Pifagor teoremasi
Xuddi shunday, CBH uchburchagi ABC ga o'xshaydi. Belgilanish bilan tanishtirish 
1. Rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring. 
Evklidning isboti g'oyasi quyidagicha: keling, gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarim maydonlari yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, keyin esa maydonlar. katta va ikkita kichik kvadrat tengdir. Chapdagi rasmni ko'rib chiqing. Biz uning ustiga to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va to'g'ri burchakli C burchak cho'qqisidan AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchak - BHJI va HAKJga kesib tashladi. , mos ravishda. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlariga to'liq teng. Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchaklar maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: balandligi va asosi berilgan uchburchakning maydoni. to'rtburchaklar berilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarmi mahsuloti sifatida belgilashning natijasidir. Ushbu kuzatishdan kelib chiqadiki, ACK uchburchakning maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun qilish kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlashdir (chunki BDA uchburchakning maydoni yuqoridagi xususiyat bo'yicha kvadrat maydonining yarmiga teng). Bu tenglik aniq, uchburchaklar ikki tomonda va ular orasidagi burchakda tengdir. Ya'ni - AB=AK,AD=AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: keling, CAK uchburchagini soat miliga teskari yo'nalishda 90° aylantiramiz, shunda ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan ikki uchburchakning mos tomonlari shunday bo'ladi. mos keladi (kvadrat tepasidagi burchak 90 ° bo'lganligi sababli). BCFG kvadrati va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligi haqidagi argument butunlay o'xshashdir. Shunday qilib, biz gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisi ekanligini isbotladik. 
Chizmani ko'rib chiqaylik, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, CI segmenti ABHJ kvadratini ikkita bir xil qismga ajratadi (chunki ABC va JHI uchburchaklari qurilishi bo'yicha teng). 90 daraja soat miliga teskari aylanishdan foydalanib, biz CAJI va GDAB soyali raqamlarining tengligini ko'ramiz. Endi aniq bo'ldiki, biz tomonidan soyalangan rasmning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarmi va asl uchburchakning maydoni yig'indisiga teng. Boshqa tomondan, u gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Isbotning oxirgi bosqichi o'quvchiga qoldiriladi.(Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Kantorning so'zlariga ko'ra, harpedonaptlar yoki "torli torlar" 3, 4 va 5 tomonlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida to'g'ri burchaklarni qurgan.
Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. Keling, 12 m uzunlikdagi arqonni olib, uni bir uchidan 3 m, ikkinchisidan 4 metr masofada rangli chiziq bo'ylab bog'laymiz. 3 va 4 metr uzunlikdagi tomonlar o'rtasida to'g'ri burchak o'rnatiladi. Harpedonaptlarga e'tiroz bildirilishi mumkin, agar, masalan, barcha duradgorlar tomonidan ishlatiladigan yog'och kvadrat ishlatilsa, ularning qurilish usuli ortiqcha bo'ladi. Darhaqiqat, Misr chizmalarida bunday asbob topilganligi ma'lum - masalan, duradgorlik ustaxonasi tasvirlangan chizmalar.
Bobilliklar orasida Pifagor teoremasi haqida biroz ko'proq ma'lum. Xammurapi davriga, ya'ni miloddan avvalgi 2000 yilga oid bir matnda. e. , to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy hisobi berilgan. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, Mesopotamiyada ular hech bo'lmaganda ba'zi hollarda to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishga muvaffaq bo'lishgan. Bir tomondan, Misr va Bobil matematikasining hozirgi bilim darajasiga asoslanib, ikkinchi tomondan, yunon manbalarini tanqidiy o'rganishga asoslanib, van der Vaerden (gollandiyalik matematik) yuqori ehtimollik bor degan xulosaga keldi. gipotenuz kvadrat teoremasi Hindistonda miloddan avvalgi 18-asrda ma'lum bo'lgan. e.
Miloddan avvalgi 400 yillar atrofida. e., Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor uchliklarini topish usulini bergan. Miloddan avvalgi 300 yillar atrofida. e. Evklidning elementlari Pifagor teoremasining eng qadimgi aksiomatik isbotini o'z ichiga oladi.
So'zlash
Geometrik formulalar:
Teorema dastlab quyidagicha tuzilgan:
Algebraik formula:
Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini va oyoqlarning uzunliklarini va orqali:
Teoremaning ikkala formulasi ham ekvivalentdir, lekin ikkinchi formula ko'proq elementardir, u maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tekshirish mumkin.
Teskari Pifagor teoremasi:
isboti
Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, Pifagor teoremasi shunday ta'sirchan miqdordagi dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillikni faqat teoremaning geometriya uchun fundamental ahamiyati bilan izohlash mumkin.
Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari: maydon usuli bilan isbotlash, aksiomatik va ekzotik isbotlar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida).
Shu kabi uchburchaklar orqali
Algebraik formulaning quyidagi isboti to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan qurilgan isbotlarning eng oddiyidir. Xususan, u raqam maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.
Mayli ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C. Keling, balandlikni chizamiz C va uning asosini bilan belgilang H. Uchburchak ACH uchburchakka o'xshaydi ABC ikki burchakda. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC. Belgilanish bilan tanishtirish
olamiz
Ekvivalent nima
Qo'shsak, olamiz
, bu isbotlanishi kerak ediHudud dalillari
Quyidagi dalillar, ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning barchasi maydonning xususiyatlaridan foydalanadi, buning isboti Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra murakkabroqdir.
Ekvivalentlik orqali isbotlash
- 1-rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring.
- Yonlari bilan to'rtburchak c kvadratdir, chunki ikkita o'tkir burchakning yig'indisi 90 ° va to'g'ri burchak 180 °.
- Butun figuraning maydoni, bir tomondan, bir tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchakning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng. ichki kvadratdan.
Q.E.D.
Evklidning isboti
Evklidning isboti g'oyasi quyidagicha: keling, gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarim maydonlari yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, keyin esa maydonlar. katta va ikkita kichik kvadrat tengdir.
Chapdagi rasmni ko'rib chiqing. Biz uning ustiga to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va to'g'ri burchakli C burchak cho'qqisidan AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchak - BHJI va HAKJga kesib tashladi. , mos ravishda. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlariga to'liq teng.
Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchaklar maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: balandligi va asosi berilgan uchburchakning maydoni. to'rtburchaklar berilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarmi mahsuloti sifatida belgilashning natijasidir. Ushbu kuzatishdan kelib chiqadiki, ACK uchburchakning maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.
Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun qilish kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlashdir (chunki BDA uchburchakning maydoni yuqoridagi xususiyat bo'yicha kvadrat maydonining yarmiga teng). Bu tenglik aniq: uchburchaklar ikki tomonda va ular orasidagi burchakda tengdir. Ya'ni - AB=AK, AD=AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: keling, CAK uchburchagini soat miliga teskari yo'nalishda 90° aylantiramiz, shunda ko'rib chiqilayotgan ikki uchburchakning mos tomonlari mos kelishi aniq. (kvadrat tepasidagi burchak 90 ° bo'lganligi sababli).
BCFG kvadrati va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligi haqidagi argument butunlay o'xshashdir.
Shunday qilib, biz gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisi ekanligini isbotladik. Ushbu dalilning g'oyasi yuqoridagi animatsiya bilan yanada ko'proq tasvirlangan.
Leonardo da Vinchining isboti
Isbotning asosiy elementlari simmetriya va harakatdir.
