To'g'ridan-to'g'ri integratsiya yo'li bilan yechilgan tenglamalar

Quyidagi shakldagi differentsial tenglamani ko'rib chiqing:
.
Biz n marta integratsiya qilamiz.
;
;
va hokazo. Siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin:
.
To'g'ridan-to'g'ri echilgan differensial tenglamalarga qarang integratsiya > > >

y bog'liq o'zgaruvchini aniq o'z ichiga olmaydi tenglamalar

O'zgartirish tenglama tartibini bittaga kamaytirilishiga olib keladi. Bu erda ning funktsiyasi mavjud.
Aniq funksiyaga ega boʻlmagan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang > > >

X mustaqil o'zgaruvchini aniq o'z ichiga olmagan tenglamalar

.
ning funksiyasi deb faraz qilamiz. Keyin
.
Xuddi shunday, boshqa hosilalar uchun. Natijada tenglamaning tartibi bittaga qisqaradi.
Aniq o'zgaruvchiga ega bo'lmagan yuqori tartibli differentsial tenglamalarga qarang > > >

Y, y', y', ... ga nisbatan bir jinsli tenglamalar.

Bu tenglamani yechish uchun almashtirishni amalga oshiramiz
,
ning funksiyasi qayerda. Keyin
.
Xuddi shunday, biz hosilalarni o'zgartiramiz va hokazo. Natijada tenglamaning tartibi bittaga qisqaradi.
Funksiya va uning hosilalariga nisbatan bir hil boʻlgan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang. > > >

Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

O'ylab ko'ring n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama:
(1) ,
mustaqil o'zgaruvchining funktsiyalari qayerda. Bu tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimi bo'lsin. U holda (1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
(2) ,
ixtiyoriy konstantalar qayerda. Funktsiyalarning o'zi yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.
Asosiy qarorlar tizimi n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglama bu tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimidir.

O'ylab ko'ring n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama:
.
Bu tenglamaning muayyan (har qanday) yechimi bo'lsin. Keyin umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi:
,
bu yerda (1) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi.

Doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar va ularning qisqarishlari

Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar

Bular shakldagi tenglamalar:
(3) .
Mana haqiqiy raqamlar. Bu tenglamaning umumiy yechimini topish uchun fundamental yechimlar sistemasini tashkil etuvchi n ta chiziqli mustaqil yechim topishimiz kerak. Keyin umumiy yechim (2) formula bilan aniqlanadi:
(2) .

Shaklda yechim izlanmoqda. olamiz xarakterli tenglama:
(4) .

Agar bu tenglama mavjud bo'lsa turli xil ildizlar, u holda asosiy echimlar tizimi ko'rinishga ega:
.

Agar mavjud bo'lsa murakkab ildiz
,
keyin murakkab konjugat ildiz ham mavjud. Bu ikki ildiz yechimlarga mos keladi va , biz ularni murakkab yechimlar o'rniga fundamental tizimga kiritamiz va.

Ko'p ildizlar ko'paytmalar chiziqli mustaqil yechimlarga mos keladi:.

Ko'p murakkab ildizlar ko'plik va ularning murakkab konjugat qiymatlari chiziqli mustaqil echimlarga mos keladi:
.

Maxsus bir jinsli bo'lmagan qismli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar

Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing
,
s darajali polinomlar qayerda 1 va s 2 ; - doimiy.

Birinchidan, biz (3) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz. Agar xarakteristik tenglama (4) ildizni o'z ichiga olmaydi, keyin biz quyidagi shaklda ma'lum bir yechim izlaymiz:
,
qayerda
;
;
s - s ning eng kattasi 1 va s 2 .

Agar xarakteristik tenglama (4) ildizi bor ko'plik , keyin biz quyidagi shaklda ma'lum bir yechim qidiramiz:
.

Shundan so'ng biz umumiy yechimni olamiz:
.

Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar

Bu erda uchta mumkin bo'lgan yechim mavjud.

