Monomiylarni o'rgangach, biz ko'phadlarga murojaat qilamiz. Ushbu maqola sizga ular bo'yicha harakatlarni amalga oshirish uchun zarur bo'lgan barcha kerakli ma'lumotlar haqida aytib beradi. Ko‘phadni ko‘phadli atamaning, ya’ni erkin va o‘xshash ta’riflari bilan aniqlaymiz, standart ko‘rinishdagi ko‘phadni ko‘rib chiqamiz, daraja kiritamiz va uni topish, koeffitsientlari bilan ishlashni o‘rganamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ko'p a'zo va uning a'zolari - ta'riflar va misollar
Polinomning ta'rifi zarur edi 7 monomiallarni o'rganishdan keyin sinf. Keling, uning to'liq ta'rifini ko'rib chiqaylik.
Ta'rif 1
polinom monomlarning yig'indisi ko'rib chiqiladi va monomning o'zi ko'phadning maxsus holatidir.
Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, polinomlarning misollari har xil bo'lishi mumkin: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z va hokazo. Ta'rifdan biz bunga egamiz 1+x, a 2 + b 2 x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x ifodasi esa ko‘phaddir.
Keling, yana bir nechta ta'riflarni ko'rib chiqaylik.
Ta'rif 2
Ko'phadning a'zolari uni tashkil etuvchi monomiyalar deyiladi.
Ushbu misolni ko'rib chiqing, bu erda bizda 4 ta a'zodan iborat 3 x 4 - 2 x y + 3 - y 3 ko'phad mavjud: 3 x 4 , - 2 x y , 3 va − y 3. Bunday monomni bir haddan iborat bo'lgan ko'phad deb hisoblash mumkin.
Ta'rif 3
Tarkibida 2, 3 ta uch a'zo bo'lgan ko'pnomlar tegishli nomga ega - binomial va trinomial.
Bundan kelib chiqadiki, shaklning ifodasi x+y– binomi, 2 x 3 q - q x x + 7 b ifodasi esa trinomialdir.
Maktab o'quv rejasiga ko'ra, ular a x + b ko'rinishidagi chiziqli binomial bilan ishladilar, bu erda a va b ba'zi sonlar, x esa o'zgaruvchidir. Ko'rinishdagi chiziqli binomiallarning misollarini ko'rib chiqing: x + 1 , x · 7 , 2 - 4 kvadrat trinomlari x 2 + 3 · x - 5 va 2 5 · x 2 - 3 x + 11 misollari bilan.
O'zgartirish va hal qilish uchun o'xshash atamalarni topish va keltirish kerak. Masalan, 1 + 5 x - 3 + y + 2 x ko'rinishdagi ko'phad 1 va - 3, 5 x va 2 x hadlarga o'xshash. Ular ko'phadning o'xshash a'zolari deb ataladigan maxsus guruhga bo'linadi.
Ta'rif 4
Ko'phadning o'xshash a'zolari polinomdagi atamalar kabi.
Yuqoridagi misolda bizda 1 va - 3 , 5 x va 2 x ko'phadning o'xshash yoki o'xshash atamalari bor. Ifodani soddalashtirish uchun o'xshash atamalarni toping va qisqartiring.
Standart shaklli polinom
Barcha monomlar va polinomlarning o'ziga xos nomlari bor.
Ta'rif 5
Standart shaklli polinom Ko'phadning har bir a'zosi standart shakldagi monomiyasiga ega bo'lgan va o'xshash a'zolari bo'lmagan ko'phad deyiladi.
Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, standart ko'rinishdagi ko'phadlarni kamaytirish mumkin, masalan, 3 x 2 - x y + 1. va __formula__ va yozuv standart shaklda. 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z va 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z iboralar standart ko‘rinishdagi ko‘phadlar emas, chunki ularning birinchisi 3 x 2 ko‘rinishida o‘xshash atamalarga ega va − x2, ikkinchisi esa standart ko'phaddan farq qiluvchi x · y 3 · x · z 2 ko'rinishdagi monomni o'z ichiga oladi.
Agar sharoit talab qilsa, ba'zida ko'phad standart shaklga keltiriladi. Ko'phadning erkin hadi tushunchasi ham standart shakldagi ko'phad hisoblanadi.
