Numerator va u bo'linadigan narsa maxrajdir.

Kasrni yozish uchun avval uning numeratorini yozing, so'ngra shu sonning ostiga gorizontal chiziq o'tkazing va chiziq ostiga maxrajni yozing. Numerator va maxrajni ajratib turuvchi gorizontal chiziq kasr satri deyiladi. Ba'zan u qiya "/" yoki "∕" sifatida tasvirlangan. Bunda hisob satrning chap tomoniga, maxraj esa o'ng tomoniga yoziladi. Shunday qilib, masalan, "uchdan ikki" kasr 2/3 sifatida yoziladi. Aniqlik uchun hisoblagich odatda satrning yuqori qismida yoziladi va maxraj pastki qismida, ya'ni 2/3 o'rniga quyidagini topishingiz mumkin: ⅔.

Kasrlar ko'paytmasini hisoblash uchun birinchi navbatda bittaning payini ko'paytiring kasrlar boshqa numeratorga. Natijani yangining numeratoriga yozing kasrlar. Keyin maxrajlarni ham ko'paytiring. Yakuniy qiymatni yangida belgilang kasrlar. Masalan, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Bir kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun birinchisining soni ikkinchisining maxrajiga ko'paytiriladi. Ikkinchi kasr (bo'luvchi) bilan ham xuddi shunday qiling. Yoki, barcha amallarni bajarishdan oldin, birinchi navbatda, bo'linuvchini "aylantiring", agar siz uchun qulayroq bo'lsa: denominator hisoblagich o'rnida bo'lishi kerak. Keyin dividendning maxrajini bo'luvchining yangi maxrajiga ko'paytiring va sonlarni ko'paytiring. Masalan, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Manbalar:

• Kasrlar uchun asosiy vazifalar

Kasr sonlar miqdorning aniq qiymatini turli usullar bilan ifodalash imkonini beradi. Kasrlar yordamida siz butun sonlar bilan bir xil matematik amallarni bajarishingiz mumkin: ayirish, qo'shish, ko'paytirish va bo'lish. Qanday qaror qilishni o'rganish uchun kasrlar, ularning ba'zi xususiyatlarini esga olish kerak. Ular turiga bog'liq kasrlar, butun qismning, umumiy maxrajning mavjudligi. Ba'zi arifmetik amallar bajarilgandan keyin natijaning kasr qismini qisqartirishni talab qiladi.

Sizga kerak bo'ladi

• - kalkulyator

Ko'rsatma

Raqamlarga diqqat bilan qarang. Agar kasrlar orasida o'nlik va tartibsizliklar bo'lsa, ba'zan birinchi navbatda o'nli kasrlar bilan amallarni bajarish, keyin ularni noto'g'ri shaklga o'tkazish qulayroqdir. Tarjima qila olasizmi kasrlar bu shaklda dastlab, sondagi kasrdan keyin qiymatni yozib, maxrajga 10 qo'yish. Agar kerak bo'lsa, yuqoridagi va pastdagi raqamlarni bitta bo'linuvchiga bo'lish orqali kasrni kamaytiring. Butun qismi ajralib turadigan kasrlar, uni maxrajga ko'paytirish va natijaga hisoblagichni qo'shish orqali noto'g'ri shaklga olib keladi. Bu qiymat yangi numeratorga aylanadi kasrlar. Dastlabki noto'g'ri qismdan butun qismni ajratib olish uchun kasrlar, sonni maxrajga bo'ling. dan butun natijani yozing kasrlar. Bo'linishning qolgan qismi esa yangi son, maxrajga aylanadi kasrlar o'zgarmagan holda. Butun qismli kasrlar uchun avval butun son, keyin esa kasr qismlari uchun amallarni alohida bajarish mumkin. Masalan, 1 2/3 va 2 ¾ yig'indisini hisoblash mumkin:
- Kasrlarni noto'g'ri shaklga o'tkazish:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- atamalarning butun va kasr qismlarini alohida yig‘indisi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Ularni ajratuvchi ":" orqali qayta yozing va odatdagi bo'linishni davom eting.

Yakuniy natijani olish uchun, hisoblagich va maxrajni bitta butun songa bo'lish orqali hosil bo'lgan kasrni kamaytiring, bu holda mumkin bo'lgan eng katta. Bunday holda, chiziq ustida va ostida butun sonlar bo'lishi kerak.

Eslatma

Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bilan arifmetika qilmang. Shunday raqam tanlangki, har bir kasrning soni va maxraji unga ko'paytirilganda, natijada ikkala kasrning maxrajlari teng bo'ladi.

Foydali maslahat

Kasr sonlarni yozishda dividend satr tepasida yoziladi. Bu miqdor kasrning numeratori deb ataladi. Chiziq ostida kasrning bo'luvchisi yoki maxraji yoziladi. Masalan, kasr shaklida bir yarim kilogramm guruch quyidagicha yoziladi: 1 ½ kg guruch. Agar kasrning maxraji 10 ga teng bo'lsa, u o'nli kasr deyiladi. Bunday holda, numerator (dividend) vergul bilan ajratilgan butun qismning o'ng tomoniga yoziladi: 1,5 kg guruch. Hisob-kitoblarning qulayligi uchun bunday kasr har doim noto'g'ri shaklda yozilishi mumkin: 1 2/10 kg kartoshka. Soddalashtirish uchun siz hisoblagich va maxraj qiymatlarini bitta butun songa bo'lish orqali kamaytirishingiz mumkin. Bu misolda 2 ga bo'lish mumkin.Natijada 1 1/5 kg kartoshka olinadi. Arifmetikani amalga oshiradigan raqamlar bir xil shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling.

Farzandingiz maktabdan uy vazifasini olib keldi va siz uni qanday hal qilishni bilmayapsizmi? Unda ushbu mini darslik siz uchun!

O'nli kasrlarni qanday qo'shish kerak

O'nli kasrlarni ustunga qo'shish qulayroqdir. O'nli kasrlarni qo'shish uchun siz bitta oddiy qoidaga amal qilishingiz kerak:

• Raqam raqam ostida, vergul esa vergul ostida bo'lishi kerak.

Misolda ko'rib turganingizdek, butun birliklar bir-birining ostida, o'ninchi va yuzlik birliklari bir-birining ostida joylashgan. Endi biz vergulni e'tiborsiz qoldirib, raqamlarni qo'shamiz. Vergul bilan nima qilish kerak? Vergul butun sonlarni chiqarishda turgan joyiga o'tkaziladi.

Maxrajlari teng bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

Umumiy maxraj bilan qo'shishni amalga oshirish uchun siz maxrajni o'zgarmagan holda saqlashingiz, sonlarning yig'indisini topib, jami yig'indi bo'ladigan kasrni olishingiz kerak.

Umumiy karrali topib, maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa - bu denominatorlar. Maxrajlar har xil, biri ikkinchisiga bo'linadimi, xoh tub sonlar bo'ladimi. Avval siz bitta umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, buni qilishning bir necha yo'li mavjud:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu misolni hal qilish uchun biz 2 maxrajga bo'linadigan eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishimiz kerak. a va b ning eng kichik karralini belgilash uchun - LCM (a; b). Bu misolda LCM (3;4)=12. Tekshirish: 12:3=4; 12:4=3.
• Biz omillarni ko'paytiramiz va natijada olingan raqamlarni qo'shishni amalga oshiramiz, biz 13/12 - noto'g'ri kasrni olamiz.

• Noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga o'tkazish uchun payni maxrajga bo'lamiz, butun son 1 ni olamiz, qolgan 1 - son va 12 - maxraj.

O'zaro ko'paytirish yordamida kasrlarni qo'shish

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun "o'zaro o'zaro faoliyat" formulasiga ko'ra boshqa usul mavjud. Bu maxrajlarni tenglashtirishning kafolatlangan usuli, buning uchun siz hisoblagichlarni bir kasrning maxraji bilan ko'paytirishingiz kerak va aksincha. Agar siz kasrlarni o'rganishning dastlabki bosqichida bo'lsangiz, unda bu usul turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishda to'g'ri natijaga erishishning eng oson va eng aniq usuli hisoblanadi.

