Questo metodo si basa sulla seguente formula: (*)

Permettere e sono funzioni di x che hanno derivate continue e .

È risaputo che o ; o .

Integrali e , poiché per ipotesi le funzioni u e v sono differenziabili e quindi continue.

La formula (*) è chiamata formula di integrazione per parti.

Il metodo basato sulla sua applicazione è chiamato metodo di integrazione per parti.

Riduce il calcolo al calcolo di un altro integrale: .

L'applicazione del metodo di integrazione per parti consiste nel fatto che sotto l'espressione integrale di un integrale dato si cerca di rappresentare nella forma di un prodotto dove e sono alcune funzioni di x, e queste funzioni sono scelte in modo che era più facile da calcolare rispetto all'integrale originale. Quando calcolare precedentemente trovato e .

(come “v” prendiamo una delle antiderivate originali trovate da dv, quindi, in futuro, calcolando “v”, ometteremo la costante C nella notazione).

Commento. Quando si scompone sotto l'espressione integrale, si deve capire cosa e dovrebbe contenere.

Sfortunatamente, è impossibile dare regole generali per scomporre l'espressione integrale nei fattori "u" e "dv". Questo può essere insegnato con molta pratica ponderata.

Con tutto questo, va tenuto presente che era più semplice dell'integrale originale.

Esempio 6.6.22.

A volte, per ottenere il risultato finale, la regola dell'integrazione per parti viene applicata in successione più volte.

Il metodo di integrazione per parti è comodo da usare, ovviamente, non sempre, e la capacità di usarlo dipende dall'esperienza.

Quando si calcolano gli integrali, è importante stabilire correttamente quale metodo di integrazione dovrebbe essere utilizzato (come nell'esempio precedente, la sostituzione trigonometrica porta all'obiettivo più velocemente).

Considera gli integrali più comuni calcolati dall'integrazione per parti.

1.Integrali della forma :

dove è un polinomio intero (rispetto a x); a è un numero costante.

Se il prodotto di una funzione trigonometrica o esponenziale è algebrica sotto il segno di integrale, allora la funzione algebrica viene generalmente presa per "u".

Esempio 6.6.23.

Si noti che un'altra suddivisione in fattori: non porta all'obiettivo.

Dimostrato
.

Otteniamo un integrale più complesso.

2.Integrali della forma :

dove è un polinomio.

Se il segno integrale è il prodotto del logaritmo di una funzione o di una funzione trigonometrica inversa per una funzione algebrica, allora le funzioni dovrebbero essere assunte come "u".

Esempio 6.6.23.

3.Integrali della forma:

Qui puoi usare una qualsiasi delle 2 possibili scomposizioni dell'espressione integrale in fattori: per "u" puoi prendere sia e .

Inoltre, il calcolo di tali integrali utilizzando il metodo dell'integrazione per parti porta all'integrale originale, ovvero si ottiene un'equazione rispetto all'integrale desiderato.

Esempio 6.6.24 Calcola .

.

Quando si integra, è spesso necessario applicare successivamente il metodo di sostituzione e il metodo di integrazione per parti.

Esempio 6.6.25.

Integrazione di alcune funzioni contenenti un trinomio quadrato

1)

.

e questi sono integrali tabulari.

2) coefficienti numerici reali

al numeratore selezioniamo la derivata del denominatore.

a,b,c sono numeri reali

un) ; Poi abbiamo:

b) . In questo caso, ha senso considerare solo quando il discriminante trinomio positivo:

Ora abbiamo:

Commento. In pratica, di solito non utilizzano risultati già pronti, ma preferiscono ripetere ogni volta calcoli simili.

Esempio.

4)

Trasformiamo il numeratore in modo da poterne estrarre la derivata del trinomio quadrato:

A causa del fatto che in pratica non esiste un metodo generale conveniente per calcolare gli integrali indefiniti, insieme a metodi particolari di integrazione (vedi lezione precedente), dobbiamo anche considerare metodi per integrare alcune classi particolari di funzioni, i cui integrali sono spesso incontrati nella pratica.