Ta'rif 6
Ko'phadning erkin a'zosi harf qismisiz standart shaklli ko‘phaddir.
Boshqacha qilib aytganda, ko'phadning standart shakldagi yozuvi raqamga ega bo'lsa, u erkin a'zo deyiladi. U holda 5 soni x 2 · z + 5 ko'phadning erkin a'zosi bo'lib, 7 · a + 4 · a · b + b 3 ko'phadning erkin a'zosi yo'q.
Polinom darajasi - uni qanday topish mumkin?
Ko'phad darajasining ta'rifi standart shakldagi ko'phadning ta'rifiga va uning tarkibiy qismlari bo'lgan monomlarning darajalariga asoslanadi.
Ta'rif 7
Standart shaklli ko'phadning darajasi uning yozuviga kiritilgan vakolatlarning eng kattasini ayting.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. 5 x 3 - 4 ko'phadning darajasi 3 ga teng, chunki uning tarkibiga kiritilgan monomlar mos ravishda 3 va 0 darajaga ega va ularning eng kattasi 3 ga teng. 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x polinomidan darajaning taʼrifi sonlarning eng kattasiga, yaʼni 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 va 1 ga teng, shuning uchun 5 .
Darajaning o'zi qanday topilganligini aniqlash kerak.
Ta'rif 8
Ixtiyoriy sonning ko'phad darajasi- standart shakldagi mos ko'phadning darajasi.
Agar ko'phad standart shaklda yozilmagan bo'lsa, lekin uning darajasini topish kerak bo'lsa, uni standart shaklga qisqartirish kerak, keyin esa kerakli darajani topish kerak.
1-misol
Ko‘phadning darajasini toping 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Yechim
Birinchidan, polinomni standart shaklda taqdim etamiz. Biz quyidagi kabi ifodani olamiz:
3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (aa) (bb) (cc) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2
Standart ko'rinishdagi ko'phadni olishda biz ulardan ikkitasi aniq farqlanganligini aniqlaymiz - 2 · a 2 · b 2 · c 2 va y 2 · z 2 . Darajani topish uchun biz hisoblab chiqamiz va 2 + 2 + 2 = 6 va 2 + 2 = 4 ni olamiz. Ularning eng kattasi 6 ga teng ekanligini ko'rish mumkin. Ta'rifdan kelib chiqadiki, aynan 6 ko'phadning − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 darajasi, demak, asl qiymat.
Javob: 6 .
Ko'phadning hadlari koeffitsientlari
Ta'rif 9Agar ko'phadning barcha a'zolari standart shakldagi monomlar bo'lsa, bu holda ular nomga ega bo'ladilar polinom hadlari koeffitsientlari. Boshqacha qilib aytganda, ularni ko'phadning koeffitsientlari deb atash mumkin.
Misolni ko'rib chiqsak, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 ko'rinishdagi ko'phadning tarkibida 4 ta ko'phad borligi aniq bo'ladi: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x va 7 koeffitsientlari bilan. 2 , - 0 , 5 , 3 va 7 . Demak, 2 · x − 0, 5 · x · y + 3 · x + 7 ko‘rinishdagi berilgan ko‘phadning hadlari koeffitsientlari 2 , − 0 , 5 , 3 va 7 hisoblanadi. Konvertatsiya qilishda o'zgaruvchilar oldidagi koeffitsientlarga e'tibor berish kerak.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Ushbu darsda biz ushbu mavzuning asosiy ta'riflarini eslaymiz va ba'zi tipik vazifalarni ko'rib chiqamiz, ya'ni polinomni standart shaklga keltirish va berilgan o'zgaruvchan qiymatlar uchun raqamli qiymatni hisoblash. Biz turli xil muammolarni hal qilish uchun standart shaklga qisqartirish qo'llaniladigan bir nechta misollarni hal qilamiz.