§ 87. Kasrlarni qo‘shish.

Kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan juda ko'p o'xshashliklarga ega. Kasrlarni qo'shish - bu bir nechta berilgan sonlarni (a'zolarni) had birliklarining barcha birliklari va kasrlarini o'z ichiga olgan bitta songa (yig'indiga) birlashtirishdan iborat bo'lgan harakatdir.

Biz navbatma-navbat uchta holatni ko'rib chiqamiz:

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
3. Aralash sonlarni qo`shish.

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish.

Misolni ko'rib chiqing: 1/5 + 2/5 .

AB segmentini oling (17-rasm), uni birlik sifatida oling va uni 5 ta teng qismga bo'ling, keyin bu segmentning AC qismi AB segmentining 1/5 qismiga va xuddi shu segment CD qismiga teng bo'ladi. 2/5 AB ga teng bo'ladi.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, agar AD segmentini olsak, u holda u 3/5 AB ga teng bo'ladi; lekin AD segmenti aynan AC va CD segmentlarining yig'indisidir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu shartlar va hosil bo’lgan miqdorni hisobga olsak, yig’indining numeratori hadlarning sanoqlarini qo’shish orqali olinganini, maxraji esa o’zgarishsiz qolganini ko’ramiz.

Bundan quyidagi qoidani olamiz: Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

Bir misolni ko'rib chiqing:

2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.

Kasrlarni qo'shamiz: 3/4 + 3/8 Avval ularni eng kichik umumiy maxrajga qisqartirish kerak:

6/8 + 3/8 oraliq havolani yozish mumkin emas edi; Biz buni aniqroq qilish uchun bu erda yozdik.

Shunday qilib, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga olib kelish, ularning sonlarini qo'shish va umumiy maxrajga imzo qo'yish kerak.

Misolni ko'rib chiqing (tegishli kasrlar ustiga qo'shimcha omillarni yozamiz):

3. Aralash sonlarni qo`shish.

Keling, raqamlarni qo'shamiz: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Keling, avval raqamlarimizning kasr qismlarini umumiy maxrajga keltiramiz va ularni qayta yozamiz:

Endi butun va kasr qismlarni ketma-ket qo'shing:

§ 88. Kasrlarni ayirish.

Kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Bu ikki a'zo va ulardan biri yig'indisi berilganda, boshqa muddat topiladigan harakatdir. Keling, uchta holatni navbat bilan ko'rib chiqaylik:

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
2. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
3. Aralash sonlarni ayirish.

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.

Bir misolni ko'rib chiqing:

13 / 15 - 4 / 15

AB segmentini olaylik (18-rasm), uni birlik sifatida qabul qilamiz va uni 15 ta teng qismga ajratamiz; u holda bu segmentning AC qismi AB ning 1/15 qismini tashkil qiladi va bir xil segmentning AD qismi 13/15 AB ga to'g'ri keladi. Keling, 4/15 AB ga teng bo'lgan boshqa ED segmentini ajratamiz.

13/15 dan 4/15ni ayirishimiz kerak. Chizmada bu AD segmentidan ED segmentini olib tashlash kerakligini anglatadi. Natijada, AE segmenti qoladi, bu AB segmentining 9/15 qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

Biz keltirgan misol shuni ko'rsatadiki, ayirmaning payi sanoqlarni ayirish yo'li bilan olingan, maxraj esa o'zgarishsiz qolgan.

Demak, bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ayirmaning ayirish qismidan ayirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

2. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.

Misol. 3/4 - 5/8

Birinchidan, bu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:

Oraliq havola 6/8 - 5/8 bu erda aniqlik uchun yozilgan, ammo kelajakda uni o'tkazib yuborish mumkin.

Shunday qilib, kasrdan kasrni ayirish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak, keyin ayirmaning ayirma sonini ayirma qismidan ayirish va ularning ayirmasi ostidagi umumiy maxrajga belgi qo‘yish kerak.

Bir misolni ko'rib chiqing:

3. Aralash sonlarni ayirish.

Misol. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuend va ayirishning kasr qismlarini eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:

Butundan butunni, kasrdan kasrni ayirdik. Ammo ayirishning kasr qismi minuendning kasr qismidan katta bo'lgan holatlar mavjud. Bunday hollarda siz qisqartirilganning butun qismidan bitta birlik olishingiz, uni kasr qismi ifodalangan qismlarga bo'lishingiz va qisqartirilganning kasr qismiga qo'shishingiz kerak. Va keyin ayirish avvalgi misoldagi kabi amalga oshiriladi:

§ 89. Kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirishni o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
2. Berilgan sonning kasr qismini topish.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
4. Kasrni kasrga ko'paytirish.
5. Aralash sonlarni ko`paytirish.
6. Qiziqish tushunchasi.
7. Berilgan sonning foizlarini topish. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.

Kasrni butun songa ko'paytirish butun sonni butun songa ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega. Kasrni (ko'paytmani) butun songa (ko'paytiruvchiga) ko'paytirish deganda har bir a'zo ko'paytmaga, hadlar soni esa ko'paytiruvchiga teng bo'lgan bir xil hadlar yig'indisini tuzishni anglatadi.

Shunday qilib, agar siz 1/9 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, buni shunday qilish mumkin:

Natijani osonlik bilan oldik, chunki amal bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qisqartirildi. Demak,

Ushbu harakatni ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrni butun sonda qancha birliklar bo'lsa, shuncha ko'paytirishga teng. Va kasrning o'sishiga uning numeratorini oshirish orqali erishiladi

yoki uning maxrajini kamaytirish orqali , u holda biz sonni butun songa ko'paytirishimiz yoki maxrajni unga bo'lishimiz mumkin, agar bunday bo'linish mumkin bo'lsa.

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Kasrni butun songa ko‘paytirish uchun payni shu butun songa ko‘paytirish va bir xil maxrajni qoldirish yoki iloji bo‘lsa, maxrajni shu songa bo‘lish, hisobni o‘zgarishsiz qoldirish kerak.

Ko'paytirishda qisqartmalar mumkin, masalan:

2. Berilgan sonning kasr qismini topish. Berilgan raqamning bir qismini topish yoki hisoblash kerak bo'lgan ko'plab muammolar mavjud. Bu vazifalarning boshqalardan farqi shundaki, ular ba'zi ob'ektlar yoki o'lchov birliklarining sonini beradi va siz bu raqamning bir qismini topishingiz kerak, bu ham bu erda ma'lum bir qism bilan ko'rsatilgan. Tushunishni osonlashtirish uchun biz birinchi navbatda bunday muammolarga misollar keltiramiz, so'ngra ularni hal qilish usuli bilan tanishamiz.

Vazifa 1. Menda 60 rubl bor edi; Bu pulning 1/3 qismini kitob sotib olishga sarfladim. Kitoblar qancha turadi?

Vazifa 2. Poyezd A va B shaharlari orasidagi 300 km ga teng masofani bosib o‘tishi kerak. U allaqachon bu masofaning 2/3 qismini bosib o'tgan. Bu necha kilometr?

Vazifa 3. Qishloqda 400 ta uy bor, ularning 3/4 qismi gʻisht, qolgani yogʻoch. Qancha g'ishtli uy bor?

Berilgan sonning bir qismini topish uchun biz ko'p muammolarni hal qilishimiz kerak. Ular odatda berilgan sonning bir qismini topishga oid masalalar deb ataladi.

1- masala yechimi. 60 rubldan. Men 1/3 qismini kitoblarga sarfladim; Shunday qilib, kitoblarning narxini topish uchun siz 60 raqamini 3 ga bo'lishingiz kerak:

2-muammo yechimi. Muammoning ma'nosi shundaki, siz 300 km ning 2/3 qismini topishingiz kerak. 300 ning birinchi 1/3 qismini hisoblang; Bunga 300 km ni 3 ga bo'lish orqali erishiladi:

300: 3 = 100 (bu 300 ning 1/3 qismi).

