Qismlar bo'yicha integratsiya nima? Ushbu turdagi integratsiyani o'zlashtirish uchun avvalo mahsulotning hosilasini eslaylik:

$((\left(f\cdot g \o'ng))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Savol tug'iladi: integrallarning bunga qanday aloqasi bor? Endi bu tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik. Shunday qilib, yozamiz:

$\int(((\left(f\cdot g \o'ng))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Ammo insultning primitivi nima? Bu shunchaki funktsiyaning o'zi, u zarbaning ichida joylashgan. Shunday qilib, yozamiz:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Ushbu tenglamada men atamani ifodalashni taklif qilaman. Bizda ... bor:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Bu shunday qismlar bo'yicha integratsiya formulasi. Shunday qilib, biz asosan hosila va funktsiyani almashtiramiz. Agar dastlab bizda zarbaning integrali biror narsaga ko'paytirilgan bo'lsa, unda biz yangi narsaning integralini zarbaga ko'paytiramiz. Hamma qoida shu. Bir qarashda, bu formula murakkab va ma'nosiz bo'lib tuyulishi mumkin, lekin aslida u hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin. Ko'raylikchi.

Integrallarni hisoblashga misollar

1-topshiriq. Hisoblang:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Logarifm oldiga 1 qo‘shib ifodani qayta yozamiz:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Biz buni qilishga haqlimiz, chunki na raqam, na funksiya o'zgarmaydi. Endi bu ifodani formulada yozganimiz bilan solishtiramiz. $(f)"$ roli 1 ga teng, shuning uchun biz yozamiz:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Bu funktsiyalarning barchasi jadvalda keltirilgan. Endi biz ifodamizga kiritilgan barcha elementlarni yozganimizdan so'ng, biz bu integralni qismlar bo'yicha integrallash formulasiga muvofiq qayta yozamiz:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \o'ng)+C \\\ tugatish(tekislash)\]

Mana, integral topildi.

Vazifa 2. Hisoblang:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d) )x))$

Agar biz antiderivativni topishimiz kerak bo'lgan hosila sifatida $x$ ni olsak, biz $((x)^(2))$ olamiz va yakuniy ifoda $((x)^(2)) ni o'z ichiga oladi. ((\text(e))^(-x))$.

Shubhasiz, vazifa soddalashtirilmagan, shuning uchun biz integral belgisi ostida omillarni almashtiramiz:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Endi belgi bilan tanishamiz:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\O'ng strelka f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

$((\text(e))^(-x))$ ni farqlang:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ left(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Boshqacha qilib aytganda, avval "minus" qo'shiladi, so'ngra ikkala tomon ham birlashtiriladi:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\O'ng strelka ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \o'ng))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \o'ng))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Endi $g$ funktsiyasi bilan shug'ullanamiz:

$g=x\Oʻng strelka (g)"=1$

Biz integralni ko'rib chiqamiz:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \o'ng)+C \\\end(align)$

Shunday qilib, biz qismlar bo'yicha ikkinchi integratsiyani amalga oshirdik.

Vazifa 3. Hisoblang:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Bu holda $(f)"$ uchun nimani olish kerak va $g$ uchun nima? Agar $x$ hosila vazifasini bajarsa, u holda $\frac(((x)^(2)))(2 ) $ va birinchi omil hech qayerda yo'qolmaydi - $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ bo'ladi. Shuning uchun biz yana omillarni almashtiramiz:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ end(align)$

Biz asl ifodamizni qayta yozamiz va uni qismlar bo'yicha integratsiya formulasiga muvofiq kengaytiramiz:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Hammasi, uchinchi vazifa hal qilindi.

Va nihoyat, yana bir bor ko'rib chiqaylik qismlar bo'yicha integratsiya formulasi. Omillarning qaysi biri hosila, qaysi biri haqiqiy funktsiya bo'lishini qanday tanlaymiz? Bu erda faqat bitta mezon bor: biz ajratadigan element yo "chiroyli" ifodani berishi kerak, keyin u qisqaradi yoki farqlash paytida butunlay yo'qoladi. Bu dars tugadi.

