasida aniq va yashirin nuqsonlar mavjudligi bilan izohlash mumkin, bu esa ushbu mahsulot birliklarining nisbatan tez ishdan chiqishiga olib keladi. Birinchi davr "buzilish davri" (yoki "buzilish") deb ataladi. Bu odatda kafolat muddatini qamrab oladi.

Keyin taxminan doimiy va nisbatan past ishlamay qolish darajasi bilan tavsiflangan normal ishlash davri keladi. Ushbu davrdagi nosozliklar tabiati to'satdan (baxtsiz hodisalar, operatsion xodimlarning xatolari va boshqalar) va mahsulot birligining ishlash muddatiga bog'liq emas.

Nihoyat, operatsiyaning oxirgi davri - qarish va eskirish davri. Ushbu davrdagi nosozliklar tabiati materiallarning qaytarilmas fizik, mexanik va kimyoviy o'zgarishlarida bo'lib, mahsulot birligi sifatining tobora yomonlashishiga va uning yakuniy ishdan chiqishiga olib keladi.

Har bir davr o'ziga xos funktsiyaga ega l(x). Keling, kuchga bog'liqlik sinfini ko'rib chiqaylik

l(x) = l 0bx b -1 , (12)

Qayerda λ 0 > 0 va b> 0 - ba'zi raqamli parametrlar. Qiymatlar b < 1, b= 0 va b> 1 mos ravishda ishga tushirish, normal ishlash va qarish davrlarida nosozlik darajasi turiga mos keladi.

Munosabatlar (11) berilgan muvaffaqiyatsizlik darajasida l(x)- funksiya uchun differentsial tenglama F(x). Differensial tenglamalar nazariyasidan shunday xulosa kelib chiqadi

(13)

(12) ni (13) ga almashtirib, biz buni olamiz

(14)

Formula (14) bo'yicha berilgan taqsimot Veybull - Gnedenko taqsimoti deb ataladi. Chunki

u holda (14) formuladan kelib chiqadiki, miqdor A, (15) formula bilan berilgan, masshtab parametridir. Ba'zan shift parametri ham kiritiladi, ya'ni. Weibull-Gnedenko taqsimlash funktsiyalari deyiladi F(x - c), Qayerda F(x) bir necha l 0 va uchun (14) formula bilan berilgan b.

Weibull-Gnedenko taqsimlash zichligi shaklga ega

(16)

Qayerda a> 0 - shkala parametri, b> 0 - shakl parametri, Bilan- o'zgartirish parametri. Bunday holda, parametr A formuladan (16) parametr bilan bog'langan λ (15) formulada ko'rsatilgan munosabat bo'yicha (14) formuladan 0.

Eksponensial taqsimot Veybull-Gnedenko taqsimotining juda o'ziga xos holati bo'lib, shakl parametrining qiymatiga mos keladi. b = 1.

Veybull-Gnedenko taqsimoti ob'ektning xatti-harakati "eng zaif bo'g'in" bilan belgilanadigan vaziyatlarning ehtimollik modellarini qurishda ham qo'llaniladi. Zanjir bilan o'xshashlik mavjud, uning xavfsizligi eng kam quvvatga ega bo'lgan bog'lanish bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, ruxsat bering X 1 , X 2 ,…, Xn- mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar;

X(1)=min( X 1, X 2,…, X n), X(n)=maks( X 1, X 2,…, X n).