1) Bernoulli usuli.
Birinchidan, bir jinsli tenglamaning nolga teng bo'lmagan har qanday yechimini topamiz
.
Keyin almashtirishni amalga oshiramiz
,
bu yerda x o‘zgaruvchining funksiyasi. Biz u uchun differensial tenglamani olamiz, u faqat x ga nisbatan u hosilalarini o'z ichiga oladi. ni almashtirib, n tenglamani olamiz - 1 -chi tartib.

2) Chiziqli almashtirish usuli.
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz
,
bu yerda (4) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri. Natijada doimiy tartibli koeffitsientli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamani olamiz. Ushbu almashtirishni izchil qo'llagan holda, biz dastlabki tenglamani birinchi tartibli tenglamaga keltiramiz.

3) Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli.
Bu usulda birinchi navbatda (3) bir jinsli tenglamani yechamiz. Uning yechimi quyidagicha ko'rinadi:
(2) .
Quyida biz konstantalar x o'zgaruvchining funksiyalari deb faraz qilamiz. Keyin asl tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
,
noma'lum funktsiyalar qayerda. Dastlabki tenglamani almashtirib, ba'zi cheklovlar qo'yib, biz tenglamalarni olamiz, ulardan biz funktsiyalar shaklini topamiz.

Eyler tenglamasi

U almashtirish orqali doimiy koeffitsientli chiziqli tenglamaga keltiriladi:
.
Biroq, Eyler tenglamasini yechish uchun bunday almashtirishni amalga oshirishning hojati yo'q. Darhol shaklda bir jinsli tenglamaning yechimini izlash mumkin
.
Natijada, biz doimiy koeffitsientli tenglama bilan bir xil qoidalarga ega bo'lamiz, unda o'zgaruvchi o'rniga biz almashtirishimiz kerak .

Adabiyotlar:
V.V. Stepanov, Differensial tenglamalar kursi, LKI, 2015 yil.
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, Lan, 2003 yil.

Chiziqli differentsial tizimlar tenglamalar.

Differensial tenglamalar tizimi deyiladi chiziqli, noma'lum funksiyalar va ularning hosilalariga nisbatan chiziqli bo'lsa. tizimi n-1-tartibli chiziqli tenglamalar quyidagicha yoziladi:

Tizimning koeffitsientlari const.

Ushbu tizimni matritsa shaklida yozish qulay:

bu yerda bitta argumentga bog'liq noma'lum funksiyalarning ustun vektori.

Bu funksiyalarning hosilalarining ustun vektori.

Erkin a'zolarning ustun vektori.

Koeffitsient matritsasi.

1-teorema: Agar barcha matritsa koeffitsientlari bo'lsa LEKIN qaysidir oraliqda va , keyin har bir m ning qaysidir mahallasida uzluksizdir. TSIE shartlari bajariladi. Shuning uchun har bir bunday nuqta orqali faqat bitta integral egri chiziq mavjud.

Haqiqatan ham, bu holda tizimning to'g'ri qismlari argumentlar to'plami bo'yicha uzluksiz va ularning qisman hosilalari (A matritsa koeffitsientlariga teng) cheklangan bo'lib, yopiq oraliqdagi uzluksizlik tufayli.

SLDE ni hal qilish usullari

1. Differensial tenglamalar tizimini noma'lumlarni bitta tenglamaga olib tashlash orqali kamaytirish mumkin.

Misol: Tenglamalar tizimini yeching: (1)

Yechim: istisno qilish z bu tenglamalardan. Birinchi tenglamadan biz bor. Ikkinchi tenglamaga almashtirib, biz soddalashtirilgandan keyin olamiz: .

Bu tenglamalar tizimi (1) bitta ikkinchi tartibli tenglamaga keltiriladi. Bu tenglama topilgandan keyin y, topilishi kerak z, tenglikdan foydalanish.

2. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali tenglamalar tizimini echishda odatda yuqori tartibli tenglama olinadi, shuning uchun ko'p hollarda tizimni topish orqali echish qulayroqdir. integrallashgan kombinatsiyalar.