La classe più importante tra loro è la classe delle funzioni razionali.

"Integrazione di funzioni frazionarie-razionali"

L'integrazione di una frazione razionale propria si basa sull'espansione di una frazione razionale in una somma di frazioni elementari.

Frazioni elementari (semplici) e loro integrazione.

Definizione. Frazioni della forma: ; (1)

(2), dove

(cioè le radici del trinomio sono complesse), sono detti elementari.

Consideriamo l'integrazione delle frazioni elementari

2)

(dove lasciamo).

Calcoliamo l'integrale

(*)

L'ultimo integrale viene calcolato utilizzando una formula ricorsiva.

A volte l'integrazione per parti consente di ottenere la relazione tra un integrale indefinito contenente il grado di qualche funzione e un integrale simile, ma con un esponente minore della stessa funzione. Tali relazioni sono dette formule ricorsive.

Indica con .

Abbiamo:

Nell'ultimo integrale mettiamo:

Ecco perchè

dove

Quindi, siamo giunti a una formula ricorsiva: la cui applicazione ripetuta alla fine porta all'integrale "tabella":

Quindi al posto di "t" e "k" sostituiamo i loro valori.

Esempio 6.6.26.

(secondo la formula della ricorrenza).=

.

Una frazione razionale è una funzione rappresentabile nella forma ; dove e sono polinomi con coefficienti reali.

Una frazione razionale si dice propria se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.

Qualsiasi frazione razionale propria può essere rappresentata come la somma di un numero finito di frazioni elementari.

La scomposizione di una frazione propria in elementari è determinata dal seguente teorema, che consideriamo senza dimostrazione.

Teorema . Se la frazione - corretto e, (dove il trinomio non ha vere radici), allora l'identità è vera:

(IO)

Si noti che ogni radice reale, ad esempio a, della molteplicità “ ” del polinomio in questa espansione corrisponde alla somma delle frazioni elementari della forma (1), e ogni coppia di radici complesse coniugate e (tale quella ) della molteplicità “ ” corrisponde alla somma delle frazioni elementari della forma (2).

Per eseguire l'espansione (I), è necessario imparare a determinare i coefficienti .

Ci sono vari modi per trovarli. Considereremo il metodo dei coefficienti indeterminati e il metodo dei valori parziali.

Viene presentato un metodo per integrare un integrale indefinito per parti. Vengono forniti esempi di integrali calcolati con questo metodo. Vengono analizzati esempi di soluzioni.

Contenuto

Guarda anche: Metodi per il calcolo degli integrali indefiniti
Tabella degli integrali indefiniti
Funzioni elementari di base e loro proprietà

La formula per l'integrazione per parti è:
.

Il metodo di integrazione per parti consiste nell'applicazione di questa formula. Nell'applicazione pratica, vale la pena notare che u e v sono funzioni della variabile di integrazione. Si indichi la variabile di integrazione con x (simbolo dopo il segno differenziale d alla fine della notazione integrale). Allora u e v sono funzioni di x : u(x) e v(x) .
Quindi
, .
E la formula di integrazione per parti assume la forma:
.

Cioè, l'integrando deve consistere nel prodotto di due funzioni:
,
uno dei quali indichiamo come u: g(x) \u003d u, e l'integrale deve essere calcolato per l'altro (più precisamente, si deve trovare l'antiderivativa):
, allora dv = f(x) dx .

In alcuni casi f(x) = 1 . Cioè, nell'integrale
,
possiamo mettere g(x) = u, x = v .

Riepilogo

Quindi, in questo metodo, la formula dell'integrazione per parti dovrebbe essere ricordata e applicata in due forme:
;
.

Integrali calcolati per integrazione per parti

Integrali contenenti logaritmi e funzioni trigonometriche (iperboliche) inverse

Gli integrali contenenti il ​​logaritmo e le funzioni trigonometriche o iperboliche inverse sono spesso integrati da parti. In questo caso, la parte che contiene le funzioni logaritmiche o trigonometriche (iperboliche) inverse è indicata con u, la parte rimanente - con dv.