Uzluksiz hosilalarga ega bo'lgan $u=u(x)$ va $v=v(x)$ funksiyalarini ko'rib chiqing. Differensiallarning xossalariga ko'ra quyidagi tenglik amal qiladi:

$d(u v)=u d v+v d u$

Oxirgi tenglikning chap va o'ng qismlarini birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \O'ng strelka u v=\int u d v+\int v d u$

Olingan tenglikni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Bu formula deyiladi qismlar formulasi bo'yicha integratsiya. Uning yordami bilan $\int u d v$ integralini oddiyroq bo'lishi mumkin bo'lgan $\int v d u$ integralini topishga keltirish mumkin.

Izoh

Ba'zi hollarda qismlar bo'yicha integratsiya formulasi qayta-qayta qo'llanilishi kerak.

Quyidagi ko'rinishdagi integrallarga qismlar bo'yicha integrallash formulasini qo'llash tavsiya etiladi:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

Bu yerda $P_(n)(x)$ $n$ darajali ko‘phad, $k$ qandaydir doimiy. Bunda ko`phad $u$ funksiya sifatida, qolgan omillar esa $d v$ sifatida olinadi. Ushbu turdagi integrallar uchun qismlar bo'yicha integrallash formulasi $n$ marta qo'llaniladi.

Bu usul bilan integrallarni yechishga misollar

Misol

Mashq qilish.$\int(x+1) e^(2 x) d x$ integralini toping

Yechim.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

Javob.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

Misol

Mashq qilish.$\int x^(2) \cos x d x$ integralini toping

Yechim.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

Javob.$\int x^(2) \cos x d x=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$ ; $\int P_(n)(x) \ln x d x$

Bu yerda $d v=P_(n)(x) d x$, qolgan omillar esa $u$ deb faraz qilinadi.

Misol

Mashq qilish.$\int \ln x d x$ integralini toping

Yechim. Dastlabki integralda biz $u$ va $v$ funktsiyalarini ajratib olamiz, so'ngra qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshiramiz.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Javob.$\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

Misol

Mashq qilish.$\int \arcsin x d x$ integralini toping

Yechim. Dastlabki integralda biz $u$ va $v$ funktsiyalarini ajratib olamiz, so'ngra qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshiramiz. Bu integralni yechish uchun bu amalni 2 marta takrorlash kerak.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

Javob.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

Bu holda ko'rsatkich yoki trigonometrik funktsiya $u$ sifatida olinadi. Bitta shart shundaki, integrallash formulasini keyingi qo‘llashda $u$ funksiyasi bilan bir xil funktsiya, ya’ni mos ravishda ko‘rsatkich yoki trigonometrik funksiya olinadi.

Misol

Mashq qilish.$\int e^(2 x+1) \sin x d x$ integralini toping

Yechim. Dastlabki integralda biz $u$ va $v$ funktsiyalarini ajratib olamiz, so'ngra qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshiramiz.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$

Ushbu usul quyidagi formulaga asoslanadi: (*)

Mayli va x ning uzluksiz hosilalariga ega funksiyalari va .

Ma'lumki yoki; yoki .

Integrallar va , chunki farazga ko'ra u va v funktsiyalari differensiallanadi va shuning uchun uzluksizdir.

Formula (*) qismlar bo'yicha integrallash formulasi deb ataladi.

Uning qo'llanilishiga asoslangan usul qismlar bo'yicha integratsiya usuli deb ataladi.

Bu hisobni boshqa integralning hisobiga qisqartiradi: .

Qismlar bo'yicha integrallash usulini qo'llash shundan iboratki, berilgan integralning integral ifodasi ostida ular ko'paytma ko'rinishida tasvirlashga harakat qiladilar, bu erda va x ning ba'zi funktsiyalari bo'ladi va bu funktsiyalar shunday tanlanadi: dastlabki integraldan ko'ra hisoblash osonroq edi. Qachon hisoblash kerak ilgari topilgan va .