Chizmani ko'rib chiqing, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, segment kvadratni ikkita bir xil qismga ajratadi (chunki uchburchaklar va qurilishda tengdir).
Nuqta atrofida soat miliga teskari 90 graduslik aylanishdan foydalanib, biz soyali raqamlarning tengligini ko'ramiz va .
Endi biz soya qilgan rasmning maydoni kichik kvadratlar (oyoqlarda qurilgan) va asl uchburchak maydonining yarmining yig'indisiga teng ekanligi aniq. Boshqa tomondan, u katta kvadrat (gipotenuzada qurilgan) maydonining yarmiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Shunday qilib, kichik kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisi katta kvadratning yarmiga teng, shuning uchun oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi qurilgan kvadrat maydoniga teng. gipotenuzada.
Infinitesimal usuli bilan isbotlash
Differensial tenglamalar yordamida quyidagi dalil ko'pincha 20-asrning birinchi yarmida yashagan mashhur ingliz matematigi Hardiga tegishli.
Rasmda ko'rsatilgan chizmani hisobga olgan holda va yon tomonning o'zgarishini kuzatish a, cheksiz kichik tomonlar o'sishi uchun quyidagi munosabatni yozishimiz mumkin Bilan va a(shunga o'xshash uchburchaklar yordamida):
O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz topamiz
Ikkala oyoqning o'sishida gipotenuzani o'zgartirish uchun umumiyroq ifoda
Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz hosil bo'lamiz
Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz
Ko'rinib turibdiki, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar orasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'ladi, yig'indi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar tufayli yuzaga keladi.
Oyoqlardan biri (bu holda, oyoq) o'sishni boshdan kechirmaydi deb hisoblasak, oddiyroq dalilni olish mumkin. Keyin integratsiya doimiysi uchun biz olamiz
Variatsiyalar va umumlashtirishlar
Uch tomondan o'xshash geometrik shakllar
Shu kabi uchburchaklar uchun umumlashtirish, yashil raqamlar maydoni A + B = ko'k C maydoni
Shu kabi to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida Pifagor teoremasi
Pifagor teoremasini umumlashtirish Evklid tomonidan o'z ishida qilingan Boshlanishlar, yon tomonlardagi kvadratlarning maydonlarini o'xshash geometrik shakllar joylariga kengaytirish:
Agar biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlarida shunga o'xshash geometrik figuralarni (Evklid geometriyasiga qarang) quradigan bo'lsak, u holda ikkita kichik figuraning yig'indisi kattaroq shaklning maydoniga teng bo'ladi.
Ushbu umumlashtirishning asosiy g'oyasi shundan iboratki, bunday geometrik figuraning maydoni uning har qanday chiziqli o'lchamlari kvadratiga va, xususan, har qanday tomon uzunligining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun, maydonlar bilan o'xshash raqamlar uchun A, B va C uzunligi bilan yon tomonlarga qurilgan a, b va c, bizda ... bor:
Ammo, Pifagor teoremasiga ko'ra, a 2 + b 2 = c 2, keyin A + B = C.
Aksincha, buni isbotlay olsak A + B = C Pifagor teoremasidan foydalanmasdan uchta o'xshash geometrik figuralar uchun biz teoremaning o'zini teskari yo'nalishda harakatlantirgan holda isbotlashimiz mumkin. Misol uchun, boshlang'ich markaziy uchburchak uchburchak sifatida qayta ishlatilishi mumkin C gipotenuzada va ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchak ( A va B) markaziy uchburchakni balandligiga bo'lish natijasida hosil bo'lgan boshqa ikki tomonda qurilgan. Uchburchakning ikkita kichik maydonining yig'indisi uchinchisining maydoniga teng bo'ladi, shuning uchun A + B = C va oldingi isbotlarni teskari tartibda bajarib, Pifagor teoremasini olamiz a 2 + b 2 = c 2.
Kosinus teoremasi
Pifagor teoremasi ixtiyoriy uchburchakda tomonlarning uzunliklarini bog'laydigan umumiy kosinus teoremasining maxsus holatidir:
bu yerda th - tomonlar orasidagi burchak a va b.
Agar th 90 daraja bo'lsa, u holda cos θ = 0 va formula odatdagi Pifagor teoremasiga soddalashtirilgan.
Ixtiyoriy uchburchak
Yon tomonlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchakning istalgan tanlangan burchagiga a, b, c biz teng yonli uchburchakni shunday chizamizki, uning asosidagi teng burchaklar th tanlangan burchakka teng bo'lsin. Tanlangan burchak th ko'rsatilgan tomonga qarama-qarshi joylashgan deb faraz qilaylik c. Natijada yon tomoniga qarama-qarshi joylashgan th burchagi bo'lgan ABD uchburchakka ega bo'ldik a va partiyalar r. Ikkinchi uchburchak yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan th burchagidan hosil bo'ladi b va partiyalar Bilan uzoq s, rasmda ko'rsatilganidek. Sobit ibn Qurra bu uchburchakdagi tomonlarning bir-biriga bog'liqligini quyidagicha ta'kidlagan:
th burchak p/2 ga yaqinlashganda, teng yonli uchburchakning asosi kichrayadi va ikki tomon r va s kamroq va kamroq ustma-ust tushadi. th = p/2 bo'lganda, ADB to'g'ri burchakli uchburchakka aylanadi, r + s = c va biz dastlabki Pifagor teoremasini olamiz.
Keling, dalillardan birini ko'rib chiqaylik. ABC uchburchagining burchaklari ABD uchburchagi bilan bir xil, lekin teskari tartibda. (Ikki uchburchak B cho'qqisida umumiy burchakka ega, ikkalasi ham th burchagiga ega, shuningdek, uchburchak burchaklarining yig'indisi bo'yicha bir xil uchinchi burchakka ega) Shunga ko'ra, ABC ko'rsatilgandek DBA uchburchagining ABD aksiga o'xshaydi. pastki rasmda. Qarama-qarshi tomonlar va th burchakka qo'shni tomonlar o'rtasidagi munosabatni yozamiz,
Boshqa uchburchakning aksi ham shunday,
Kasrlarni ko'paytiring va quyidagi ikki nisbatni qo'shing:
Q.E.D.
Ixtiyoriy uchburchaklar uchun parallelogrammalar orqali umumlashtirish
Ixtiyoriy uchburchaklar uchun umumlashtirish,
yashil maydon uchastka = maydon ko'k
Yuqoridagi rasmda tezisning isboti
Keling, to'rtburchaklar bo'lmagan uchburchaklar uchun kvadrat o'rniga uch tomondan parallelogrammalarni qo'llagan holda qo'shimcha umumlashtiramiz. (kvadratchalar alohida holat.) Yuqori rasmda ko'rsatilgandek, o'tkir burchakli uchburchak uchun uzun tomondagi parallelogrammning maydoni boshqa ikki tomondagi parallelogrammalarning yig'indisiga teng bo'ladi, agar parallelogramma bo'lsa. uzun tomoni rasmda ko'rsatilganidek qurilgan (strelkalar bilan belgilangan o'lchamlar bir xil va pastki parallelogrammning tomonlarini aniqlaydi). Kvadratchalarning parallelogrammlar bilan almashtirilishi dastlabki Pifagor teoremasiga aniq o'xshaydi va milodiy 4-yilda Iskandariyalik Pappus tomonidan tuzilgan deb hisoblanadi. e.