Ecco alcuni esempi di tali integrali, che sono calcolati con il metodo dell'integrazione per parti:
, , , , , , .

Integrali contenenti il ​​prodotto di un polinomio e sin x, cos x o e x

Secondo la formula per le parti integranti, si trovano gli integrali della forma:
, , ,
dove P(x) è un polinomio in x . In integrazione, il polinomio P(x) è indicato con u , ed e ax dx , cos ax dx o peccato ax dx- via dv.

Ecco alcuni esempi di tali integrali:
, , .

Esempi di calcolo degli integrali con il metodo dell'integrazione per parti

Esempi di integrali contenenti logaritmi e funzioni trigonometriche inverse

Esempio

Calcola integrale:

Soluzione dettagliata

Qui l'integrando contiene il logaritmo. Fare sostituzioni
u= ln x,
dv=x 2dx.
Quindi
,
.

Calcoliamo l'integrale rimanente:
.
Quindi
.
Al termine dei calcoli, è imperativo aggiungere la costante C, poiché l'integrale indefinito è l'insieme di tutte le antiderivate. Potrebbe anche essere aggiunto nei calcoli intermedi, ma questo ingombra solo i calcoli.

Soluzione più breve

È possibile presentare la soluzione in una versione più breve. Per fare ciò, non è necessario effettuare sostituzioni con u e v, ma è possibile raggruppare i fattori e applicare la formula di integrazione per parti nel secondo modulo.

.

Altri esempi

Esempi di integrali contenenti il ​​prodotto di un polinomio e sin x, cos x o ex

Esempio

Calcola integrale:
.

Introduciamo l'esponente sotto il segno differenziale:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Integriamo per parti.
.
Utilizziamo anche il metodo di integrazione per parti.
.
.
.
Finalmente abbiamo.

Non sempre possiamo calcolare funzioni antiderivate, ma il problema della differenziazione può essere risolto per qualsiasi funzione. Ecco perché non esiste un unico metodo di integrazione che possa essere utilizzato per qualsiasi tipo di calcolo.

Nell'ambito di questo materiale, analizzeremo esempi di risoluzione di problemi relativi alla ricerca di un integrale indefinito e vedremo per quali tipi di integrandi ciascun metodo è adatto.

Metodo di integrazione diretta

Il metodo principale per calcolare la funzione antiderivativa è l'integrazione diretta. Questa azione si basa sulle proprietà dell'integrale indefinito e per i calcoli abbiamo bisogno di una tabella di antiderivate. Altri metodi possono solo aiutare a portare l'integrale originale in una forma tabulare.

Esempio 1

Calcola l'insieme delle antiderivate della funzione f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Soluzione

Per prima cosa, cambiamo la forma della funzione in f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 .

Sappiamo che l'integrale della somma delle funzioni sarà uguale alla somma di questi integrali, il che significa:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Deduciamo un coefficiente numerico oltre il segno di integrale:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Per trovare l'integrale primo, dovremo fare riferimento alla tabella delle antiderivate. Prendiamo da esso il valore ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Per trovare il secondo integrale, abbiamo bisogno di una tabella di antiderivate per la funzione potenza ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C , così come la regola ∫ f k x + b d x = 1 k F (k x + b) + C .

Pertanto, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ceppo 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Abbiamo ottenuto quanto segue:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x registro 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

dove C = C 1 + 3 2 C 2

Risposta:∫ f (x) d x = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Abbiamo dedicato un articolo separato all'integrazione diretta usando le tabelle degli antiderivati. Ti consigliamo di dargli un'occhiata.

Metodo di sostituzione

Tale metodo di integrazione consiste nell'esprimere l'integrando nei termini di una nuova variabile introdotta appositamente a tale scopo. Di conseguenza, dovremmo ottenere una forma tabulare dell'integrale o solo un integrale meno complesso.

Questo metodo è molto utile quando è necessario integrare funzioni con radicali o funzioni trigonometriche.