Bir qator amaliy masalalarda ular muhim rol o'ynaydi X(1) Va X(n) , xususan, ma'lum qiymatlarning maksimal mumkin bo'lgan qiymatlarini ("yozuvlar") o'rganishda, masalan, sug'urta to'lovlari yoki tijorat tavakkalchiligi tufayli yo'qotishlar, po'latning elastikligi va chidamlilik chegaralarini o'rganishda, bir qator ishonchlilik xususiyatlari va boshqalar. . Katta n uchun taqsimotlar ko'rsatilgan X(1) Va X(n) , qoida tariqasida, Weibull-Gnedenko taqsimoti tomonidan yaxshi tasvirlangan. Tarqatishlarni o'rganishga qo'shgan asosiy hissasi X(1) Va X(n) Sovet matematigi B.V.Gnedenko hissa qo'shgan. V.Veybull, E.Gumbel, V.B.ning ishlari iqtisodiyot, menejment, texnologiya va boshqa sohalarda olingan natijalardan foydalanishga bagʻishlangan. Nevzorova, E.M. Kudlaev va boshqa ko'plab mutaxassislar.

Keling, gamma taqsimotlari oilasiga o'tamiz. Ular iqtisodiyot va menejmentda, ishonchlilik va sinov nazariyasi va amaliyotida, texnologiyaning turli sohalarida, meteorologiya va boshqalarda keng qo'llaniladi. Xususan, ko'p holatlarda gamma taqsimoti mahsulotning umumiy xizmat qilish muddati, o'tkazuvchan chang zarralari zanjirining uzunligi, korroziya paytida mahsulotning chegaralangan holatga yetib borishi, ish vaqti kabi miqdorlarga bog'liq. k- rad etish, k= 1, 2, … va boshqalar. Surunkali kasalliklarga chalingan bemorlarning umr ko'rish davomiyligi va davolanish vaqtida ma'lum ta'sirga erishish vaqti ba'zi hollarda gamma taqsimotiga ega. Ushbu taqsimot inventarizatsiyani boshqarishning (logistika) iqtisodiy va matematik modellarida talabni tavsiflash uchun eng mos keladi.

Gamma taqsimot zichligi shaklga ega

(17)

(17) formuladagi ehtimollik zichligi uchta parametr bilan aniqlanadi a, b, c, Qayerda a>0, b>0. Qayerda a shakl parametridir, b- masshtab parametri va Bilan- siljish parametri. Faktor 1/D(a) normallashmoqda, u bilan tanishtirildi

Bu yerga D(a)- matematikada qo'llaniladigan maxsus funktsiyalardan biri, "gamma funktsiyasi" deb ataladi, undan keyin (17) formulada berilgan taqsimot nomlanadi;

Belgilangan vaqtda A formula (17) zichlikka ega bo'lgan taqsimot orqali hosil bo'lgan taqsimotlar turkumini belgilaydi

(18)

Shaklning taqsimoti (18) standart gamma taqsimoti deb ataladi. (17) da formuladan olinadi b= 1 va Bilan= 0.

Gamma taqsimotining alohida holati A= 1 - eksponensial taqsimotlar (bilan l = 1/b). Tabiiy bilan A Va Bilan=0 gamma taqsimotlar Erlang taqsimotlari deyiladi. Kopengagen telefon kompaniyasi xodimi, 1908-1922 yillarda tahsil olgan daniyalik olim K.A.Erlang (1878-1929) asarlaridan. telefon tarmoqlarining ishlashi, navbat nazariyasining rivojlanishi boshlandi. Bu nazariya optimal qarorlar qabul qilish uchun so'rovlar oqimiga xizmat ko'rsatadigan tizimlarni ehtimollik va statistik modellashtirish bilan shug'ullanadi. Erlang taqsimotlari eksponensial taqsimotlar qo'llaniladigan bir xil dastur sohalarida qo'llaniladi. Bu quyidagi matematik faktga asoslanadi: bir xil parametrlar bilan eksponent ravishda taqsimlangan k mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi va Bilan, shakl parametri bilan gamma taqsimotiga ega a =k, masshtab parametri b= 1/l va siljish parametri kc. Da Bilan= 0 Erlang taqsimotini olamiz.

Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X shakl parametri bilan gamma taqsimotiga ega A shu kabi d = 2 a- butun son, b= 1 va Bilan= 0, keyin 2 X bilan chi-kvadrat taqsimotiga ega d erkinlik darajalari.