("v" sifatida biz dv dan topilgan asl antiderivativlardan birini olamiz, shuning uchun kelajakda "v" ni hisoblashda biz yozuvda doimiy C ni o'tkazib yuboramiz).

Izoh. Integral ifoda ostida faktoring bo'lganda, nima va nimani o'z ichiga olishi kerakligini tushunish kerak.

Afsuski, integral ifodani "u" va "dv" omillariga faktorlashtirishning umumiy qoidalarini berish mumkin emas. Buni ko'p va o'ylangan amaliyot orqali o'rgatish mumkin.

Bularning barchasi bilan shuni yodda tutish kerak asl integraldan oddiyroq edi.

6.6.22-misol.

Ba'zan yakuniy natijaga erishish uchun qismlar bo'yicha integratsiya qoidasi ketma-ket bir necha marta qo'llaniladi.

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli foydalanish uchun qulay, albatta, har doim emas va uni ishlatish qobiliyati tajribaga bog'liq.

Integrallarni hisoblashda qaysi integratsiya usulini qo'llash kerakligini to'g'ri aniqlash muhim (oldingi misolda bo'lgani kabi, trigonometrik almashtirish maqsadga tezroq olib keladi).

Qismlar bo'yicha integrallash yo'li bilan hisoblangan eng keng tarqalgan integrallarni ko'rib chiqing.

1.Shaklning integrallari :

bu yerda butun son (x ga nisbatan) ko‘phad; a doimiy son.

Agar trigonometrik yoki ko'rsatkichli funktsiyaning mahsuloti integral belgisi ostida algebraik bo'lsa, u holda algebraik funktsiya odatda "u" uchun olinadi.

6.6.23-misol.

E'tibor bering, omillarga yana bir bo'linish: maqsadga olib kelmaydi.

Isbotlangan
.

Biz murakkabroq integral olamiz.

2.Shaklning integrallari :

polinom qayerda.

Agar integral belgisi funktsiyaning logarifmi yoki teskari trigonometrik funktsiyaning algebraik ko'paytmasi bo'lsa, u holda funktsiyalar "u" sifatida qabul qilinishi kerak.

6.6.23-misol.

3.Shaklning integrallari:

Bu erda siz integral ifodaning omillarga bo'linishi mumkin bo'lgan 2 ta variantdan foydalanishingiz mumkin: "u" uchun siz ikkalasini ham, ikkalasini ham olishingiz mumkin. .

Bundan tashqari, bunday integrallarni qismlar bo'yicha integrallash usuli yordamida hisoblash dastlabki integralga olib keladi, ya'ni kerakli integralga nisbatan tenglama olinadi.

6.6.24-misol Hisoblash .

.

Integratsiyalashda ko'pincha almashtirish usuli va qismlar bo'yicha integratsiya usulini ketma-ket qo'llash kerak.

6.6.25-misol.

Kvadrat trinomialni o'z ichiga olgan ba'zi funktsiyalarni integrallash

1)

.

va bular jadvalli integrallardir.

2) haqiqiy son koeffitsientlari

hisoblagichda biz maxrajning hosilasini tanlaymiz.

a,b,c haqiqiy sonlar

a) ; keyin bizda:

b) . Bunday holda, faqat diskriminantni hisobga olish mantiqan trinomial ijobiy:

Endi bizda:

Izoh. Amalda, ular odatda tayyor natijalardan foydalanmaydilar, lekin har safar yana shunga o'xshash hisob-kitoblarni amalga oshirishni afzal ko'radilar.

Misol.

4)

Numeratorni shunday aylantiramizki, undan kvadrat trinomning hosilasi olinadi:

Amalda noaniq integrallarni hisoblashning qulay umumiy usuli mavjud emasligi sababli (oldingi ma'ruzaga qarang) alohida integrallash usullari bilan bir qatorda, biz integrallari bo'lgan ba'zi alohida funktsiyalar sinflarini integrallash usullarini ham ko'rib chiqishimiz kerak. amaliyotda tez-tez uchrab turadi.