Esempio 2

Calcola l'integrale indefinito ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluzione

Aggiungiamo un'altra variabile z = 2 x - 9 . Ora dobbiamo esprimere x in termini di z:

z 2 \u003d 2 x - 9 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d d z 2 + 9 2 \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d 1 2 z d z \u003d z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Prendiamo la tabella delle antiderivate e scopriamo che 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Ora dobbiamo tornare alla variabile x e ottenere la risposta:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Risposta:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Se dobbiamo integrare funzioni con un'irrazionalità della forma x m (a + b x n) p , dove i valori m , n , p sono numeri razionali, allora è importante formulare correttamente un'espressione per introdurre una nuova variabile. Maggiori informazioni su questo nell'articolo sull'integrazione delle funzioni irrazionali.

Come abbiamo detto sopra, il metodo di sostituzione è comodo da usare quando si vuole integrare una funzione trigonometrica. Ad esempio, usando una sostituzione universale, puoi portare un'espressione in una forma frazionata razionale.

Questo metodo spiega la regola di integrazione ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Aggiungiamo un'altra variabile z = k · x + b . Otteniamo quanto segue:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

Ora prendiamo le espressioni risultanti e le aggiungiamo all'integrale dato nella condizione:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Se prendiamo C 1 k = C e torniamo alla variabile originale x , otteniamo:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Il metodo della somma sotto il segno del differenziale

Questo metodo si basa sulla trasformazione dell'integrando in una funzione della forma f (g (x)) d (g (x)) . Successivamente, eseguiamo una sostituzione, introducendo una nuova variabile z = g (x) , troviamo la sua antiderivata e torniamo alla variabile originale.

∫ f(g(x)) d(g(x)) = g(x) = z = ∫ f(z) d(z) == F(z) + C = z = g(x) = F( g(x)) + C

Per risolvere i problemi più velocemente usando questo metodo, tieni a portata di mano una tabella di derivate sotto forma di differenziali e una tabella di antiderivate per trovare l'espressione a cui verrà ridotto l'integrando.

Analizziamo il problema in cui è necessario calcolare l'insieme delle antiderivate della funzione cotangente.

Esempio 3

Calcola l'integrale indefinito ∫ c t g x d x .

Soluzione

Trasformiamo l'espressione originale sotto l'integrale usando le formule trigonometriche di base.

c t g x d x = cos s d x sin x

Osserviamo la tabella delle derivate e vediamo che il numeratore può essere portato sotto il segno del differenziale cos x d x = d (sin x), che significa:

c t g x d x \u003d cos x d x sin x \u003d d sin x sin x, cioè ∫ c t g x d x = ∫ d peccato x peccato x .

Assumiamo che sin x = z , nel qual caso ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Secondo la tabella delle antiderivate, ∫ d z z = ln z + C . Ora torniamo alla variabile originale ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

L'intera soluzione può essere scritta in forma breve come segue:

∫ c t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s io n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Risposta: ∫ con t g x d x = ln sin x + C

Il metodo del segno differenziale è molto spesso utilizzato nella pratica, quindi ti consigliamo di leggere un articolo separato ad esso dedicato.

Metodo di integrazione per parti

Questo metodo si basa sulla trasformazione dell'integrando in un prodotto della forma f (x) d x = u (x) v "x d x = u (x) d (v (x)) , dopo di che la formula ∫ u (x) d ( v (x)) \u003d u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Questo è un metodo di soluzione molto conveniente e comune. A volte l'integrazione parziale in un problema deve essere applicata più volte prima di ottenere il risultato desiderato.

Analizziamo il problema in cui è necessario calcolare l'insieme delle antiderivate dell'arcotangente.

Esempio 4

Calcola l'integrale indefinito ∫ a r c t g (2 x) d x .

Soluzione

Diciamo che u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , in questo caso:

d (u (x)) = u "(x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Quando calcoliamo il valore della funzione v (x), non dobbiamo aggiungere una costante arbitraria C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

L'integrale risultante viene calcolato utilizzando il metodo della somma sotto il segno differenziale.

