4.3.1 रैखिक स्थान परिभाषा

होने देना ā , , - कुछ सेट के तत्व ā , , भूमि λ , μ - वास्तविक संख्या, λ , μ आर..

सेट एल कहा जाता हैरैखिक यासदिश स्थल, यदि दो ऑपरेशन परिभाषित हैं:

1 0 . योग। इस समुच्चय के तत्वों का प्रत्येक युग्म एक ही समुच्चय के एक अवयव से जुड़ा होता है, जिसे उनका योग कहते हैं

ā + =

2°.एक संख्या से गुणा। कोई वास्तविक संख्या λ और तत्व ā लीएक ही सेट का एक तत्व सौंपा गया है λ ā लीऔर निम्नलिखित गुण मिलते हैं:

1. ए+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. मौजूद है शून्य तत्व
, ऐसा है कि ā +=ā ;

4. मौजूद है विपरीत तत्व -
ऐसा है कि ā +(-ā )=.

यदि एक λ , μ - वास्तविक संख्या, फिर:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

रैखिक स्थान के तत्व ā, , ... वेक्टर कहलाते हैं।

एक व्यायाम।स्वयं को दिखाएँ कि ये समुच्चय रैखिक रिक्त स्थान बनाते हैं:

1) समतल पर ज्यामितीय सदिशों का समुच्चय;

2) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ज्यामितीय वैक्टर का एक सेट;

3) कुछ अंश के बहुपदों का समुच्चय;

4) समान आयाम वाले आव्यूहों का समुच्चय।

4.3.2 रैखिक रूप से आश्रित और स्वतंत्र सदिश। अंतरिक्ष का आयाम और आधार

रैखिक संयोजन वैक्टर ā 1 , ā 2 , …, ā एन लीरूप के समान स्थान का सदिश कहलाता है:

,

कहाँ पे λ मैं - वास्तविक संख्याएँ।

वैक्टर ā 1 , .. , ā एन बुलायारैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि उनका रैखिक संयोजन एक शून्य सदिश है यदि और केवल यदि सभीमैं शून्य के बराबर हैं,वह है

λ मैं = 0

यदि रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर है और कम से कम एक है λ मैंशून्य से भिन्न है, तो इन सदिशों को रैखिकतः आश्रित कहा जाता है। उत्तरार्द्ध का अर्थ है कि कम से कम एक वैक्टर को अन्य वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। दरअसल, चलो और, उदाहरण के लिए,
. फिर,
, कहाँ पे

.

वैक्टर की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र आदेशित प्रणाली को कहा जाता है आधार अंतरिक्ष ली. आधार सदिशों की संख्या कहलाती है आयाम अंतरिक्ष।

आइए मान लें कि वहाँ है एनरैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर, तो अंतरिक्ष कहा जाता है एन-आयामी। अन्य अंतरिक्ष वैक्टर को एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है एनआधार वैक्टर। प्रति आधार एन- आयामी स्थान लिया जा सकता है कोई एनइस स्थान के रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश।

उदाहरण 17.दिए गए रैखिक रिक्त स्थान का आधार और आयाम ज्ञात कीजिए:

a) एक रेखा पर पड़े हुए सदिशों के समुच्चय (किसी रेखा के समरेखीय)

बी) विमान से संबंधित वैक्टर का सेट

सी) त्रि-आयामी अंतरिक्ष के वैक्टर का सेट

d) अधिकतम दो घात वाले बहुपदों का समुच्चय।

समाधान।

एक)रेखा पर पड़े कोई भी दो सदिश रैखिक रूप से निर्भर होंगे, क्योंकि सदिश संरेखी होते हैं
, फिर
, λ - अदिश। इसलिए, इस स्थान का आधार शून्य के अलावा केवल एक (कोई) वेक्टर है।

आमतौर पर यह जगह है आर, इसका आयाम 1 है।

बी)कोई भी दो असंरेखीय सदिश
रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और विमान में कोई भी तीन वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं। किसी भी वेक्टर के लिए , संख्याएं हैं  तथा  ऐसा है कि
. अंतरिक्ष को द्वि-आयामी कहा जाता है, निरूपित आर 2 .

द्वि-विमीय समष्टि का आधार किन्हीं दो असंरेखीय सदिशों द्वारा बनता है।

में)कोई भी तीन गैर-समतलीय सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होंगे, वे त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं आर 3 .

जी)अधिकतम दो घात वाले बहुपदों के स्थान के आधार के रूप में, कोई निम्नलिखित तीन सदिशों को चुन सकता है: ē 1 = एक्स 2 ; ē 2 = एक्स; ē 3 =1 .

(1 एक बहुपद है, समान रूप से एक के बराबर)। यह स्पेस थ्री डायमेंशनल होगा।

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वेक्टर(या रैखिक) अंतरिक्ष- एक गणितीय संरचना, जो तत्वों का एक समूह है, जिसे वैक्टर कहा जाता है, जिसके लिए एक दूसरे के अलावा और एक संख्या से गुणा के संचालन को परिभाषित किया जाता है - एक अदिश। ये ऑपरेशन आठ स्वयंसिद्धों के अधीन हैं। अदिश एक वास्तविक, सम्मिश्र या किसी अन्य संख्या क्षेत्र के तत्व हो सकते हैं। ऐसे स्थान का एक विशेष मामला सामान्य त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, जिसके वैक्टर का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, भौतिक बलों का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उसी समय, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वेक्टर अंतरिक्ष के एक तत्व के रूप में एक वेक्टर को निर्देशित खंड के रूप में निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। किसी भी प्रकृति के वेक्टर अंतरिक्ष के एक तत्व के लिए "वेक्टर" की अवधारणा का सामान्यीकरण न केवल शब्दों के भ्रम का कारण बनता है, बल्कि हमें कई परिणामों को समझने या यहां तक ​​​​कि अनुमान लगाने की अनुमति देता है जो एक मनमानी प्रकृति के रिक्त स्थान के लिए मान्य हैं। .

रैखिक बीजगणित में सदिश स्थान अध्ययन का विषय है। वेक्टर अंतरिक्ष की मुख्य विशेषताओं में से एक इसका आयाम है। आयाम अंतरिक्ष के रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों की अधिकतम संख्या है, अर्थात, किसी न किसी ज्यामितीय विवरण का सहारा लेकर, दिशाओं की संख्या जो एक दूसरे के संदर्भ में केवल एक अदिश द्वारा जोड़ और गुणा के संचालन के माध्यम से अक्षम्य हैं। वेक्टर स्पेस को अतिरिक्त संरचनाओं के साथ संपन्न किया जा सकता है, जैसे कि आदर्श या डॉट उत्पाद। इस तरह के रिक्त स्थान कैलकुलस में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं, मुख्य रूप से अनंत-आयामी फ़ंक्शन रिक्त स्थान के रूप में ( अंग्रेज़ी), जहां वेक्टर कार्य हैं। विश्लेषण में कई समस्याओं के लिए यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि क्या सदिशों का अनुक्रम किसी दिए गए सदिश में परिवर्तित होता है। अतिरिक्त संरचना के साथ वेक्टर रिक्त स्थान में ऐसे प्रश्नों पर विचार करना संभव है, ज्यादातर मामलों में एक उपयुक्त टोपोलॉजी, जो किसी को निकटता और निरंतरता की अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देती है। ऐसे टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान, विशेष रूप से बनच और हिल्बर्ट रिक्त स्थान, गहन अध्ययन की अनुमति देते हैं।

वैक्टर के अलावा, रैखिक बीजगणित उच्च रैंक के टेंसर का भी अध्ययन करता है (एक स्केलर को रैंक 0 का टेंसर माना जाता है, एक वेक्टर को रैंक 1 का टेंसर माना जाता है)।

पहला काम जिसने वेक्टर अंतरिक्ष की अवधारणा की शुरुआत का अनुमान लगाया था, वह 17 वीं शताब्दी की है। यह तब था जब विश्लेषणात्मक ज्यामिति, मैट्रिक्स के सिद्धांत, रैखिक समीकरणों की प्रणाली और यूक्लिडियन वैक्टर ने अपना विकास प्राप्त किया।

परिभाषा

रैखिक, या सदिश स्थल $वी\backslash बाएं(एफ\backslash दाएं)$मैदान के ऊपर $एफ$एक आदेशित चौगुनी है $(वी,एफ,+,\backslash cdot)$, कहाँ पे

• $वी$- मनमानी प्रकृति के तत्वों का एक गैर-रिक्त सेट, जिसे कहा जाता है वैक्टर;
• $एफ$- (बीजीय) क्षेत्र जिसके तत्व कहलाते हैं अदिश;
• ऑपरेशन परिभाषित अतिरिक्तवैक्टर $वी\backslash गुना\; वी\backslash से\; वी$, तत्वों की प्रत्येक जोड़ी से मेल खाता है $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$सेट $वी$ $वी$उन्हें बुला रहा है जोड़और निरूपित $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• ऑपरेशन परिभाषित अदिश द्वारा सदिशों का गुणन $एफ\backslash गुना\; वी\backslash से\; वी$, जो प्रत्येक तत्व से मेल खाता है $\backslash lambda$खेत $एफ$और प्रत्येक तत्व $\backslash mathbf(x)$सेट $वी$सेट का एकमात्र तत्व $वी$, निरूपित $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$या $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

तत्वों के एक ही सेट पर परिभाषित वेक्टर रिक्त स्थान लेकिन विभिन्न क्षेत्रों में अलग-अलग वेक्टर रिक्त स्थान होंगे (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के जोड़े का सेट $\backslash mathbb(R)^2$वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक द्वि-आयामी वेक्टर स्थान हो सकता है या एक-आयामी - जटिल संख्याओं के क्षेत्र में)।

सबसे सरल गुण

1. सदिश समष्टि योग द्वारा एक आबेलियन समूह है।
2. तटस्थ तत्व $\backslash mathbf(0)\; \backslash V\; .\; में$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$किसी के लिए भी $\backslash mathbf(x)\; \backslash V\; .\; में$.
4. किसी के लिए भी $\backslash mathbf(x)\; \backslash V\; .\; में$विपरीत तत्व $-\backslash mathbf(x)\; \backslash V\; .\; में$केवल वही है जो समूह गुणों से अनुसरण करता है।
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$किसी के लिए भी $\backslash mathbf(x)\; \backslash V\; .\; में$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$किसी के लिए $\backslash अल्फा\; \backslash F\; .\; में$तथा $\backslash mathbf(x)\; \backslash V\; .\; में$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$किसी के लिए भी $\backslash अल्फा\; \backslash F\; .\; में$.