Pastki rasmda isbotning borishi ko'rsatilgan. Keling, uchburchakning chap tomonini ko'rib chiqaylik. Chap yashil parallelogramm ko'k parallelogrammaning chap tomoni bilan bir xil maydonga ega, chunki ular bir xil asosga ega b va balandligi h. Bundan tashqari, chap yashil quti yuqori rasmdagi chap yashil quti bilan bir xil maydonga ega, chunki ular umumiy asosga (uchburchakning yuqori chap tomoni) va uchburchakning bu tomoniga perpendikulyar umumiy balandlikka ega. Uchburchakning o'ng tomoni uchun xuddi shunday bahslashsak, biz pastki parallelogramm ikkita yashil parallelogramm bilan bir xil maydonga ega ekanligini isbotlaymiz.
Kompleks sonlar
Pifagor teoremasi Dekart koordinata tizimidagi ikki nuqta orasidagi masofani topish uchun ishlatiladi va bu teorema barcha haqiqiy koordinatalar uchun to'g'ri keladi: masofa s ikki nuqta o'rtasida ( a, b) va ( c, d) teng
Kompleks sonlar haqiqiy komponentlar bilan vektor sifatida ko'rib chiqilsa, formula bilan hech qanday muammo bo'lmaydi x + men y = (x, y). . Masalan, masofa s 0 + 1 orasida i va 1 + 0 i vektor moduli sifatida hisoblang (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), yoki
Biroq, murakkab koordinatali vektorlar bilan operatsiyalar uchun Pifagor formulasini ma'lum bir yaxshilash kerak. Kompleks sonli nuqtalar orasidagi masofa ( a, b) va ( c, d); a, b, c, va d barcha murakkab, biz mutlaq qiymatlar yordamida formulamiz. Masofa s vektor farqiga asoslanadi (a − c, b − d) quyidagi shaklda: farq qilsin a − c = p+i q, qayerda p farqning haqiqiy qismi, q xayoliy qism va i = √(−1) ga teng. Xuddi shunday, ruxsat bering b − d = r+i s. Keyin:
ning murakkab konjugati qayerda. Masalan, nuqtalar orasidagi masofa (a, b) = (0, 1) va (c, d) = (i, 0) , farqni hisoblang (a − c, b − d) = (−i, 1) va agar murakkab konjugatlar ishlatilmasa, natija 0 bo'ladi. Shuning uchun, takomillashtirilgan formuladan foydalanib, biz olamiz
Modul quyidagicha aniqlanadi:
Stereometriya
Uch o'lchovli fazo uchun Pifagor teoremasining muhim umumlashtirilishi J.-P nomi bilan atalgan de Gua teoremasidir. de Gua: agar tetraedr to'g'ri burchakka ega bo'lsa (kubdagi kabi), to'g'ri burchakka qarama-qarshi yuzning maydoni kvadrati qolgan uchta yuzning kvadratlari yig'indisiga teng. Ushbu xulosani quyidagicha umumlashtirish mumkin: n-o'lchovli Pifagor teoremasi":
Uch o'lchovdagi Pifagor teoremasi AD diagonalini uch tomon bilan bog'laydi.
Yana bir umumlashtirish: Pifagor teoremasi stereometriyaga quyidagi shaklda qo'llanilishi mumkin. Rasmda ko'rsatilganidek, to'rtburchaklar qutini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasi yordamida BD diagonali uzunligini toping:
bu erda uch tomoni to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi. AD diagonalining uzunligini topish uchun BD gorizontal diagonali va AB vertikal chetidan foydalaning va yana Pifagor teoremasidan foydalaning:
yoki agar hamma narsa bitta tenglamada yozilgan bo'lsa:
Ushbu natija vektorning kattaligini aniqlash uchun 3D ifodasidir v(diagonal AD) uning perpendikulyar komponentlari bilan ifodalangan ( v k) (uchta o'zaro perpendikulyar tomon):
Bu tenglamani ko'p o'lchovli fazo uchun Pifagor teoremasining umumlashtirilishi sifatida ko'rish mumkin. Biroq, natijada Pifagor teoremasini ketma-ket perpendikulyar tekisliklardagi to'g'ri burchakli uchburchaklar ketma-ketligiga qayta-qayta qo'llashdan boshqa narsa emas.
vektor maydoni
Ortogonal vektorlar tizimida tenglik yuzaga keladi, bu Pifagor teoremasi deb ham ataladi:
Agar - bu vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari bo'lsa, u holda bu formula Evklid masofasiga to'g'ri keladi - va vektor uzunligi uning komponentlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng ekanligini anglatadi.
Cheksiz vektorlar sistemasidagi bu tenglikning analogi Parseval tengligi deyiladi.
Evklid bo'lmagan geometriya
Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining aksiomalaridan olingan bo'lib, aslida, yuqorida yozilgan shaklda Evklid bo'lmagan geometriya uchun haqiqiy emas. (Ya'ni, Pifagor teoremasi Evklidning parallellik postulatiga o'ziga xos ekvivalent bo'lib chiqadi) Boshqacha aytganda, Evklid bo'lmagan geometriyada uchburchak tomonlari orasidagi nisbat Pifagor teoremasidan farqli shaklda bo'lishi shart. . Masalan, sferik geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning barcha uch tomoni (aytaylik a, b va c) birlik sferaning oktantini (sakkizdan bir qismini) bog'lagan uzunlik p/2 ga ega, bu Pifagor teoremasiga ziddir, chunki a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Bu erda Evklid bo'lmagan geometriyaning ikkita holatini ko'rib chiqing - sferik va giperbolik geometriya; ikkala holatda ham, to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun Evklid fazosiga kelsak, Pifagor teoremasi o'rnini bosuvchi natija kosinus teoremasidan kelib chiqadi.
Biroq, Pifagor teoremasi giperbolik va elliptik geometriya uchun amal qiladi, agar uchburchakning to'g'ri burchakli bo'lishi talabi uchburchakning ikki burchagi yig'indisi uchinchisiga teng bo'lishi sharti bilan almashtirilsa, deylik. A+B = C. Keyin tomonlar orasidagi nisbat quyidagicha ko'rinadi: diametrli doiralar maydonlarining yig'indisi a va b diametrli doira maydoniga teng c.
sferik geometriya
Radiusli shardagi har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun R(masalan, uchburchakdagi g burchak to'g'ri bo'lsa) tomonlari bilan a, b, c tomonlar o'rtasidagi munosabatlar quyidagicha ko'rinadi:
Bu tenglikni barcha sferik uchburchaklar uchun amal qiladigan sferik kosinus teoremasining maxsus holati sifatida olish mumkin:
bu erda kosh - giperbolik kosinus. Ushbu formula barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosinus teoremasining maxsus holatidir:
Bu erda g - uchi yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak c.
