से एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:

कहाँ पे ऐजोतथा बी मैं (i=1,…,m; b=1,…,n)कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अज्ञात नंबर। गुणांकों के अंकन में ऐजोअनुक्रमणिका मैंसमीकरण की संख्या निर्धारित करता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक स्थित है।

सजातीय प्रणाली -जब सिस्टम के सभी मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हों ( बी 1 = बी 2 = ... = बी एम = 0), विपरीत स्थिति है विषम प्रणाली.

स्क्वायर सिस्टम -जब संख्या एमसमीकरण संख्या के बराबर है एनअनजान।

सिस्टम समाधान- समूह एननंबर सी 1 , सी 2 , …, सी एन ,ऐसा है कि सभी का प्रतिस्थापन सी मैंके बजाय एक्स मैंएक प्रणाली में अपने सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है।

संयुक्त प्रणाली -जब सिस्टम में कम से कम एक समाधान हो, और असंगत प्रणालीजब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

इस तरह की एक संयुक्त प्रणाली (जैसा कि ऊपर दिया गया है, इसे (1) होने दें) में एक या अधिक समाधान हो सकते हैं।

समाधान सी 1 (1), सी 2 (1), ..., सी एन (1)तथा सी 1 (2), सी 2 (2), ..., सी एन (2)प्रकार की संयुक्त प्रणाली (1) होगा विभिन्न, जब समानता में से 1 भी संतुष्ट नहीं होता है:

सी 1 (1) = सी 1 (2), सी 2 (1) = सी 2 (2), ..., सी एन (1) = सी एन (2)।

प्रकार की एक संयुक्त प्रणाली (1) होगी निश्चितजब इसका केवल एक ही समाधान हो; जब एक सिस्टम में कम से कम 2 अलग-अलग समाधान होते हैं, तो यह बन जाता है अनिर्धारित. जब अज्ञात से अधिक समीकरण होते हैं, तो सिस्टम है नए सिरे से परिभाषित.

अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाता है:

यह कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स.

संख्याएँ जो समीकरणों के दाईं ओर हैं, बी 1 ,…,बी एमहैं मुक्त सदस्य.

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनइस प्रणाली का एक समाधान है जब सिस्टम के सभी समीकरण संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद समानता में बदल जाते हैं सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, 3 विकल्प उत्पन्न हो सकते हैं:

1. सिस्टम का केवल एक ही समाधान है।

2. सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए,। इस प्रणाली का समाधान सभी संख्याओं के जोड़े होंगे जो संकेत में भिन्न होते हैं।

3. सिस्टम का कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, , यदि कोई समाधान मौजूद है, तो एक्स 1 + एक्स 2एक ही समय में 0 और 1 के बराबर होता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके।

प्रत्यक्ष तरीकेएक एल्गोरिथ्म दें जिसके द्वारा सटीक समाधान मिल जाए टूटना(रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली)। और अगर सटीकता निरपेक्ष होती, तो वे इसे पा लेते। एक वास्तविक इलेक्ट्रिक कंप्यूटर, निश्चित रूप से, एक त्रुटि के साथ काम करता है, इसलिए समाधान अनुमानित होगा।

सामान्य तौर पर, रैखिक समीकरण का रूप होता है:

समीकरण का एक हल है: यदि अज्ञात में कम से कम एक गुणांक शून्य से भिन्न है। इस मामले में, किसी भी -आयामी वेक्टर को समीकरण का समाधान कहा जाता है, यदि इसके निर्देशांक प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो समीकरण एक पहचान बन जाता है।

समीकरणों की अनुमत प्रणाली की सामान्य विशेषताएं

उदाहरण 20.1

समीकरणों की प्रणाली का वर्णन करें.

समाधान:

1. क्या कोई असंगत समीकरण है?(यदि गुणांक, इस मामले में समीकरण का रूप है: और कहा जाता है विवादित.)

• यदि किसी प्रणाली में असंगत है, तो ऐसी प्रणाली असंगत है और इसका कोई समाधान नहीं है।

2. सभी अनुमत चर खोजें. (अज्ञात कहा जाता हैअनुमति हैसमीकरणों की एक प्रणाली के लिए, यदि यह +1 के गुणांक के साथ सिस्टम के समीकरणों में से एक में प्रवेश करता है, और शेष समीकरणों में प्रवेश नहीं करता है (यानी, यह शून्य के बराबर गुणांक के साथ प्रवेश करता है)।

3. क्या समीकरणों की प्रणाली की अनुमति है? (समीकरणों के निकाय को हल कहा जाता है, यदि सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में एक अज्ञात अज्ञात है, जिसमें कोई संयोग नहीं है)

अनुमत अज्ञात, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण से एक समय में एक लिया जाता है, फॉर्म अनुमत अज्ञात का पूरा सेटसिस्टम (हमारे उदाहरण में यह है)

पूर्ण सेट में शामिल अनुमत अज्ञात को भी कहा जाता है बुनियादी(), और सेट में शामिल नहीं - नि: शुल्क ().