300 ning 2/3 qismini topish uchun hosil bo'lgan koeffitsientni ikki barobarga oshirish kerak, ya'ni 2 ga ko'paytirish kerak:

100 x 2 = 200 (bu 300 ning 2/3 qismi).

3-masala yechimi. Bu erda siz 400 ning 3/4 qismini tashkil etadigan g'ishtli uylar sonini aniqlashingiz kerak. Keling, birinchi navbatda 400 ning 1/4 qismini topamiz,

400: 4 = 100 (bu 400 ning 1/4 qismi).

400 ning to'rtdan uch qismini hisoblash uchun olingan koeffitsientni uch marta, ya'ni 3 ga ko'paytirish kerak:

100 x 3 = 300 (bu 400 ning 3/4 qismi).

Ushbu muammolarni hal qilish asosida biz quyidagi qoidani olishimiz mumkin:

Berilgan sonning bir qismining qiymatini topish uchun bu sonni kasrning maxrajiga bo'lish va hosil bo'lgan qismni uning soniga ko'paytirish kerak.

3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.

Ilgari (§ 26) butun sonlarni ko'paytirish deganda bir xil atamalarni qo'shish (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) tushunilishi kerakligi aniqlangan. Ushbu bandda (1-band) kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrga teng bir xil hadlar yig'indisini topishni anglatishi aniqlandi.

Ikkala holatda ham ko'paytirish bir xil atamalar yig'indisini topishdan iborat edi.

Endi biz butun sonni kasrga ko'paytirishga o'tamiz. Bu erda biz, masalan, ko'paytirish bilan uchrashamiz: 9 2/3. Ko'paytirishning oldingi ta'rifi bu holatga taalluqli emasligi aniq. Bu shuni ko'rsatadiki, biz bunday ko'paytirishni teng sonlarni qo'shish bilan almashtira olmaymiz.

Shu sababli biz ko'paytirishning yangi ta'rifini berishimiz kerak bo'ladi, ya'ni kasrga ko'paytirish orqali nimani tushunish kerak, bu harakatni qanday tushunish kerak degan savolga javob berish kerak.

Butun sonni kasrga ko'paytirishning ma'nosi quyidagi ta'rifdan aniq bo'ladi: butun sonni (ko‘paytiruvchini) kasrga (ko‘paytiruvchi) ko‘paytirish ko‘paytiruvchining shu qismini topishni anglatadi.

Ya'ni, 9 ni 2/3 ga ko'paytirish to'qqiz birlikning 2/3 qismini topishni anglatadi. Oldingi paragrafda bunday muammolar hal qilindi; shuning uchun biz 6 bilan yakunlanganimizni aniqlash oson.

Ammo endi qiziqarli va muhim savol tug'iladi: nega teng sonlar yig'indisini topish va sonning ulushini topish kabi bir xil ko'rinadigan amallar arifmetikada bir xil "ko'paytirish" so'zi deb ataladi?

Buning sababi, oldingi harakat (sonni shartlar bilan bir necha marta takrorlash) va yangi harakat (sonning ulushini topish) bir hil savollarga javob beradi. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda bir xil savollar yoki vazifalar bir xil harakat bilan hal qilinadi degan mulohazalardan kelib chiqamiz.

Buni tushunish uchun quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 4 metri qancha turadi?

Bu muammo rubl (50) sonini hisoblagichlar soniga (4), ya'ni 50 x 4 = 200 (rubl) ko'paytirish orqali hal qilinadi.

Xuddi shu masalani olaylik, lekin unda mato miqdori kasr son sifatida ifodalanadi: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 3/4 m qancha turadi?

Bu muammoni ham rubl sonini (50) metrlar soniga (3/4) ko'paytirish orqali hal qilish kerak.

Shuningdek, siz undagi raqamlarni muammoning ma'nosini o'zgartirmasdan bir necha marta o'zgartirishingiz mumkin, masalan, 9/10 m yoki 2 3/10 m va hokazolarni oling.

Bu masalalar bir xil mazmunga ega bo'lganligi va faqat son jihatidan farq qilganligi sababli, ularni yechishda qo'llaniladigan amallarni bir xil so'z - ko'paytirish deb ataymiz.

Butun son kasrga qanday ko'paytiriladi?

Keling, oxirgi muammoda duch kelgan raqamlarni olaylik:

Ta'rifga ko'ra, biz 50 ning 3/4 qismini topishimiz kerak. Avval biz 50 ning 1/4 qismini, keyin esa 3/4 ni topamiz.

50 ning 1/4 qismi 50/4;

50 ning 3/4 qismi.

Shuning uchun.

Yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 12 5/8 =?

12 ning 1/8 qismi 12/8,

12 sonining 5/8 qismi .

Demak,

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning soniga ko'paytirish va bu ko'paytmani songa aylantirish va berilgan kasrning maxrajini maxraj sifatida belgilash kerak.

Ushbu qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani aniq tushunish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini yodda tutish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga ko'paytirish qoidasi bilan solishtirish foydalidir.

Shuni esda tutish kerakki, ko'paytirishni amalga oshirishdan oldin siz (iloji bo'lsa) qilishingiz kerak. kesiklar, Misol uchun:

4. Kasrni kasrga ko'paytirish. Kasrni kasrga ko'paytirish butun sonni kasrga ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega, ya'ni kasrni kasrga ko'paytirishda birinchi kasrdan (ko'paytiruvchi) ko'paytiruvchidagi kasrni topish kerak.

Ya'ni, 3/4 ni 1/2 (yarim) ga ko'paytirish 3/4 ning yarmini topishni anglatadi.

Kasrni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?

Misol keltiraylik: 3/4 marta 5/7. Bu siz 3/4 dan 5/7 ni topishingiz kerak degan ma'noni anglatadi. Avval 3/4 ning 1/7 qismini, keyin esa 5/7 qismini toping

3/4 ning 1/7 qismi quyidagicha ifodalanadi:

5/7 raqamlari 3/4 quyidagicha ifodalanadi:

Shunday qilib,

Yana bir misol: 5/8 marta 4/9.

5/8 ning 1/9 qismi,

4/9 raqamlari 5/8.

Shunday qilib,

Ushbu misollardan quyidagi qoidani chiqarish mumkin:

Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa ko‘paytiruvchiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani ayiruvchi, ikkinchi ko‘paytmani esa ko‘paytiruvchi qilish kerak.

Ushbu qoidani umumiy tarzda quyidagicha yozish mumkin:

Ko'paytirishda (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar qilish kerak. Misollarni ko'rib chiqing:

5. Aralash sonlarni ko`paytirish. Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlar bilan osongina almashtirish mumkinligi sababli, bu holat odatda aralash raqamlarni ko'paytirishda qo'llaniladi. Bu shuni anglatadiki, ko'paytiruvchi yoki ko'paytiruvchi yoki ikkala omil aralash sonlar sifatida ifodalangan hollarda, ular noto'g'ri kasrlar bilan almashtiriladi. Masalan, aralash raqamlarni ko'paytiring: 2 1/2 va 3 1/5. Biz ularning har birini noto'g'ri kasrga aylantiramiz va keyin hosil bo'lgan kasrlarni kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytiramiz:

Qoida. Aralash sonlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak, keyin esa kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytirishingiz kerak.

Eslatma. Agar omillardan biri butun son bo'lsa, ko'paytirishni taqsimlash qonuni asosida quyidagicha bajarish mumkin:

6. Qiziqish tushunchasi. Muammolarni echishda va turli xil amaliy hisob-kitoblarni bajarishda biz barcha turdagi kasrlardan foydalanamiz. Ammo shuni yodda tutish kerakki, ko'p miqdorlar ular uchun hech qanday emas, balki tabiiy bo'linmalarni tan oladi. Misol uchun, siz rublning yuzdan bir qismini (1/100) olishingiz mumkin, u bir tiyin bo'ladi, ikki yuzinchi 2 tiyin, uch yuzdan biri 3 tiyin. Siz rublning 1/10 qismini olishingiz mumkin, u "10 tiyin yoki bir tiyin bo'ladi. Siz rublning chorak qismini, ya'ni 25 kopekni, yarim rublni, ya'ni 50 kopekni (ellik kopek) olishingiz mumkin. Lekin ular amalda yo'q. Masalan, 2/7 rublni olmang, chunki rubl ettinchi qismga bo'linmaydi.