qayerda g ij metrik tenzor deyiladi. Bu pozitsiya funktsiyasi bo'lishi mumkin. Bunday egri chiziqli bo'shliqlar umumiy misol sifatida Riman geometriyasini o'z ichiga oladi. Ushbu formula egri chiziqli koordinatalardan foydalanganda Evklid fazosiga ham mos keladi. Masalan, qutb koordinatalari uchun:
vektor mahsuloti
Pifagor teoremasi vektor mahsulotining kattaligi uchun ikkita ifodani bog'laydi. O'zaro mahsulotni aniqlashning bir yondashuvi u tenglamani qondirishni talab qiladi:
bu formula nuqta mahsulotidan foydalanadi. Tenglamaning o'ng tomoni Gram determinanti deb ataladi a va b, bu ikki vektor hosil qilgan parallelogrammning maydoniga teng. Ushbu talabga, shuningdek vektor mahsuloti uning tarkibiy qismlariga perpendikulyar bo'lishi talabiga asoslanadi a va b Bundan kelib chiqadiki, 0 va 1 o'lchovli fazoning ahamiyatsiz holatlaridan tashqari, vektor mahsuloti faqat uch va etti o'lchovda aniqlanadi. Biz burchakning ta'rifidan foydalanamiz n- o'lchovli bo'shliq:
vektor mahsulotining bu xossasi uning qiymatini quyidagi shaklda beradi:
Pifagorning asosiy trigonometrik identifikatori orqali biz uning qiymatini yozishning boshqa shaklini olamiz:
O'zaro mahsulotni aniqlashning muqobil yondashuvi uning kattaligi uchun ifodadan foydalanadi. Keyin, teskari tartibda bahs yuritib, biz skalyar mahsulot bilan bog'lanishga erishamiz:
Shuningdek qarang
Eslatmalar
- Tarix mavzusi: Bobil matematikasida Pifagor teoremasi
- ( , 351-bet) 351-bet
- ( , I jild, 144-bet)
- Tarixiy faktlar muhokamasi (, 351-bet) 351-betda keltirilgan
- Kurt Von Fritz (1945 yil aprel). "Metapontum Gipasus tomonidan o'lchovsizlikning kashfiyoti". Matematika yilnomalari, ikkinchi seriya(Matematika yilnomalari) 46 (2): 242–264.
- Lyuis Kerroll, "Tugunlar bilan hikoya", M., Mir, 1985, p. 7
- Asger Aaboe Matematikaning dastlabki tarixidan epizodlar. - Amerika Matematik Assotsiatsiyasi, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Pifagor taklifi Elisha Skott Loomis tomonidan
- Evklidniki Elementlar: VI kitob, VI taklif 31: "To'g'ri burchakli uchburchaklarda to'g'ri burchakka cho'zilgan tomondagi rasm to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonlardagi o'xshash va shunga o'xshash tasvirlangan raqamlarga tengdir."
- Lourens S. Leff keltirilgan ish. - Barronning ta'lim seriyasi. - P. 326. - ISBN 0764128922
- Xovard Uitli Eves§4.8:...Pifagor teoremasini umumlashtirish // Matematikaning buyuk lahzalari (1650 yilgacha) . - Amerika Matematik Assotsiatsiyasi, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tobit ibn Qorra (toʻliq ismi Sobit ibn Qurra ibn Marvan Al-Sabiʼ al-Harroniy) (milodiy 826-901) Bagʻdodda yashovchi tabib boʻlib, Evklid elementlari va boshqa matematik mavzularda koʻp yozgan.
- Oydin Sayili (1960 yil mart). "Sobit ibn Qurraning Pifagor teoremasini umumlashtirish". Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
- Judit D. Sally, Pol Sally Mashq 2.10(ii) // Keltirilgan ish. - P. 62. - ISBN 0821844032
- Bunday qurilishning tafsilotlari uchun qarang Jorj Jennings 1.32-rasm: Umumlashtirilgan Pifagor teoremasi // Ilovalar bilan zamonaviy geometriya: 150 ta raqam bilan. - 3-chi. - Springer, 1997. - B. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Braun, Karl M.Pirsi element C: O'zboshimchalik uchun norma n-tuple ... // Tahlilga kirish. - Springer, 1995. - B. 124. - ISBN 0387943692 Shuningdek, 47-50-betlarga qarang.
- Alfred Grey, Elza Abbena, Saymon Salamon Mathematica bilan egri va sirtlarning zamonaviy differensial geometriyasi. - 3-chi. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatiya matritsa tahlili. - Springer, 1997. - B. 21. - ISBN 0387948465
- Stiven V. Xoking keltirilgan ish. - 2005. - B. 4. - ISBN 0762419229
- Erik V. Vaysshteyn CRC qisqacha matematika ensiklopediyasi. - 2. - 2003. - B. 2147. - ISBN 1584883472
- Aleksandr R. Pruss
Ijodkorlik salohiyati odatda tabiiy ilmiy tahlil, amaliy yondashuv va formulalar va raqamlarning quruq tilini qoldirib, gumanitar fanlarga tegishli. Matematikani gumanitar fan sifatida tasniflash mumkin emas. Ammo "barcha fanlar malikasi" dagi ijodkorliksiz uzoqqa bormaysiz - odamlar bu haqda uzoq vaqtdan beri bilishadi. Masalan, Pifagor davridan beri.
Maktab darsliklarida, afsuski, odatda, matematikada nafaqat teoremalar, aksiomalar va formulalarni siqish muhimligi tushuntirilmaydi. Uning asosiy tamoyillarini tushunish va his qilish muhimdir. Shu bilan birga, ongingizni klişe va oddiy haqiqatlardan ozod qilishga harakat qiling - faqat shunday sharoitda barcha buyuk kashfiyotlar tug'iladi.
Bunday kashfiyotlar orasida bugungi kunda biz Pifagor teoremasi deb bilgan kashfiyotlar mavjud. Uning yordami bilan biz matematika nafaqat qiziqarli, balki qiziqarli bo'lishi kerakligini ko'rsatishga harakat qilamiz. Va bu sarguzasht nafaqat qalin ko'zoynakli ahmoqlar uchun, balki aqli kuchli va ruhi kuchli har bir kishi uchun mos keladi.
Masala tarixidan
To'g'risini aytganda, teorema "Pifagor teoremasi" deb atalsa ham, Pifagorning o'zi uni kashf etmagan. To'g'ri burchakli uchburchak va uning maxsus xususiyatlari undan ancha oldin o'rganilgan. Bu masala bo'yicha ikkita qutbli nuqtai nazar mavjud. Bir versiyaga ko'ra, Pifagor birinchi bo'lib teoremaning to'liq isbotini topdi. Boshqasiga ko'ra, dalil Pifagor muallifligiga tegishli emas.
Bugun siz endi kim haq va kim nohaqligini tekshira olmaysiz. Faqat Pifagorning isboti, agar u mavjud bo'lsa, saqlanib qolmaganligi ma'lum. Biroq, Evklid elementlarining mashhur isboti Pifagorga tegishli bo'lishi mumkinligi haqida takliflar mavjud va Evklid buni faqat qayd etgan.
To‘g‘ri burchakli uchburchak bilan bog‘liq muammolar fir’avn Amenemxet I davridagi Misr manbalarida, shoh Hammurapi hukmronligi davridagi Bobil loy lavhalarida, qadimgi hindlarning “Sulva Sutra” risolasida va qadimgi Xitoy asarida “Chjou”da uchraydi. -bi suan jin.
Ko'rib turganingizdek, Pifagor teoremasi qadim zamonlardan beri matematiklarning ongini band qilgan. Bugungi kunda mavjud bo'lgan taxminan 367 ta turli dalillar tasdiq sifatida xizmat qiladi. Bu borada boshqa hech bir teorema u bilan raqobatlasha olmaydi. E'tiborli dalillar mualliflari orasida Leonardo da Vinchi va AQShning 20-prezidenti Jeyms Garfild bor. Bularning barchasi ushbu teoremaning matematika uchun o'ta muhimligi haqida gapiradi: geometriya teoremalarining aksariyati undan olingan yoki u yoki bu tarzda u bilan bog'liq.