Poiché ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , allora 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x a r c t g (2 x) - 1 4 ceppi 1 + 4 x 2 + C

Risposta:∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

La principale difficoltà nell'applicazione di tale metodo è la necessità di scegliere quale parte prendere per il differenziale e quale parte per la funzione u(x). Nell'articolo sul metodo di integrazione per parti, vengono forniti alcuni consigli su questo argomento, che dovresti leggere.

Se dobbiamo trovare l'insieme delle antiderivate di una funzione frazionata razionale, dobbiamo prima rappresentare l'integrando come somma di frazioni semplici e poi integrare le frazioni risultanti. Vedere l'articolo sull'integrazione di frazioni semplici per maggiori dettagli.

Se integriamo un'espressione di potenza della forma sin 7 x d x o d x (x 2 + a 2) 8 , allora ci saranno utili formule ricorsive che possono abbassare gradualmente il grado. Sono derivati ​​utilizzando successive integrazioni multiple per parti. Ti consigliamo di leggere l'articolo “Integrazione con formule ricorrenti.

Riassumiamo. Per risolvere i problemi, è molto importante conoscere il metodo di integrazione diretta. Altri metodi (riportare sotto il segno differenziale, sostituzione, integrazione per parti) consentono anche di semplificare l'integrale e portarlo in forma tabellare.

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Integrale indefinito

1 Integrale antiderivato e indefinito 1

2Le proprietà più semplici dell'integrale indefinito. 3

Tabella degli integrali di base 3

2.1 Tabella aggiuntiva degli integrali 4

3Cambio di variabile in integrale indefinito 5

3.1 Metodo di integrazione delle funzioni della forma e (a≠ 0). 6

4Integrazione per parti nell'integrale indefinito 7

4.1 Modalità di integrazione delle funzioni del form. 7

4.2 Modalità di integrazione delle funzioni del modulo: 8

5Integrare frazioni razionali 8

5.1 Metodo di integrazione delle frazioni più semplici di 4° tipo. undici

6Integrare espressioni irrazionali 12

6.1Integrazione di espressioni trigonometriche 14

1. Integrale antiderivativo e indefinito

Risolvi l'equazione differenziale

sull'intervallo, cioè trovare una funzione tale che . Poiché , l'equazione (1) può essere riscritta in differenziali:

Qualsiasi soluzione di tale equazione è chiamata funzione antiderivativa. Quindi la funzione viene chiamata funzione antiderivativa sull'intervallo se per tutti . Casi e/o non sono esclusi. È chiaro che se antiderivata, allora anche antiderivata. Il nostro compito è trovare tutte le soluzioni dell'equazione (1). La funzione di due variabili è chiamata soluzione generale dell'equazione (1) o, in altre parole, integrale indefinito funzioni se, sostituendo un numero qualsiasi, otteniamo una soluzione particolare dell'equazione (1) e una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione (1) si ottiene in questo modo.

L'integrale indefinito è indicato con . La funzione si chiama integrando, il differenziale si chiama integrando, ed è il segno dell'integrale (lettera latina allungata S, la prima lettera della parola Sum è la somma). Sorge la domanda sull'esistenza di un'antiderivata e di un integrale indefinito. Nella sezione "Integrale definito", § formula di Newton-Leibniz, si dimostrerà che l'antiderivata di una funzione continua esiste sempre.

Lemma.Che sia identico per tutti. Allora è una costante su questo intervallo.

Prova. Indichiamo per qualsiasi punto. Prendiamo un punto arbitrario e applichiamo il teorema di Lagrange alla differenza: per qualche punto . Quindi il lemma è dimostrato.□

Il teorema delle antiderivate. Due antiderivate della stessa funzione definita su un intervallo differiscono di una costante.

Prova. Siano e siano funzioni antiderivate. Poi da dove, per il lemma -- costante. Di conseguenza, . □

Conseguenza. Se è l'antiderivata della funzione, allora .

Si noti che se non prendiamo un intervallo come funzione ODZ, ma, ad esempio, un insieme disconnesso come l'unione di due intervalli , poi qualsiasi funzione del modulo

ha una derivata zero, e quindi il lemma e il teorema antiderivativa cessano di essere validi in questo caso.