Ularning eng muhim sinfi ratsional funktsiyalar sinfidir.

“Kesr-ratsional funksiyalarning integrasiyasi”

To'g'ri ratsional kasrni integrallash ratsional kasrni elementar kasrlar yig'indisiga kengaytirishga asoslangan.

Elementar (oddiy) kasrlar va ularni integrallash.

Ta'rif. Shaklning kasrlari: ; (1)

(2), qayerda

(ya’ni uch a’zoning ildizlari murakkab), elementar deyiladi.

Elementar kasrlarni integrallashini ko'rib chiqaylik

2)

(qaerda bo'lsin).

Biz integralni hisoblaymiz

(*)

Oxirgi integral rekursiv formula yordamida hisoblanadi.

Ba'zan qismlar bo'yicha integrallash sizga biron bir funktsiya darajasini o'z ichiga olgan noaniq integral va shunga o'xshash integral o'rtasidagi munosabatni olish imkonini beradi, lekin bir xil funktsiyaning kichikroq ko'rsatkichiga ega. Bunday munosabatlar rekursiv formulalar deyiladi.

tomonidan belgilang .

Bizda ... bor:

Oxirgi integralga qo'yamiz:

Shunung uchun

qayerda

Shunday qilib, biz rekursiv formulaga keldik: uni takroran qo'llash oxir-oqibat "jadval" integraliga olib keladi:

Keyin "t" va "k" o'rniga biz ularning qiymatlarini almashtiramiz.

6.6.26-misol.

(takrorlanish formulasi bo'yicha).=

.

Ratsional kasr - bu shaklda ifodalanadigan funksiya ; bu yerda va haqiqiy koeffitsientli ko'phadlar.

Ratsional kasr to'g'ri deyiladi, agar hisoblagichning darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa.

Har qanday to'g'ri ratsional kasrni chekli sonli elementar kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin.

To'g'ri kasrning elementar kasrga bo'linishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi, biz buni isbotsiz ko'rib chiqamiz.

Teorema . Agar kasr - to'g'ri va, (qaerda trinomiyaning haqiqiy ildizlari bo'lmasa), u holda o'ziga xoslik to'g'ri bo'ladi:

(men)

E'tibor bering, har bir haqiqiy ildiz, masalan, bu kengaytmada ko'pnomning ko'pligi “ ” ko'pligi (1) va har bir juft murakkab konjugat ildizlar va (shunday) ko'plik “ ”ning elementar kasrlari yig'indisiga mos keladi. (2) ko`rinishdagi elementar kasrlar yig`indisiga mos keladi.

Kengayish (I) ni amalga oshirish uchun siz koeffitsientlarni qanday aniqlashni o'rganishingiz kerak .

Ularni topishning turli usullari mavjud. Noaniq koeffitsientlar usuli va qisman qiymatlar usulini ko'rib chiqamiz.

Noaniq integral

1Antiderivativ va noaniq integral 1

2Noaniq integralning eng oddiy xossalari. 3

Asosiy integrallar jadvali 3

2.1 Integrallarning qo'shimcha jadvali 4

3O‘zgaruvchining noaniq integraldagi o‘zgarishi 5

3.1 Shakl va (a≠ 0) funksiyalarini integrallash usuli. 6

4Noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash 7

4.1 Shaklning funksiyalarini integrallash usuli. 7

4.2 Shaklning funksiyalarini integrallash usuli: 8

5 Ratsional kasrlarni integrallash 8

5.1 4-turdagi eng oddiy kasrlarni integrallash usuli. o'n bir

6Irratsional ifodalarni integrallash 12

6.1Trigonometrik ifodalarni integrallash 14

1. Anti hosila va noaniq integral

Differensial tenglamani yeching

oraliqda, ya'ni. shunday funksiya toping. Chunki (1) tenglamani differentsiallarda qayta yozish mumkin:

Bunday tenglamaning har qanday yechimi antiderivativ funktsiya deyiladi. Shunday qilib, funktsiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya barcha uchun agar interval bo'yicha. Holatlar va/yoki istisno qilinmaydi. Aniqki, agar antiderivativ bo'lsa, unda antiderivativ ham. Bizning vazifamiz (1) tenglamaning barcha yechimlarini topishdir. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi (1) tenglamaning umumiy yechimi yoki boshqacha qilib aytganda, noaniq integral funktsiyani bajaradi, agar biron-bir raqamni almashtirganda, biz (1) tenglamaning ma'lum bir yechimini olsak va (1) tenglamaning har qanday maxsus yechimi shu tarzda olinadi.

Noaniq integral bilan belgilanadi. Funktsiya integrand, differentsial integrand deb ataladi va integralning belgisidir (cho'zilgan lotin S harfi, Sum so'zining birinchi harfi yig'indi). Antiderivativ va noaniq integralning mavjudligi haqida savol tug'iladi. "Aniq integral" bo'limida, § Nyuton-Leybnits formulasida uzluksiz funktsiyaning anti hosilasi doimo mavjud ekanligi isbotlanadi.

Lemma.Hamma uchun bir xil bo'lsin. Keyin bu oraliqda doimiy bo'ladi.

Isbot. Har qanday nuqtani belgilaymiz. Keling, ixtiyoriy nuqtani olaylik va farqga Lagrange teoremasini qo'llaymiz: bir nuqta uchun. Demak, lemma isbotlangan.□

Antiderivativlar haqidagi teorema. Intervalda aniqlangan bir xil funktsiyaning ikkita antiderivativi doimiy bilan farqlanadi.

Isbot. Qarama-qarshi hosila funksiyalari bo'lsin va bo'lsin. Keyin qayerdan, lemma bo'yicha -- doimiy. Binobarin, . □

Natija. Agar funktsiyaning anti hosilasi bo'lsa, u holda .

E'tibor bering, agar biz ODZ funktsiyasi sifatida intervalni emas, balki, masalan, ikkita intervalning birlashuvi kabi ajratilgan to'plamni olsak. , keyin shaklning har qanday funktsiyasi

nol hosilasiga ega va shuning uchun lemma va antiderivativ teorema bu holda haqiqat bo'lishni to'xtatadi.

1. Noaniq integralning eng oddiy xossalari.

1. Yig‘indining integrali integrallar yig‘indisiga teng:

2. Konstantani integral belgisidan chiqarish mumkin:

3. Integralning hosilasi integralga teng.

4. Integraldan differensial integralga teng.

5. (O'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishi) Agar , keyin (Bu yerga ).

Asosiy integrallar jadvali

Ayniqsa,

Istisno holatlar uchun bizda:

1. Integrallarning qo'shimcha jadvali

1. Noaniq integralda o'zgaruvchining o'zgarishi

Keling, noaniq integralning ta'rifini umumiy holatga kengaytiraylik: ta'rif bo'yicha faraz qilamiz. Shunday qilib, masalan

Teorema. Differensiallanuvchi funksiya bo'lsin. Keyin

Isbot. Mayli . Keyin

isbotlanishi kerak edi.□

O'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishini olganimizda (5-xususiyat, §1-ga qarang). (1) formulani "chapdan o'ngga" qo'llash o'zgaruvchining o'zgarishini anglatadi. (1) formulani teskari yo'nalishda "o'ngdan chapga" qo'llash differentsial belgi ostida kiritish deb ataladi.

Misollar. LEKIN.

1. Numeratorda kvadrat trinomning hosilasini tanlaymiz:

3. (2) dagi birinchi integralni hisoblash uchun differentsial belgisi ostidagi yozuvdan foydalanamiz:

Ikkinchi integralni hisoblash uchun kvadrat trinomialda to'liq kvadratni tanlaymiz va uni o'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishi bilan jadvalga keltiramiz.