Tasodifiy qiymat X gvmma taqsimoti bilan quyidagi xususiyatlarga ega:

Kutilgan qiymat M(X) =ab + c,

Farqlanish D(X) = σ 2 = ab 2 ,

O'zgaruvchanlik koeffitsienti

Asimmetriya

Ortiqcha

Oddiy taqsimot gamma taqsimotining ekstremal holatidir. Aniqroq aytganda, Z (18) formula bo'yicha berilgan standart gamma taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keyin

har qanday haqiqiy raqam uchun X, Qayerda F(x)- standart normal taqsimot funksiyasi N(0,1).

Amaliy tadqiqotlarda taqsimotlarning boshqa parametrik oilalari ham qo'llaniladi, ulardan eng mashhurlari Pirson egri chiziqlari tizimi, Edgeworth va Charlier seriyalaridir. Bu erda ular hisobga olinmaydi.

Diskret qaror qabul qilishning ehtimollik va statistik usullarida qo'llaniladigan taqsimotlar. Eng ko'p ishlatiladigan diskret taqsimotlarning uchta oilasi - binomial, gipergeometrik va Puasson, shuningdek, ba'zi boshqa oilalar - geometrik, salbiy binomial, multinomial, salbiy gipergeometrik va boshqalar.

Yuqorida aytib o'tilganidek, binomial taqsimot mustaqil sinovlarda sodir bo'ladi, ularning har birida ehtimollik bilan R hodisa paydo bo'ladi A. Sinovlarning umumiy soni bo'lsa n berilgan, keyin testlar soni Y, unda voqea paydo bo'lgan A, binomial taqsimotga ega. Binomiy taqsimot uchun tasodifiy o'zgaruvchi sifatida qabul qilish ehtimoli Y qiymatlar y formula bilan aniqlanadi

Kombinatsiyalar soni n tomonidan elementlar y, kombinatorikadan ma'lum. Barcha uchun y, 0, 1, 2, … bundan mustasno n, bizda ... bor P(Y= y)= 0. Belgilangan tanlama kattaligi bilan binom taqsimoti n parametr bilan belgilanadi p, ya'ni. binomial taqsimotlar bir parametrli oilani tashkil qiladi. Ular namunaviy tadqiqotlar ma'lumotlarini tahlil qilishda, xususan, iste'molchilarning xohish-istaklarini o'rganishda, bir bosqichli nazorat rejalari bo'yicha mahsulot sifatini tanlab nazorat qilishda, demografiya, sotsiologiya, tibbiyot, biologiya va boshqalar bo'yicha odamlar populyatsiyasini tekshirishda qo'llaniladi. .

Agar Y 1 Va Y 2 - bir xil parametrli mustaqil binomial tasodifiy o'zgaruvchilar p 0 , hajmlari bo'lgan namunalardan aniqlanadi n 1 Va n 2 shunga ko'ra, keyin Y 1 + Y 2 - taqsimotga (19) ega binomial tasodifiy miqdor R = p 0 Va n = n 1 + n 2 . Ushbu eslatma bir xil parametr barcha ushbu guruhlarga mos kelishiga ishonish uchun asoslar mavjud bo'lganda bir nechta test guruhlari natijalarini birlashtirishga imkon berish orqali binomial taqsimotning qo'llanilishini kengaytiradi.

Binomiy taqsimotning xarakteristikalari avvalroq hisoblangan:

M(Y) = n.p., D(Y) = n.p.( 1- p).

"Hodisalar va ehtimollar" bo'limida binomial tasodifiy o'zgaruvchi uchun katta sonlar qonuni isbotlangan:

har kim uchun. Markaziy chegara teoremasidan foydalanib, katta sonlar qonuni qancha ekanligini ko'rsatib, aniqlanishi mumkin Y/ n dan farq qiladi R.