1. Le proprietà più semplici dell'integrale indefinito.

1. L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali:

2. La costante può essere estratta dal segno di integrale:

3. La derivata dell'integrale è uguale all'integrando.

4. Il differenziale dall'integrale è uguale all'integrando.

5. (Cambio lineare delle variabili) Se , poi (qui ).

Tabella degli integrali di base

In particolare,

Per il caso eccezionale abbiamo:

1. Tabella aggiuntiva degli integrali

1. Cambio di variabile nell'integrale indefinito

Estendiamo la definizione di integrale indefinito ad un caso più generale: assumiamo per definizione . Così, per esempio

Teorema. Sia una funzione derivabile. Quindi

Prova. Permettere . Quindi

che doveva essere dimostrato.□

Nel caso particolare in cui otteniamo una variazione lineare di variabili (vedi proprietà 5, §1). L'applicazione della formula (1) "da sinistra a destra" comporterà un cambio di variabile. L'applicazione della formula (1) nella direzione opposta, "da destra verso sinistra" si chiama entrando sotto il segno differenziale.

Esempi. MA.

1. Selezioniamo la derivata del trinomio quadrato al numeratore:

3. Per calcolare il primo integrale in (2), utilizziamo la voce sotto il segno del differenziale:

Per calcolare il secondo integrale, selezioniamo un quadrato intero in un trinomio quadrato e lo riduciamo a tabulare mediante un cambio lineare di variabili.

Integrali della forma

Esempi

1. Integrazione per parti nell'integrale indefinito

Teorema. Per funzioni differenziabili e abbiamo la relazione

Prova. Integrazione dei lati sinistro e destro della formula , noi abbiamo:

Poiché per definizione e , segue la formula (1).□

Esempio.

Per integrare tali funzioni, mettiamo il polinomio sotto il segno differenziale e applichiamo la formula di integrazione per parti. La procedura viene ripetuta k volte.

Esempio.

1. Integrazione di frazioni razionali

Frazione razionaleè chiamata funzione della forma , dove sono i polinomi. Se , allora viene chiamata una frazione razionale corretta. Altrimenti si chiama sbagliato.

Le seguenti frazioni razionali sono dette le più semplici

(tipo 2)

(tipo 3)

(4 tipi) ,

Teorema 1. Qualsiasi frazione può essere scomposta nella somma di un polinomio e di una frazione razionale propria.

Prova. Sia una frazione razionale impropria. Dividi il numeratore per il denominatore con un resto: qui ci sono i polinomi, e poi

La frazione è corretta a causa della disuguaglianza. □

Teorema 2. Qualsiasi frazione razionale propria può essere scomposta in una somma di quelle più semplici.

Algoritmo di decomposizione.

a) Espandiamo il denominatore di una frazione propria in un prodotto di polinomi irriducibili (lineari e quadratici con discriminante negativo):

Qui e -- molteplicità delle radici corrispondenti.

b) Decomponiamo la frazione nella somma delle più semplici a coefficienti indefiniti secondo i seguenti principi:

Lo facciamo per ogni fattore lineare e per ogni fattore quadratico.

c) L'espansione risultante viene moltiplicata per un denominatore comune e i coefficienti indefiniti si trovano a condizione che le parti sinistra e destra siano identiche. Lavorare con una combinazione di due metodi

??? – convalida dell'algoritmo

Esempi. A. Decomponi nella somma dei più semplici

Da ciò ne consegue che . Sostituendo in questo rapporto, troviamo immediatamente . Così

B. Espandere la frazione razionale nella somma dei più semplici. L'espansione di questa frazione a coefficienti indefiniti ha la forma

Moltiplicando per un denominatore comune, otteniamo il rapporto

Sostituendo qui, troviamo dove. Sostituendo troviamo . Uguagliando i coefficienti a , otteniamo il sistema