Mavzu:Polinomlar. Monomiylar ustidagi arifmetik amallar
Dars:Ko‘phadni standart shaklga keltirish. Oddiy vazifalar
Asosiy ta'rifni eslang: polinom - bu monomlarning yig'indisi. Ko'phadning bir qismi bo'lgan har bir monom a'zosi deb ataladi. Masalan:
binomial;
polinom;
binomial;
Ko'phad monomlardan iborat bo'lganligi sababli, ko'phad bilan birinchi harakat shu erdan kelib chiqadi - siz barcha monomlarni standart shaklga keltirishingiz kerak. Eslatib o'tamiz, buning uchun siz barcha raqamli omillarni ko'paytirishingiz kerak - raqamli koeffitsientni oling va mos keladigan kuchlarni ko'paytiring - harf qismini oling. Bundan tashqari, darajalar ko'paytmasi haqidagi teoremaga e'tibor qarataylik: darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi.
Muhim operatsiyani ko'rib chiqing - polinomni standart shaklga keltiring. Misol:
Izoh: ko'phadni standart shaklga keltirish uchun siz uning bir qismi bo'lgan barcha monomlarni standart shaklga keltirishingiz kerak, shundan so'ng agar o'xshash monomlar mavjud bo'lsa - va bu bir xil harf qismi bo'lgan monomlar bo'lsa - amallarni bajaring. ular bilan.
Shunday qilib, biz birinchi tipik masalani ko'rib chiqdik - ko'phadni standart shaklga keltirish.
Keyingi odatiy vazifa - bu unga kiritilgan o'zgaruvchilarning berilgan raqamli qiymatlari uchun ko'phadning o'ziga xos qiymatini hisoblash. Oldingi misolni ko'rib chiqishni davom ettiramiz va o'zgaruvchilar qiymatlarini o'rnatamiz:
Sharh: eslaylikki, har qanday tabiiy kuchda bittasi birga teng, har qanday tabiiy kuchdagi nol esa nolga teng, bundan tashqari, har qanday sonni nolga ko'paytirishda biz nolga ega bo'lishini eslaymiz.
Polinomni standart shaklga keltirish va uning qiymatini hisoblash bo'yicha odatiy operatsiyalarning bir qator misollarini ko'rib chiqing:
1-misol - standart shaklga keltiring:
Sharh: birinchi harakat - biz monomiallarni standart shaklga keltiramiz, siz birinchi, ikkinchi va oltinchini olib kelishingiz kerak; ikkinchi harakat - o'xshash a'zolarni beramiz, ya'ni ular ustida berilgan arifmetik amallarni bajaramiz: birinchisini beshinchiga, ikkinchisini uchinchisiga qo'shamiz, qolganlarini o'zgartirmasdan qayta yozamiz, chunki ularda o'xshashlari yo'q.
2-misol - o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisobga olgan holda 1-misoldan ko'phadning qiymatini hisoblang:
Izoh: Hisoblashda shuni esda tutish kerakki, har qanday tabiiy darajadagi birlik birlikdir, agar ikkita kuchni hisoblash qiyin bo'lsa, siz quvvat jadvalidan foydalanishingiz mumkin.
3-misol - yulduzcha o'rniga, natijada o'zgaruvchi bo'lmasligi uchun shunday monomial qo'ying:
Izoh: topshiriqdan qat'i nazar, birinchi harakat har doim bir xil - ko'phadni standart shaklga keltirish. Bizning misolimizda bu harakat a'zolarga o'xshash kastingga qisqartirilgan. Shundan so'ng, siz yana bir bor shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz va monomialdan qanday qutulishimiz haqida o'ylashingiz kerak. Buning uchun siz unga bir xil monomialni qo'shishingiz kerakligi aniq, lekin teskari belgi bilan -. keyin yulduzchani bu monomial bilan almashtiramiz va qarorimiz to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Ko'phad - bu monomlarning yig'indisi. Agar ko'phadning barcha hadlari standart shaklda yozilsa (51-bandga qarang) va o'xshash hadlarni qisqartirish amalga oshirilsa, standart shakldagi ko'phad olinadi.
Har qanday butun son ifodasini standart shakldagi polinomga aylantirish mumkin - bu butun sonli ifodalarni o'zgartirishdan (soddalashtirishdan) maqsaddir.
Butun ifodani polinomning standart shakliga keltirish kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqing.