संबंधित परिभाषाएं और गुण

उपस्पेस

बीजगणितीय परिभाषा: रैखिक उप-स्थानया वेक्टर सबस्पेसएक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है $क$रैखिक स्थान $वी$ऐसा है कि $क$में परिभाषित लोगों के संबंध में स्वयं एक रैखिक स्थान है $वी$एक अदिश द्वारा जोड़ और गुणा का संचालन। सभी उप-स्थानों के समुच्चय को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $\backslash mathrm(अक्षांश)(वी)$. उपसमुच्चय के उप-स्थान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि

1. किसी भी वेक्टर के लिए $\backslash mathbf(x)\backslash में\; K$, वेक्टर $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$भी थे $क$, किसी के लिए $\backslash alpha\backslash में\; एफ$;
2. किसी भी वैक्टर के लिए $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, वेक्टर $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$भी थे $क$.

अंतिम दो कथन निम्नलिखित के बराबर हैं:

किसी भी वैक्टर के लिए $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, वेक्टर $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$भी थे $क$किसी के लिए $\backslash अल्फा,\; \backslash बीटा\; \backslash F\; .\; में$.

विशेष रूप से, एक सदिश समष्टि जिसमें केवल एक शून्य सदिश होता है, किसी भी समष्टि का उप-समष्टि होता है; कोई भी स्थान अपने आप में एक उप-स्थान होता है। उप-स्थान जो इन दोनों से मेल नहीं खाते, कहलाते हैं अपनाया गैर तुच्छ.

सबस्पेस गुण

• उप-स्थानों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन फिर से एक उप-स्थान है;
• उप-स्थानों का योग $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$तत्वों के सभी संभावित योगों वाले सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $के\_आई$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • उप-समष्टि के परिमित परिवार का योग फिर से एक उप-समष्टि है।

रैखिक संयोजन

दृश्य का अंतिम योग

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

रैखिक संयोजन को कहा जाता है:

आधार। आयाम

वैक्टर $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$बुलाया रैखिक रूप से आश्रित, यदि उनमें शून्य के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

अन्यथा, इन वैक्टरों को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

यह परिभाषा निम्नलिखित सामान्यीकरण की अनुमति देती है: से वैक्टर का एक अनंत सेट $वी$बुलाया रैखिक रूप से आश्रित, यदि कुछ अंतिमइसका सबसेट, और रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि कोई अंतिमउपसमुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

आधार गुण:

• कोई $एन$रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व $एन$-आयामी अंतरिक्ष रूप आधारयह स्थान।
• कोई वेक्टर $\backslash mathbf(x)\; \backslash V\; .\; में$मूल तत्वों के परिमित रैखिक संयोजन के रूप में (विशिष्ट रूप से) प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

रैखिक खोल

रैखिक खोल $\backslash mathcal\; वी(एक्स)$सबसेट $एक्स$रैखिक स्थान $वी$- सभी उप-स्थानों का चौराहा $वी$युक्त $एक्स$.

रैखिक खोल एक उप-स्थान है $वी$.

रैखिक खोल को भी कहा जाता है उप-स्थान उत्पन्न $एक्स$. यह भी कहा जाता है कि रैखिक अवधि $\backslash mathcal\; वी(एक्स)$- अंतरिक्ष, फैला हुआबहुत सारे $एक्स$.

रैखिक खोल $\backslash mathcal\; वी(एक्स)$से तत्वों के विभिन्न परिमित उप-प्रणालियों के सभी संभावित रैखिक संयोजन शामिल हैं $एक्स$. विशेष रूप से, यदि $एक्स$एक परिमित समुच्चय है, तो $\backslash mathcal\; वी(एक्स)$तत्वों के सभी रैखिक संयोजन होते हैं $एक्स$. इस प्रकार, शून्य वेक्टर हमेशा रैखिक अवधि के अंतर्गत आता है।

यदि एक $एक्स$एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट है, तो यह एक आधार है $\backslash mathcal\; वी(एक्स)$और इस प्रकार इसके आयाम को निर्धारित करता है।

उदाहरण

• एक रिक्त स्थान जिसका एकमात्र तत्व शून्य है।
• सभी कार्यों का स्थान $एक्स\backslash से\; एफ$परिमित समर्थन के साथ के बराबर आयाम का एक सदिश स्थान बनाता है $एक्स$.
• वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र को परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में एक सातत्य-आयामी सदिश स्थान के रूप में देखा जा सकता है।
• कोई भी क्षेत्र अपने से ऊपर एक आयामी स्थान होता है।

अतिरिक्त संरचनाएं

यह सभी देखें

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टिप्पणियाँ

साहित्य

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वेक्टर और मैट्रिसेस वैक्टर मूल अवधारणा वैक्टर के प्रकार वैक्टर पर संचालन अंतरिक्ष प्रकार मैट्रिक्स मूल अवधारणा अन्य