Da qui e . Sommando le uguaglianze dell'ultimo sistema si ottiene e . Quindi e

Di conseguenza,

/**/ Un compito. Generalizza il risultato dell'esempio A e dimostra l'uguaglianza

1. Metodo di integrazione delle frazioni più semplici del 4° tipo.

a) Separando la derivata del denominatore al numeratore, espandiamo l'integrale alla somma di due integrali.

b) Il primo degli integrali risultanti, dopo essere stato inserito sotto il segno del differenziale, diventerà tabulare.

c) Nel secondo denominatore, selezionare il quadrato pieno e ridurre il calcolo a un integrale della forma . Applichiamo la seguente procedura ricorsiva a questo integrale

Applichiamo la formula dell'integrazione per parti all'ultimo integrale:

Quindi, se designiamo , poi

Questa è una formula ricorsiva per il calcolo degli integrali dato il valore iniziale .

Esempio

1. Integrazione di espressioni irrazionali

Integrali della forma , dove m/n,...,r/s sono numeri razionali con denominatore comune k, sono ridotti all'integrale di una funzione razionale dal cambiamento

Quindi l'essenza delle espressioni razionali, quindi, dopo la sostituzione, otteniamo l'integrale della frazione razionale:

Calcolando questo integrale (vedi par. 4) e facendo la sostituzione inversa otteniamo la risposta.

Allo stesso modo, integrali della forma

dove ad-bc≠ 0, e k ha lo stesso significato di cui sopra, sono ridotti a integrali di una frazione razionale sostituendo

Esempi. A. Calcola l'integrale

B. Calcolare l'integrale

Un metodo di integrazione più semplice (ma che richiede un'ipotesi) per la stessa funzione è questo:

1. Integrazione di espressioni trigonometriche

Integrali della forma sono ridotti a integrali di una funzione razionale dal cambiamento universale

quindi otteniamo l'integrale dell'espressione razionale

In casi speciali  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx e R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, è meglio usare sostituzioni, rispettivamente .

Considera le funzioni $u=u(x)$ e $v=v(x)$ che hanno derivate continue . Secondo le proprietà dei differenziali vale la seguente uguaglianza:

$d(u v)=u d v+v d u$

Integrando le parti sinistra e destra dell'ultima uguaglianza, otteniamo:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Freccia destra u v=\int u d v+\int v d u$

Riscriviamo l'uguaglianza risultante nella forma:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Questa formula è chiamata formula di integrazione per parti. Con il suo aiuto, l'integrale $\int u d v$ può essere ridotto a trovare l'integrale $\int v d u$, che può essere più semplice.

Commento

In alcuni casi, la formula per l'integrazione per parti deve essere applicata ripetutamente.

Si consiglia di applicare la formula dell'integrazione per parti agli integrali della seguente forma:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \peccato (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

Qui $P_(n)(x)$ è un polinomio di grado $n$, $k$ è una costante. In questo caso, il polinomio viene preso come funzione $u$ e i restanti fattori vengono presi come $d v$. Per gli integrali di questo tipo, la formula di integrazione per parti viene applicata $n$ volte.

Esempi di risoluzione di integrali con questo metodo

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int(x+1) e^(2 x) d x$

Soluzione.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

Risposta.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int x^(2) \cos x d x$

Soluzione.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

Risposta.$\int x^(2) \cos x d x=\sinistra(x^(2)-1\destra) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$ ; $\int P_(n)(x) \ln x d x$

Qui si assume che $d v=P_(n)(x) d x$, e i restanti fattori come $u$.

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int \ln x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale, individuiamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Risposta.$\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int \arcsin x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale, individuiamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti. Per risolvere questo integrale, questa operazione deve essere ripetuta 2 volte.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

Risposta.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

In questo caso, l'esponente o la funzione trigonometrica sono presi come $u$. L'unica condizione è che nell'ulteriore applicazione della formula di integrazione per parti, la stessa funzione sia assunta come funzione $u$, cioè rispettivamente esponenziale o trigonometrica.

Esempio

Esercizio. Trova l'integrale $\int e^(2 x+1) \sin x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale, individuiamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$