Og'irlikning o'lchov birligi, ya'ni kilogramm, birinchi navbatda, o'nli bo'linmalarga imkon beradi, masalan, 1/10 kg yoki 100 g. Va kilogrammning 1/6, 1/11, 1 kabi kasrlari. /13 kam uchraydi.

Umuman olganda, bizning (metrik) o'lchovlarimiz o'nlik va o'nlik bo'linmalarga ruxsat beradi.

Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, kattaliklarni bo'linishning bir xil (bir xil) usulini qo'llash turli xil holatlarda juda foydali va qulaydir. Ko'p yillik tajriba shuni ko'rsatdiki, bunday asosli bo'linish "yuzlik" bo'limidir. Keling, inson amaliyotining eng xilma-xil sohalariga oid bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12/100 ga arzonlashgan.

Misol. Kitobning oldingi narxi - 10 rubl. U 1 rublga tushdi. 20 kop.

2. Omonat kassalari yil davomida omonatchilarga omonatga qo'yilgan summaning 2/100 qismini to'laydi.

Misol. Kassaga 500 rubl qo'yiladi, bu summadan yil uchun daromad 10 rublni tashkil qiladi.

3. Bitta maktab bitiruvchilari umumiy o‘quvchilar sonining 5/100 qismini tashkil etdi.

MISOL Maktabda bor-yo‘g‘i 1200 nafar o‘quvchi tahsil olgan, ulardan 60 nafari maktabni tamomlagan.

Sonning yuzdan bir qismi foiz deb ataladi..

"Foiz" so'zi lotin tilidan olingan bo'lib, uning o'zagi "tsent" yuz degan ma'noni anglatadi. Bu so'z predlog (pro centum) bilan birgalikda "yuz uchun" degan ma'noni anglatadi. Ushbu iboraning ma'nosi shundan kelib chiqadiki, dastlab qadimgi Rimda foizlar qarzdorning qarz beruvchiga "har bir yuz uchun" to'lagan pullari bo'lgan. "Sent" so'zi shunday tanish so'zlarda eshitiladi: sentner (yuz kilogramm), santimetr (santimetr deyishadi).

Misol uchun, zavod o'tgan oyda ishlab chiqarilgan barcha mahsulotlarning 1/100 qismini ishlab chiqardi, deyish o'rniga, biz buni aytamiz: zavod o'tgan oy davomida rad etilganlarning bir foizini ishlab chiqargan. Zavod belgilangan rejadan 4/100 ko'p mahsulot ishlab chiqardi, deyish o'rniga: zavod rejani 4 foizga ortig'i bilan bajardi, deymiz.

Yuqoridagi misollarni boshqacha ifodalash mumkin:

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12 foizga arzonlashdi.

2. Omonat kassalari omonatchilarga omonatga qo'yilgan summaning yiliga 2 foizi miqdorida to'laydi.

3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni maktabdagi barcha o‘quvchilar sonining 5 foizini tashkil etdi.

Harfni qisqartirish uchun "foiz" so'zi o'rniga% belgisini yozish odatiy holdir.

Ammo shuni esda tutish kerakki, % belgisi odatda hisob-kitoblarda yozilmaydi, uni muammo bayonida va yakuniy natijada yozish mumkin. Hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, ushbu belgi bilan butun son o'rniga 100 ga teng bo'lgan kasrni yozishingiz kerak.

Belgilangan belgi bilan butun sonni maxraji 100 bo'lgan kasr bilan almashtira olishingiz kerak:

Aksincha, siz maxraji 100 bo'lgan kasr o'rniga ko'rsatilgan belgi bilan butun son yozishga odatlanishingiz kerak:

7. Berilgan sonning foizlarini topish.

Vazifa 1. Maktab 200 kubometr oldi. m o'tin, qayin o'tinlari 30% ni tashkil qiladi. Qancha qayin daraxti bor edi?

Bu muammoning ma'nosi shundaki, qayin o'tinlari maktabga etkazib beriladigan o'tinning faqat bir qismi edi va bu qism 30/100 ning bir qismi sifatida ifodalanadi. Demak, oldimizda sonning kasr qismini topish vazifasi turibdi. Uni hal qilish uchun biz 200 ni 30/100 ga ko'paytirishimiz kerak (sonning ulushini topish vazifalari sonni kasrga ko'paytirish orqali hal qilinadi).

Demak, 200 dan 30% 60 ga teng.

Bu muammoda uchragan 30/100 kasrni 10 ga kamaytirish mumkin. Bu qisqartirishni boshidanoq amalga oshirish mumkin edi; muammoning yechimi o'zgarmas edi.

Vazifa 2. Oromgohda turli yoshdagi 300 nafar bola bor edi. 11 yoshli bolalar 21%, 12 yoshli bolalar 61% va nihoyat 13 yoshli bolalar 18% edi. Lagerda har bir yoshdagi nechta bola bor edi?

Ushbu muammoda siz uchta hisob-kitobni bajarishingiz kerak, ya'ni ketma-ket 11 yoshli, keyin 12 yoshli va nihoyat 13 yoshli bolalar sonini toping.

Demak, bu erda sonning kasr qismini uch marta topish kerak bo'ladi. Qani buni bajaraylik:

1) 11 yoshda nechta bola bor edi?

2) 12 yoshda nechta bola bor edi?

3) 13 yoshda nechta bola bor edi?

Muammoni hal qilgandan so'ng, topilgan raqamlarni qo'shish foydalidir; ularning yig'indisi 300 bo'lishi kerak:

63 + 183 + 54 = 300

Muammoning shartida berilgan foizlar yig'indisi 100 ga teng ekanligiga ham e'tibor berishingiz kerak:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu shuni ko'rsatadiki, lagerdagi bolalarning umumiy soni 100% ni tashkil qiladi.

3 a da cha 3. Ishchi oyiga 1200 rubl oldi. Shulardan 65 foizini oziq-ovqatga, 6 foizini kvartira va isitishga, 4 foizini gaz, elektr va radioga, 10 foizini madaniy ehtiyojlarga, 15 foizini tejab qo‘ygan. Topshiriqda ko'rsatilgan ehtiyojlar uchun qancha mablag' sarflandi?

Bu masalani yechish uchun 1200 sonining kasrini 5 marta topish kerak, buni bajaramiz.

1) Oziq-ovqatga qancha pul sarflanadi? Vazifada aytilishicha, bu xarajat barcha daromadlarning 65% ni tashkil qiladi, ya'ni 1200 sonining 65/100. Keling, hisob-kitob qilaylik:

2) Isitish bilan jihozlangan kvartira uchun qancha pul to'langan? Avvalgi kabi bahslashsak, biz quyidagi hisob-kitoblarga erishamiz:

3) Gaz, elektr va radio uchun qancha pul to'lagansiz?

4) Madaniy ehtiyojlarga qancha pul sarflanadi?

5) Ishchi qancha pul tejagan?

Tasdiqlash uchun ushbu 5 ta savolda joylashgan raqamlarni qo'shish foydalidir. Miqdori 1200 rubl bo'lishi kerak. Barcha daromadlar 100% sifatida qabul qilinadi, bu muammo bayonotida ko'rsatilgan foizlarni qo'shib tekshirish oson.

Biz uchta muammoni hal qildik. Bu vazifalar har xil narsalar (maktab uchun o'tin yetkazib berish, turli yoshdagi bolalar soni, ishchining xarajatlari) haqida bo'lishiga qaramay, ular bir xil tarzda hal qilindi. Bu sodir bo'ldi, chunki barcha topshiriqlarda berilgan raqamlarning bir necha foizini topish kerak edi.