वेक्टर स्पेस की विशेषता वाला एक अंश

कुतुज़ोव रैंकों के माध्यम से चला गया, कभी-कभी रुक गया और अधिकारियों से कुछ तरह के शब्द कहे, जिन्हें वह तुर्की युद्ध से जानता था, और कभी-कभी सैनिकों से। जूतों की ओर देखते हुए, उसने कई बार उदास रूप से अपना सिर हिलाया और ऑस्ट्रियाई जनरल की ओर इस तरह से इशारा किया कि वह इसके लिए किसी को फटकारता नहीं था, लेकिन वह मदद नहीं कर सकता था लेकिन देख सकता था कि यह कितना बुरा था। रेजिमेंट के बारे में कमांडर-इन-चीफ के शब्द को याद करने के डर से, रेजिमेंटल कमांडर हर बार आगे भागा। कुतुज़ोव के पीछे, इतनी दूरी पर कि किसी भी कमजोर शब्द को सुना जा सकता था, 20 अनुचरों का एक आदमी चला गया। अनुचरों के सज्जन आपस में बातें करते थे और कभी हँसते थे। कमांडर-इन-चीफ के पीछे एक सुंदर सहायक था। यह प्रिंस बोल्कॉन्स्की था। उनके बगल में उनके साथी नेस्वित्स्की, एक लंबा स्टाफ अधिकारी, अत्यंत कठोर, एक दयालु और मुस्कुराते हुए सुंदर चेहरे और नम आंखों के साथ चल रहा था; Nesvitsky मुश्किल से अपने आप को हँसने से रोक सका, उसके बगल में चल रहे काले रंग के हुसार अधिकारी द्वारा उत्तेजित किया गया। हुसार अधिकारी ने बिना मुस्कुराए, अपनी स्थिर आँखों के भाव को बदले बिना, रेजिमेंटल कमांडर के पीछे एक गंभीर चेहरे को देखा और उसकी हर हरकत की नकल की। हर बार रेजिमेंटल कमांडर कांपता और आगे झुकता, ठीक उसी तरह, ठीक उसी तरह, हुसार अधिकारी थरथराता और आगे झुक जाता। Nesvitsky हँसा और दूसरों को मजाकिया आदमी को देखने के लिए धक्का दिया।
कुतुज़ोव धीरे-धीरे और बिना सोचे-समझे उन हज़ारों आँखों के सामने से गुज़रा जो उनकी जेब से निकली थीं, बॉस का पीछा करते हुए। तीसरी कंपनी के साथ तालमेल बिठाने के बाद, वह अचानक रुक गया। अनुचर, इस पड़ाव का पूर्वाभास न करते हुए, अनैच्छिक रूप से उस पर आगे बढ़ा।
- आह, तिमोखिन! - कमांडर-इन-चीफ ने कहा, लाल नाक वाले कप्तान को पहचानते हुए, जो नीले ओवरकोट के लिए पीड़ित था।
ऐसा लग रहा था कि टिमोखिन की तुलना में अधिक खींचना असंभव था, जबकि रेजिमेंटल कमांडर ने उसे फटकार लगाई। लेकिन उस समय कमांडर-इन-चीफ ने उसे संबोधित किया, कप्तान ने इस कदर तान दी कि ऐसा लगने लगा कि अगर कमांडर-इन-चीफ ने उसे थोड़ी और देर तक देखा होता, तो कप्तान इसे बर्दाश्त नहीं कर पाता; और इसलिए कुतुज़ोव, जाहिरा तौर पर अपनी स्थिति को समझते हुए और इसके विपरीत, कप्तान के लिए शुभकामनाएं, जल्दबाजी में दूर हो गए। कुतुज़ोव के मोटे, घायल चेहरे पर एक बमुश्किल बोधगम्य मुस्कान दौड़ गई।
"एक और इज़मायलोव्स्की कॉमरेड," उन्होंने कहा। "बहादुर अधिकारी!" क्या तुम्हे इससे खुशी हुई? कुतुज़ोव ने रेजिमेंटल कमांडर से पूछा।
और रेजिमेंटल कमांडर, जैसे कि एक दर्पण में परिलक्षित होता है, अदृश्य रूप से खुद को, हुसार अधिकारी में, थरथराता हुआ, आगे बढ़ गया और उत्तर दिया:
"बहुत प्रसन्न, महामहिम।
"हम सभी कमजोरियों के बिना नहीं हैं," कुतुज़ोव ने मुस्कुराते हुए और उससे दूर जाते हुए कहा। "उन्हें बैचस से लगाव था।
रेजिमेंटल कमांडर को डर था कि वह इसके लिए दोषी नहीं था, और उसने जवाब नहीं दिया। अधिकारी ने उस समय कप्तान के चेहरे को एक लाल नाक और एक बंद पेट के साथ देखा, और उसके चेहरे और मुद्रा की इसी तरह नकल की कि नेस्वित्स्की हँसने में मदद नहीं कर सका।
कुतुज़ोव घूम गया। यह स्पष्ट था कि अधिकारी अपने चेहरे को नियंत्रित कर सकता था जैसा वह चाहता था: जिस समय कुतुज़ोव घूमा, अधिकारी एक मुस्कराहट बनाने में कामयाब रहा, और उसके बाद सबसे गंभीर, सम्मानजनक और निर्दोष अभिव्यक्ति ली।
तीसरी कंपनी आखिरी थी, और कुतुज़ोव ने सोचा, जाहिर तौर पर कुछ याद कर रहा था। प्रिंस आंद्रेई ने रेटिन्यू से बाहर कदम रखा और चुपचाप फ्रेंच में कहा:
- आपने इस रेजिमेंट में पदावनत डोलोखोव को याद दिलाने का आदेश दिया।
- डोलोखोव कहाँ है? कुतुज़ोव ने पूछा।
पहले से ही एक सैनिक के ग्रे ओवरकोट पहने डोलोखोव ने बुलाए जाने का इंतजार नहीं किया। स्पष्ट नीली आँखों वाले एक गोरे सैनिक की पतली आकृति सामने से निकली। वह कमांडर-इन-चीफ के पास पहुंचा और एक गार्ड बनाया।
- दावा? - थोड़ा डूबते हुए, कुतुज़ोव ने पूछा।
"यह डोलोखोव है," प्रिंस आंद्रेई ने कहा।
- ए! कुतुज़ोव ने कहा। - मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सही करेगा, अच्छी सेवा करेगा। सम्राट दयालु है। और अगर तुम इसके लायक हो तो मैं तुम्हें नहीं भूलूंगा।
स्पष्ट नीली आँखों ने कमांडर-इन-चीफ को उसी तरह से देखा जैसे उन्होंने रेजिमेंटल कमांडर पर किया था, जैसे कि उनकी अभिव्यक्ति से वे पारंपरिकता के परदे को फाड़ रहे थे जिसने कमांडर-इन-चीफ को सैनिक से अब तक अलग किया था।
"मैं आपसे एक बात पूछता हूं, महामहिम," उन्होंने अपनी गुंजायमान, दृढ़, अविचलित आवाज में कहा। "मैं आपसे अपने अपराध के लिए संशोधन करने और सम्राट और रूस के प्रति अपनी भक्ति साबित करने का मौका देने के लिए कहता हूं।
कुतुज़ोव दूर हो गया। उसकी आँखों की वही मुस्कान उसके चेहरे पर चमक उठी, जब वह कैप्टन टिमोखिन से दूर हो गया था। वह मुड़ा और मुस्कुराया, जैसे कि वह यह व्यक्त करना चाहता था कि डोलोखोव ने उसे जो कुछ भी बताया, और जो कुछ भी वह उसे बता सकता था, वह लंबे समय से जानता था कि यह सब उसे पहले ही ऊब चुका था और यह सब था बिल्कुल नहीं जिसकी उसे जरूरत थी.. वह मुड़ा और गाड़ी की तरफ चल दिया।
रेजिमेंट कंपनियों में छा गई और ब्रौनौ से बहुत दूर निर्दिष्ट अपार्टमेंट की ओर नहीं गई, जहां वे कठिन बदलावों के बाद जूते, पोशाक और आराम करने की उम्मीद करते थे।
- तुम मेरे लिए दिखावा नहीं करते, प्रोखोर इग्नाटिच? - रेजिमेंटल कमांडर ने कहा, तीसरी कंपनी का चक्कर लगाते हुए जगह की ओर बढ़ रहा था और कैप्टन टिमोखिन तक गाड़ी चला रहा था, जो उसके सामने चल रहा था। एक खुशी-खुशी विदा होने के बाद, रेजिमेंटल कमांडर के चेहरे ने अपरिवर्तनीय खुशी व्यक्त की। - शाही सेवा ... आप नहीं कर सकते ... दूसरी बार आप सामने से कट जाएंगे ... मैं सबसे पहले माफी मांगूंगा, आप मुझे जानते हैं ... बहुत बहुत धन्यवाद! और उसने अपना हाथ सेनापति की ओर बढ़ाया।
"क्षमा करें, जनरल, क्या मेरी हिम्मत है!" - कप्तान ने जवाब दिया, अपनी नाक से लाल हो जाना, मुस्कुराना और मुस्कान के साथ सामने के दो दांतों की कमी को प्रकट करना, इश्माएल के पास एक बट से खटखटाया।
- हां, मिस्टर डोलोखोव से कहो कि मैं उसे नहीं भूलूंगा, ताकि वह शांत रहे। हाँ, कृपया मुझे बताओ, मैं पूछना चाहता था कि वह क्या है, कैसा व्यवहार कर रहा है? और सब कुछ...
"वह अपनी सेवा में बहुत सेवा योग्य है, महामहिम ... लेकिन काराखटर ..." टिमोखिन ने कहा।
- और क्या, चरित्र क्या है? रेजिमेंटल कमांडर से पूछा।
"वह पाता है, महामहिम, दिनों के लिए," कप्तान ने कहा, "वह स्मार्ट है, और सीखा है, और दयालु है। और यह एक जानवर है। पोलैंड में उसने एक यहूदी को मार डाला, कृपया जान लें...
- अच्छा, हाँ, ठीक है, हाँ, - रेजिमेंटल कमांडर ने कहा, - आपको अभी भी दुर्भाग्य में युवक के लिए खेद महसूस करना है। आख़िरकार, बढ़िया कनेक्शन... तो आप...
"मैं सुन रहा हूँ, महामहिम," टिमोखिन ने मुस्कुराते हुए कहा, यह महसूस करते हुए कि वह बॉस की इच्छाओं को समझ गया है।
- हाँ हाँ।
रेजिमेंटल कमांडर ने डोलोखोव को रैंकों में पाया और अपने घोड़े पर लगाम लगाई।
"पहले मामले से पहले, एपॉलेट्स," उन्होंने उससे कहा।
डोलोखोव ने चारों ओर देखा, कुछ नहीं कहा और अपने मजाकिया मुस्कुराते हुए मुंह के भाव को नहीं बदला।
"ठीक है, यह अच्छा है," रेजिमेंटल कमांडर ने जारी रखा। उन्होंने कहा, "लोगों को मुझसे वोडका का एक गिलास मिलता है," उन्होंने कहा, ताकि सैनिक सुन सकें। - आप सभी को धन्यवाद! सुकर है! - और उसने एक कंपनी को पछाड़कर दूसरे को चला दिया।
"ठीक है, वह वास्तव में एक अच्छा आदमी है; आप उसके साथ सेवा कर सकते हैं," तिमोखिन सबाल्टर्न ने अपने बगल में चल रहे अधिकारी से कहा।
- एक शब्द, लाल! ... (रेजिमेंट कमांडर को लाल राजा उपनाम दिया गया था) - सबाल्टर्न अधिकारी ने हंसते हुए कहा।
समीक्षा के बाद अधिकारियों का खुश मिजाज जवानों के पास गया। रोटा मजा कर रहा था। हर तरफ से सैनिकों की आवाजें सुनाई दे रही थीं।
- उन्होंने कैसे कहा, कुतुज़ोव कुटिल, एक आँख के बारे में?
- लेकिन नहीं! एकदम टेढ़ा।
- नहीं ... भाई, तुमसे ज्यादा बड़ी आंखों वाला। जूते और कॉलर - चारों ओर देखा ...
- वह, मेरे भाई, मेरे पैरों को कैसे देखता है ... अच्छा! सोच…
- और दूसरा ऑस्ट्रियाई है, वह उसके साथ था, मानो चाक से लिपटा हो। आटे की तरह, सफेद। मैं चाय हूँ, वे गोला-बारूद कैसे साफ करते हैं!
- क्या, फेडशो! ... उन्होंने कहा, शायद, जब गार्ड शुरू हुए, तो क्या आप करीब खड़े थे? उन्होंने सब कुछ कह दिया, बुनापार्ट खुद ब्रूनोव में खड़ा है।
- बुनापार्ट खड़ा है! तुम झूठ बोलते हो, मूर्ख! क्या नहीं पता! अब प्रशिया विद्रोह में है। इसलिए, ऑस्ट्रियाई उसे शांत करता है। जैसे ही वह सुलह करेगा, बौनापार्ट के साथ युद्ध शुरू हो जाएगा। और फिर, वे कहते हैं, ब्रूनोव में, बुनापार्ट खड़ा है! यह स्पष्ट है कि वह एक मूर्ख है। आप और सुनें।
"देखो, धिक्कार है किरायेदारों! पांचवीं कंपनी, देखो, पहले से ही गांव में बदल रही है, वे दलिया पकाएंगे, और हम अभी तक उस जगह पर नहीं पहुंचेंगे।
- मुझे एक पटाखा दो, धिक्कार है।
"क्या तुमने कल तंबाकू दिया था?" बस इतना ही है भाई। खैर, भगवान आपके साथ है।
- यदि केवल उन्होंने एक पड़ाव बनाया, अन्यथा आप एक और पांच मील का प्रोप्रेम नहीं खाएंगे।
- यह अच्छा था कि जर्मनों ने हमें घुमक्कड़ कैसे दिए। तुम जाओ, जानो: यह महत्वपूर्ण है!
- और यहाँ, भाई, लोग पूरी तरह से उन्मत्त हो गए। वहाँ सब कुछ एक ध्रुव की तरह लग रहा था, सब कुछ रूसी ताज का था; और अब, भाई, एक ठोस जर्मन चला गया है।
- गीतकार आगे! - मैंने कप्तान का रोना सुना।
और बीस लोग अलग-अलग रैंकों से कंपनी के सामने भागे। ढोलकिया गीत-पुस्तकों का सामना करने के लिए घूमता है, और अपना हाथ लहराते हुए, एक खींचे हुए सैनिक का गीत गाया, शुरुआत: "क्या यह भोर नहीं है, सूरज टूट रहा था ..." और शब्दों के साथ समाप्त: "वह, भाइयों, हमारे लिए कमेंस्की पिता के साथ महिमा होगी ..." यह गीत तुर्की में बनाया गया था और अब ऑस्ट्रिया में गाया गया था, केवल इस बदलाव के साथ कि "कामेंस्की पिता" के स्थान पर शब्द डाले गए थे: "कुतुज़ोव के पिता ।"
एक सैनिक की तरह इन अंतिम शब्दों को फाड़कर और अपनी बाहों को लहराते हुए जैसे कि वह जमीन पर कुछ फेंक रहा हो, ढोलकिया, लगभग चालीस का एक सूखा और सुंदर सैनिक, ने गीतकार सैनिकों की ओर देखा और अपनी आँखें बंद कर लीं। फिर, यह सुनिश्चित करते हुए कि सभी की निगाहें उस पर टिकी हुई हैं, वह ध्यान से अपने दोनों हाथों से किसी अदृश्य, कीमती चीज को अपने सिर के ऊपर से उठा रहा था, उसे कई सेकंड तक ऐसे ही पकड़े रहा, और अचानक उसे जोर से फेंक दिया:
ओह, तुम, मेरी छत्र, मेरी छत्र!
"कैनोपी माय न्यू...", बीस आवाजें उठीं, और स्पूनमैन, गोला-बारूद के भारीपन के बावजूद, तेजी से आगे कूद गया और कंपनी के सामने पीछे की ओर चला गया, अपने कंधों को हिलाया और किसी को चम्मच से धमकाया। सैनिकों ने अपनी बाहों को गीत की थाप पर झुलाते हुए, एक विशाल कदम के साथ, अनजाने में पैर को मारते हुए चले गए। कंपनी के पीछे पहियों की आवाज़, झरनों की आवाज़ और घोड़ों की गड़गड़ाहट आई।
कुतुज़ोव अपने अनुचर के साथ शहर लौट रहा था। कमांडर-इन-चीफ ने संकेत दिया कि लोगों को स्वतंत्र रूप से चलना जारी रखना चाहिए, और उनके चेहरे पर और गीत की आवाज पर, नाचते सैनिक की दृष्टि से और हर्षित और तेज गति से उनके चेहरे पर खुशी व्यक्त की गई थी। कंपनी के मार्चिंग सैनिक। दूसरी पंक्ति में, दाहिनी ओर से, जहां से गाड़ी ने कंपनियों को पछाड़ दिया, एक नीली आंखों वाले सैनिक, डोलोखोव ने अनजाने में आंख पकड़ ली, जो विशेष रूप से तेज और शालीनता से गाने की थाप पर चला गया और चेहरों को देखा राहगीरों ने इस तरह की अभिव्यक्ति के साथ जैसे कि उन्होंने उन सभी पर दया की जो इस समय एक कंपनी के साथ नहीं गए थे। कुतुज़ोव के रेटिन्यू से एक हुसार कॉर्नेट, रेजिमेंटल कमांडर की नकल करते हुए, गाड़ी से पिछड़ गया और डोलोखोव तक चला गया।
सेंट पीटर्सबर्ग में एक समय में हुसार कॉर्नेट ज़ेरकोव डोलोखोव के नेतृत्व वाले उस हिंसक समाज के थे। ज़ेरकोव विदेश में एक सैनिक के रूप में डोलोखोव से मिले, लेकिन उन्हें पहचानना आवश्यक नहीं समझा। अब, पदावनत व्यक्ति के साथ कुतुज़ोव की बातचीत के बाद, वह एक पुराने दोस्त की खुशी के साथ उसकी ओर मुड़ा:
- प्रिय मित्र, आप कैसे हैं? - उन्होंने अपने घोड़े के कदम को कंपनी के कदम के साथ बराबर करते हुए गाने की आवाज पर कहा।
- मैं जैसा हूँ? - डोलोखोव ने ठंडे स्वर में उत्तर दिया, - जैसा कि आप देख सकते हैं।
जीवंत गीत ने विशेष महत्व दिया, जिसके साथ ज़ेरकोव ने बात की, और डोलोखोव के उत्तरों की जानबूझकर शीतलता।
- तो, ​​आप अधिकारियों के साथ कैसे मिलते हैं? ज़ेरकोव ने पूछा।
कुछ नहीं, अच्छे लोग। आप मुख्यालय में कैसे पहुंचे?
- दूसरा, मैं ड्यूटी पर हूं।
वे चुप थे।
"मैंने बाज़ को अपनी दाहिनी आस्तीन से बाहर जाने दिया," गीत ने कहा, अनजाने में एक हंसमुख, हर्षित भावना पैदा करना। उनकी बातचीत शायद अलग होती अगर वे किसी गाने की आवाज पर नहीं बोलते।
- क्या सच है, ऑस्ट्रियाई लोगों को पीटा गया था? डोलोखोव ने पूछा।
"शैतान जानता है, वे कहते हैं।
"मुझे खुशी है," डोलोखोव ने संक्षिप्त और स्पष्ट रूप से उत्तर दिया, जैसा कि गीत ने मांग की थी।
- ठीक है, हमारे पास आओ जब शाम को फिरौन मोहरा बन जाएगा, - ज़ेरकोव ने कहा।
या आपके पास बहुत पैसा है?
- आइए।
- यह निषिद्ध है। उन्होंने प्रतिज्ञा दी। मैं तब तक नहीं पीता या नहीं खेलता जब तक कि यह पूरा न हो जाए।
खैर, पहली बात से पहले...
- आप इसे वहां देखेंगे।
वे फिर चुप हो गए।
"अंदर आओ, अगर आपको किसी चीज की जरूरत है, तो मुख्यालय में हर कोई मदद करेगा ..." ज़ेरकोव ने कहा।
डोलोखोव ने चुटकी ली।
"बेहतर होगा कि आप चिंता न करें। मुझे जो चाहिए, मैं नहीं मांगूंगा, मैं खुद ले लूंगा।
"हाँ, ठीक है, मैं ऐसा हूँ...
- अच्छा, मैं भी।
- अलविदा।
- स्वस्थ रहो…
... और उच्च और दूर,
घर की तरफ...
ज़ेरकोव ने अपने घोड़े को अपने स्पर्स से छुआ, जो तीन बार, उत्तेजित होकर, लात मारी, न जाने कहाँ से शुरू करना, प्रबंधित और सरपट दौड़ना, कंपनी को पछाड़ना और गाड़ी को पकड़ना, गीत के साथ भी।