Davomi 27b

Misol: Tizimni hal qiling

Yechim:

Bu sistemani Eyler usuli bilan yechamiz. Xarakteristikani topish uchun determinantni yozamiz

tenglamalar: , (tizim bir hil bo'lgani uchun uning notrivial yechimga ega bo'lishi uchun bu determinant nolga teng bo'lishi kerak). Biz xarakterli tenglamani olamiz va uning ildizlarini topamiz:

Umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi: ;

- xos vektor.

Biz yechimni yozamiz: ;

- xos vektor.

Biz yechimni yozamiz: ;

Biz umumiy yechimni olamiz: .

Keling, tekshiramiz:

ni toping va ushbu sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiring, ya'ni. .

Biz olamiz:

- haqiqiy tenglik.

Chiziqli farq. n-tartibli tenglamalar. n-tartibli bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi haqidagi teorema.

n-tartibli chiziqli differensial tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir: (1)

Agar ushbu ur-ii koeffitsientida bo'lsa, unga bo'linib, biz tenglamaga kelamiz: (2) .

Odatda, turdagi tenglamalar (2). Faraz qilaylik, tenglamada. (2) barcha koeffitsientlar va shuningdek f(x) ma'lum bir intervalda davom etadi (a, b). Keyin, TSIE ga ko'ra, tenglama (2) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega: , , …, uchun. Bu erda - intervaldan istalgan nuqta (a,b), va barchasi har qanday berilgan raqamlardir. Tenglama (2) TS&E ni qondiradi , shuning uchun yo'q maxsus qarorlar.

Def.: maxsus nuqtalar = 0 bo'lgan nuqtalardir.

Chiziqli tenglamaning xossalari:

1. Mustaqil o'zgaruvchining har qanday o'zgarishi ostida chiziqli tenglama chiziqli bo'lib qoladi.
2. Chiziqli tenglama istalgan funktsiyaning har qanday chiziqli o'zgarishi uchun shunday bo'lib qoladi.

Def.: agar tenglamada bo'lsa (2) qo'yish f(x)=0, u holda biz quyidagi shakldagi tenglamani olamiz: (3) , deb ataladi bir jinsli tenglama bir jinsli bo'lmagan tenglamaga nisbatan (2).

Chiziqli differentsial operatorni ko'rib chiqaylik: (4). Ushbu operatordan foydalanib, tenglamalarni qisqa shaklda qayta yozish mumkin (2) va (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4) quyidagi oddiy xususiyatlarga ega:

Ushbu ikki xususiyatdan biz natijani chiqarishimiz mumkin: .

Funktsiya y=y(x) bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimidir (2), agar L(y(x))=f(x), keyin f(x) tenglamaning yechimi deb ataladi. Shunday qilib, tenglamaning yechimi (3) funksiya deb ataladi y(x), agar L(y(x))=0 ko'rib chiqilgan intervallar ichida.

O'ylab ko'ring. bir jinsli chiziqli tenglama: , L(y)=f(x).

Aytaylik, biz qandaydir tarzda ma'lum bir yechim topdik, keyin .

Biz yangi noma'lum funktsiyani kiritamiz z formula bo'yicha: , bu erda ma'lum bir yechim.

Uni tenglamaga almashtiring: , qavslarni oching va: .

Olingan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Asl tenglamaning xususiy yechimi bo'lgani uchun , keyin .

Shunday qilib, biz ga nisbatan bir hil tenglamaga ega bo'ldik z. Bu bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi chiziqli birikma hisoblanadi: , bu yerda funksiyalar - bir jinsli tenglama yechimlarining asosiy tizimini tashkil qiladi. O'rnini bosish z almashtirish formulasida biz quyidagilarni olamiz: (*) funksiya uchun y asl tenglamaning noma'lum funktsiyasidir. Asl tenglamaning barcha yechimlari (*) da bo'ladi.