Yechim. Birinchidan, ko'phadning shartlarini standart shaklga keltiramiz. Biz olamiz O'xshash atamalarni qisqartirgandan so'ng standart shakldagi ko'phadni olamiz
Yechim. Qavslar oldida ortiqcha belgisi bo'lsa, qavslar ichiga olingan barcha atamalarning belgilarini saqlab qolgan holda, qavslarni o'tkazib yuborish mumkin. Qavslarni ochish uchun ushbu qoidadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Yechim. Qavslar oldida ziak "minus" bo'lsa, qavslar ichiga olingan barcha atamalarning belgilarini o'zgartirib, qavslarni olib tashlash mumkin. Ushbu qavsdan qochish qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Yechim. Taqsimot qonuniga ko'ra, monom va ko'phadning ko'paytmasi ushbu monom va ko'phadning har bir a'zosi ko'paytmalarining yig'indisiga teng bo'ladi. olamiz
Yechim. Bizda ... bor
Yechim. Bizda ... bor
Shunga o'xshash shartlarni berish qoladi (ular tagiga chizilgan). Biz olamiz:
53. Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari.
Ba'zi hollarda, butun ifodani ko'phadning standart shakliga qisqartirish identifikatsiyalar yordamida amalga oshiriladi:
Ushbu identifikatsiyalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalari deb ataladi,
Keling, berilgan ifodani standart shakldagi miyoglalarga aylantirish zarur bo'lgan misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol.
Yechim. Formuladan (1) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
2-misol.
Yechim.
3-misol..
Yechim. Formula (3) yordamida biz quyidagilarni olamiz:
4-misol
Yechim. Formuladan (4) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
54. Ko'phadlarni ko'paytmalarga ajratish.
Ba'zan siz ko'phadni bir nechta omillar ko'paytmasiga aylantirishingiz mumkin - ko'phadlar yoki subtermlar. Bunday o'ziga xoslikni o'zgartirish ko'phadni koeffitsientga ajratish deyiladi. Bunday holda, ko'phad ushbu omillarning har biriga bo'linadigan deyiladi.
Polinomlarni faktoring qilishning ba'zi usullarini ko'rib chiqing,
1) Qavsdan umumiy omilni chiqarish. Ushbu o'zgarish taqsimlovchi qonunning bevosita natijasidir (aniqlik uchun ushbu qonunni "o'ngdan chapga" qayta yozish kerak):
1-misol. Ko'phadni koeffitsientlarga ajratish
Yechim. .
Odatda, qavs ichidan umumiy koeffitsientni olishda ko'phadning barcha a'zolariga kiritilgan har bir o'zgaruvchi ushbu ko'phaddagi eng kichik ko'rsatkich bilan chiqariladi. Agar ko'phadning barcha koeffitsientlari butun sonlar bo'lsa, u holda ko'phadning barcha koeffitsientlarining eng katta modulli umumiy bo'luvchisi umumiy omil koeffitsienti sifatida qabul qilinadi.
2) Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish. 53-banddagi (1) - (7) formulalar "o'ngdan chapga" o'qilganda, ko'p hollarda ko'phadlarni faktoring qilish uchun foydali bo'ladi.
2-misol. Faktorizatsiya.
Yechim. Bizda ... bor . Formulani (1) qo'llash (kvadratchalar farqi), biz ni olamiz. Murojaat qilinmoqda
Endi formulalar (4) va (5) (kublar yig'indisi, kublar farqi), biz olamiz:
3-misol..
Yechim. Qavsdan avval umumiy omilni chiqaramiz. Buning uchun 4, 16, 16 koeffitsientlarining eng katta umumiy boʻluvchisini va shu koʻphadni tashkil etuvchi monomlar tarkibiga a va b oʻzgaruvchilari kiritilgan eng kichik darajalarni topamiz. Biz olamiz:
3) Guruhlash usuli. U qo‘shishning kommutativ va assotsiativ qonunlari ko‘phadning hadlarini turli usullarda guruhlash imkonini berishiga asoslanadi. Ba'zan shunday guruhlash mumkinki, har bir guruhdagi umumiy omillarni qavsga qo'ygandan so'ng, bitta va bir xil ko'phad qavs ichida qoladi, bu esa o'z navbatida umumiy omil sifatida qavs ichiga olinishi mumkin. Ko‘phadni faktorlarga ajratish misollarini ko‘rib chiqing.