§ 90. Kasrlarning bo'linishi.

Kasrlarning bo'linishini o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Butun sonni butun songa bo‘ling.
2. Kasrni butun songa bo‘lish
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
4. Kasrni kasrga bo'lish.
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
6. Kasr berilgan sonni topish.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Butun sonni butun songa bo‘ling.

Butun sonlar bo'limida ta'kidlanganidek, bo'linish ikki omil (dividend) va bu omillardan birining (bo'luvchi) ko'paytmasi berilgan holda boshqa omil topilishidan iborat bo'lgan harakatdir.

Butun sonni butun songa bo'lish biz butun sonlar bo'limida ko'rib chiqdik. Biz u erda ikkita bo'linish holatini uchratdik: qoldiqsiz bo'linish yoki "butunlay" (150: 10 = 15) va qoldiq bilan bo'linish (100: 9 = 11 va qolganda 1). Shuning uchun aytishimiz mumkinki, butun sonlar sohasida aniq bo'linish har doim ham mumkin emas, chunki dividend har doim ham bo'luvchi va butun sonning mahsuloti emas. Kasrga ko'paytirish kiritilgandan so'ng, biz butun sonlarni bo'lishning har qanday holatini iloji boricha ko'rib chiqishimiz mumkin (faqat nolga bo'linish chiqarib tashlanadi).

Misol uchun, 7 ni 12 ga bo'lish, ko'paytmasi 12 ga 7 bo'ladigan sonni topishni anglatadi. Bu raqam 7/12 kasrdir, chunki 7/12 12 = 7. Yana bir misol: 14: 25 = 14/25, chunki 14/25 25 = 14.

Shunday qilib, butun sonni butun songa bo'lish uchun siz kasrni yasashingiz kerak, uning numeratori dividendga teng, maxraji esa bo'luvchidir.

2. Kasrni butun songa bo‘lish.

6/7 kasrni 3 ga bo'ling. Yuqorida keltirilgan bo'linish ta'rifiga ko'ra, biz bu erda mahsulot (6/7) va omillardan biri (3) ga egamiz; shunday ikkinchi koeffitsientni topish kerakki, 3 ga ko'paytirilganda berilgan mahsulot 6/7 ni beradi. Shubhasiz, bu mahsulotdan uch barobar kichikroq bo'lishi kerak. Demak, oldimizga qo'yilgan vazifa 6/7 kasrni 3 barobarga qisqartirish edi.

Biz allaqachon bilamizki, kasrni qisqartirish uning numeratorini kamaytirish yoki uning maxrajini oshirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:

Bunday holda, raqam 6 3 ga bo'linadi, shuning uchun raqamni 3 marta kamaytirish kerak.

Yana bir misol keltiraylik: 5 / 8 2 ga bo'linadi. Bu erda 5 soni 2 ga bo'linmaydi, ya'ni maxrajni ushbu raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Bunga asoslanib, biz qoidani aytishimiz mumkin: Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrning payini shu butun songa bo'lish kerak.(Agar mumkin bo `lsa), bir xil maxrajni qoldirib, yoki kasrning maxrajini shu songa ko'paytirib, bir xil sonni qoldirib.

3. Butun sonni kasrga bo‘lish.

5 ni 1/2 ga bo'lish talab qilinsin, ya'ni 1/2 ga ko'paytirgandan so'ng mahsulot 5 ni beradigan sonni toping. Shubhasiz, bu raqam 5 dan katta bo'lishi kerak, chunki 1/2 to'g'ri kasr, sonni to'g'ri kasrga ko'paytirishda esa ko'paytma ko'paytmadan kichik bo'lishi kerak. Aniqroq bo'lishi uchun harakatlarimizni quyidagicha yozamiz: 5: 1 / 2 = X , shuning uchun x 1/2 \u003d 5.

Biz bunday raqamni topishimiz kerak X , bu 1/2 ga ko'paytirilganda 5 ni beradi. Ma'lum bir sonni 1/2 ga ko'paytirish bu sonning 1/2 qismini topishni anglatadi, demak, noma'lum sonning 1/2 qismini topadi. X 5 va butun son X ikki barobar ko'p, ya'ni 5 2 \u003d 10.

Shunday qilib, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Keling, tekshiramiz:

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. 6 ni 2/3 ga bo'lish talab qilinsin. Keling, avval chizma yordamida kerakli natijani topishga harakat qilaylik (19-rasm).

19-rasm

Ayrim birliklarning 6 tasiga teng AB segmentini chizing va har bir birlikni 3 ta teng qismga ajrating. Har bir birlikda AB butun segmentida uchdan uch (3/3) 6 barobar ko'p, ya'ni. e. 18/3. Biz kichik qavslar yordamida 2 ta olingan 18 ta segmentni bog'laymiz; Faqat 9 ta segment bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, 2/3 kasr b birlikda 9 marta joylashgan yoki boshqacha aytganda, 2/3 kasr 6 ta butun birlikdan 9 marta kam. Demak,

Ushbu natijani faqat hisob-kitoblar yordamida chizmasiz qanday olish mumkin? Biz quyidagicha bahslashamiz: 6 ni 2/3 ga bo'lish kerak, ya'ni 2/3 ni 6 ga necha marta o'z ichiga oladi degan savolga javob berish kerak. Keling, avval bilib olaylik: 1/3 necha marta. 6 ga kiritilgan? Butun birlikda - uchdan 3, 6 birlikda - 6 barobar ko'p, ya'ni 18 uchdan; bu raqamni topish uchun biz 6 ni 3 ga ko'paytirishimiz kerak. Demak, 1/3 b birliklarda 18 marta, 2/3 esa b birliklarida 18 marta emas, balki ikki barobar ko'p, ya'ni 18: 2 = 9 Shunday qilib, 6 ni 2/3 ga bo'lishda biz quyidagilarni bajardik:

Bu yerdan biz butun sonni kasrga bo'lish qoidasini olamiz. Butun sonni kasrga bo'lish uchun siz ushbu butun sonni berilgan kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak va bu ko'paytmani hisoblagich qilib, uni berilgan kasrning soniga bo'lishingiz kerak.

Biz qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani aniq tushunish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini yodda tutish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani 38-§da ko'rsatilgan sonni qismga bo'lish qoidasi bilan solishtirish foydalidir. E'tibor bering, xuddi shu formula u erda olingan.

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

4. Kasrni kasrga bo'lish.

3/4 ni 3/8 ga bo'lish talab qilinsin. Bo'lish natijasida olinadigan son nima bilan belgilanadi? U 3/4 kasrda 3/8 kasr necha marta borligi haqidagi savolga javob beradi. Bu masalani tushunish uchun rasm chizamiz (20-rasm).

AB segmentini oling, uni birlik sifatida oling, uni 4 ta teng qismga bo'ling va 3 ta shunday qismni belgilang. AC segmenti AB segmentining 3/4 qismiga teng bo'ladi. Keling, to'rtta boshlang'ich segmentning har birini yarmiga ajratamiz, keyin AB segmenti 8 ta teng qismga bo'linadi va har bir bunday qism AB segmentining 1/8 qismiga teng bo'ladi. Biz 3 ta shunday segmentni yoylar bilan bog'laymiz, keyin AD va DC segmentlarining har biri AB segmentining 3/8 qismiga teng bo'ladi. Chizma shuni ko'rsatadiki, 3/8 ga teng segment aniq 2 marta 3/4 ga teng segmentda joylashgan; Shunday qilib, bo'linish natijasini quyidagicha yozish mumkin:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. 15/16 ni 3/32 ga bo'lish talab qilinsin:

Biz shunday mulohaza yuritishimiz mumkin: biz 3/32 ga ko'paytirilgandan so'ng 15/16 ga teng mahsulot beradigan raqamni topishimiz kerak. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha yozamiz:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 noma'lum raqam X 15/16 ni tashkil qiling

1/32 noma'lum raqam X ,

32/32 raqamlari X grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq .

Demak,

Shunday qilib, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirish kerak va birinchi kasrning maxrajini ikkinchisining soniga ko'paytirish va birinchi ko'paytmani sanoq va kasr qilish kerak. ikkinchi maxraj.

Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

5. Aralash sonlarning bo‘linishi.

Aralash sonlarni bo'lishda avvalo noto'g'ri kasrlarga aylantirilishi kerak, so'ngra hosil bo'lgan kasrlarni kasr sonlarni bo'lish qoidalariga muvofiq bo'lish kerak. Bir misolni ko'rib chiqing:

Aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring:

Endi ajratamiz:

Shunday qilib, aralash raqamlarni bo'lish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz va keyin kasrlarni bo'lish qoidasiga muvofiq bo'lishingiz kerak.

6. Kasr berilgan sonni topish.

Kasrlar bo'yicha turli topshiriqlar orasida ba'zida noma'lum sonning qandaydir kasrining qiymati berilgan va bu raqamni topish talab qilinadigan vazifalar mavjud. Bu turdagi masala berilgan sonning kasrini topish masalasiga teskari bo'ladi; u yerda son berilgan va bu sonning qandaydir qismini topish talab qilingan, bu yerda sonning bir qismi berilgan va shu sonning o'zini topish talab qilinadi. Ushbu turdagi masalalar yechimiga murojaat qilsak, bu fikr yanada oydinlashadi.

Vazifa 1. Birinchi kuni oynachilar 50 ta derazani sirladilar, bu qurilgan uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi. Bu uyda nechta deraza bor?

Qaror. Muammo shundaki, 50 ta oynali oynalar uyning barcha oynalarining 1/3 qismini tashkil qiladi, ya'ni jami 3 barobar ko'proq derazalar mavjud, ya'ni.

Uyda 150 ta deraza bor edi.

Vazifa 2. Do'konda 1500 kg un sotilgan, bu esa do'kondagi umumiy unning 3/8 qismini tashkil etadi. Do‘konning dastlabki un ta’minoti qancha edi?

Qaror. Muammoning holatidan ko'rinib turibdiki, sotilgan 1500 kg un umumiy zaxiraning 3/8 qismini tashkil qiladi; bu shuni anglatadiki, ushbu aktsiyaning 1/8 qismi 3 baravar kam bo'ladi, ya'ni uni hisoblash uchun siz 1500 ni 3 marta kamaytirishingiz kerak:

1500: 3 = 500 (bu aksiyaning 1/8 qismi).

Shubhasiz, butun zaxira 8 barobar ko'p bo'ladi. Demak,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Do'konda dastlabki un etkazib berish 4000 kg edi.

Ushbu muammoni ko'rib chiqishdan quyidagi qoidani chiqarish mumkin.

Raqamni uning ulushining berilgan qiymati bo'yicha topish uchun bu qiymatni kasrning soniga bo'lish va natijani kasrning maxrajiga ko'paytirish kifoya.

Biz uning kasri berilgan sonni topishga oid ikkita masalani yechdik. Bunday masalalar, ayniqsa oxirgisidan yaxshi ko'rinib turganidek, ikkita harakat bilan hal qilinadi: bo'lish (bir qism topilganda) va ko'paytirish (butun son topilganda).

Biroq, kasrlarni bo'linishini o'rganganimizdan so'ng, yuqoridagi masalalarni bir amalda, ya'ni: kasrga bo'lishda hal qilish mumkin.

Masalan, oxirgi vazifani bitta harakatda hal qilish mumkin:

Kelajakda biz sonni uning kasriga ko'ra topish masalasini bir amalda - bo'lishda hal qilamiz.

7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Ushbu vazifalarda siz ushbu raqamning bir necha foizini bilib, raqamni topishingiz kerak bo'ladi.

Vazifa 1. Bu yil boshida men omonat kassasidan 60 rubl oldim. bir yil oldin jamg'armaga qo'ygan summamdan daromad. Omonat kassasiga qancha pul qo'ydim? (Kassalar omonatchilarga yiliga 2% daromad beradi.)

Muammoning ma'nosi shundaki, ma'lum miqdordagi pulni men tomonidan omonat kassasiga qo'yib, bir yil davomida yotdim. Bir yildan keyin men undan 60 rubl oldim. daromad, bu men qo'ygan pulning 2/100 qismini tashkil qiladi. Men qancha pul qo'ydim?

Shuning uchun, bu pulning ikki shaklda (rubl va kasrlarda) ifodalangan qismini bilib, biz hali noma'lum bo'lgan to'liq miqdorni topishimiz kerak. Bu kasr berilgan sonni topishning oddiy muammosi. Quyidagi vazifalar bo'linish orqali hal qilinadi:

Shunday qilib, omonat kassasiga 3000 rubl tushdi.

Vazifa 2. Ikki haftada baliqchilar 512 tonna baliq tayyorlab, oylik rejani 64 foizga bajardi. Ularning rejasi nima edi?

Muammoning holatidan ma'lumki, baliqchilar rejaning bir qismini bajargan. Bu qism 512 tonnaga teng bo‘lib, rejaning 64 foizini tashkil etadi. Reja bo'yicha qancha tonna baliq yig'ish kerak, buni bilmaymiz. Muammoni hal qilish bu raqamni topishdan iborat bo'ladi.

Bunday vazifalarni ajratish yo'li bilan hal qilinadi:

Demak, rejaga ko‘ra, 800 tonna baliq tayyorlash kerak.

Vazifa 3. Poyezd Rigadan Moskvaga yo‘l oldi. U 276-kilometrdan o'tganida, yo'lovchilardan biri o'tayotgan konduktordan qancha yo'l bosib o'tganliklarini so'radi. Bunga dirijyor javob berdi: "Biz butun sayohatning 30 foizini bosib o'tdik". Rigadan Moskvagacha bo'lgan masofa qancha?

Muammoning holatidan ko'rish mumkinki, Rigadan Moskvagacha bo'lgan yo'lning 30 foizi 276 km. Biz ushbu shaharlar orasidagi butun masofani topishimiz kerak, ya'ni bu qism uchun butunni toping:

§ 91. O'zaro raqamlar. Bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish.

2/3 kasrni oling va hisoblagichni maxraj joyiga o'zgartiring, biz 3/2 ni olamiz. Biz kasrni oldik, buning o'zaro.

Berilgan kasrning o'zaro kasrini olish uchun uning hisoblagichini maxraj o'rniga, maxrajini esa ayiruvchi o'rniga qo'yish kerak. Shunday qilib, har qanday kasrning o'zaro nisbati bo'lgan kasrni olishimiz mumkin. Misol uchun:

3/4, teskari 4/3; 5/6 , teskari 6/5

Birinchisining soni ikkinchisining maxraji va birinchisining maxraji ikkinchisining soni bo‘lish xususiyatiga ega bo‘lgan ikkita kasr deyiladi. o'zaro teskari.

Keling, 1/2 ning o'zaro nisbati qaysi kasr bo'lishini o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, u 2/1 yoki shunchaki 2 bo'ladi. Buning o'zaro munosabatini qidirib, biz butun sonni oldik. Va bu holat alohida emas; aksincha, numeratori 1 (bir) bo'lgan barcha kasrlar uchun o'zaro butun sonlar bo'ladi, masalan:

1/3, teskari 3; 1/5, teskari 5

O'zaro sonlarni topishda biz butun sonlar bilan ham uchrashganimiz sababli, kelajakda biz o'zaro emas, balki o'zaro bog'liqliklar haqida gapiramiz.