Pifagor teoremasining isbotlari
Maktab darsliklarida asosan algebraik dalillar keltiriladi. Ammo teoremaning mohiyati geometriyada, shuning uchun keling, avvalo shu fanga asoslangan mashhur teoremaning isbotlarini ko'rib chiqaylik.
Isbot 1
To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasining eng oddiy isboti uchun siz ideal shartlarni qo'yishingiz kerak: uchburchak nafaqat to'g'ri burchakli, balki teng burchakli ham bo'lsin. Bu qadimgi matematiklar tomonidan dastlab ko'rib chiqilgan shunday uchburchak bo'lgan deb ishonishga asos bor.
Bayonot "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlarida qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng" quyidagi chizma bilan tasvirlash mumkin:
ABC to'g'ri burchakli uchburchakka qarang: AC gipotenuzasida siz dastlabki ABCga teng to'rtta uchburchakdan iborat kvadrat qurishingiz mumkin. Va AB va BC oyoqlarida kvadratga qurilgan, ularning har biri ikkita o'xshash uchburchakni o'z ichiga oladi.
Aytgancha, bu rasm Pifagor teoremasiga bag'ishlangan ko'plab latifalar va multfilmlarning asosini tashkil etdi. Ehtimol, eng mashhuri "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir":
Isbot 2
Bu usul algebra va geometriyani birlashtiradi va matematik Bxaskari tomonidan qadimgi hind isbotining bir varianti sifatida qaralishi mumkin.
Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing a, b va c(1-rasm). Keyin tomonlari ikki oyoq uzunligi yig'indisiga teng bo'lgan ikkita kvadrat quring - (a+b). Kvadratchalarning har birida 2 va 3-rasmlardagi kabi konstruktsiyalarni bajaring.
Birinchi kvadratda 1-rasmdagi kabi bir xil uchburchaklardan to'rttasini quring. Natijada ikkita kvadrat olinadi: biri a tomoni bilan, ikkinchisi tomoni bilan b.
Ikkinchi kvadratda qurilgan to'rtta o'xshash uchburchaklar tomoni gipotenuzaga teng bo'lgan kvadrat hosil qiladi c.
2-rasmdagi qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi 3-rasmdagi c tomoni bilan biz qurgan kvadratning maydoniga teng. Buni rasmdagi kvadratlarning maydonlarini hisoblash orqali osongina tekshirish mumkin. 2 formula bo'yicha. Va 3-rasmdagi chizilgan kvadratning maydoni. kvadratga chizilgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakning maydonlarini bir tomoni bo'lgan katta kvadrat maydonidan ayirish orqali (a+b).
Bularning barchasini qo'yib, bizda: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Qavslarni kengaytiring, barcha kerakli algebraik hisoblarni bajaring va buni oling a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Shu bilan birga, 3-rasmda yozilgan maydon. kvadratni an'anaviy formula yordamida ham hisoblash mumkin S=c2. Bular. a2+b2=c2 Siz Pifagor teoremasini isbotladingiz.
Isbot 3
Xuddi shu qadimiy hind isboti 12-asrda "Bilimlar toji" ("Siddhanta Shiromani") risolasida tasvirlangan va muallif asosiy dalil sifatida o'quvchilarning matematik qobiliyatlari va kuzatish qobiliyatiga qaratilgan murojaatdan foydalanadi. izdoshlar: "Qarang!".
Ammo biz ushbu dalilni batafsilroq tahlil qilamiz:
Kvadrat ichida chizmada ko'rsatilganidek, to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak yasang. Katta kvadratning gipotenuzasi ham bo'lgan tomoni belgilanadi Bilan. Keling, uchburchakning oyoqlarini chaqiraylik a va b. Chizilgan rasmga ko'ra, ichki kvadratning yon tomoni (a-b).
Kvadrat maydon formulasidan foydalaning S=c2 tashqi kvadratning maydonini hisoblash uchun. Shu bilan birga, ichki kvadratning maydonini va to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qo'shish orqali bir xil qiymatni hisoblang: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Bir xil natija berishiga ishonch hosil qilish uchun kvadratning maydonini hisoblash uchun ikkala variantdan ham foydalanishingiz mumkin. Va bu sizga yozish huquqini beradi c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Yechim natijasida siz Pifagor teoremasining formulasini olasiz c2=a2+b2. Teorema isbotlangan.
Isbot 4
Bu qiziq qadimiy xitoy dalili "Kelin kursisi" deb nomlangan - barcha konstruktsiyalardan kelib chiqadigan stulga o'xshash shakl tufayli:
U ikkinchi isbotda biz allaqachon 3-rasmda ko'rgan chizmadan foydalanadi. Va tomoni c bo'lgan ichki kvadrat yuqorida keltirilgan qadimgi hind isbotida bo'lgani kabi qurilgan.
Agar siz 1-rasmdagi chizmadan ikkita yashil to‘g‘ri burchakli uchburchakni aqliy ravishda kesib tashlasangiz, ularni kvadratning qarama-qarshi tomonlariga c tomoni bilan o‘tkazsangiz va gipotenuslarni nilufar uchburchaklar gipotenuzasiga biriktirsangiz, siz “kelin kursisi” deb nomlangan figuraga ega bo‘lasiz. ” (2-rasm). Aniqlik uchun qog'oz kvadratlar va uchburchaklar bilan ham xuddi shunday qilishingiz mumkin. Siz "kelinning o'rindig'i" ikki kvadratdan iborat ekanligini ko'rasiz: yon tomoni bo'lgan kichiklar b va bir tomoni bilan katta a.
Bu konstruktsiyalar qadimgi Xitoy matematiklari va ularga ergashgan bizga shunday xulosaga kelishga imkon berdi c2=a2+b2.
Isbot 5
Bu geometriyaga asoslangan Pifagor teoremasining yechimini topishning yana bir usuli. Bu Garfild usuli deb ataladi.
To‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing ABC. Biz buni isbotlashimiz kerak BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Buning uchun oyoqni davom ettiring AC va segmentni yarating CD, bu oyog'iga teng AB. Pastki perpendikulyar AD chiziq segmenti ED. Segmentlar ED va AC teng. nuqtalarni ulang E va DA, va yana E va FROM va quyidagi rasmga o'xshash rasmni oling:
Minorani isbotlash uchun biz yana sinovdan o'tgan usulga murojaat qilamiz: natijada olingan raqamning maydonini ikki yo'l bilan topamiz va iboralarni bir-biriga tenglashtiramiz.
Ko'pburchakning maydonini toping YOTOQ uni tashkil etuvchi uchta uchburchakning maydonlarini qo'shish orqali amalga oshirilishi mumkin. Va ulardan biri ERU, nafaqat to'rtburchaklar, balki teng yon tomonli hamdir. Shuni ham unutmaylik AB=CD, AC=ED va BC=CE- bu bizga yozib olishni soddalashtirish va uni ortiqcha yuklamaslik imkonini beradi. Shunday qilib, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Shu bilan birga, bu aniq YOTOQ trapezoiddir. Shuning uchun biz uning maydonini formuladan foydalanib hisoblaymiz: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Bizning hisob-kitoblarimiz uchun segmentni ifodalash qulayroq va aniqroqdir AD segmentlar yig'indisi sifatida AC va CD.