De Moivr-Laplas teoremasi. Har qanday a va raqamlari uchun b, a< b, bizda ... bor

Qayerda F(X) matematik kutilma 0 va dispersiya 1 bo‘lgan standart normal taqsimot funksiyasi.

Buni isbotlash uchun vakillikdan foydalanish kifoya Y individual testlar, formulalar natijalariga mos keladigan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi shaklida M(Y) Va D(Y) va markaziy chegara teoremasi.

Bu teorema holat uchun R= ½ 1730 yilda ingliz matematigi A. Moivre (1667-1754) tomonidan isbotlangan. Yuqoridagi formulada u 1810 yilda frantsuz matematigi Per Simon Laplas (1749 - 1827) tomonidan isbotlangan.

Gipergeometrik taqsimot muqobil mezon bo'yicha N hajmli ob'ektlarning cheklangan to'plamini tanlab boshqarish paytida sodir bo'ladi. Har bir boshqariladigan ob'ekt atributga ega sifatida tasniflanadi A, yoki bu xususiyatga ega emas. Gipergeometrik taqsimot tasodifiy o'zgaruvchiga ega Y, atributga ega bo'lgan ob'ektlar soniga teng A hajmning tasodifiy namunasida n, Qayerda n< N. Masalan, raqam Y hajmning tasodifiy namunasidagi nuqsonli mahsulot birliklari n partiya hajmidan N agar gipergeometrik taqsimotga ega n< N. Yana bir misol lotereya. Belgiga ruxsat bering A chipta "g'olib bo'lish" belgisidir. Chiptalarning umumiy soni bo'lsin N, va ba'zi bir kishi sotib oldi n ulardan. Keyin bu odam uchun yutgan chiptalar soni gipergeometrik taqsimotga ega.

Gipergeometrik taqsimot uchun Y tasodifiy o'zgaruvchining y qiymatini qabul qilish ehtimoli ko'rinishga ega.

(20)

Qayerda D- atributga ega bo'lgan ob'ektlar soni A, ko'rib chiqilayotgan hajm to'plamida N. Qayerda y max dan qiymatlarni oladi (0, n - (N - D)) daqiqagacha( n, D), boshqa narsalar y(20) formuladagi ehtimollik 0 ga teng. Shunday qilib, gipergeometrik taqsimot uchta parametr - populyatsiya hajmi bilan aniqlanadi. N, ob'ektlar soni D unda ko'rib chiqilayotgan xususiyatga ega A, va namuna hajmi n.

Oddiy tasodifiy hajm namunasi n umumiy hajmdan N ning har qanday to'plami bo'lgan tasodifiy tanlash natijasida olingan namunadir n ob'ektlarni tanlash ehtimoli bir xil. Respondentlarning (suhbatdoshlarning) namunalarini yoki parcha tovarlarning birliklarini tasodifiy tanlash usullari ko'rsatma, uslubiy va me'yoriy hujjatlarda muhokama qilinadi. Tanlash usullaridan biri bu: ob'ektlar bir-biridan tanlanadi va har bir bosqichda to'plamdagi qolgan ob'ektlarning har biri bir xil tanlanish imkoniyatiga ega. Adabiyotda ko'rib chiqilayotgan namunalar turi uchun "tasodifiy namuna" va "qaytarilmasdan tasodifiy namuna" atamalari ham qo'llaniladi.

Aholi soni (partiya) N va namunalar n odatda ma'lum bo'lsa, u holda taxmin qilinadigan gipergeometrik taqsimotning parametri D. Mahsulot sifatini boshqarishning statistik usullarida D– odatda partiyadagi nuqsonli birliklar soni. Tarqatish xususiyati ham qiziqish uyg'otadi D/ N- nuqsonlar darajasi.

Gipergeometrik taqsimot uchun

Dispersiyani ifodalashdagi oxirgi omil 1 agarga yaqin N>10 n. Agar siz almashtirsangiz p = D/ N, keyin gipergeometrik taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi ifodalari binomial taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi ifodalariga aylanadi. Bu tasodif emas. Buni ko'rsatish mumkin

da N>10 n, Qayerda p = D/ N. Cheklash nisbati amal qiladi

va bu cheklovchi munosabat qachon ishlatilishi mumkin N>10 n.