सामान्य स्थिति में, समीकरणों की हल की गई प्रणाली का रूप है:

इस स्तर पर, यह समझना महत्वपूर्ण है कि क्या है हल अज्ञात(आधार और मुफ्त में शामिल)।

सामान्य आंशिक मूल समाधान

सामान्य समाधानसमीकरणों की एक अनुमत प्रणाली मुक्त शर्तों और मुक्त अज्ञात के संदर्भ में अनुमत अज्ञात के भावों का एक समूह है:

निजी निर्णयमुक्त चर और अज्ञात के विशिष्ट मूल्यों के लिए सामान्य से प्राप्त समाधान कहलाता है।

मूल समाधानमुक्त चर के शून्य मूल्यों पर सामान्य से प्राप्त एक विशेष समाधान है।

• मूल विलयन (सदिश) कहलाता है पतित, यदि इसके गैर-शून्य निर्देशांक की संख्या अनुमत अज्ञात की संख्या से कम है।
• मूल समाधान कहा जाता है गैर पतित, यदि इसके गैर-शून्य निर्देशांक की संख्या पूरे सेट में शामिल सिस्टम के अनुमत अज्ञात की संख्या के बराबर है।

प्रमेय (1)

समीकरणों की अनुमत प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है(क्योंकि इसका कम से कम एक समाधान है); इसके अलावा, यदि सिस्टम में कोई मुक्त अज्ञात नहीं है,(अर्थात, समीकरणों की प्रणाली में, सभी अनुमत लोगों को आधार में शामिल किया जाता है) तब इसे परिभाषित किया जाता है(एक अनूठा समाधान है); यदि कम से कम एक मुक्त चर है, तो सिस्टम परिभाषित नहीं है(समाधान की अनंत संख्या है)।

उदाहरण 1. समीकरणों के निकाय का एक सामान्य, मूल और कोई विशेष हल ज्ञात कीजिए:

समाधान:

1. जाँच कर रहा है कि क्या सिस्टम की अनुमति है?

• सिस्टम की अनुमति है (क्योंकि प्रत्येक समीकरण में एक अज्ञात अनुमत है)

2. हम सेट में अनुमत अज्ञात को शामिल करते हैं - प्रत्येक समीकरण में से एक.

3. हम सामान्य समाधान लिखते हैं, जिसके आधार पर हमने अज्ञात को सेट में शामिल किया है.

4. एक निजी समाधान ढूँढना. ऐसा करने के लिए, हम उन मुक्त चरों की बराबरी करते हैं जिन्हें हमने सेट में शामिल नहीं किया था ताकि मनमानी संख्याओं के बराबर हो सकें।

उत्तर: निजी समाधान(विकल्पों में से एक)

5. मूल समाधान ढूँढना. ऐसा करने के लिए, हम उन फ्री वेरिएबल्स की बराबरी करते हैं जिन्हें हमने सेट में शामिल नहीं किया था।

रैखिक समीकरणों के प्राथमिक परिवर्तन

प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को समकक्ष अनुमत प्रणालियों में घटाया जाता है।

प्रमेय (2)

यदि कोई सिस्टम के समीकरण को कुछ गैर-शून्य संख्या से गुणा करें, और शेष समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ दें, फिर . (अर्थात, यदि आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है)

प्रमेय (3)

यदि एक सिस्टम के किसी भी समीकरण में एक और जोड़ें, और अन्य सभी समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ दें, तब दिए गए के बराबर एक प्रणाली प्राप्त करें. (अर्थात, यदि आप दो समीकरण जोड़ते हैं (उनके बाएँ और दाएँ भाग जोड़ते हैं), तो आपको डेटा के बराबर एक समीकरण मिलता है)

प्रमेयों से परिणाम (2 और 3)

यदि एक किसी भी समीकरण में दूसरे को जोड़ें, एक निश्चित संख्या से गुणा करें, और अन्य सभी समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ दें, तब हमें दिए गए के बराबर एक प्रणाली मिलती है.