Shunday qilib, bir hil bo'lmagan linning umumiy yechimi. Tenglama bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi va bir jinsli boʻlmagan tenglamaning qandaydir xususiy yechimi yigʻindisi sifatida ifodalanadi.

(boshqa tomonda davom etadi)

30. Dif ning yechimi uchun borlik va yagonalik teoremasi. tenglamalar

Teorema: Agar tenglamaning o'ng tomoni to'rtburchakda uzluksiz bo'lsa va chegaralangan bo‘lib, Lipschitz shartini ham qanoatlantiradi: , N=const, u holda boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan va segmentda aniqlangan yagona yechim mavjud. , qayerda.

Isbot:

To'liq metrik bo'shliqni ko'rib chiqing FROM, nuqtalari segmentda aniqlangan barcha mumkin bo'lgan y(x) uzluksiz funksiyalardir , uning grafiklari to'rtburchak ichida joylashgan va masofa tenglik bilan aniqlanadi: . Bu bo'shliq ko'pincha matematik tahlilda ishlatiladi va deyiladi yagona konvergentsiya fazosi, chunki bu fazoning metrikasidagi konvergentsiya bir xil.

Farqni almashtiring. Ekvivalent integral tenglamaga berilgan boshlang'ich shartli tenglama: va operatorni ko'rib chiqing Ay), bu tenglamaning o'ng tomoniga teng: . Bu operator har bir uzluksiz funktsiyani tayinlaydi

Lipschitz tengsizligidan foydalanib, biz masofani yozishimiz mumkin. Endi biz shunday ni tanlaymiz, ular uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi: .

Bu shunday tanlanishi kerakki, keyin. Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik.

Qisqartirish xaritalash printsipiga ko'ra, bitta nuqta yoki bir xil bo'lgan yagona funktsiya - berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning yechimi mavjud.

n-chi tartib

Teorema. Agar a y 0- bir jinsli tenglamaning yechimi L[y]=0, y 1- mos keladigan bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi L[y] = f(x), keyin summa y0+y1 bu bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimidir.

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimining tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi.

Teorema. Agar a Y- tenglamaning maxsus yechimi L[y] = f(x) uzluksiz koeffitsientlar bilan, mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimidir L[y] = 0, u holda bu bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi formula bilan aniqlanadi

Izoh. Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini yozish uchun ushbu tenglamaning qandaydir xususiy yechimini va mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish kerak.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar n

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing n- doimiy koeffitsientli tartib

qayerda a 1, a 2, …, a n haqiqiy sonlardir. Tegishli bir jinsli tenglamani yozamiz

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi formula bilan aniqlanadi

Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi y 0 Biz aniq bir yechim topishimiz mumkin Y Quyidagi eng oddiy hollarda noaniq koeffitsientlar usuli bilan topish mumkin:

Umumiy holatda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi.

Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing n-o'zgaruvchan koeffitsientli tartib

Agar ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimini topish qiyin bo'lib chiqsa, lekin mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma'lum bo'lsa, unda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin. ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

Tegishli bir jinsli tenglama bo'lsin

umumiy yechimga ega

Shaklda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi izlanadi

qayerda y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x) umumiy yechimiga kiritilgan bir jinsli tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari va C 1 (x), C2(x), …, C n (x)- noma'lum funktsiyalar. Ushbu funktsiyalarni topish uchun biz ularni ba'zi shartlarga bog'laymiz.

Keling, hosilani topamiz

Biz ikkinchi qavsdagi yig'indi nolga teng bo'lishini talab qilamiz, ya'ni

Keling, ikkinchi hosilani topamiz

va biz buni talab qilamiz

Xuddi shu jarayonni davom ettirsak, biz olamiz

Bunday holda, ikkinchi qavsdagi yig'indini yo'q qilishni talab qilish mumkin emas, chunki funktsiyalar C 1 (x), C2(x), …, C n (x) allaqachon bo'ysungan n-1 shartlar, lekin bir hil bo'lmagan dastlabki tenglamani qondirish ham zarur.