Keling, figuraning maydonini hisoblashning ikkala usulini ular orasiga teng belgi qo'yish orqali yozamiz: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Belgining o'ng tomonini soddalashtirish uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan va yuqorida tavsiflangan segmentlarning tengligidan foydalanamiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Endi biz qavslarni ochamiz va tenglikni o'zgartiramiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Barcha o'zgarishlarni tugatgandan so'ng, biz kerakli narsani olamiz: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Biz teoremani isbotladik.
Albatta, bu dalillar ro'yxati to'liq emas. Pifagor teoremasi vektorlar, kompleks sonlar, differensial tenglamalar, stereometriya va boshqalar yordamida ham isbotlanishi mumkin. Va hatto fiziklar: agar, masalan, suyuqlik chizmalarda ko'rsatilganlarga o'xshash kvadrat va uchburchak hajmlarga quyilsa. Suyuqlikni quyish orqali maydonlarning tengligini va natijada teoremaning o'zini isbotlash mumkin.
Pifagor uchliklari haqida bir necha so'z
Bu masala maktab o‘quv dasturida kam o‘rganilgan yoki o‘rganilmagan. Ayni paytda, bu juda qiziqarli va geometriyada katta ahamiyatga ega. Pifagor uchliklari ko'plab matematik muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Ularning g'oyasi keyingi ta'limda sizga foydali bo'lishi mumkin.
Xo'sh, Pifagor uchliklari nima? Ikkitasining kvadratlari yig'indisi uchinchi sonning kvadratiga teng bo'lgan uchlikda yig'ilgan natural sonlar deb ataladi.
Pifagor uchliklari quyidagilar bo'lishi mumkin:
- ibtidoiy (barcha uchta raqam nisbatan tub);
- ibtidoiy bo'lmagan (agar uchlikning har bir soni bir xil songa ko'paytirilsa, siz ibtidoiy bo'lmagan yangi uchlikni olasiz).
Bizning eramizdan oldin ham qadimgi misrliklar Pifagor uchliklarining soni uchun maniya bilan hayratda qolishgan: vazifalarda ular tomonlari 3,4 va 5 birlik bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishgan. Aytgancha, tomonlari Pifagor uchligidagi raqamlarga teng bo'lgan har qanday uchburchak sukut bo'yicha to'rtburchaklardir.
Pifagor uchliklariga misollar: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) va boshqalar.
Teoremaning amaliy qo'llanilishi
Pifagor teoremasi nafaqat matematikada, balki arxitektura va qurilish, astronomiya va hatto adabiyotda ham qo'llaniladi.
Birinchidan, qurilish haqida: Pifagor teoremasi unda turli darajadagi murakkablikdagi masalalarda keng qo'llaniladi. Masalan, Romanesk oynasiga qarang:
Deraza kengligini deb belgilaymiz b, keyin katta yarim doira radiusi sifatida belgilash mumkin R va orqali ifoda eting b: R=b/2. Kichikroq yarim doiralarning radiusini ham ifodalash mumkin b: r=b/4. Ushbu muammoda bizni derazaning ichki doirasining radiusi qiziqtiradi (uni chaqiraylik p).
Pifagor teoremasi hisoblash uchun qulaydir R. Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanamiz, bu rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan. Uchburchakning gipotenuzasi ikkita radiusdan iborat: b/4+p. Bir oyog'i radius b/4, boshqa b/2-p. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz yozamiz: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Keyinchalik, biz qavslarni ochamiz va olamiz b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Keling, ushbu ifodani aylantiramiz bp/2=b 2 /4-bp. Va keyin biz barcha shartlarni ajratamiz b, biz olish uchun shunga o'xshashlarni beramiz 3/2*p=b/4. Va oxirida biz buni topamiz p=b/6- bu bizga kerak edi.
Teoremadan foydalanib, siz gable tomi uchun raftersning uzunligini hisoblashingiz mumkin. Signalning ma'lum bir aholi punktiga etib borishi uchun mobil minora qanchalik balandligi kerakligini aniqlang. Va hatto shahar maydonida Rojdestvo daraxti o'rnating. Ko'rib turganingizdek, bu teorema nafaqat darslik sahifalarida yashaydi, balki ko'pincha haqiqiy hayotda foydalidir.
Adabiyotga kelsak, Pifagor teoremasi qadimgi davrlardan beri yozuvchilarni ilhomlantirgan va hozir ham shunday qilishda davom etmoqda. Masalan, XIX asrda yashagan nemis yozuvchisi Adelbert fon Chamisso sonet yozishga undan ilhomlangan:
Haqiqat nuri tez orada so'nmaydi,
Ammo, porlab, u tarqalib ketishi dargumon
Va ming yillar oldin bo'lgani kabi,
Shubha va tortishuvlarga sabab bo'lmaydi.
Ko'zga tegsa, eng dono
Haqiqat nuri, xudolarga shukur;
Va yuzta buqalar pichoqlangan, yolg'on gapirishadi -
Baxtli Pifagorning qaytarilgan sovg'asi.
O'shandan beri buqalar umidsizlik bilan baqirishdi:
Buqalar qabilasini abadiy qo'zg'atdi
bu erda eslatib o'tilgan voqea.
Ular vaqti keldi deb o'ylashadi
Va yana qurbon qilinadilar
Ba'zi ajoyib teorema.
(Viktor Toporov tomonidan tarjima qilingan)
Yigirmanchi asrda sovet yozuvchisi Yevgeniy Veltistov o'zining "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida Pifagor teoremasining isbotlariga butun bir bob bag'ishlagan. Va agar Pifagor teoremasi yagona dunyo uchun asosiy qonun va hatto din bo'lsa, mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan ikki o'lchovli dunyo haqidagi hikoyaning yarim bobi. Unda yashash ancha oson bo'lardi, lekin bundan ham zerikarliroq bo'lar edi: masalan, u erda hech kim "yumaloq" va "momiq" so'zlarining ma'nosini tushunmaydi.
Va "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida muallif matematika o'qituvchisi Taratara og'zidan shunday deydi: "Matematikada asosiy narsa - fikrning harakati, yangi g'oyalar". Aynan mana shu ijodiy fikrlash parvozi Pifagor teoremasini keltirib chiqaradi - bu juda ko'p turli dalillarga ega ekanligi bejiz emas. Bu odatdagidan tashqariga chiqishga va tanish narsalarga yangicha qarashga yordam beradi.
Xulosa
Ushbu maqola siz matematika bo'yicha maktab o'quv dasturidan tashqariga qarashingiz va nafaqat "Geometriya 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) va "Geometriya 7-11" darsliklarida keltirilgan Pifagor teoremasining isbotlarini o'rganishingiz uchun yaratilgan. ” (A.V. Pogorelov), shuningdek, mashhur teoremani isbotlashning boshqa qiziqarli usullari. Shuningdek, Pifagor teoremasini kundalik hayotda qanday qo'llash mumkinligi haqidagi misollarni ko'ring.
Birinchidan, bu ma'lumot sizga matematika darslarida yuqori ball olish imkonini beradi - qo'shimcha manbalardan olingan mavzu bo'yicha ma'lumotlar har doim yuqori baholanadi.
Ikkinchidan, biz sizga matematika qanchalik qiziqarli ekanligini his qilishingizga yordam bermoqchi edik. Unda ijodkorlik uchun har doim joy borligiga aniq misollar orqali ishonch hosil qilish. Umid qilamizki, Pifagor teoremasi va ushbu maqola sizni matematika va boshqa fanlar bo'yicha o'zingizning tadqiqotingiz va qiziqarli kashfiyotlaringizga ilhomlantiradi.