Uchinchi keng tarqalgan diskret taqsimot bu Puasson taqsimotidir. Y tasodifiy o'zgaruvchisi Puasson taqsimotiga ega if

,

bu yerda l - Puasson taqsimot parametri va P(Y= y)= qolganlar uchun 0 y(y=0 uchun u 0 bilan belgilanadi! =1). Poisson taqsimoti uchun

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Bu taqsimot birinchi marta 1837 yilda olgan frantsuz matematigi S. D. Puasson (1781-1840) sharafiga nomlangan. Puasson taqsimoti binomial taqsimotning cheklovchi holati bo'lib, ehtimollik bo'lganda. R tadbirni amalga oshirish kichik, ammo testlar soni n ajoyib, va n.p.= l. Aniqroq aytganda, chegara munosabati amal qiladi

Shuning uchun Puasson taqsimoti (eski terminologiyada "tarqatish qonuni") ko'pincha "kamdan-kam uchraydigan hodisalar qonuni" deb ham ataladi.

Puasson taqsimoti hodisalar oqimi nazariyasidan kelib chiqadi (yuqoriga qarang). Doimiy intensivlikdagi eng oddiy oqim uchun vaqt davomida sodir bo'lgan hodisalar (qo'ng'iroqlar) soni isbotlangan. t, l = l parametrli Puasson taqsimotiga ega t. Shuning uchun, ehtimol, vaqt ichida t hech qanday hodisa sodir bo'lmaydi, teng e - Λ t, ya'ni. hodisalar orasidagi interval uzunligining taqsimot funksiyasi eksponensialdir.

Puasson taqsimoti iste'molchilarning tanlab olingan marketing so'rovlari natijalarini tahlil qilishda, kamchiliklarni qabul qilish darajasining kichik qiymatlari bo'lgan taqdirda statistik qabul qilishni nazorat qilish rejalarining operatsion xususiyatlarini hisoblashda, statistik nazorat ostidagi buzilishlar sonini tavsiflashda qo'llaniladi. vaqt birligidagi texnologik jarayon, navbat tizimida vaqt birligi uchun olingan "xizmat talablari" soni, baxtsiz hodisalar va noyob kasalliklarning statistik naqshlari va boshqalar.

Adabiyotda diskret taqsimotlarning boshqa parametrik oilalarining tavsiflari va ulardan amaliy foydalanish imkoniyatlari ko'rib chiqiladi.

Ba'zi hollarda, masalan, narxlarni, ishlab chiqarish hajmini yoki ishonchlilik muammolaridagi nosozliklar orasidagi umumiy vaqtni o'rganayotganda, taqsimlash funktsiyalari o'rganilgan tasodifiy o'zgaruvchilarning qiymatlari tushib keta olmaydigan ma'lum oraliqlarda doimiy bo'ladi.

X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi F(x) funksiyasi bo'lib, u har bir x uchun X tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimolini ifodalaydi., kichikroq x

2.5-misol. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori berilgan

Uning taqsimlash funksiyasini toping va grafik tasvirlang. Yechim. Ta'rifga ko'ra

F(jc) = 0 at X X

F(x) = 4 da 0,4 + 0,1 = 0,5 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 da X > 5.

Shunday qilib (2.1-rasmga qarang):

Tarqatish funksiyasining xususiyatlari:

1. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi nol va bir o‘rtasidagi manfiy bo‘lmagan funksiyadir:

2. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi butun son o‘qi bo‘yicha kamaymaydigan funksiyadir, ya’ni. da X 2 >x

3. Minus cheksizlikda taqsimot funksiyasi nolga teng, plyus cheksizlikda u birga teng, ya'ni.