समीक्षा से लौटते हुए, कुतुज़ोव, ऑस्ट्रियाई जनरल के साथ, अपने कार्यालय गए और सहायक को बुलाकर, आने वाले सैनिकों की स्थिति से संबंधित कुछ कागजात देने का आदेश दिया, और आर्कड्यूक फर्डिनेंड से प्राप्त पत्र, जिन्होंने आगे की सेना की कमान संभाली . आवश्यक कागजात के साथ प्रिंस आंद्रेई बोल्कॉन्स्की ने कमांडर इन चीफ के कार्यालय में प्रवेश किया। मेज पर रखी गई योजना के सामने कुतुज़ोव और हॉफक्रिग्सराट के एक ऑस्ट्रियाई सदस्य बैठे थे।
"आह ..." कुतुज़ोव ने बोल्कॉन्स्की की ओर देखते हुए कहा, जैसे कि इस शब्द से एडजुटेंट को प्रतीक्षा करने के लिए आमंत्रित किया गया, और फ्रेंच में बातचीत शुरू हुई।
"मैं केवल एक ही बात कहता हूं, जनरल," कुतुज़ोव ने अभिव्यक्ति और स्वर की सुखद लालित्य के साथ कहा, हर इत्मीनान से बोले गए शब्द को सुनने के लिए मजबूर किया। यह स्पष्ट था कि कुतुज़ोव ने खुशी से अपनी बात सुनी। - मैं केवल एक ही बात कहता हूं, जनरल, कि अगर मामला मेरी व्यक्तिगत इच्छा पर निर्भर करता, तो महामहिम सम्राट फ्रांज की इच्छा बहुत पहले पूरी हो जाती। मैं बहुत पहले आर्कड्यूक में शामिल हो गया होता। और मेरे सम्मान पर विश्वास करें, कि मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से सेना की उच्च कमान को एक जानकार और कुशल जनरल से अधिक स्थानांतरित करना, जैसे कि ऑस्ट्रिया इतना प्रचुर मात्रा में है, और मेरे लिए यह सब भारी जिम्मेदारी व्यक्तिगत रूप से एक खुशी होगी . लेकिन हालात हमसे ज्यादा मजबूत हैं, सामान्य।
और कुतुज़ोव इस तरह की अभिव्यक्ति के साथ मुस्कुराया जैसे कि वह कह रहा था: "आपको मुझ पर विश्वास न करने का पूरा अधिकार है, और यहां तक ​​\u200b\u200bकि मुझे परवाह नहीं है कि आप मुझ पर विश्वास करते हैं या नहीं, लेकिन आपके पास मुझे यह बताने का कोई कारण नहीं है। और वह पूरी बात है।"
ऑस्ट्रियाई जनरल असंतुष्ट दिखे, लेकिन कुतुज़ोव को उसी स्वर में जवाब नहीं दे सके।
"इसके विपरीत," उन्होंने गंभीर और क्रोधित स्वर में कहा, इसलिए बोले गए शब्दों के चापलूसी अर्थ के विपरीत, "इसके विपरीत, महामहिम द्वारा सामान्य कारण में महामहिम की भागीदारी अत्यधिक मूल्यवान है; लेकिन हम मानते हैं कि एक वास्तविक मंदी शानदार रूसी सैनिकों और उनके कमांडरों को उन प्रशंसाओं से वंचित करती है जो वे युद्ध में काटने के आदी हैं, ”उन्होंने स्पष्ट रूप से तैयार वाक्यांश को समाप्त किया।
कुतुज़ोव अपनी मुस्कान बदले बिना झुक गया।
- और मैं इतना आश्वस्त हूं और अंतिम पत्र के आधार पर कि महामहिम आर्कड्यूक फर्डिनेंड ने मुझे सम्मानित किया, मैं मानता हूं कि ऑस्ट्रियाई सैनिकों ने, जनरल मैक जैसे कुशल सहायक की कमान के तहत, अब पहले से ही एक निर्णायक जीत हासिल कर ली है और अब नहीं हमारी मदद की ज़रूरत है, - कुतुज़ोव ने कहा।
जनरल ने मुँह फेर लिया। हालांकि ऑस्ट्रियाई लोगों की हार के बारे में कोई सकारात्मक खबर नहीं थी, सामान्य प्रतिकूल अफवाहों की पुष्टि करने वाली कई परिस्थितियां थीं; और इसलिए ऑस्ट्रियाई लोगों की जीत के बारे में कुतुज़ोव की धारणा एक मजाक के समान थी। लेकिन कुतुज़ोव नम्रता से मुस्कुराया, फिर भी उसी अभिव्यक्ति के साथ जिसने कहा कि उसे यह मानने का अधिकार है। दरअसल, मैक की सेना से उन्हें प्राप्त अंतिम पत्र ने उन्हें जीत और सेना की सबसे फायदेमंद रणनीतिक स्थिति के बारे में बताया।
"मुझे यह पत्र यहाँ दो," कुतुज़ोव ने राजकुमार आंद्रेई की ओर मुड़ते हुए कहा। - यहाँ आप हैं, यदि आप इसे देखना चाहते हैं। - और कुतुज़ोव, अपने होठों के सिरों पर एक मजाकिया मुस्कान के साथ, जर्मन-ऑस्ट्रियाई जनरल के आर्कड्यूक फर्डिनेंड के पत्र से निम्नलिखित अंश पढ़ें: डेन लेच पासिरटे, एंग्रीफेन और श्लेगेन ज़ू कोनेन। वायर कोनन, दा विर मिस्टर वॉन उल्म सिंध, डेन वोर्थेइल, आच वॉन बीडेन उफेरियन डेर डोनाउ मिस्टर ज़ू ब्लीबेन, निचट वर्लिरेन; और मिथिन आच जेडेन ऑगेनब्लिक, वेन डेर फीइंड डेन लेच निच पासिरते, डाई डोनौ उबेरसेटजेन, उन औफ सीन कम्युनिकेशंस लिनी वेरफेन, डाई डोनौ अनटरहाल्ब रिपैसिरेन और डेम फींडे, वेन्न एर सिच गेजेन अनसेरे ट्रेयू अल्लिर्टे मिट गान। वाइर वेर्डन औफ सॉल्चे वेइस डेन ज़ीटपंकट, वो डाई कैसरलिच रुसीश आर्मी ऑस्गेरुस्टेट सेन विर्ड, मुथिग एंटेगेनहर्रेन, और सोडान लीच्ट जेमिन्सचाफ्ट्लिच डाई मोग्लिचकेइट फाइंडेन, डेम फींडे दास स्किक्सल ज़ुबेरेइटन, सो एर।" [हमारे पास पूरी तरह से केंद्रित बल है, लगभग 70,000 लोग, ताकि हम दुश्मन पर हमला कर सकें और अगर वह लेक को पार कर जाए तो उसे हरा सकें। चूंकि हम पहले से ही उल्म के मालिक हैं, इसलिए हम डेन्यूब के दोनों किनारों की कमान का लाभ बरकरार रख सकते हैं, इसलिए, हर मिनट, अगर दुश्मन लेक को पार नहीं करता है, डेन्यूब को पार करता है, उसकी संचार लाइन पर जाता है, डेन्यूब को पार करता है और दुश्मन , अगर वह अपने इरादे को पूरा होने से रोकने के लिए, हमारे वफादार सहयोगियों पर अपनी सारी ताकत लगाने का फैसला करता है। इस प्रकार, हम खुशी से उस समय की प्रतीक्षा करेंगे जब शाही रूसी सेना पूरी तरह से तैयार हो जाएगी, और फिर हम आसानी से दुश्मन को उस भाग्य के लिए तैयार करने का अवसर पाएंगे जिसके वह हकदार हैं।