Keling, butun sonning teskarisini qanday yozishni aniqlaymiz. Kasrlar uchun bu oddiygina hal qilinadi: maxrajni pay o'rniga qo'yish kerak. Xuddi shu tarzda, siz butun sonning teskarisini olishingiz mumkin, chunki har qanday butun sonning maxraji 1 bo'lishi mumkin. Shuning uchun 7 ning o'zaro nisbati 1/7 bo'ladi, chunki 7 \u003d 7/1; 10 raqami uchun teskari 1/10 ga teng, chunki 10 = 10/1

Ushbu fikrni boshqa yo'l bilan ifodalash mumkin: berilgan sonning o'zaro nisbati bittani berilgan songa bo'lish yo'li bilan olinadi. Bu gap faqat butun sonlar uchun emas, balki kasrlar uchun ham to'g'ri. Haqiqatan ham, agar siz 5/9 kasrning o'zaro nisbati bo'lgan raqamni yozmoqchi bo'lsangiz, unda biz 1 ni olib, uni 5/9 ga bo'lishimiz mumkin, ya'ni.

Endi bittasini ta'kidlaymiz mulk Biz uchun foydali bo'lgan o'zaro o'zaro raqamlar: o'zaro o'zaro sonlarning ko'paytmasi birga teng. Haqiqatdan ham:

Ushbu xususiyatdan foydalanib, biz o'zaro munosabatlarni quyidagi tarzda topishimiz mumkin. 8 ning o‘zaro nisbatini topamiz.

Keling, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 8 X = 1, shuning uchun X = 1/8. Keling, boshqa raqamni topamiz, 7/12 ning teskarisi, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 7/12 X = 1, shuning uchun X = 1:7 / 12 yoki X = 12 / 7 .

Biz kasrlar bo'linishi haqidagi ma'lumotlarni biroz to'ldirish uchun bu erda o'zaro sonlar tushunchasini kiritdik.

6 raqamini 3/5 ga bo'lsak, biz quyidagilarni bajaramiz:

Ifodaga alohida e'tibor bering va uni berilgan bilan solishtiring: .

Agar iborani oldingisi bilan bog'lanmagan holda alohida oladigan bo'lsak, u qaerdan kelib chiqqanligi haqidagi savolni hal qilib bo'lmaydi: 6 ni 3/5 ga bo'lish yoki 6 ni 5/3 ga ko'paytirish. Ikkala holatda ham natija bir xil bo'ladi. Shunday qilib, aytishimiz mumkin bir sonni ikkinchisiga bo'lish dividendni bo'luvchining o'zaro soniga ko'paytirish orqali almashtirilishi mumkin.

Quyida keltirilgan misollar bu xulosani to‘liq tasdiqlaydi.

Kasrlar oddiy sonlar bo'lib, ularni qo'shish va ayirish ham mumkin. Ammo ularning maxraji borligi sababli, bu erda butun sonlarga qaraganda murakkabroq qoidalar talab qilinadi.

Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasr mavjud bo'lgan eng oddiy holatni ko'rib chiqing. Keyin:

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchining payini ayirish va yana maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Har bir ifoda ichida kasrlarning maxrajlari teng. Kasrlarni qo'shish va ayirish ta'rifi bilan biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q: faqat hisoblagichlarni qo'shing yoki ayiring - va hammasi.

Ammo bunday oddiy harakatlarda ham odamlar xatoga yo'l qo'yishadi. Ko'pincha ular maxraj o'zgarmasligini unutishadi. Misol uchun, ularni qo'shganda, ular ham qo'shila boshlaydi va bu tubdan noto'g'ri.

Denominatorlarni qo'shish yomon odatidan xalos bo'lish juda oddiy. Ayirish paytida ham xuddi shunday qilishga harakat qiling. Natijada, maxraj nolga teng bo'ladi va kasr (birdan!) o'z ma'nosini yo'qotadi.

Shuning uchun, bir marta va butunlay esda tuting: qo'shish va ayirish paytida maxraj o'zgarmaydi!

Bundan tashqari, ko'p odamlar bir nechta manfiy kasrlarni qo'shishda xato qilishadi. Belgilar bilan chalkashlik mavjud: qaerga minus qo'yish kerak, va qayerda - ortiqcha.

Bu muammoni hal qilish ham juda oson. Kasr belgisidan oldingi minus har doim hisoblagichga o'tkazilishi mumkinligini yodda tutish kifoya - va aksincha. Va, albatta, ikkita oddiy qoidani unutmang:

1. Plyus marta minus minus beradi;
2. Ikki inkor tasdiqlovchini hosil qiladi.

Bularning barchasini aniq misollar bilan tahlil qilaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Birinchi holda, hamma narsa oddiy, ikkinchisida esa kasrlar hisoblagichlariga minuslar qo'shamiz:

Agar denominatorlar boshqacha bo'lsa-chi

Siz to'g'ridan-to'g'ri har xil maxrajli kasrlarni qo'sha olmaysiz. Hech bo'lmaganda, bu usul menga noma'lum. Biroq, asl kasrlarni har doim qayta yozish mumkin, shunda maxrajlar bir xil bo'ladi.

Kasrlarni aylantirishning ko'plab usullari mavjud. Ulardan uchtasi "Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish" darsida muhokama qilinadi, shuning uchun biz bu erda ularga to'xtalmaymiz. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Birinchi holda, biz kasrlarni "o'zaro faoliyat" usuli yordamida umumiy maxrajga keltiramiz. Ikkinchisida biz LCM ni qidiramiz. E'tibor bering, 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Bu kengayishlardagi oxirgi omillar teng, birinchilari esa koʻp tubdir. Demak, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Agar kasr butun son bo'lsa-chi?

Men sizni xursand qila olaman: kasrlarning turli xil maxrajlari eng katta yovuzlik emas. Butun qism kasr bilan ajratilganda ko'proq xatolar yuzaga keladi.

Albatta, bunday kasrlar uchun qo'shish va ayirishning o'ziga xos algoritmlari mavjud, ammo ular ancha murakkab va uzoq vaqt o'rganishni talab qiladi. Quyidagi oddiy diagrammadan foydalanish yaxshiroqdir:

1. Butun qismdan iborat barcha kasrlarni noto'g'ri kasrga aylantiring. Biz yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq hisoblangan oddiy shartlarni olamiz (hatto turli xil denominatorlar bo'lsa ham);
2. Aslida, olingan kasrlarning yig'indisini yoki farqini hisoblang. Natijada, biz javobni amalda topamiz;
3. Agar bu vazifada zarur bo'lgan hamma narsa bo'lsa, biz teskari o'zgartirishni amalga oshiramiz, ya'ni. undagi butun sonni ajratib ko'rsatib, noto'g'ri kasrdan qutulamiz.

Noto'g'ri kasrlarga o'tish va butun son qismini ajratib ko'rsatish qoidalari "Raqamli kasr nima" darsida batafsil tavsiflangan. Esingizda bo'lmasa, takrorlashni unutmang. Misollar:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Bu erda hamma narsa oddiy. Har bir ifoda ichidagi maxrajlar teng, shuning uchun barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantirish va hisoblash qoladi. Bizda ... bor:

Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun men oxirgi misollardagi ba'zi aniq qadamlarni o'tkazib yubordim.

Oxirgi ikkita misolga kichik eslatma, bu erda ajratilgan butun qismli kasrlar ayiriladi. Ikkinchi kasr oldidagi minus uning butun qismi emas, balki butun kasr ayirilishini bildiradi.

Ushbu jumlani qayta o'qing, misollarni ko'rib chiqing va o'ylab ko'ring. Bu erda yangi boshlanuvchilar ruxsat beradi katta soni xatolar. Ular nazorat ishlarida bunday topshiriqlarni berishni yaxshi ko'radilar. Tez orada chop etiladigan ushbu dars uchun test sinovlarida ham ular bilan qayta-qayta uchrashasiz.

Xulosa: Hisoblashning umumiy sxemasi

Xulosa qilib aytganda, men ikki yoki undan ortiq kasrlarning yig'indisini yoki farqini topishga yordam beradigan umumiy algoritm beraman:

1. Agar butun qism bir yoki bir nechta kasrda ajratib ko'rsatilgan bo'lsa, bu kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiring;
2. Barcha kasrlarni siz uchun qulay bo'lgan har qanday usulda umumiy maxrajga keltiring (agar, albatta, muammolarni tuzuvchilar buni qilmagan bo'lsa);
3. Olingan sonlarni bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalariga muvofiq qo'shish yoki ayirish;
4. Iloji bo'lsa, natijani kamaytiring. Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, butun qismni tanlang.