सिस्टम गुणांक की पुनर्गणना के लिए सूत्र

यदि हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है और हम इसे समीकरणों की एक स्वीकृत प्रणाली में बदलना चाहते हैं, तो जॉर्डन-गॉस विधि इसमें हमारी मदद करेगी।

जॉर्डन ट्रांसफॉर्मएक हल करने वाले तत्व के साथ आप संख्या के साथ समीकरण में समीकरणों की प्रणाली के लिए अज्ञात को हल करने की अनुमति देते हैं। (उदाहरण 2)।

जॉर्डन परिवर्तन में दो प्रकार के प्राथमिक परिवर्तन होते हैं:

मान लीजिए कि हम निचले समीकरण में अज्ञात को हल किया हुआ अज्ञात बनाना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें इससे विभाजित करना होगा ताकि योग हो।

उदाहरण 2 प्रणाली के गुणांकों की पुनर्गणना करें

किसी समीकरण को किसी संख्या से विभाजित करते समय, इसके गुणांकों को सूत्रों के अनुसार पुनर्गणना किया जाता है:

संख्या के साथ समीकरण से बाहर करने के लिए, आपको समीकरण को संख्या से गुणा करना होगा और इस समीकरण में जोड़ना होगा।

प्रमेय (4) प्रणाली समीकरणों की संख्या में कमी पर।

यदि समीकरणों की प्रणाली में एक तुच्छ समीकरण होता है, तो इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है, और मूल के बराबर एक प्रणाली प्राप्त की जाएगी।

प्रमेय (5) समीकरणों की प्रणाली की असंगति पर।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली में एक असंगत समीकरण है, तो यह असंगत है।

जॉर्डन-गॉस विधि एल्गोरिथ्म

जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म में एक ही प्रकार के कई चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक निम्नलिखित क्रम में क्रिया करता है:

1. जाँचता है कि क्या सिस्टम असंगत है। यदि किसी सिस्टम में असंगत समीकरण है, तो यह असंगत है।
2. समीकरणों की संख्या को कम करने की संभावना की जाँच की जाती है। यदि सिस्टम में एक तुच्छ समीकरण होता है, तो इसे काट दिया जाता है।
3. यदि समीकरणों की प्रणाली की अनुमति है, तो सिस्टम के सामान्य समाधान और यदि आवश्यक हो, विशेष समाधान लिखें।
4. यदि सिस्टम की अनुमति नहीं है, तो उस समीकरण में जिसमें अनुमत अज्ञात शामिल नहीं है, एक हल करने वाला तत्व चुना जाता है और इस तत्व के साथ एक जॉर्डन परिवर्तन किया जाता है।
5. फिर बिंदु 1 पर वापस जाएं।

उदाहरण 3 जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के निकाय को हल करें।

पाना: दो सामान्य और दो संगत मूल समाधान

समाधान:

गणना निम्न तालिका में दिखाई गई है:

समीकरणों पर क्रियाएँ तालिका के दाईं ओर दिखाई जाती हैं। तीर दिखाते हैं कि किस समीकरण में हल करने वाले तत्व के साथ समीकरण को उपयुक्त कारक से गुणा किया जाता है।

तालिका की पहली तीन पंक्तियों में अज्ञात के गुणांक और मूल प्रणाली के दाहिने हिस्से होते हैं। एक के बराबर एक संकल्प के साथ पहले जॉर्डन परिवर्तन के परिणाम 4, 5, 6 पंक्तियों में दिए गए हैं। दूसरे जॉर्डन परिवर्तन के परिणाम (-1) के बराबर संकल्प के साथ 7, 8, 9 की पंक्तियों में दिए गए हैं। चूंकि तीसरा समीकरण तुच्छ है, इसका हिसाब नहीं लिया जा सकता।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना रैखिक बीजगणित की मुख्य समस्याओं में से एक है। वैज्ञानिक और तकनीकी समस्याओं को हल करने में इस समस्या का बहुत व्यावहारिक महत्व है, इसके अलावा, यह कम्प्यूटेशनल गणित, गणितीय भौतिकी के कई एल्गोरिदम के कार्यान्वयन में सहायक है, प्रयोगात्मक अध्ययन के परिणामों को संसाधित करता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालीसमीकरणों का निकाय कहलाता है: (1)