रैखिक (वेक्टर)एक अंतरिक्ष मनमाने तत्वों का एक सेट वी है, जिसे वैक्टर कहा जाता है, जिसमें वैक्टर जोड़ने और एक संख्या से एक वेक्टर को गुणा करने के संचालन को परिभाषित किया जाता है, अर्थात। कोई भी दो सदिश \mathbf(u) और (\mathbf(v)) को एक सदिश नियत किया जाता है \mathbf(u)+\mathbf(v), सदिशों का योग कहा जाता है \mathbf(u) और (\mathbf(v)) , कोई भी सदिश (\mathbf(v)) और कोई भी संख्या \lambda वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से \mathbb(R) को एक सदिश नियत किया जाता है \lambda \mathbf(v), सदिश \mathbf(v) और संख्या \lambda का गुणनफल कहा जाता है; तो निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(जोड़ की कम्यूटेटिविटी);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(जोड़ने की संबद्धता);
3. वी में एक तत्व \mathbf(o)\in है, जिसे नल वेक्टर कहा जाता है, जैसे कि \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. प्रत्येक वेक्टर (\mathbf(v)) के लिए एक वेक्टर होता है, जिसे वेक्टर \mathbf(v) के विपरीत कहा जाता है, जैसे कि \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ \mathbb(R) में;
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( आर);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

शर्तें 1-8 कहलाती हैं रैखिक अंतरिक्ष स्वयंसिद्ध. सदिशों के बीच समान चिन्ह लगाने का अर्थ है कि समुच्चय V के समान तत्व को समानता के बाएँ और दाएँ भागों में प्रस्तुत किया जाता है, ऐसे सदिश समान कहलाते हैं।

एक रैखिक स्थान की परिभाषा में, वास्तविक संख्याओं के लिए एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने की क्रिया का परिचय दिया जाता है। ऐसी जगह को कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं के क्षेत्र में रैखिक स्थान, या, संक्षेप में, वास्तविक रैखिक स्थान. यदि परिभाषा में, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र \mathbb(R) के बजाय, हम सम्मिश्र संख्याओं \mathbb(C) का क्षेत्र लेते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में रैखिक स्थान, या, संक्षेप में, जटिल रैखिक स्थान. परिमेय संख्याओं के क्षेत्र \mathbb(Q) को एक संख्या क्षेत्र के रूप में भी चुना जा सकता है, और इस मामले में हम परिमेय संख्याओं के क्षेत्र पर एक रैखिक स्थान प्राप्त करते हैं। निम्नलिखित में, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो, वास्तविक रैखिक रिक्त स्थान पर विचार किया जाएगा। कुछ मामलों में, संक्षिप्तता के लिए, हम रैखिक शब्द को छोड़ कर अंतरिक्ष के बारे में बात करेंगे, क्योंकि नीचे दिए गए सभी रिक्त स्थान रैखिक हैं।

टिप्पणी 8.1

1. अभिगृहीत 1-4 दर्शाते हैं कि जोड़ की संक्रिया के संबंध में एक रैखिक समष्टि एक क्रमविनिमेय समूह है।

2. अभिगृहीत 5 और 6 सदिश जोड़ने की संक्रिया (स्वयंसिद्ध 5) या संख्याओं को जोड़ने की संक्रिया (स्वयंसिद्ध 6) के संबंध में एक संख्या से एक सदिश को गुणा करने की संक्रिया की वितरणता निर्धारित करते हैं। अभिगृहीत 7, जिसे कभी-कभी किसी संख्या से गुणन की साहचर्यता का नियम कहा जाता है, दो भिन्न संक्रियाओं के बीच संबंध को व्यक्त करता है: एक सदिश का एक संख्या से गुणा और संख्याओं का गुणन। अभिगृहीत 8 द्वारा परिभाषित गुण एक सदिश को किसी संख्या से गुणा करने की संक्रिया की एकात्मकता कहलाता है।

3. एक रेखीय समष्टि एक गैर-रिक्त समुच्चय है, क्योंकि इसमें आवश्यक रूप से एक शून्य सदिश होता है।

4. सदिशों को जोड़ने और किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने की क्रिया को सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ कहते हैं।

5. सदिश \mathbf(u) और \mathbf(v) का अंतर सदिश \mathbf(u) के विपरीत सदिश (-\mathbf(v)) का योग है और इसे निम्न द्वारा दर्शाया जाता है: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. दो शून्येतर सदिश \mathbf(u) और \mathbf(v) संरेखी (आनुपातिक) कहलाते हैं यदि कोई संख्या \lambda मौजूद हो जैसे कि \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). संरेखता की अवधारणा किसी भी परिमित संख्या में सदिशों तक फैली हुई है। अशक्त सदिश \mathbf(o) को किसी भी सदिश के साथ संरेख माना जाता है।

रैखिक अंतरिक्ष के स्वयंसिद्धों के परिणाम

1. रैखिक समष्टि में एक अद्वितीय शून्य सदिश होता है।

2. एक रेखीय समष्टि में, V में किसी भी सदिश \mathbf(v)\ के लिए, एक अद्वितीय विपरीत सदिश होता है (-\mathbf(v))\in V.