4-misol.
Yechim. Keling, uni quyidagicha guruhlaymiz:
Birinchi guruhda ikkinchi guruhdagi umumiy ko'rsatkichni - umumiy ko'rsatkichni chiqaramiz 5. Biz ko'phadni olamiz Endi umumiy ko'rsatkich sifatida biz qavsdan chiqaramiz: Shunday qilib, biz olamiz:
5-misol
Yechim. .
6-misol
Yechim. Bu erda hech qanday guruhlash barcha guruhlarda bir xil ko'phadning paydo bo'lishiga olib kelmaydi. Bunday hollarda, ba'zan ko'phadning istalgan hadini yig'indi sifatida ifodalash foydali bo'lib chiqadi va keyin guruhlash usulini qo'llashga yana urinib ko'ring. Bizning misolimizda biz olgan summa sifatida ifodalash tavsiya etiladi
7-misol
Yechim. Biz monomialni qo'shamiz va ayitamiz, olamiz
55. Bitta o‘zgaruvchidagi ko‘p nomlilar.
Polinom, bu erda a, b o'zgaruvchan sonlar, birinchi darajali ko'phad deyiladi; a, b, c oʻzgaruvchan sonlar boʻlgan koʻphad ikkinchi darajali koʻphad yoki kvadrat uch aʼzo deyiladi; a, b, c, d sonlar bo'lgan ko'phad, o'zgaruvchi uchinchi darajali ko'phad deyiladi.
Umuman olganda, agar o o'zgaruvchi bo'lsa, u holda ko'phad
lshomogen daraja deb ataladi (x ga nisbatan); , koʻphadning m- hadlari, koeffitsientlari, koʻphadning bosh hadi va bosh hadning koeffitsienti, koʻphadning erkin hadi. Odatda, ko'phad o'zgaruvchining kamayuvchi darajalarida yoziladi, ya'ni o'zgaruvchining darajalari asta-sekin kamayib boradi, xususan, katta a'zo birinchi o'rinda, erkin had esa oxirgi o'rinda turadi. Ko'phadning darajasi - yetakchi hadning darajasi.
Masalan, beshinchi darajali ko'phad, unda boshlovchi 1 ko'phadning erkin hadi bo'ladi.
Ko'phadning ildizi - bu ko'phadning yo'qolgan qiymati. Masalan, 2 raqami ko'phadning ildizidir, chunki
Mavzu bo'yicha dars: "Ko'phad tushunchasi va ta'rifi. Ko'phadning standart shakli"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.
7-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Darslik bo'yicha elektron darslik Yu.N. Makarychev
Darslik bo'yicha elektron darslik Sh.A. Alimova
Bolalar, siz allaqachon monomiallarni mavzu bo'yicha o'rgangansiz: Monomialning standart shakli. Ta'riflar. Misollar. Keling, asosiy ta'riflarni takrorlaylik.
Monomial- sonlar va o'zgaruvchilar ko'paytmasidan iborat ifoda. O'zgaruvchilar tabiiy kuchlarga ko'tarilishi mumkin. Monomialda ko'paytirishdan tashqari boshqa amallar mavjud emas.
Monomialning standart shakli- koeffitsient (raqamli omil) birinchi o'rinda bo'lgan, undan keyin turli xil o'zgaruvchilar darajalari bo'lgan bunday shakl.
O'xshash monomiyalar ular bir xil monomiallar yoki bir-biridan faktor bilan farq qiluvchi monomlardir.
Polinom haqida tushuncha
Ko'phad, xuddi monom kabi, ma'lum turdagi matematik ifodalarning umumlashtirilgan nomi. Biz allaqachon bunday umumlashmalarga duch kelganmiz. Masalan, "sum", "mahsulot", "ko'rsatkich". “Raqamlar farqi”ni eshitganimizda, ko‘paytirish yoki bo‘lish xayolimizga ham kelmaydi. Shuningdek, ko'phad qat'iy belgilangan shaklning ifodasidir.Polinom ta'rifi
Polinom monomlarning yig'indisidir.Ko'phadni tashkil etuvchi monomlar deyiladi polinomning a'zolari. Agar ikkita atama bo'lsa, biz binomial bilan, agar uchta bo'lsa, trinomial bilan ishlaymiz. Agar ko'proq shartlar aytilsa - polinom.