Shaklning integrallari

Misollar

1. Noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash

Teorema. Differensiallanuvchi funktsiyalar uchun va bizda munosabat mavjud

Isbot. Formulaning chap va o'ng tomonlarini birlashtirish , biz olamiz:

Chunki va ta'rifi bo'yicha (1) formuladan keyin keladi.□

Misol.

Bunday funksiyalarni integrallash uchun ko‘phadni differensial belgisi ostiga qo‘yamiz va qismlar bo‘yicha integrallash formulasini qo‘llaymiz. Jarayon k marta takrorlanadi.

Misol.

1. Ratsional kasrlarni integrallash

Ratsional kasr shaklning funksiyasi deyiladi, bu erda ko'phadlar. Agar bo'lsa, ratsional kasr deyiladi to'g'ri. Aks holda, u deyiladi noto'g'ri.

Quyidagi ratsional kasrlar eng oddiy kasrlar deyiladi

(2-toifa)

(3-tur)

(4 turdagi) ,

Teorema 1. Har qanday kasrni ko'phad va to'g'ri ratsional kasr yig'indisiga ajratish mumkin.

Isbot. Noto'g'ri ratsional kasr bo'lsin. Numeratorni qoldiq bilan maxrajga bo'ling: Bu erda ko'phadlar va keyin

Kasr tengsizlik tufayli to'g'ri. □

Teorema 2. Har qanday to'g'ri ratsional kasrni eng oddiylar yig'indisiga ajratish mumkin.

Dekompozitsiya algoritmi.

a) To'g'ri kasrning maxrajini qaytarilmas ko'phadlar ko'paytmasiga kengaytiramiz (manfiy diskriminantli chiziqli va kvadrat):

Bu yerda va -- mos keladigan ildizlarning ko'pligi.

b) Kasrni quyidagi printsiplarga ko'ra noaniq koeffitsientli eng oddiylar yig'indisiga ajratamiz:

Biz buni har bir chiziqli omil va har bir kvadratik omil uchun qilamiz.

v) Olingan kengayish umumiy maxrajga ko'paytirilib, chap va o'ng qismlari bir xil bo'lishi shartidan noaniq koeffitsientlar topiladi. Ikki usulning kombinatsiyasi bilan ishlash

??? - algoritmni asoslash

Misollar. A. Parchalanish eng oddiylari yig'indisida

Demak, bundan kelib chiqadi. Ushbu nisbatni almashtirsak, biz darhol topamiz. Shunday qilib

B. Ratsional kasrni kengaytiring eng oddiylari yig'indisida. Ushbu kasrning noaniq koeffitsientlar bilan kengayishi shaklga ega

Umumiy maxrajga ko'paytirib, biz nisbatni olamiz

Bu erda o'rniga, biz qaerda topamiz. O'rnini bosgan holda topamiz . da koeffitsientlarni tenglashtirib, sistemani olamiz

Bu yerdan va . Oxirgi sistemaning tengliklarini qo'shib, va ni olamiz. Keyin va

Binobarin,

//**/ Vazifa. A misol natijasini umumlashtiring va tenglikni isbotlang

1. 4-turdagi eng oddiy kasrlarni integrallash usuli.

a) maxrajning hosilasini payda ajratib, integralni kengaytiramiz. ikkita integral yig'indisiga.

b) Hosil bo'lgan integrallarning birinchisi differensial belgisi ostida kiritilgandan keyin jadvalga aylanadi.

c) Ikkinchi maxrajda to'liq kvadratni tanlang va hisobni shaklning integraliga kamaytiring. Ushbu integralga quyidagi rekursiv protsedurani qo'llaymiz

Oxirgi integralga qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llaymiz:

Shunday qilib, agar biz belgilasak , keyin

Bu boshlang'ich qiymat berilgan integrallarni hisoblash uchun rekursiv formuladir .