3. एक मनमाना अंतरिक्ष सदिश और संख्या शून्य का गुणनफल शून्य सदिश के बराबर होता है, अर्थात। 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. किसी भी संख्या से शून्य सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश के बराबर होता है, अर्थात किसी भी संख्या \lambda के लिए।

5. इस सदिश के विपरीत सदिश संख्या (-1) से इस सदिश के गुणनफल के बराबर है, अर्थात। (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. जैसे भावों में \mathbf(a+b+\ldots+z)(वैक्टरों की एक सीमित संख्या का योग) या \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(कारकों की एक सीमित संख्या द्वारा एक वेक्टर का गुणनफल) आप कोष्ठकों को किसी भी क्रम में रख सकते हैं, या बिल्कुल नहीं।

आइए हम साबित करें, उदाहरण के लिए, पहले दो गुण। शून्य वेक्टर की विशिष्टता। यदि \mathbf(o) और \mathbf(o)" दो शून्य सदिश हैं, तो अभिगृहीत 3 से हमें दो समानताएं प्राप्त होती हैं: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"या \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), जिसके बाएँ भाग अभिगृहीत 1 के बराबर हैं। इसलिए, दाएँ भाग भी समान हैं, अर्थात्। \mathbf(o)=\mathbf(o)". विपरीत वेक्टर की विशिष्टता। यदि सदिश \mathbf(v)\in V में दो विपरीत सदिश (-\mathbf(v)) और (-\mathbf(v))" हैं, तो अभिगृहीत 2, 3,4 से हम उनकी समानता प्राप्त करते हैं:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\अंडरब्रेस(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

शेष गुण इसी प्रकार सिद्ध होते हैं।

रैखिक रिक्त स्थान के उदाहरण

1. निरूपित करें \(\mathbf(o)\) - एक शून्य वेक्टर युक्त एक सेट, संचालन के साथ \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)तथा \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). इन संक्रियाओं के लिए, अभिगृहीत 1-8 संतुष्ट हैं। इसलिए, समुच्चय \(\mathbf(o)\) किसी भी संख्या क्षेत्र पर एक रैखिक स्थान है। इस रैखिक स्थान को शून्य कहा जाता है।

2. निरूपित करें V_1,\,V_2,\,V_3 - एक सीधी रेखा पर, एक समतल पर, अंतरिक्ष में, वैक्टर के सेट (निर्देशित खंड) क्रमशः, वैक्टर जोड़ने और वैक्टर को एक संख्या से गुणा करने के सामान्य संचालन के साथ। रैखिक स्थान के 1-8 स्वयंसिद्धों की पूर्ति प्राथमिक ज्यामिति के पाठ्यक्रम से होती है। इसलिए, समुच्चय V_1,\,V_2,\,V_3 वास्तविक रैखिक स्थान हैं। मुक्त सदिशों के बजाय, हम त्रिज्या सदिशों के संगत समुच्चयों पर विचार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक विमान पर वैक्टर का एक सेट जिसका एक सामान्य मूल है, अर्थात। विमान के एक निश्चित बिंदु से दूर रखा गया, एक वास्तविक रैखिक स्थान है। इकाई लंबाई के त्रिज्या वैक्टर का सेट एक रैखिक स्थान नहीं बनाता है, क्योंकि इनमें से किसी भी वेक्टर के लिए योग \mathbf(v)+\mathbf(v)माना सेट से संबंधित नहीं है।

3. निरूपित करें \mathbb(R)^n - आकार n\times1 के मैट्रिक्स-कॉलम का सेट मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणा के संचालन के साथ एक संख्या से। इस समुच्चय के लिए रैखिक स्थान के अभिगृहीत 1-8 संतुष्ट हैं। इस सेट में शून्य वेक्टर शून्य स्तंभ है o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. इसलिए, समुच्चय \mathbb(R)^n एक वास्तविक रैखिक समष्टि है। इसी तरह, जटिल प्रविष्टियों के साथ आकार n\times1 के स्तंभों का सेट \mathbb(C)^n एक जटिल रैखिक स्थान है। इसके विपरीत, गैर-ऋणात्मक वास्तविक तत्वों के साथ कॉलम मैट्रिक्स का सेट एक रैखिक स्थान नहीं है, क्योंकि इसमें विपरीत वैक्टर नहीं होते हैं।

4. निरूपित करें \(Ax=o\) - समरूप प्रणाली के समाधान का सेट Ax=o रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के साथ और अज्ञात (जहाँ A प्रणाली का वास्तविक मैट्रिक्स है), जिसे n आकार के स्तंभों का एक सेट माना जाता है \times1 संख्या से मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणा के संचालन के साथ। ध्यान दें कि ये ऑपरेशन वास्तव में सेट \(Ax=o\) पर परिभाषित हैं। एक सजातीय प्रणाली के समाधान की संपत्ति 1 (देखें खंड 5.5) का तात्पर्य है कि एक सजातीय प्रणाली के दो समाधानों का योग और एक संख्या द्वारा इसके समाधान का गुणनफल भी एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, अर्थात, सेट \(Ax=o\) से संबंधित हैं। स्तंभों के लिए रैखिक स्थान के स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं (रैखिक रिक्त स्थान के उदाहरणों में बिंदु 3 देखें)। इसलिए, एक सजातीय प्रणाली के समाधान का सेट एक वास्तविक रैखिक स्थान है।

अमानवीय प्रणाली के समाधान का सेट \(Ax=b\) इसके विपरीत, इसके विपरीत, एक रैखिक स्थान नहीं है, यदि केवल इसलिए कि इसमें शून्य तत्व नहीं है (x=o है अमानवीय प्रणाली का समाधान नहीं)।

5. निरूपित करें M_(m\times n) - आकार के मैट्रिक्स का सेट m\times n मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणा के संचालन के साथ एक संख्या। इस समुच्चय के लिए रैखिक स्थान के अभिगृहीत 1-8 संतुष्ट हैं। शून्य वेक्टर संबंधित आयामों का शून्य मैट्रिक्स ओ है। इसलिए, समुच्चय M_(m\times n) एक रैखिक समष्टि है।

6. निरूपित करें P(\mathbb(C)) - जटिल गुणांक वाले एक चर में बहुपदों का समुच्चय। कई पदों को जोड़ने और एक बहुपद को एक संख्या से गुणा करने के संचालन, जिसे डिग्री शून्य के बहुपद के रूप में माना जाता है, को परिभाषित किया जाता है और 1-8 को संतुष्ट करता है (विशेष रूप से, एक शून्य वेक्टर एक बहुपद है जो समान रूप से शून्य के बराबर होता है)। इसलिए, समुच्चय P(\mathbb(C)) सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में एक रैखिक स्थान है। वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों का समुच्चय P(\mathbb(R)) भी एक रैखिक स्थान है (लेकिन, निश्चित रूप से, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में)। वास्तविक गुणांकों के साथ अधिकतम n डिग्री वाले बहुपदों का समुच्चय P_n(\mathbb(R)) भी एक वास्तविक रैखिक समष्टि है। ध्यान दें कि इस सेट पर कई शब्दों के जोड़ के संचालन को परिभाषित किया गया है, क्योंकि बहुपदों के योग की डिग्री सारांश की शक्तियों से अधिक नहीं है।

घात n वाले बहुपदों का समुच्चय एक रैखिक समष्टि नहीं है, क्योंकि ऐसे बहुपदों का योग निम्न घात का बहुपद हो सकता है जो विचाराधीन समुच्चय से संबंधित नहीं है। धनात्मक गुणांकों के साथ अधिकतम n घात वाले सभी बहुपदों का समुच्चय भी एक रैखिक समष्टि नहीं है, क्योंकि ऐसे बहुपद को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जो इस समुच्चय से संबंधित नहीं होता है।

7. निरूपित करें C(\mathbb(R)) - \mathbb(R) पर परिभाषित और निरंतर वास्तविक कार्यों का सेट। फलन f,g का योग (f+g) और फलन f के गुणनफल \lambda f और वास्तविक संख्या \lambda को समानता द्वारा परिभाषित किया जाता है:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)सभी x\in \mathbb(R) के लिए

इन कार्यों को वास्तव में C(\mathbb(R)) पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि निरंतर कार्यों का योग और किसी संख्या द्वारा निरंतर कार्य का उत्पाद दोनों निरंतर कार्य हैं, अर्थात। सी (\ mathbb (आर)) के तत्व। आइए हम रैखिक अंतरिक्ष अभिगृहीतों की पूर्ति की जाँच करें। वास्तविक संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता का तात्पर्य समानता की वैधता से है f(x)+g(x)=g(x)+f(x)किसी भी x\in \mathbb(R) के लिए। इसलिए, f+g=g+f , अर्थात। अभिगृहीत 1 संतुष्ट है। अभिगृहीत 2 जोड़ की सहबद्धता से समान रूप से अनुसरण करता है। शून्य वेक्टर फ़ंक्शन o(x) है, जो समान रूप से शून्य के बराबर है, जो निश्चित रूप से निरंतर है। किसी फलन f के लिए, समानता f(x)+o(x)=f(x) सत्य है, अर्थात। अभिगृहीत 3 मान्य है। वेक्टर f के विपरीत वेक्टर फ़ंक्शन (-f)(x)=-f(x) होगा। तब f+(-f)=o (स्वयंसिद्ध 4 धारण करता है)। अभिगृहीत 5, 6 वास्तविक संख्याओं के योग और गुणन की संक्रियाओं के वितरण का अनुसरण करते हैं, और अभिगृहीत 7 संख्याओं के गुणन की सहबद्धता का अनुसरण करते हैं। अंतिम अभिगृहीत है, क्योंकि एक से गुणा करने से फलन नहीं बदलता है: 1\cdot f(x)=f(x) किसी भी x\in \mathbb(R) के लिए, अर्थात। 1\cdot f=f । इस प्रकार, समुच्चय C(\mathbb(R)) विचाराधीन प्रचालनों के साथ एक वास्तविक रैखिक स्थान है। इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- कार्यों के सेट जिनमें पहले, दूसरे, आदि के निरंतर व्युत्पन्न होते हैं। आदेश, क्रमशः, रैखिक स्थान भी हैं।

वास्तविक गुणांक वाले त्रिकोणमितीय द्विपदों (अक्सर \omega\ne0 ) के समुच्चय द्वारा निरूपित करें, अर्थात, प्रपत्र के कार्यों का सेट f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, कहाँ पे a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). ऐसे द्विपदों का योग और वास्तविक संख्या से द्विपद का गुणनफल एक त्रिकोणमितीय द्विपद होता है। रेखीय स्थान अभिगृहीत विचाराधीन समुच्चय के लिए धारण करते हैं (क्योंकि T_(\omega)(\mathbb(R))\subset C(\mathbb(R))) इसलिए, सेट T_(\omega)(\mathbb(R))जोड़ और गुणा के संचालन के साथ जो कार्यों के लिए सामान्य हैं, एक वास्तविक रैखिक स्थान है। शून्य तत्व द्विपद है o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, समान रूप से शून्य के बराबर।

परिभाषित वास्तविक कार्यों का सेट और \mathbb(R) पर मोनोटोन एक रैखिक स्थान नहीं है, क्योंकि दो मोनोटोन फ़ंक्शन का अंतर एक गैर-मोनोटोन फ़ंक्शन हो सकता है।