Polinomlarga misollar.
1) 2ab + 4cd (binomial);
2) 4ab + 3cd + 4x (uchlik);
3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;
3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.
Keling, oxirgi ifodani diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Ta'rifga ko'ra, ko'phad monomlarning yig'indisidir, ammo oxirgi misolda biz nafaqat qo'shamiz, balki monomlarni ham ayitamiz.
Aniqlik uchun kichik bir misolni ko'rib chiqaylik.
Keling, ifodani yozamiz a + b - c(Keling, bunga rozi bo'laylik a ≥ 0, b ≥ 0 va c ≥ 0) va savolga javob bering: bu summami yoki farqmi? Buni aytish qiyin.
Haqiqatan ham, ifodani shunday qayta yozsak a + b + (-c), biz ikkita ijobiy va bitta manfiy shartning yig'indisini olamiz.
Agar siz bizning misolimizga qarasangiz, biz aniq koeffitsientli monomiallarning yig'indisi bilan shug'ullanamiz: 3, - 2, 7, -5. Matematikada "algebraik yig'indi" atamasi mavjud. Shunday qilib, ko'phadning ta'rifi "algebraik yig'indi" degan ma'noni anglatadi.
Lekin ko'phadli 3a: b + 7 ko'rinishdagi yozuv 3a: b monom emasligi sababli emas.
3b + 2a * (c 2 + d) yozuvi ham polinom emas, chunki 2a * (c 2 + d) monom emas. Qavslarni ochsangiz, hosil bo'lgan ifoda polinom bo'ladi.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.
Polinom darajasi a'zolarining eng yuqori darajasi hisoblanadi.
a 3 b 2 + a 4 polinomi beshinchi darajaga ega, chunki a 3 b 2 monomialning darajasi 2 + 3 \u003d 5, a 4 monomiyasining darajasi 4 ga teng.
Polinomning standart shakli
Oʻxshash aʼzolari boʻlmagan va koʻphad aʼzolarining darajalari boʻyicha kamayish tartibida yoziladigan koʻphad standart shakldagi koʻphad hisoblanadi.Yozishning haddan tashqari mashaqqatliligini bartaraf etish va u bilan keyingi harakatlarni soddalashtirish uchun polinom standart shaklga keltiriladi.
Darhaqiqat, nima uchun, masalan, 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4 uzun iborani yozish kerak, ammo uni 9b 2 + 3a 2 + 8 dan qisqaroq yozish mumkin.
Polinomni standart shaklga keltirish uchun sizga kerak bo'ladi:
1. barcha a'zolarini standart shaklga keltiring,
2. o‘xshash (bir xil yoki turli sonli koeffitsientli) atamalarni qo‘shing. Ushbu protsedura ko'pincha deyiladi o'xshash olib kelish.
Misol.
aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 polinomini standart shaklga keltiring.
Yechim.
a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.
Ifodani tashkil etuvchi monomlarning darajalarini aniqlaymiz va ularni kamayish tartibida joylashtiramiz.
11a 2 b uchinchi darajaga ega, 3 x 5 y 2 yettinchi darajaga ega, 14 nol darajaga ega.
Shunday qilib, birinchi navbatda biz 3 x 5 y 2 (7 daraja), ikkinchisida - 12a 2 b (3-daraja) va uchinchisida - 14 (nol daraja) qo'yamiz.
Natijada 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14 standart ko'rinishdagi ko'phadni olamiz.
O'z-o'zini hal qilish uchun misollar
Polinomlarni standart shaklga keltiring.1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);
2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);
3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);
4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).
Algebrada ko'rib chiqiladigan turli ifodalar orasida monomiallarning yig'indisi muhim o'rinni egallaydi. Mana shunday iboralarga misollar:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Monomiylar yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phaddagi atamalar ko'phadning a'zolari deyiladi. Bir a'zodan iborat bo'lgan ko'phad sifatida mononomiyalar ko'phadlar deb ham ataladi.
Masalan, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
soddalashtirish mumkin.