Misol

1. Irratsional ifodalarning integrasiyasi

Shaklning integrallari , bu yerda m/n,...,r/s umumiy maxraji k bo‘lgan ratsional sonlar o‘zgarishi bilan ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.

Keyin ratsional ifodalarning mohiyati, shuning uchun almashtirishdan keyin biz ratsional kasrning integralini olamiz:

Ushbu integralni hisoblash (4-bandga qarang) va teskari almashtirishni amalga oshirish, biz javobni olamiz.

Xuddi shunday, shaklning integrallari

Bu erda ad-bc≠ 0 va k yuqoridagi ma'noga ega bo'lib, ratsional kasrning integrallariga almashtiriladi.

Misollar. A. Integralni hisoblang

B. Integralni hisoblang

Xuddi shu funktsiya uchun integratsiyaning oddiy usuli (lekin taxmin qilishni talab qiladi):

1. Trigonometrik ifodalarni integrallash

Shaklning integrallari universal o'zgarish orqali ratsional funktsiyaning integrallariga keltiriladi

demak, ratsional ifodaning integralini olamiz

Maxsus holatlarda  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx va R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, mos ravishda almashtirishlardan foydalangan ma’qul. .

>> Integratsiya usullari

Integratsiyaning asosiy usullari

Integral, aniq va noaniq integralning ta'rifi, integrallar jadvali, Nyuton-Leybnits formulasi, qismlar bo'yicha integrallash, integrallarni hisoblash misollari.

Noaniq integral

Berilgan X oraliqda differentsiallanuvchi F(x) funksiya deyiladi funktsiya uchun antiderivativ f(x) yoki f(x) ning integrali, agar har qanday x ∈X uchun tenglik bajarilsa:

F "(x) = f(x). (8.1)

Berilgan funksiya uchun barcha antiderivativlarni topish uning deyiladi integratsiya. Funktsiyaning noaniq integrali f(x) berilgan oraliqda X - f(x) funksiya uchun barcha anti hosilalar to'plami; belgilash -

Agar F(x) f(x) funksiya uchun qandaydir antiderivativ bo'lsa, u holda ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

bu yerda C ixtiyoriy doimiydir.

Integrallar jadvali

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan biz noaniq integralning asosiy xususiyatlarini va jadval integrallari ro'yxatini olamiz:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Jadval integrallari ro'yxati

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=arcsin x + C

10.=-ctg x + C

O'zgaruvchan almashtirish

Ko'p funktsiyalarni birlashtirish uchun o'zgaruvchini o'zgartirish usuli qo'llaniladi yoki almashtirishlar, integrallarni jadval ko'rinishiga keltirish imkonini beradi.

Agar f(z) funksiya [a,b] da uzluksiz bo‘lsa, z =g(x) funksiya uzluksiz hosilaga va a ≤ g(x) ≤ b bo‘lsa, u holda

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Bundan tashqari, o'ng tomonda integrallashdan keyin z=g(x) almashtirishni amalga oshirish kerak.

Buni isbotlash uchun asl integralni quyidagi shaklda yozish kifoya.

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Masalan:

1)

2) .

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli

u = f(x) va v = g(x) funksiyalar uzluksiz bo'lsin. Keyin, ishlarga ko'ra,

d(uv))= udv + vdu yoki udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ifodasi uchun antiderivativ aniq uv bo'ladi, shuning uchun formula sodir bo'ladi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu formula qoidani ifodalaydi qismlar bo'yicha integratsiya. U udv=uv"dx ifodasining integrasiyasini vdu=vu"dx ifodasining integrasiyasiga olib keladi.

Masalan, ∫xcosx dx ni topish talab qilinsin. u = x, dv = cosxdx, shuning uchun du=dx, v=sinx. Keyin

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasi o'zgaruvchining o'zgarishiga qaraganda ancha cheklangan doiraga ega. Ammo integrallarning butun sinflari mavjud, masalan,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax va boshqalar bo‘laklar bo‘yicha integrallash yordamida aniq hisoblanadi.