कहाँ पे – अनजान; - मुक्त सदस्य।

समीकरणों की प्रणाली को हल करना(1) संख्याओं के किसी भी समूह का नाम बताइए, जिसे सिस्टम में रखा जा रहा है (1) अज्ञात के स्थान पर प्रणाली के सभी समीकरणों को वास्तविक संख्यात्मक समानता में परिवर्तित करता है।

समीकरणों की प्रणाली को कहा जाता है संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है, और असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरणों की संयुक्त प्रणाली को कहा जाता है निश्चितयदि इसका एक ही समाधान है, और ढुलमुलअगर इसके कम से कम दो अलग-अलग समाधान हैं।

समीकरणों की दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबरया बराबरअगर उनके पास समाधान का एक ही सेट है।

सिस्टम (1) कहा जाता है सजातीययदि मुक्त शर्तें शून्य के बराबर हैं:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है - इसका एक समाधान होता है (शायद केवल एक ही नहीं)।

यदि सिस्टम में (1) , तो हमारे पास सिस्टम है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात: कहाँ – अनजान; अज्ञात के लिए गुणांक हैं, - मुक्त सदस्य।

एक रैखिक प्रणाली में एक ही समाधान हो सकता है, असीम रूप से कई समाधान, या कोई भी नहीं।

दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

यदि तब सिस्टम का एक अनूठा समाधान है;

यदि तब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है;

यदि तब सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

उदाहरण।सिस्टम के पास संख्याओं की एक जोड़ी के लिए एक अनूठा समाधान है

सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रणाली के समाधान संख्याओं के जोड़े हैं, और इसी तरह।

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि दो संख्याओं का अंतर दो अलग-अलग मान नहीं ले सकता है।

परिभाषा। दूसरा क्रम निर्धारकएक अभिव्यक्ति कहा जाता है जैसे:

सारणिक को प्रतीक D से निरूपित करें।

नंबर एक 11, …, एक 22 निर्धारक तत्व कहलाते हैं।

तत्वों द्वारा गठित विकर्ण एक 11 ; एक 22 कॉल मुख्य,तत्वों द्वारा गठित विकर्ण एक 12 ; एक 21 − पक्ष।

इस प्रकार, दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य और द्वितीयक विकर्णों के तत्वों के उत्पादों के बीच के अंतर के बराबर है।

ध्यान दें कि उत्तर एक संख्या है।

उदाहरण।आइए निर्धारकों की गणना करें:

दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें: जहां एक्स 1, एक्स 2 – अनजान; एक 11 , …, एक 22 - अज्ञात के लिए गुणांक, बी 1 ,बी 2 - मुक्त सदस्य।

यदि दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, तो इसे दूसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

परिभाषा।अज्ञात के गुणांकों से बना सारणिक कहलाता है सिस्टम क्वालीफायर:डी =।

सारणिक डी के कॉलम क्रमशः गुणांक हैं, के लिए एक्स 1 और ए.टी , एक्स 2. आइए परिचय दो अतिरिक्त निर्धारक,जो किसी एक कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम से बदलकर सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त किए जाते हैं: D 1 = D 2 =।

प्रमेय 14(क्रैमर, केस n=2) के लिए।यदि सिस्टम का निर्धारक डी शून्य (डी¹0) से अलग है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है, जो सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

इन सूत्रों को कहा जाता है क्रैमर के सूत्र।

उदाहरण।हम सिस्टम को क्रैमर के नियम के अनुसार हल करते हैं:

समाधान।आइए जानें संख्याएं

उत्तर।

परिभाषा। तीसरा क्रम निर्धारकएक अभिव्यक्ति कहा जाता है जैसे:

तत्वों एक 11; एक 22 ; एक 33 - मुख्य विकर्ण बनाते हैं।

नंबर एक 13; एक 22 ; एक 31 - एक साइड विकर्ण बनाएं।

प्लस के साथ प्रविष्टि में शामिल हैं: मुख्य विकर्ण पर तत्वों का उत्पाद, शेष दो शब्द मुख्य विकर्ण के समानांतर आधार वाले त्रिभुजों के शीर्षों पर स्थित तत्वों के उत्पाद हैं। द्वितीयक विकर्ण के संबंध में समान रूप से माइनस फॉर्म वाले शब्द।

उदाहरण।आइए निर्धारकों की गणना करें:

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें: जहां – अनजान; अज्ञात के लिए गुणांक हैं, - मुक्त सदस्य।

एक अद्वितीय समाधान के मामले में, तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

सिस्टम डी के निर्धारक का रूप है:

हम तीन अतिरिक्त निर्धारकों का परिचय देते हैं:

प्रमेय 15(क्रैमर, केस n=3) के लिए।यदि सिस्टम का निर्धारक डी गैर-शून्य है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है, जो क्रैमर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

उदाहरण।आइए क्रैमर के नियम का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान।आइए जानें संख्याएं

आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करें और मूल प्रणाली का समाधान खोजें:

उत्तर।

ध्यान दें कि क्रैमर का प्रमेय तब लागू होता है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और जब सिस्टम डी का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो इस मामले में सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं हो सकता है या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं। इन मामलों का अलग से अध्ययन किया जा रहा है।

हम केवल एक मामले को नोट करते हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य (डी = 0) के बराबर है, और अतिरिक्त निर्धारकों में से कम से कम एक शून्य से अलग है, तो सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, यानी यह असंगत है।

क्रैमर के प्रमेय को सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात: कहाँ – अनजान; अज्ञात के लिए गुणांक हैं, - मुक्त सदस्य।

यदि अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के निर्धारक, तो सिस्टम का एकमात्र समाधान क्रैमर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

निर्धारक डी से एक अतिरिक्त निर्धारक प्राप्त किया जाता है यदि इसमें अज्ञात के लिए गुणांक का एक स्तंभ होता है एक्स मैंमुक्त सदस्यों के एक कॉलम के साथ बदलें।

ध्यान दें कि सारणिक D, D 1, … , D एनआदेश है एन.

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए सबसे आम तरीकों में से एक अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है। -गॉस विधि. यह विधि प्रतिस्थापन विधि का एक सामान्यीकरण है और इसमें अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन में शामिल है जब तक कि एक अज्ञात के साथ एक समीकरण नहीं रहता है।

विधि रैखिक समीकरणों की प्रणाली के कुछ परिवर्तनों पर आधारित है, जिसके परिणामस्वरूप एक प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर होती है। विधि के एल्गोरिथ्म में दो चरण होते हैं।

पहले चरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा मेंगॉस विधि। इसमें समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं। ऐसा करने के लिए, पहले चरण में, सिस्टम के पहले समीकरण को विभाजित किया जाता है (अन्यथा, सिस्टम के समीकरणों की अनुमति दी जाती है)। परिणामी कम किए गए समीकरण के गुणांकों को दर्शाया जाता है, गुणांक से गुणा किया जाता है और सिस्टम के दूसरे समीकरण से घटाया जाता है, जिससे दूसरे समीकरण (गुणांक को शून्य करना) से बाहर रखा जाता है।

शेष समीकरणों को समान रूप से माना जाता है और एक नई प्रणाली प्राप्त होती है, जिसमें सभी समीकरणों में, दूसरे से शुरू होने पर, गुणांक में केवल शून्य होते हैं। जाहिर है, परिणामी नई प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर होगी।

यदि नए गुणांक, पर, सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, तो हम उन्हें उसी तरह तीसरे और बाद के समीकरणों से समाप्त कर सकते हैं। निम्नलिखित अज्ञात के लिए इस ऑपरेशन को जारी रखते हुए, सिस्टम को तथाकथित त्रिकोणीय रूप में लाया जाता है:

यहां, प्रतीकों और संख्यात्मक गुणांक और मुक्त शर्तों को दर्शाते हैं जो परिवर्तनों के परिणामस्वरूप बदल गए हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, एक निर्धारित करता है, और फिर क्रमिक प्रतिस्थापन द्वारा, शेष अज्ञात।

टिप्पणी।कभी-कभी, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, किसी भी समीकरण में, सभी गुणांक और दाईं ओर शून्य हो जाता है, अर्थात समीकरण 0 = 0 की पहचान में बदल जाता है। इस तरह के समीकरण को सिस्टम से बाहर करने से, अज्ञात की संख्या की तुलना में समीकरणों की संख्या कम हो जाती है। ऐसी प्रणाली का एक अनूठा समाधान नहीं हो सकता है।

यदि, गॉस विधि को लागू करने की प्रक्रिया में, कोई भी समीकरण 0 = 1 के रूप की समानता में बदल जाता है (अज्ञात के लिए गुणांक 0 हो जाता है, और दाहिनी ओर एक गैर-शून्य मान लेता है), तो मूल प्रणाली में कोई नहीं है समाधान, चूंकि ऐसी समानता अज्ञात किसी भी मूल्य के लिए गलत है।