Esda tutingki, javobni yozishdan oldin vazifaning eng oxirida butun qismini ajratib ko'rsatish yaxshiroqdir.

Ushbu darsda biz bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirishni ko'rib chiqamiz. Biz allaqachon bir xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni bilamiz. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Bir xil maxrajli kasrlar bilan ishlash ko'nikmasi algebraik kasrlar bilan ishlash qoidalarini o'rganishning asoslaridan biridir. Xususan, ushbu mavzuni tushunish yanada murakkab mavzuni - har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishni o'zlashtirishni osonlashtiradi. Darsning bir qismi sifatida biz bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

Maxrajlari bir xil bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (siz-chi-ta-niya) al-geb-ra-va-che-dro-bey bilan yakkama-yakka-siz - mi-know-on-te-la-mi (bu oddiy-lekin-ven-nyh-dr-bay uchun ana-logik bosh barmog'i bilan co-pa-yes-et): Bu qo'shimcha uchun yoki you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey bilan bir-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi zarur -ho-di-mo bilan -li-te-lei sonining veterina-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum bilan turish va iz-me-siz iz-me-on-tel izni. yo'q.

Biz bu o'ng-vi-loni oddiy-lekin-tomir-otish-kaltaklar misolida ham, al-geb-ra-va-che-dro-bey misolida ham tahlil qilamiz.

Oddiy kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Misol 1. Kasrlarni qo'shish:.

Qaror

Keling, raqamni qo'shamizmi-yo'qmi-ular-chizadi-uradimi va tel-telefonda imzo qo'yaylik. Shundan so'ng biz son-li-tel va signal-me-on-telni oddiy ko'paytiruvchilarga va so-kra-timga ajratamiz. Keling, bilib olaylik: .

Eslatma: standart xatolik, men yaxshi misolda hal qilishda biror narsani boshlayman, masalan -key-cha-et-sya uchun quyidagi-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Bu qo'pol xatodir, chunki tel orqali ro'yxatdan o'tish asl kasrlardagi kabi qoladi.

Misol 2. Kasrlarni qo'shish:.

Qaror

Bu za-da-cha avvalgisidan-cha-et-sya-yo'qmi:.

Algebraik kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Odatiy-lekin-ven-nyh dro-bay per-rey-demdan al-geb-ra-i-che-skimgacha.

Misol 3. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, al-geb-ra-va-che-dro-bey qo'shilishi zhe-niya odatda-lekin-ven-nyh dro-bay dan-is-cha-is-sya hech narsa emas. Shuning uchun, hal qilish usuli bir xil:.

Misol 4. Siz-hurmat kasrlar:.

Qaror

You-chi-ta-nie al-geb-ra-va-che-dro-bey dan-cha-et-sya-dan-yo'qmi asoratdan faqat pi-sy-va-et-sya sonida. sonidagi farq-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Shunday qilib.

Misol 5. Siz-hurmat kasrlar:.

Qaror: .

Misol 6. Soddalashtiring:.

Qaror: .

Qoidani qo'llashdan keyin qisqartirish misollari

Kasrda, kimdir-jannat re-zul-ta-o'sha qo'shilishda yoki siz-chi-ta-nia, go'zal niya bilan hamkorlik qilish mumkin. Bundan tashqari, siz ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey haqida unutmasligingiz kerak.

Misol 7. Soddalashtiring:.

Qaror: .

Qayerda. Umuman olganda, agar issiqdan tashqarida boyo'g'li boyo'g'li-pa-yes-et bo'lsa, ODZ umumiy yig'ilishning ODZ-ga ega bo'lsa, unda siz uni ko'rsata olmaysiz (oxir-oqibat, kasr lu-chen- naya in-ve-those, co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh bilan ham mavjud bo'lmaydi). Ammo agar ODZ ishlaydigan dro-bay manbai bo'lsa va from-ve-that co-pa-yes-et bo'lmasa, ODZ ehtiyoj-ho-di-moni ko'rsatadi.

Misol 8. Soddalashtiring:.

Qaror: . Shu bilan birga, y (chiqib chiquvchi chizmaning ODZ-si re-zul-ta-taning ODZ-ga to‘g‘ri kelmaydi).

Turli xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish

Saqlash va siz-chi-tat al-geb-ra-va-che-kasrlarni har xil-biz-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo-gyu bilan odatdagidan- but-ven-ny-mi dro-bya-mi va uni al-geb-ra-va-che-kasrlarga qayta-qayta emas-sem.

Ras-oddiy venoz tortishish uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqing.

1-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Qaror:

Keling, o'ng-vi-lo-slo-drow-bayni eslaylik. Na-cha-la kasrlar uchun umumiy belgi-me-to-te-luga-ve-sti qo'shish kerak. Oddiy-lekin-tomir-chizish-beats uchun umumiy belgisi-me-on-te-la rolida, you-stu-pa-et eng kichik umumiy karra(NOK) -me-on-the-lei belgilarining manbai.

Ta'rif

Eng kichik-bo'yin-tu-ral-soni, kimdir-to'dasi bir vaqtning o'zida raqamlarga de-litlanadi va.

MOQni topish uchun siz oddiy multiplikatorlarga aylanib, so'ngra hamma narsani tanlashni tanlashingiz kerak - ular juda ko'p, ularning ba'zilari ikkalasi orasidagi farqga kiritilgan lei-me-on-the-lei.

; . Keyin raqamlar LCM ikki ikki va ikki uch o'z ichiga olishi kerak:.

Te-la umumiy belgisini topgandan so'ng, dro-baylarning har biri qo'shimcha multi-ji-tel (fak-ti-che-ski, umumiy belgini to'kib tashlashda) topishi kerak. on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th- fraction).

Keyin, har bir kasr yarim-chen-ny-yarim-no-tel-ny multiplikatoriga ko'paytiriladi. Bir xil-to-you-know-me-on-te-la-mi, omborlar va siz-chi-tat kimgadir bilan kasrlar - o'tgan darslarda o'rganilgan.

By-lu-cha-eat: .

Javob:.

Ras-look-rim endi turli belgilar-me-on-te-la-mi bilan al-geb-ra-va-che-dro-beyning burmasi. Uxlash-cha-la, biz kasrlarga qaraymiz, ularning ba'zilari-la-yut-sya soni-la-mi yoki yo'qligini bilamiz.

Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

2-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Qaror:

Al-go-ritmi re-she-niya ab-so-lyut-lekin ana-lo-gi-chen oldingi-du-sche-mu p-me-ru. Berilgan kasrlar bo'yicha umumiy maxrajni olish oson: va ularning har biri uchun to'liq ko'paytirgichlar.

.

Javob:.

Shunday qilib, sfor-mu-li-ru-em asoratning al-go-ritmi va siz-chi-ta-niya al-geb-ra-va-che-dro-beats turli-biz-biz-me-on-te-la-mi bilan bilasiz.:

1. Eng kichik umumiy sign-me-on-tel draw-bay toping.

2. Har bir tortma kasr uchun qo'shimcha ko'paytiruvchilarni toping).

3. Ko-ot-vet-stu-u-s-upda-yarim-yo'q-tel-nye-ko'p-o'sha-yarim-yo'qmi, jonli sonlarni-ko'paytiring.

4. Qo'shish-to-jonli yoki kasrlarni hurmat qiling, o'ng-wi-la-mi buklama va you-chi-ta-niya chizish-bay bilan bir-to-you-know -me-on- foydalaning. te-la-mi.

Ras-look-rim endi dro-bya-mi bilan misol, nou-me-on-the-le-there-rere-rere-rere-beech-ven-nye you-ra-bir xil - tion.