8. निरूपित करें \mathbb(R)^X - सेट पर परिभाषित वास्तविक कार्यों का सेट X , संचालन के साथ:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

यह एक वास्तविक रैखिक स्थान है (सबूत पिछले उदाहरण के समान है)। इस मामले में, सेट एक्स को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। विशेष रूप से, यदि एक्स=\(1,2,\ldots,n\), तो f(X) संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट है f_1,f_2,\ldots,f_n, कहाँ पे f_i=f(i),~i=1,\ldots,nइस तरह के एक सेट को आयामों का कॉलम मैट्रिक्स माना जा सकता है n\times1 , अर्थात। बहुत सारे \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))सेट \mathbb(R)^n के साथ मेल खाता है (रैखिक रिक्त स्थान के उदाहरणों के लिए आइटम 3 देखें)। यदि X=\mathbb(N) (याद रखें कि \mathbb(N) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है), तो हमें एक रैखिक स्थान प्राप्त होता है \mathbb(R)^(\mathbb(N))- संख्यात्मक अनुक्रमों का सेट \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). विशेष रूप से, संख्याओं के अभिसरण अनुक्रमों का सेट भी एक रैखिक स्थान बनाता है, क्योंकि दो अभिसरण अनुक्रमों का योग अभिसरण करता है, और जब हम एक अभिसरण अनुक्रम के सभी शब्दों को एक संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें एक अभिसरण अनुक्रम मिलता है। इसके विपरीत, अपसारी अनुक्रमों का समुच्चय एक रेखीय स्थान नहीं है, उदाहरण के लिए, अपसारी अनुक्रमों के योग की एक सीमा हो सकती है।

9. निरूपित करें \mathbb(R)^(+) - धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय जिसमें योग a\oplus b और गुणन \lambda\ast a (इस उदाहरण में संकेतन सामान्य से भिन्न है) द्वारा परिभाषित किया गया है समानताएं: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda)दूसरे शब्दों में, तत्वों के योग को संख्याओं के गुणनफल के रूप में समझा जाता है, और किसी तत्व का किसी संख्या से गुणा करने को घातांक के रूप में समझा जाता है। दोनों संक्रियाओं को वास्तव में सेट \mathbb(R)^(+) पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि धनात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है और धनात्मक संख्या की कोई भी वास्तविक घात एक धनात्मक संख्या है। आइए स्वयंसिद्धों की वैधता की जाँच करें। समानता

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

दिखाएँ कि अभिगृहीत 1 और 2 संतुष्ट हैं। इस समुच्चय का शून्य सदिश एक है, क्योंकि a\oplus1=a\cdot1=a, अर्थात। ओ = 1। a का विपरीत \frac(1)(a) है, जिसे a\ne o के रूप में परिभाषित किया गया है। वास्तव में, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. आइए स्वयंसिद्ध 5, 6,7,8 की पूर्ति की जाँच करें:

\begin(एकत्र) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(एकत्रित)

सभी सिद्धियाँ पूर्ण होती हैं। इसलिए, विचाराधीन समुच्चय एक वास्तविक रैखिक समष्टि है।

10. मान लीजिए V एक वास्तविक रैखिक समष्टि है। V पर परिभाषित रेखीय अदिश फलनों के समुच्चय पर विचार कीजिए, अर्थात्, कार्यों f\colon V\to \mathbb(R), वास्तविक मूल्य लेना और शर्तों को पूरा करना:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(एडिटिविटी);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(एकरूपता)।

रैखिक कार्यों पर रैखिक संचालन को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे रैखिक रिक्त स्थान के उदाहरणों के अनुच्छेद 8 में। योग f+g और उत्पाद \lambda\cdot f समानता द्वारा परिभाषित हैं:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ वी में, ~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

रेखीय समष्टि अभिगृहीतों की पूर्ति उसी तरह से पुष्टि की जाती है जैसे पैराग्राफ 8 में। इसलिए, रैखिक स्थान V पर परिभाषित रैखिक कार्यों का समुच्चय एक रैखिक स्थान है। इस स्पेस को स्पेस V के लिए ड्यूल कहा जाता है और इसे V^(\ast) द्वारा दर्शाया जाता है। इसके तत्वों को कोवेक्टर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, n वेरिएबल्स के रैखिक रूपों का सेट, जिसे वेक्टर तर्क के स्केलर फ़ंक्शंस के सेट के रूप में माना जाता है, स्पेस \mathbb(R)^n के लिए लीनियर स्पेस ड्यूल है।

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ऐसे वेक्टर स्पेस के अनुरूप। कुछ लेखक यूक्लिडियन और प्री-हिल्बर्ट स्पेस की बराबरी करते हैं। इस लेख में, पहली परिभाषा को प्रारंभिक के रूप में लिया जाएगा।

एन (\ डिस्प्लेस्टाइल एन)-आयामी यूक्लिडियन स्थान को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ई एन (\displaystyle \mathbb (ई) ^(एन)); संकेतन का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब संदर्भ से यह स्पष्ट हो जाता है कि स्थान प्राकृतिक यूक्लिडियन संरचना के साथ प्रदान किया गया है।

औपचारिक परिभाषा

यूक्लिडियन स्पेस को परिभाषित करने के लिए, डॉट उत्पाद की मूल अवधारणा के रूप में लेना सबसे आसान है। एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो वैक्टर के जोड़े पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन दिया जाता है (⋅ , ) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)निम्नलिखित तीन गुणों के साथ:

यूक्लिडियन अंतरिक्ष उदाहरण - समन्वय अंतरिक्ष आर एन , (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एन),)वास्तविक संख्याओं के सभी संभावित सेटों से मिलकर (x 1 , x 2 ,… , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)अदिश उत्पाद जिसमें सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है (x , y) = i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n। (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n)।)

लंबाई और कोण

यूक्लिडियन स्पेस पर दिया गया स्केलर उत्पाद लंबाई और कोण की ज्यामितीय अवधारणाओं को पेश करने के लिए पर्याप्त है। वेक्टर लंबाई यू (\ डिस्प्लेस्टाइल यू)के रूप में परिभाषित किया गया है (यू, यू) (\displaystyle (\sqrt ((यू,यू))))और निरूपित | आप | . (\displaystyle |u|.)आंतरिक उत्पाद की सकारात्मक निश्चितता गारंटी देती है कि एक गैर-शून्य वेक्टर की लंबाई गैर-शून्य है, और यह द्विरेखीयता से निम्नानुसार है | ए यू | = | ए | | आप | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)अर्थात् आनुपातिक सदिशों की लंबाइयाँ समानुपाती होती हैं।

वैक्टर के बीच का कोण यू (\ डिस्प्लेस्टाइल यू)तथा वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है = आर्ककोस ((x, y) | x | | y |) । (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)यह कोसाइन प्रमेय से निम्नानुसार है कि द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए ( यूक्लिडियन विमान) कोण की यह परिभाषा सामान्य से मेल खाती है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऑर्थोगोनल वैक्टर को वैक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके बीच का कोण बराबर होता है 2। (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

कॉची-बन्याकोवस्की-श्वार्ज़ असमानता और त्रिकोण असमानता

ऊपर दिए गए कोण की परिभाषा में एक अंतराल बचा है: क्रम में आर्ककोस ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))परिभाषित किया गया था, यह आवश्यक है कि असमानता | (एक्स, वाई) | एक्स | | वाई | | 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)यह असमानता वास्तव में एक मनमाना यूक्लिडियन स्थान में है, इसे कॉची-बन्याकोवस्की-श्वार्ज़ असमानता कहा जाता है। यह असमानता, बदले में, त्रिभुज असमानता को दर्शाती है: | यू+वी | | आप | + | वी | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)त्रिभुज असमानता, ऊपर सूचीबद्ध लंबाई गुणों के साथ, इसका मतलब है कि एक वेक्टर की लंबाई यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस पर एक आदर्श है, और फ़ंक्शन डी (एक्स, वाई) = | एक्स - वाई | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एक मीट्रिक स्थान की संरचना को परिभाषित करता है (इस फ़ंक्शन को यूक्लिडियन मीट्रिक कहा जाता है)। विशेष रूप से, तत्वों के बीच की दूरी (अंक) एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)तथा y (\displaystyle y)समन्वय स्थान आर एन (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एन))सूत्र द्वारा दिया गया d (x , y) = ‖ x - y ‖ = ∑ i = 1 n (x i - y i) 2 । (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2)))।)

बीजीय गुण

ऑर्थोनॉर्मल बेस

दोहरी रिक्त स्थान और ऑपरेटर

कोई वेक्टर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)यूक्लिडियन अंतरिक्ष एक रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है x (\displaystyle x^(*))इस स्थान पर, के रूप में परिभाषित एक्स (वाई) = (एक्स, वाई) । (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)यह तुलना यूक्लिडियन अंतरिक्ष और इसके दोहरे स्थान के बीच एक समरूपता है और गणना से समझौता किए बिना उन्हें पहचानने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, आसन्न ऑपरेटरों को मूल स्थान पर अभिनय करने के रूप में माना जा सकता है, न कि इसके दोहरे पर, और स्वयं-आसन्न ऑपरेटरों को उनके आसन्न लोगों के साथ मेल खाने वाले ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में, आसन्न ऑपरेटर के मैट्रिक्स को मूल ऑपरेटर के मैट्रिक्स में स्थानांतरित किया जाता है, और स्वयं-आसन्न ऑपरेटर का मैट्रिक्स सममित होता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष गति

यूक्लिडियन अंतरिक्ष गति मीट्रिक-संरक्षण परिवर्तन (जिसे आइसोमेट्री भी कहा जाता है) हैं। मोशन उदाहरण - वेक्टर के समानांतर अनुवाद वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी), जो बिंदु का अनुवाद करता है पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)बिल्कुल p+v (\displaystyle p+v). यह देखना आसान है कि कोई भी आंदोलन समानांतर अनुवाद और परिवर्तन की एक रचना है जो एक बिंदु को स्थिर रखता है। मूल बिंदु के रूप में एक निश्चित बिंदु का चयन करके, ऐसी किसी भी गति को माना जा सकता है

व्याख्यान 6. वेक्टर अंतरिक्ष।

मुख्य प्रश्न।

1. वेक्टर रैखिक स्थान।

2. अंतरिक्ष का आधार और आयाम।

3. अंतरिक्ष का उन्मुखीकरण।

4. आधार के रूप में एक वेक्टर का अपघटन।

5. वेक्टर निर्देशांक।

1. वेक्टर रैखिक स्थान।

किसी भी प्रकृति के तत्वों से युक्त एक समुच्चय, जिसमें रैखिक संक्रियाओं को परिभाषित किया जाता है: दो तत्वों का योग और किसी तत्व का किसी संख्या से गुणा करना कहलाता है खाली स्थान, और उनके तत्व हैं वैक्टरयह स्थान और उसी तरह से निरूपित किया जाता है जैसे ज्यामिति में सदिश राशियाँ: . वैक्टरऐसे अमूर्त रिक्त स्थान, एक नियम के रूप में, सामान्य ज्यामितीय वैक्टर के साथ कुछ भी सामान्य नहीं है। अमूर्त रिक्त स्थान के तत्व कार्य हो सकते हैं, संख्याओं की एक प्रणाली, मैट्रिसेस, आदि, और एक विशेष मामले में, साधारण वैक्टर। इसलिए, ऐसे रिक्त स्थान कहलाते हैं वेक्टर रिक्त स्थान .