Agar maqolada keltirilgan dalillarni qiziqarli deb topsangiz, izohlarda bizga ayting. Ushbu ma'lumotni o'qishingizda foydali deb topdingizmi? Pifagor teoremasi va ushbu maqola haqida fikringizni bildiring - bularning barchasini siz bilan muhokama qilishdan xursand bo'lamiz.
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.
Pifagor teoremasi- munosabatni o'rnatuvchi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri
to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari o'rtasida.
Buni yunon matematigi Pifagor isbotlagan va uning nomi bilan atalgan deb ishoniladi.
Pifagor teoremasining geometrik formulasi.
Teorema dastlab quyidagicha tuzilgan:
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng,
kateterlar ustiga qurilgan.
Pifagor teoremasining algebraik formulasi.
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligining kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng.
Ya'ni, orqali uchburchakning gipotenuzasi uzunligini bildiradi c, va oyoqlarning uzunliklari orqali a va b:
Har ikkala formulalar pifagor teoremalari ekvivalentdir, lekin ikkinchi formula ko'proq elementar, unday emas
maydon tushunchasini talab qiladi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni hudud va haqida hech narsa bilmasdan tekshirish mumkin
to'g'ri burchakli uchburchakning faqat tomonlari uzunligini o'lchash orqali.
Teskari Pifagor teoremasi.
Agar uchburchakning bir tomonining kvadrati qolgan ikki tomonining kvadratlari yig‘indisiga teng bo‘lsa, u holda
uchburchak to'rtburchakdir.
Yoki boshqacha aytganda:
Musbat sonlarning har qanday uchligi uchun a, b va c, shu kabi
oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a va b va gipotenuza c.
Teng yonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.
Teng tomonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.
Pifagor teoremasining isbotlari.
Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, teorema
Pifagor juda ta'sirli dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillik
teoremaning geometriya uchun asosiy ahamiyati bilangina izohlash mumkin.
Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari:
isboti hudud usuli, aksiomatik va ekzotik dalillar(masalan,
yordamida differensial tenglamalar).
1. Pifagor teoremasining o'xshash uchburchaklar nuqtai nazaridan isboti.
Algebraik formulaning quyidagi isboti tuzilgan isbotlarning eng oddiyidir
to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.
Mayli ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C. Keling, balandlikni chizamiz C va belgilang
orqali uning poydevori H.
Uchburchak ACH uchburchakka o'xshaydi AB Ikki burchakda C. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC.
Belgini kiritish orqali:
olamiz:
,
qaysi biri mos keladi -
Katlangan holda a 2 va b 2, biz olamiz:
yoki , isbotlanishi kerak edi.
2. Pifagor teoremasini maydon usuli bilan isbotlash.
Quyidagi dalillar, ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning hammasi
dalil Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra murakkabroq bo'lgan maydonning xususiyatlaridan foydalaning.
- Ekvikomplementatsiya orqali isbotlash.
To'rtta teng to'rtburchaklar joylashtiring
rasmda ko'rsatilganidek, uchburchak
o'ngda.
Yonlari bilan to'rtburchak c- kvadrat,
chunki ikki o'tkir burchaklar yig'indisi 90 °, va
rivojlangan burchak 180 ° dir.
Butun figuraning maydoni, bir tomondan,
tomoni bilan kvadratning maydoni ( a+b), va boshqa tomondan, to'rtta uchburchakning maydonlari yig'indisi va
Q.E.D.
3. Pifagor teoremasini cheksiz kichiklar usuli bilan isbotlash.
Rasmda ko'rsatilgan chizmani hisobga olgan holda va
tomonning o'zgarishini kuzatisha, Biz qilolamiz
cheksiz uchun quyidagi munosabatni yozing
kichik yon qadamlarBilan va a(o'xshashlik yordamida
uchburchaklar):
O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Ikkala oyoqning o'sishida gipotenuzani o'zgartirishning umumiy ifodasi:
Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz:
Ko'rish oson bo'lganidek, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik chiziqli tufayli paydo bo'ladi
uchburchak tomonlari va o'sishlar o'rtasidagi proportsionallik, yig'indi esa mustaqil bilan bog'liq.
turli oyoqlarning o'sishidan hissa.
Agar oyoqlardan biri o'sishni boshdan kechirmaydi deb hisoblasak, oddiyroq dalilni olish mumkin
(bu holda, oyoq b). Keyin integratsiya konstantasi uchun biz quyidagilarni olamiz:
Pifagor teoremasining jonlantirilgan isboti ulardan biridir asosiy to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari orasidagi munosabatni o'rnatuvchi evklid geometriyasining teoremalari. Buni yunon matematigi Pifagor isbotlagan, uning nomi bilan atalgan (boshqa versiyalar mavjud, xususan, bu teorema odatda Pifagor matematigi Gipas tomonidan tuzilgan degan muqobil fikr mavjud).
Teorema shunday deydi:
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisiga teng.
Uchburchakning gipotenuzasi uzunligini belgilash c, va oyoqlarning uzunligi kabi a va b, quyidagi formulani olamiz:
Shunday qilib, Pifagor teoremasi boshqa ikkitasining uzunligini bilib, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonini aniqlashga imkon beruvchi munosabatni o'rnatadi. Pifagor teoremasi ixtiyoriy uchburchakning tomonlari orasidagi munosabatni aniqlaydigan kosinuslar teoremasining maxsus holatidir.
Qarama-qarshi fikr ham isbotlangan (teskari Pifagor teoremasi deb ham ataladi):
Har qanday uchta musbat a, b va c sonlar uchun a? +b? = c ?, a va b oyoqlari va gipotenuzasi c bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud.
Chu Pei eramizdan avvalgi 500-200 yillardagi uchburchak (3, 4, 5) uchun vizual dalillar. Teorema tarixini to‘rt qismga bo‘lish mumkin: Pifagor raqamlari haqidagi bilimlar, to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi tomonlar nisbati haqidagi bilimlar, qo‘shni burchaklar nisbati haqidagi bilimlar va teoremaning isboti.
Miloddan avvalgi 2500 yillar atrofida megalitik inshootlar Misr va Shimoliy Evropada butun tomonlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar mavjud. Barthel Leendert van der Waerden o'sha kunlarda Pifagor raqamlari algebraik tarzda topilgan deb taxmin qildi.
Miloddan avvalgi 2000-1876 yillar orasida yozilgan Misrning O'rta Qirolligidan olingan papirus Berlin 6619 yechimi Pifagor raqamlari bo'lgan muammoni o'z ichiga oladi.
Buyuk Hammurapi hukmronligi davrida, Vibiloniy lavhasi Plimpton 322, Miloddan avvalgi 1790 va 1750 yillar orasida yozilgan Pifagor raqamlari bilan chambarchas bog'liq ko'plab yozuvlarni o'z ichiga oladi.
Budhayana sutralarida turli versiyalarga ko'ra miloddan avvalgi VIII yoki II asrlarga tegishli. Hindistonda, algebraik tarzda olingan Pifagor raqamlari, Pifagor teoremasining formulasi va teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning geometrik isboti mavjud.