Biz barcha atamalarni standart shakldagi monomiallar sifatida ifodalaymiz:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Olingan polinomda shunga o'xshash shartlarni beramiz:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Natijada ko'phad hosil bo'ladi, uning barcha a'zolari standart shakldagi monomlardir va ular orasida o'xshashlari yo'q. Bunday polinomlar deyiladi standart shakldagi polinomlar.
Per polinom darajasi standart shakl uning a'zolarining eng katta vakolatlarini oladi. Demak, binomial \(12a^2b - 7b \) uchinchi darajaga, trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ikkinchi darajaga ega.
Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart ko'phadli ko'phadlarning hadlari uning ko'rsatkichlarining kamayish tartibida joylashtiriladi. Masalan:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Bir nechta ko'phadlar yig'indisi standart shakldagi ko'phadga aylantirilishi (soddalashtirilgan) mumkin.
Ba'zan ko'phadning a'zolarini har bir guruhni qavs ichiga olgan holda guruhlarga bo'lish kerak. Qavslar qavslarga qarama-qarshi bo'lganligi sababli, uni shakllantirish oson Qavslarni ochish qoidalari:
Qavslar oldiga + belgisi qo'yilsa, qavs ichiga olingan atamalar bir xil belgilar bilan yoziladi.
Qavslar oldiga "-" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.
Monomiy va ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).
Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, monom va ko'phadning ko'paytmasini ko'phadga aylantirish (soddalashtirish) mumkin. Masalan:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Monomiy va koʻphadning koʻpaytmasi shu monomial va koʻphadning har bir aʼzosi koʻpaytmalari yigʻindisiga teng boʻladi.
Bu natija odatda qoida sifatida shakllantiriladi.
Monomiyni ko'phadga ko'paytirish uchun bu monomni ko'phadning har bir a'zosiga ko'paytirish kerak.
Biz bu qoidani yig'indiga ko'paytirish uchun bir necha bor ishlatganmiz.
Polinomlarning hosilasi. Ikki ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).
Umuman olganda, ikkita ko'phadning ko'paytmasi bir xil ko'phadning har bir hadi va ikkinchisining har bir hadi ko'paytmasining yig'indisiga tengdir.
Odatda quyidagi qoidadan foydalaning.
Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini ikkinchisining har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Yig'indi, farq va farq kvadratlari
Algebraik o'zgarishlardagi ba'zi ifodalar boshqalarga qaraganda tez-tez ko'rib chiqilishi kerak. Ehtimol, eng keng tarqalgan iboralar \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) va \(a^2 - b^2 \), ya'ni yig'indining kvadrati, farqning kvadrati va kvadrat farqi. Siz ko'rsatilgan iboralarning nomlari to'liq bo'lmagan ko'rinishini payqadingiz, shuning uchun, masalan, \((a + b)^2 \), albatta, yig'indining kvadrati emas, balki yig'indining kvadrati. a va b. Biroq, a va b yig'indisining kvadrati unchalik keng tarqalgan emas, qoida tariqasida, a va b harflari o'rniga u turli xil, ba'zan juda murakkab iboralarni o'z ichiga oladi.
\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) iboralarini standart shakldagi ko'phadlarga aylantirish (soddalashtirish) oson, aslida siz polinomlarni ko'paytirishda bunday vazifaga duch kelgansiz. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Olingan identifikatsiyalarni oraliq hisob-kitoblarsiz eslab qolish va qo'llash foydalidir. Qisqa og'zaki formulalar bunga yordam beradi.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - yig'indining kvadrati kvadratlar va qo'sh ko'paytmaning yig'indisiga teng.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farqning kvadrati hosilni ikki barobarga oshirmasdan kvadratlarning yig'indisidir.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratlar farqi ayirma va yig'indining ko'paytmasiga teng.
Ushbu uchta o'ziga xoslik transformatsiyalarda ularning chap qismlarini o'ng qismlarga va aksincha - o'ng qismlarini chap qismlarga almashtirishga imkon beradi. Bu holatda eng qiyin narsa mos keladigan ifodalarni ko'rish va ulardagi a va b o'zgaruvchilari nima bilan almashtirilganligini tushunishdir. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.