वेक्टर रिक्त स्थान हैं, उदाहरण के लिए, संरेखीय सदिशों का समुच्चय, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है वी1 , समतलीय सदिशों का समुच्चय वी2 , साधारण (वास्तविक स्थान) वैक्टर का सेट वी3 .

इस विशेष स्थिति के लिए, हम एक सदिश समष्टि की निम्नलिखित परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा 1.सदिशों के समुच्चय को कहते हैं सदिश स्थल, यदि समुच्चय के किसी सदिश का रैखिक संयोजन भी इस समुच्चय का एक सदिश है। सदिश स्वयं कहलाते हैं तत्वोंसदिश स्थल।

सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह से अधिक महत्वपूर्ण एक सदिश स्थान की सामान्य (अमूर्त) अवधारणा है।

परिभाषा 2.बहुत सारा आरतत्व, जिसमें किन्हीं दो तत्वों और योग को परिभाषित किया गया है और किसी भी तत्व के लिए https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> कहा जाता है वेक्टर(या रैखिक) अंतरिक्ष, और इसके तत्व सदिश हैं, यदि सदिशों को जोड़ने और किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने की संक्रियाएँ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती हैं ( सूक्तियों) :

1) जोड़ कम्यूटिव है, यानी..gif" चौड़ाई = "184" ऊंचाई = "25">;

3) एक ऐसा तत्व (शून्य वेक्टर) है कि किसी भी https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= के लिए "99"ऊंचाई="27">;

5) किसी भी वैक्टर और किसी भी संख्या λ के लिए, समानता रखती है;

6) किसी भी वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए λ तथा µ समानता मान्य है https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" चौड़ाई = "45 ऊंचाई = 20" ऊंचाई = "20"> और कोई भी संख्या λ तथा µ निष्पक्ष ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> ।

वेक्टर स्पेस को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से सरलतम का पालन करें परिणाम :

1. एक सदिश समष्टि में, केवल एक शून्य - एक तत्व - एक शून्य सदिश होता है।

2. एक सदिश समष्टि में, प्रत्येक सदिश का एक अद्वितीय विपरीत सदिश होता है।

3. प्रत्येक तत्व के लिए समानता की पूर्ति होती है।

4. किसी वास्तविक संख्या के लिए λ और शून्य वेक्टर https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">।

5..gif"चौड़ाई="145" ऊंचाई="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> एक वेक्टर है जो समानता को संतुष्ट करता है https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

तो, वास्तव में, सभी ज्यामितीय वैक्टरों का सेट भी एक रैखिक (वेक्टर) स्थान है, क्योंकि इस सेट के तत्वों के लिए, एक संख्या से जोड़ और गुणा की क्रियाओं को परिभाषित किया जाता है जो तैयार किए गए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं।

2. अंतरिक्ष का आधार और आयाम।

एक सदिश स्थान की आवश्यक अवधारणाएँ आधार और आयाम की अवधारणाएँ हैं।

परिभाषा।एक निश्चित क्रम में लिए गए रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का सेट, जिसके माध्यम से अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, कहलाता है आधारयह स्थान। वेक्टर। वे स्थान जो आधार बनाते हैं, कहलाते हैं बुनियादी .

एक मनमाना रेखा पर स्थित सदिशों के समुच्चय का आधार इस रेखा सदिश का एक संरेख माना जा सकता है।

विमान के आधार परआइए एक निश्चित क्रम में लिए गए इस विमान पर दो गैर-संरेखित वैक्टर को कॉल करें https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> ।

यदि आधार सदिश जोड़ीवार लंबवत (ऑर्थोगोनल) हैं, तो आधार को कहा जाता है ओर्थोगोनल, और यदि इन सदिशों की लंबाई एक के बराबर हो, तो आधार कहलाता है ऑर्थोनॉर्मल .

अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की सबसे बड़ी संख्या कहलाती है आयामयह स्थान, अर्थात्, अंतरिक्ष का आयाम इस स्थान के आधार सदिशों की संख्या के साथ मेल खाता है।

तो, इन परिभाषाओं के अनुसार:

1. एक आयामी स्थान वी1 एक सीधी रेखा है, और आधार के होते हैं एक संरेखवेक्टर https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> ।

3. साधारण स्थान त्रि-आयामी स्थान है वी3 , जिसका आधार के होते हैं तीन गैर समतलीयवैक्टर।

यहाँ से हम देखते हैं कि एक सीधी रेखा पर, एक समतल पर, वास्तविक अंतरिक्ष में आधार सदिशों की संख्या उस चीज़ से मेल खाती है जिसे आमतौर पर ज्यामिति में एक सीधी रेखा, समतल, अंतरिक्ष के आयामों (आयाम) की संख्या कहा जाता है। इसलिए, एक अधिक सामान्य परिभाषा पेश करना स्वाभाविक है।

परिभाषा।सदिश स्थल आरबुलाया एन- आयामी यदि इसमें अधिकतम शामिल है एनरैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर और निरूपित है आर एन. संख्या एनबुलाया आयामअंतरिक्ष।

अंतरिक्ष के आयाम के अनुसार विभाजित हैं परिमित-आयामीतथा अनंत-आयामी. शून्य स्थान का आयाम, परिभाषा के अनुसार, शून्य माना जाता है।

टिप्पणी 1.प्रत्येक स्थान में, आप जितने चाहें उतने आधार निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन इस स्थान के सभी आधारों में समान संख्या में सदिश होते हैं।

टिप्पणी 2.पर एन- एक आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में, आधार किसी भी आदेशित संग्रह है एनरैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर।

3. अंतरिक्ष का उन्मुखीकरण।

अंतरिक्ष में आधार वैक्टर होने दें वी3 पास होना आम शुरुआततथा आदेश दिया, यानी यह इंगित किया जाता है कि कौन सा वेक्टर पहला माना जाता है, कौन सा - दूसरा और कौन सा - तीसरा। उदाहरण के लिए, एक आधार में, वैक्टर को इंडेक्सेशन के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है।

के लिये अंतरिक्ष को उन्मुख करने के लिए, कुछ आधार निर्धारित करना और इसे सकारात्मक घोषित करना आवश्यक है .

यह दिखाया जा सकता है कि किसी स्थान के सभी आधारों का समुच्चय दो वर्गों में आता है, अर्थात् दो अप्रतिच्छेदी उपसमुच्चय।

क) एक उपसमुच्चय (वर्ग) से संबंधित सभी आधारों में है वहीअभिविन्यास (एक ही नाम के आधार);

बी) से संबंधित कोई भी दो आधार विभिन्नउपसमुच्चय (वर्ग), है विलोमअभिविन्यास, ( अलग-अलग नामआधार)।

यदि किसी स्थान के आधारों के दो वर्गों में से एक को धनात्मक घोषित किया जाता है, और दूसरे को ऋणात्मक घोषित किया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह स्थान उन्मुखी .

अक्सर, जब अंतरिक्ष को उन्मुख करते हैं, तो कुछ आधारों को कहा जाता है सही, जबकि अन्य हैं वामपंथियों .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> कहा जाता है सही, यदि तीसरे वेक्टर के अंत से देखते हुए, पहले वेक्टर का सबसे छोटा रोटेशन https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> अंजाम दिया जाता है घड़ी की विपरीत दिशा में(चित्र। 1.8, ए)।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

चावल। 1.8. दायां आधार (ए) और बाएं आधार (बी)

आमतौर पर, स्थान के सही आधार को सकारात्मक आधार घोषित किया जाता है

अंतरिक्ष के दाएं (बाएं) आधार को "दाएं" ("बाएं") स्क्रू या गिलेट के नियम का उपयोग करके भी निर्धारित किया जा सकता है।

इसी के अनुरूप, दाएं और बाएं की अवधारणा तीनोगैर-पूरक वैक्टर जिन्हें आदेश दिया जाना चाहिए (चित्र। 1.8)।

इस प्रकार, सामान्य स्थिति में, गैर-समतलीय सदिशों के दो क्रमित त्रिगुणों का अंतरिक्ष में समान अभिविन्यास (समान नाम होता है) होता है वी3 यदि वे दोनों दाएं या दोनों बाएं हैं, और - विपरीत अभिविन्यास (विपरीत), यदि उनमें से एक दाएं है और दूसरा बाएं है।

अंतरिक्ष के मामले में भी ऐसा ही किया जाता है वी2 (विमान)।

4. आधार के रूप में एक वेक्टर का अपघटन।

तर्क की सरलता के लिए, हम त्रि-आयामी सदिश समष्टि के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रश्न पर विचार करेंगे आर3 .

चलो https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> इस स्थान का एक मनमाना वेक्टर बनें।