Apastamba sutralarida (taxminan miloddan avvalgi 600 yil) maydon hisoblari yordamida Pifagor teoremasining raqamli isboti mavjud. Van der Vaerdenning fikricha, u o'zidan oldingilarning an'analariga asoslangan. Albert Burkoning so'zlariga ko'ra, bu teoremaning asl isboti va u Pifagor Arakoniga tashrif buyurgan va undan ko'chirilgan deb taxmin qiladi.
Pifagorlar, uning hayot yillari odatda miloddan avvalgi 569 - 475 yillarda ko'rsatilgan. Proklovning Evklid haqidagi sharhlariga ko'ra, Pifagor raqamlarini hisoblash uchun algebraik usullardan foydalanadi. Biroq, Prokl eramizning 410-485 yillari orasida yashagan. Tomas Gizening so'zlariga ko'ra, Pifagordan keyin besh asr davomida teorema muallifligi haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Biroq, Plutarx yoki Tsitseron kabi mualliflar teoremani Pifagorga bog'lashganda, ular buni mualliflik keng tarqalgan va aniq bo'lgandek qilishadi.
Miloddan avvalgi 400 yillar atrofida Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor raqamlarini hisoblash usulini bergan. Miloddan avvalgi 300-yillarda Boshlanishlar Evklid, bizda bugungi kungacha saqlanib qolgan eng qadimgi aksiomatik dalil bor.
Miloddan avvalgi 500-yillarda yozilgan. va miloddan avvalgi 200-yilda, Xitoy matematik kitobi "Chu Pei" (? ? ?), Xitoyda gugu teoremasi (????) deb ataladi Pifagor teoremasining vizual isbotini beradi, tomonlari (3) bo'lgan uchburchak uchun. , 4, 5). Xan sulolasi hukmronligi davrida, miloddan avvalgi 202 yildan. 220-yilgacha Pifagor raqamlari "Matematik san'atning to'qqiz bo'limi" kitobida to'g'ri burchakli uchburchaklar haqida eslatib o'tilgan.
Teoremadan foydalanish birinchi bo'lib Xitoyda hujjatlashtirilgan bo'lib, u gugu teoremasi (????) va Hindistonda Baskar teoremasi deb nomlanadi.
Ko'pchilik Pifagor teoremasi bir marta yoki bir necha marta kashf etilganmi deb bahslashmoqda. Boyer (1991) Shulba Sutrada topilgan bilimlar Mesopotamiyadan kelib chiqqan bo'lishi mumkin deb hisoblaydi.
Algebraik isbot 
Kvadratlar to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakdan hosil bo'ladi. Pifagor teoremasining yuzdan ortiq isboti ma'lum. Bu erda dalillar figuraning maydoni uchun mavjudlik teoremasiga asoslanadi:
Rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta bir xil to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring.
Yonlari bilan to'rtburchak c kvadratdir, chunki ikkita o'tkir burchakning yig'indisi , to'g'rilangan burchak esa .
Butun figuraning maydoni, bir tomondan, "a + b" tomoni bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng. .
Qaysi narsa isbotlanishi kerak.
Uchburchaklarning o'xshashligi bilan 
Shu kabi uchburchaklardan foydalanish. Mayli ABC burchak joylashgan to'g'ri burchakli uchburchakdir C rasmda ko'rsatilganidek, tekis. Bir nuqtadan balandlik chizamiz c, va qo'ng'iroq qiling H tomoni bilan kesishish nuqtasi AB. Uchburchak hosil bo'ldi ACH uchburchak kabi abc, chunki ular ikkalasi ham to'rtburchaklar (balandlik ta'rifi bo'yicha) va ular bir burchakka ega A, bu uchburchaklarda ham uchinchi burchak bir xil bo'lishi aniq. Xuddi shunday mirkuyuyuchy, uchburchak CBH ham uchburchakka o'xshaydi ABC. Uchburchaklarning o'xshashligidan: Agar
Buni shunday yozish mumkin
Agar biz bu ikki tenglikni qo'shsak, olamiz
HB + c marta AH = c marta (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Boshqacha qilib aytganda, Pifagor teoremasi:
Evklidning isboti 
Evklidning Evklid «Prinsiplarida» isboti, Pifagor teoremasi parallelogrammalar usuli bilan isbotlangan. Mayli A, B, C to'g'ri burchakli uchburchakning uchlari A. Bir nuqtadan perpendikulyar tushiring A gipotenuzaga qurilgan kvadratdagi gipotenuzaga qarama-qarshi tomonga. Chiziq kvadratni ikkita to'rtburchakga ajratadi, ularning har biri oyoqlarda qurilgan kvadratchalar bilan bir xil maydonga ega. Isbotdagi asosiy fikr shundan iboratki, yuqori kvadratlar bir xil maydonning parallelogrammalariga aylanadi va keyin orqaga qaytib, pastki kvadratda va yana bir xil maydon bilan to'rtburchaklar aylanadi.
Keling, segmentlarni chizamiz CF va AD, uchburchaklarni olamiz BCF va BDA.
burchaklar KABINA va BAG- To'g'riga; ball C, A va G kollineardir. Xuddi shu tarzda B, A va H.
burchaklar CBD va FBA- ikkalasi ham to'g'ri, keyin burchak ABD burchakka teng fbc, chunki ikkalasi ham to'g'ri burchak va burchakning yig'indisidir ABC.
Uchburchak ABD va FBC ikki tomonning darajasi va ular orasidagi burchak.
Chunki nuqtalar A, K va L- kollinear, BDLK to'rtburchakning maydoni uchburchakning ikkita maydoniga teng ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Xuddi shunday, biz ham olamiz CKLE = ACIH = AC 2
Bir tomondan hudud CBDE to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng BDLK va CKLE, boshqa tomondan, kvadrat maydoni BC2, yoki AB 2 + AC 2 = Miloddan avvalgi 2.
Differensiallardan foydalanish 
Differensiallardan foydalanish. Pifagor teoremasiga o'ngdagi rasmda ko'rsatilganidek, tomonning o'sishi gipotenuzaning uzunligiga qanday ta'sir qilishini o'rganish va kichik hisob-kitoblarni qo'llash orqali erishish mumkin.
Yon tomonning o'sishi natijasida a, cheksiz kichik o'sishlar uchun o'xshash uchburchaklardan
Integratsiya biz olamiz
Agar a a= 0 keyin c = b, shuning uchun "doimiy" b 2. Keyin
Ko'rinib turibdiki, kvadratlar o'sish va tomonlar o'rtasidagi nisbatga bog'liq, yig'indi esa tomonlarning o'sishining mustaqil hissasi natijasidir, bu geometrik dalillardan ko'rinmaydi. Bu tenglamalarda da va DC mos ravishda tomonlarning cheksiz kichik o'sishidir a va c. Lekin ularning o'rniga biz foydalanamiz? a va? c, u holda ular nolga moyil bo'lsa, nisbatning chegarasi da / DC, hosila va ga ham teng c / a, uchburchaklar tomonlari uzunliklarining nisbati, natijada biz differentsial tenglamani olamiz.
Ortogonal vektorlar tizimida tenglik yuzaga keladi, bu Pifagor teoremasi deb ham ataladi:
Agar - Bu vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari bo'lsa, u holda bu formula Evklid masofasiga to'g'ri keladi va vektor uzunligi uning komponentlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng ekanligini bildiradi.
Cheksiz vektorlar sistemasidagi bu tenglikning analogi Parseval tengligi deyiladi.