Aniq integral

Aniq integral tushunchasi quyidagicha kiritiladi. F(x) funksiya intervalda aniqlansin. [a,b] segmentini ajratamiz n a= x 0 nuqtalar bo'yicha qismlar< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
D x i \u003d x i - x i-1. f(p i)D x i ko'rinishdagi yig'indisi deyiladi integral yig'indisi, va uning l = maxx i → 0 da chegarasi, agar u mavjud bo‘lsa va chekli bo‘lsa, deyiladi. aniq integral f(x) ning funksiyalari a oldin b va quyidagicha ifodalanadi:

F(p i)Dx i (8.5).

Bu holda f(x) funksiya chaqiriladi segmentga integrallash mumkin, a va b raqamlari chaqiriladi integralning pastki va yuqori chegarasi.

Aniq integral uchun quyidagi xossalar amal qiladi:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(p)(b-a) (l∈).

Oxirgi xususiyat deyiladi o'rtacha qiymat teoremasi.

f(x) da uzluksiz bo'lsin. Keyin bu segmentda noaniq integral mavjud

∫f(x)dx = F(x) + C

va sodir bo'ladi Nyuton-Leybnits formulasi, bu aniq integralni noaniq integral bilan bog'laydi:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrik talqin: aniq integral yuqoridan y=f(x) egri chizig'i, x = a va x = b to'g'ri chiziqlar va o'q segmenti bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydonidir. ho'kiz.

Noto'g'ri integrallar

Cheksiz chegarali integrallar va uzluksiz (cheklanmagan) funksiyalarning integrallari deyiladi. noto'g'ri. Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar - Bular cheksiz oraliqdagi integrallar bo'lib, quyidagicha aniqlanadi:

(8.7)

Agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, u deyiladi f(x) ning konvergent noto'g'ri integrali[a,+ ∞) oraliqda va f(x) funksiya chaqiriladi cheksiz intervalda integrallash mumkin[a,+ ∞). Aks holda, integral shunday deyiladi mavjud emas yoki farqlanadi.

(-∞,b] va (-∞, + ∞) oraliqlaridagi noto'g'ri integrallar xuddi shunday aniqlanadi:

Cheklanmagan funksiyaning integrali tushunchasini aniqlaymiz. Agar f(x) barcha qiymatlar uchun uzluksiz bo'lsa x segment , f(x) cheksiz uzilishga ega bo'lgan c nuqtadan tashqari, keyin ikkinchi turdagi noto'g'ri integrali f(x) a dan b gacha summa deb ataladi:

agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa. Belgilash:

Integrallarni hisoblashga misollar

3.30-misol.∫dx/(x+2) ni hisoblang.

Yechim. t = x+2, keyin dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31-misol. ∫ tgxdx ni toping.

Yechim.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx bo‘lsin, u holda ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Misol3.32 . ∫dx/sinx ni toping

Yechim.

Misol3.33. Toping.

Yechim. =

.

Misol3.34 . ∫arctgxdx ni toping.

Yechim. Biz qismlarga birlashamiz. u=arctgx, dv=dx deb belgilang. U holda du = dx/(x 2 +1), v=x, qaerdan ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; chunki
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Misol3.35 . ∫lnxdx ni hisoblang.

Yechim. Qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Keyin ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Misol3.36 . ∫e x sinxdx ni hisoblang.

Yechim. u = e x , dv = sinxdx, keyin du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx ni belgilang. ∫e x cosxdx integrali ham qismlarga integrallanadi: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Bizda ... bor:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Biz ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx munosabatini oldik, bundan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Misol 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x ni hisoblang.

Yechim. Chunki dx/x = dlnx, u holda J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnx ni t ga almashtirsak, J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C integrali jadvaliga kelamiz.

Misol 3.38 . J = ni hisoblang.

Yechim.= d(lnx) ekanligini hisobga olib, lnx = t almashtirishni qilamiz. Keyin J = .