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

कहाँ पे – अनजान; अज्ञात के लिए गुणांक हैं, - मुक्त सदस्य। , पाया प्रतिस्थापन

समाधान।इस प्रणाली में गाऊसी पद्धति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जहां से अंतिम समानता अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए गलत है, इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

उत्तर।सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

ध्यान दें कि पहले मानी गई क्रैमर की विधि का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से अलग होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों का वह निकाय जिसका कम से कम एक हल हो, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाईं ओर प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . क्यों कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर न हो, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और निर्धारकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त सदस्यों के एक कॉलम से बदलते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

फलस्वरूप, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं एक 21 और गुणा करें - एक 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं एक 31 और गुणा करें - एक 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित कर लेते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय को सामान्य रूप में लिखिए

SLAE समाधान क्या है?

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान n संख्याओं का एक समूह है,

जब सिस्टम में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो प्रत्येक समीकरण एक पहचान बन जाता है।

संयुक्त (गैर-संयुक्त) किस प्रणाली को कहा जाता है?

समीकरणों की एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान हो।

एक प्रणाली को असंगत कहा जाता है यदि इसका कोई समाधान नहीं है।

किस प्रणाली को निश्चित (अनिश्चित) कहा जाता है?

एक संयुक्त प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि इसका एक अनूठा समाधान होता है।

एक संयुक्त प्रणाली को अनिश्चित कहा जाता है यदि उसके एक से अधिक समाधान हों।

समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का मैट्रिक्स रूप

वेक्टर सिस्टम की रैंक

वैक्टरों की एक प्रणाली का रैंक रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की अधिकतम संख्या है।

मैट्रिक्स रैंक और इसे खोजने के तरीके

मैट्रिक्स रैंक- इस मैट्रिक्स के नाबालिगों के उच्चतम आदेश, जिनमें से निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

पहली विधि - किनारा विधि - इस प्रकार है:

यदि सभी अवयस्क प्रथम कोटि के हैं, अर्थात। मैट्रिक्स तत्व शून्य के बराबर हैं, फिर r=0 ।

यदि पहले क्रम के नाबालिगों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, और दूसरे क्रम के सभी नाबालिग शून्य के बराबर हैं, तो r=1.

यदि दूसरा क्रम नाबालिग शून्य नहीं है, तो हम तीसरे क्रम के नाबालिगों की जांच करते हैं। इस तरह, k-th ऑर्डर माइनर मिल जाता है और यह चेक किया जाता है कि k+1-th ऑर्डर माइनर शून्य के बराबर तो नहीं हैं।

यदि सभी k+1 कोटि के अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक k संख्या के बराबर है। ऐसे k+1 ऑर्डर माइनर आमतौर पर k-th ऑर्डर माइनर को "एजिंग" करके पाए जाते हैं।

मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करने के लिए दूसरी विधि मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों को लागू करना है जब इसे एक विकर्ण रूप में उठाया जाता है। ऐसे मैट्रिक्स की रैंक गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या के बराबर होती है।

रैखिक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान, इसके गुण।

संपत्ति 1.रैखिक समीकरणों की प्रणाली के किसी भी समाधान का योग और संबंधित समरूप प्रणाली के किसी भी समाधान का योग रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान है।

संपत्ति 2.रैखिक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली के किन्हीं दो समाधानों का अंतर संगत सजातीय प्रणाली का एक समाधान है।

SLAE को हल करने के लिए गॉस विधि

परवर्ती:

1) समीकरण प्रणाली का एक विस्तारित मैट्रिक्स संकलित किया गया है

2) प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में घटाया जाता है

3) सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक और सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित की जाती है और सिस्टम की संगतता या असंगति का समझौता स्थापित किया जाता है

4) अनुकूलता की स्थिति में समीकरणों के समतुल्य निकाय को लिखा जाता है

5) प्रणाली का समाधान मिल गया है। मुख्य चर मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय- रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता की कसौटी:

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि इसके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक इसके विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, और सिस्टम का एक अनूठा समाधान है यदि रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, और एक समाधान की अनंत संख्या यदि रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।

एक रैखिक प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक इसके मुख्य मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो।

सिस्टम के पास कब कोई समाधान नहीं होता, कब उसके पास एक ही समाधान होता है, क्या उसके पास कई समाधान होते हैं?

यदि सिस्टम समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अनूठा समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर हैं।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान होता है उसे संगत कहा जाता है। अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे असंगत कहा जाता है।